Aplicaciones Edo de Segundo Orden

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden dos no homogéneascon coeficientes constantes

Sergio Yansen Núñez

1.a)Un cuerpo con masa m =

12 kilógramo kg se sujeta al extremo de un resorte que está

estirando 2 metros m por medio de una fuerza de 100 newtons N. En el instante t = 0el cuerpo se pone en movimiento, desplazándose hacia la derecha en 0.5m y moviéndosea la izquierda a 10 ms . Determine la función posición del cuerpo.

Solución:

Sea xt la posición del cuerpo en un tiempo t ≥ 0.

100 = kΔl ⇒ 100 = k ⋅ 2 ⇒ k = 50

m =12

mx′′ + kx = 0

La EDO diferencial que describe al sistema es:

12 x

′′+ 50x = 0 , sujeta a x0 =

12 , x′0 = −10

x′′ + 100x = 0

λ2 + 100 = 0 ⇒ λ = ±10i

x = acos10t + b sin10t

x0 =12 ⇒

12 = a

x′ = −10a sin10t + 10bcos10t

x′0 = −10 ⇒ − 10 = 10b ⇒ b = −1

Luego,

x =12 cos10t − sin10t




b)La masa y el resorte de a), ahora se sujetan también a un amortiguador que proporciona6N de resistencia por cada metro por segundo de velocidad. La masa es puesta en movimientocon la misma posición inicial x0 = 0.5m y a la misma velocidad inicial x′0 = −10 ms .Determine la función posición del cuerpo.

Solución:


m =12 , k = 50 , α = 6

mx′′ + αx′ + kx = 0


12 x

′′+ 6x′ + 50x = 0 , sujeta a x0 =

12 , x′0 = −10

x′′ + 12x′ + 100x = 0

λ2 + 12λ + 100 = 0 ⇒ λ = −6 ± 8i

x = ae−6t cos8t + be−6t sin8t

x0 =12 ⇒

12 = a

x′ = a−6e−6t cos8t − 8e−6t sin8t + b−6e−6t sin8t + 8e−6t cos8t

x′0 = −10 ⇒ − 10 = −6a + 8b

− 10 = −6 ⋅ 12 + 8b ⇒ b = −78

Luego,

x =12 e

−6t cos8t − 78 e−6t sin8t




2.La constante de un resorte de acero de 2 pie se mide colgando una masa que pesa 16 lbdel resorte y observando que éste se estira 14 pie. Ahora se cuelga una masa que pesa

8 lb. La masa se jala hacia abajo 14 pie y se deja libre con una velocidad dirigida hacia

abajo de 1 pies . Determine el desplazamiento xt para todo t ≥ 0.

Solución:


mg = kΔl ⇒ 16 = k ⋅ 14 ⇒ k = 64

mg = 8 ⇒ m ⋅ 32 = 8 ⇒ m =14

mx′′ + kx = 0


14 x

′′+ 64x = 0 , sujeta a x0 =

14 , x′0 = 1

x′′ + 256x = 0

λ2 + 256 = 0 ⇒ λ = ±16i

x = acos16t + b sin16t

x0 =14 ⇒

14 = a

x′ = −16a sin16t + 16bcos16t

x′0 = 1 ⇒ 1 = 16b ⇒ b =116

Luego,

x =14 cos16t +

116 sin16t




3.Al sujetar una masa de 2kg a un resorte cuya constante es 32 Nm , éste queda en reposoen la posición de equilibrio. A partir de t = 0, una fuerza igual a ft = 68e−2t cos4t seaplica al sistema. Determine la ecuación del movimiento en ausencia de amortiguación.

Solución:


m = 2 , k = 32

mx ′′ + kx = ft


2x′′ + 32x = 68e−2t cos4t , sujeta a x0 = 0 , x′0 = 0

x′′ + 16x = 34e−2t cos4t

Solución homogénea:

x′′ + 16x = 0

λ2 + 16 = 0 ⇒ λ = ±4i

xH = acos4t + b sin4t

Solución particular:

x′′ + 16x = 34e−2t cos4t

D2 + 16x = 34e−2t cos4t / D + 22 + 16

D2 + 16 D + 22 + 16 x = 0

λ2 + 16 λ + 22 + 16 = 0

λ = ±4i ∨ λ = −2 ± 4i

x = Acos4t + B sin4t + Ce−2t cos4t + De−2t sin4t

La forma de una solución particular es:

xp = Ce−2t cos4t + De−2t sin4t




xp′ = e−2t−2Ccos4t − 2D sin4t − 4C sin4t + 4Dcos4t

xp′′ = e−2t−12Ccos4t + 16D sin4t − 12C sin4t − 16Dcos4t

Reemplazando en xp′′ + 16xp = 34e−2t cos4t se obtiene:

e−2t−12Ccos4t + 16D sin4t − 12C sin4t − 16Dcos4t +16Ce−2t cos4t + De−2t sin4t = 34e−2t cos4t

4C − 16De−2t cos4t + 16C + 4De−2t sin4t = 34e−2t cos4t

4C − 16D = 3416C + 4D = 0

resolviendo en sistema se obtiene: C =12 , D = −2

Luego, xp =12 e

−2t cos4t − 2e−2t sin4t

Solución general:

x = xH + xp

x = acos4t + b sin4t + 12 e−2t cos4t − 2e−2t sin4t

x0 = 0 ⇒ 0 = a + 12 ⇒ a = −12

x′ = −4a sin4t + bcos4t + e−2t−9cos4t + 2sin4t

x′0 = 0 ⇒ 0 = 4b − 9 ⇒ b =94

Luego,

x =12 cos4t +

94 sin4t +

12 e

−2t cos4t − 2e−2t sin4t




4.Un circuito en serie consta de un inductor de 0.25H, una resistencia de 40Ω, un capacitorde 4 ⋅ 10−4F y una fuerza electromotriz dada Et = cos100t V. Si la corriente inicial yla carga inicial en el capacitor son ambas cero, determine la carga en el capacitor y la corrienteeléctrica del circuito para cualquier tiempo t > 0.

Solución:

Sea qt la carga en el capacitor en un tiempo t > 0

Lq′′ + Rq′ + qC = Et

L = 0.25 , R = 40 , C = 4 ⋅ 10−4

0.25q′′ + 40q′ + q4 ⋅ 10−4

= cos100t

q′′ + 160q′ + 10000q = 4cos100t


q′′ + 160q′ + 10000q = 0

λ2 + 160λ + 10000 = 0 ⇒ λ = −80 ± 60i

qH = ae−80t cos60t + be−80t sin60t


q′′ + 160q′ + 10000q = 4cos100t

D2 + 160D + 10000q = 4cos100t / D2 + 10000

D2 + 10000D2 + 160D + 10000q = 0

λ2 + 10000λ2 + 160λ + 10000 = 0

λ = ±100i ∨ λ = −80 ± 60i

q = Acos100t + B sin100t + Ce−80t cos60t + De−80t sin60t


qp = Acos100t + B sin100t




qp′ = −100A sin100t + 100Bcos100t

qp′′ = −10000Acos100t − 10000B sin100t

Reemplazando en qp′′ + 160qp′ + 10000qp = 4cos100t se obtiene:

−10000Acos100t − 10000B sin100t − 16000A sin100t + 16000Bcos100t +10000Acos100t + 10000B sin100t

16000Bcos100t − 16000A sin100t = 4cos100t

16000B = 4 ⇒ B =14000

− 16000A = 0 ⇒ A = 0

Luego, qp =14000 sin100t

Solución general:

q = qH + qp

q = ae−80t cos60t + be−80t sin60t + 14000 sin100t

q0 = 0 ⇒ 0 = a

q = be−80t sin60t + 14000 sin100t

q′ = b−80e−80t sin60t + 60e−80t cos60t + 140 cos100t

q′0 = 0 ⇒ 0 = 60b + 140 ⇒ b = −

12400

Luego, la carga viene dada por:

qt = −12400 e

−80t sin60t + 14000 sin100t

La corriente eléctrica es it = q′t

it =130 e

−80t sin60t − 140 e

−80t cos60t + 140 cos100t




5.Un inductor de 4H, una resistencia de 20Ω, un capacitor de 0.008F y un generador

con una fuerza electromotriz dada por Et = 500 Volts se conectan en serie. Si

inicialmente la carga y la corriente son ambas cero, obtenga:

a) La carga y la corriente para todo tiempo.

b) La carga y la corriente después de un tiempo largo.

Solución:

a)

Sea qt la carga en el capacitor en un tiempo t > 0

Lq′′ + Rq′ + qC = Et

L = 4 , R = 20 , C = 0.008

4q′′ + 20q′ + q0.008 = 500

q′′ + 5q′ + 1254 q = 125


q′′ + 5q′ + 1254 q = 0

λ2 + 5λ +1254 = 0 ⇒ λ = −

52 ± 5i

qH = ae−52 t cos5t + be

−52 t sin5t


q′′ + 5q′ + 1254 q = 125

D2 + 5D +1254 q = 125 / D

D D2 + 5D +1254 q = 0




λ λ2 + 5λ +1254 = 0

λ = 0 ∨ λ = −52 ± 5i

q = A + Be−52 t cos5t + Ce

−52 t sin5t


qp = A

qp′ = 0

qp′′ = 0

Reemplazando en qp′′ + 5qp′ + 1254 qp = 125 se obtiene:

1254 A = 125 ⇒ A = 4

Luego, qp = 4

Solución general:

q = qH + qp

q = ae−52 t cos5t + be

−52 t sin5t + 4

q0 = 0 ⇒ 0 = a + 4 ⇒ a = −4

q = −4e−52 t cos5t + be

−52 t sin5t + 4

q′ = −4 −52 e

−52 t cos5t − 5e

−52 t sin5t +

b −52 e

−52 t sin5t + 5e

−52 t cos5t

q′0 = 0 ⇒ 0 = −4 ⋅ −52 + 5b ⇒ b = −2




Luego, la carga viene dada por:

qt = −4e−52 t cos5t − 2e

−52 t sin5t + 4

La corriente eléctrica es it = q′t

it = 25e−52 t sin5t

b)t→+∞lim qt =

t→+∞lim −4e

−52 t cos5t − 2e

−52 t sin5t + 4 = 4

La carga tiende a ser 4 Coulomb

t→+∞lim tt =

t→+∞lim 25e

−52 t sin5t = 0

La corriente tiende a ser 0 ampere


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