APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Tema 8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Pág. 2 Tema 8 Aplicaciones de...

APLICACIONES

DE LAS

DERIVADAS

Tema 8

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Pág. 2Tema 8Tema 8

Aplicaciones de la Derivada

Aplicaciones de la Primera DerivadaMonotonía (Crecimiento/Decrecimiento)

Extremos relativos (Máximos – Mínimos)

Aplicaciones de la Segunda DerivadaCurvatura (Concavidad/Convexidad)

Puntos de inflexión

Representación gráfica de funciones

Optimización


Una función f es creciente en (a, b) si f (x1) < f (x2) cuando x1 < x2.

Una función f es decreciente en (a, b) si f (x1) > f (x2) cuando x1 < x2.

Crecimiento/Decrecimiento

DecrecienteCreciente Creciente


Si f (a) > 0 f es estrictamente creciente en x = a.

Si f (a) < 0 f es estrictamente decreciente en x = a.

Derivada y monotonía de una función

Función decreciente en x = –1

Recta tangente con pendiente negativa, m < 0

Función creciente en x = 1

Recta tangente con pendiente positiva, m > 0

No es creciente ni decreciente en x = 0.f (0) = 0

m = f (–1) < 0 m = f (1) > 0


Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Pendiente positiva

f (x) > 0 en a < x < b f(x) es creciente en (a, b)

f (x) < 0 en a < x < b f(x) es decreciente en (a, b)

Pendiente negativa

Si f (x) = 0 para cada valor de x en un intervalo (a, b), entonces f es constante en (a, b)

Si f (x) < 0 para cada valor de x en un intervalo (a, b), entonces f es decreciente en (a, b)

Si f (x) > 0 para cada valor de x en un intervalo (a, b), entonces f es creciente en (a, b)


La función pasa de ser creciente a decreciente, o viceversa, en un punto x = a en una de las situaciones siguientes:

Por tanto, bastará estudiar los intervalos determinados por estos puntos para obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Máximo Mínimo

f (a) = 0 f es discontinua en x = a



Diagrama de signos para determinar los intervalos donde f (x) es Crec./Decr.:

b. Si f (x) < 0, f es decreciente en ese intervalo.

a. Si f (x) > 0, f es creciente en ese intervalo.

2. Prueba un punto c en cada intervalo para obtener el signo de f (c).


1. Hallar todos los valores de x para los cuales f (x) = 0 o f (x) es discontinua e identificar intervalos abiertos con estos puntos.


EJEMPLO Determina los intervalos de crecimiento de la función

f(x) = x3 – 6x2 + 1

Calcula la derivada de la función: f (x) = 3x2 – 12x

3x2 – 12x = 0

3x(x – 4) = 0

+ – +Signo de f (x)0

4


f es creciente en (–, 0) (4, +) f es decreciente en (0, 4)

Resuelve la ecuación f (x) = 0 :3x = 0 x1 = 0x – 4 = 0 x2 = 4f ’(x) es un polinomio, luego no tiene

puntos de discontinuidad; así que losintervalos a considerar son:

(–, 0) (0, 4) (4, +)Prueba un punto c en cadaintervalo para obtener elsigno de f (c).

f (–1) = 3(–1)2 – 12(–1) = 15 > 0

f es creciente en (–, 0)

f es creciente en (4, +)

f es decreciente en (0, 4)

f (1) = 3·12 – 12·1 = –9 < 0

f (5) = 3·52 – 12·5 = 15 > 0


EJEMPLO Determina los intervalos de crecimiento dex

xxf

4)(

2

2

2 4)(

x

xxf

04

2

2

x

x x2 – 4 = 0

Determinamos los puntos de discontinuidad de f : x = 0Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f (x) = 0 y los puntos de discontinuidad de f :

(–, –2), (–2, 0), (0, 2), (2, +)

f (–3) = 5/9 > 0 f (–1) = –3 < 0 f (1) = –3 < 0 f (3) = 5/9 > 0

–2

0

2

Signo de f + – – +

f es creciente en (–, –2) (2, +) f es decreciente en (–2, 0) (0, 2)


x = –2

x = 2

Resolvemosla ecuación

f (x) = 0


Puntos Críticos de f

(rectas tangentes horizontales, rectas tangentes verticales y esquinas agudas y puntos de discontinuidad de f)

Un punto crítico de una función f es un punto en el dominio de f donde

f (x) = 0 o f (x) no existe


x = c es un punto crítico de f(x) en cada uno de los ejemplos siguientes:

f (c) = 0

f (c) = 0

f (c) no existef (c) no existe


Extremos Relativos

Una función f tiene un máximo relativo en x = c si existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a c tal que f(x) f(c) para todo x en (a, b).

Una función f tiene un mínimo relativo en x = c si existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a c tal que f(x) f(c) para todo x en (a, b).

MáximoRelativo

MínimoRelativo


Si una función f derivable tiene un extremo relativo en x = a, entonces f (a) = 0.

El enunciado recíproco no es cierto. Así, por ejemplo, si f (x) = x3 , se verifica que f (0) = 0 y, sin embargo, x = 0 no es un extremo de f.


f (a2) = 0

f (a1) = 0

f (a3) = 0

f (a) = 0


Los extremos relativos (Máximos y Mínimos) deberemos buscarlos entre los puntos que son solución de la ecuación f (x) = 0. Veamos como distinguir si un punto en el que la primera derivada se hace cero es máximo o mínimo a partir de:

- El signo de la primera derivada a ambos lados del punto.

- El signo de la segunda derivada en el punto.



La prueba de la Primera Derivada

f(c) es un máximo relativo

f(c) es un mínimo relativo

f(c) no es extremo relativo

f(c) no es extremo relativo

c

Signo de f (x) + –

c

Signo de f (x) – +

c

Signo de f (x) + +

c

Signo de f (x) – –

1. Determina los puntos críticos de f, en los que f (x) = 0

2. Determina el signo de la derivada de f a la izquierda y a la derecha del punto crítico.



a) Màximo b) Mínimo

c) Sin Máximo ni Mínimo d) Sin Máximo ni Mínimo



EJEMPLO Halla los extremos relativos de f(x) = x3 – 6x2 + 1

f (x) = 3x2 – 12x

3x2 – 12x = 0

3x(x – 4) = 0

+ – +Signo de f (x)0

4

Máximo Relativof (0) = 1

(0, 1)

Mínimo Relativo f (4) = –31

(4, –31)


3x = 0 x1 = 0x – 4 = 0 x2 = 4


EJEMPLO

x2 – 1 = 0 o x3 – 3x = 0

f (x) = 0 f (x) no definida

3 3 3)( xxxf Halla los extremos relativos de

3 23

2

3

1)(

xx

xxf

x = 0, 1, 3

Mín. relativo3 2)1( f

Máx. relativo3 2)1( f

+ + – – + +

3 3

–10

1

Signo de f (x)



La prueba de la Segunda Derivada1. Calcula f (x) y f (x).

2. Halla los puntos críticos, c, en los que f (x) = 0.

Si f (a) = 0 y f (a) < 0 f tiene un máximo relativo en x = a.

Si f (a) = 0 y f (a) > 0 f tiene un mínimo relativo en x = a.

f (a) = 0 recta tangente horizontal en x=af (a) < 0 las pendientes de las rectas tangentes decrecen en un entorno de a.Luego, f tiene un máximo relativo en x = a.

f (a) = 0 recta tangente horizontal en x=af (a) > 0 las pendientes de las rectas tangentes crecen en un entorno de a.Luego, f tiene un mínimo relativo en x = a.



Clasifica, usando la derivada segunda, los extremos relativos de EJEMPLO

f (x) = x 4 – 4x3 + 4x2 – 5

f (x) = 4x3 – 12x2 + 8x = 4x(x – 2)(x – 1)

Puntos críticos: x = 0, 1, 2

f (x) = 12x2 – 24x + 8

f (0) = 8 > 0

f (1) = –4 < 0

f (2) = 8 > 0


Máximo rel.: (1, –4) Mínimos rel.: (0, –5) (2, –5)

Mínimo rel. f (0) = –5

Mínimo rel. f (2) = –5

Máximo rel. f (1) = –4


Curvatura de una función en un punto

En un entorno de a el valor de la función es mayor que el de la recta tangente en x = a (la función está “por encima” de la recta tangente). Diremos que f es convexa en x = a.

En un entorno de b el valor de la función es menor que el de la recta tangente en x = b (la función está “por debajo” de la recta tangente). Diremos que f es cóncava en x = a.

Si f es una función dos veces derivable en un punto x = a, podemos determinar su curvatura a partir del signo de la derivada segunda.


Si f (a) > 0 f es convexa en x = a.

Si f (a) < 0 f es cóncava en x = a.

Derivada y curvatura de una función

En el entorno de un punto en el que la función es convexa, cuando aumenta el valor de x aumenta también el valor de las pendientes de las rectas tangentes.

Por el contrario, en el entorno de un punto en el que la función es cóncava, cuando aumenta el valor de x disminuye el valor de las pendientes de las rectas tangentes.


Convexa(hacia arriba)

Convexa ConvexaCóncava

Cóncava(hacia abajo)

Sea f una función derivable en (a, b).

1. f es convexa (o cóncava hacia arriba) en (a, b) si f es creciente en (a, b). Es decir, f (x) > 0 para cada valor de x en (a, b).

2. f es cóncava (o cóncava hacia abajo) en (a, b) si f es decreciente en (a, b). Es decir, f (x) < 0 para cada valor de x en (a, b).



La gráfica de f (x) = x3 es cóncava en (–, 0) y convexa en (0, +)



Intervalos de curvatura

Si f (x) > 0, para todo x del intervalo (a, b) f es convexa en (a, b).

Si f (x) < 0, para todo x del intervalo (a, b) f es cóncava en (a, b).

Una función pasará de cóncava a convexa, o viceversa, en uno de los puntos siguientes:

Punto de inflexión

f (a) = 0 f es discontinua en x = a


Determinar los Intervalos de Curvatura

f (c) > 0 f es convexa en el intervalo.

f (c) < 0 f es cóncava en el intervalo.

2. Determina el signo de f en cada intervalo del paso 1 probando un punto, c , de cada intervalo.

1. Determina los valores para los que la segunda derivada de f es cero o no definida. Identifica los intervalos abiertos con estos puntos.



EJEMPLO Determina los intervalos de curvatura de la función

f(x) = x3 – 6x2 + 1

f (x) = 3x2 – 12x

f (x) = 6x – 12 = 6(x – 2)

f convexa en (2, )

f cóncava en (–, 2)

– +2

Signo de f

f (x) = 0 6(x – 2) = 0 x = 2



EJEMPLO Halla los intervalos de curvatura de la función f(x) = x4 – 2x3

f (x) = 4x3 – 6x2

f (x) = 12x2 – 12x

12x2 – 12x = 0

f no tiene puntos de discontinuidad porque es un polinomio

Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f (x) = 0 y los puntos de discontinuidad de f :

(–, 0), (0, 1), (1, +)f (–1) = 24 > 0 f (0,5) = –3 < 0 f (2) = 24 > 0

0

1

Signo de f

x = 0 y x = 1

+ – +

f es convexa en (–, 0) (1, +) f es cóncava en (0, 1)

Resolvemos la ecuación

f (x) = 0



Puntos de Inflexión

Un punto en la gráfica de f en el que la recta tangente existe y cambia la concavidad se llama un punto de inflexión.

Para hallar los puntos de inflexión, halla cualquier punto, c, del dominio donde f (x) = 0 o f (x) no está definida.

Si f cambia de signo de la izquierda a la derecha de c, entonces (c, f (c)) es un punto de inflexión de f.



Un punto x = a es un punto de inflexión de una función f si en él la función pasa de ser cóncava a convexa, o viceversa.

Si una función f dos veces derivable tiene un punto de inflexión en x = a, entonces f (a) = 0.

El enunciado recíproco no es cierto. Para ver si un punto en el que f (a) = 0 es un punto de inflexión podemos utilizar la siguiente prueba:

Si f (a) = 0 y f (a) 0 f tiene un punto de inflexión en x = a.

Convexa

CóncavaConvexa

CóncavaConvexaCóncava


EJEMPLO Determina los puntos de inflexión de la función

f(x) = x3 – 6x2 + 1

f (x) = 3x2 – 12x

f (x) = 6x – 12 = 6(x – 2)

f convexa en (2, +)f cóncava en (–, 2)

– +2

Signo de f

f (x) = 0 6(x – 2) = 0 x = 2

Punto de inflexión:(2, –15)



Asíntotas Verticales

Asíntotas Horizontales

La recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f si

La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si

lím f (x) = b ox –

lím f (x) = bx +

lím f (x) = ox a–

lím f (x) = x a+


Asíntotas de Funciones Racionales

Sea una función racional)(

)()(

xQ

xPxf

entonces x = a es una asíntota vertical si Q(a) = 0 pero P(a) ≠ 0.

EJEMPLO5

13)(

x

xxf

f tiene una asíntota vertical en x = 5.

31

3

5

13lim

x

xx

y = 3 es una asíntota horizontal

x = 5 hace 0 el denominador,pero no el numerador.


EJEMPLO

f tiene una asíntota horizontal en5

3y

2

2

5

123)(

xx

xxxf

2

2

5

123lim

xx

xxx

51

123

lim2

x

xxx

Divide por la mayor potencia de x

Asíntotas de Funciones Racionales

5

3

0

0 0

x – 5x2 = 0

x = 0 y x = son asíntotas verticales de f15


1. Dominio de f.

2. Puntos de corte con los ejes de f, si es posible.

4. Asíntotas horizontales y verticales.

3. Comportamiento en el infinito de f.

5. Intervalos donde f es creciente/decrec.

6. Extremos relativos de f.

7. Concavidad de f.

8. Puntos de inflexión de f.

9. Dibuja f, usa puntos adicionales si es necesario.

Esquema para trazar curvas

Representación gráfica de funciones


EJEMPLO Dibuja la gráfica de: f (x) = x3 – 6x2 + 9x +11. Dominio: (−, ).

2. Puntos de corte con los ejes: (0, 1)

3. lím f (x) = + y lím f (x) = – x + x –

4. No tiene asíntotas

8. Punto de Inflexión: (2, 3)

5. f (x) = 3x2 – 12x + 9 f crec. en (−, 1) (3, ), dec. en (1, 3)

6. Máximo relativo: (1, 5); mínimo relativo: (3, 1)

f cóncava en (−, 2); convexa en (2, +).

7. f (x) = 6x – 12


Gráfica: f (x) = x3 – 6x2 + 9x +1

Corte con eje Y (0, 1)

Máx.(1, 5)

Mín. (3, 1)

P.I.(2, 3)


EJEMPLO Dibuja:3

32)(

x

xxf

1. Dominio: x −3

2. Puntos de corte con los ejes: (0, −1) y (3/2, 0)

23

32lim

x

xx

3. 23

32lim

x

xx

4. Asíntotas Horizontal: y = 2; Vertical: x = −3

5. 2)3(

6)(

xxf f es creciente en (−, −3) (−3, +).

6. No tiene extremos relativos.

f es cóncava hacia abajo en (−3, ) y cóncava hacia arriba en (−, −3).

8. No tiene puntos de inflexión

7. 3)3(

18)(

x

xf


Gráfica:2 3

( )3

xf x

x

A.H.y = 2

A.V.x = −3


Extremos Absolutos

Una función f tiene un máximo absoluto en x = c si f (x) f (c) para todo x en el dominio de f.

Una función f tiene un mínimo absoluto en x = c si f (x) f (c) para todo x en el dominio de f.

Mínimo Absoluto

Máximo Absoluto


Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un máximo y un mínimo absoluto en [a, b].

Alcanza max. y min.

Alcanza min. pero no max.

No min. y no max.

Intervalo abierto No continua

Extremos Absolutos


Extremos Absolutos en un Intervalo Cerrado

Para hallar los extremos absolutos de una función f en un intervalo cerrado [a, b]

1. Halla los puntos críticos de f en (a, b).

2. Calcula f en cada punto crítico y en los extremos del intervalo:

Mayor valor = Máximo Absoluto

Menor valor = Mínimo Absoluto

4 ,

2

1EJEMPLO Halla los extremos absolutos de f (x) = x3 – 3x2 en

f (x) = 3x2 – 6x = 3x(x – 2)

Valores críticos en x = 0, x = 2

Evalúa

f (0) = 0

f (2) = – 4

f (4) = 168

7

2

1

f

Mín. Absoluto

Máx. Absoluto


EJEMPLO

Halla los extremos absolutos de en [3, )2

1)(

xxf

Gráficamente:

Máx. Absoluto

(3, 1)

Extremos Absolutos

Nota que el intervalo no es cerrado.Tiene máximo, pero no tiene mínimo.


1. Asigna una letra a cada variable mencionada en el problema. Un dibujo pude ayudar.

2. Encuentra una expresión para la cantidad a optimizar.

3. Usa las condiciones para escribir la expresión como una función en una variable (observa cualquier restricción del dominio).

4. Optimiza la función.

Problemas de Optimización


xx

x

4 – 2x

4 – 2xx

EJEMPLO

Una caja abierta por arriba se forma cortando cuadrados idénticos en las esquinas de un cartón cuadrado de 4 dm por 4 dm. Calcula las dimensiones de la caja que hacen que su volumen sea máximo.

V = largo·ancho·alto = (4 – 2x)(4 – 2x)x; x en [0, 2]

V(x) = 16x – 16x2 + 4x3

V (x) = 16 – 32x + 12x2

16 – 32x + 12x2 = 0

Puntos críticos: x = 2, x = 2/3

V(2) = 0

V(0) = 0

V(2/3) 4,74 dm2

Las dimensiones son 8/3 dm por 8/3 dm por 2/3 dm que dan cajas de volumen máximo de 4.74 dm3.



Una compañía estima que la demanda de un producto fluctúa con su precio.La función de demanda es

q = 1800 − 2 pdonde q es el número de unidades demandadas y p el precio de cada unidad. El costo total de producir q unidades es

C(q) = 135000 + 6 q + 0,1 q2

a) Hallar cuántas unidades q deben producirse para maximizar el beneficio.b) Hallar el precio que debe fijarse.c) Hallar el beneficio esperado.Solución

El beneficio es igual a los ingresos menos los costos. La función de costos la tenemos.

Debemos expresar la función de ingreso I. Sabemos que el ingreso es el producto de las

unidades vendidas por el precio de cada una, I = p · q. El problema se debe resolver en

términos de las unidades q, así que obtenemos p de la ecuación de demanda:

)1800(2

1qp

EJEMPLO



c) El beneficio esperado es B(745) = 894·745 -0,6·7452 – 350 = = 666030 – 333015 – 135000 = 198015 €

El Beneficio B es Ingresos menos Costos:

2

2

1900)1800(

2

1)( qqqqqI

)1,06135000(2

1900)( 22 qqqqqB

a) Para obtener el máximo derivamos e igualamos a cero:

Como la segunda derivada B (q) < 0 siempre, estamos en presencia de un máximo.

Así, el número de unidades que proporciona el máximo beneficio es de 745.

b) Al reemplazar las unidades en la función de demanda tendremos el precio que debe fijarse:

745 = 1800 − 2 p p = 527,5 €

B (q) = 894 – 1,2q = 0 q = 745

B(q) = I(q) – C(q)

B(q) = 894q – 0,6q2 – 135000


Reemplazando en la función de ingreso:


En un día desapacible, la temperatura T en grados centígrados varió con el tiempo t en horas según la función

T (t) = t2 – 9t + 8 para 0 t 12.a) Calcula la temperatura a las dos de la mañana.b) ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿A qué hora?c) ¿A qué hora hubo 0 grados?d) Halla T (2) y explica su significado.e) Representa gráficamente la función.

Solución

a) Como T (t) = t2 – 9t + 8 , 0 t 12, la temperatura a las dos de la mañana, T(2), será:

T (2) = 22 – 9·2 + 8 = –6 ºC

b) Hallamos T (t)T (t) = 2t – 9 = 0 t = 4,5

A las 4,5 horas se alcanzó la temperatura mínima de T(4,5) = –12,25 ºC


EJEMPLO


c) Para obtener la hora en que hubo 0 grados, resolvemos T (t) = 0

T (t) = t2 – 9t + 8 = 0 t = 1 t = 8

d) T (2) = 2·2 – 9 = –5

Significa que a esa hora la temperatura está bajando a razón de 5ºC por hora.

Hubo 0 ºC a las 1 horas y a las 8 horas.

e)


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