SUBSECRETARA DE EDUCACIN SUPERIOR

DIRECCIN GENERAL DE EDUCACIN SUPERIOR TECNOLGICA

INSTITUTO TECNOLGICO DE QUERTARO

MTODOS NUMRICOS

UNIDAD 2. MTODOS DE SOLUCIN

DE ECUACIONES (NO LINEALES)

2.5 APLICACIONES DE PROBLEMAS

Santiago de Quertaro, Mxico

Marzo de 2014

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Aplicaciones de Mtodos numricos a resolver sobre la

unidad 2:

Mtodos de solucin de ecuaciones.

1. Use el mtodo de la biseccin para determinar el coeciente de arrastre (c)necesario para que un paracaidista de 80 kg tenga una velocidad de 36 m/s

despus de 4 seg. de cada libre. Nota: La aceleracin de la gravedad es de

9.81 m/s2. Comience con valores iniciales de xl = 3 y xu = 5. Itere hasta queel error relativo porcentual aproximado (|a|) caiga por debajo del 2%.

Dado que la velocidad del paracaidista que cae est dada por:

v =gm

c(1 e(c/m)t), y que v = 36Entonces la funcin a evaluar es:

f(c) =gm

c(1 e(c/m)t) 36 = 0

Tabule una tabla con los siguientes datos:

i xi f(xi) xu f(xu) xr f(xr) % |a|

2. Suponga que est diseado un tanque esfrico (va la gura abajo) para

almacenar agua para un poblado pequeo en un pas en desarrollo. El volumen

de liquido que puede contener se calcula con:

V = pih2[3R h]

3

2

Donde V = volumen [m3], h = profundidad del agua en el tanque [m], R =radio del tanque [m].SiR = 3 m, a qu profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga30m3? Haga tres iteraciones con el mtodo de la posicin falsa a fn de obtenerla respuesta. Determine el error relativo aproximado despus de cada iteracin.

Utilice valores iniciales de 0 y R.

Dado que el volumen es conocido (V = 30m2), la funcin puede despejarseen funcin de h. Realice el despeje y compruebe que halla quedado como sigue(incluya el proceso de su despeje):

f(h) = piRh2 (pi3)h3 V

Tabule una tabla con los siguientes datos:

i xl xu f(xl) f(xu) xr f(xr) f(xl) f(xr) % |a|

Verique su resultado sustituyendo (xr = h) en la formula del clculo delvolumen y compruebe al valor que se aproxima.

3. Determine la raz real ms grande de:

f(x) = 2x3 11.7x2 + 17.7x 5

a) En forma grca

b) Con el mtodo del punto jo (tres iteraciones, x0 = 3). Nota: aseguresede haber desarrollado una solucin que converja a a raz. Use la siguiente

x = g(x):

x =5 2x3 + 11.7x2

17.7

Tabule una tabla con los siguientes datos:

i xi % |a|

c) Con el mtodo de Newton Raphson, (tres iteraciones, x0 = 3). Tabule unatabla con los siguientes datos:

i xi f(x) f(x) %|a|

d) Con el mtodo de la Secante (tres iteraciones, x1 = 3, x0 = 4). Tabuleuna tabla con los siguientes datos:

i xi1 f(xi1) xi f(xi) %|a|

3

4. Suponga que est diseado un tanque esfrico (vase la gura del problema 2)

de almacenamiento de agua para un poblado pequeo en un pas en desarrollo.

El volumen de liquido que puede contener se calcula con:

V = pih2[3R h]

3

Donde V = volumen [m3], h = profundidad del agua en el tanque [m], R =radio del tanque [m].Si R = 3 m, a qu profundidad (h) debe llenarse el tanque de modo quecontenga 30 m3? Haga tres iteraciones con el mtodo de Newton Raphson (NR)para determinar la respuesta. Encuentre el error relativo aproximado despus

de segunda iteracin. Observe que el valor inicial de R convergir siempre.

Dado que el volumen es conocido (V = 30m2), la funcin puede resolversepara h. Tal como en el problema 2:

f(h) = piRh2 (pi3)h3 V

Compruebe que su formulacin de NR queda como sigue (adjunte la secuen-

cia de su diferenciacin de f(h)):

xi+1 = xi piRx2i (pi3 )x3i V

2piRxi pix2i

Tabule una tabla con los siguientes datos:

i xi f(xi) f(xi) % |a|

Especique el valor de la raz despus de las tres iteraciones y el valor del

porcentaje de error relativo aproximado (% |a|).

5. En estudios hechos sobre la recoleccin de energa solar enfocando un campo

de espejos planos sobre un colector central, L. L. Vant-Hull (Solar Energy, 18,

33 (1976)) deduce una ecuacin para el factor de concentracin geomtrica C:

C =pi(h/ cosA)2F

0.5piD2(1 + senA 0.5 cosA)en donde A es el ngulo del borde del campo, F es la cobertura fraccional delcampo de espejos, D es el dimero del colector y h es la altura del colector.Encuentre A si h = 300, C = 1200, F = 0.8 y D = 14. Use cualquier mtodo desolucin de ecuaciones no lineales, si A es un ngulo dena un adecuado parala solucin.

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