COLEGIO DE BACHILLERES DE TABASCOPlantel #5

CLCULO DIFERENCIAL

EVOLUCIN DEL CLCULO

INTEGRANTES: JESSICA LVAREZ GARCA. JULISSA IVETTE BAUTISTA MONTEJO. SARAH BERZAB HERNNDEZ. FERNANDO CAMACHO VALENCIA.

DOCENTE: JOSU HERNANDEZ ZAMORA

Fecha de entrega: Martes 02 de Septiembre del 2014.INTRODUCCINEl Clculo Infinitesimal es la rama de las matemticas que comprende el estudio y aplicaciones del Clculo Diferencial e Integral.El Clculo es la matemtica del cambio: velocidades y aceleraciones. Clculo es tambin la matemtica de rectas tangentes, pendientes, reas, volmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los cientficos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real1.El clculo diferencial es una parte del anlisis matemtico que consiste en el estudio de cmo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el clculo diferencial es la derivada. Una nocin estrechamente relacionada es la de diferencial de una funcin2.El estudio del cambio de una funcin es de especial inters para el clculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeo como se desee). Y es que el clculo diferencial se apoya constantemente en el concepto bsico del lmite. El paso al lmite es la principal herramienta que permite desarrollar la teora del clculo diferencial y la que lo diferencia claramente del lgebra.Desde el punto de vista matemtico de las funciones y la geometra, la derivada de una funcin en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funcin cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en trminos matemticos, una tasa de cambio. Una derivada es el clculo de las pendientes instantneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la grfica de dicha funcin en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una funcin, sus intervalos de crecimiento, sus mximos y mnimos. La inversa de una derivada se llama primitiva, anti derivada o integral indefinida3.

1Tellechea Armenta, Eduardo. Curso de Clculo Diferencial e Integral II. [En Lnea]. Sonora, Mxico. Enero 2000. [Fecha de consulta: 25 de Agosto del 2014]. EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL. Disponible en: http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferHTML/diferencial.htm2Anonimo. Wikipedia, la enciclopedia libre. [En Lnea], Noviembre 2004. Actualizacin: Agosto 2014. [Fecha de consulta: 25 de agosto del 2014] Clculo diferencial, Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial3Anonimo. Historia del Clculo. [En Lnea] Agosto de 2011. [Fecha de consulta: 25 de Agosto del 2014] RESUMEN: HISTORIA DEL CLCULO. Disponible en: http://equipo1-historiadelcalculo.blogspot.mx/2011/08/resumen.html?m=1ANTECEDENTES DEL CLCULOLos orgenes del clculo se remontan unos 2500 aos por lo menos, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron reas aplicando el mtodo de agotamiento. Saban cmo hallar el rea de cualquier polgono al dividirlo en tringulos (mtodo de triangulacin), y sumar las reas de estos tringulos A.Los griegos no aplicaron explcitamente los lmites. Sin embargo, por razonamiento indirecto, Eudoxo (siglo v a. n. e.) utiliz el agotamiento para probar la conocida frmula del rea de un crculo: 2 r AZenn de Elea, alrededor de 450 a. C., plante una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argument que el movimiento es imposible: Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B1, de AB. Ahora bien, para llegar a B1 debe primero pasar por el punto medio B2 de AB1. Continuando con este argumento se puede ver qu A debe moverse a travs de un nmero infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse.Leucipo, Demcrito y Antifon hicieron contribuciones al mtodo exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base cientfica alrededor de 370 a. C. El mtodo se llama exhaustivo ya que considera las reas medidas como expandindolas de tal manera que cubran ms y ms del rea requerida.Sin embargo, Arqumedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas ms significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el rea de un segmento de parbola es 4/3 del rea del tringulo con los mismos base y vrtice y es igual a 2/3 del rea del paralelogramo circunscrito. Arqumedes construy una secuencia infinita de tringulos empezando con uno de rea A y aadiendo continuamente ms tringulos entre los existentes y la parbola para obtener reas. No hubo ms progresos hasta el siglo XVI cuando la mecnica empez a llevar a los matemticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad. Luca Valerio (1552-1618) public De quadratura parabolae en Roma (1606) que continuaba los mtodos griegos para atacar este tipo de problemas de calcular reas.Descartes produjo un importante mtodo para determinar normales en La Geometra en 1637 basado en la doble interseccin. De Beaune extendi sus mtodos y los aplic a las tangentes; en este caso la doble interseccin se traduce en races dobles. Hudde descubri un mtodo ms sencillo, llamado la Regla de Hudde, que bsicamente involucra a la derivada. El mtodo de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton.Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operacin inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aqu empez a evolucionar naturalmente una concienciacin de la inversa de la diferenciacin y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirm explcitamente el teorema fundamental del clculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuara en esta direccin y dara explcitamente el Teorema Fundamental del Clculo.

ORIGEN DEL CLCULO.El Clculo Diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vaco ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeo.En 1666 Sir Isaac Newton (1642-1727), fue el primero en desarrollar mtodos matemticos para resolver problemas de esta ndole. Invent su propia versin del clculo para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Newton concibi el llamado Mtodo de las Fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina momentum de la cantidad de fluente al arco mucho muy corto, recorrido en un tiempo excesivamente pequeo, llamando la razn del momentum al tiempo correspondiente es decir, la velocidad.Casi al mismo tiempo, el filsofo y matemtico alemn Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716), realiz investigaciones similares e ideando smbolos matemticos que se aplican hasta nuestros das. La concepcin de Leibniz se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basndose en el Tringulo Caracterstico de Barrow, observando que dicho tringulo al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, as mismo, es igual al tringulo formado por la Normal, la Subnormal y la ordenada del mismo punto. Los smbolos, la palabra derivada y el nombre de ecuaciones diferenciales se deben a Leibniz. dx dy dx.La notacin d y de Leibniz destacaban el aspecto de operadores que probara ser importante ms adelante. Para 1675, Leibniz se haba quedado con la notacin y dy = y/2 escrita exactamente como se hace hoy. Sus resultados sobre clculo integral fueron publicados en 1864 y 1686 con el nombre de calculus summatorius; el trmino 'clculo integral' fue sugerido por Jacobo Bernoulli en 1690.Despus de Newton y Leibniz, el desarrollo del clculo fue continuado por Jacobo Bernoulli y Johann Bernoulli. Sin embargo, cuando Berkeley public su Analyst en 1734 atacando la falta de rigor en el clculo y disputando la lgica sobre la que se basaba, entonces se hicieron grandes esfuerzos para amarrar el razonamiento. Maclaurin intent poner el clculo sobre una base geomtrica rigurosa pero sus fundamentos realmente satisfactorios tendran que esperar al trabajo de Cauchy en el siglo XIX.Destacan otros matemticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el Clculo Diferencial, sobresaliendo entre otros, los siguientes:Pierre Fermat (1601-1665), matemtico francs, quien en su obra habla de los mtodos diseados para determinar los mximos y mnimos, acercndose casi al descubrimiento del Clculo Diferencial, mucho antes que Newton y Leibniz. Dicha obra influenci en Leibniz en la invencin del Clculo Diferencial.Johannes Kepler, tiempo despus, coincide con lo establecido por Oresme, conceptos que permitieron a Fermat en su estudio de mximos y mnimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la funcin, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la funcin tiene su mximo o mnimo, es decir, la funcin es paralela al eje donde la pendiente de la tangente es nula. Isaac Barrow (Londres, 1630 - id., 4 de mayo, 1677), maestro de Newton, construy el tringulo caracterstico, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco.Joseph-Louis LaGrange (1736-1813), quien demostr por primera vez el Teorema del Valor Medio.Augustin-Louis Cauchy (Pars, 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857), matemtico francs, impulsor del Clculo Diferencial e Integral, autor de La Teora de las Funciones de las Variables Complejas, se bas en el mtodo de los lmites; las definiciones de funcin de funcin y la de funcin compuesta se deben a l. El concepto de funcin continua fue introducido por primera vez por l en 1821.Leonhard Euler (1707-1783). La simbologa se debe a l, quien adems de hacer importantes contribuciones a casi todas las ramas de las matemticas, fue uno de los primeros en aplicar el clculo a problemas de la vida real en la Fsica. Sus extensos escritos publicados incluyen temas como construccin de barcos, acstica, ptica, astronoma, mecnica y magnetismo.John Wallis (Ashford, 23 de noviembre de 1616 Oxford, 28 de octubre de 1703), enuncia el concepto de lmite.La representacin simblica lm se debe a Simn Lhuilier (n. Ginebra, Suiza el 24 de abril de 1750, f. en Ginebra el 28 de marzo de 1840).El smbolo tiende a lo propuso J. G. Leathem.En sus comienzos el clculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas cientficos y matemticos: Encontrar la tangente a una curva en un punto. Encontrar el valor mximo o mnimo de una cantidad. Encontrar la longitud de una curva, el rea de una regin y el volumen de un slido. Dada una frmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleracin del cuerpo en cualquier instante. Recprocamente, dada una frmula en la que se especifique la aceleracin o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un perodo de tiempo conocido4.

4 Annimo. Historia del Clculo. [En Lnea] Agosto de 2011. [Fecha de consulta: 25 de Agosto del 2014] RESUMEN: Antecedentes del clculo. Disponible en: http://equipo1-historiadelcalculo.blogspot.mx/2011/08/resumen.html?m=1LA LINEA DEL TIEMPO DEL CLCULOKEPLER (1571-1630):La vocacin de Kepler fue puramente astronmica, por esto no decimos que haya tenido una aportacin especfica al clculo, sino que estableci sin saber algunas de las bases para desarrollar esa rea matemtica. Fueron de vital importancia sus tres leyes que a continuacin se enuncian:1a-Todo planeta describe en sentido directo una elipse en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.2a-Las reas descritas por el radio vector que une al centro del planeta con el centro del Sol son proporcionales a los tiempos empleados en describirlas.3a-Los cuadrados de los tiempos de las revoluciones siderales de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus rbitas.Como podemos ver, estos estudios pueden sentar algunos de los principios de la geometra analtica de Descartes, que es uno de los pilares del clculo. Del mismo modo Kepler desarroll un sistema matemtico infinitesimal precursor del clculo.R. DESCARTES (1596-1650):En el rea de las Matemticas, la contribucin ms notable que hizo Descartes fue la sistematizacin de la Geometra Analtica. Fue el primer matemtico que intent clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen. Fue tambin el responsable de la utilizacin de las ltimas letras del abecedario para designar cantidades desconocidas y las primeras para las conocidas.B. PASCAL (1623-1662):Aporto: El tringulo de Pascal. Teoremas de geometra proyectiva. El hexgono mstico de Pascal. Invent la primera mquina digital de calcular. Demostr la existencia del vaco. Observ que la presin atmosfrica disminuye con la altura. Escribi las leyes de la presin, confirmando los experimentos de Torricelli. Es, junto con Fermat, el fundador de la teora de la probabilidad. Abord la definicin y clculo de la derivada e integral definida. Iniciador de la teora de juegos.ISAAC NEWTON (1642-1727): El teorema del binomio, descubierto hacia 1664-1665, El13 de junio de 1676, en respuesta a una peticin de Leibniz que quera conocer los trabajos de matemticos ingleses sobre series infinitas, Newton presenta el enunciado de su teorema y un ejemplo que lo ilustra, y menciona ejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto del mismo ao, que est en posesin de un mtodo general que le permite obtener diferentes resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y menciona algunos de sus resultados. Interesado por las investigaciones de Leibniz, Newton le responde tambin con una carta fechada el 24 de octubre en la que explica en detalle cmo ha descubierto la serie binmica.G. LEIBNIZ (1646-1716):En 1675 comenz a trabajar sobre el desarrollo de su versin del Clculo. En 1673 todava estaba tratando de encontrar una buena flotacin ya que sus primeros clculos eran desprolijos. El 21 de noviembre de 1675 escribi un manuscrito usando por primera vez la anotacin f(x).dx con el signo integral y da la regla de la diferenciacin de un producto. En el otoo de 1676 descubre el diferencial de la potencia: d (xn) = nx-1dx, para n entero y fraccionario. L. HPITAL (1661-1704):Aport: Regla de LHopital. Reglas de diferenciacin para funciones algebraicas. Us el clculo de diferencias para encontrar las tangentes a todo tipo de lneas curvas. Estudi de mximos y mnimos. Utiliza una regla pragmtica que se enuncia como sigue: se considera constante una diferencia (diferencial) elegida y se tratan las otras como cantidades variables. Estudia las evolutas y envolventes, y el radio de curvatura de ciertas curvas en un contexto que recuerda el desarrollo histrico de estos conceptos. Las causticas por reflexin y por refraccin. Resolvi el problema de la curva iscrona, que es una curva tal que cualquier punto cae sobre ella con movimiento uniforme sobre la vertical.M. AGNESI (1718-1799):Escribi una obra donde trataba con sencillez y claridad temas, tan novedosos entonces, como el Clculo Diferencial e Integral. Al final de su vida era famosa en toda Europa como una de las mujeres de ciencia ms capaces del siglo XVIII.

C. GAUSS (1777-1855):Una de las mayores aportaciones al clculo integral que realiz Gauss, fue la introduccin de esta funcin, conocida ms comnmente como la Campana de Gauss.Esta distribucin es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadsticas. Su propio nombre indica su extendida utilizacin, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenmenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucin.Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcin de densidad cuya grfica tiene forma de campana.CAUCHY (1789-1857):En 1811, Cauchy resolvi el problema de Poinsot, generalizacin del teorema de Euler sobre los poliedros. Un ao ms tarde, publicara una memoria sobre el clculo de las funciones simtricas y el nmero de valores que una funcin puede adquirir cuando se permutan de todas las maneras posibles las cantidades que encierra. En 1814, apareci su memoria fundamental sobre las integrales definidas y luego abordando el teorema de Fermat sobre los nmeros poligonales, lleg a demostrarlo, cosa que no pudieron Euler, Legendre, LaGrange, ni Gauss. Uno de los mayores triunfos lo obtuvo dando vigor a las demostraciones de LaGrange, atenindose al clculo de ceros e infinitos y fijando las convergencias de las series del anlisis5.

5 paovp. CALCULO DIFERENCIAL [En Lnea]. Septiembre de 2011. [Consulta: 24 de agosto del 2014] Lnea del Tiempo. Disponible en: http://paocalculo.blogspot.mx/2011/09/linea-del-tiempo.htmlMXIMOS Y MNIMOSCon cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a travs de los poderosos mecanismos de clculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecera imposible su solucin.Entre los valores q puede tener una funcin (Y) puede haber uno que sea el ms grande y otro que sea el ms pequeo. A estos valores se les llama respectivamente punto mximo y punto mnimo absolutos.Si una funcin continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crtico mximo relativo, aunque comnmente se le llama solo mximo.Por el contrario, si una funcin continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crtico mnimo relativo, o simplemente mnimo.La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos crticos mximos y mnimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.

En los puntos crticos mximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mnimos, el valor de la funcin es menor que en su entorno.

En un punto crtico mximo relativo, al pasar la funcin de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa.

En un punto crtico mnimo relativo, la funcin deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.

METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIONPara conocer las coordenadas de los puntos crticos mximos y mnimos relativos en una funcin, analizaremos dos mecanismos:

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA. Obtener la primera derivada. Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuacin. El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber mximos o mnimos en la funcin. Se asignan valores prximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto mximo; si pasa de negativo a positivo el punto crtico es mnimo. Cuando existen dos o ms resultados para la variable independiente, debe tener la precaucin de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los dems, a fin de evitar errores al interpretar los resultados. Sustituir en la funcin original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos as obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crtico.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADAEste mtodo es ms utilizado que el anterior, aunque no siempre es ms sencillo. Se basa en que en un mximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada ser negativa; mientras que en un punto mnimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.Este procedimiento consiste en: Calcular la primera y segunda derivadas Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuacin. Sustituir las races (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada. Si el resultado es positivo, hay mnimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un mximo. Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un mximo o mnimo. Sustituir los valores de las races de la primera derivada en la funcin original, para conocer las coordenadas de los puntos mximo y mnimo.

APLICACIN DE MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS EN LA SOLUCION DE PROBLEMASExisten muchos campos del conocimiento (aritmtica, geometra, economa, fsica, biologa, industria, etc.) donde se presentan problemas que se resuelven aplicando los conceptos de mximos y mnimos del clculo diferencial.Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lugar, encontrar la expresin matemtica de la funcin que represente el problema y cuyos valores mximos o mnimos se desean obtener.Si la expresin matemtica contiene varias variables, deber plantearse en funcin de una sola; las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones entre las variables, para poderse expresar a todas ellas en funcin de una sola variable independiente.Una vez que se tenga la funcin en la forma Y=f(X), se aplican las normas ya estudiadas.En muchos problemas prcticos resulta muy sencillo identificar cuales valores crticos dan mximos o mnimos; y en consecuencia, ya no ser necesario aplicar el procedimiento completo.Es conveniente construir la grfica que represente la funcin en cuestin, a fin de verificar los resultados obtenidos6.Dada una funcin vamos a definir intuitivamente sus mximos y sus mnimos:

Una funcin tiene un mximo relativo en un punto cuando su imagen (la altura) es mayor que todas las imgenes (alturas) de los puntos que estn alrededor. Una funcin tiene un mnimo relativo en un punto cuando su imagen (la altura) es menor que todas las imgenes (alturas) de los puntos que estn alrededor. Un mximo se llamar absoluto cuando su imagen es mayor que la imagen de cualquier otro punto de la grfica (es el ms alto de todos) y no slo de los que est alrededor. Un mnimo se llamar absoluto cuando su imagen es menor que la imagen de cualquier otro punto de la grfica (es el ms bajo de todos) y no slo de los que est alrededor7.

6 Herrera Cardoso, Edna Miriam. El Rincn Del Vago. [En Lnea].Mxico. 2004. [Fecha de Consulta: 23 de Agosto del 2014] Mximos y Mnimos Relativos. Disponible en: http://html.rincondelvago.com/maximos-y-minimos.html7 Payn Jimnez, Fco. Javier. EXPERIMENTACIN CON DESCARTES EN ANDALUCA, LAS FUNCIONES [En Lnea]. Ministerio de Educacin, Cultura y Deporte. Ao 2001 [Fecha de consulta: 24 de Agosto del 2014]. 5. MXIMOS Y MNIMOS. Disponible en: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/funciones_eda05/05_MAX_MIN_FUNCIONES.htmCONCLUSINDespus de investigar, analizar y reflexionar acerca de la historia del clculo y su origen adems de ver el tema de los mximos y mnimos relativos, podemos decir que ahora ya tenemos una idea despejada con respecto al clculo, pues adems de la informacin que solo viene en esta investigacin, se complementa lo que se indag en otras fuentes y con otro tipo de informacin que ciertas fuentes omitan tener.Tenemos hasta ahora claro el origen y desarrollo del clculo y tenemos la introduccin a mximos y mnimos relativos de una funcin, adems de la importancia del clculo para encontrar la tangente a una curva en un punto, el valor mximo o mnimo de una cantidad, la longitud de una curva, el rea de una regin y el volumen de un slido o dada una frmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleracin del cuerpo en cualquier instante. Recprocamente, dada una frmula en la que se especifique la aceleracin o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un perodo de tiempo conocido.El Clculo Diferencial se ha ido desarrollando a travs de los aos, consolidndose como una herramienta tcnico cientfica que se utiliza en el anlisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones qumicas, los cambios atmosfricos, los desarrollos sociales y econmicos de las naciones, en la astronoma para calcular las rbitas de los satlites y de las naves espaciales, en medicina para medir el flujo cardiaco, la estadstica, y en una gran diversidad de otras reas.Los procesos generales y las reglas prcticas sencillas del Clculo Diferencial se deben a Newton y Leibniz; sin embargo, por ms de 150 aos el Clculo Diferencial continu basndose en el concepto de lo infinitesimal. A Newton y Leibniz se les llama fundadores del Clculo, ya que fueron los primeros en estudiar el problema geomtrico fundamental del Clculo Diferencial denominado Problema de las Tangentes, en el cual hay que hallarlas rectas tangentes a una curva dada en un punto cualquiera. Sin embargo, fue Leibniz quien trat de ampliar el clculo al desarrollar reglas y asignarle una notacin formal8.

8 Annimo. Historia del Clculo. [En Lnea] Agosto de 2011. [Fecha de consulta: 25 de Agosto del 2014] RESUMEN: Antecedentes del clculo. Disponible en: http://equipo1-historiadelcalculo.blogspot.mx/2011/08/resumen.html?m=1