Centro de Enseanza Tcnica Industrial

Organismo Pblico Descentralizado Federal

APLICACIONES GRFICAS DE FUNCIONESCOMPLEJAS

Nombre del EstudianteJORGE IVN GMEZ JIMNEZNombre de la Carrera

INGENIERA INDUSTRIAL Nombre de la Materia

MATEMTICAS AVANZADASNombre del Profesor

ANA MARA LPEZ SALGADOCentro de Enseanza Tcnica Industrial

Plantel: Colomos Turno: Matutino Fecha: 11/02/15INDICE

3INTRODUCCIN:

3

3HISTORIA:

7FUNCIONES COMPLEJAS

7NUMEROS COMPLEJOS

8DESARROLLO

12CONCLUSIN:

12BIBLIOGRAFA:

INTRODUCCIN:Una funcin compleja es una funcin definida sobre un conjunto S

de nmeros complejos. La misma asigna a cada complejo z en S un nmero complejo w. Denotando al conjunto de los nmeros complejos y f

ala funcin, entonces f:S , o tambin w = f(z). El conjunto S se denomina dominio de definicin de f.

Dado que la representacin grfica de un nmero complejo z = x +i y en un plano resulta un punto de coordenadas (x,y), para visualizar la relacin funcional antes descripta se hace necesario contar con dos planos:uno para los valores complejos del dominio S y otro para el conjunto de las imgenes obtenidas al aplicar

w =f(z) a dicho conjunto S. Al primer plano se lo denomina planoz) y al segundo, planow). Cuando z vara o describe una trayectoria sobre un conjunto S en el plano z), el conjunto de puntos que son imgenes dadas por w= f(z) en el plano w) muestra cmo acta la funcin w en dicha trayectoria o en los puntos de S. A este proceso por el cual una funcin compleja transforma los puntos del plano se le llama transformacin o mapeo. La siguiente figura muestra el proceso general de transformacin del plano.

HISTORIA:Anlisis complejoAnlisis complejo es una de las ramas clsicas de las matemticas con sus races en el siglo 19 y justo antes. Matemticos importantes asociados con el anlisis complejo incluyen Euler, Gauss, Bernhard Riemann, Cauchy, Weierstrass, y muchos ms en el siglo 20. Anlisis complejo, en particular, la teora de aplicaciones conformes, tiene muchas aplicaciones fsicas y tambin se utiliza a lo largo de la teora analtica de nmeros. En los tiempos modernos, se ha vuelto muy popular a travs de un nuevo impulso de dinmicas complejas y las imgenes de los fractales producidos iterando funciones holomorfas. Otra aplicacin importante del anlisis complejo se encuentra en la teora de cuerdas que estudia invariantes conformes en la teora cuntica de campos.Nmeros Complejos.

Antes de profundizar en la historia de los nmeros, es bueno saber que son. Existen ecuaciones que carecen de solucin en el conjunto de los nmeros reales. Por ejemplo, la ecuacin x2 + 9 = 0 no tiene solucin real, ya que no existe ningn nmero real que elevado al cuadrado d -9.

Para comenzar, debemos conocer el origen de los nmeros complejos. La primera referencia que se encontr de los nmeros complejos fue en la obra Estereometra de Hern de Alejandra, alrededor de la mitad del siglo I. En un fragmento, aparece la raz cuadrada de un nmero negativo.

La siguiente referencia sobre los nmeros complejos se data en el ao 275 en la obra de Diophantus, Arithmetica. En su intento de calcular los lados de un tringulo rectngulo de permetro 12 y rea 7, Diophantus plante resolver la ecuacin 336 x 2 + 24 = 172 x, ecuacin de races complejas.

La primera explicacin a estos nmeros la dan los matemticos hindes. Mahavira, en el ao 850, coment en su tratado de los nmeros negativos la primera definicin:

como en la naturaleza de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado, por

tanto no puede tener raz cuadrada.

Posteriormente, Bhaskara, en 1150, haca referencia en su libro Lilavati a la inexistencia de la raz cuadrada de un nmero negativo de esta forma:El cuadrado de un nmero, positivo o negativo, es positivo; la raz cuadrada de

un nmero positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe raz

cuadrada de un nmero negativo ya que un nmero negativo no es un cuadrado.

Primeros estudios: S. XVI

En 1545, Jerome Cardan, matemtico, fsico y filsofo italiano, public Ars Magna en el cual describe un mtodo para resolver ecuaciones algebraicas de grado tres y cuatro. Esta obra se converta as en el mayor tratado de lgebra desde los Babilonios, 3000 aos antes, que dedujeron cmo resolver la ecuacin de segundo grado. Un problema planteado por Cardan en su trabajo es el siguiente:

Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea... 40, es evidente

que esta cuestin es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la siguiente

forma.

Fue el ingeniero hidrulico Rafael Bombelli, unos treinta aos despus de la publicacin

de la obra de Cardan, quien introdujo un razonamiento a las conclusiones de Cardan. Este razonamiento se convierte por tanto como el nacimiento de la variable compleja. Bombelli desarroll un clculo de operaciones con nmeros complejos que se ajusta a los que conocemos en la actualidad.

A principios de 1620, Albert Girard sugiri que las ecuaciones de grado n tenan n races.

Ren Descartes, que bautiz con el nombre de imaginarios a estos nmeros, apunt tambin que toda ecuacin deba tener tantas races como indica su grado, aunque alguna de ellas podan ser

nmeros imaginarios.

Los nmeros complejos fueron ampliamente utilizados en el siglo XVIII. Leibniz y Johan

Bernoulli usaron nmeros imaginarios en la resolucin de integrales.

Los nmeros complejos fueron usados por Johann Lambert en proyecciones, por Jean D'Alembert en hidrodinmica y por Euler, DAlembert y Joseph-Louis Lagrange en pruebas errneas del teorema fundamental del lgebra. Euler fue el primero en usar la notacin haciendo adems un uso fundamental de los nmeros complejos al relacionar la exponencial con las funciones trigonomtricas por la expresin.

Por otro lado, Euler expuso su identidad, la ecuacin ms famosa de la matemtica.

En ella se puede decir que est resumida toda la matemtica. Encontramos los conceptos de suma, multiplicacin, exponenciacin e identidad. Adems, tenemos los cinco nmeros fundamentales:

El cero: 0

El uno: 1

El nmero

El nmero e

El nmero i

Posteriormente, Carl Friedrich Gauss, en su tesis doctoral, daba la primera prueba correcta del teorema fundamental del lgebra.

La Universidad de Cambridge como ejemplo, a principios del siglo XIX, se preguntaba qu lgica rega sobre las operaciones con nmeros complejos que permitiese su enseanza.

En el siglo XIX ya proponen algunos matemticos, de Cambridge principalmente, que deba haber unas reglas que gobernasen esta herramienta que ya demostraba a todas luces su utilidad para muchos. La representacin geomtrica de los complejos como puntos del plano tiene sus primeras citas en los trabajos de 1797 del noruego Caspar Wessel y en 1806 en los del suizo Jean-Robert Argand.

No obstante sera la referencia de Gauss la que tendra el impacto suficiente. En 1833, William Rowan Hamilton da la primera definicin algebraica rigurosa de los complejos como pares de nmeros reales. Ms tarde, es Augustin-Louis Cauchy quien da una definicin abstracta de los nmeros complejos como clases de congruencias de polinomios reales, basndose en las clases de congruencias de enteros dada por Gauss.

Ya comenzada la segunda mitad del siglo XIX, las dudas y misterios sobre los nmeros complejosya haban desaparecido.

La presencia de los numeros complejos en diversas areas de las matemticas puede ser clasificadas de manera muy genrica de la siguiente forma:

lgebra

Anlisis

Geometra

Teora de nmeros

FUNCIONES COMPLEJASUna funcin compleja es aquella en la que la variable independiente y la variable dependiente son ambos nmeros complejos. Ms precisamente, una funcin compleja es una funcin cuyo dominio y el rango son subconjuntos del plano complejo.

Para cualquier funcin compleja, tanto la variable independiente y la variable dependiente se pueden separar en partes real e imaginaria:

y donde y son funciones reales.

En otras palabras, los componentes de la funcin f,

y

puede interpretarse como funciones reales de dos variables reales x e y.

Los conceptos bsicos de anlisis complejo se introducen a menudo mediante la ampliacin de las funciones reales elementales en el dominio complejo.

NUMEROS COMPLEJOS

Para empezar, debemos definir un nmero complejo. Los nmeros complejos conforman un

grupo de cifras resultantes de la suma entre un nmero real y uno de tipo imaginario. La unidad

imaginaria es el nmero y se designa por la letra i.

Un nmero imaginario se denota por bi, donde :

b es un nmero real

i es la unidad imaginaria

Con los nmeros imaginarios podemos calcular races con ndice par y radicando negativo.

Nmeros complejos en forma binmica

Al nmero a + bi le llamamos nmero complejo en forma binmica.

El nmero a se llama parte real del nmero complejo.

El nmero b se llama parte imaginaria del nmero complejo.

El conjunto de todos nmeros complejos se designa por

DESARROLLO

CONCLUSIN:Podemos concluir que las funciones complejas se utilizan en todos los campos de las matemticas. Las funciones complejas se utilizan en muchos campos de la fsica como por ejemplo para el estudio de ondas y tambin en ingeniera se usan para facilitar el estudio de cargas sobre vigas. Especialmente tiene bastantes aplicaciones en la electrnica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnticas y la corriente elctrica.Las funciones complejas pueden tener aplicaciones en una amplia variedad de campos facilitndonos o hacindonos mas exacto el resultado que deseamos obtener. BIBLIOGRAFA:http://www.academia.edu/2211067/Aplicaciones_gr%C3%A1ficas_de_funciones_complejashttp://www.dmae.upct.es/~jose/ampcal/complex.pdfhttp://docsetools.com/articulos-noticias-consejos/article_129882.html-CROWDY, D.

Analytical solutions for uniform potencial flow past multiple cylinders

EuropeanJournal of Mechanics B/Fluids. 25 (2006). Pp. 459-470.

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