Mate5_unidad4. Ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden en la química
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Ley de acción de masas
Velocidad de las reacciones químicas
Ley de crecimiento
Descomposición radioactiva
Ley de enfriamiento de newton
Problemas de mezclas químicas
Cinéticas de las reacciones químicas
En estas encontramos incógnitas con respecto a temperatura, tiempo, masa, velocidad
entre otras las cuales son fáciles de conocer mediante una ecuación diferencial.
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En muchas aplicaciones, la razón de cambio de una variable y es proporcional al valor de
y. Si y es una función del tiempo t, la proporcionalidad puede escribirse como sigue:
Razón de cambio y es proporcional a y
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La solución general de esta ecuación diferencial está dada en el teorema siguiente.
DEMOSTRACIÓN
Sep. De Variables
ʃ = kʃdtY= c . ekt
C
Propiedad:
ea + b = ea . eb
TEOREMA. Crecimiento exponencial y modelo de decrecimiento.
Si y es una función diferenciable de t tal que y > 0 y y’=ky, para algunas constante
k, entonces
y = Cekt
C es el valor inicial de y y k es la constate de proporcionalidad. El crecimiento
exponencial tiene lugar cuando k > 0; el decrecimiento exponencial tiene lugar cuando k < 0.
Iny=kt + C
elny =ekt+ c
y = ekt . eC
y =ekt . C
Modelo Matemático
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EJEMPLO
Un material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad
presente. Si inicialmente hay 40 mg de material y al cabo de una hora
se observa que ha perdido el 8% de la cantidad inicial, hallar:
a) La cantidad de masa en cualquier momento t.
b) La masa del material después de 3 horas.
c) El tiempo que transcurre hasta la desintegración de la mitad de la
cantidad inicial.
Solución
Sea y la cantidad en miligramos presente del material radiactivo, entonces
Apoyándonos en el modelo de crecimiento y decrecimiento
Ejemplo
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Sustituimos , el problema nos da los siguientes datos :
Para t = 0 se cumple que y = 40
Sustituyendo en la solución se obtiene que c= 40
Para t = 1 se cumple que y = 40 – 3.2 = 36.8
Porque el 8% de 40 = 3.2 mg
Sustituyendo y = 36.8 y t = 1
Ejemplo
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Despejamos K :
Sustituyendo K = - 0.0843 y t = 1 en :
Está es la ecuación que da la cantidad material radiactivo en cualquier tiempo t
Ejemplo
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b) La masa del material después de 3 horas
es decir t= 3
Sustituimos en la ecuación anterior
Ejemplo
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c) El tiempo que transcurre hasta la desintegración de la mitad de la
cantidad inicial.
Para y = 20 mg t = ?
Usamos la ecuación:
Sustituimos y = 20 y Despejando t :
horas
Ejemplo
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La desintegración radiactiva se mide en términos del periodo de
descomposición, que son los años que se requieren para que la mitad de los
átomos en una muestra de material radioactivo se descomponga. Los periodos de
descomposición de algunos isótopos radiactivos comunes son los siguientes:
Isotopos radiactivos Tiempo en degradarse la mitad de
los átomos.
Uranio (U238) 4 510 000 000 años
Plutonio (Pu239) 24 360 años
Carbono (C14) 5730 años
Radio (Ra226) 1620 años
Einstenio (Es254) 270 días
Nobelio (No257) 23 segundos
Ejercicio: Toma en cuenta que…
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Suponga que 10g del isotopo del plutonio Pu-239 se escaparon en el accidente
nuclear de Chernobyl. ¿ Cuánto tiempo tomará para que los 10g se descompongan
en 1g? Tome en cuenta los periodos de descomposición que posteriormente se
dan.
Ejercicio
Y= c . ektRecuerda la ecuación.
Sustituimos: Y =10 T= 0
10 = C . ek(0)
10 = C . e0
10 = C . (1)
C = 10
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C = 10Valor de nuestra primera constante.
Y= c . ektRecuerda la ecuación.
Y = 5 T= 24 360 años
Sustituir con los valores que conocemos:
5 = 10 . ek(24 360)
5 = 10 . e24 360k
5/10 = e24 360k
In 5/10 = In e 24 360k
In 5/10 = 24 360 k
1/ 24360 . In 5/10 = k
K = -2,85 x 10 -5
Ejercicio
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C = 10Valor de nuestra primera constante.
Y= c . ektRecuerda la ecuación.
Valor de k K = -2,85 x 10 -5
Sustituir con el valor al que queremos llegar en este caso degradar 1g de Pu-239
Y = 1 T= ?
1 = 10 . e-2.85 X 10-5 t
1/10 = e-2.85 x 10-5 t
In 1/10 = In e-2.85 x 10-5 t
In 1/10 = -2.85 x 10-5 t
1/ -2.85 x 10-5 . In 1/10 = t
t= 80 792 , 4594 Por lo tanto t= 80 792 años
Ejercicio
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Bibliografía
Larson .(2000) .Calculo diferencial e integral. Argentina : Mc Graw Hill
Carmona, I . (1998). Ecuaciones diferenciales .México: Pearson
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