Aplicaciones de la Probabilidad

en la IndustriaDr. Enrique Villa Diharce

CIMAT, Guanajuato, México

Verano de probabilidad y estadística CIMAT

Guanajuato,Gto. Julio 2010

Contenido:1.- Introducción

IntroducciónCapacidad de procesos

2.- Capacidad de procesosMétricasHerramientas estadísticas

3.- Procesos de mediciónEstudios de repetibilidad y reproducibilidad

4.- Monitoreo de procesosMonitoreo de procesosCartas de control.

6.- ConclusionesPensamiento estadístico

¿Cuál es el interés en la industria?

Mejorar de la calidad

Introducción

20001980195019001800

Linea de ensamble (Ford) Producción Lean

(Toyota)Rev. industrial (Maquinas

en la manufactura)

Supermercados aplicas JIT Wall-Mart

desarrolla conceptos Lean en la gestión

de cadenas de proveedores

Algunos métodos de gestión en el tiempo

Introducción

20001980195019001800

ANOVA, DDE (Fisher)

Difusión del uso de métodos formales en la toma de decisiones (Six sigma, M. Harry)

Mínimos cuadrados (Laplace) Regresión

(Galton)FDA sugiere la

necesidad de ocupar estadísticos

Algunos métodos estadísticos en el tiempo

Control estadístico (Shewhart)

ANOVA, DDE (Fisher)

DDE en manufactura

(Box y Taguchi)Demingen Japón

Aplicaciones de la estadística en el

sector de servicios (Hoerl)

Introducción

Procesos

Entradas SalidasProceso

El término proceso representa acciones ( de manufactura y no manufactura) que transforma entradas en una salida o producto terminal.

Introducción

SIPOC

Entradas SalidasProceso

Los Proveedores aportan las Entradas que son transformadas por el Proceso en Salidas que llegan finalmente a los Clientes.

Proveedores Clientes

Los proveedores y clientes son parte fundamental de una empresa

Introducción

yx x

xx

xx

xx

xx

xx

Diagrama de causas y efectos. Causas de variación

Mano de obra Maquinaria

Medio ambiente Mediciones

Materiales

Métodos

Producto

Introducción

La variabilidad del producto final tiene un gran número de contribuyentes.Por el Teorema Central del Límite, la distribución de la característica de interés es Normal

El término proceso representa acciones ( de manufactura y no manufactura) que transforma entradas en una salida o producto terminal.

El Teorema Central del Límite

Sea una sucesión de variables aleatorias independientes con , y , .Sea . Luego bajo ciertas condiciones generales,

,..., 21 XX

iiXE µ=)( 2)( iiXV σ= ,...2,1=i

∑∑

=

=−

=n

i i

n

i inn

YZ

12

1

σ

µ

nn XXXY +++= ...21

Tiene una distribución asintóticamente .)1,0(N

EjemploUna máquina produce piezas de mica. Se toman 50 piezas consecutivas y se mide el grosor (en mm):

8.0 12.5 12.5 14.0 13.5 12.0 14.0 12.0 10.0 14.5

10.0 10.5 8.0 15.0 9.0 13.0 11.0 10.0 14.0 11.0

12.0 10.5 13.5 11.5 12.0 15.5 14.0 7.5 11.5 11.0

12.0 12.5 15.5 13.5 12.5 17.0 8.0 11.0 11.5 17.0

11.5 9.0 9.5 11.5 12.5 14.0 11.5 13.0 13.0 15.0

¿ Estos datos tienen distribución normal?

14

Áreas Bajo la Curva Normal

99.73%

µµµ−3σ µ+3σ

95.45%68.27%

0.001350.022750.15865

15

µ

σ

LIE LSE

El ancho del proceso, suponiendo normalidad, se define como 6σ. El anchode las especificaciones puede medir “cualquier cantidad” de sigmas.

ESPECIFICACIONES Y ANCHO DEL PROCESO

16

EI ES

La curva representa lo OBSERVADO y las especificaciones representan loDESEADO.

ESPECIFICACIONES Y ANCHO DEL PROCESO

17

TRES TIPOS DE LÍMITES

18

Capacidad de Procesos

Proceso concapacidadpotencial yreal

Proceso con capaci-dad potencial, peroSIN capacidad real

19

Índices de Capacidad

Cp<1 es inaceptable,1<Cp<1.33 marginal yCp>1.33 es capacidad potencial adecuada.

σ6LEILES

procesodelanchocionesespecificadeanchoCp

−==

EIESCCR

p −==

σ61“proporción de la tolerancia que ocuparía el proceso”

20

Índice Cp

No toma en cuenta la localización!

21

LEI LESµ

PKPLPULU CCCZZ ,,,,Indices

σµ

σµ

LEIZ

LESZ

L

U

−=

−=

33

33L

U

ZEICPL

ZESCPU

=−

=

=−

=

σµ

σµ

{ }CPUCPL

LESLIECPK

,min3

,3

min

=

−−

=σ

µσ

µ

µ−LESLEI−µ

22

Índice CPK

Pero, el Cpk no puede distinguir entre los tres procesosrepresentados en la figura, los cuales son bastante diferentes.Note que Cpk=Cp si el proceso está centrado.

23

Cpm = 1Cpm = 0.63Cpm = 0.44

Coincide con el Cp y el Cpk cuando el procesoestá centrado en el valor nominal (T).El índice Cpm sí distingue entre los tresprocesos de la figura. Se cumple que:

Índice de Cpm

TEIESCpm −

−<

µ6

Esta relación implica que para que Cpm seaigual a 1, se debe cumplir

6EIEST −

<−µ

Es decir, la media del proceso no se puede alejar del valor objetivo más allá de unsexto de la tolerancia.

22 )(6 TEIESCpm

−+

−=

µσ

24

Comparación de Índices

25

( )EIES

Tk

−

−=

21

µ Este es el índice k que mide el grado en que elproceso se desvía del valor nominal (T) expresado enunidades de ½ de la tolerancia.

10 ≤≤ kSi se cumple que ESEI ≤≤ µ

CpkCpk )1( −=

Relación entre Cpk y Cp

26

EI ES

Un proceso centrado en la tolerancia media

PROCESO SEIS SIGMA ESTATICO

σ6

ppm002.ppm002.

27

EI ES

Un proceso con un corrimiento superior de en la media del proceso

1.5

σ5.7σ5.4

ppm4.3ppm0

PROCESO SEIS SIGMA DINAMICO

σ5.1

28

EI ES

Un proceso centrado en la tolerancia media

PROCESO CUATRO SIGMA ESTATICO

σ4

ppm32ppm32

29

EI ES

Un proceso con un corrimiento superior de en la media del proceso

1.5

σ5.5σ5.2

ppm6210ppm02.

PROCESO CUATRO SIGMA DINAMICO

σ5.1

Cp Zmin Zmax ppm Zmin Zmax ppm

1.00 3.0 3.0 2700 1.5 4.5 66,8131.33 4.0 4.0 63 2.5 5.5 62101.5 4.5 4.5 6.9 3.0 6.0 1,3501.67 5.0 5.0 .6 3.5 6.5 2331.83 5.5 5.5 .0 4.0 7.0 322.00 6.0 6.0 .0 4.5 7.5 3.4

Métricas para procesos estáticos y dinámicos

Proceso estático Proceso dinámico

El significado de Seis Sigma1. Como Metodología. Es una estrategia de negocios y de

mejora continua que busca encontrar y eliminar causas deerrores o defectos en los procesos enfocándose a lasvariables de importancia crítica para los clientes.

2. Como Métrica. Es una medida de la calidad. Mientras másgrande es el valor de sigma de un proceso, producto oservicio, su calidad es mejor. En particular, calidad 6 sigmasignifica sólo 3.4 defectos por millón de oportunidades.

3. Como Meta. Es un nivel de calidad que implica casi cerodefectos, al producir 99.9997% bueno.

DefinirDefinir problema (VCC) y señalar

cómo afecta al cliente e precisar los beneficios esperados del proyecto.

MedirMedir las VCC, verificar que pueden medir bien, y determinar situación

actual

AnalizarIdentificar causas raíz, cómo se genera

el problema y confirmar las causas con datos

MejorarEvaluar e implementar soluciones, asegurándose que se reducen los

defectos

ControlarDiseñar un sistema para que mantenga las mejoras logradas (controlar las X

vitales), y cerrar el proyecto

Seis Sigma Como Método

Seis Sigma: Herramientas y Técnicas

Herramientas y técnicas (pueden ser utilizadas a través el proceso de mejoramiento Seis Sigma)

Diagrama de afinidad

Tormenta de ideas

Investigación al cliente

Gráficas de Gantt

Team Charter

Análisis cualitativo de procesos

Mapeo de procesos

QFD

Benchmarking

Hojas de chequeo

Gráficas de Control

Gráficas de datos

Gage R&R

Histogramas

Indicadores

Gráfica de corridas

Muestreo

Cálculo Sigma

Estratificación

Variación

Causa y efecto

Correlación

Diseño de Experimentos

Arbol de fallas

Prueba de Hipótesis

Pareto

Simulación de proceso

Análisis del Proceso Cuantitativo

Regresión

Estratificación

Estructura de árbol

Análisis de evaluación

Análisis costo beneficio

Matriz de Correlación

Análisis de fuerza de campo

Mapeo mental

Seis sombreros para pensar

Carta de la historia

Mapeo de solución

Diseño de Experimentos

Optimización

FMEA

Sistema de control de procesos

Planeación del Trabajo

Cartas de control

1.0

DEFINIR

OPORTUNIDADES

2.0

MEDIR

DESEMPEÑO

3.0

ANALIZAR

OPORTUNIDAD

4.0

MEJORAR

DESEMPEÑO

5.0

CONTROLAR

DESEMPEÑO

Impacto del sistema de medición en los estudios de riesgo y capacidad de proceso

Procesos de medición

Se requieren mediciones para:•Monitorear procesos

•Clasificar componentes•Determinar la variabilidad de los procesos

La incertidumbre del proceso de medición debe ser adecuada a la aplicación que se hace.

Es conveniente hacer inicialmente un estudio RyR para verificar que el proceso de medición tiene la incertidumbre adecuada.

35

Modelo de medición

donde, es el error de medición.

Estudios RyR

36

),0( 2σε Nijk ≈iiy εµ +=

iyµ

iε

Mensurando(desconocido)

Medición

Modelo de medición para un estudio R&R

donde,Efecto piezas

Efecto operadores

Interacción piezas-operadores

Error

Nota: Los efectos y el termino de error se consideran independientes.

Estudios R&R

37

),0(

),0(

),0(

),0(

2

2

2

2

σε

σαβ

σβ

σα

αβ

β

α

N

N

NN

ijk

ij

j

i

≈

≈

≈

≈

ijkijjiijky εαββαµ ++++=

Estimamos con algún método estadístico los parámetros del modelo de medición,

Variabilidad del instrumento de medición:

2 2 2 2, , , y .α β αβµ σ σ σ σ

2 2.ˆ ˆ , (repetibilidad).repetσ σ=

Variabilidad debida al operador:

2 2 2.ˆ ˆ ˆ , (reproducibilidad).repro β αβσ σ σ= +

Variabilidad del sistema de medición:

2 2. .ˆ ˆ ˆ .RyR repet reproσ σ σ= +

38

Calidad del instrumento de medición

Cociente Repetibilidad-Tolerancia:ˆ

/ ,( )

RyRP T kLSE LIE

σ=

−

Cociente Error de Medición-Variabilidad Total:

2 2

ˆ ˆ/

ˆˆ ˆRyR RyR

totalRyR piezas

EM VTσ σ

σσ σ= =

+

Indices

39

RR

piezas

&σσ

δ =

(LIE, LSE) son los límites de especificación del proceso de medición.

Algunas veces k=5.15, ya que representa el rango de la normal estándar que comprende una probabilidad de 99%.K=6 corresponde a una probabilidad de 99.73%.

P/T InterpretaciónP/T < 10% Desempeño excelente

10% < P/T < 20% Desempeño adecuado20% < P/T < 30% Desempeño marginal

30% < P/T Desempeño inadecuado

Clasificación de sistemas de medición, de acuerdo a la magnitud de la métrica P/T.

40

Impacto de la incertidumbre de medición sobre la estimación de la capacidad del proceso.Consideramos un proceso centrado y con una capacidad Cpk igual a uno.Relación entre los índices Cpk y P/T, EM/VT y δ:

2

11 ( / )

CpkP T

=+

2

1 .1 ( / )

CpkEM VT

=−

1 .1 1/

Cpkδ

=+

41Observación: La capacidad del proceso se subestima

Relación entre Cpk y los índices P/T y EM/VT

P/T

EMVarTot

P/T; EM/VarTot (σ /σ )R&R total 42

delta

Cpk

0 10 20 30 40 50

0.70

0.80

0.90

1.00

Relación entre el índice Cpk y el índice δ.

11 1/pkC

δ=

+

43

Ejemplo 1. En un estudio de capacidad de medición de un instrumento, se hicieron tres mediciones a dos piezas de parte de cinco operadores elegidos aleatoriamente . Las mediciones obtenidas son las siguientes:

Pieza Op. 1 Op. 2 Op. 3 Op. 4 Op.51 3.481 3.448 3.485 3.475 3.472

3.477 3.472 3.464 3.472 3.4703.470 3.470 3.477 3.473 3.474

2 3.258 3.254 3.256 3.249 3.2413.254 3.247 3.257 3.238 3.2503.258 3.239 3.245 3.240 3.254

44

Salida gráfica de Minitab

Cantidad Estimación Variación Porciento

.006497 .038981 4.07%

.001967 .011800 1.23%

.006788 .040728 4.26%

.159326 .955955 99.91%

.159470 .956823 100.00%

.repetσ

.reproσ.&RRσ

piezasσtotalσ

σ6Variación =

Componentes de variabilidad del sistema de medición

47.23&

=RR

piezasσ

σ9571.

&=

RR

repetσ

σ

Análisis de RiesgosUnidad conforme (dentro de especificación)Unidad no conforme (fuera de especificación)

La clasificación de una unidad se hace después de medir la característica de interés.

Debido a la incertidumbre del instrumento de medición, es posible que se cometa alguno de los dos siguientes errores:

Clasificar como no conforme a una unidad que es conforme.

Declarar como conforme a una unidad que no lo es.

47

A = la unidad es conformeB = La unidad se clasifica como no conforme después de la medición.

Como modelamos la variabilidad pieza a pieza y la variabilidad del instrumento de medición?

( | ) ( ) / ( )P B A P A B P Aα = = ∩

( | ) ( ) / ( )C C C C CP B A P A B P Aβ = = ∩

Riesgo del productor:

Riesgo del consumidor:

48

X = valor real de la característica de interésY = valor de mediciónY = X +

= error de medición

La covarianza entre es cero, debido a que son independientes.

Se tiene que:

εε

( ) ( ) ( ) ( )E Y E X E X Eε ε µ= + = + =

2 2( ) ( ) ( ) ( ) p RyRV Y V X V X Vε ε σ σ= + = + = +

y X ε

{ } 2( , ) ( )( )p p pCov X Y E X Yµ µ σ= − − =

49

),0(y ),( 22RyRpp NNX σεσµ ≈≈

+

=

=

≈

222

22

2

2

,

,

RyRpp

pp

p

p

YXY

XYX

Y

X

N

NYX

σσσσσ

µµ

σσσσ

µµ

Distribución conjunta del valor real (X) de la característica de calidad y su medición (Y)

Realmente dentro de especificaciones

Realmente fuera de especificaciones

Clasificada dentro de especificacionesClasificada fuera de especificaciones

( )CP A B∩

( )P A B∩ ( )CP A B∩

( )C CP A B∩

Probabilidades conjuntas de conformidad y clasificación

51

Estado real de la pieza

Cla

sific

ació

n de

la p

ieza

LEI LESX 52

Ejemplo 2. Un dispositivo de detección óptica tiene una lámpara donde el parámetro de desempeño es la luminosidad (cd/m2).

De un estudio RyR se ha encontrado que (P/T)%=38.73% y además que la luminosidad se distribuye normalmente, con una media de 35.20 cd/m2 y una desviación estándar de 4.100 cd/m2.

Los límites de especificación inferior y superior son 30.00 y 42.00 cd/m2.

Variabilidad RyR del instrumento?

( / )( ) (.3873)(42 30) .77466.0RyR

P T LES LEIk

σ − −= = = 53

54

55

56

Distribución de X y Y?2 2

2 2 2

35.2 16.81 16.81, ,

35.2 16.81 17.41p pX

p p RyRY

XN N

Yσ σµσ σ σµ

= +

Análisis de Riesgos

Realmente dentro de especificaciones

Realmente fuera de especificaciones

Clasificada dentro de especificaciones

=.8234 =.0178

Clasificada fuera de especificaciones

= .0248 = .1331

Realidad

Clasificación

( )CP A B∩ ( )C CP A B∩

( )P A B∩ ( )CP A B∩

( ) (35.2 42) .8491P A P X= < < =

( ) 1 ( ) .1509CP A P A= − = 57

Riesgos:

.0248 .8491 .0292α = =

.0178 .1509 .1180β = =

Comentarios:

(R. del fabricante)(R. del consumidor)

58

Ejemplo 3. Consideramos el proceso del primer ejemplo. Tomamos como valores de los parámetros a las estimaciones de la variabilidad del proceso y del equipo de medición, así como del tamaño medio de las piezas.

Recordamos además que (LIE, LSE) = (3.00, 4.00)

Distribución de X y Y?

59

=

+

≈

02543.02538.02538.02538.

,60.360.3

, 222

22

NNYX

RyRpp

pp

Y

X

σσσσσ

µµ

60.300004608.006788.

02538.159326.22

&

22

===

==

µσ

σ

RR

piezas

Realmente dentro de especificaciones

Realmente fuera de especificaciones

Clasificada dentro de especificaciones =.9939334 =.0003036Clasificada fuera de especificaciones

= .0003566 = .0054064

Realidad

Clasificación

( )CP A B∩ ( )C CP A B∩

( )P A B∩ ( )CP A B∩

( ) (3 4) .994291, ( ) .005709CP A P X P A= < < = =

.0003566 / .994291 .0003586α = =

.00030360 / .005709 .053179β = =

R. del fabricante

R. del consumidor

Riesgos

60

Comentarios

Indice Ejemplo 2 Ejemplo 3δ 5.293 23.47P/T .3873 .04073α .0292 .000359β .1180 .053179

Indicadores de desempeño de los sistemas de medición de los ejemplos 2 y 3.

El proceso de medición del Ejemplo 3 es globalmente mejor que el del Ejemplo 2, comparados con los respectivos procesos que generan las piezas que se miden y clasifican.

61

Fin de la primera parte