APONTAMENTOS DE MATEMÁTICA

Tema: Teoria de conjuntos ®JGChigona@ECA@2013 [email protected] ou [email protected]

DOCENTE DA DISCIPLINA: ®Juvêncio Guilherme Chigona/DN3 em Matemática e Licenciando em Contabilidade & Auditoria Página 1

APONTAMENTOS DE MATEMÁTICA

10a Classe

Tema:

TEORIA DE CONJUNTOS

Nampula

®2013

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CONTEÚDOS

1. Conjunto.

1.1. Notação de um conjunto

1.1.2. Elemento de um conjunto e relação de Pertença.

1.1.3. Modos de representação de um conjunto;

1.1.3.1. Representação por Extensão ou enumeração.

1.1.3.2. Representação por Compreensão;

1.1.3.3. Diagrama de Venn

1.1.4. Conjunto Singular

1.1.5. Conjunto Vazio - {} OU

1.1.6. Conjunto Universo, Universal ou Mãe – U.

1.1.7. Cardinal de um Conjunto – n(A) ou #.

1.2.RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS

1.2.1. Igualdade de Conjuntos

1.2.2. Subconjuntos/Relação de Inclusão

1.3.OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

1.3.1. União, Reunião ou Adição de Conjuntos ( R ou 1.3.2. Diferença de conjuntos ( - ou \)

1.3.3. Diferença Simétrica de Conjuntos (A∆B)

1.3.5. Complementar de Um conjunto ( A ).

1.4. Propriedades Operatórias sobre Conjuntos.

1.5. APLICAÇÃO DA TEORIA DE CONJUNTOS.

Exercícios de Aplicação. Bibliografia.





1. Conjunto.

Definicao1: O conceito conjunto é primitivo e geral em Matemática pode ser substituído pelos

sinónimos: agrupamento ou colecção, …de seres ou entes com uma característica comum ou

espécie.

Exemplo1: Constituem conjunto;

a) Números inteiros

b) Motorizadas;

c) Adeptos de uma equipe de futebol;

d) Alunos de uma turma;

1.3.Notação de um conjunto

Definição2: Um conjunto é representado por letras maiúsculas e os seus elementos por letras

minúsculas.

Exemplo2:

A={ Números inteiros}; B={a, e, i, o, u}.

1.1.2. Elemento de um conjunto e relação de Pertença.

Sendo um com A= {1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8};

Afirmar que: “2 é elemento de A”, ou “2 pertence a A”, escreve-se simbolicamente: “ 1 A”.

Afirmar que “60 não é elemento de A” ou “60 não pertence a A”, escreve-se: “60 A”.

Nota1: O símbolo lê-se: “é elemento de ou pertence a”

O símbolo lê-se: “ não é elemento de ou não pertence a”

1.1.3. Modos de representação de um conjunto;

1.1.3.1. Representação por Extensão ou enumeração.

Definição3: Nesta representação, escrevem-se todos os elementos desse conjunto, dentro de

chavetas {}, separados por uma vírgula (,); e geralmente quando o conjunto possui poucos

elementos.

Exemplo3:

A={ nos

pares positivos menores que 14} A={2, 4, 6, 8, 10,12}

B={ Nos impares menores que 1000} B={1, 3,5, 7, 9, …999}

D= {conjunto de múltiplos de 5} D={5, 10, 15, 20, 25, …}

1.1.3.2. Representação por Compreensão;

Definição4: Um conjuntos é representado por compreensão, quando ou se estiver enunciada uma

propriedade comum que caracteriza todos elementos desse conjunto.

Exemplo4:

C={x:x é um numero natural menor que 1000} = {x N: x<1000};

F={x\x é fraccionário e 0<x<1}.





1.1.3.3. Diagrama de Venn

Definição5: É uma linha fechada em torno dos seus elementos associados a pontos e na sua

extremidade o nome ou letras que o representa.

Exemplo5: B. B={1, c, e, o}

Fig.1

Exercícios-1:

1. Sendo dados os conjuntos abaixo, represente por extensão ou por compreensão:

a) K= {Províncias do norte de Moçambique}

b) M={a, e, i, o, u}

c) N={ x:x é positivo e inferior que 20}

d) O={x\x=5n, e n N}

2. Considerando os conjuntos acima coloque os símbolos ou , nos espaços em branco.

a) s _____ M

b) a _____ N

c) e _____ M

d) 50 ____ O

e) Beira ___ K

f) -12 _____ N

3. Dados os conjuntos abaixo, preencha com os símbolos ou nos espaços em branco.

A={1, 2, 3, 4, 5}; B={-1,5; -1, 0, 1, 2}; C={

a) 2_____ A

b) -1 _____ A

c) -1,5 _____ C

d) 10:5 ____ B

e) 0 ___ C

1.1.4. Conjunto Singular

Definição6: Chama-se conjunto singular, a um conjunto que possui um e único elemento.

Exemplo6: D= {Governadores da Província de Nampula} ={ }.

1.1.5. Conjunto Vazio - {} OU

Definição7: É todo conjunto que não possui ou que não tem elemento.

Exemplo 7: G= {Mesas que voam} = {} ou

1.1.6. Conjunto Universo, Universal ou Mãe – U.

Definição8: É o conjunto que contem todos os elementos que com os quais trabalharemos.

Exemplo8: A-{3, 6, 9, 12}; B={2, 4, 6, 8}; C={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

O conjunto universo é C. U=C.

1.1.7. Cardinal de um Conjunto – n(A) ou #.

Definição9: Cardinal de um conjunto é o número de elementos desse conjunto.

Exemplo9: A={10, 20, 30, 40, 50, 60}; M={a, e, i, o, u}

n(A)= 6, #M=5.

.1. e. o. c.





1.4.RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS

1.4.1. Igualdade de Conjuntos

Definição10: Dois conjuntos A e B são considerados iguais se, e somente se, todo elemento de A

pertencer a B e vice-versa; ou sse verificar a dupla inclusão.

AB x : xAxB ou A=B sse: A B e B A.

Exercício2: Considere os conjuntos A{a , b , c }; B {m , n }; C D{b , c , a };

E {} e F { n ,m , n }, verifique a igualdade ou não dos conjuntos abaixo.

D ........... A ; B ........... F ; D ........... A ; A ........... F ; C ........... E

1.4.2. Subconjuntos/Relação de Inclusão

Definição11: Um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todo e qualquer elemento

de A também pertence a B .

Exemplo10: Consideremos os conjuntos A e B, representados também por diagrama:

A{1,3,7} e B {1,2,3,5,6,7,8} B.

[Fig. 2]: Diagrama dos conjuntos A e B . fig. 2

Note que qualquer elemento de A também pertence a B.

Nesse caso, dizemos que A é subconjunto de B; ou A está contido em B”.

Indica-se simbolicamente: AB ; lê-se: A está contido em B ou A é subconjunto de B;

Podemos dizer também que B contém A. Indica-se: B A; lê-se: B contém A.

Nota2:

1: Se AB e B A, então AB .

2: Os símbolos , e são utilizados para relacionar conjuntos.

3: Para todo conjunto A, tem-se AA = A

4: Para todo conjunto A, tem-se A, onde representa o conjunto vazio.

5: O símbolo: ; lê-se: está contido em ou é subconjunto de; o símbolo é

a negação de

6: O símbolo ; lê-se: contém, e o símbolo é a negação de ;

Exercício3:

2. Sendo dados os conjuntos: A= {0, 1, 2}, B={0, 2, 4, 6} e C={0, 1, 2, 3, 4, 5,}, indique o

valor lógico das afirmações a seguir, colocando V as verdadeiras e F as falsas:

a) A C __F__ ( Porque: A não possui ou não contem tos elementos de C)

b) C B____

c) B C____

d) C A____

e) A B____

f) B A____

.2 .5 A. .8 .6

.1

3.

7.





2. Considere o diagrama ao lado, por onde estão representados os conjuntos A, B, C e D.

Coloque ou nos, espaços em branco.

a) AD b) DC

c) B_A d) D B

e) B A f) AC .

g) B A

1.3.OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

1.3.1. União, Reunião ou Adição de Conjuntos ( R ou

Definição12: A união de dois conjuntos A e B (AB) é um outro conjunto formado por todos os

elementos que contenha todos elementos de ambos conjuntos A e de B.

Designamos a reunião de A e B por: AB; lê-se: A reunião B.

AB { x | xA ou xB }.

Exemplo11: Considere os conjuntos: M = {a, e, i, o, o} e N = {1, 2, 3, 4, 5}.

M U N= {1, 2, 3, 4, 5, a, e, i, o, u}.

1.3.2. Intersecção de Conjuntos ( I ou Definição13: A intersecção de dois conjuntos, A e B, é o conjunto formado pelos elementos que

são comuns entre A e B, isto é, pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a B.

Designamos a intersecção de A e B por: AB ; lê-se: A intersecção com B .

AB { x | xA e xB }. fig.4

Exemplo12: Considerando os conjuntos acima M e N a sua intersecção será: M I N={}.

Exemplo13-

Considere os conjuntos D= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} e H= {3, 6, 9, 12, 15}; D

Diferença de conjuntos ( - ou \)

Definição14: A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem a

A, que não pertencem a B .

Designamos a diferença de A e B por: AB ; lê-se: A menos B, ou diferença de A por B.

A\B=AB { x |xA e xB }.

Exemplo14: Considere o diagrama ao lado, por onde estão representados os conjuntos A, B e C.

.A Determine: a) A\B={ 25, 50} e) B\C={ }

b) C-B={6, 12} f) A-C={ }

.C c) B\A={ };

.B d) C\A={ };

.18 22. . C .14

.A .B 30.

.40





1.3.4. Diferença Simétrica de Conjuntos (A∆B)

Definição15: chama-se diferença simétrica de dois conjuntos A e B, ao conjunto formado pela

soma ou reunião das diferenças A\B e B\A. Designamos a diferença simétrica de A e B por: A∆B; lê-se: Diferença simétrica de A por B.

A∆B=(AB) ) { x |xA e xx |x e xA }.

Exemplo15: Considerando a figura do exemplo 14. Teremos:

A∆B= (AB) ) ={ 25, 50}25, 50

Resolva: a) C∆B=

b) C\A

1.3.5. Complementar de Um conjunto ( ). Fig.6 .U

Sendo dados os conjuntos U (universo) e A de tal modo que A U.

Definição16: Chama-se Complementar de um conjunto A ( ), ao conjuntos de todos elementos

do conjuntos universo (U), e não pertencem a A.

Designamos por:, lê-se: complementar de A. Isto é: ={x|x U e x A}.

Exemplo16: Considere os conjuntos representados pela figura ao lado:

Determine: ( ).

Resolução: ={ b, c, d, h, n, l}.

Exercício4:

Sendo U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; Determine se a) A={2, 4, 6, 8} b) se B={1,3,5,7,9}.

Resolução: a) = { } b) B= { }

1.4. Propriedades Operatórias sobre Conjuntos.

Propriedade Reunião de Conjuntos Intersecção de Conjuntos

1. Comutativa A U B =B U A A B =B A

2. Associativa (A U B) U C = A U (B UC) (A B) C = A (B C) 3. Elemento Neutro A U = A A =

4. Universo U U A = U U A = A

5. Distributiva A U (B C) = (A U B) (A U C) A (B U C) = (A B) U (A C)

6. ------------------ A U A = A

Diferença de Conjuntos Complementar de Conjuntos

7. A-B B-A A A =

8. = U A = U

9. = {}= U

10. U-A = A U=

11. A-U=





1.4. APLICAÇÃO DA TEORIA DE CONJUNTOS.

A teoria de conjuntos é aplicada em várias áreas de saberes que envolve agrupamentos.

Exemplo.

1. Numa cidade, existem dois clubes de desportos cujos adeptos são um total de 1500. O clube

de desporto do F.C. Porto tem 700 adeptos e 350 adeptos fazem parte dos dois clubes.

a) Quantos adeptos pertencem exclusivamente ao F.C.Porto?

b) Quantos adeptos pertencem ao outro clube?

c) Quantos adeptos pertencem exclusivamente ao outro clube?

2. Dos 50 professores de uma escola, 30 gostam de jogar futebol e 20 gostam de voleibol e 15

das duas modalidades. Quantos não gostam futebol e não gostam de voleibol?

3. Uma pesquisa de 500 sobre canais da TV e suas novelas, teve como resultados: 285

assistem Insensato Coração, 100 assistem Balaco Baco, 150 assistem Viuda Jovem e ainda

50 assistem Insensato Coração e Viuda Jovem, 30 assistem Viuda Jovem e balaço Baco, 10

de Insensato coração e Balaco Baco, 75 assistem as três novelas.

a) Faça o diagrama de Venn.

b) Quantos telespectadores assistem pelo menos duas novelas?

c) Quantos assistem:

1.1. Insensato Coração?

1.2. Balaco Baco?

1.3. Viuda Jovem?

d) Quantos telespectadores não assistem nenhuma das telenovelas?





Exercícios de Aplicação. 1. Dados os conjuntos:

A={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, o, m, u, v}; B={a, e, i,}; C= {a, d, e, m, o}; D={d, j, u, v}.

1.1.Preencha com símbolo: , , , , ounos espaços em branco.

a) A____B d) B____B g) B____C j) C____D n) a ____A

b) d ____B e) C____A h) D____C l) e ____D o) j ____ A

c) C ____ B f) o ____ C i) {a, e, i} __A m) D p) C____

1.2. Determine:

a) A U B=

b) A U C=

c) D U B=

d) A

e) \

f) \B=

g) B\C =

h) A\D U C\B=

i) A

j) BD=

k) D C=

l) =

m) B

n) =

o)

p) D

q) B\C =

2. Dados os conjuntos:

W={x|x R: -1<x<8}; Y={x R| x>6}. Determinar: a) W UY; b} W\Y; c) Y W.

3. Represente em diagramas de Venn e pinte os seguintes conjuntos:

a) A U B U C

b) B U C C

c) A B C

d) (AB)U (CB) U (AC)

e) (AB) (CB) (AC)

f) (A U B) (C UB) U (AC)

4. Considere os diagramas abaixo. Faça corresponder os Diagramas - Conjuntos (parte pintada).





N.B. há diagramas com duas representações nos conjuntos

4.1. A. A B

B. A\B

C. A U B

4.2. D. B\A

E. A\C

F. A B

4.3. G. A C

H. A U C

I. A U U

4.4. J. \

L. U

M. C

N. A U B U C

4.5. O. (A\B) U (B\A)

P. C\B

4.6. Q. A

R. ABC

S. A

5. Utilizando U, \ e caracteriza a parte pintada do conjunto abaixo representado.

Bibliografia.

CUAMBE. Vasco. M10, Matemática 10a classe; Texto Editores, Lda; 2010.

NHÊZE, Ismael Cassamo, e tal. Matemática Preparação para Ensino Superior 10a

à

12aclasses. Plural Editores, Lda. 2009.

Ministério de Educação e Cultura; IEDA- Instituto de Educação Aberta à Distância. Programa

de Ensino a Distância. Material de Estudo de Matemática 10a class; sd.

Fim da unidade Com desejos de bons estudos.

®Juvêncio Guilherme Chigona@2013.



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