APLICACIONES: MODELACIÓN CON

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

MODELACIÓN MATEMÁTICA:

A la descripción matemática de un sistema o un fenómeno determinado se le llama

modelo matemático y dicha modelación puede determinar una E.D. o un Sistema de

E.D. En muchas aplicaciones de la matemática, la modelación que se obtiene

involucra derivadas de primer orden (primera derivada)

Para resolver dichos problemas considerar los siguientes equivalencias:

Derivada: – pendiente – razón de cambio – velocidad – tasa de cambio – rapidez

Ejemplo 1: Hallar una curva que pase por el punto (0 , −2 ) de modo que la pendiente de la recta tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto aumentado en 3 unidades.

Ejemplo 2: Determinar el camino s recorrido por un cuerpo durante el tiempo t , si su

velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo además que en 10 seg . el

cuerpo recorre 100m . y en 15 seg . , 200m .

Ejemplo 3: Suponga que el precio p( t ) de determinado artículo varía de modo que su razón de cambio con respecto al tiempo es proporcional a la escasez D−S donde D=8−2 p y S=2+ p son las funciones de demanda y oferta.

a) Si el precio es $ 5 cuando t=0 y $ 3 cuando t=2 , halle p( t )

b) Determine lo que ocurre con p( t ) a largo plazo

Ejemplo 4: Una persona tiene una fortuna invertida, que aumenta a una tasa proporcional al cuadrado de su capital actual. Si tenía $ 1 millón hace un año y ahora tiene $ 2 millones. ¿Cuánto tendrá dentro de seis meses?

1. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO:

La tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la

población total P( t ) en cualquier momento t . En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:

dPdt

=kP ; k : Constante de proporcional ……...( I )

Crecimiento (k>0) y Decrecimiento (k<0)

A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo, inmigración, emigración, pandemias, desastres, etc.) que puede influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial dada en (I) aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos de tiempo.

Ejemplo 3: Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará?

Ejemplo 4: Un cultivo tiene una cantidad inicial N0de bacterias. Cuando t=1h, la

cantidad medida de bacterias es 32N 0 . Si la razón de reproducción es proporcional a la

cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos.

2. LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO:

La rapidez o velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura Tm del medio ambiente. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:

dTdt

=k (T−Tm) ; k : Constante de proporcionalidad …...( II )

T>Tm y k<0

Ejemplo 5: Si la temperatura del medio ambiente es de 20ºC y el cuerpo se enfría en 20 minutos, desde 100ºC hasta 60ºC, ¿dentro de cuánto tiempo si temperatura descenderá hasta 30ºC?

Ejemplo 6: Un termómetro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 5ºF. Después de un minuto, el termómetro indica 55ºF y después de cinco marca 30ºF, ¿cuál era la temperatura del recinto interior?