aplicaciones de la mecánica de fluidos-sara lilia moya-2002.pdf

5/19/2018 aplicaciones de la mec nica de fluidos-sara lilia moya-2002.pdf

http:///reader/full/aplicaciones-de-la-mecanica-de-fluidos-sara-lilia-moya-2002pd

APLICACIONES DE LA

MECANICA DE FLUIDOS

Sara Lilia Moya

CENIDETCuernavaca

Mexico

20 de febrero de 2002



2



Indice General

Prefacio 5

1 Conveccion en cavidades y medios porosos 71.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Parametros adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Aproximacion de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Regmenes de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Numero de Nusselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Ecuaciones gobernantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 Formulacion del problema en funcion de variables secundarias . . . . 121.9 Generalidades de las formulaciones adimensionales . . . . . . . . . . . 131.10 Otras condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.11 Conveccion en un medio poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.12 Formulacion adimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.13 Formulacion del problema mixto del medio poroso . . . . . . . . . . . 23

2 Transporte de masa y energa en yacimientos geotermicos 252.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Ecuaciones gobernantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Metodos numericos para la solucion de las ecuaciones gobernantes . . 302.4 Aplicacion del metodo de Diferencias Finitas Integrales (DFI) a sis-

temas geotermicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3



4



Prefacio

Estas son algunas aplicaciones de la mecanica de fluidos.

5



6



Captulo 1

Conveccion en cavidades y mediosporosos

1.1 Introduccion

Muchos problemas practicos de transferencia de calor por conveccion natural puedenestudiarse como cavidades llenas de un fluido Newtoniano sujetas a las condiciones defrontera correspondientes. As, por ejemplo, la determinacion de la transferencia decalor a traves de un espacio de aire de tamano y geometra conocidos es un problemaque surge frecuentemente en relacion con el aislamiento termico de construcciones.El problema fue formulado por Batchelor (1954) en la siguiente forma bidimensional:

Un fluido de viscosidad cinematica , conductividad termica k, y con

coeficiente de expansion volumetrica , llena una cavidad rectangular lim-itada por dos paredes verticales separadas una distancia L, y dos paredeshorizontales aisladas separadas una distancia H. Si las dos paredes verti-cales se mantienen a diferentes temperaturasT1 y T2, Cual es la velocidadde transferencia de calor a traves del fluido desde una pared vertical a laotra?

Esta cavidad se representa de manera esquematica en la figura 1.

1.2 Parametros adimensionales

Para especificar el problema son necesarios tres parametros adimensionales. Los masconvenientes son:

Numero de Prandtl (parametro de difusividad termica):

P r=

(1.1)

7



Numero de Rayleigh (parametro de conveccion natural):

Ra=gT L3

(1.2)

Razon de Aspecto:

RA=H

L (1.3)

Siendola difusividad termica (=k/0Cp),g la aceleracion de la gravedad y Tla diferencia de temperaturas T1T2. 0 es la densidad del fluido a la temperaturade referencia T0 ycp el calor especfico.

Esquema de una cavidad rectangular de longitud L,

1.3 Aproximacion de Boussinesq

Como se observa, si y son constantes, P r es funcion de propiedades fsicas con-stantes y es por tanto constante para un fluido dado. Si la densidad tambien seconsidera constante excepto para efecto de la fuerza de gravedad, es comun expresaresta variacion como

= 0[1 (T T0)] (1.4)

Al hecho de considerar las propiedades fsicas de la manera descrita se le conocecomo la aproximacion de Boussinesq (Gray, 1976), e implica esencialmente un fluidoincompresible con valores pequenos de (T2 T1)/T1. El parametro que cuantificael fenomeno convectivo natural (a causa de la fuerza de gravedad) es el numero de

Rayleigh,Ra, y es una medida de la aceleracion del fluido a causa de la variacion dedensidad como funcion de la temperatura.

1.4 Regmenes de flujo

El patron de lneas de corriente (u = /y, v = /x) e isotermas T de unfluido especfico en una cavidad de ciertas dimensiones, es decir P r y h constantes,dependera del valor de Ra. La celda convectiva mostrada en la figura 1 es elpatron de flujo caracterstico de la conveccion natural en cavidades. La intensidadde la circulacion del flujo aumenta conRa. McGregor y Emery (1969) reportaron los

siguientes regmenes de flujo como funcion de Ra: paraRa



adyacententes a las paredes verticales y mnimamente por conduccion a traves de laregion central. Entre 106 < Ra 107

un flujo de capa lmite turbulenta. Por otra parte, Elder (1965) y otros investigadorescoinciden en que cerca de Ra = 105 pueden generarse flujos secundarios sobrepuestosal flujo basico.

1.5 Numero de Nusselt

El conocimiento de la rapidez de transferencia de calor en las paredes verticales es degran interes practico. Esta transferencia se expresa en terminos del numero de NusseltNu que es un parametro adimensional y se define como la razon de transferencias decalor por conveccion y por conduccion. Esto es

Nux=

hl

k (1.5)

donde h es el coeficiente de transferencia de calor local (para una cierta posici on xen la pared) por conveccion. Tambien es importante conocer el valor medio de latransferencia de calor en toda la pared, este se define como:

Nu= 1

H

H0

Nux dx (1.6)

Si T, x y y son la temperatura y las coordenadas adimensionales, definidascomo T = (T T2)/(T1 T2), x

= x/h, y = y/L, respectivamente; Nux puede

expresarse como:Nux=

T

y

y=0,1

(1.7)

y

Nu= 10

T

y

y=0,1

(1.8)

1.6 Ecuaciones gobernantes

Entonces para evaluarN ues necesario conocer el campo de temperaturas en la cavi-

dad que a la vez depende del campo de velocidades y presiones. El problema puedeformularse matematicamente en funcion de las llamadas variables primarias: presion

p, componente u del vector velocidad en la direccion x, y componente v del vectorvelocidad en direccion y. O bien, en funcion de las variables secundarias: funcion decorriente, , y vorticidad, .

9



Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del flujo en funcion de las vari-ables p, u, v y T son las ecuaciones de conservacion de la cantidad de movimiento(ecuaciones de Navier Stokes), la ecuacion de conservacion de la energa y la ecuacionde continuidad (conservacion de masa). Estas son:

Ecuacion de la cantidad de movimiento en direccion x

u

t +u

u

x+ v

u

y =

1

0

P

x +

2u

x2+

2u

y2

+g(TT0) (1.9)

Ecuacion de la cantidad de movimiento en direccion y

v

t +u

v

x+ v

v

y =

1

0

P

y +

2v

x2+

2v

y2

+g(TT0) (1.10)

Ecuacion de la energa

Tt

+u Tx

+v Ty

=

2Tx2

+ 2T

y2

(1.11)

Ecuacion de continuidadu

x+

v

y = 0 (1.12)

Las ecuaciones (1.9)-(1.12) constituyen un sistema de ecuaciones no lineal yacoplado que solo puede resolverse mediante tecnicas numericas y en forma itera-tiva. El acoplamiento de las ecuaciones es atraves de la aproximacion de Boussinesqen el termino de las fuerzas de cuerpo de la ecuacion (1.9).

Las ecuaciones de cantidad de movimiento (1.9) y (1.10) son una aplicacion de lasegunda ley de Newton. Cada una de ellas establece que la fuerza de inercia (debidaa la aceleracion del fluido) es igual a la fuerza neta externa que actua sobre el fluido.El primer termino es la aceleracion local, mientras que el segundo y tercer terminosconstituyen la aceleracion convectiva y son terminos no lineales (conveccion forzada).Los dos primeros terminos del lado derecho de la igualdad son las fuerzas superficiales,motriz y viscosa, repectivamente. El terminog(TT0) es la fuerza de flotacionpg/0de acuerdo a la aproximacion de Boussinesq, denota el fenomeno convectivo natural.

La ecuacion (1.11) es una consecuencia de la primera ley de la termodinamica.El lado izquierdo representa la rapidez de cambio de energia interna (transferenciaconvectiva) y el lado derecho representa la rapidez a la cual se adiciona calor por

conduccion. En esta ecuacion se desprecia la disipacion viscosa de acuerdo a laaproximacion de Boussinesq. La disipacion viscosa es importante para flujos muyviscosos moviendose a altas velocidades.

Por ultimo, la ecuacion (1.12) establece la conservacion de masa para un fluidoincompresible.

10



1.7 Condiciones de frontera

Para la solucion de las ecuaciones gobernantes es necesario especificar el problema(Fig. 1) estableciendo las condiciones de frontera y las condiciones iniciales respecti-

vas. Se considerara el caso del estado permanente, es decir, el caso en que el compor-tamiento del flujo y de la transferencia de calor no cambian con respecto al tiempo.

u

t =

v

t =

T

t = 0 (1.13)

Las condiciones de frontera para el campo de velocidades son las correspondientesa no deslizamiento del fluido en las paredes, esto es:

u(0, y) = u(H, y) = u(x, 0) =u(x, L) = 0 (1.14)

v(0, y) = v(H, y) =v(x, 0) =v(x, L) = 0 (1.15)

Las condiciones de frontera para el campo de temperaturas corresponden a dosparedes isotermicas y dos paredes adiabaticas:

T(x, 0) = T1 (1.16)

T(x, L) = T2 (1.17)T

x

x=0

=

T

x

x=H

= 0 (1.18)

las cuales representan cuatro condiciones de frontera (cuatro paredes) para cada unade las variables (u,v,T). Esto a causa de que las ecuaciones (1.9)(1.10) involucran

segundas derivadas en ambas direcciones, para cada una de estas variables.Las primeras derivadas de presion en las ecuaciones (1.9) y (1.10) requieren es-

tablecer solo dos condiciones de frontera para esta variable, una en cada direccion.Sin embargo, no es sencillo establecerlas explcitamente. Una alternativa es encontrarlos valores de p en esas fronteras a partir de las mismas ecuaciones (1.9) y (1.10).Otra forma es aplicando la divergencia a estas ecuaciones y resolver la ecuaci on dePoisson correspondiente:

1

0

2p

x2+

p

y2

=

2u2

x2 +

2uv

xy+

2v2

y2

+g

T

x (1.19)

e involucra continuidad.Esta ecuacion permite encontrar p implcitamente al requerir cuatro condiciones

de frontera para su solucion, dos en cada direccion.Las ecuaciones (1.9)(1.10), o (1.11)(1.12) y (1.19), en estado permanente, junto

con las condiciones de frontera (1.14) - (1.18), definen el comportamiento del flujo

11



y constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineal y acoplado.Para resolver un sistema de tales caractersticas es necesario el empleo de metodosnumericos que en su mayoria son de tipo iterativo. Entre los metodos numericos masusados para resolver ecuaciones diferenciales parciales se encuentran (Smith, 1985),el metodo de diferencias finitas, el metodo del elemento finito, el de volumen finito ymas recientemente el de diferencias finitas integradas.

1.8 Formulacion del problema en funcion de vari-

ables secundarias

La formulacion del problema (Fig. 1) en funcion de las variables secundarias funcionde corriente y vorticidad es de uso mas generalizado por no involucrar condi-ciones de frontera sobre la presion que pueden generar inestabilidades numericas. La

formulacion , se obtiene derivando las ecuaciones (1.9) y (1.10) con respecto ay yx, respectivamente y efectuando su diferencia, es decir, se obtiene aplicando elrotacional a esas ecuaciones. El resultado es:

t+u

x+v

y =

2

x2+

2

y2

g

T

y (1.20)

conocida como la ecuacion de transporte de vorticidad en la cual va implcita laecuacion de continuidad. La definicion de es

=v

x

u

y (1.21)

y, por definicion de

u= y

v= x

(1.22)

se obtiene:

=

2

x +

2

y2

= 2 (1.23)

que es la ecuacion de Poisson para .La formulacion , esta constituda entonces por las ecuaciones (1.11), (1.20)

y (1.23). Las condiciones de frontera correspondientes, considerando estado perma-nente, son

(0, y) = (H, y) = (x, 0) =(x, L) = 0 (1.24)

T(x, 0) =T1 (1.25)

T(x, L) =T2 (1.26)T

x

x=0

=

T

x

x=H

= 0 (1.27)

12



Las formulaciones u, v, P, T y , , T involucran condiciones de frontera paraP y, respectivamente, que no se conocen explcitamente. El tratamiento numericode estas condiciones debe ser por tanto riguroso para evitar errores apreciables en losresultados, tanto desde el punto de vista cualitativo, como cuantitativo.

Otra formulacion importante en variables secundarias se obtiene sustituyendo lasecuaciones (1.22) y (1.23) en la ecuacion (9.19) en estado permanente, esto es

y2

x

x2

y = 4g

T

y (1.28)

y

T

x

x

T

y = 2T (1.29)

y sus condiciones de frontera son:

(0, y) = (H, y) = (x, 0) =(x, L) = 0 (1.30)

T(x, 0) =T1 (1.31)

T(x, L) =T2 (1.32)T

x

x=0

=

T

x

x=H

= 0 (1.33)

La ventaja de escribir la ecuacion (1.20) en terminos de la funcion de corrientees que tanto como sus derivadas normales estan completamente definidas sobre lasfronteras. No obstante, debe resolverse una ecuacion de cuarto orden por lo que estaformulacion es poco usada.

1.9 Generalidades de las formulaciones adimension-

ales

Las formulaciones anteriores en forma adimensional permiten predecir el compor-tamiento del flujo y de la transferencia de calor en funcion de los valores de losparametrosRA, P r y Ra, es decir, en funcion de diferentes esbelteces de la cavidad,de diferentes fluidos y de diferentes grados de intensidad del fenomeno convectivonatural. Asimismo, con el conocimiento del campo de temperaturas adimensional encado caso, es posible conocer la transferencia de calor respectiva en las paredes de la

cavidad (Nu) empleando las ecuaciones (1.5) y (1.6).Las soluciones en estado permanenete pueden obtenerse considerando

u

t=

v

t=

T

t=

t=

2

t= 0 (1.34)

13



en cada una de las formulaciones correspondientes y aplicando sus respectivas condi-ciones de frontera adimensionales. Pero ademas, las soluciones en estado permanentepueden obtenerse considerando los terminos temporales y avanzando a traves del tiem-po hasta llegar al estado permanente. En este caso, es necesario especificar ademasde las condiciones de frontera adimensionales, las respectivas condiciones inicialesadimensionales, es decir, los valores de las variables adimensionales cuando t = 0.Es comun establecer como condiciones iniciales las correspondientes a un flujo sinmovimiento con transferencia de calor por conduccion (regimen de flujo conductivo).

Ambas formas de obtener la solucion permanente no presentan en la actualidadmuchos problemas al tratarse numericamente. La ventaja principal de la segundaalternativa (A/t > 0; con A = u, v, T, , o 2, es su reducido tiempode computo. Las ecuaciones de tipo elptico (A/t ) requieren por lo regular demuchas iteraciones internas que aumentan considerablemente el tiempo de computo.En las dos alternativas sin embargo, se involucran en las formulaciones completas

respectivas, las ecuaciones de Poisson para p

o

que son ecuaciones elpticas.

1.10 Otras condiciones de frontera

Una condicion de frontera mas realista en la pared donde se suministra calor es supon-er un flujo de calor constante en vez de una pared isotermica. En esta circunstanciase establece que el gradiente de temperatura en direccion normal a esa pared es con-stante.

Las perdidas de calor por conveccion natural en colectores solares planos tambienpueden determinarse con cualesquiera de las formulaciones ya explicadas, consideran-

do cavidades rectangulares bidimensionales inclinadas, con la pared inferior (placaobscura) a una temperatura mas elevada que la pared opuesta (cubierta de vidrio) ylas dos paredes restantes termicamente aisladas (Ramos et al., 1982).

Existen problemas de transferencia de calor convectiva que difieren de los anteri-ores en las condiciones de frontera dinamicas. Uno de ellos es el de la cavidad abiertaen la parte superior, es decir, una cavidad sin pared horizontal superior. En estasuperficie libre las condiciones de frontera son

(H, y) = (H, y) = 0 condicion de superficie libre (1.35)

Los problemas de transferencia de calor en tuberas o en canales requieren es-

tablecer los perfiles de velocidad a la entrada y salida de los ductos que muchas vecesse establecen como perfiles de flujo completamente desarrollado, ya sea en r egimenlaminar o turbulento.

La competencia entre la conveccion natural y forzada en estructuras parecidas achimeneas, con ventanas de captacion del viento en la parte superior para ventilacion

14



de viviendas, es un problema que requiere tambien establecer condiciones de fronteradinamicas. El problema puede modelarse como el flujo entre dos placas planas ver-ticales (una de mayor longitud) bajo distintos parametros de intensidad de viento yradiacion solar (Moya et al., 1982, Moya et al., 1983). Los perfiles de velocidad a laentrada (parte superior) y a la salida (parte inferior) son las condiciones de fronteradinamicas necesarias y estos perfiles pueden no ser unidireccionales segun sea la di-reccion e intensidad del viento y pueden presentar reversibilidad del flujo segun seael calentamiento solar en la pared.

Otros problemas de conveccion natural pueden tratarse de manera similar em-pleando la formulacion mas conveniente y aplicando las condiciones de frontera ade-cuadas.

1.11 Conveccion en un medio porosoLa conveccion natural en un medio poroso es un problema particularmente simplede tratar numericamente porque las condiciones de frontera dinamicas son las massencillas posibles. Por otra parte, no existe difusion de vorticidad (? 2 ? = 0) y lano linealidad del sistema de ecuaciones gobernantes se presenta solo en los terminosde conveccion de calor de la ecuacion de conservacion de la energa, ecuacion (9.11).Los terminos no lineales de las ecuaciones de cantidad de movimiento (9.9) y (9.10)son despreciables, ya que se considera que el fluido que satura el medio poroso semueve lentamente. Problemas practicos de la conveccion en un medio poroso son elaislamiento de tanques almacenadores de energa termica solar y el aislamiento de

construcciones.La formulacion matematica del problema fsico puede establecerse suponiendo

que el fluido y el material poroso se encuentran en equilibrio termico local y que laley de Darcy (Bear, 1972; Aziz y Kashef, 1987) describe adecuadamente el movimientodel fluido. Segun Burns (1977), la ley de Darcy es valida para flujos con numeros deReynolds (basados sobre el diametro del poro) menores que 1. Por otra parte, aunqueen un medio poroso pueden existir fuertes gradientes de temperatura, se considera quela aproximacion de Boussinesq es valida. Las ecuaciones de movimiento en direccionesx y y, la de conservacion de la energa y la de continuidad, para un medio porososujeto a la aproximacion de Boussinesq, son, respectivamente:

u = Kx

p

x0g(T T0)

(1.36)

v = Ky

p

y (1.37)

15



uT

x+v

T

y =

2T

x2 +

2T

y2

u

x

+ v

y

= 0

DondeKxyKyson las permeabilidades en las direccionesxyyrespectivamente. Parael caso isotropico Kx = Ky = K. es la viscosidad dinamica y k la conductividadtermica efectiva del medio roca-fluido. Aplicando la divergencia a las ecuaciones demovimiento (9.27) Y (9.28) se obtiente la ecuacion de Poisson para p aplicable a unmedio poroso. El resultado es

2p= gT

x (1.38)

Las condiciones de frontera dinamicas son:

u(0, y) = u(H, y) = 0 (1.39)v(x, 0) =v(x, L) = 0 (1.40)

(1.41)

Las ecuaciones (1.11) y (1.38) junto con las condiciones de frontera (1.39)(1.40)y (9.15) - (9.17) constituyen la formulacion u,v,P,T. La formulacion ? se obtieneaplicando el rotacional a las ecuaciones de movimiento (9.27) y (9.28), esto resulta

2=K

g

T

y (1.42)

Las ecuaciones (9.32), (9.11) y (9.21) definen los campos de , T, u y v en elmedio poroso, cuando se resuelven con sus correpondientes condiciones de frontera.

Condiciones de frontera:

(0, y) = (H, y) =(x, 0) =(x, y) = 0 (1.43)

T(x, 0) = T1 (1.44)

T(x, L) = T2 (1.45)T

x

x=0

=

T

x

x=H

= 0 (1.46)

Para un medio poroso el parametro de conveccion natural se define:

Ra= K g(T2 T1)L/ (1.47)

siendoKla permeabilidad absoluta del medio poroso.

16



Si la cavidad o el medio poroso son calentados a flujo de calor constante q(prob-lema mixto), el numero de Rayleigh puede definirse en base a una temperatura mediade la pared caliente denotada como Tm.

Ra= g(TmT2)L3/ Problema mixto de la cavidad (1.48)Ra= Kg(Tm T2)L/ Problema mixto del medio poroso (1.49)

y en base al valor del flujo de calor constante q:

Ra =gqL4/2 Problema mixto de la cavidad (1.50)

Ra= K g(TmT2)L2/ Problema mixto del medio poroso (1.51)

En su estudio de un medio poroso, Prasad y Kulacki (1982) usaron la siguiente ex-presion para el numero de Nusselt medio:

Nu= 1

TL (1.52)

donde

Tm= 10

T(x, 0)dx (1.53)

Este valor del numero de Nusselt es importante para propositos de diseno debidoa que proporciona de una manera directa la temperatura media, Tm , para cualquierflujo de calor aplicado. Prasad y Kulacki definieron la temperatura adimesional de lamanera siguiente:

T =TT1

qL/k (1.54)

dondeq=

kL

(TmT1) (1.55)

Los problemas que se han descrito son algunos ejemplos de los muchos problemasque se pueden estudiar en el campo de la conveccion natural en cavidades y en mediosporosos. Cada problema puede formularse de la manera mas conveniente a partir dela ecuaciones de cantidad de movimiento, energa y continuidad y de las condicionesde frontera adecuadas. Las tres formulaciones explicadas: variables primarias u,v,P,T; variables secundarias ,,T; y la formulacion ,T; son las formas mas generalesdel tratamiento matematico de los problemas fsicos. Tales formulaciones en formaadimensional (u, v, P, T; , , T; , T) permiten obtener resultados en funcion de

los parametros adimensionales P r, Ra y RA y (e.g. Moya et al., 1987) y poder asreproducir los resultados a diversas escalas (laboratorio, prototipo, planta, etc.). Loscampos de T obtenidos para cada caso permiten conocer las perdidas o gananciasde calor en las paredes (Nu) y poder as eficientar el proceso de la transferencia decalor.

17



1.12 Formulacion adimensional

En esta seccion las formulaciones se expresaran en forma adimensional y se describiraun metodo numerico simple para su solucion. Se eligio la formulacion , , T para

todos los problemas por considerar que es mas conveniente trabajar las condicionesde frontera en funcion de estas variables que en funcion de las variables primitivasu, v, p y T. En otras palabras, es mas conveniente trabajar la vorticidad en lasfronteras que trabajar la presion. Ademas, usando variables primitivas se puedentener inestabilidades convectivas al tratar de satisfacer la ecuacion de continuidad.Finalmente, el procedimiento iterativo basado en las ecuaciones de variables primitivases menos satisfactorio en su comportamiento de convergencia.

El sistema de ecuaciones (9.11), (9.19) y (9.22), las condiciones de frontera (9.15)-(9.17) y (9.23) y las ecuaciones auxiliares (9.21) y (9.23) pueden expresarse en formaadimensional considerandoHyL;kH/L2 yk/L; ykH/Ly kH/L3, como factores de

escala para las longitudes en las direcciones x y y ; para las componentes de velocidadu y v; y para la funcion de corriente y vorticidad ; respectivamente. Para latemperatura se considera T = (TT2)/(T1 T2). Las formas adimensionales:

uT

x+v

T

y =

L

H

2 2Tx2

+2T

y 2 (1.56)

u

x+v

y = P r

L

H

2 2x2

+2

y 2Ra P r

L

H

T

y (1.57)

=

L

H

2 2x2

+2

x2 =

L

H

2 v x

u

y (1.58)

v

=

x (1.59)

u =

y (1.60)

que para la cavidad cuadrada se reducen a

uT

x+v

T

y =

2T

x2 +

2T

y 2 (1.61)

u

x+v

y = P r

2

x2+

2

y 2 Ra P r

T

y (1.62)

=

2

x2 +

2

x2 =

v

x

u

y (1.63)

donde

Ra = g(T1T2)L

3

k (1.64)

18



P r = v

k (1.65)

las condiciones de frontera correspondientes (I.13) - (I.15) y (I.21) en forma adimen-

sional son

T(x, 0) = 1; para el problema mixto:((T)/(y ))y=0= q (1.66)

T(x, 1) = 0 (1.67)

(0, y) = (1, y) = (x, 0) = (x, 0) = 0 (1.68)

La formulacion anterior gobierna completamente el comportamiento del flujo.Como se observa, el sistema de ecuaciones (I.9), (I.17), y (I.20) es un sistemade ecuaciones parciales, no lineal y acoplado que debe resolverse numericamente;tpicamente se suponen distribuciones de T,, ,u yv , y se hace la consideracionlinealizante de que esas ecuaciones pueden trabajarse como ecuaciones que son solo

funcion de T,, y , respectivamente.Para ilustrar el metodo de solucioon de cada ecuacion se considerara la aproxi-

macion en diferencias finitas de la ecuacion de vorticidad.La variable en cada punto de la malla se denota por (I, J). Se usa una malla

con espaciamientos x y y en las direcciones IyJ, respectivamente. En todas lasderivadas se usan diferencias centrales. La notacion es

x =

1

2x((I+ 1, J) (I1, j)) (1.69)

2x =

1

x2((I+ 1, J)2(I, j) +(I1, J)) (1.70)

La aproximacion de diferencias finitas para (I.17) puede entonces escribirse como

ux +vy

=P rx +y

RaPryT (1.71)

y en forma extensa

u(I, J)

2x(I+ 1, J) (I1, J) + (1.72)

v(I, J)

2y(I, J+ 1) (I, J1) = (1.73)

P rx2

(I+ 1, J)2(I, J) +(I1, J) + (1.74)

1/(2y2)(I, J+ 1)2xi(I, J) +xi(I, J1) (1.75)RaPr

2yT(I, J+ 1)T(I, J1) (1.76)

19



Para visualizar mejor el procedimiento de solucion podemos agrupar la ecuacion an-terior de la siguiente manera:

(

u(I, J)

2x

P r

x2 )

(I1, J) + (

2P r

x2 +

2P r

y2 )

(I, J) + (1.77)

(u(I, J)

x

P r

x2)(I1, J) = (1.78)

(v(I, J)

2y+

P r

y2)(I, J1) + (

v(I, J)

y+

P r

y2)(I, J1) + (1.79)

(v(I, J)

y+

P r

y2)(I, J+ 1) +

RaPr

2y(T(I, J+ 1) T(I, J1))(1.80)

Equivalentemente

{aI}(I1, J) +{bI}(I, J) +{cI}(I+ 1, J) = {dI} (1.81)

donde aI , bI y cI son los coeficientes para cada I, y dI engloba el lado derecho dela igualdad para esa I. Debido a la consideracion linealizante todos los coeficientesy las temperaturs son valores conocidos. Los valores de vorticidad que se encuentranen el lado izquierdo de la igualdad se toman como incognitas mientras que los seencuentran en el lado derecho se toman como conocidos (ecuacion implcita).

Se observa que los valores de velocidad desconocidos provienen de las derivadascon respecto ax y, por el contrario, los que se consideran conocidos provienen de lasderivadas conrespecto a y, excepto el valor del termino central de la discretizacionde la segunda derivada en y que se considera tambien como incognita. El considerar

este termino como incognita, permite la convergencia del metodo paraL/Hdiferentesa la unidad.

Puesto que los valores de vorticidad incognitas son para una J fija la solucionpuede encontrarse avanzando en la direccion deI(direccionx ) a partir de dos valoresconocidos en las fronteras (Fig. 18).

Si ahora se supone que los valores de vorticidad incognitas son para un Ifija lasolucion puede encontrarse en la direccion contraria, tambien a partir de dos valoresconocidos en las fronteras (Fig. 18).

El procedimiento se repite hasta que los dos campos de(I, J) obtenidos en cadadireccion sean los mismos. Se trata entonces de un metodo de solucion numerica

iteractivo de direcciones alternadas y ademas implcito puesto que se incluyen doscondiciones de frontera para calcular cada hilera o columna de valores de, en este caso,vorticidad. Las condiciones de frontera se expresan en funcion de los componentes dela velocidad usando diferencias de dos puntos hacia adelante, o de tres puntos haciaadelante.

20



En x = 0

(1, J) = 1

2x(4v(2, J)v(3, J)) o =

1

xv(2, J) (1.82)

Similarmente para x

= 1, en y = 0

(I, 1) = 1

2y(4u(I, 2)u(I, 3)) o =

1

yu(I, 2) (1.83)

Similarmente para y = 1.Con estos valores frontera se efectuan iteraciones hasta que los campos de vortici-

dad en el interior de la cavidad satisfagan algun criterio de convergencia. Los valoresfrontera de vorticidad deben satisfacer el criterio de convergencia global.

La ecuacion (I.17) puede escribirse como

aI(I1, J) +bI

(I, J) +cI(I+ 1, J) =dI (1.84)

asimismo las ecuaciones (I.9) y (I.20) en forma de diferencias finitas pueden simpli-ficarse a formas equivalentes.

Si el numero de * distingue los coeficientes de cada euacion discreta, el istemade ecuaciones (I.17), (I.9) y (I.20) puede expresarse como

a I(I1, J) +bI

(I, J) +CI(I+ 1, J) = dI (1.85)

a IT(I1, J) +b IT

(I, J) +C IT(I+ 1, J) =d I (1.86)

a I(I1, J) +b I

(I, J) +C I(I+ 1, J) =d I(1.87)

Los valores frontera para T y son valores fijos. Las condiciones de frontera para

el flujo de calor (tambin fijas se expresaron a partir de expansiones en series deTaylor que se incluyen en los terminos de difucion de calor, 2T/x2 y/o2T/y 2

segun el problema. Entonces los valores de (T/x) en las fronteras se incluyenimplcitamente en dI . SiI Qes el numero de puntos de la malla en la direccion I,los sistemas de ecuaciones de (I.17), (I.9) o (I.20) para I = 2, IQ1, cada unoen forma de matriz, puede escribirse como

b2 c2 0 0 . . . 0a3 b3 c3 0 . . . 00 a4 b4 c4 . . . 0...

0 0 0 . . . bIQ2 cIQ20 0 0 . . . aIQ1 bIQ1

=

x2x3...

xIQ2xIQ1

d2d3...

dIQ2dIQ1

(1.88)

dondexpuede ser cualquier de las variables ,T, o. Cada sistema de ecuaciones esun sistema lineal con el mismo numero de ecuaciones e incognitas. La matriz asociada

21



al sistema pertenece a la clase de matrices llamadas tridiagonales o bandeadas. Estasmatrices pueden invertirse facilmente por medio de un algoritmo simple que puede seruna adaptacion especial del procedimiento de eliminacion Gaussiana. (Smith (1971)).

El procedimiento de solucion global implermentado es como sigue: la iteracionglobal se inicia calculando T empleando (I.9). A esto sigue el calculo de la vortici-dad en las fronteras para luego obtener la vorticidad en el interior mediante (I.17).Despues se calcula el campo ? con (I.20), y finalmente se obtienen los campos develocidades con las ecuaciones (I.19). Para iniciar el procedimiento se dan distribu-ciones arbitrarias, en este caso campos cero, de T, ? y ? y las correspondientescondiciones de frontera. Asimismo se dan los valores de los parametros de flujo P yR , y la razon de aspecto de cavidad h. El algoritmo de solucion global se muestrade manera esquematica en la Figura 19.a.

El esquema de solucion descrito para cada ecuacion recibe el nombre de metodoimplcito de direccion alternada (ADI). La naturaleza del esquema, debido a Peace-

man y Rachford (discutido por Widlund (1967)), es la responsable de la estabilidaddel metodo numerico. Existen muchas sofisticaciones del ADI, todas ellas encam-inadas a aumentar la eficiencia en terminos del numero de operaciones requeridaspara cada etapa (cada ecuacion) y por consiguiente disminuir el tiempo de computo.Sin embargo, la calidad de los resultados con cualquiera de los metodos ADI es mas omenos la misma. El tratamiento numerico de las condiciones de frontera y el algorit-mo de solucion global son lo que pueden producir algunas discrepancias en los valoresobtenidos, por ejemplo las diferencias entre los resultados de Wilkes y Churchill (1966)y de Mac Gregor y Emery (1969).

La forma usada de diferencia central de tres puntos para los terminos de convec-cion, hace que el error de truncamiento sea del orden 0(x)2 +0(y)2. Cuando x

y y son pequenos, estos errores de truncamiento pueden despreciarse.Con esto en consideracion y la naturaleza implcita del metodo se evitaq el falso

transporte de difusion y conveccion, Torrance (1968), por lo que los resultados puedeninterpretarse con realidad (comportamineto cualitativo). Sin embargo, la forma disc-reta de los terminos de conveccion del presente metodo impiden conservacion: ciertasdiferencias entre la rapidez de adicion de calor y la rapidez del calor removido; y ex-isten sobre todo para problemas con condiciones de frontera para flujo de calor. Parael caso de condiciones de frontera isotermicas, la simetra del calentamiento tiende aenmascarar la no-conservacion.

Por otra parte, la solucion iterativa de la ecuacion de Poisson (I.20) se resuelve

usualmente con un metodo de sobre-relajacion sucesiva (SOR), ejemplo, Wilkes yChurchill (1966), o con el metodo de extrapolacion de Liebmann como hiciera El-der (1966), o con el recientemente establecido metodo de reduccion cclica, como lohicieran Kublbeck, Merker y Straub (1980). A decir de los autores estos metodos sonmuy rpidos y eficientes.

22



1.13 Formulacion del problema mixto del medioporoso

(Figura 8)Las ecuaciones (I.9) y (I.31) y las condiciones de frontera (I.14), (I.15) y (I.21),constituyen la formulacion dimensional del problema. La correspondiente formulacionadimensional se obtiene introduciendo los mismos factores de escala de los problemasanteriores. El resultado es

2

x2 +

2

y 2 =Ra

T

y (1.89)

uT

x+v

T

y =

2T

x2 +

2T

y 2 (1.90)

v =

x, u =

y (1.91)

Condiciones de frontera

(0, y) = (1, y) = (x, 0) = (x, 1) = 0 (1.92)

T(x, 1) = 0 (1.93)T

y

y=0

= q (1.94)

T

x

x=0

=

T

x

x=1

= 0 (1.95)

Las ecuaciones anteriores gobiernan el comportamiento del flujo en un medioporoso en funcion de Ra. El sistema de ecuaciones tambien es no lineal y acoplado,pero en este caso la no linealidad se encuentra solo en los terminos de conveccion forza-da del calor. La solucion al sistema se obtiene entonces empleado metodos numericos.Se empleo el mismo metodo implcito de direccion alternada usado en los problemasanteriores. El algoritmo de solucion global se muestra en la Figura 19.b. Este proble-ma es mucho mas sencillo de tratar numericamente que los dos problemas formuladosen la subseccion III.1. Lo anterior se debe a que las condiciones de frontera son delas mas simples posibles ya que noexiste difusion de vorticidad, ademas de que lano-linealidad se presenta solamente en la ecuacion de energia. Elder (1966) antes de

obtener su solucion numerica para el problema de condiciones isotermicas (Figura 4)probo su algoritmo numerico en el problema de un medio poroso. Esto le permitiodemostrar la validez de su metodo y aplicarlo posteriormente para construir un pro-gram versatil para resolver grupos de ecuaciones diferenciales parciales no lineales yelipticos.

23



24



Captulo 2

Transporte de masa y energa enyacimientos geotermicos

2.1 Introduccion

La modelacin del transporte de masa y energa en los yacimientos geotermicos esuna herramienta muy poderosa en el area de ingeniera de yacimientos. Permite es-tablecer y/o reforzar modelos conceptuales de diversos tipos de yacimientos y decidirestrategias de exploracion y explotacion de los mismos. La ingeniera de yacimientoses considerada como un enlace entre los trabajos de exploracion geologica y la uti-lizacion de los fluidos producidos; incluye desde mediciones durante la perforacion depozos, hasta el calculo del potencial del campo y la prediccion de su comportamiento

bajo diferentes estrategias de explotacion. Al inicio de la explotacion de un campogeotermico, la informacion es escasa y el comportamiento se trata de predecir enbase a modelos simplificados. Conforme se va incrementando el numero de pozos, lainformacion es mayor y las predicciones mas precisas al considerar modelos mas com-pletos. No obstante, la modelacion de un campo geotermico es complicada. Esto acausa de las continuas transiciones de fase lquido-vapor, de la presencia de sales y degases no condensables en el agua geotermica y a que el medio rocoso es esencialmentefracturado, entre otros aspectos.

Dada la complejidad de la modelacion de un campo geotermico, los simuladoresnumericos geotermicos se han dividido practicamente en dos clases. Una comprende

la simulacion del transporte de masa y energa en el medio roca-fluido de los yacimien-tos geotermicos (in-situ) resolviendo las ecuaciones gobernantes para el transporte defluidos en un medio poroso (Bear, 1972). El efecto de pozo en estos simuladores deyacimiento es unicamente a traves de un termino fuente/sumidero en las ecuacionesgobernantes. La otra clase de simuladores geotermicos comprende la simulacion del

25



transporte de masa y energa en el pozo mismo (e.g. Gunn y Freeston, 1991) con-siderando el efecto del yacimiento (medio roca-fluido) a traves de un ndice de pro-ductividad dependiente de las propiedades del yacimiento. Sustanciales avances sehan obtenido en las dos clases de simuladores geotermicos aun cuando todava quedamucho por hacer, principalmente en lo que respecta al tratamiento de las fracturas enlos yacimientos, y en lo que respecta a los mapas y correlaciones empleados para lamodelacion del flujo geotermico en los pozos (Hadgu, 1989). Estos mapas de patronesde flujo y las correlaciones para obtener la cada de presion en los pozos geotermicosson, por lo general, rigurosamente validos para sistemas agua-aire, a falta de sufi-ciente informacion experimental para sistemas geotermicos. En la actualidad, se estadedicando gran esfuerzo en acoplar los mejores simuladores geotermicos de ambasclases (e.g. Hadgu et al., 1993; Murray y Gunn, 1993), de yacimiento y de pozo, paraobtener simuladores acoplados yacimiento-pozo que representen mejor el transportede masa y energa en el medio roca-fluido-pozo de los campos geotermicos.

Mucho del conocimiento adquirido hasta el presente acerca del comportamientogeneral de los campos geotermicos ha sido en base a modelos numericos de mediosporosos homogeneos. En este contexto, algunos de los trabajos numericos mas impor-tantes publicados en la literatura especializada son los de Narasimhan y Witherspoon,1976; Grant, 1977; Faust y Mercer, 1979; Zyvoloski y OSullivan, 1980; Atkinson etal., 1980; Bodvarsson, 1984; OSullivan et al., 1985; McKibbin y Pruess, 1988 y1989; entre otros. Dichos trabajos, en su mayora, se abocan al estudio de camposgeotermicos reales como los de Wairakei, Ohaaki y Broadlands en Nueva Zelanda,y Bagnore y Larderello en Italia. Comprenden problemas complejos de flujos mul-tifasicos, geometras regulares e irregulares y campos con muchos anos de produccion.

Sin embargo, la roca geotermica constituye un medio poroso con presencia defisuras y fracturas. El grado de fracturamiento vara de un campo geotermico a otroy en diferentes regiones de un mismo campo. La permeabilidad de las fracturas esusualmente mucho mayor que la permeabilidad inducida por el espacio poroso. Deesta manera, la produccion de vapor geotermico es controlada inicialmente por elcontenido de fluido en las fracturas. Posteriormente, como en los poros reside lamayor parte del calor y fluido de los yacimientos, es el medio poroso el que finalmentecontrola la produccion de vapor. Para que esta produccion persista, se requiere queel medio poroso provea de fluido a las fracturas a una velocidad suficiente.

La presencia de fracturas complica la modelacion matematica de los yacimientosgeotermicos. Las diferentes densidades de las fases lquida y vapor, en combinacion

con la gravedad, causan segregacion de fases en la fractura y una dependencia di-reccional del flujo en el medio poroso. Algunos modelos idealizados han permitidoavanzar en el conocimiento de yacimientos esencialmente fracturados. Estan basa-dos en el modelo de doble porosidad desarrollado por Barenblatt et al. (1960) ypor Warren y Root (1963). En esta aproximacion, un medio poroso fracturado es

26



particionado en dos medios continuos con flujos cuasi-estacionarios, uno constitudode pequenos poros en la matriz rocosa (porosidad primaria) y el otro constitudo deuna red de fracturas y fisuras interconectadas (porosidad secundaria). El flujo encada uno de estos medios continuos se supone gobernado por la ley de Darcy (Bear,1972). Se supone ademas que el flujo global ocurre principalmente a traves de lared de fracturas con interaccion local entre fractura y matriz porosa. Warren y Rootaplicaron este metodo para casos de flujos de fase simple e isotermicos en yacimientospetroleros.

A diferencia de los yacimientos petroleros, en los yacimientos geotermicos latransferencia de energa en forma de calor es intrnseca y no puede suponerse como unsistema isotermico. El flujo de calor y masa es bifasico, acoplado y el perodo de flujotransitorio entre fractura y matriz porosa puede ser muy largo. Pruess y Narasimhan(1982a,b) adaptaron el metodo de doble porosidad de Warren y Root a condicionesgeotermicas dando lugar al metodo MINC (Multiple INteracting Continuum). El

metodo supone que el flujo global en el yacimiento geotermico ocurre principalmentea traves del medio continuo de fracturas interconectadas y que las variaciones en lascondiciones termodinamicas son menos pronunciadas en la direccion de una fracturaque perpendicular a ella. Una descripcion detallada se encuentra en Pruess (1983).No obstante que el metodo MINC ha sido aplicado exitosamente (Lippman et al.,1985; Bodvarsson y Gaulke, 1987; Pruess et al., 1990; Suarez, 1995; entre otros)a problemas de flujo simultaneo de calor y fluido, para fluidos multicomponentes ymultifasicos, etc., existe poca informacion cuantitativa disponible respecto a su rangode validez y la aproximacion que puede obtenerse para diferentes tipos de sistemasde flujo.

La principal dificultad en la modelacion de procesos termicos en medios frac-turados, es que pueden ocurrir fuertes variaciones en las condiciones termodinamicasentre fractura y matriz porosa a distancias relativamente cortas. Las perturbacionestermicas o hidrologicas a las que esta sometido un yacimiento geotermico tenderana propagarse rapidamente a traves de las fracturas pero lentamente en la matrizporosa. Si la velocidad de cambio en las condiciones termodinamicas causada por lasperturbaciones externas es suficientemente lenta y el equilibrio entre fractura y matrizsuficientemente rapido, solo entonces, la fractura y la matriz porosa permaneceranen condiciones de equilibrio termodinamico local. En esta circunstancia y cuando elespaciamiento entre fracturas es pequeno en comparacion al tamano del yacimiento,la roca fracturada puede tratarse como un medio continuo efectivoo medio poroso

equivalentecon parametros fsicos en terminos de las propiedades de la matriz porosay de la red de fracturas interconectadas (Rybach y Muffler, 1981; Pruess et al., 1990).La viabilidad de la aproximacion de un medio continuo efectivo (Pruess et al., 1988)dependera de la naturaleza de la perturbacion externa, de las propiedades del medioporoso fracturado, y de las escalas de observacion de espacio y tiempo. Es una

27



aproximacion que requiere evaluarse cuidadosamente para un caso particular de cir-cunstancias y condiciones.

2.2 Ecuaciones gobernantes

Las ecuaciones generales que gobiernan el transporte de masa, cantidad de movimientoy energa de una mezcla roca-lquido-vapor-gas son complejas. No obtante algunashipotesis son validas para la mayora de los yacimientos geotermicos dado que elfluido geotermico se mueve a bajas velocidades, es decir, con numero de Reynoldsbasado en el diametro del poro del orden de 1 o menor. Bajo este contexto el flujo sesupone dependiente solo de las fuerzas de presion y de las fuerzas de cuerpo, regidopor la ley de Darcy (Bear, 1972). La conveccion natural o flotacion, implcita en las

fuerzas de cuerpo (fuerzas de gravedad, en este caso), es importante principalmente ensistemas hidrotermales de alta permeabilidad y porosidad (Rybach y Muffler, 1981;Brownell et al., 1977). Estos sistemas pueden ser de vapor dominante (ejemplosLos Geysers, California; Larderello, Italia) o el mas comun de lquido dominante(ejemplos, Wairakei y Broadlands en Nueva Zelanda y Valle Imperial en California).La conveccion natural tambien es importante en sistemas circulatorios con tiempos deresidencia del agua geotermica del orden de 100 a 1000 anos (Rybach y Muffler, 1981).La presencia de este mecanismo convectivo acopla las ecuaciones de la cantidad demovimiento con la de conservacion de la energa a traves de la funcionalidad de ladensidad con la presion y temperatura. Para simplificar este acoplamiento, es usualaplicar la aproximacion de Boussinesq la cual establece que la densidad es constante

en todas las ecuaciones gobernantes excepto en el termino de las fuerzas de cuerpo.Esta aproximacion es generalmente utilizada en problemas de conveccion natural deflujos monofasicos (Moya et al., 1987). Sin embargo, no es adecuada para flujosgeotermicos, a causa de las constantes transiciones de fase.

La transferencia de energa se lleva a cabo principalmente mediante el movimientodel fluido (conveccion forzada) y mediante conduccion a traves del medio roca-fluido.El mecanismo convectivo predomina y es el causante de la no linealidad de la ecuaci onde conservacion de la energa. No obstante, existen algunos sistemas geotermicos conregimen conductivo predominante como los acuferos de baja temperatura y de bajaentalpa (incluyendo yacimientos geopresurizados) y los sistemas denominados de roca

seca caliente.Considerando los mecanismos fsicos mencionados, las ecuaciones gobernantes

que se describen a continuacion son las generalmente empleadas en la modelacionde yacimientos geotermicos. Se establecen para un medio roca-fluido en equilibriotermodinamico local, constitudo por roca porosa homogenea y por un flujo bifasico

28



de agua con sales y gases no condensables.

D

Dt

Vn

M(k) dV =n

F(k) n d+Vn

q(k) dV (2.1)

La integracion es sobre un subdominio Vn (volumen de control) limitado por unasuperficie cerrada n. La ecuacion establece que la acumulacion de masa (o energa)M en el volumen de control, es la suma de los flujos de masa (o energa) a traves dela superficie cerrada y de las fuentes/sumideros de masa (o energa) q presentes en elvolumen de control. Mdenota masa para k = 1, . . . , N K componentes (H2O, CO2,NaCl, etc.), o energa por unidad de volumen para k=NK+1. La masa total M decada componente se obtiene sumando las contribuciones de las fases lquida y vapor:

M(k) =2

=1SOX

(k) (2.2)

con = 1 para la fase lquida y = 2 para la fase gaseosa (vapor y gas). es la

porosidad del medio rocoso,Sla saturacion (fraccion volumetrica) de la fase ,X(k)

la densidad de la fase yX(k) la fraccion masica de la componente k presente en la

fase .Similarmente, el termino de acumulacion de energa en forma de calor en un

sistema multifasico es:

M(NK+1) =2

=1

SOu+ (1 )RCRTR (2.3)

donde u denota la energa interna especfica de la fase yR yCR la densidad y elcalor especfico del material rocoso, respectivamente.

El flujo masico total es tambien una suma de las contribuciones de cada fase. Deesta manera:

F(k) =2

=1

X(k)

F (2.4)

con los flujos para cada fase regidos por la ley de Darcy:

F=KKr

(Pg) (2.5)

siendoK la permeabilidad absoluta dependiente principalmente de la porosidad, Kr(la permeabilidad relativa de cada fase (dependiente de la saturacion de las fases yde la temperatura T, la viscosidad dinamica (( en general depende de la presion ytemperatura. El vectorg denota la aceleracion gravitacional y P la presion de la

29



fase. La ley de Darcy (Bear, 1972) en su forma original fue obtenida empricamentepara el flujo isotermico de agua a traves de arena (Darcy, 1856), tiene una formasimilar a la ley de Fourier para la conduccion del calor o a la ley de Fick para ladifusion de masa. Ha sido extendida a materiales no isotropicos introduciendo untensor de permeabilidades. Asimismo se ha modificado para incluir efectos inerciales,turbulentos y efectos viscosos de gran escala.

La diferencia entre las presiones Pde las fases lquida y vapor es equivalente a lapresion capilar (Pl Pv =Pc). En un proceso en ebullicion, la presion capilar tiene elefecto de disminuir la presion de vapor (Torrance, 1983) y es importante en materialescon poros muy pequenos. Suponer equilibrio mecanico (Pl = Pv) es suponer que lapresion capilar es despreciable. Para sistemas bifasicos de alta temperatura la presioncapilar es menor de 1 bar y es, por tanto, insignificante en comparacion con los cambiosde presion inducidos por la produccion o inyeccion.

El flujo de energa en forma de calor contiene componentes conductiva y convec-

tiva:F(Nk+1) =KT+

hF (2.6)

donde Kes la conductividad termica equivalente del medio roca-fluido, yh=u+P/es la entalpa especfica de la fase .

La densidad (R), porosidad (), permeabilidad (K), calor especfico (CR) y laconductividad termica (k), son propiedades termofsicas de la roca que deben estipu-larse para poder resolver el sistema de ecuaciones planteado. Cuanto mas sofisticadoes un modelo matematico, mayor es la necesidad de una caracterizacion espacial ytemporal de la roca geotermica. Existen diferentes metodologas experimentales parala determinacion de las propiedades termofsicas de un medio rocoso. En particular, el

Departamento de Geotermia del Instituto de Investigaciones Electricas cuenta con unsimulador fsico de yacimientos geotermicos (Contreras y Garfias, 1988) que permiteobtener las propiedades bajo condiciones de temperatura, presion, esfuerzo y satu-racion prevalecientes en los yacimientos. Algunas correlaciones para la determinacionde estas propiedades y de las propiedades de transporte como viscosidad (), perme-abilidad relativa (Kr) y conductividad termica efectiva (K) pueden encontrarse enMoya et al., (1995), como funcion de P y T. Un modelo de solubilidad del CO2 enagua para condiciones geotermicas puede encontrarse en Moya e Iglesias (1992).

2.3 Metodos numericos para la solucion de las ecua-ciones gobernantes

Las ecuaciones gobernantes del transporte de masa y energa en el sistema roca-fluidode los yacimientos geotermicos, constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales

30



parciales, no lineal y acoplado, que puede resolverse unicamente mediante metodosnumericos. En los ultimos anos se ha introducido en la literatura geotermica y dehidrologa subterranea, un poderoso metodo numerico denominado de DiferenciasFinitas Integrales, DFI (Edwards, 1972; Narasimhan y Witherspoon, 1976), que aunala potencia del elemento finito (Levesley R.K., 1988; Mercer et al., 1975) a la sencillezde las diferencias finitas (Ames, 1977; Peaceman, 1977; Moya et al., 1995a). En elmetodo DFI, las ecuaciones gobernantes se escriben en forma integral para un elemen-to de volumen arbitrario dentro del dominio espacial continuo en el cual tiene lugarel proceso fsico a modelar. Las integrales se simplifican, introduciendo promediosvolumetricos apropiados para las integrales de volumen, y suma de promedios de areapara la integral de superficie delimitando el volumen de control. Con este proced-imiento se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas que involucra unos cuantosparametros geometricos: volumenes de los elementos, areas interfaciales y distanciasinternodales entre elementos adyacentes. El metodo permite una descripcion ge-

ometrica muy flexible debido a que no distingue entre una, dos o tres dimensiones, degeometras regulares e irregulares. En combinacion con el metodo Newton-Raphsonpara manejar las no linealidades de las ecuaciones y de un algoritmo numerico efi-ciente para invertir las matrices dispersas generadas, el metodo DFI ha sido la basede los simuladores geotermicos desarrollados en el Laboratorio de Lawrence Berke-ley, California (Pruess, 1988). Entre estos se encuentran los simuladores SHAFT79(Pruess y Schroeder, 1980) en el que se considera agua pura bifasica como el fluidogeotermico y TOUGH2 (Pruess, 1991) en el que se consideran diferentes sistemasbinarios y ternarios.

El metodo de Diferencias Finitas Integrales (DFI) fue introducido en 1953 (Narasimhay Witherspoon, 1976) por MacNeal (1953) para resolver problemas de valores a la

frontera. Tyson-Weber (1964) y Cooley (1971) lo emplearon en problemas de flujosubterraneo; Dusinberre (1961) y Edwards (1972) en algunos problemas de transfer-encia de calor. En 1976, Narasimhan y Witherspoon describieron por primera vez elmetodo como una herramienta muy poderosa para estudiar el movimiento de fluidosen medios porosos. Pruess (1988) lo emplea en el analisis del transporte de masay energa en yacimientos geotermicos y desde entonces se ha demostrado su capaci-dad para modelar flujo multifasico y efectos por cambios de fase. Una descripciondetallada del metodo DFI puede encontrarse en Suarez y de la Torre, 1991).

2.4 Aplicacion del metodo de Diferencias FinitasIntegrales (DFI) a sistemas geotermicos

El metodo numerico DFI puede aplicarse, entre otros problemas, al flujo simultaneo defluido y calor en yacimientos geotermicos. Aplicando DFI a la ecuacion gobernante

31



(1), la discretizacion espacial se hace por introduccion de promedios volumetricosapropiados. La forma discreta resultante es:

Vn

M dV =VnMn (2.7)

donde M denota masa o energa y Mn es el valor promedio de M sobre Vn. Laintegral de superficie se expresa como una suma discreta de valores medios de losflujos normales atravesando el segmento de superficie Anm:

n

F n dr=n

AnmFnm (2.8)

el flujo masico (ley de Darcy) se expresa en terminos de los valores medios de losparametros en los elementos Vn yVm, esta es:

F,nm= KnmkrO

P,n P,m

Dn,m,nmgn,m

(2.9)

donde los subndices (nm) denotan valores en la intercara de los elementos Vn yVm, basados en los valores promedio de los parametros en cada uno de los elemen-tos. Lo anterior requiere (Pruess y Narasimhan, 1985) distintos procedimientos paraparametros diferentes (promedios factibles), como por ejemplo, interpolacion espa-cial, factor de peso, entre otros. Dnm es la distancia entre los puntos nodales n y mubicados en el centro de cada elemento de volumen; por ultimo, gnm es la componentede la aceleracion gravitacional en la intercara (nm) en la direccion desde ma n.

Sustituyendo las ecuaciones discretas en la ecuacion general se obtiene un grupode ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden en tiempo:

dM(k)ndt

= 1

Vn

n

AnmF(k)nm+q

(k)n (2.10)

La discretizacion en tiempo es implcita, en forma de diferencias finitas de primerorden e involucrando los terminos de flujo y de fuente/sumidero en el nivel de tiempomas reciente tk+1=tk + (t. Esto permite obtener (Peaceman, 1977) la estabilidadnumerica necesaria para un calculo eficiente de flujo multifasico. La discretizacion entiempo resulta en el siguiente grupo de ecuaciones algebraicas, acopladas, no lineales:

R(K)k+1n =M(K)k+1n M

(K)kn tVn

(n

AnmF(K)k+1nm ) +Vnq

(K)k+1n ) = 0 (2.11)

Para N bloques o numero de elementos de volumen Vn de la malla numerica,las ecuaciones (11) representan un sistema de (NK+ 1)N ecuaciones algebraicas. El

32



sistema es no lineal y acoplado. La no linealidad se presenta en la ecuacion de trans-ferencia de energa por los cambios de orden de magnitud en los parametros durantelas transiciones de fase y por las propiedades no lineales del material rocoso (comopermeabilidades relativas y presiones capilares). El acoplamiento es a consecuenciade la interdependencia de los flujos de masa y energa. Estas caractersticas hacennecesaria una solucion simultanea de las ecuaciones de balance, teniendo en cuentatodos los terminos de acoplamiento. Para manejar las no linealidades es recomend-able el empleo de la tecnica Newton/Raphson. Las variables desconocidas son las(NK+ 1)N variables primarias independientes las cuales definen completamente elestado termodinamico del sistema de flujo en el nivel de tiempo tk+ 1. Para cadaelemento de volumen existen NK+ 1 variables primarias, la eleccion de las cualesdepende de las fases presentes de acuerdo al cuadro 2.1.

Tabla 2.1: Variables termodinamicas primarias para un sistema H2O-CO2

num. de fases variable num. 1 variable num. 2 variable num. 3fase simple P-presion (Pa) T-temperatura(C) X-frac.mas.CO2dos fases P (Pa) Sg-sat. de gas T (

C)

El procedimiento iterativo Newton/Raphson es como se describe a continuacion.Denotando las variables primarias colectivamente como (xi : i = 1, . . . , 3N),

expandiendo a primer orden los residuales en el ndice de iteracion p y demandandoque los residuales R(k)k+1n en las ecuaciones (11) sean cero en el ndice de iteracion

p+ 1, se tiene:

R(K)k+1n (xI,p+1) =R(K)k+1n (xI,p) +

j

R(K)k+1nxi p

()xI,p+1 xI,p) (2.12)

representando un sistema de (NK+ 1)Necuaciones lineales acopladas para los incre-mentos (xi,p+1xi,p). Este sistema puede resolverse con un algoritmo directo eficientecomo el desarrollado por Duff (1977) que almacena unicamente coeficientes de la ma-triz diferentes de cero. Todas las derivadas (Rn/(xi en la matriz jacobiana puedenevaluarse numericamente. El criterio de convergencia establecido es:

R(K)k+1

n,p+1

M(K)k+1n,p+1

i (2.13)si no se obtiene convergencia dentro de un cierto numero de iteraciones globales, sereduce el tamano de la etapa de tiempo (t iniciandose un nuevo proceso de iteracion.

33



La informacion geometrica requerida por la ecuacion (11) consiste, por un lado,de los volumenes Vn de cada elemento de la malla numerica y por el otro, lo referentea intercaras entre elementos, es decir, areas interfaciales Anm, distancias internodalesDnmy componentesgnmdel vector de aceleracion gravitacional. No existe referencia aun sistema global de coordenadas, o a la dimensionalidad de un problema particular.Las ecuaciones son validas tanto para geometras regulares como para irregulares, enuna, dos o tres dimensiones. La precision de las soluciones depende de la precision conque los diversos parametros interfaciales puedan expresarse en terminos de condicionesmedias en los elementos. Una condicion suficiente para que esto sea posible es queexista equilibrio termodinamico aproximado en todos los elementos, en todos lostiempos (Pruess y Narasimhan, 1985). Para mallas regulares referidas a coordenadasglobales (tales como rz o xy z), el sistema de ecuaciones (11) es identico auna formulacion convencional de diferencias finitas (Peaceman, 1977).

Resumiendo, el metodo numerico descrito consiste en: a) DFI para la discretizacion

espacial de las ecuaciones gobernantes; b) diferencias finitas de primer orden y unaformulacion implcita en tiempo para obtener estabilidad numerica y tolerancia en laetapa de tiempo; c) solucion simultanea de las ecuaciones as discretizadas e iteracionNewton-Raphson para manejar las no linealidades; d) por ultimo, inversion eficientede las matrices originadas en cada iteracion Newton-Raphson.

Lo anterior constituye el soporte de los simuladores geotermicos mas conocidoscomo es el caso del simulador SHAFT79 (Pruess y Schroeder, 1980) en el cual seconsidera agua pura bifasica, y el caso del simulador MULKOM (Pruess, 1988) queinvolucra ademas la presencia de CO2 o de NaCl. SHAFT79 ha sido la herramientade numerosos estudios geotermicos efectuados hasta la actualidad mientras que elMULKOM se encuentra aun en etapa de investigacion. De MULKOM se derivael simulador TOUGH2 (Pruess, 1991) el cual tiene la opci on de un nuevo codigo(T2CG1, Moridis y Pruess, 1995) que permite una mayor eficiencia en la inversi on dematrices y el manejo de un mayor numero de ecuaciones.

2.5 Referencias

Ames W.F., 1977. Numerical methods for partial differential equations, Academ-ic Press.

Atkinson P.G., Celati R., Corsi R., Kucuk F., 1980. Behavior of the Bagnore steam/CO2

geothermal reservoir, Italia; Society of Petroleum Engineers Journal, Agosto, 228-238.Barenblatt G.E., Zheltov I.P., Kochina I.N., 1960. Basic concepts in the theory of

homogeneous liquids in fissured rocks, J. Appl. Math. (USSR), Vol.24, No.5,1286-1303.

34



Bear J., 1972. Dynamics of fluids in porous media; Ed. Elsevier, New York.Bodvarsson G.S., 1984. Numerical studies of enthalpy and CO2 transients in two-

phase wells; Geothermal Resources Council, TRANSACTIONS, Vol.8, 289-294.Bodvarsson G.S. y Gaulke S., 1987. Effects of noncondensible gases on fluid recovery

in fractured geothermal reservoirs; SPE Reservoir Engineering, Agosto, 335-342.Bodvarsson G.S., Lippmann M.J., Pruess K., 1994. Modeling of geothermal systems;

GRC Bulletin, April, 144-160.Brownell D.H. Jr., Garg S.K., Pritchett J.W., 1977. Governing Equations for Geother-

mal Reservoirs; Water Resources Research, Vol. 13, No.6, 929-934.Contreras E. y Garca A., 1996. Desarrollo e implantacion de una metodologa exper-

imental para determinar simultaneamente las propiedades termicas de las rocas;Boletn IIE, julio/agosto, pp 164, y 169-177.

Cooley R., 1971. A finite difference method for variably saturated porous media:application to a single pumping well; Water Res. Research, Vol.7, No.6, 1607-

1625.Darcy H., 1856. Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon, Victor Dalmont, Pars.Duff I.S., 1977. MA28- A set of fortran subroutines for sparse unsymmetric linear

equations; Report AERE-R.8730, Computer Science and Systems Division, Har-well/Oxfordshire, Great Britain, 103 pp.

Dusinberre G., 1961. Heat transfer calculations by finite differences; InternationalTextbooks, Scranton, Pa.

Edwards A., 1972. TRUMP: A computer program for transient and steady state tem-perature distributions in multidimensional systems; Nat. B. of Std., Springfield,Va.

Faust CH. R., y J. W. Mercer, 1974. Mathematical modeling of geothermal system;2nd. United Nations Symposium on the development and the uses of geothermalresources systems, 1635-1641.

Faust CH. R., y J. W. Mercer, 1979. Geothermal reservoir simulation 2: Numeri-cal solutions techniques for liquid and vapor-dominated hydrothermal systems;Water Resources Research, Vol. 15, pp. 653-671.

Grant M.A., 1977. Broadlands- A gas-dominated geothermal field; Geothermics,Vol.6, 9-29.

Gunn C. y Freeston D., 1991. An integrated steady-state wellbore simulation andanalysis package; Proc. 13th New Zealand Geothermal Workshop, 161-166.

Hadgu T., 1989. Vertical two-phase flow studies and modeling of flow in geothermal

wells. Tesis de Doctorado, Universidad de Auckland, Nueva Zelandia, 384 pp.Hadgu T., Zimmerman R.W., Bodvarsson G.S., 1993. Coupling of a reservoir simula-

tor and a wellbore simulator for geothermal applications; Geothermal ResourcesCouncil TRANSACTIONS, Vol. 17, October, 499-505.

Levesley R.K., 1988. Elementos Finitos, introduccion para ingenieros; Ed. Limusa.

35



Lippman M.J., Bodvarsson G.S., Gaulke S.W., 1985. Enthalpy transients in fracturedtwo-phase geothermal reservoirs; Geothermal Resources Council, Transactions,Vol.9, Julio.

MacNeal R., 1953. An asymmetric finite difference network; Quart. Appl. Math.,Vol.2, 295-310.

McKibbin R y Pruess K., 1988. On non-condensible gas concentrations and relativepermeabilities in geothermal reservoirs with gas-liquid co- or counterflows, 10thNew Zealand Geothermal Workshop, 347-354.

McKibbin R y Pruess K., 1989. Some effects of non-condensible gas in geothermalreservoirs with steam-water counterflow; Geothermics, Vol. 18, No.3, 367-375.

Mercer J.W., Pinder G.F., Donaldson I.G., 1975. A Galerkin-finite element analysisof the hydrothermal system at Wairakei, New Zealand; Journal of GeophysicalResearch, Vol.80, No.17, 2608-2621.

Moya S.L., e Iglesias E.R., 1992. Solubilidad del bioxido de carbono en agua en

condiciones geotermicas; Geofsica Internacional, Vol. 31, No. 3, 305-313.Moya S.L., Ruiz J.N., Aragon A., Iglesias E., 1995. Modelo numerico en diferen-

cias finitas para el transporte de masa y energa en yacimientos geotermicos conbioxido de carbono; GEOTERMIA Revista Mexicana de Geoenerga, Vol. 11,No.1, Enero-Abril, 37-51.

Moridis G. y Pruess K., 1995. Flow and transport simulations using T2CG1, apackage of conjugate gradient solvers for the TOUGH2 family of codes; LBL-36235, Universidad de California.

Murray L. y Gunn C., 1993. Toward integrating geothermal reservoir and wellboresimulation: TETRAD and WELLSIM; Proceedings 15th NZ Geothermal Work-shop, 279-284.

Narasimhan T.N., Witherspoon P.A., 1976. An Integrated Finite Difference Methodfor analyzing fluid flow in porous media; Water Resources Research, Vol. 12, No.1, 57-64.

OSullivan M.J., Bodvarsson G.S., Pruess K., Blackeley M.R., 1985. Fluid and heatflow in gas-rich geothermal reservoirs; SPEJ 12102, 215-226.

Peaceman D.W., 1977. Fundamentals of numerical reservoir simulation; Elsevier,Amsterdam.

Pruess K., Schroeder R.C., 1980. SHAFT79 Userss Manual; REPORT LBL-10861,Lawrence Berkeley Laboratory, Enero, 47 paginas.

Pruess K., Narasimhan T.N., 1982a. A practical method for modeling fluid and heat

flow in fractured porous media, paper SPE-10509, Proc. Sixth SPE-Symposiumon Reservoir Simulation, New Orleans, LA.

Pruess K., Narasimhan T.N., 1982b. On fluid reserves and the production of super-heated steam from fractured, vapor-dominated geothermal reservoirs, Journal ofGeophysical Research, Vol.87, No. B11, 9329-9339.

36



Pruess K., 1983. GMINC-A mesh generator for flow simulations in fractured reser-voirs, Report LBL-15277, Lawrence Berkeley Laboratory, Berkeley, California.

Pruess K., y Narasimhan T.N., 1985. A practical method for modeling fluid and heatflow in fractured porous media; Society of Petroleum Engineers Journal, Vol.25,No.1, Febrero, 14-26.

Pruess K., 1987. TOUGH Userss Guide; REPORT LBL-20700, Lawrence BerkeleyLaboratory, Junio, 78 paginas.

Pruess K., 1988. SHAFT, MULKOM, TOUGH: A set of numerical simulator formulti-phase fluid and heat flow, Geotermia, Rev. Mex. de Geoenerga, Vol. 4,pp. 185-202.

Pruess K., Wang J.S.Y. y Tsang Y.W., 1988. Effective continuum approximation formodeling fluid and heat flow in fractured porous tuff, Report. SAND 86-7000,Lawrence Berkeley Laboratory para Sandia National Laboratories.

Pruess K., Wang J.S.Y., Tsang Y.W., 1990. On thermohydrologic conditions near

high-level nuclear wastes emplaced in partially saturated fractures tuff -2. Effec-tive continuum approximation; Water Resources Research, Vol.26, No.6, Junio,1249-1261.

Pruess K., 1991. TOUGH2-A general-purpose numerical simulator for multiphasefluid and heat flow; LBL-29400, Universidad de California.

Rybach L. y Muffler L.J.P., 1981. Geothermal systems: principles and case histories,John Wiley & Sons.

Suarez M.C., y De la Torre E., 1991. Diferencias finitas integrales: un nuevometodoen la solucion de problemas de transporte en medios continuos; UGM Reuni on,1-6.

Suarez M.C., 1995. Mecanismos de produccion en sistemas hidrotermales fracturados

con fallas conductivas; Memorias 3er. Congreso de la Asociacion GeotermicaMexicana, ISBN-968-6114-08-4, 152-167.

Torrance K.E., 1983. Boiling in porous media; ASME/JSME Thermal EngineeringJoint Conference Proceedings, Vol. 2, pp. 593-606.

Warren J.E., Root P.J., 1963. The behavior of naturally fractured reservoirs; Societyof Petroleum Engineers Journal, 245-255.

Zyvolosky G.A., y OSullivan M.J., 1980. Simulation of a gas-dominated, two-phasegeothermal reservoir; Society of Petroleum Engineers Journal, 52-58.

37

aplicaciones de la mecánica de fluidos-sara lilia moya-2002.pdf

Documents

Transcript of aplicaciones de la mecánica de fluidos-sara lilia moya-2002.pdf