APLICACIONES DE LAS

ECUACIONES

DIFERENCIALES: MÉTODO

DE RUNGE KUTTA

1°,2°,3°,4° ORDEN,

MÉTODO DE MULLER

2014

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS, FÍSICAS Y QUÍMICAS

CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

TEMA:

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: MÉTODO

DE RUNGE KUTTA 1°,2°,3°,4° ORDEN, MÉTODO DE MULLER

AUTORES:

MIELES CONSTANTE JOSCELINE PAMELA

MOLINA MACÍAS ESTEFANÍA MERCEDES

PALACIO MOREIRA LUIS ENRIQUE

PONCE GARCÍA BRUNO BERLY

CÁTEDRA:

MÉTODO NUMÉRICO

DOCENTE:

ING .MANUEL CÓRDOVA

Portoviejo, 23 de Enero del 2014

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

MÉTODO DE RUNGE KUTTA

En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos,

explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de

métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M.W.

Kutta.

Carl David Tolmé Runge. Martin Wilhelm Kutta

Los métodos de Runge-Kutta son una serie de métodos numéricos usados para encontrar

aproximaciones de las soluciones de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales,

lineales y no lineales.

Los métodos de Runge kutta tienen el error local de truncamiento del mismo orden que los métodos

de Taylor, pero prescinden del cálculo y evaluación de las derivadas de la función f(t, y).

Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es

necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones.

Así, en un sistema tan simple como un péndulo, la amplitud de la oscilación ha de ser pequeña y el

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rozamiento ha de ser despreciable, para obtener una solución sencilla que describa

aproximadamente su movimiento periódico.

Se estudia el procedimiento de Runge-Kutta que se aplica de forma directa a una ecuación

diferencial de primer orden, pero veremos cómo se extiende a un sistema de ecuaciones de primer

orden, a un ecuación diferencial de segundo orden y a un sistema de ecuaciones diferenciales de

segundo orden.

Se presenta de nuevo el problema de valor inicial cuya solución se intenta aproximar

Como en los métodos anteriores, se determina primero la malla {t0, t1, ... , tN} de paso h, donde t0 =

a y tN = b. En estos puntos es donde se va a obtener la aproximación de la solución.

En esencia, los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euler yi+1 =

yi + h f(ti, yi) en los que el valor de la función f se reemplaza por un promedio ponderado de valores

de f en el intervalo ti ≤ t ≤ ti+1, es decir,

(2)

En esta expresión las ponderaciones wi, i = 1, ..., m son constantes para las que en general se pide

que su suma sea igual a 1, es decir, w1 + w2 + ... + wm = 1, y cada kj es la función f evaluada en un

punto seleccionado (t, y) para el cual ti ≤ t ≤ ti+1. Se mostrará que los kj se definen en forma

recursiva.

Se define como orden del método al número m, es decir, a la cantidad de términos que se usan en el

promedio ponderado.

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RUNGE-KUTTA DE PRIMER ORDEN

Si m = 1, entonces se toma w1 = 1 y la fórmula (2) resulta

(3)

Igualando esta fórmula al desarrollo de Taylor de orden 1 de la función y(t), alrededor del punto ti, y

calculado en el punto ti+1:

(4)

y teniendo en cuenta que yi y(ti), resulta k1= f(ti, yi), obteniendo así la fórmula de Euler yi+1 = yi +

h f(ti, yi). Por lo tanto, se dice también que el método de Euler es un método de Runge Kutta de

primer orden.

RUNGE-KUTTA DE SEGUNDO ORDEN

Ahora se plantea, con m = 2, una fórmula del tipo:

(5)

donde

(6)

y las constantes a, b, , se deben determinar, de manera que la expresión (5) coincida con el

desarrollo de Taylor de y de orden más alto posible.

Para ello, utilizando un desarrollo de Taylor para funciones de dos variables, tenemos que:

(7

)

-

donde el subíndice i indica que todas las derivadas están evaluadas en el punto (ti, yi).

Reemplazando k1 y teniendo en cuenta la expresión de k2, usando (7) tenemos que:

(8

)

Agrupando los términos de (8) por las potencias de h, y reemplazando en la expresión (5) el valor de

k1 y k2, resulta

(9

)

Reacomodando términos en (9), resulta:

(10

)

Por otro lado, se hace un desarrollo de Taylor de orden 3 de la función y(t), calculado en el punto ti+1,

obteniendo:

(11)

Aplicando regla de la cadena para las derivadas de f, se tiene:

(12)

Comparando las expresiones (10) y (12), e igualando los coeficientes de h y h2, se tiene:

-

(13)

Sucede que se tienen cuatro incógnitas, pero tres ecuaciones, con lo que queda un grado de libertad

en la solución del sistema dado en (13). Se trata de usar este grado de libertad para hacer que los

coeficientes de h3 en las expresiones (10) y (12) coincidan. Esto obviamente no se logra para

cualquier f.

Hay muchas soluciones para el sistema (13), una de ellas es

(14)

obteniendo así la siguiente fórmula, del método de Runge Kutta de orden 2:

(15)

para i desde 0 hasta N-1, tomando un mallado {ti, i = 0, .., N}

Este método tiene un error local de O(h3), y global de O(h

2).

Mejora entonces el método de Euler, por lo que se espera poder usar con este método un paso mayor.

El precio que debe pagarse en este caso, es el de evaluar dos veces la función en cada iteración.

De la misma manera que se realizó arriba, se pueden derivar fórmulas de Runge-Kutta de cualquier

orden, pero estas deducciones resultan excesivamente complicadas. Una de las más populares, y más

utilizada por su alta precisión, es la de orden 4, que se presenta a continuación.

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RUNGE-KUTTA DE TERCER ORDEN

En el método de Runge kutta de tercer orden se utilizan las siguientes formulas:

)hkk4(k6

1 y y 321i1i

)y f(xi, k i1

h)k2

1y ,h

2

1f(x = k 1ii2

h)k2hky ,h f(x k 21ii3

RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN

Si ahora m = 4, se obtiene, con un desarrollo del tipo del anterior, la siguiente fórmula, para i desde 0

hasta N-1:

(16)

Si bien con facilidad se pueden deducir otras fórmulas, el algoritmo expresado en (16) se denomina

método de Runge-Kutta de cuarto orden, o método clásico de Runge-Kutta, abreviado como RK4.

Este algoritmo es de uso extendido, y reconocido como una valiosa herramienta de cálculo, por la

buena aproximación que produce.

Esta fórmula tiene un error de truncamiento local de O(h5), y un error global de O(h

4). De nuevo, el

precio que se debe pagar por la mejora en el error, es una mayor cantidad de evaluaciones de la

función, resultando en un mayor tiempo de cálculo si la función es complicada. Tiene la ventaja,

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sobre el método de Taylor de orden 4 (cuyo error global es también O(h4), que no requiere el cálculo

de las derivadas de f.

MÉTODO DE MÜLLER

Este método utilizado para encontrar raíces de ecuaciones con raíces múltiples, y consiste en obtener

los coeficientes de la parábola que pasa por tres puntos elegidos. Dichos coeficientes son sustituidos

en la formula cuadrática para obtener el valor donde la parábola intersecta al eje X; es decir, la raíz

estimada. La aproximación se puede facilitar, si se escribe la ecuación de la parábola en una forma

conveniente.

Una de las mayores ventajas de este método, es que al trabajar con la formula cuadrática es posible

localizar tanto raíces reales, como raíces complejas.

Un predecesor del método de Muller, es el método de la secante, el cual obtiene raíces, estimando

una proyección de una línea recta en el eje x, a través de dos valores de la función (Figura 1). El

método de Muller toma un punto de vista similar, pero proyecta una parábola a través de tres puntos

(Figura 2).

El método consiste en obtener los coeficientes de los tres puntos, sustituirlos en la fórmula cuadrática

y obtener el punto donde la parábola intercepta el eje x. La aproximación es fácil de escribir, en

forma conveniente esta sería:

cxxbxxaxf )()()( 2

2

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CARACTERÍSTICAS DEL MÉTODO MULLER.

Converge cuadráticamente en un intervalo cercano a la raíz.

No requiere evaluar la primera derivada.

Se obtiene raíces reales y complejas (cuando las raíces sean repetidas.

Requiere valores iníciales

Extensión del método de la secante; aprox. la gráfica de la función f(x) por una línea recta

que pasa por x los puntos (xi -1,f(x1)) su intersección con el eje x da una nueva

aproximación (Xi -1).

n=2 segundo

Se tomó 3 valores iníciales X0, X1, X2 y está ene. Polinomio P(x) de segundo grado que pasa

por los puntos (X0,f(X0)), (X1,f(X1)) y (X2,f(X2)).

Se toman sus raíces de p(x), la más cercana a X 2, como la siguiente aproximación a X3

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FÓRMULA

Los tres valores iniciales necesitados son denotados como xk, xk-1 y xk-2. La parábola pasa a través de

los puntos: (xk, f(xk)), (xk-1, f(xk-1)) y (xk-2, f(xk-2)), si se escribe en la forma de Newton, entonces:

Donde

F [xk, xk-1] y f [xk, xk-1, xk-2]

Denotan restas divididas. Esto puede ser escrito como:

donde

La próxima iteración esta dada por la raíz que brinda la ecuación y = 0.

PROCEDIMIENTO

Se determina un X0, X1 y un X2.

Segundo paso :

h0 = X1 – X0

h1 = X2 – X1

Tercer paso:

-

δ0 = F (X1) - F (X0)

h0

δ1 = F (X2) - F (X1)

h1

Sexto paso:

Si | b + √ | > | b -√ |

Se escoge: b +√

Si no, se escoge : b -√

Calculo del Error.

Єa = X3 – X2 * 100%

X3

Cuarto paso:

Se obtienen:

a = δ1 – δ0

h1 + h0

b = a * h1 + δ0

c = F (X2)

Quinto paso:

X3 = X2 + - 2 * c

b ± √𝑏 𝑎𝑐

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EJERCICIOS

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Realizar por el método de Müller

1213)( 3 xxxf h = 0,1

x2 = 5 x1 = 5,5 x0 =4,5

Con un análisis previo, las raíces son –3, -1 y 4

Solución

625,20)5,4( f 875,82)5,5( f 48)5( f

Calculando

15,45,50 h 5,05,551 h

25,625,45,5

625,20875,820

75,69

5,55

875,82481

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Hallando los coeficientes

1515,0

25,6275,69

a 25,6275,69)5,0(15 b 48c

La raíz cuadrada del discriminante es:

544,314815425,62 2

Así

9765,3544,3125,62

48253

x

Y el error estimado

%74,25%1000235,1

3

x

Ea

Ahora

x2 = 3,9765 x1 = 5 x0 =5,5

Haciendo uso de un programa y realizando diferentes iteraciones:

i xr Ea %

0 5

1 3,9465 25,740

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BIBLIOGRAFÍA

http://www.mathstools.com/?id=177&lang=es

http://www.sc.ehu.es/sbweb/energias-renovables/MATLAB/numerico/diferencial/diferencial.html

http://www.slideshare.net/joscelinemieles/savedfiles?s_title=rungekutta-f&user_login=fernandoalal

http://mat156.wordpress.com/category/muller/

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http://illuminatus.bizhat.com/metodos/Muller.htm