¿Qué es un sistema de control ?› En nuestra vida diaria existen numerosos

objetivos que necesitan cumplirse. En el ámbito doméstico

› Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios

En transportación› Controlar que un auto o avión se muevan de un

lugar a otro en forma segura y exacta En la industria

› Controlar un sinnúmero de variables en los procesos de manufactura

En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología.

Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria:› tales como control de calidad de los productos

manufacturados, líneas de ensamble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros

Satélites

El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplia.

Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente:

La transformada de Laplace

En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo.

Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.

El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:

La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.

Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

MODELACIÓN MATEMÁTICASuspensión de un automóvil

2

2 )()()()(

dt

tzdm

dt

tdzbtkztf

maF

f(t)

z(t)

kb

m

Fuerza de entrada

Desplazamiento, salida del

sistema

Suspensión de un automóvil

kbsmssF

sZ

kbsmssZsF

sZmssbsZskZsF

dt

tzdm

dt

tdzbtkztf

2

2

2

2

2

1

)(

)(

)()(

)()()()(

cero) a igual iniciales scondicione ndo(considera

términocada a Laplace de ada transformla Aplicando

)()()()(

Función de transferencia

MODELACIÓN MATEMÁTICACircuito eléctrico

)()(1

)(1

)()(

)(

tedttiC

dttiC

tRidt

tdiLte

o

i

Circuito eléctrico

1

1

)(

)(

1)()(E

)(1

)()()(E

I(s)) para o(despejand ecuaciones las Combinando

)()(1

)(1

)()()(E

Laplace de ada transformla Aplicando

)()(1

)(1

)()(

)(

2

2i

i

i

RCsLCssE

sE

RCsLCssEs

sCsECs

sCsERsCsELss

sEsICs

sICs

sRIsLsIs

tedttiC

dttiC

tRidt

tdiLte

i

o

o

ooo

o

oi

Función de transferencia

Representa el comportamiento dinámico del proceso

Nos indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada

Diagrama de bloques

forzanteFunción

proceso del Respuesta

)(

)(

proceso del entrada laen Cambio

proceso del salida laen Cambio

)(

)(

sX

sY

sX

sY

Proceso Entrada del

proceso

(función forzante o

estímulo)

Salida del proceso

(respuesta al

estímulo)

Diagrama de bloques Suspensión de un automóvil

kbsms 2

1

Entrada

(Bache)

Salida

(Desplazamiento del coche)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-3

Diagrama de bloques Circuito eléctrico

1

12 RCsLCs

Ei(s)

(Voltaje de entrada)

Eo(s)

(Voltaje de salida)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL(Es uno de los más utilizados para transformar las ecuaciones diferenciales)

TEOREMA DE VALOR FINAL(Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta)

TEOREMA DE VALOR INICIAL(Nos indica las condiciones iniciales)

Transformada Inversa De Laplace

s

b

s

b

s

a

s

a

sssssT

ssssss

x

sssT

ss

K

ss

KsT

ssW

ssTsW

s

KsT

s

KsT

s

s

s

vvs

2121

42

2

1

1

2

2

1

1

583772.0583772.0583772.0

213928.2

583772.0

458658.4)(

parciales fraccionesen Expansión

1712995.1

792464.3

1712995.1

63766.725.5007

1712995.1

10573947.720

1712995.1

381883.0)(

25.5007

1

20

1)(

25.5007)(

20)()(

1)(

1)(

TsseetT

emperaturTsseetT

sssssT

sssb

sssb

sssa

sssa

tts

tts

s

s

s

s

s

583772.0583772.0

583772.0583772.0

02

583772.01

02

583772.01

1792453.31637670.7)(

salida) de inicial at(Tss 792453.3792453.3637670.7637670.7)(

792453.3

583772.0

792453.3637670.7

583772.0

637670.7)(

792453.3583772.0

213928.2

583772.0

213928.2

792453.3583772.0

213928.2

583772.0

213928.2583772.0

6376.7583772.0

458658.4

583772.0

458658.4

6376.7583772.0

458658.4

583772.0

458658.4583772.0

Transformada Inversa De Laplace

Temperatura del agua de salida – Lazo abierto (sin control)

Temperatura del agua de salida – Lazo cerrado (con control)

1713.1

3819.0

s

Tv(s)

(Aumento de la temperatura de vapor a

la entrada )

Ts(s)

(Aumento en la temperatura de agua a la salida)

11

1

sK

Controlador+

-

Valor desead

oAcción

de control

Variable controlad

a

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID

Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valor medido

sssE

sM

ssEsEssE

sM

ssEsEs

dt

tdedtteteKctm

di

di

di

di

11Kc

)(

)(

)()(1

E(s)Kc)(

)(

)()(1

E(s)KcM(s)

Laplace de ada transformla Aplicando

)()(

1)()(

El sistema de control automático

Temperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con control)

(el tiempo de estabilización para el sistema controlado es de 4 min, a partir del cambio en la entrada)

1713.1

3819.0

s

+

-

Valor desead

oAcción

de control

Variable controlad

a

sKc dsi

11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

X: 0.683Y: 4.91

-1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6