CAPITULO

3Aplicaciones

3.2 Area de una region plana

La integral definida de una funcion f .x/ � 0 y continua en un intervalo Œa; b� mide el area de la region bajola grafica de y D f .x/, sobre el eje x y entre las rectas verticales x D a, x D b.

x

y

a b

y D f .x/

b

b

El area A de la regionmostrada es

A DZ b

a

f .x/dx:

Se explica a continuacion como hallar el area de una region comprendida entre las graficas de dos funcionescontinuas y no negativas, digamos f .x/ & g.x/ mostradas en la siguiente figura:

x

y

y D g.x/

y D f .x/

R

b

b

1. canek.azc.uam.mx: 13/ 1/ 2017

1

2 Calculo integral

Usando la aditividad del area podemos resolver este problema. En primer lugar debemos determinar lospuntos donde las curvas y D f .x/ & y D g.x/ se intersecan; supongamos que las soluciones de la ecuacionf .x/ D g.x/ son x D a & x D b, las cuales definen un intervalo cerrado Œa; b� donde suponemos quef .x/ � g.x/.Entonces la region bajo la curva y D f .x/, sobre el eje x y entre las rectas x D a & x D b, se puededescomponer como la union de dos regiones que no se traslapan, una de ellas es R [la region entre lascurvas y D f .x/ & y D g.x/] y la otra es la region bajo y D g.x/, sobre el eje x y entre las rectas verticalesx D a & x D b:

x

y

y D g.x/

y D f .x/

R

b

b

a b

������������!

x

y

y D g.x/

y D f .x/

R

b

b

a b

En terminos de areas, esta descomposicion se escribe ası:

∫ b

a

f .x/ dx D A.R/ C∫ b

a

g.x/ dx:

Desplazamos la integral de g.x/ al otro lado de la igualdad:

A.R/ D∫ b

a

f .x/ dx �∫ b

a

g.x/ dx

o tambien:

A.R/ DZ b

aŒf .x/ � g.x/� dx: (3.1)

En esta formula hay que tener cuidado con el orden en que se escriben las funciones en el integrando;siempre se resta la funcion menor en el intervalo Œa; b�, en este caso es g.x/ el sustraendo. De esta forma,obtenemos un resultado positivo.

Ejemplo 3.2.1 Calcular el area de la region contenida entre las graficas de la parabola y D x2 y la recta y D x C 2.

H Siempre es recomendable, en este y todos los problemas similares, comenzar haciendo las graficas delas funciones que acotan la region cuya area deseamos calcular.

x

y

y D x C 2

y D x2

a b

b

b

2

3.2 Area de una region plana 3

Se puede ver en la figura que esta region queda debajo de la recta y D x C 2 y sobre la parabola y D x2;una region de este tipo se llama sector parabolico. En la grafica se aprecia que el area de la region es

Area D∫ b

a

.x C 2/dx �∫ b

a

x2dx D∫ b

a

.x C 2 � x2/dx;

pues la recta esta por encima de la parabola. Sin embargo necesitamos encontrar los lımites de integraciona, b, lo que haremos resolviendo la ecuacion:

f .x/ D g.x/ ) x C 2 D x2;

que podemos expresar como x2 � x � 2 D 0, o bien como .x � 2/.x C 1/ D 0. Las soluciones son entoncesx D 2, x D �1. Por consiguiente, el area se calcula con la integral:

Area D∫ 2

�1

Œx C 2 � x2� dx D(

x2

2C 2x � x3

3

) ∣

∣

∣

∣

2

�1

D

D .2/2

2C 2.2/ � .2/3

3�

[

.�1/2

2C 2.�1/ � .�1/3

3

]

D

D 2 C 4 � 8

3� 1

2C 2 � 1

3D 8 � 1

2� 3 D 9

2D 4:5 u2:

�

Ejemplo 3.2.2 Determinar el area de la region comprendida entre las curvas y Dx2

8& y D

px, con x � 0.

H En las graficas de las funciones que rodean a la region podemos ver que y Dp

x es el borde superior y

que y D x2

8es el inferior.

x

y

y Dp

x

y D x2

8

b

b

Buscamos los lımites de integracion resolviendo la ecuacion:

f .x/ D g.x/ )p

x D x2

8) x4

64D x ) x4 D 64x ) x4 � 64x D 0 )

) x.x3 � 64/ D 0 ) x D 0 o bien x3 � 64 D 0 ) x D 0 o bien x D 3p

64 D 4:

Vemos de este modo que los extremos de integracion son 0 y 4, ası que el area se calcula como

A.R/ D∫ 4

0

(px � x2

8

)

dx D

x32

32

� 1

8

x3

3

∣

∣

∣

∣

∣

4

0

D

D 2

3.4/

32 � 1

24.4/3 D 16

3� 64

24D 8

3u2:

�

3

4 Calculo integral

En los ejemplos previos hemos utilizado funciones cuyas graficas estan por encima del eje x. Esta no es unacondicion importante en realidad, lo unico que se necesita para aplicar la formula (3.1) es calcular los lımitesde integracion y considerar la posicion de las graficas de f .x/ & g.x/, cual esta arriba y cual abajo. Paraque el lector aprecie esta observacion, supongamos que las graficas de f .x/ & g.x/ se encuentran debajo eleje x:

x

y

y D g.x/

y D f .x/

R

a b

Si trasladamos verticalmente las graficas de ambas funciones, sumando en ambas una constante C suficien-temente grande, tendrıamos:

x

y

y D g.x/ C C

y D f .x/ C C

QR

a b

La region R se traslado ıntegramente a QR, sin deformarse y ası su area no cambio. Ademas,

A.R/ D A. QR/ D∫ b

a

Œ.f .x/ C��C/ � .g.x/ C��C /� dx D

D∫ b

a

Œf .x/ � g.x/� dx:

Ejemplo 3.2.3 Determine el area de la region limitada por el eje x y la parabola y D x2 � 2x.

H La grafica de la parabola se presenta en la figura, la region esta debajo del eje x y sobre la grafica dey D x2 � 2x.

x

y

y D x2 � 2x

0

El eje x se puede describir como la grafica de y D 0, ası que en el integrando tendremos Œ0 � .x2 � 2x/� dx

y los limites de integracion se obtienen resolviendo:

x2 � 2x D 0 ) x.x � 2/ D 0 ) x D 0 & x D 2:

4

3.2 Area de una region plana 5

Con esta informacion, el area que deseamos determinar es

A.R/ D∫ 2

0

Œ0 � .x2 � 2x/� dx D∫ 2

0

.2x � x2/ dx D x2 � x3

3

∣

∣

∣

∣

2

0

D

D 22 � 23

3D 4 � 8

3D 4

3u2:

�

� Generalizando, para cualquier funcion y D g.x/ � 0 en un intervalo Œa; b�, el area bajo el eje x y sobrela grafica de y D g.x/ sera

x

y

a b

y D g.x/

b

b

R

El area A.R/ � 0 de la region entre las curvas y D 0 & y D g.x/ se calcula como sigue:

A.R/ D∫ b

a

Œ0 � g.x/� dx D∫ b

a

�g.x/ dx D �∫ b

a

g.x/ dx: Curva superior � curva inferior.

Esto se puede interpretar tambien como

∫ b

a

g.x/ dx D �A.R/;

de modo que la integral de la funcion mide un area con signo, tomando como area positiva cuando lagrafica del integrando esta sobre el eje x y como area negativa cuando se encuentra bajo el eje x.

Ejemplo 3.2.4 Interpretar la integralZ 2

�1.x3 � x/ dx como un area con signo.

H La grafica de y D x3 � x se presenta en la siguiente figura:

x

y

�1

1 2b b

b

Como se trata de una funcion impar, la grafica es simetrica con respecto al origen. Observe que la parte dela curva en Œ�1; 0� es simetrica con la parte en Œ0; 1�, ası que el area que encierran junto con el eje x ambostramos son iguales en magnitud, pero de signo contrario:

∫ 0

�1

.x3 � x/ dx D �∫ 1

0

.x3 � x/ dx:

5

6 Calculo integral

Tenemos entonces:∫ 1

�1

.x3 � x/ dx D∫ 0

�1

.x3 � x/ dx C∫ 1

0

.x3 � x/ dx D 0:

Concluimos que:∫ 2

�1

.x3 � x/ dx D∫ 2

1

.x3 � x/ dx:

Comprobamos este ultimo resultado, calculando ambas integrales:

∫ 2

�1

.x3 � x/ dx D(

x4

4� x2

2

) ∣

∣

∣

∣

2

�1

D 24

4� 22

2�

(

.�1/4

4� .�1/2

2

)

D 4 � 2 �(

1

4� 1

2

)

D 9

4I

∫ 2

1

.x3 � x/ dx D(

x4

4� x2

2

) ∣

∣

∣

∣

2

1

D 24

4� 22

2�

(

14

4� 12

2

)

D 4 � 2 �(

1

4� 1

2

)

D 9

4:

�

Ejemplo 3.2.5 Calcular el area de la region encerrada entre la grafica de la funcion y D x3 � x & el eje x, desdex D �1 hasta x D 2.

H No hay necesidad de graficar esta vez, pues la grafica de la funcion es la misma del ejemplo anterior.Lo que cambia en el calculo y resultado que haremos ahora se debe a que buscamos un area, no la integraldefinida solamente; en el caso presente el area definida en el intervalo Œ�1; 0� se suma al area definida en elintervalo Œ0; 1�.

Dicho lo anterior, calculamos el area solicitada integrando en tres tramos, como sigue:

Area D∫ 0

�1

Œ.x3 � x/ � 0� dx C∫ 1

0

Œ0 � .x3 � x/� dx C∫ 2

1

Œ.x3 � x/ � 0� dx:

El 0 en los integrandos de la formula anterior representa al eje x; cuando la funcion y D x3 � x es > 0,restamos 0, y cuando y D x3 � x < 0, entonces al 0 le restamos la funcion. Simplificando y haciendo loscalculos en la formula, obtenemos:

Area D(

x4

4� x2

2

) ∣

∣

∣

∣

0

�1

C(

�x4

4C x2

2

) ∣

∣

∣

∣

1

0

C(

x4

4� x2

2

) ∣

∣

∣

∣

2

1

D

D �(

.�1/4

4� .�1/2

2

)

C(

�14

4C 12

2

)

C(

24

4� 22

2

)

�(

14

4� 12

2

)

D

D �(

1

4� 1

2

)

C(

1

2� 1

4

)

C(

16

4� 4

2

)

�(

1

4� 1

2

)

D 3

4C 2 D 11

4:

Este resultado difiere del ejemplo anterior en que las areas de las regiones de �1 a 0 y de 0 a 1 en vez de

cancelarse se sumaron; observe que ambas son iguales a1

4, por la simetrıa de la funcion.

�

Podemos generalizar la idea del ejemplo anterior como sigue: si las funciones y D f .x/ & y D g.x/

tienen mas de dos intersecciones, entonces el area limitada por sus graficas se obtiene integrando sobrecada intervalo, entre dos cruces de las graficas, bien f .x/ � g.x/ o bien g.x/ � f .x/, dependiendo de cualde ellas queda por arriba y cual por debajo en dicho intervalo. Por ejemplo, en la siguiente grafica:

6

3.2 Area de una region plana 7

x

y

y D f .x/

y D g.x/

b

a

b

b

b

c

El area sombreada de la region es

A.R/ D∫ a

c

Œg.x/ � f .x/� dx C∫ b

a

Œf .x/ � g.x/� dx:

Por comodidad, para abreviar en la escritura de la formula, podemos usar la funcion valor absoluto.Recordemos que:

j u j D{

u; si u � 0I�u; si u < 0I

ası que al aplicar esta funcion a la diferencia f .x/ � g.x/:

j f .x/ � g.x/ j D{

f .x/ � g.x/; si f .x/ � g.x/ � 0I� Œf .x/ � g.x/� ; si f .x/ � g.x/ < 0I

D{

f .x/ � g.x/; si f .x/ � g.x/Ig.x/ � f .x/; si f .x/ < g.x/:

La formula para el caso donde f .x/, g.x/ tengan varias intersecciones a1 < a2 < a3 < : : : < an es

x

y

y D f .x/

y D g.x/

b

a1

b

a2

b

a3

b

a4

b

a5

b

a6 � � �

b

an

Area.R/ D∫ an

a1

j f .x/ � g.x/ j dx:

La formula se ve muy simple, pero la integral del lado derecho se debe partir en una suma de integrales:

∫ a2

a1

C∫ a3

a2

C � � � C∫ an

an�1

;

con el integrando ˙Œf .x/ � g.x/�, con el signo apropiado.

7

8 Calculo integral

Ejemplo 3.2.6 Determinar el area de la region limitada por las graficas de las funciones

f .x/ D x4 � 4x2 & g.x/ D 2x2 � 8:

H La grafica de ambas funciones y las regiones entre ellas se muestra en la figura.

x

y

y D x4 � 4x2

y D 2x2 � 8

b

b b

b�2 �

p2

p2 2

Las intersecciones de las graficas se determinan resolviendo f .x/ D g.x/, esto es,

x4 � 4x2 D 2x2 � 8 ) x4 � 6x2 C 8 D 0 ) .x2 � 4/.x2 � 2/ D 0 )) x2 � 4 D 0 o bien x2 D 2 )) x D ˙2 o bien x D ˙

p2:

Los correspondientes valores de las ordenadas son 0 para x D ˙2 y �4 cuando x D ˙p

2, es decir, los

puntos de interseccion de las graficas son .�2; 0/; .�p

2; �4/; .p

2; �4/ y .2; 0/.

En los intervalos �2 � x � �p

2,p

2 � x � 2, la grafica de f .x/ queda por debajo de la de g.x/, y en el

intervalo �p

2 � x �p

2 sucede lo contrario.

En consecuencia, el area se calcula de la siguiente forma:

Area D∫ 2

�2

j f .x/ � g.x/ j dx D

D∫ �

p2

�2

Œg.x/ � f .x/� dx C∫

p2

�p

2

Œf .x/ � g.x/� dx C∫ 2

p2

Œg.x/ � f .x/� dx D

D∫ �

p2

�2

[

.2x2 � 8/ � .x4 � 4x2/]

dx C∫

p2

�p

2

[

.x4 � 4x2/ � .2x2 � 8/]

dx C∫ 2

p2

[

.2x2 � 8/ � .x4 � 4x2/]

dx D

D∫ �

p2

�2

Œ�x4 C 6x2 � 8� dx C∫

p2

�p

2

Œx4 � 6x2 C 8� dx C∫ 2

p2

Œ�x4 C 6x2 � 8� dx D

D(

�x5

5C 2x3 � 8x

) ∣

∣

∣

∣

�p

2

�2

C(

x5

5� 2x3 C 8x

) ∣

∣

∣

∣

p2

�p

2

C(

�x5

5C 2x3 � 8x

) ∣

∣

∣

∣

2

p2

D

D[

� .�p

2/5

5C 2.�

p2/3 � 8.�

p2/

]

�[

� .�2/5

5C 2.�2/3 � 8.�2/

]

C[

.p

2/5

5� 2.

p2/3 C 8

p2

]

�

�[

.�p

2/5

5� 2.�

p2/3 C 8.�

p2/

]

C[

�25

5C 2.2/3 � 8.2/

]

�[

� .p

2/5

5C 2.

p2/3 � 8

p2

]

D

8

3.2 Area de una region plana 9

D[

4p

2

5� 4

p2 C 8

p2

]

�[

32

5���16 C��16

]

C[

4p

2

5� 4

p2 C 8

p2

]

�[

�4p

2

5C 4

p2 � 8

p2

]

C

C[

�32

5C��16 ���16

]

�[

�4p

2

5C 4

p2 � 8

p2

]

D 16p

2

5C 16

p2 � 64

5D

D 96p

2

5� 64

5u2:

Observe que los calculos anteriores pudieron haberse simplificado de haber usado la paridad y simetrıa delas graficas. En realidad habrıa bastado con calcular

Area D 2

∫

p2

0

Œx4 � 6x2 C 8� dx C 2

∫ 2

p2

Œ�x4 C 6x2 � 8� dx;

para obtener el mismo resultado.�

Ejemplo 3.2.7 Considerar la region delimitada por las graficas de y D x, y D 9 & y D 2

3x C 1

3. Calcular el area de

la region descrita integrando primeramente sobre el eje x; posteriormente realizar el calculo del area integrando sobreel eje y.

H La region delimitada por la grafica de y D x, y D 9 & y D 2

3x C 1

3se muestra en la siguiente figura:

x

y

yD

x

y D 9

yD

23x

C1

3

b

b b

1 9 13

1

9

El area de la region integrando sobre el eje x es

A.R/ D∫ 9

1

[

x �(

23x C 1

3

)]

dx C∫ 13

9

C[

9 �(

23x C 1

3

)]

dx D

D∫ 9

1

(

x � 23x � 1

3

)

dx C∫ 13

9

C(

9 � 23x � 1

3

)

dx D

D∫ 9

1

(

x3

� 13

)

dx C∫ 13

9

C(

263

� 23x)

dx D

D(

x2

6� x

3

) ∣

∣

∣

∣

9

1

C(

26

3x � x2

3

) ∣

∣

∣

∣

13

9

D

D(

92

6� 9

3

)

�(

12

6� 1

3

)

C[

.26/.13/

3x � .13/2

3

]

�[

.26/.9/

3� 92

3

]

D

D 81

6� 3 � 1

6C 1

3C 338

3� 169

3� 78 C 81

3D

D 80

6C 251

3� 81 D 80 C 502 � 486

6D 16 u2:

9

10 Calculo integral

Para calcular el area de la region al integrar sobre el eje y, se debe encontrar la inversa de y D x & y D2

3x C

1

3.

Respectivamente, x D y & x D 3

2y � 1

2.

x

y

xD

y

xD

32y

�1

2

b

b b

1

9

El area de la region al integrar sobre el eje y es

A.R/ D∫ 9

1

[(

3

2y � 1

2

)

� y

]

dy D∫ 9

1

(

y

2� 1

2

)

dy D(

y2

4� y

2

) ∣

∣

∣

∣

9

1

D(

92

4� 9

2

)

�(

12

4� 1

2

)

D

D 81

4� 9

2� 1

4C 1

2D 20 � 4 D 16 u2:

�

Para el calculo del area de una region resulta mas sencillo, en algunos casos, integrar sobre uno de los dosejes del plano cartesiano. En el ejemplo anterior, el calculo del area de la region al integrar sobre el eje y

resulto mas sencillo.

Ejemplo 3.2.8 Sean las funciones f .x/ Dp

x � 2 C 2, g.x/ D �p

x � 2 C 2 & h.x/ D x

2� 3. Obtener el area de

la region delimitada por sus graficas.

H Se muestra a continuacion la region descrita:

x

y

y Dp

x � 2 C 2

y D 1

2x � 3

y D �p

x � 2 C 22 6 18

2

6

b

b

bb

Si se integra sobre el eje x, el area de la region es

A.R/ D∫ 6

2

[(px � 2 C 2

)

�(

�p

x � 2 C 2)]

dx C∫ 18

6

[(px � 2 C 2

)

�(

12x � 3

)

]

dx D

D∫ 6

2

(

2p

x � 2)

dx C∫ 18

6

(px � 2 � 1

2x C 5

)

dx D 32

3C 76

3D 108

3D 36 u2:

Resulta mas sencillo si integra con respecto a y. Las funciones x de y que delimitan la region son

x D .y � 2/2 C 2 & x D 2y C 3:

10

3.2 Area de una region plana 11

x

y

x D .y � 2/2 C 2

x D 2y C 3

0

6

b

bb

Si se integra sobre el eje y, el area de la region es

A.R/ D∫ 6

0

[

.2y C 3/ �(

.y � 2/2 C 2)]

dy D∫ 6

0

(

�y2 C 6y � 3)

dy D(

�y3

3C 3y2 � 3y

) ∣

∣

∣

∣

6

0

D 36 u2:

�

Ejercicios 3.2.1 Areas. Soluciones en la pagina 13

1. Determinar el area de la region delimitada por las graficas de las funciones

f .x/ D 4x.1 � x/ & g.x/ D 4x � 4:

2. Determinar el area de la region delimitada por la grafica de las funcion f .x/ D 3.x � 1/.x � 2/.x � 3/

y el eje x.

3. Determinar el area de la region delimitada por las graficas de las funciones f .x/ D x3 & g.x/ D x.

4. Determinar el area de la region delimitada por las graficas de las funciones f .x/ D j x j & g.x/ D x2

2.

5. Calcular el area de las regiones delimitadas por las graficas de las funciones f .x/ D x3�4x & g.x/ D �3x2.

6. Determinar el area de la region delimitada por las graficas de las funciones g.x/ D sen 2x & h.x/ D sen x

en el intervalo[

0;�

2

]

.

7. Calcular el area de la region delimitada por la curva y D ex y las rectas y D 10 & x D 0.

8. Calcular el area de la region delimitada por la las curvas y D ex & y D e�x y la recta y D 4.

9. Encontrar el area de la region delimitada por la curva y D xe�x2

y las rectas y D 0 & x D 1.

10. Realice un bosquejo de la region delimitada por las curvas y D cos x & y D 2 � cos x en el intervaloŒ0; 2��. Calcular el area de dicha region.

11. Sea R1 la region del plano entre las curvas y D jx2 � 2xj & y D 3. Calcular el area de R1.

12. Calcular el area de la region limitada por las graficas de y D ex, y D e�2x y la recta x D ln4.

13. Calcule el area de la region delimitada por la grafica de la funcion y D ln.x � 1/ y las rectas y D x � 2

& x D 3.

14. Calcular el area de la region encerrada por las graficas de f .x/ D cos x, g.x/ D ex & la recta x D � .

15. Calcular el area de la region del plano limitado por el eje x, y las curvas y D .x � 1/2, y D .x � 3/2.

16. Calcular el area de la region del plano limitada por las curvas y D ln x, y D ex y las rectas x D 1,x D 2.

11

12 Calculo integral

17. Encontrar el area limitada por las curvas y D sen x & y D cos x en el intervalo

[

�

4;5�

4

]

.

18. Calcular el area de la region del plano limitada por las graficas de y D x2 C 4, y D �2x C 3

& y D 6x � 5.

19. Determine el area de la region acotada por las graficas de y D ex, y D x2 � 2, x D 1, x D �1.

20. Considerar la region delimitada por las curvas x D .y �1/2 & x D 2y. Determinar el area de la regionintegrando sobre el eje y y sobre el eje x.

12

3.2 Area de una region plana 13

Ejercicios 3.2.1 Areas. Preguntas, pagina 11

1.16

3u2.

2.3

2u2.

3.1

2u2.

4.4

3u2.

5.131

4u2.

6.3

4u2.

7. 10 ln.10/ � 9 � 14:0259 u2.

8. 8 ln.4/ � 6 � 5:0904 u2.

9.1

2

„

e � 1

e

«

� 0:3161 u2.

10. 4� u2.

11. 8 u2.

12.81

32u2.

13.

„

3

2� ln 4

«

u2.

14. (�1 C e� ) u2.

15.2

3u2.

16. Œ1 C e.e � 1/ � ln 4� u2.

17. 2p

2 u2.

18.16

3u2.

19.

„

10

3� 1

eC e

«

u2.

20.32

3u2.

13