APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1.3 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES PARA RESOLVERLA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA UN SISTEMA FÍSICO

1.4 APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE PARA RESOLVER LAECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA UN SISTEMA FÍSICO

1.5 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA UN SISTEMA FÍSICOUTILIZANDO MAPLE 7

1.6 PRÁCTICA DE LABORATORIO: CRECIMIENTO DE UNA CÉLULA SUSPENDIDAEN UNA SOLUCIÓN

1.7 PRÁCTICA DE LABORATORIO: DEMOSTRACIÓN FÍSICA Y MATEMÁTICA DE LALEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

1.3 APLICACIONES DEL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLESPARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA UNSISTEMA FÍSICO

En los problemas 1 al 12 establezca la ecuación diferencial que representa la situación físicaplanteada y resuélvala por el método de separación de variables, introduciendo las condicionesde contorno para obtener el modelo matemático del escenario.

1. Cuando un rayo de luz pasa a través de una sustancia transparente su intensidad disminu-ye en forma proporcional a , en donde representa el espesor del medio expresado enpies. En agua de mar la intensidad a 3 pies bajo la superficie es 25% de la intensidad inicial

del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 pies bajo la superficie?I 0

tI t( )I

Complemento 3 del capítulo 1

APLICACIONESDE LAS ECUACIONES

DIFERENCIALESORDINARIAS

61

SoluciónLos datos que se tiene son

y la ecuación diferencial del problema es

Aplicando en esta ecuación el método de separación de variables se obtiene que

Sustituyendo aquí la condición inicial se encuentra que

Sustituyendo en esta ecuación la condición de frontera se obtiene que

1

Sustituyendo el valor de K resulta que

y de aquí se tiene que

Por tanto, la intensidad del rayo a 15 pies bajo la superficie es

2. Un marcapasos esquematizado consta de una pila eléc-trica, un pequeño capacitor y el corazón, que funcionacomo resistencia en el circuito. Cuando el conmutador Sse conecta a P, el capacitor (o condensador) se carga;cuando S está conectado a Q, el capacitor se descargaenviando un estímulo eléctrico al corazón. Durante estelapso la tensión eléctrica aplicada al corazón está dadapor

t t t1 2< <dE

dt RCE= − 1

;

I( ) . %15 0 1≅

I e( ) ..15 000978000864620 15= =− ( )

I t I e t( ) .= −0

0 4620

K = = −ln . / .25 3 0 4620.25 03= I e K

I t I e Kt( ) = 0

dI

IKdt I Kt C e e ce I t ceI Kt C Kt Kt= ⇒ = + ⇒ = = ⇒ ( ) =+ln ln

dI

dtKI=

I t

I t

I t

0

3

15

100 0

25 3

15

= == == =

%

%

?

62 Complemento 3 del capítulo 1

Corazón

conmutatorQ

P SC

R

E0

en donde R y C son constantes. Determinar si , la fuerza electromotriz de lapila. Desde luego la conmutación (el cambio de conexión del conmutador) es periódica, a finde simular el ritmo cardiaco natural y producir el estímulo del corazón.

Los datos que se tienen son

Solución

Separando variables se obtiene que

1

1

Sustituyendo la condición inicial se obtiene que

1 1

1

Por tanto la solución particular es

3. En cierto modelo que representa la variación de la población P(t) de una comunidad se su-pone que

en donde dB/dt y dD/dt son las tasas de natalidad y de mortalidad, respectivamente.a) Determinar P(t) si

y

b) Analizar los casos , y k k1 2<k k1 2=k k1 2>

dD

dtk P= 2

dB

dtk P= 1

dP

dt

dB

dt

dD

dt= −

E t E et t

RC( ) =− −( )

0

1

E E e et

RC

t

RC=−

0

1 1

EE

e

et

RC

t

RC=−

−0

1

E

e

ct

RC

02

1−=E c e

t

RC0 2

1

=−

E c et

RC=−

2

E e

t

RCc

=− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1∫ ∫= −dE

E RCdt

1

E t E1 0( ) =

E t( ) = ?

t t t1 2< < ,dE

dt RCE= − 1

;

E t E1 0( ) =E t( )

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 63

Solución

a) Sustituyendo y en se tiene que

1

1 1

1 1

Haciendo con se tiene que

Tomando en cuenta que para entonces y la solución vie-ne dada por

b) Para el caso se tiene que la población crece en forma exponencial y se concluye

que la natalidad es mayor que la mortalidad.

En el caso se tiene que la población es igual a la población inicial.

Finalmente en el caso resulta que la población decrece, es decir, la tasa de mor-

talidad es mayor que la tasa de natalidad.

4. El número de supermercados C(t) en todo el país que usan un sistema de control por com-putadora de los horarios de salida se describe por medio del problema de valor inicial

¿Cuántos supermercados estarán usando dicho sistema cuando t = 10? ¿Cuántas empresas seestima que adoptarán el nuevo procedimiento en el futuro?

Solución

A partir de la ecuación diferencial del problema se tiene que

(A)

dC

C Cdt

1 0 0005−( ) =.

dC

dtC C t C= − > =( . ); ; ( )1 0 0005 0 0 1

k k1 2<k k1 2=

k k1 2>

P P e k k t= −0

1 2( )

C P= 0t P P= =0 0se tiene que

P C e k k t= −( )1 2

k e k k c= −( )1 2Ck

k k=

−( )1 2

Pk e

k k

k k t

=−

−( )

( )

1 2

1 2

( ) ( ) ( )k k P e ek k t k k c1 2

1 2 1 2− = ×− −

1

1 21 2( )

ln( )k k

k k P t c−

− = +1

1 2

1 2

1 2( )

( )

( )k k

k k dP

k k Pdt

−−−

=∫ ∫

dP

k k Pdt

( )1 2−=dP

dtk P k P= −1 2

dP

dt

dB

dt

dD

dt= −

dD

dtk P= 2

dB

dtk P= 1


Usando fracciones parciales resulta que

(B)

1

Sustituyendo las constantes A y B en la ecuación (B) se obtiene que

y usando esta ecuación en la ecuación (A) resulta que

Integrando se obtiene que

1

1

Sustituyendo la condición inicial se obtiene que

Sustituyendo el valor de K en la solución general resulta que

Para el número de supermercados que estarán usando dicho sistema es

1


1


1 C = =2 7 10

1 3 102 076 92

43

40

. *

. *. C

C

e

1 0 0005 99952 689 10

10043

−= =

. .. *

t = 100

C = =485 407 899 4

242 7051 999 99

..

C

C

e

1 0 0005 9995485 407 899 4

20

−= =

. ..

t = 20

C = = ≅22 037 4845

12 01871 833 59 1 834

.

..

C

Ce

1 0 0005

1

1 0 000510

−=

−. .

t = 10

C

Ce t

1 0 0005

1

1 0 0005−=

−. .

1

1 0 0005−=

.K

C 0 1( ) =

C Ke Ct= −( )1 0 0005.

C

Ce t K

1 0 0005−= +

.ln ln .C C t K− − = +1 0 0005

dC

C

dC

Cdt∫ ∫∫+

−=1

2000 1 0 0005.

1

1 0 0005

1 1 2000

1 0 0005C C C C−( ) = +−.

/

.

B = 1

20001 = A

1

1 0 0005 1 0 0005C C

A

C

B

C−( ) = +−. .



1


1

En base a los resultados anteriores se concluye que la cantidad de empresas que se estima queadoptarán el nuevo procedimiento en el futuro es de 2000, aproximadamente.

5. El número de personas N(t) de una comunidad que verán cierto aviso publicitario se rige porla ecuación logística. Inicialmente N(0) = N0 = 500 y se observa que N(1) = 1000. Si se predi-ce que el número límite de personas de la comunidad que verán el aviso es 50 000, determineN(t).Los datos que se tienen son

La incógnita es , esto es, el número de personas que verán el aviso en un instantecualquiera.

Solución

La ecuación logística del problema es

cuya solución es

1

1 1

y de aquí se obtiene que

N tac e

bc e

ac

bc e

at

at at( ) =+

=+ −

1

1

1

11

N

a bNc e at

−= 1ln

N

a bNat ac

−= +

1 1

aN

aa bN t cln ln− − = +

dN

N a bNdt

−( ) =

dN

dtaN bN= − 2

N t( )

N t( ) = 50 000

N( )1 1000=

N N( )0 5000= =

C = =7 10

3 6 101 944

86

83

*

. *

C

C

e

1 0 0005 99957 10

20086

−= =

. .*

t = 200

C = =1 4 10

7 102000

65

61

. *

*

C

C

e

1 0 0005 99951 4 10

15065

−= =

. .. *

t = 150


Si , se obtiene que y de este modo, después de

sustituir y simplificar, la solución es

Sustituyendo aquí la condición inicial se comprueba que la solución es correcta, pero se nece-sitan dos condiciones de frontera para determinar a y b, y sólo se cuenta con

Por otro lado, la solución de la ecuación no lineal , mediante Maple 7 es

> ode:=diff(N(t),t)-a*N(t)=-b*(N(t))^2;

> bernoullisol(ode,N(t);

Esta solución no conduce a un resultado favorable en cuanto al tiempo que se necesita para queN personas vean el aviso.

Ahora, si

> ode:=diff(N(t),t)-2*N(t)=-2*(N(t))^2;

> bernoullisol(ode,N(t);

Como para la ecuación logística se tiene la restricción de que , entonces se puede

observar que se tomó , en el software mencionado, obteniéndose la solución

general

N tC e t( ) =

+ −1

1 12

a b= =2 2y

a b> >0 0y

odet

t t t

te

: ( ) ( ) ( )

{ ( ) (

= ∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − = −

=+

N N N

N

2 2

1

1

2

−−−

2t C) }1

odet

t a t b t: ( ) ( ) ( )= ∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − = −N N N

{N(t) =1

1+

2

a

b ee(-2 )at 1a−C}

dN dt aN bN= − 2

N t( ) = 50 000

N( )1 1000=

N taN

bN a bN e at( ) =+ −( ) −

0

0 0

c N a bN1 0 0= −( )N N N a b( ) ,0 0 0= ≠


Sustituyendo la condición inicial se obtiene el valor de la constante C1 y, por tanto, la solucióngeneral se transforma en

Cualquiera de los intentos fallidos permiten observar que la solución de

está acotada cuando . También se sabe que se interpreta como la “inhibición”

y que a es mucho mayor que b en la mayoría de las aplicaciones. A continuación se determi-na el valor de a y b.

Sustituyendo en la solución general se tiene que

Sustituyendo la primera condición de frontera , se obtiene que

La segunda condición de frontera es y de aquí se concluye que el valor de a es

mayor 50 000 veces que b, lo que prueba lo dicho antes.

Por otro lado, la ecuación diferencial no es un modelo muy fiel de la población

cuando ésta es muy grande. Sin embargo, se considera que el número límite de 50 000 es unapoblación pequeña, por lo que se plantea determinar el tiempo en que esa población límite ve-rá el aviso.

En este caso la ecuación diferencial del problema es

Separando variables e integrando se obtiene que

1 1

Sustituyendo las condiciones inicial y de frontera se obtienen las siguientes dos ecuaciones si-multáneas igualadas a una misma constante

11000 1

acln − =

1500

acln =

1

aN t cln = +

1

a

dN

Ndt∫ ∫=dN

aNdt=

dN

dtaN=

dN dt aN=

N( )∞ = 50 000

ba e

e

a

a=

−( )−( )

−

−

5 1 2

5000 1

N( )1 1000=

N ta

b a b e at( ) =+ −( ) −

500

500 500

N taN

bN a bN e at( ) =+ −( ) −

0

0 0

N 0 500=

− >bN b2 0, ,t → ∞dN dt aN bN= − 2

N te t( ) =

+ ( ) −1

1 499 500 2


Igualando estas ecuaciones se tiene que

1

Como se obtiene que

por lo que en un instante cualquiera es

Si se encuentra el tiempo límite para el cual esto sucede

1

Por tanto, es el instante en que 50 000 personas verán el aviso publicitario.

6. La población P(t) de un suburbio en una gran ciudad en un instante cualquiera se rige porel problema de valor inicial

en donde t se expresa en meses. ¿Cuál es el valor limite de la población? ¿Cuándo igualará lapoblación la mitad de ese valor límite?

Solución

Separando variables e integrando se tiene que

Utilizando la fórmula se tiene que

1

Por tanto, la solución general es

P

Pce t

10 101 7− −−=

P

Pe et c

10 101 7− −−=

1

10 10 101 1 7− − −−= +ln

P

Pt c

du

u a bu a

u

a buc

( )ln

+=

++∫ 1

dP

P Pdt

( )10 101 7− −−=∫ ∫

P( )0 5000=dP

dtP P= −− −( )10 101 7

t = 13 42.

t = ln .672 860 29 50 000 8 9631

639 . .= e t

N = 50 000

N e t1639 8 963. .=

N t( )

c c= = = +8 9681

6931000 1.

.ln( )

N( )1 1000=

a = .6931

5001

1000 1a a

ln ln= −


Sustituyendo la condición se obtiene que

1

Sustituyendo el valor de c y suponiendo que t = 100, se obtiene el número de habitantes

1 habitantes

Sustituyendo el valor de c y suponiendo que t = 200 se obtiene el número de habitantes

habitantes

Esto quiere decir que murieron más de los que nacieron.

Suponiendo que t =150 se tiene que habitantes. Se concluye que esta es la po-blación límite.

Para obtener cuándo la población igualará la mitad de ese valor límite, se plantea lo siguiente

1

1 t � 52.9 meses

7. Obtener la solución de la ecuación logística modificada

a, b, c > 0

Solución

Utilizando Maple 7 se obtiene que

> with(DEtools):

> ode := diff(P(t),t) = P(t)*((a-b*P(t))*(1-c*P(t)^(-1)));

exactsol( ode, P(t) );

⎧

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎫

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬ = ( )P t

− e

( )t ae

( )_C1 aa

e

( )t b ce

( )_C1 b cc

− + 1b e

( )t ae

( )_C1 a

e

( )t b ce

( )_C1 b c

:= ode = ∂

∂

t( )P t ( )P t ( ) − a b ( )P t

⎛

⎝⎜⎜ − 1

c

( )P t ⎛

⎝⎜⎜

dP

dtP a bP cP= − − −( )( )1 1

500 003

10 10 500 0035025 1251 7

− −−=

( ). e t

PP= = =2

1 000 005

2500 002 5

personas.

P = 1 000 005

P = 999 689 64 .

P = 999 991 P

Pe

10 105025 1251 7

100− −−

= .

c =−

=− −5000

10 10 50005025 1251 7 ( )

.5000

10 10 50001 70

− −−=

( )ce

P( )0 5000=


> simplify({P(t) =

(1/exp(t*b*c)*exp(t*a)/exp(_C1*b*c)*exp(_C1*a)*a-c)/(-

1+b/exp(t*b*c)*exp(t*a)/exp(_C1*b*c)*exp(_C1*a))});`

8. Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar una sustancia química C. La reac-ción que resulta entre las dos sustancias químicas es tal que por cada gramo de A se usan 4 gde B. Se observa que se forman 30 g del compuesto C en 10 min. Determine la cantidad de Cen un instante cualquiera si la rapidez de la reacción es proporcional al producto de las canti-dades de A y B restantes y si en un principio hay 50 g de A y 32 g de B.¿Qué cantidad de compuesto C hay después de 15 min? Interprete la solución cuando t→∞.

Solución

Sea el número de gramos de compuesto C presentes en un instante cualquiera. Claramente

se sabe que y .

Suponiendo que hay 2 gramos de compuesto C habrá a gramos de A y b gramos de B. Por tanto,

, . En tal caso se tiene que utilizar gramos de sustancia A y

gramos de B. Para x gramos de C se deberán emplear gramos de A y gramos de B.

Las cantidades restantes de A y B en un instante cualquiera son y . La rapidez

con que el compuesto químico C se forma satisface la ecuación

Se factorizan 1/5 del primer término y 4/5 del segundo, luego se introduce la constante de pro-porcionalidad

Aplicando separación de variables se obtiene que

1

1 1250

40 2210−

−=x

xc e ktln

250

40210 1

−−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= +x

xkt c

−−

+−

=1 120

250

1 120

40

/ /

xdx

xdx kdt

dx

x xkdt

( )( )250 40− −=

dx

dtk x x= − −( )( )250 40

dx

dt

xxα 50

532

4

5−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

324

5− x50

5− x

4

5x

x

5

b = 8

5a = 2

5b a= 4a b+ = 2

x 10 30( ) =x 0 0( ) =x t( )

⎧

⎩

⎪⎪⎪⎪⎨

⎫

⎭

⎪⎪⎪⎪⎬ = ( )P t

− a e( )( ) + t _C1 ( )− + b c a

c

− + 1 b e( )( ) + t _C1 ( )− + b c a


Aplicando la condición se obtiene que . Sabiendo que x = 30 para t =10se tiene que

2101

10

88

250 1258k = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=ln .

c 2 25 4= /x 0 0( ) =


X X � 40

10 20 30 40 t

(a) (b)

35 39.5930 39.2225 38.5420 37.2515 34.7810 30 (medido)

t(min) x(g)

Fig. 3.1.

Sustituyendo el valor de k resulta que

En la Fig. 3.1 se muestra que x → 40 cuando t → ∞. Esto significa que se forman 40 gramosde compuesto C y que quedan

de sustancia A

de sustancia B

9. La altura del nivel h del agua que fluye de un orificio en el fondo de un tanque cilíndricoestá dada por

en donde y son las áreas de las secciones transversales del tanque y el orificio, respec-

tivamente. Resuelva la ecuación si el nivel inicial del agua está a 20 pies y y

. ¿Cuánto demora el tanque en vaciarse?

Se tiene los datos

g pies= 32 2

dh

dt

A

Agh= − 2

1

2

A pie21

42=

A pie1250=

A 2A1

dh

dt

A

Agh g pie

s= − =2

1

2 32 2,

324

540 0− =( ) g

501

540 42− =( ) g

x te

e

t

t( ).

.= −−

10001

25 4

0 1258

0 1258

Solución


1

Sustituyendo la condición se tiene que y la solución viene dada por

10. Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su escuela, donde hay1000 estudiantes. Si se supone que la rapidez con que se propaga el virus es proporcional nosólo a la cantidad x de alumnos infectados sino también a la cantidad de alumnos no infecta-dos, determine la cantidad de alumnos infectados treinta días después si se observa que a loscuatro días x(4)=50.

Solución

Suponiendo que nadie sale de la escuela se tiene que

Sustituyendo y en la ecuación se tiene que

Sustituyendo la condición x(4)=50 se obtiene el valor de la constante k y se obtiene que

Por tanto, en 30 días el número de alumnos infectados será

alumnos.xe

( ) .301000

1 999100029 718=

+=−

x te t( ) .=

+ −1000

1 999 0 9906

x tk

k e k kekt kt( ) =+

=+− −

1000

999

1000

9991000 1000

x tax

bx a bx e at( )( )

=+ − −

0

0 0

b k=a k= 1000

dx

dtkx x x= − =( ), ( )1000 0 1

21

252 20h t= − +

c = 2 20h 0 20( ) =

21

25h t c= − +

dh

hdt∫ ∫= − 1

25

A pie

A pie

h pie

12

21

42

50

0 20

=

=

( ) =


11. La población de una pequeña ciudad crece, en un instante cualquiera, con una rapidez pro-porcional a la cantidad de habitantes en dicho instante. Su población inicial de 500 aumenta15% en 10 años. ¿Cuál será la población dentro de 30 años?

Solución

Se tienen los datos

y la ecuación del problema es


1

Entonces la solución general viene dada por

Aplicando aquí las condiciones iniciales resulta que y a partir de la condición de fron-tera se obtiene que

1

Para resulta que

1

12. Cuando un objeto absorbe calor del medio que lo rodea se obtiene la fórmula

. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20 °C, se deja

caer en un recipiente con agua hirviendo. Calcule el tiempo que dicha barra demorará en al-canzar los 90 °C. Si se sabe que su temperatura aumentó 2 °C en 1 segundo, ¿cuánto se tardarála barra en alcanzar los 98 °C?

Solución

La ecuación de este problema es

dT

dtk T T= −( )0

dT

dtk T T= −( )0

N = 760N e= −500 0 01 397 30. ( )

N 30( )

k = 0 01 397. 575 500 10= e k

N 10 575( ) =500 = c

N ce kt=

ln N kt c= +dN

Nk dt∫ ∫=

dN

dtkN=

N N0 0( ) =

N 0 500=


y también se tienen los datos

Separando variables e integrando se obtiene que

1

1 1

Sustituyendo la condición inicial dada, resulta que

1

Sustituyendo c2 en la solución general se obtiene que

Tomando en cuenta la condición se tiene que

1

Por tanto, la solución particular de este problema es

y para resulta que

1

En un tiempo de 82.13 segundos la barra de metal alcanzará los 90 °C. Para , eltiempo es

1

En un tiempo de 145.70 segundos la barra de metal alcanzará los 98°C.

1.4 APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTEPARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELAUN SISTEMA FÍSICO

En los problemas del 1 al 12 plantee la ecuación diferencial que representa la situación físicaimplicada, y resuélvala por el método del factor integrante bajo las condiciones de contornopara determinar el modelo matemático representativo del escenario.

t = 145 70.98 100 80 025 317 807= − −e t.

T = °90 C

t = 82 13. seg90 100 80 025 317 807= − −ee t.

T C= °90

T t e t( ) = − −100 80 025 317 807.

k = ( ) = −ln .

.975

2025 317 807 22 100 80 1= − ( )e k

T 1 22( ) =

T e kt= −100 80

c 2 80= −20 100 20= + ( )c e k

T 0 20( ) =

T c e kt− =100 2ln T kt c− = +100 1

dT

Tkdt

−=∫ ∫100

dT

T Tkdt

−=∫ ∫

0

T C

T C

= °= °

90

98

T Cagua hirviendo_ = °100

T Cinicial = °20


1. Un tanque contiene 200 litros de agua en el cual se disuelven 30 gramos de sal. Una sal-muera que contiene 1 gramo de sal por litro se bombea al tanque con una intensidad de 4 li-tros/minuto; el agua adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez.a) Calcule el número de gramos de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. b)¿Cuánta sal habrá en el tanque al cabo de un tiempo infinito?

Solución

Se tiene que

La ecuación de este problema es

y el factor integrante es

Por tanto, se tiene que

1

Sustituyendo aquí la condición se tiene que y, por tanto, la solución

que da la cantidad de sal en un instante cualquiera. Por otro lado, para se obtiene que

Por tanto, existen 200 gramos de sal en un tiempo infinitamente grande.

2. Se bombea cerveza con un contenido de 6% de alcohol por galón a un tanque que inicial-mente contiene 400 gal de cerveza con 3% de alcohol. La cerveza se bombea hacia el interiorcon una rapidez de 3 gal/min, en tanto que el líquido mezclado se extrae con una rapidez de 4gal/min. Obtenga en número de galones de alcohol que hay en el tanque en un instantecualquiera. ¿Cuál es el porcentaje de alcohol que hay en el tanque después de 60 minutos?¿Cuánto demorará el tanque en vaciarse?

A t( )

A e= − =−∞200 170 200

t → ∞

A et

= − −200 170 50

c = −170t A= =0 30,

A cet

= +−

2001

50d e A e dtt t

1

50

1

504⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∫ ∫

μ t e edt

t

( ) = =∫ 1

50 50

dA

dtA+ =1

504

Rlitro gramo

litrogr

Rlitro

1

2

41

14

4

= =

=

min* / min

miin*

min minA t gramos

A gramos A t gr( ) = = ( )4

200 50

A t( )


Solución

Si la solución se extrae con una rapidez de 4 gal/min, entonces la solución se vacía con unarapidez de

Después de t minutos hay galones de cerveza con un porcentaje A de alcohol en el

tanque. En tal caso la rapidez con la que la cerveza sale es

También se tiene que

Por tanto, la ecuación de este problema es

1

1 1

El factor integrante de esta ecuación es

Sustituyendo el factor integrante en la ecuación diferencial del problema se obtiene la solucióngeneral

1

1

La condición inicial es que en se tiene , y de aquí

1 c = −( )

= − × −0 03 24

4009 36 104

10..0 03 0 06 400 400 4. .= −( ) + ( )t c

A t alcohol galón( ) = 0 03.t = 0

A t t c t( ) = −( ) + −( )0 06 400 400 4.

A

t tc

400

0 06

4004 3−( )=

−( )+.

dA

t

dt

t( ).

( )4000 18

4004 4−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−∫ ∫

μ x et

dt

t( ) = =−( )

−( )∫ 4

4004

1

400

dA

dt tA dt dt+

−( ) =4

4000 18.

dA

dt

A

t+

−=4

4000 18.

dA

dt

A

t= −

−0 18

4

400.

dA

dt

gal alcohol

gal

A= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−3 0 6 4

40min

.

00 −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟t

alcohol

min

Variación del % de

alcohol

respecto al tiemppo

Rapidez con que entra

la cervez

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ = aa con 6% de

alcohol

Rapidez con qu⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ −

ee sale

la cerveza con A%

de alcohol

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

4

400

4

400

gal A

t

alcohol

gal

A

tmin⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−aalcohol

min

400 − t

3 4−( ) = −gal gal

min min


Por tanto, la solución es

Esta ecuación representa la cantidad de alcohol en el tanque a cualquier tiempo. Por otro lado,el porcentaje de alcohol en el tanque a los 60 minutos es

1

El depósito tiene inicialmente 400 galones de cerveza la cual se extrae a una rapidez de 4 galo-nes por minuto, pero le bombean cerveza a su interior con una rapidez de 3 galones por minuto.

Por tanto . Por tanto, el tiempo que tarda en salir todo el

contenido de cerveza es igual a: , lo cual se puede comprobar al sustituir

este dato en la solución general, la cual queda como . Entonces el tiempo que tarda

en vaciarse el tanque es .

3. La rapidez con que un medicamento se disemina en el flujo sanguíneo se rige por la ecua-ción diferencial

en donde A y B son constantes positivas. La función describe la concentración del

fármaco en el flujo sanguíneo en un instante t cualquiera. Determinar el valor límite de

cuando . ¿Cuánto demora la concentración en alcanzar la mitad de este valor límite?

Suponga que .

Solución

Se tiene la ecuación diferencial

y el factor integrante de ésta es


1 X tA

Bce Bt( ) = + −d e X A e dtBt Bt( ) =∫ ∫

μ x e eBdt Bt( ) = =∫

dX

dtBX A+ =

X 0 0( ) =t → ∞

X t( )X t( )

dX

dtA BX= −

t = 400 min

A t( ) = 0

400

1400

gal

gal / minmin=

( ) / min / min3 4 1− = −gal gal

A t( ) = 7 89. %A t( ) = −( ) − × −( )−0 06 400 60 9 36 10 400 6010 4. .

A t t t( ) = −( ) − × −( )−0 06 400 9 36 10 40010 4. .


Si entonces se tiene que


y para resulta que .

¿Cuánto tarda la concentración en alcanzar la mitad de este valor límite? Esto es

1 1

Resolviendo esta ecuación con Maple 7 se tiene que el tiempo que tarda la concentración enalcanzar la mitad de este valor límite es

Otra forma de obtener este resultado es mediante el método de coeficientes indeterminados. Elprocedimiento es el siguiente.

Primero se resuelve la ecuación diferencial homogénea

Luego se resuelve la ecuación no homogénea


Si entonces y, por tanto,

X X X c e c c ec pBt Bt= + = + − = −( )− −

1 1 1 1

c c1 2= −X 0 0( ) =

X X X c e cc pBt= + = +−

1 2

X c e cpt= =2

02

m 2 0=

D A( ) = 0

X c ecBt= −

1

m B1 = −

m B1 0+ =

tB

= .6 931 471 8061

ln ln1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −e Bt1

2

A

B

A

B

A

Be Bt= − −X t

A

B( ) = 1

2

X tA

B( ) =t → ∞

X tA

B

A

Be Bt( ) = − −

0 0= + ⇒ = −A

Bce c

A

B

X 0 0( ) =


Para se tiene que

El tiempo que demora la concentración en alcanzar la mitad de este valor límite es

1 1

Por tanto, el tiempo que tarda en alcanzar la mitad es .

NOTA. Como se puede observar, el método de coeficientes indeterminados también funcionacuando se aplica en ecuaciones diferenciales de primer orden.

4. En marzo de 1976 la población mundial llegó a los 4 mil millones. Una revista predijo quecon una tasa media anual de 1.8% la población mundial sería de 8 mil millones en 45 añosmás. ¿Cómo se compara este valor con el predicho por el modelo que dice que la rapidez decrecimiento en un instante es proporcional a la población presente?

Solución

La ecuación diferencial de este problema es

La condición inicial es y la condición de frontera es .

El factor integrante de la ecuación diferencial es

y, por tanto, se tiene que

1 1

Aplicando las condiciones iniciales se tiene que y, por tanto,

Sustituyendo las condiciones de frontera se obtiene que

1

1 k = =..

69 314

450 01 540 311

8 10 4 109 9 45× = × e kN( )45 8 000 000 000=

N e kt= ×4 10 9

4 000 000 000 = C

N Ce kt=Ne Ckt− =d e N e dtkt kt− −×⎡⎣ ⎤⎦ =∫ ∫ ( )0

μ( )t e ekdt kt= =−∫ −

N N( )45 2 0=N t N( )0 0=

dN

dtkN=

tB

= 0 6931.

tB

= −−

0 6931.1

2 2 2 2c c e cBt= − +−X tc c( ) = − =1 2

2 2

X t c e cB( ) = −( ) = −− ∞1 11

t → ∞


Finalmente la solución viene dada por

Por tanto, la población mundial sería de 8 mil millones en 45 años más.

1 habitantes.

5. Un cultivo tiene una cantidad inicial de bacterias. Cuando t =1 h, la cantidad medida

de bacterias presentes es . Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de

bacterias presentes en el momento t, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad

inicial de microorganismos.

Solución


y el factor integrante es

La solución de la ecuación es

1

Cuando t � 0 se tiene que y, por tanto, cuando t � 1

Como se tiene que

1 1

Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias despejamos t de

y se obtiene que .

6. Los arqueólogos utilizaron madera quemada encontrada en el sitio para fechar las pinturasprehistóricas de Lascaux, Francia. Determine la edad aproximada de un trozo de madera, si seencontró que había desaparecido el 85% del carbono 14.

t h= 2 71.3 0 00 4055P P e t= .

P t P e t( ) .= 00 4055k = =ln .

3

20 4055

3

2 0 0P P e k=

P P( )13

2 0=

P t P e kt( ) = 0

P ce c00= =

P t ce kt( ) = −d e P e dtkt kt− −⎡⎣ ⎤⎦ =∫ ∫* ( )0


dP

dtkP− = 0

P t( )

3

2 0PP t( )

P0

N = 7 999 942 556 N e= ×4 10 9 0 015 403 45. ( )

N e t= ×4 10 9 0 015 403.


Solución


El factor integrante de esta ecuación es

Integrando la ecuación diferencial dada resulta que

1

Utilizando la condición se obtiene que y por tanto

Aplicando el hecho de que la vida media (tiempo que transcurre para que se desintegre la mi-tad de los átomos de una muestra inicial, A0, y se conviertan en átomos de otro elemento) es

años

se tiene que

1 1

Entonces resulta que la solución es

Como el 85.5% ya coexiste en la madera, sólo queda 14.5% de carbono 14 en ella

1 1

La edad aproximada de un trozo de madera es de años.

7. Un circuito en serie en el cual la resistencia es de 200 y la capacitancia de

se le aplica una tensión de 100 voltios. Calcule la carga en el capacitor si y

obtenga la corriente.

q( )0 0=q t( )

1 10 4× − FΩ

t = 15 600 93 .

t =−ln .

.

0 145

000 123 0 145 0 0

000 123. . ( )A A e t= − A A= .145 0

A A e t= −0

000 123.

k = −.000 123 ln ( )1

25 600= k

AA e kt0

02=

t = 5 600 AA

= 0

2

A A e ktt= 0

c A= 0A A( )0 0=

Ae ckt− =d e A e dtkt kt− −⎡⎣ ⎤⎦ =∫ ∫ ( )0

μ t e kt( ) = −

dA

dtkA=


Solución

Se tienen los datos

La ecuación diferencial del problema es

Sustituyendo aquí los datos se obtiene que

1

El factor integrante es

Integrando la ecuación diferencial se tiene que

1

Sustituyendo la condición inicial se obtiene que y, por tanto,

es la carga en el capacitor. Como entonces

Por tanto, la corriente eléctrica en cualquier instante es del orden de

8. El isótopo radioactivo del plomo, Pb-209, se desintegra en un instante cualquiera con unarapidez proporcional a la cantidad presente en dicho instante y tiene una semivida de 3.3 ho-ras. Si inicialmente hay 1 gramo de plomo ¿cuánto tiempo transcurrirá para que se desintegreel 90% de dicho elemento?

i e t= −1

250

id e

dt

t

= − −(. . )01 01 50

idq

dt=

q e t= − −. .01 01 50

c = −.01q( )0 0=

q ce t= + −.01 50d q e e dtt t50 50 5⎡⎣ ⎤⎦ =∫ ∫ (. )

μ( )t e etdt t= =∫ 50 50

dq

dtq t+ =50 5( ) .

1

1 10200 1004×

+ =− q tdq

dt( )

1

Cq t R

dq

dtE t( ) ( )+ =

q( )0 0=

E t V( ) = 100

C F= × −1 10 4

R = 200 Ω


Solución




1

En un inicio se tiene que por esto y, por tanto,

Tomando en cuenta la semivida del isótopo se obtiene que k

1

El tiempo que transcurrirá para que se desintegre el 90% de dicho elemento se determina sus-tituyendo los datos conocidos en la ecuación

1

por lo que el tiempo para que se desintegre el isótopo es de horas aproximadamente.

9. Un gran tanque está parcialmente lleno con 100 galones de líquido, en los cuales se disuelven

10 libras de sal. Una salmuera que contiene 1/2 libra de sal por galón se bombea al tanque con

una rapidez de 6 galones por minuto. La solución actualmente mezclada se bombea en seguidahacia fuera con una rapidez menor de 4 galones por minuto. Determinar el número de libras desal que hay en el tanque después de 30 minutos.

Solución

La cantidad de solución que se acumula es

6 4 2gal gal gal

min min min− =

t = 10 96.

ln(. )

.

1

0 21−= t0 1 1 0 21. .= −e t

k = = −ln( . )

..

0 5

3 30 21

AA e k0

03 3

2= ( . )

A A e kt= 0

A c0 =A A= 0

Ae ckt− =d e q e dtkt kt− −⎡⎣ ⎤⎦ =∫ ∫ ( )0


dA

dtkA=


es la rapidez con que entra la sal

es la rapidez con que sale la sal

Como entonces la ecuación diferencial del problema es



1

Como se tiene que

1

La cantidad de sal en un instante dado es

El número de libras de sal que hay en el tanque después de 30 minutos es

10. Un gran depósito está lleno con 500 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 2libras de sal por galón se bombea al tanque a razón de 5 galones por minuto, y la soluciónadecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una rapidez de 10 galones por minuto.Determinar el número de libras de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera.¿Cuánto demorará el tanque en vaciarse?

A t( )

A = + −+

=( ( ))

( ( )).

100 2 30

2

400 000

100 2 3064 382

librras

At

t= + −

+( )

( )

100 2

2

400 000

100 2 2

c = −400 000 10100

2 100 2= +( )

c

A 0 10( ) =

At

c t= + + + −( )( )

100 2

2100 2 2d t A t dt( ) ( )100 2 3 100 22 2+⎡⎣ ⎤⎦ = +∫ ∫

μ( ) ( )lnt e e tt t= = = ++∫ +22

100 2 2 100 2 2100 2

dA

dt

A

t+

+=4

100 23

dA

dtR R= −1 2

Rgal A

t

lb

gal

A

t2 4100 2

4

100 2= ×

+=

+min ( )

R 2

Rgal lb

gal

lb1 6

1

23= × =

min min

R1


Solución

La solución es similar a la del problema 9. La entrada de sal al depósito es

La salida de sal del depósito es



y la solución general viene dada por

1

Sustituyendo la condición inicial se obtiene que y por esto la sal presen-te en cualquier instante es

Cuando minuto la cantidad de sal es del orden de

11. Un cuerpo de masa m que cae a través de un medio viscoso encuentra una resistencia pro-porcional al cuadrado de su velocidad instantánea. En este caso, la ecuación diferencial en un

instante cualquiera es en donde k es una constante de proporcionalidad.

Resuelva la ecuación sujeta a la condición v(0)=v0 ¿Cuál es la velocidad límite del cuerpo que cae?

Solución


dv

dt

k

mv g+ =2

mdv

dtmg kv= − 2

A Ce= + = − =−

500 500 488 1 389 393 11 86 1061

501( )

. . libras069

t = 1

A et

= −−

500 4981

50

C = −498A 0 2( ) =

A Cet

= +−

5001

50d e A e dtt t

( )1

50

1

5010∫ ∫=

μ( )t e edt t

= =∫ 1

50

1

50

dA

dtA+ =1

5010

Rgal A t lb

gal

A t lb2 10

500 50= × =

min

( ) ( )

min

Rgal lb

gal

lb1 5 2 10= × =

min min




1

Sustituyendo en la ecuación anterior la condición inicial dada se obtiene que

Sustituyendo el valor de c en la solución general resulta que

Cuando la velocidad del cuerpo es

12. A un circuito en serie, en el cual la resistencia es de y la capacitancia de ,

se la aplica una tensión de 200 voltios. Encuentre la carga en el capacitor si .

Determine la carga y la corriente para segundos y la carga cuando .

Solución


Sustituyendo aquí los datos dados se obtiene que

1

El factor integrante para la ecuación anterior es

μ( )t e etdt t= =∫ 200 200

dq

dtq t+ =200 2( ) .

1

5 101000 2006×

+ =− Fq t

dq

dtv( ) Ω

1

Cq t R

dq

dtE t( ) ( )+ =

t → ∞t = 0 005.

i( ) .0 0 4=q t( )

5 10 6× − F1000 Ω

v tmg

k( ) =

t → ∞

vmg

kv

mg

ke

k

mt2

02= + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−

c vmg

k= −0

2

vmg

kce

k

mt2 = +

−

d e v ge dtk

mt

k

mt2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∫ ∫

μ( )t e ek

mdt

k

mt

= =∫


Integrando la ecuación diferencial del problema se tiene que

1

Sustituyendo la condición en la ecuación anterior se obtiene que por lo

que la carga en el capacitor en cualquier instante está dada por

Cuando segundos, la carga en el capacitor es del orden de

Como la corriente eléctrica viene dada por , entonces se tiene que

1

y para segundos se obtiene que

Cuando la carga toma el valor de y la corriente se anula

1.5 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELAUN SISTEMA FÍSICO UTILIZANDO MAPLE 7

En los problemas del 1 al 5 se plantea la ecuación diferencial que representa la situación físi-ca dada y se resuelve usando Maple 7 bajo las condiciones de contorno para obtener el mode-lo matemático del problema.

1. La ecuación diferencial que describe la forma de un cable con un peso constante w que cuel-ga sometido sólo a la acción de su propio peso es

en donde T1 es la tensión horizontal en el punto más bajo del cable. Las condiciones para este

problema son , .y ' ( )0 0=y( )0 1=

d y

dx

w

T

dy

dx

2

21

2

1= + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

idq

dt= = 0.

q = .001t → ∞

i e= =−79 8 29 3567200 005. .(. ) amperes

t = 0 005.

i e t= −79 8 200.i

d e

dt

t

= + −(. . )001 399 200

idq

dt=

q e= + =−. . .(. )001 399 1477200 005

t = 0 005.

q e t= + −. .001 399 200

c = .39 900 i( ) .0 0 4=

q ce t= + −.001 200d q e e dtt t⋅⎡⎣ ⎤⎦ =∫ ∫200 200 2(. )


Solución

Usando Maple 7 para resolver la ecuación diferencial del problema se obtiene que

>ode1:=diff(y(x),x$2)-

((w/T[1])*(sqrt(1+(diff(y(x),x))^2)));

ans1:=dsolve(ode1);

Sustituyendo en esta solución general que da Maple la condición se obtiene que

1

Por otro lado, la primera derivada de la solución que da Maple es

y sustituyendo aquí la condición se obtiene que

A partir de aquí se ve que C1 debe ser diferente de 0, ya que de lo contrario habría una solu-ción trivial. Por tanto, se tiene que

1 1

y entonces

C

w Tw

T

n T

w

w

T

wn2 1

11

1

1=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −cosh *

cosh

π

π

Cn T

w1 1= − π− =wC

Tn

1

1

πsen senhwC

Th n

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =10

1

( )π

01

1

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

senhwC

T

y ' ( )0 0=

′ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y xT

w

w

Th

wx wC

T( ) *1

1 1

1sen

C

w TwC

T

w2

11

1=− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

cosh

w TwC

TC w= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+11

12cosh

y( )0 1=

:= ans1 , , = ( )y x + I x _C1 = ( )y x − + I x _C1 = ( )y x

+ T1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

coshw ( ) + x _C1

T1

_C2 w

w

:= ode1 − ⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟∂

∂2

x2( )y x

w + 1 ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟∂

∂x

( )y x

2

T1


Sustituyendo este valor resulta que la solución particular es

Resolviendo mediante Maple 7 la ecuación diferencial dada se obtiene el resultado siguiente

>ode := diff(y(x),x,x)-

((w/T[1])*(sqrt(1+(diff(y(x),x))^2)))=0;

Sustituyendo la primer condición inicial resulta que

> ans2[1] := dsolve( {ode, y(0)=1}, y(x));

Sustituyendo al mismo tiempo las dos condiciones iniciales se obtiene que

> ans2[2] := dsolve( {ode, y(0)=1, D(y)(0)=0}, y(x));

2. Una ecuación similar a la dada en el problema anterior es

Esta ecuación surge al estudiar la trayectoria de un depredador que se desplaza con una velo-cidad y que busca capturar una presa que se mueve con una velocidad . Para resolveresta ecuación se consideran dos casos:

v1v 2

xd y

dx

v

v

dy

dx

2

21

2

2

1= + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

:= ans22

, = ( )y x

− + T1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

coshw x

T1

T1w

w = ( )y x

+ + T1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟cosh

w⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟ + x

I π T1

w

T1

T1w

w

ans21 :=

, , = ( )y x − + I x 1 = ( )y x + I x 1 = ( )y x

− + T1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

coshw ( ) + x _C1

T1

T1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

coshw _C1

T1

w

w

:= ode = − ⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟∂

∂2

x2( )y x

w + 1 ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟∂

∂x

( )y x

2

T1

0

y x

Twx n T

Tw T n

w( )

cosh)

cosh

=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −( )11

11

π π


1. Caso

2. Caso

Solución

1. Caso

La solución de Maple 7 a la ecuación diferencial dada es

>ode2:=x*diff(y(x),x$2)-

((v[1]/v[2])*sqrt(1+(diff(y(x),x))^2))=0;

> ans2:=dsolve(ode2);

En la Fig. 1.2 se muestra el comportamiento de la trayectoria del depredador que se desplazacon una velocidad menor que la velocidad de su presa.

>v[2]:=1;v[1]:=2;_C1:=1;_C2:=1;plot(1/2*x*v[2]/(-

v[2]+v[1])/(x^(1/v[2]*v[1]))*exp(1/v[2]*v[1]*_C1)+1/2*x*v[2]/

(v[2]+v[1])*x^(1/v[2]*v[1])/exp(1/v[2]*v[1]*_C1)+_C2,x=-

10..10,y=-200..200);

:= v2

1

:= v1

2

:= _C1 1

:= _C2 1

v1v 2

ans2 = ( )y x + I x _C1 = ( )y x − + I x _C1, , :=

= ( )y x + + 1

2

x v2e

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

v1_C1

v2

( )− + v2v

1x

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

v1

v2

1

2x v

2x

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

v1

v2

( ) + v2v

1e

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

v1_C1

v2

_C2

:= ode2 = − x⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟∂

∂2

x2( )y x

v1

+ 1 ⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟∂

∂x

( )y x

2

v2

0

v v1 2≠

v v1 2=

v v1 2≠


2. Caso

La solución de Maple 7 a la ecuación diferencial dada es

>ode3:=x*diff(y(x),x$2)-

((v[1]/v[1])*sqrt(1+(diff(y(x),x))^2))=0;


En la Fig. 1.3 se muestra el comportamiento de la trayectoria del depredador que se desplazacon una velocidad igual que la velocidad de su presa.

:= ans3 , , = ( )y x + I x _C1 = ( )y x − + I x _C1 = ( )y x − + 1

4

x2

_C1

1

2_C1 ( )ln x _C2

:= ode3 = − x⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟∂

∂2

x2( )y x + 1 ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟∂

∂x

( )y x

2

0

v v1 2=


�10 �8 �6 �4 �2 2 4 6 8 10

Fig. 1.2.

�200

�100

100

200

x

y

>v[2]:=1;v[1]:=1;_C1:=1;_C2:=1;plot(1/4*x^2/_C1-1/2*_C1*ln(x)+_C2,x=-20..20,y=-30..30);

:= v2

1

:= v1

1

:= _C1 1

:= _C2 1


Fig. 1.3.

�30

�20

�10

10

30

20

0

x

y

�20 10 20�10

3. La ecuación diferencial no lineal

en donde son constantes no negativas surge del estudio del problema de los dos

cuerpos en mecánica celeste. Aquí la variable r representa la distancia entre las dos masas.

Resuelva la ecuación en los casos y .h > 0h = 0

μ y h

dR

dt rh⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = +

2 22

μ,

Solución

Se tiene que

� ode4:=(diff(R(t),t))^2-(2*mu)/r+2*h;

� ans4:=dsolve(ode4);

por lo que la solución es

Caso I

A partir de la solución anterior resulta que

,

En las Figs. 1.4 y 1.5 se muestra el comportamiento de los cuerpos celestes para el Caso I.

>r:=7;mu:=2;h:=0;plot(1/r*(-2*r*(-mu+h*r))^(1/2)*t,t=-2..2);

r

h

:

:

:

===

7

2

0

�

R tr t

rC( )

( )= −

− −+

21

μR t

r t

rC( )

( )=

− −+

21

μ

h = 0

:= ans4 , = ( )R t + −2 r ( )− + μ h r t

r_C1 = ( )R t − +

−2 r ( )− + μ h r t

r_C1

:= ode4 − + ⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟∂

∂

t( )R t

22 μr

2 h


Fig. 1.4.

�1.5

�0.5

0.5

1.5

�1

1

0t

y

1 2�2 �1

>r:=7;mu:=2;h:=0;plot(-1/r*(-2*r*(-mu+h*r))^(1/2)*t,t=-2..2);

r

h

:

:

:

===

7

2

0

�


Fig. 1.5.

�1.5

�0.5

0.5

1.5

�1

1

0t

y

1 2�2 �1

En las Figs. 1.6 y 1.7 se muestra el comportamiento de los cuerpos celestes para el Caso II.

> r:=7;mu:=8;h:=1;plot(1/r*(-2*r*(-mu+h*r))^(1/2)*t,t=-2..2);

r

h

:

:

:

===

7

8

1

�

> r:=7;mu:=8;h:=1;plot(-1/r*(-2*r*(-mu+h*r))^(1/2)*t,t=-2..2);

r

h

:

:

:

===

7

8

1

�


Fig. 1.6.

�1.5

�0.5

0.5

1.5

�1

1

0

t

y

1 2�2 �1

4. La ecuación diferencial

se presenta en los estudios de óptica y describe el tipo de curva que reflejará todos los rayosincidentes hacia el mismo punto. Demuestre que la curva debe ser una parábola.

Solución

Usando Maple 7 se tiene que

> ode5:=x(y)*(diff(x(y),y))^2+2*diff(x(y),y)=x(y);

:= ode5 = + ( )x y⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟∂

∂

y( )x y

2

2⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟∂

∂

y( )x y ( )x y

xdX

dy

dX

dyx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ =2

2


Fig. 1.7.

�1.5

�0.5

0.5

1.5

�1

1

0

t

y

1 2�2 �1


En la Fig. 1.8 se muestra el comportamiento de la curva que refleja todos los rayos incidenteshacia el mismo punto.

>_C3:=Pi;plot(-(-ln(x(y))-

sqrt(1+x(y)^2)+arctanh(1/(sqrt(1+x(y)^2)))-_C3),x=-

Pi/2..2*Pi,y=-10..10);

:= _C3 π

ans x y y x y x yx

5 0 11

1

2: ( ) , ln( ( )) ( ) arctan= = − − + ++

h(( )

_ ,

ln( ( )) ( ) arct

yC

y x y x y

2

2

3 0

1

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ − =

− + + − aan( )

_h1

13 0

2+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ − =

x yC


�1 1 2 3 4 5 6�2

2

10

8

6

4

�10

�8

�6

�4

Fig. 1.8.

x

y

5. Las ecuaciones de Lotka y Volterra

dY

dty x

dX

dtx y

= −

= − +

( )

( )

α β

γ δ

en donde son constantes positivas, se presentan en el análisis del equilibrio bio-lógico entre dos especies de animales como un depredador y su presa (por ejemplo zorros yconejos). Aquí, x(t) y y(t) son las poblaciones de las dos especies en un instante cualquiera.Aunque no existen soluciones explicitas del sistema, es posible obtener soluciones que relacio-nan a las dos poblaciones en un instante cualquiera.Divida la primera ecuación entre la segunda y resuelva la ecuación no lineal de primer ordenque resulta.

Solución

Usando Maple 7 se obtiene que

>ode6:=diff(Y(X),X)-(y*(alpha-beta*x))/(x*(-

gamma+delta*y))=0;


1.6 PRÁCTICA DE LABORATORIO: CRECIMIENTO DE UNA CÉLULASUSPENDIDA EN UNA SOLUCIÓN

ABSTRACT

Nowadays, it is undeniable that the apprenticeship-teaching process request to be different to theteachihg traditional method, this is, it is necessary jointed theory and practice in subjects invol-ved in study programs. In this respect, the applications of the linear diffetential equations are nota exception, reason for which, in this laboratory practice, the undergraduate use the knowledgeand creativity for jointed mathematical model with experiment for prove the diffusion physicalphenomenon, that involved directly the Fick Law. In this case, there are a diffusion process be-cause of it is established a concentration gradient between the salt solution and blood cells. Themodel and simulation of the physical phenomenon above-mentioned, to agree with carried outexperiment.

Keywords: Modelling, Simulation, Laboratory practice, Diffusion, Fick Law, Cell, Salt solution

RESUMEN

Es innegable que en estos tiempos se requiere de un proceso de enseñanza-aprendizaje dis-tinto al tradicional método de enseñanza, es decir, es necesario articular la teoría con la prác-tica en los temas involucrados en los programas de estudio. A este respecto, las aplicacionesde las ecuaciones diferenciales lineales no son la excepción, razón por la cual en esta prác-

:= ans6 = ( )Y X + ( ) − α β x X y

x ( )− + γ δ y_C4

:= ode6 = − ⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟∂

∂

X( )Y X

y ( ) − α β x

x ( )− + γ δ y0

α β γ δ, , y


tica de laboratorio el alumno pone en juego su conocimiento y creatividad para conjuntarmodelo matemático con experimento para demostrar el fenómeno físico de difusión, que in-volucra directamente la Ley de Fick. En este caso existe un proceso de difusión toda vez quese establece un gradiente de concentración entre una solución salina y células de sangre. Elmodelado y simulación del fenómeno físico concuerda con bastante exactitud con el experi-mento realizado.Palabras clave: Modelo, Simulación, Experimentación, Difusión, Ley de Fick, Célula, soluciónsalina.

Objetivo

Que el estudiante del curso de ecuaciones diferenciales construya su propio aprendizaje median-te la modelación, simulación y experimentación del fenómeno de difusión de una sustancia enun medio y unas células, usando la Ley de Fick como una de las aplicaciones que surgen deesta rama de las matemáticas.

Introducción

La modelación de fenómenos físicos de nuestro entorno, tales como crecimiento y decrecimien-to de poblaciones, cuerpos en caída libre, rapidez de cambio de factores intrínsecos que posee unindividuo, como la memorización, la variación de la corriente y la carga en un circuito eléctrico,la rapidez con que se efectúan las reacciones químicas, la rapidez de cambio con que se difundeuna sustancia en un medio, la diferencia de alturas de un líquido que sale del orificio de un reci-piente, la rapidez de desintegración de sustancias radiactivas, etc., son representados medianteecuaciones diferenciales de primer orden. Sin duda alguna, las aplicaciones de las matemáticas asituaciones físicas como las señaladas han sido de interés fundamental para los alumnos del Ins-tituto Tecnológico de Ciudad Cuauhtémoc, ITCC. Es así como surge la inquietud de representarfísicamente lo que en teoría se ha “aprendido”.

En el presente trabajo se muestra un tipo de enseñanza-aprendizaje integral, mediante el fenó-meno de difusión de una sustancia [1-10], con la finalidad última de que el estudiante ponga enjuego su capacidad y creatividad experimental ligándola con la parte teórica mediante la mode-lación matemática. A este respecto, Zill [11,12] propone la solución a estos fenómenos físicosmediante ecuaciones diferenciales, lineales y no lineales, como modelos matemáticos que repre-sentan adecuadamente este tipo de situaciones, mientras que Corral [13] resuelve este tipo deproblemas propuestos por Zill [11] con lujo de detalle. Por otro lado, Williamson [14] manejaun nivel más avanzado.

Marco Teórico

El marco de referencia en el que se fundamenta el presente trabajo tiene que ver con dos aspec-tos importantes: 1) la aplicación de las matemáticas a través de una de sus ramas, las ecuacionesdiferenciales; 2) la representación física del fenómeno de difusión. La primera se sustenta en elmodelo matemático teórico adecuado a esta situación, y la segunda en el experimento realizadopara la comprobación teórico-práctica.


En este caso, se hace uso de la Ley de Fick de la difusión de un fluido en un medio y célulasde sangre, toda vez que existe un proceso de difusión siempre que se establezca un gradiente deconcentración.

De acuerdo con la ley de Fick, el flujo de masa de soluto que atraviesa la membrana de unacélula es proporcional al gradiente de concentración. La constante de proporcionalidad se de-nomina coeficiente de difusión D.

En general, el coeficiente de difusión D cambia con la temperatura, pero por razón de simpli-cidad supondremos que se mantiene constante a temperatura ambiente.

El modelo que aquí se presenta explica el establecimiento de un flujo de partículas entre ele-mentos adyacentes de un medio cuando existe entre dos puntos del mismo un gradiente deconcentración. Cuando se ponen en comunicación células de sangre y solución salina, loscuales contienen distinto número de partículas, se alcanza el equilibrio cuando el número departículas es el mismo tanto en las células como en la solución. El equilibrio no es estáticosino dinámico, ya que el sistema (células) y los alrededores (solución salina) intercambianpartículas a nivel microscópico.

El número final de partículas en el sistema y los alrededores no es fijo sino que fluctúa entorno al de equilibrio, las fluctuaciones, como se ha comprobado [3-10], disminuyen al incre-mentar el número de partículas salinas.

Cuando se ponen en contacto las células y la solución salina, la solución salina pasa a las célu-las hasta que se establece el equilibrio. El proceso es irreversible, en el sentido de que no obser-vamos nunca el proceso inverso. Como podemos apreciar en la simulación, la irreversibilidadsignifica la improbabilidad de alcanzar el estado inicial desde el estado final de equilibrio. Estaimprobabilidad se debe al gran número de constituyentes del sistema. Se sabe que cuando el nú-mero de partículas es grande, 100, 200, etc., se observa que es muy improbable que volvamos aver todas las partículas en el estado inicial de no equilibrio [3-10]. El número de partículas enun sistema real es muy elevado, un mol de cualquier sustancia contiene 6.02·1023 moléculas. Portanto, la simulación se debe de considerar como una imagen cualitativa de lo que ocurre en unsistema real, en el que el carácter dinámico del equilibrio y las fluctuaciones son muy difícilesde observar.

Cabe mencionar que en este caso interviene también el movimiento browniano, el cual puedeexplicarse a escala molecular por una serie de colisiones en una dimensión en la cual pequeñaspartículas (moléculas) experimentan choques con una partícula mayor.

En nuestro modelo se supone que las partículas de agua (medio) y las partículas brownianas (sal)están encerradas en un recinto. Las partículas de agua están distribuidas uniformemente en el re-cinto y se mueven con cierta velocidad, la misma en todas las direcciones. Las partículas brow-nianas se mueven bajo la acción de su propio peso y de los choques con las partículas de agua.

Podemos observar que la distribución de partículas brownianas en el estado estacionario, des-pués de cierto tiempo, es el compromiso entre dos efectos contrapuestos: el campo gravitatorioque tiende a agrupar las partículas en el fondo del recipiente y la difusión que tiende a esparcir-las uniformemente por todo el volumen del recipiente [1-10].


Adolph Fick proporcionó el método lla-mado Principio de Fick que es simplemen-te una aplicación de la ley de la conserva-ción de la masa. Este principio lo podemosexplicar con el efecto de ósmosis, es de-cir, que el agua se mueve a través de unamembrana hacia donde hay mayor con-centración de soluto para lograr el equili-brio [1].

La ósmosis es un caso especial de difusión en la que es el movimiento del disolvente el que seestudia, y se define en función de los solutos. Así la ósmosis es el movimiento del agua desdesoluciones con baja concentración de soluto hasta soluciones con alta concentración de soluto.La ósmosis puede ilustrarse separando dos soluciones con concentraciones diferentes de solu-to por medio de una membrana semipermeable. En este tipo de sistema el agua pasará desdela solución A a la solución B, y este movimiento continuará hasta que se igualen las concen-traciones [1–3], como en la Fig. 1.9.

Materiales

Debido al importante papel que juega actualmente en la pedagogía el uso de la tecnología depunta (computadoras y calculadoras), y a los cambios curriculares en los programas de estudiode cálculo y ecuaciones diferenciales, en este trabajo se hace uso del Software Maple 7 con elfin de graficar los resultados obtenidos para demostrar que el modelo teórico concuerda conel experimento que aquí presentamos.

Así pues se hace uso de la computadora, así como de los distintos materiales que integran elexperimento, a saber, probeta, células contenidas en sangre, sal, agua, tubos de ensayo.

Metodología

El experimento se muestra físicamente de la siguiente manera. En una solución de agua con salse introduce una muestra de sangre con volumen y área definidos. Para calcular en cualquierinstante t la concentración del soluto dentro y fuera de las células se pretende determinar, deacuerdo al principio de Fick en una solución hipertónica (mayor concentración de soluto, o sea,más de 0.9 gramos en 100 mililitros de solución), cuánto tiempo tarda el efecto hasta lograr elequilibrio.

Para medir el cambio de la concentración con respecto al tiempo, se usaron 3 tubos de ensayocon diferentes concentraciones (agua-sal). Para demostrar este cambio se introdujo una mues-tra de sangre en cada uno de los contenidos del tubo para comparar el cambio de la concentra-ción. En cuanto al modelo matemático, el método para resolver la ecuación diferencial que re-presenta el fenómeno de difusión fue el de factor integrante.


A B

Fig. 1.9. Fenómeno de la ósmosis.

Posteriormente se simuló el modelo mediante el software Maple 7, el cual arroja una gráficaque concuerda con los resultados experimentales.

Fenómeno Físico

Una célula está suspendida en una solución que contiene un soluto a una concentración cons-tante . Supóngase que la célula tiene un volumen constante V y que el área superficial de

su membrana permeable es la constante A. Por la ley de Fick la tasa de variación de su masa m

es directamente proporcional al área A y a la diferencia , en donde es la

concentración del soluto en el interior de la célula en cualquier instante t. Determine C (t) si

y . Véase la Fig. 1.10.C C( )0 0=m VC t= ( )

C t( )C C ts − ( )

C s


ConcentraciónC s

ConcentraciónC(t)

Moléculas desoluto que pasan a

través de lamembrana de la

célula

Fig. 1.10. Célula suspendidaen una solución.

Modelación

A continuación se modela el fenómeno físico que se presenta arriba, tomando a la célula co-mo el sistema y a la solución como los alrededores.

De acuerdo a la descripción del fenómeno físico, la tasa de variación de la masa m de la célulaes directamente proporcional al área A de su membrana y a la diferencia de concentraciones

, por tanto, la ecuación diferencial del problema es

(1)

Como

(2)m VC t= ( )

dm

dtDA C C ts= −( ( ))

C C ts − ( )

entonces la ecuación diferencial se convierte en

(3a)

o bien en

(3b)

La ecuación (3) puede resolverse mediante el método del factor integrante tomando .

Por tanto, el factor integrante es

(4)

Integrando se tiene que

1 (5)

en donde C1 es la constante de integración. Para determinar dicha constante se usa la condi-ción inicial

(6)

Sustituyendo la ecuación (6) en la ecuación (5) se obtiene que

(7)

Por tanto, la ecuación (5) se convierte en

(8)

La ecuación (8) representa a la concentración de soluto en el interior de la célula en cualquierinstante t.

Situación física particular

En una solución que contiene 9 gramos de sal en 100 ml de agua, es decir, a un concentraciónde 9%, sumergimos las células con volumen de 3.375 ml, un área de 2.25 mm2. ¿Cuál será laconcentración del solvente y la muestra al cabo de 0, 9, 12, 17, 20 segundos? ¿En cuánto tiem-po se logra equilibrar la solución?

C t C e C es

DA

Vt D

A

Vt

( ) = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

− −1 0

C C C s1 0= −

C C0 0( ) =

C t e C e CD

A

Vt

s

DA

Vt

( ) = + 1d e C t kA

VC e dt

DA

Vt

s

DA

Vt

× ( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= ×∫ ∫

μ t e eD

A

Vdt D

A

Vt

( ) = =∫

p t DA

V( ) =

dC t

dtD

A

VC t D

A

VC s

( ) + ( ) =

dVC t

dtDAC t DAC s

( ) + ( ) =


La simulación explica las facetas esenciales de la descripción matemática del proceso de difusión:

1. Hay flujo neto de partículas salinas siempre que haya una diferencia en el número departículas que contienen el sistema y los alrededores, y este flujo es tanto más inten-so cuanto mayor sea dicha diferencia; ley de Fick.


0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000

2e-05

4e-05

6e-05

8e-05

Fig. 1.11 Comportamiento de una célula suspendida en una solución.

Tiempo, t, segtundos

t

Con

cent

raci

ón, C

(t),

gr/

mm

3

C(t) � Cs 1 � e � C0 e

A

�D—t V

A

�D—t V

Resultados

En la Fig. 1.11 se muestra la variación de concentración de soluto en el interior de las células

a través del tiempo. Para , dichos valores se calcularon para los siguientes datos:

C grml gr mm

C grmls

030 01 0 00 001

0 09 0 00 0

= =

= =

. .

. .

009

2 25

3 375 3375

3

2

3

gr mm

A mm

V ml mm

=

= =

.

.

D mm s= 1

2. En el sistema y los alrededores entra en la unidad de tiempo un número determina-do de partículas y sale otro número de partículas. Si es mayor el sistema que los al-rededores se incrementa el número de partículas en la célula en la unidad de tiempo(aumenta la concentración de partículas). Este modelo corresponde a la ecuación dedifusión que aquí presentamos.

Discusión de los resultados

De la representación gráfica del número de las partículas (concentración C(t)), en cada sub-sistema (célula-solución) podemos reconocer qué elementos van ganando partículas y quéelementos las van perdiendo a medida que avanza el proceso.

De los resultados mostrados en la Fig. 1.11 podemos observar el comportamiento exponencialdel crecimiento de una célula a través del tiempo. Es relevante notar que a partir de los 8000segundos la concentración de soluto en la célula es constante, por lo que podemos afirmar quela solución y la célula analizada alcanzan el equilibrio de acuerdo a la Ley de Fick a partirde este momento.

La simulación nos muestra cómo se van extendiendo las partículas brownianas a medida quepasa el tiempo, penetrando en la célula hasta alcanzar su propio equilibrio.

A partir del instante posterior al experimento es posible observar que la concentración de solutoen la célula va en aumento paulatinamente hasta llegar aproximadamente a los 8000 segundos,tiempo en que la concentración ya no cambia.

De la Fig. 1.11 se puede observar que para el tiempo inicial se tiene una concentración Co, locual comprueba que el modelo es adecuado para representar esta situación. Igualmente para untiempo de 2 000 s, 4 000 s, etc., se muestra cómo la concentración del soluto en la célula va enaumento y lo hace en forma exponencial

Conclusiones

De los cálculos realizados en el modelo matemático pudimos percatarnos que arrojan resultadossimilares a los resultados experimentales, de lo cual podemos concluir que este fenómeno de di-fusión, debidamente representado con los argumentos teóricos de la Ley de Fick, se modela congran exactitud en esta práctica de laboratorio.

Referencias

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2. Sanboh Lee, H-Y Lee, I-F Lee, C-Y Teeng. Ink diffusion in water. Eur. J. Phys. 25. (2004)pp. 331-336.

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4. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/transporte/difusion/difusion.htm

5. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/transporte/volatil/volatil.htm

6. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/transporte/difusion/simulacion.htm

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12. Zill, D.G., 2002, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, InternationalThomson Editores, S.A. de C.V.

13. Corral, R.L., 2003, Ecuaciones Diferenciales para Ingenieros en Sistemas Computacionales,Nº de Registro Público del Derecho de Autor: 03-200-072114455600-01.

14. Williamson, R.E., 2001, “Introduction to Differential Equations and Dynamical Systems”,Second Edition, McGraw-Hill Higher Education.

1.7 PRÁCTICA DE LABORATORIO: DEMOSTRACIÓN FÍSICAY MATEMÁTICA DE LA LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

ABSTRACT

In this work, to seek to the students learn to construct the knowledge themselves in integralway to relate theory-practice through the represented model for Newton’s Law of Cooling andthe experiment. Experience tell us that hot and cold objects cool down or warm up to the tem-perature of their surroundings. A useful way to quantify these observations is called Newton’sLaw of Cooling (or “law of heating”), which asserts that the rate of change of the surface tem-perature of an object is proportional to the difference between the surface temperature and thetemperature of the surrounding medium. So, above-mentioned can to probe for example, star-ting from the cooling of a cake or a metal bar. This last case is that here it is presented. Of theresults obtained we can conclude that the model describes with quite accuracy the cooling ofthe metal bar compared with the laboratory practice.

Keywords: Newton’s Law of Cooling, Surface Temperature, Temperature of the SurroundingMedium, Rate of Change, Model, Laboratory Practice, Metal Bar

RESUMEN

En el presente trabajo se pretende que el alumno aprenda a construir su propio conocimien-to en forma integral ligando teoría-práctica mediante el modelo representado por la ley deenfriamiento de Newton y el experimento. Este último puede realizarse por ejemplo, a partirdel enfriamiento de un pastel, al sacarlo de un horno a una temperatura determinada y me-dir ésta en distintos instantes de tiempo posteriores hasta que la temperatura observada seaconstante, es decir, adquiera el valor de la temperatura ambiente, lo cual permitirá realizar


una tabulación de los datos observados para después obtener el gráfico de su comportamien-to. Otro ejemplo típico consiste en el enfriamiento de una barra de metal, como es el casoque aquí presentamos. De los resultados obtenidos podemos afirmar categóricamente que elmodelo describe con gran exactitud el sistema, toda vez que los datos que arroja concuerdancon el experimento.

Palabras clave: Ley de enfriamiento de Newton, Temperatura de superficie, Temperatura delos alrededores, Velocidad de cambio, Modelo, Práctica de laboratorio, Barra de metal

Objetivo

Explicar la ley de enfriamiento de Newton mediante ecuaciones diferenciales ordinarias a travésde método(s) matemático(s) para modelar tal efecto, mostrando además, físicamente, aconteci-mientos cotidianos en donde se refleje la representación simbólica de la situación involucradaa fin de llevar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la física y las matemáticas a una concep-ción constructivista por parte del individuo.

Introducción

Isaac Newton (1641-1727), es reconocido por sus numerosas contribuciones a la ciencia. En-tre otras cosas estudió el movimiento y estableció las leyes de la dinámica, enunció la ley dela gravitación universal, explicó la descomposición en colores de la luz blanca cuando pasapor un prisma, etcétera. A los 60 años de edad aceptó un puesto como funcionario nacional yse desempeñó como responsable de la Casa de Moneda de su país. Ahí tenía como misióncontrolar la acuñación de monedas. Probablemente se interesó por la temperatura, el calor yel punto de fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad dela acuñación. Utilizando un horno a carbón de una pequeña cocina, Newton realizó el siguien-te experimento: calentó al rojo vivo un bloque de hierro, al retirarlo del fuego lo colocó enun lugar frío y observó cómo se enfriaba. Sus resultados dieron lugar a lo que hoy conocemos

con el nombre de ley de enfriamiento de Newton, que se describe como

donde la derivada con respecto al tiempo representa la rapidez del enfriamiento, T

es la temperatura instantánea del cuerpo, k es la constante que define el ritmo del enfriamien-to y T0 es la temperatura del ambiente, que es la temperatura que alcanza el cuerpo luegode suficiente tiempo.

Metodología

El experimento se muestra físicamente calentando un cuerpo a una cierta temperatura, y se mideel descenso de la misma en un tiempo determinado para encontrar la constante k del enfriamien-to, esto para conseguir tanto la temperatura del cuerpo en cualquier instante como el tiempo quese necesita para que llegue a una temperatura deseada.Por otra parte, la justificación matemática consiste en emplear la ley de enfriamiento deNewton a través de la ecuación diferencial ordinaria que la define, usando cualesquier métodoanalítico, separación de variables o factor integrante, aplicando las condiciones de fronterae iniciales que modelan en forma adecuada fenómenos físicos de enfriamiento o calentamien-to de cuerpos.

dT dt

dT dt k T T= −( )0


Situación física

Al sacar un metal del horno su temperatura es de 202 ºF. Después de 3 minutos su temperaturaes de 195 ºF. Se sabe que la temperatura del ambiente es de 70 ºF. ¿A qué temperatura estará elmetal después de 2 minutos, 10 minutos, 30 minutos? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a la tem-peratura ambiente?

Representación simbólica del fenómeno físico

El enfriamiento de un cuerpo queda adecuadamente modelado mediante la expresión matemáti-ca de la ley de enfriamiento de Newton [4]. En la tabla 1.1 se muestran los datos e incógnitas dela situación física descrita anteriormente.


Tabla 1.1 Datos y variables a determinarpara el fenómeno físico que representa

un metal enfriándose.

La ley de enfriamiento de Newton [1-3] se representa simbólicamente mediante la expresión

(1)

Usando el método de separación de variables en la ecuación (1) e integrando al mismo tiempose tiene que

1

Sustituyendo las condiciones iniciales resulta que y, por tanto,

T T e kt− =0 132

C 1 132=

T T C e T Fkt− = =0 1 0 70; ºdT

T TkdT

−=∫ ∫

0

dT

dtk T T= −( )0

Datos Incógnitas

T(0)�202 ºF Tiempo TemperaturaT(3)�195 ºF (minutos) (ºF)T0�70 ºF 2 ?

10 ?

30 ?

? 75

? 74

? 73

? 72

? 71

? 70.5

Sustituyendo la condición resulta que y, por tanto

Resultados

En la tabla 1.2 se pueden observar los resultados que arroja el modelo de la ley de enfriamien-to de Newton.

T T e t

T

= + ⇒ =

−

−−

00 0 181 627 284 279132

70

1320

.ln

..0 181 627284 279

k = −0 0 181 627 284 279. T 3 195( ) = Fº


Tabla 1.2 Datos y variables calculadas para elfenómeno físico que representa un

metal enfriándose.

Datos Incógnitas

T(0)�202 ºF Tiempo TemperaturaT(3)�195 ºF (minutos) (ºF)T0�70 ºF 2 ?�197.29

10 ?�180.08

30 ?�146.55

?�180.22 75

?�192.51 74

?�208.35 73

?�230.67 72

?�268.84 71

?�307 70.5

Con esto sabemos que el metal se aproximará a la temperatura ambiente más o menos en 5horas 7 minutos.

Representación gráfica del fenómeno físico

En la Fig. 1.12 se muestra la gráfica de la temperatura con respecto al tiempo para el metal quese enfría. Puede observarse que la temperatura disminuye conforme el tiempo aumenta, hastallegar a ser constante (llega a alcanzar la temperatura ambiente). Esto se logra después de apro-ximadamente cinco horas y continúa hasta un tiempo indeterminado (asíntota horizontal).

Discusión

En la Fig. 1.12 se puede observar el decremento en forma exponencial de la temperatura queexperimenta el metal al enfriarse conforme transcurre el tiempo, tal como se esperaba. Los re-sultados muestran el descenso de temperatura a partir de los dos minutos posteriores al evento,hasta después de cinco horas, tiempo suficiente para aproximarse a la temperatura ambiente.

Conclusiones

El modelo matemático que representa a la ley de enfriamiento de Newton arroja un resultadosatisfactorio del fenómeno de transferencia de calor involucrado, lo cual queda comprobado alrealizar físicamente el experimento, con lo cual se cumple con el objetivo de que el estudian-te obtenga aprendizaje significativo al ligar el conocimiento en forma integral a través de re-lacionar teoría-práctica.

Referencias

1. Zill, D.G., 1986, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Segunda Edición, GrupoEditorial Iberoamérica, México.

2. Zill, D.G., 2002, Ecuaciones Diferenciales con Aplicación de Modelado, Grupo EditorialIberoamérica, México.


51.25 102.5 153.75 205 526.25 307.5 358.75

26.25

52.5

78.75

105

131.25

157.5

183.75

Fig. 1.12. Gráfica de temperatura contra tiempo para elenfriamiento de un metal.

Tiempo, min

y

Tem

pera

tura

, ºF

T � T0 �132e�0.0181627284279t

x

3. Edwards, C.H., y Penney, D.E., 1998, Ecuaciones Diferenciales Elementales y Problemascon Condiciones en la Frontera, Prentice-Hall Hispanoamérica, S.A.

4. Williamson, R.E., 2001, Introduction to Differential Equations and Dynamical Systems


APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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