Aplicaciones De La Ley De GaussUna de las leyes maacutes importantes que forman parte de las leyes de Maxwell es la ley de Gauss Esta ley permite encontrar de manera faacutecil el campo eleacutectrico de manera sumamente faacutecil para cuerpos cargados geomeacutetricamente de manera regular La ley de Gauss tiene una forma diferencial y una forma integral en esta seccioacuten se hablaraacute de la forma integral Para la aplicacioacuten de la ley de Gauss se requiere de la consideracioacuten de una superficie imaginaria llamada ldquosuperficie Gaussianardquo la cual generalmente tiene la forma de la configuracioacuten del cuerpo cargado Esta superficie tiene que encerrar al cuerpo completamente La ley de Gauss desempentildea un papel importante dentro de la electrostaacutetica y del electromagnetismo por dos razones baacutesicas1 En primer lugar porque permite calcular de forma simple el campo eleacutectrico debido a una distribucioacuten de cargas cuando eacutesta presenta buenas propiedades de simetriacuteaEn estos casos suele resultar mucho maacutes simple usar la ley de Gauss que obtener E por integracioacuten directa sobre la distribucioacuten de cargas tal y como se ha descrito en el tema anterior

2 En segundo lugar porque la ley de Gauss constituye una ley baacutesica no soacutelo de la electrostaacutetica sino del electromagnetismo en general De hecho constituye una de las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos los fenoacutemenos electromagneacuteticos)

EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DE LA LEY DE GAUSS1 Campo eleacutectrico producido por una esfera con distribucioacuten superficial (σ) uniforme de cargaSupongamos que se desea obtener la expresioacuten que determina el campo eleacutectrico producido a una distancia r por una esfera conductora cargada de radio r0ltr como se indica en la figura 114Apliquemos la ley de Gauss suponiendo la existencia de una superficie cerrada que contenga el punto P donde se desea obtener el campo eleacutectrico

la ley de Gauss relaciona el flujo eleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada y la carga eleacutectrica encerrada en esta superficie De esta misma forma tambieacuten relaciona la divergencia del campo eleacutectrico con la densidad de cargaEl flujo (siacutembolo ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipoteacutetica que puede ser cerrada o abierta Para un campo eleacutectrico el flujo () se mide por el nuacutemero de liacuteneas de fuerza que atraviesan la superficie

Para definir a con precisioacuten consideacuterese la figura que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eleacutectrico

La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales cada uno de los cuales es lo suficientemente pequentildeo como para que pueda ser considerado plano Estos elementos de aacuterea pueden ser representados como vectores cuya

magnitud es la propia aacuterea la direccioacuten es normal a la superficie y el sentido hacia afuera

En cada cuadrado elemental tambieacuten es posible trazar un vector de campo eleacutectrico Ya que los cuadrados son tan pequentildeos como se quiera puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado

y caracterizan a cada cuadrado y forman un aacutengulo entre siacute y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados

APLICACION LEY DE GAUSSLa ley de Gauss es vaacutelida para cualquier distribucioacuten de cargas y para cualquier super ficie cerrada La ley de Gauss puede usarse de dos maneras siacute conocemos la distribucioacuten de carga y si se tiene suficiente simetriacutea para permitirnos calcular la integral podemos encontrar el campo O bien si conocemos el campo podemos usar la ley de Gauss para encontrar la distribucioacuten de carga como las cargas sobre superficies conductoras

En esta seccioacuten daremos ejemplos de ambas aplicaciones Conforme las estudie observe el papel que juegan las propiedades de simetriacutea de cada sistema Usaremos la ley de Gauss para calcular los campos eleacutectricos causados por varias distribuciones de carga sencillas los resultados estaacuten agrupados en una tabla en el resumen del capiacutetulo

En problemas praacutecticos son comunes situaciones en las que queremos conocer el campo eleacutectrico generado por una distribucioacuten de carga sobre un conductor Los caacutelculos se simplifican por un hecho sorprendente si se coloca una carga en exceso sobre un conductor soacutelido y permanece en reposo reside enteramente sobre la superficie no en el interior del material (Por carga en exceso se entienden las cargas diferentes de los iones y electrones libres que constituyen e conductor neutro) He aquiacute la demostracioacuten Sabemos que en una situacioacuten electrostaacutetica (cargas en reposo) el campo eleacutectrico E en todo punto en el interior de un material conductor es 0 Siacute E no fuese 0 las cargas se mo veriacutean Supongamos que construimos una superficie gaussiana dentro del conductor como la A de la Figura 75 Como E = 0 en todos sus puntos la ley de Gauss requiere que la carga neta dentro de la superficie sea 0 Imaginemos ahora que la superficie se contrae como un globo que se desinfla hasta que encierra una regioacuten tan pequentildea que podemos considerarla como un punto P la carga en ese punto debe ser 0 Podemos hacer esto en cualquier parte dentro del conductor asiacute que no puede haber carga en exceso en ninguacuten punto dentro de un conductor soacutelido si la hay debe residir sobre la superficie del conductor (Esto es para un conductor soacutelido En la siguiente seccioacuten analizaremos queacute sucede si el conductor tiene cavidades) Usaremos esto en los ejemplos que siguen En condiciones electrostaacuteticas cualquier carga en exceso reside enteramente sobre la superficie de un conductor soacutelido Estrategia para resolver problemas

El primer paso es seleccionar la superficie que va a usarse con la ley de Gauss o superficie gaussiana Si Ud Quiere encontrar el campo en un

punto particular tal punto debe encontrarse sobre su superficie gaussiana

La superficie gaussiana no tiene que ser una superficie fiacutesica real como la superficie de un cuerpo soacutelido A menudo la superficie apropiada es una superficie geomeacutetrica imaginaria puede estar en el espacio vaciacuteo embebida en un cuerpo soacutelido o parcialmente en ambos

Por lo general puede calcularse la integral en la ley de Gauss (sin ayuda de una computadora) soacutelo si la superficie gaussiana y la distribucioacuten de carga tienen alguna propiedad de simetriacutea- Si la distribucioacuten de carga tiene simetriacutea ciliacutendrica o esfeacuterica escoja como superficie gaussiana un cilindro coaxial o una esfera conceacutentrica respectivamente

A veces puede considerarse la superficie gaussiana formada por varias

superficies como los lados y los extremos de un cilindro La integral E 1 dA sobre la superficie cerrada siempre es igual a la suma de las integrales sobre todas las superficies Algunas de las integrales pueden ser cero como en los puntos 6 y 7 siguientes

SIacute E es perpendicular (normal) en todo punto a una superficie con aacuterea A si apunta hacia afuera desde el interior de la superficie y si tambieacuten tiene la misma magnitud en todo punto sobre la superficie entonces E L = E=

constante y E L dA sobre esa superficie es igual a EA Si por el

contrario E es perpendicular y estaacute dirigido hacia adentro E 1 = - E y E L dA = -EA

Si E es tangente a una superficie en todo punto entonces E L = 0 y la integral sobre esa superficie es cero

Si E = 0 en todo punto de una superficie la integral es 0

Finalmente en la integral E 1 dA E 1 es siempre la componente perpendicular del campo eleacutectrico total en cada punto sobre la superficie gaussiana cerrada En general este campo puede ser causado en parte por cargas dentro de la superficie y en parte por cargas fuera de ella Aun si no hay carga dentro de la superficie el campo en ciertos puntos sobre la superficie gaussiana no es necesariamente 0 en ese caso la integral sobre la superficie gaussiana (el flujo eleacutectrico total a traveacutes suyo) siempre es 0

Algunas Aplicaciones de la Ley de Gauss 1048576 La ley de Gauss permite calcular de forma simple el campo el_ectrico

debido a distribuciones de carga con alto grado de simetr__a particularmente para distribuciones

de carga con simetr__a esf_erica cil__ndrica o plana 1048576 De_niremos una super_cie gaussiana como cualquier super_cie cerrada

imaginaria que empleamos en la ley de Gauss para calcular el campo el_ectrico debido a

una cierta distribuci

_on de cargas 1048576 Para aplicar la ley de Gauss al c_alculo del campo el_ectrico debido a

una cierta distribuci _on de cargas con propiedades de simetr__a adecuadas es aconsejable

seguir el siguiente procedimiento 1 Seleccionar una super_cie gaussiana que tenga las siguientes

propiedades (a) la super_cie debe tener la misma simetr__a que la correspondiente

distribuci_on de carga (b) en cada punto de la super_cie E debe ser normal o tangencial a la

super_cie (c) en todos los puntos en los que E es normal a la super_cie E debe tomar

un valor constante Los casos m_as frecuentes son (a1) para cargas puntuales o distribuciones de carga con simetr__a

esf_erica debe elegirse como super_cie gaussiana una esfera centrada en la carga o cuyo centro coincida con el centro de la distribuci_on de carga (a2) para l__neas de carga o cilindros uniformemente cargados debe

elegirse una super_cie cil__ndrica coaxial con la l__nea de carga o cilindro (a3) para planos (o l_aminas) cargados que tienen simetr__a plana debe

elegirse como super_cie gaussiana un cilindro peque~no sim_etrico con el plano 2 Calcular el ujo _ a trav_es de dicha super_cie 3 Calcular la carga total Qint dentro de la super_cie y usar ley de Gauss _

= Qint=0 para obtener el campo E

• Aplicaciones De La Ley De Gauss Una de las leyes maacutes importantes que forman parte de las leyes de Maxwell es la ley de Gauss Esta ley permite encontrar de manera faacutecil el campo eleacutectrico de manera sumamente faacutecil para cuerpos cargados geomeacutetricamente de manera regular La ley de Gauss tiene una forma diferencial y una forma integral en esta seccioacuten se hablaraacute de la forma integral Para la aplicacioacuten de la ley de Gauss se requiere de la consideracioacuten de una superficie imaginaria llamada ldquosuperficie Gaussianardquo la cual generalmente tiene la forma de la configuracioacuten del cuerpo cargado Esta superficie tiene que encerrar al cuerpo completamente La ley de Gauss desempentildea un papel importante dentro de la electrostaacutetica y del electromagnetismo por dos razones baacutesicas 1 En primer lugar porque permite calcular de forma simple el campo eleacutectrico debido a una distribucioacuten de cargas cuando eacutesta presenta buenas propiedades de simetriacutea En estos casos suele resultar mucho maacutes simple usar la ley de Gauss que obtener E por integracioacuten directa sobre la distribucioacuten de cargas tal y como se ha descrito en el tema anterior 2 En segundo lugar porque la ley de Gauss constituye una ley baacutesica no soacutelo de la electrostaacutetica sino del electromagnetismo en general De hecho constituye una de las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos los fenoacutemenos electromagneacuteticos) EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DE LA LEY DE GAUSS 1 Campo eleacutectrico producido por una esfera con distribucioacuten superficial (σ) uniforme de carga Supongamos que se desea obtener la expresioacuten que determina el campo eleacutectrico producido a una distancia r por una esfera conductora cargada de radio r0ltr como se indica en la figura 114 Apliquemos la ley de Gauss suponiendo la existencia de una superficie cerrada que contenga el punto P donde se desea obtener el campo eleacutectrico

magnitud es la propia aacuterea la direccioacuten es normal a la superficie y el sentido hacia afuera

En cada cuadrado elemental tambieacuten es posible trazar un vector de campo eleacutectrico Ya que los cuadrados son tan pequentildeos como se quiera puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado

y caracterizan a cada cuadrado y forman un aacutengulo entre siacute y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados

APLICACION LEY DE GAUSSLa ley de Gauss es vaacutelida para cualquier distribucioacuten de cargas y para cualquier super ficie cerrada La ley de Gauss puede usarse de dos maneras siacute conocemos la distribucioacuten de carga y si se tiene suficiente simetriacutea para permitirnos calcular la integral podemos encontrar el campo O bien si conocemos el campo podemos usar la ley de Gauss para encontrar la distribucioacuten de carga como las cargas sobre superficies conductoras

En esta seccioacuten daremos ejemplos de ambas aplicaciones Conforme las estudie observe el papel que juegan las propiedades de simetriacutea de cada sistema Usaremos la ley de Gauss para calcular los campos eleacutectricos causados por varias distribuciones de carga sencillas los resultados estaacuten agrupados en una tabla en el resumen del capiacutetulo

En problemas praacutecticos son comunes situaciones en las que queremos conocer el campo eleacutectrico generado por una distribucioacuten de carga sobre un conductor Los caacutelculos se simplifican por un hecho sorprendente si se coloca una carga en exceso sobre un conductor soacutelido y permanece en reposo reside enteramente sobre la superficie no en el interior del material (Por carga en exceso se entienden las cargas diferentes de los iones y electrones libres que constituyen e conductor neutro) He aquiacute la demostracioacuten Sabemos que en una situacioacuten electrostaacutetica (cargas en reposo) el campo eleacutectrico E en todo punto en el interior de un material conductor es 0 Siacute E no fuese 0 las cargas se mo veriacutean Supongamos que construimos una superficie gaussiana dentro del conductor como la A de la Figura 75 Como E = 0 en todos sus puntos la ley de Gauss requiere que la carga neta dentro de la superficie sea 0 Imaginemos ahora que la superficie se contrae como un globo que se desinfla hasta que encierra una regioacuten tan pequentildea que podemos considerarla como un punto P la carga en ese punto debe ser 0 Podemos hacer esto en cualquier parte dentro del conductor asiacute que no puede haber carga en exceso en ninguacuten punto dentro de un conductor soacutelido si la hay debe residir sobre la superficie del conductor (Esto es para un conductor soacutelido En la siguiente seccioacuten analizaremos queacute sucede si el conductor tiene cavidades) Usaremos esto en los ejemplos que siguen En condiciones electrostaacuteticas cualquier carga en exceso reside enteramente sobre la superficie de un conductor soacutelido Estrategia para resolver problemas

El primer paso es seleccionar la superficie que va a usarse con la ley de Gauss o superficie gaussiana Si Ud Quiere encontrar el campo en un

punto particular tal punto debe encontrarse sobre su superficie gaussiana

La superficie gaussiana no tiene que ser una superficie fiacutesica real como la superficie de un cuerpo soacutelido A menudo la superficie apropiada es una superficie geomeacutetrica imaginaria puede estar en el espacio vaciacuteo embebida en un cuerpo soacutelido o parcialmente en ambos

Por lo general puede calcularse la integral en la ley de Gauss (sin ayuda de una computadora) soacutelo si la superficie gaussiana y la distribucioacuten de carga tienen alguna propiedad de simetriacutea- Si la distribucioacuten de carga tiene simetriacutea ciliacutendrica o esfeacuterica escoja como superficie gaussiana un cilindro coaxial o una esfera conceacutentrica respectivamente

A veces puede considerarse la superficie gaussiana formada por varias

superficies como los lados y los extremos de un cilindro La integral E 1 dA sobre la superficie cerrada siempre es igual a la suma de las integrales sobre todas las superficies Algunas de las integrales pueden ser cero como en los puntos 6 y 7 siguientes

SIacute E es perpendicular (normal) en todo punto a una superficie con aacuterea A si apunta hacia afuera desde el interior de la superficie y si tambieacuten tiene la misma magnitud en todo punto sobre la superficie entonces E L = E=

constante y E L dA sobre esa superficie es igual a EA Si por el

contrario E es perpendicular y estaacute dirigido hacia adentro E 1 = - E y E L dA = -EA

Si E es tangente a una superficie en todo punto entonces E L = 0 y la integral sobre esa superficie es cero

Si E = 0 en todo punto de una superficie la integral es 0

Finalmente en la integral E 1 dA E 1 es siempre la componente perpendicular del campo eleacutectrico total en cada punto sobre la superficie gaussiana cerrada En general este campo puede ser causado en parte por cargas dentro de la superficie y en parte por cargas fuera de ella Aun si no hay carga dentro de la superficie el campo en ciertos puntos sobre la superficie gaussiana no es necesariamente 0 en ese caso la integral sobre la superficie gaussiana (el flujo eleacutectrico total a traveacutes suyo) siempre es 0

Algunas Aplicaciones de la Ley de Gauss 1048576 La ley de Gauss permite calcular de forma simple el campo el_ectrico

debido a distribuciones de carga con alto grado de simetr__a particularmente para distribuciones

de carga con simetr__a esf_erica cil__ndrica o plana 1048576 De_niremos una super_cie gaussiana como cualquier super_cie cerrada

imaginaria que empleamos en la ley de Gauss para calcular el campo el_ectrico debido a

una cierta distribuci

_on de cargas 1048576 Para aplicar la ley de Gauss al c_alculo del campo el_ectrico debido a

una cierta distribuci _on de cargas con propiedades de simetr__a adecuadas es aconsejable

seguir el siguiente procedimiento 1 Seleccionar una super_cie gaussiana que tenga las siguientes

propiedades (a) la super_cie debe tener la misma simetr__a que la correspondiente

distribuci_on de carga (b) en cada punto de la super_cie E debe ser normal o tangencial a la

super_cie (c) en todos los puntos en los que E es normal a la super_cie E debe tomar

un valor constante Los casos m_as frecuentes son (a1) para cargas puntuales o distribuciones de carga con simetr__a

esf_erica debe elegirse como super_cie gaussiana una esfera centrada en la carga o cuyo centro coincida con el centro de la distribuci_on de carga (a2) para l__neas de carga o cilindros uniformemente cargados debe

elegirse una super_cie cil__ndrica coaxial con la l__nea de carga o cilindro (a3) para planos (o l_aminas) cargados que tienen simetr__a plana debe

elegirse como super_cie gaussiana un cilindro peque~no sim_etrico con el plano 2 Calcular el ujo _ a trav_es de dicha super_cie 3 Calcular la carga total Qint dentro de la super_cie y usar ley de Gauss _

= Qint=0 para obtener el campo E

• Aplicaciones De La Ley De Gauss Una de las leyes maacutes importantes que forman parte de las leyes de Maxwell es la ley de Gauss Esta ley permite encontrar de manera faacutecil el campo eleacutectrico de manera sumamente faacutecil para cuerpos cargados geomeacutetricamente de manera regular La ley de Gauss tiene una forma diferencial y una forma integral en esta seccioacuten se hablaraacute de la forma integral Para la aplicacioacuten de la ley de Gauss se requiere de la consideracioacuten de una superficie imaginaria llamada ldquosuperficie Gaussianardquo la cual generalmente tiene la forma de la configuracioacuten del cuerpo cargado Esta superficie tiene que encerrar al cuerpo completamente La ley de Gauss desempentildea un papel importante dentro de la electrostaacutetica y del electromagnetismo por dos razones baacutesicas 1 En primer lugar porque permite calcular de forma simple el campo eleacutectrico debido a una distribucioacuten de cargas cuando eacutesta presenta buenas propiedades de simetriacutea En estos casos suele resultar mucho maacutes simple usar la ley de Gauss que obtener E por integracioacuten directa sobre la distribucioacuten de cargas tal y como se ha descrito en el tema anterior 2 En segundo lugar porque la ley de Gauss constituye una ley baacutesica no soacutelo de la electrostaacutetica sino del electromagnetismo en general De hecho constituye una de las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos los fenoacutemenos electromagneacuteticos) EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DE LA LEY DE GAUSS 1 Campo eleacutectrico producido por una esfera con distribucioacuten superficial (σ) uniforme de carga Supongamos que se desea obtener la expresioacuten que determina el campo eleacutectrico producido a una distancia r por una esfera conductora cargada de radio r0ltr como se indica en la figura 114 Apliquemos la ley de Gauss suponiendo la existencia de una superficie cerrada que contenga el punto P donde se desea obtener el campo eleacutectrico

punto particular tal punto debe encontrarse sobre su superficie gaussiana

La superficie gaussiana no tiene que ser una superficie fiacutesica real como la superficie de un cuerpo soacutelido A menudo la superficie apropiada es una superficie geomeacutetrica imaginaria puede estar en el espacio vaciacuteo embebida en un cuerpo soacutelido o parcialmente en ambos

Por lo general puede calcularse la integral en la ley de Gauss (sin ayuda de una computadora) soacutelo si la superficie gaussiana y la distribucioacuten de carga tienen alguna propiedad de simetriacutea- Si la distribucioacuten de carga tiene simetriacutea ciliacutendrica o esfeacuterica escoja como superficie gaussiana un cilindro coaxial o una esfera conceacutentrica respectivamente

A veces puede considerarse la superficie gaussiana formada por varias

superficies como los lados y los extremos de un cilindro La integral E 1 dA sobre la superficie cerrada siempre es igual a la suma de las integrales sobre todas las superficies Algunas de las integrales pueden ser cero como en los puntos 6 y 7 siguientes

SIacute E es perpendicular (normal) en todo punto a una superficie con aacuterea A si apunta hacia afuera desde el interior de la superficie y si tambieacuten tiene la misma magnitud en todo punto sobre la superficie entonces E L = E=

constante y E L dA sobre esa superficie es igual a EA Si por el

contrario E es perpendicular y estaacute dirigido hacia adentro E 1 = - E y E L dA = -EA

Si E es tangente a una superficie en todo punto entonces E L = 0 y la integral sobre esa superficie es cero

Si E = 0 en todo punto de una superficie la integral es 0

Finalmente en la integral E 1 dA E 1 es siempre la componente perpendicular del campo eleacutectrico total en cada punto sobre la superficie gaussiana cerrada En general este campo puede ser causado en parte por cargas dentro de la superficie y en parte por cargas fuera de ella Aun si no hay carga dentro de la superficie el campo en ciertos puntos sobre la superficie gaussiana no es necesariamente 0 en ese caso la integral sobre la superficie gaussiana (el flujo eleacutectrico total a traveacutes suyo) siempre es 0

Algunas Aplicaciones de la Ley de Gauss 1048576 La ley de Gauss permite calcular de forma simple el campo el_ectrico

debido a distribuciones de carga con alto grado de simetr__a particularmente para distribuciones

de carga con simetr__a esf_erica cil__ndrica o plana 1048576 De_niremos una super_cie gaussiana como cualquier super_cie cerrada

imaginaria que empleamos en la ley de Gauss para calcular el campo el_ectrico debido a

una cierta distribuci

_on de cargas 1048576 Para aplicar la ley de Gauss al c_alculo del campo el_ectrico debido a

una cierta distribuci _on de cargas con propiedades de simetr__a adecuadas es aconsejable

seguir el siguiente procedimiento 1 Seleccionar una super_cie gaussiana que tenga las siguientes

propiedades (a) la super_cie debe tener la misma simetr__a que la correspondiente

distribuci_on de carga (b) en cada punto de la super_cie E debe ser normal o tangencial a la

super_cie (c) en todos los puntos en los que E es normal a la super_cie E debe tomar

un valor constante Los casos m_as frecuentes son (a1) para cargas puntuales o distribuciones de carga con simetr__a

esf_erica debe elegirse como super_cie gaussiana una esfera centrada en la carga o cuyo centro coincida con el centro de la distribuci_on de carga (a2) para l__neas de carga o cilindros uniformemente cargados debe

elegirse una super_cie cil__ndrica coaxial con la l__nea de carga o cilindro (a3) para planos (o l_aminas) cargados que tienen simetr__a plana debe

elegirse como super_cie gaussiana un cilindro peque~no sim_etrico con el plano 2 Calcular el ujo _ a trav_es de dicha super_cie 3 Calcular la carga total Qint dentro de la super_cie y usar ley de Gauss _

= Qint=0 para obtener el campo E

• Aplicaciones De La Ley De Gauss Una de las leyes maacutes importantes que forman parte de las leyes de Maxwell es la ley de Gauss Esta ley permite encontrar de manera faacutecil el campo eleacutectrico de manera sumamente faacutecil para cuerpos cargados geomeacutetricamente de manera regular La ley de Gauss tiene una forma diferencial y una forma integral en esta seccioacuten se hablaraacute de la forma integral Para la aplicacioacuten de la ley de Gauss se requiere de la consideracioacuten de una superficie imaginaria llamada ldquosuperficie Gaussianardquo la cual generalmente tiene la forma de la configuracioacuten del cuerpo cargado Esta superficie tiene que encerrar al cuerpo completamente La ley de Gauss desempentildea un papel importante dentro de la electrostaacutetica y del electromagnetismo por dos razones baacutesicas 1 En primer lugar porque permite calcular de forma simple el campo eleacutectrico debido a una distribucioacuten de cargas cuando eacutesta presenta buenas propiedades de simetriacutea En estos casos suele resultar mucho maacutes simple usar la ley de Gauss que obtener E por integracioacuten directa sobre la distribucioacuten de cargas tal y como se ha descrito en el tema anterior 2 En segundo lugar porque la ley de Gauss constituye una ley baacutesica no soacutelo de la electrostaacutetica sino del electromagnetismo en general De hecho constituye una de las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos los fenoacutemenos electromagneacuteticos) EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DE LA LEY DE GAUSS 1 Campo eleacutectrico producido por una esfera con distribucioacuten superficial (σ) uniforme de carga Supongamos que se desea obtener la expresioacuten que determina el campo eleacutectrico producido a una distancia r por una esfera conductora cargada de radio r0ltr como se indica en la figura 114 Apliquemos la ley de Gauss suponiendo la existencia de una superficie cerrada que contenga el punto P donde se desea obtener el campo eleacutectrico

_on de cargas 1048576 Para aplicar la ley de Gauss al c_alculo del campo el_ectrico debido a

una cierta distribuci _on de cargas con propiedades de simetr__a adecuadas es aconsejable

seguir el siguiente procedimiento 1 Seleccionar una super_cie gaussiana que tenga las siguientes

propiedades (a) la super_cie debe tener la misma simetr__a que la correspondiente

distribuci_on de carga (b) en cada punto de la super_cie E debe ser normal o tangencial a la

super_cie (c) en todos los puntos en los que E es normal a la super_cie E debe tomar

un valor constante Los casos m_as frecuentes son (a1) para cargas puntuales o distribuciones de carga con simetr__a

esf_erica debe elegirse como super_cie gaussiana una esfera centrada en la carga o cuyo centro coincida con el centro de la distribuci_on de carga (a2) para l__neas de carga o cilindros uniformemente cargados debe

elegirse una super_cie cil__ndrica coaxial con la l__nea de carga o cilindro (a3) para planos (o l_aminas) cargados que tienen simetr__a plana debe

elegirse como super_cie gaussiana un cilindro peque~no sim_etrico con el plano 2 Calcular el ujo _ a trav_es de dicha super_cie 3 Calcular la carga total Qint dentro de la super_cie y usar ley de Gauss _

= Qint=0 para obtener el campo E

• Aplicaciones De La Ley De Gauss Una de las leyes maacutes importantes que forman parte de las leyes de Maxwell es la ley de Gauss Esta ley permite encontrar de manera faacutecil el campo eleacutectrico de manera sumamente faacutecil para cuerpos cargados geomeacutetricamente de manera regular La ley de Gauss tiene una forma diferencial y una forma integral en esta seccioacuten se hablaraacute de la forma integral Para la aplicacioacuten de la ley de Gauss se requiere de la consideracioacuten de una superficie imaginaria llamada ldquosuperficie Gaussianardquo la cual generalmente tiene la forma de la configuracioacuten del cuerpo cargado Esta superficie tiene que encerrar al cuerpo completamente La ley de Gauss desempentildea un papel importante dentro de la electrostaacutetica y del electromagnetismo por dos razones baacutesicas 1 En primer lugar porque permite calcular de forma simple el campo eleacutectrico debido a una distribucioacuten de cargas cuando eacutesta presenta buenas propiedades de simetriacutea En estos casos suele resultar mucho maacutes simple usar la ley de Gauss que obtener E por integracioacuten directa sobre la distribucioacuten de cargas tal y como se ha descrito en el tema anterior 2 En segundo lugar porque la ley de Gauss constituye una ley baacutesica no soacutelo de la electrostaacutetica sino del electromagnetismo en general De hecho constituye una de las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos los fenoacutemenos electromagneacuteticos) EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DE LA LEY DE GAUSS 1 Campo eleacutectrico producido por una esfera con distribucioacuten superficial (σ) uniforme de carga Supongamos que se desea obtener la expresioacuten que determina el campo eleacutectrico producido a una distancia r por una esfera conductora cargada de radio r0ltr como se indica en la figura 114 Apliquemos la ley de Gauss suponiendo la existencia de una superficie cerrada que contenga el punto P donde se desea obtener el campo eleacutectrico