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B I L L S T E I N L I B E S K I N D L O T T

Matemticasun enfoque de resolucin de problemas

para Maestros de Educacin Bsicad c i m a e d i c i n

vers in e n espaol

M A N U E L L P E Z M A T E O S

V O L U M E N U N OV O L U M E N U N O

Lopez Mateos Editores. ISBN 978-607-95583-2-1, obra completa, versin electrnica, ISBN 978-607-95583-3-8, volumen 1, versin electrnica. Ejemplar asignado a: Helecto Villarroel gutierrez [email protected]. Fecha: 27 de octubre de 2014. Prohibida su modificacin, copia o distribucin.

Matemticas, un enfoque de resolucin de problemas, dcima edicin

Pginas de muestra de libros de texto a las que se hacereferencia a lo largo del libro para ilustrar cmo se expli-can en realidad las matemticas a los alumnos de K-8.

Actividades de laboratorio integradas a lo largo del libro para pro-porcionar ejercicios prcticos.

Este libro est diseado para cubrir tus requerimientoseducativos como futuro maestro de educacin bsica omedia. Para ello, hemos incluido algunas caractersticasclave a fin de prepararte mejor para cuando seas unmaestro con tu propio saln de clase.


Ahora intenta ste: Son proble-mas que aparecen a lo largo decada captulo. Esta caracterstica loayuda a participar de manera activaen su aprendizaje, a desarrollar ha-bilidades para resolver problemas,y a estimular las discusiones.

Conjuntos de problemas: Hay cinco tipos diferentes de proble-mas para repasar la comprensin matemtica y para desarrollar lahabilidad de explicar la matemtica a otras personas. Los tipos deproblemas son:

(1) Comunicacin(2) Respuesta abierta(3) Aprendizaje colectivo(4) Preguntas del saln de clase(5) Preguntas de repaso.

Tambin se incluyen ejercicios del Third International Mathemat-ics and Science Study (TIMSS) (Tercer Estudio Internacional sobre

las Matemticas y la Ciencia) y delNational Assessment of EducationalProgress (NAEP) (Evaluacin Na-cional del Progreso Educativo).


Formas ocultasEstudia la figura que se muestra a continuacin, o la de la tapadel libro, para ver si puedes hallar las formas siguientes:1. Un cubo2. Un cilindro3. Una pirmide cuadrada4. Una estrella de 5 picos5. Un prisma rectangular6. Un cono

Las respuestas se muestran en la tapa posterior del libro.


Matemticasun enfoque de resolucin de problemas

para Maestros de Educacin BsicaD C I M A E D I C I N

R I C K B I L L S T E I NUnivers idad de Montana

S H LOMO L I B E S K I N DUnivers idad de Oregon

J OHNNY W. LO T TUnivers idad de Miss iss ippi

vers in en espaol

MANUE L L P E Z MAT EO S

con la colaborac in de

LOURD E S C LAUD IA PAT I O R OMNJU L I O C SAR SALA ZAR GARC A

LpezMateos

edito

res

V O L U M E N U N O


Authorized translation from the English language edition, entitled PROBLEM SOLVING APPROACH TO MATHEMATICSFOR ELEMENTARY SCHOOL TEACHERS, A, 10th Edition by RICK BILLSTEIN; SHLOMO LIBESKIND; JOHNNYLOTT, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright 2010 Pearson Education, Inc.

Traduccin autorizada de la edicin en ingls titulada PROBLEM SOLVING APPROACH TO MATHEMATICS FOR ELE-MENTARY SCHOOL TEACHERS, A, dcima edicin por RICK BILLSTEIN; SHLOMO LIBESKIND; JOHNNY LOTT,publicada por Pearson Education, Inc., bajo Addison-Wesley Higher Education, Copyright 2010 Pearson Education, Inc.

Traduccin Manuel Lpez MateosCorreccin del texto Jos Mara Fbregas PuigCorreccin tcnica Lourdes Claudia Patio Romn, Julio Csar Salazar GarcaFormacin Constancio Hernndez GarcaFormacin de las pginas de muestra Vctor Andrs Hernndez PatioRevisin de pginas finales Libia Lpez Mateos Corts

En la pgina 515, que es parte de esta pgina legal, se agradece gentilmente a los propietarios de los derechos el permiso parausar su material registrado y se da el crdito correspondiente a los diseadores de la edicin en ingls.

Dcima edicin, 2012 2012 Lpez Mateos Editores, s.a. de c.v.

Ave. Insurgentes Sur 1863-301Guadalupe Innlvaro Obregn, D. F.C.P. 01020Mxico

ISBN 978-607-95583-2-1. Obra completa, versin electrnica.

ISBN 978-607-95583-3-8. Volumen uno, versin electrnica.

Informacin para catalogacin bibliogrfica:Billstein, Rick.

MATEMTICAS: Un enfoque de resolucin de problemas para maestros de educacin bsica, Vol. I / Rick Billstein, Shlomo Libeskind, Johnny W. Lott / Manuel Lpez Mateos Tr.10a ed. xii520 p. 20.2x25.4cm.ISBN 978-607-95583-2-1. Obra completa, versin electrnica. ISBN 978-607-95583-3-8. Volumen uno, versin electrnica.1. MatemticasAprendizaje y enseanza (bsica) 2. Resolucin de problemasAprendizaje y enseanza (bsica) 3. For-macin de maestrosActualizacin 4. Educacin bsica I. Libeskind, Shlomo. II. Lott, Johnny W., 1944- III. Ttulo.

All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mecha-nical, including photocopying, recording, or by any information storage retrieval system, without permission from PearsonEducation, Inc.

Electronic SPANISH language edition published by Lpez Mateos Editores. Copyright 2012.

Todos los derechos reservados. Queda prohibido reproducir o transmitir todo o parte de este libro, en cualquier forma o porcualquier medio, electrnico o mecnico, incluyendo fotocopia, grabado o cualquier sistema de almacenamiento y recuperacinde informacin, sin permiso de Pearson Education, Inc.

Edicin electrnica en ESPAOL publicada por Lpez Mateos Editores. Copyright 2012.

Producido en Mxico.

LpezMateos

edito

res

www.lopezmateos.mx

ISBN 978-607-95583-2-1. Obra completa, versin electrnica.ISBN 978-607-95583-3-8. Volumen uno, versin electrnica.


Para todos los estudiantes y maestros que han usado este libro desde su origenRWB, SL y JWL

Para Jane, por su paciencia durante estas 10 edicionesRB

A la memoria de mi amado abuelo Itzhak Bial/owas y mi querido to Marian Bial/owasSL

Para la siguiente generacin de estudiantes de matemticas, incluyendo a Hamilton Grey Lott, William Thomas Falk y Grant Warren FalkJWL


iv

ContenidoPrefacio a la edicin en espaol viiPrefacio viiiAgradecimientos xii

CAPTULO 1 Una introduccin a la resolucin de problemas 11-1 Matemticas y resolucin de problemas 31-2 Exploracin con patrones 22

*1-3 Razonamiento y lgica: una introduccin 42Resumen y revisin del captulo 56

CAPTULO 2 Sistemas de numeracin y conjuntos 612-1 Sistemas de numeracin 622-2 Descripcin de conjuntos 782-3 Otras operaciones entre conjuntos y sus propiedades 93

Resumen y revisin del captulo 106

CAPTULO 3 Nmeros completos y sus operaciones 1103-1 Suma y resta de nmeros completos 1113-2 Algoritmos para la suma y la resta de nmeros completos 1273-3 Multiplicacin y divisin de nmeros completos 1423-4 Algoritmos para multiplicar y dividir nmeros completos 1613-5 Matemtica mental y estimacin 178


CAPTULO 4 Razonamiento algebraico 1944-1 Variables 1974-2 Ecuaciones 2064-3 Funciones 220


CAPTULO 5 Enteros y teora de nmeros 2485-1 Los enteros y las operaciones de suma y resta 2505-2 Multiplicacin y divisin de enteros 2695-3 Divisibilidad 2855-4 Nmeros primos y compuestos 300

* Seccin optativa


5-5 Mximo divisor comn y mnimo mltiplo comn 315*5-6 Aritmtica de reloj y modular 329


CAPTULO 6 Los nmeros racionales como fracciones 3406-1 El conjunto de los nmeros racionales 3426-2 Suma, resta y estimacin con nmeros racionales 3636-3 Multiplicacin y divisin de nmeros racionales 381


CAPTULO 7 Decimales y nmeros reales 4097-1 Introduccin a los decimales 4117-2 Operaciones con decimales 4217-3 Decimales que no terminan 4397-4 Nmeros reales 450

*7-5 Uso de los nmeros reales en ecuaciones 461Resumen y revisin del captulo 472

CAPTULO 8 Razonamiento proporcional, porcentajes y aplicaciones 4768-1 Razones, proporciones y razonamiento proporcional 4778-2 Porcentajes 489

*8-3 Clculo de inters 505Resumen y revisin del captulo 512

CAPTULO 9 Probabilidad 5159-1 Cmo se determinan las probabilidades 517

9-2 Experimentos multietapa con diagramas de rboly probabilidades geomtricas 534

9-3 Uso de simulaciones en probabilidad 5559-4 Momios, probabilidad condicional y valor esperado 5649-5 Uso de permutaciones y combinaciones en probabilidad 575


CAPTULO 10 Anlisis de datos/Estadstica: una introduccin 59210-1 Presentacin de datos: Parte I 59410-2 Presentacin de datos: Parte II 61510-3 Medicin de la tendencia central y la variacin 63010-4 Abusos de la estadstica 658

~10-5 Diseo de experimentos/Recoleccin de datosResumen y revisin del captulo 671

Contenido v

* Seccin optativa~ Seccin disponible en www.lopezmateos.mx/Billstein10einfo

V O L U M E N D O S


CAPTULO 11 Introduccin a la geometra 67811-1 Nociones bsicas 68011-2 Polgonos 69711-3 Ms acerca de ngulos 71011-4 Geometra en tres dimensiones 726

~11-5 RedesResumen y revisin del captulo 741

CAPTULO 12 Construcciones, congruencia y semejanza 74612-1 De congruencia a construcciones 74712-2 Otras propiedades de la congruencia 76812-3 Otras construcciones 78012-4 Tringulos semejantes y figuras semejantes 79312-5 Rectas y ecuaciones lineales en un sistema coordenado cartesiano 810

~12-6 Razones trigonomtricas va semejanzaResumen y revisin del captulo 832

CAPTULO 13 Conceptos de medicin 83713-1 Medicin lineal 83813-2 rea de polgonos y crculos 854

13-3 El teorema de Pitgoras, la frmula de la distanciay la ecuacin de un crculo 876

13-4 rea de superficie 89413-5 Volumen, masa y temperatura 906Resumen y revisin del captulo 928

CAPTULO 14 Geometra del movimiento y embaldosados 93514-1 Traslaciones y rotaciones 93714-2 Reflexiones y reflexiones deslizadas 95414-3 Homotecias 96714-4 Simetras 97814-5 Embaldosados del plano 990Resumen y revisin del captulo 1003

Continuacin de la pgina legal 515

Respuesta a los problemas R-1

ndice I-1

~ Seccin disponible en www.lopezmateos.mx/Billstein10einfo

vi Contenido


Prefacio a la edicin en espaolLa pertinencia de la versin en espaol de este libro, presentado en dos volmenes, que es uno de losms populares en su materia en Estados Unidos, se debe a la preocupante carencia de textos para la for-macin de profesores de matemticas en el mbito de habla hispana. Al cubrir los contenidos de mate-mticas de la currcula de la educacin bsica, se convierte en el libro de texto ideal para la formacin demaestros; pero no slo eso, tambin se convierte en el soporte adecuado para el proceso de actualizacinde maestros de educacin bsica en servicio, para que, con un conocimiento slido de los contenidosacadmicos de matemticas, los maestros adquieran confianza y seguridad en los cursos que imparten,mejoren su metodologa y capacidad didctica y, finalmente, estn en ptimas condiciones para acoplarsea la inevitable evolucin de los planes y programas de estudio.

OBSERVACIONESEn aras de tener una versin en espaol apegada al espritu de la edicin original, se ha mantenido eldiseo grfico, traduciendo el contenido de las pginas de libros de texto estadounidenses de educa-cin bsica incluidas como muestra. Dichas obras no existen en espaol. Asimismo, se ha preservadola diversidad empleada por los autores en el uso de unidades en ejemplos y ejercicios, as como lasfuentes originales de los datos utilizados en el manejo de la estadstica y la probabilidad. Los maestrospodrn sugerir como actividad la bsqueda de bases de datos locales para ilustrar ciertos temas.

Se ha respetado la denominacin de los conjuntos de nmeros usada por los autores en la edicin origi-nal, en la que introducen el trmino de nmeros completos para los enteros no negativos (es decir, losnaturales junto con el cero). As, los conjuntos de nmeros usados son los nmeros naturales: 1, 2,3,, los nmeros completos: 0, 1, 2, 3, , y los nmeros enteros: .

Para que el lector de habla hispana se ubique en el contexto de los niveles de educacin bsica emplea -dos por los autores y referidos al sistema educativo de Estados Unidos, presentamos la siguiente tablade equivalencias:

La referencia en todo el libro es al sistema educativo de Estados Unidos, es decir, a los grados de preK a12. En casi todo el mbito iberoamericano la educacin bsica se divide en dos o tres aos de educacinpreescolar (de 3 a 5 aos), equivalente a preK (prekindergarten) y K (kindergarten); seis aos de educa-cin primaria, que coinciden con los grados 1-6 de Estados Unidos; tres aos de educacin secundaria,que coinciden con los grados 7-9; y tres aos de bachillerato, equivalentes a los grados 10-12.

Para esta edicin, contamos con la invaluable colaboracin profesional del Mtro. Jos Mara FbregasPuig en la correccin del texto, de Julio Csar Salazar Garca en la revisin tcnica y del Dr. ConstancioHernndez Garca en la formacin.

M.L.M.

, -3, -2, -1,0, 1,2, 3,

vii

Edad 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Mxico Pre1 Pre2 Pre3 1 2 3 4 5 6 1S 2S 3S 1B 2B 3B

EUA PreK K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


viii Prefacio

PrefacioLa dcima edicin de MATEMTICAS: Un enfoque de resolucin de problemas para maestros de educacinbsica est diseada para cubrir las necesidades de capacitacin de los prospectos de maestros de educa-cin bsica, quienes sern los mentores de alta calidad en el futuro. Esta edicin mantiene suorientacin de basarse fuertemente en el desarrollo de conceptos y habilidades, con un nuevo nfasis enel aprendizaje activo y colectivo. Se revis y actualiz el contenido a fin de preparar a los estudiantespara cuando ocupen, como maestros, su propio saln de clase.

OBJETIVOS DEL NCTM Principios y objetivos Nos enfocamos en la publicacin del National Council of Teachers of Mathe-

matics (Consejo Nacional de Maestros de Matemticas de Estados Unidos) (NCTM), Principles and Standards of School Mathematics (Principios y objetivos para matemticas escolares) (2000) (referidosde ahora en adelante como Principios y objetivos).

Puntos focales en el currculo El National Council of Teachers of Mathematics (Consejo Nacional deMaestros de Matemticas de Estados Unidos) public en 2006 Curriculum Focal Points for Pre-kinder-garten through Grade 8 Mathematics (Puntos focales en el currculo de matemticas, de preescolar algrado 8), donde describe los conceptos y habilidades matemticos esenciales con los que se relacio-nan las matemticas de cada captulo. En todo el texto hacemos referencia a los Puntos focales.

El texto completo de NCTM Principles and Standards y de Curriculum Focal Points se puede encontraren Internet, en www.nctm.org.

NUESTROS OBJETIVOS Presentar las matemticas apropiadas de manera intelectualmente honesta y

matemticamente correcta. Usar la resolucin de problemas como parte integral de las matemticas. Presentar las matemticas en un orden tal que inspiren confianza al estudiante y al mismo tiempo

signifiquen un reto para l. Presentar formas alternativas de enseanza y aprendizaje. Presentar problemas que deban exponerse para desarrollar la habilidad en la expresin escrita y

permitan que los estudiantes expliquen en voz alta. Estimular la incorporacin de herramientas tecnolgicas. Presentar aspectos centrales de las matemticas a los prospectos de maestros de educacin bsica y

media de manera que les intrigue y se pregunten por qu las matemticas se hacen como se hacen. Proporcionar aspectos centrales de las matemticas que permitan a los maestros usar mtodos inte-

grados con contenido. Ayudar a los futuros maestros a conectar las matemticas, sus ideas y sus aplicaciones.

La dcima edicin permite que los maestros utilicen diversos mtodos de enseanza, estimula la dis-cusin y la colaboracin entre los estudiantes y entre stos y sus maestros, y permite incorporar pro-yectos de investigacin al currculo. Lo ms importante es que promueve el descubrimiento y elaprendizaje activo, tanto para estudiantes como para maestros.

LO NUEVO EN ESTA EDICIN Como el razonamiento algebraico es tan importante en todos los niveles, incluimos un nuevo captulo

separado sobre el tema, el captulo 4 Razonamiento algebraico, continuando as la integracin dellgebra a lo largo del libro.

Se aadi un captulo aparte, el captulo 8 Razonamiento proporcional, porcentajes yaplicaciones, para satisfacer ms ampliamente las necesidades de los futuros maestros de enseanzamedia.

Las evaluaciones estn mejor organizadas, de manera ms lgica y fcilmente accesibles. En el textose da la respuesta a los problemas en la Evaluacin A de manera que los estudiantes puedan revisarsu trabajo. En la Evaluacin B hay problemas similares a los de la Evaluacin A, pero no se dan lasrespuestas. Al crear conjuntos paralelos de ejercicios incrementamos el nmero de problemas y da-mos ms oportunidad de escoger a los maestros.

Nuevo!


Los problemas de conexiones matemticas se colocaron aparte pues suelen tener soluciones abiertas ypermiten a los alumnos y al maestro trabajar solos o en grupo para hallar posibles soluciones. Estndivididos en las siguientes categoras: Comunicacin, Solucin abierta, Aprendizaje colectivo, Preguntas delsaln de clase y Repaso. Los conjuntos de problemas tambin incluyen ejemplos de preguntas de laspruebas TIMMS y NAEP, de modo que los futuros maestros puedan examinar el tipo de preguntasque se plantean a los estudiantes en los exmenes nacionales (de Estados Unidos) e internacionales.

Se actualiz la parte de anlisis de datos y razonamiento probabilstico se ampli el material y seincluy ms contenido sobre poblaciones, muestreo y encuestas.

ASPECTOS DEL CONTENIDO

Volumen I

Captulo 1 Una introduccin a la resolucin de problemasAl reorganizar este captulo colocamos primero el tema de matemticas y la resolucin de problemas,seguido de una seccin ampliada sobre exploracin de patrones. Se aadieron nuevos problemas y p-ginas de muestra, as como una nueva seccin de sucesiones de Fibonacci. Se incluye la seccin finalsobre razonamiento y lgica para quienes quieran seguir estos temas durante el curso.

Captulo 2 Sistemas de numeracin y conjuntosEste captulo se abrevi y reorganiz. El desarrollo de los sistemas de numeracin est ahora en laprimera seccin debido al desarrollo histrico de los sistemas, que existieron mucho antes de que sedesarrollaran conceptos ms formales de conjuntos. El captulo incluye ms adelante todos losconceptos tradicionales de conjuntos.

Captulo 3 Nmeros completos y sus operacionesEste captulo explora los nmeros completos y las operaciones entre ellos. Varios algoritmos se anali-zan y explican en detalle. Se destacan la matemtica mental y la estimacin con nmeros completos.

Captulo 4 Razonamiento algebraicoEn respuesta al gran nfasis puesto en el aprendizaje y enseanza del lgebra a lo largo del currculode la escuela elemental, se aadi un nuevo captulo sobre razonamiento algebraico. Slo se usan n-meros completos, pero en cada captulo subsecuente se refuerza el razonamiento algebraico cuandose introducen los nmeros enteros, los racionales y finalmente los nmeros reales. Tambin serefuerza el razonamiento algebraico en el captulo sobre probabilidad y estadstica, as como en loscaptulos sobre geometra.

Captulo 5 Enteros y teora de nmerosEste captulo trata con enteros y las operaciones entre ellos. Se introducen con explicaciones nuevosmodelos para operaciones y algoritmos con enteros. La divisibilidad y los nmeros primos se estudianjunto con explicaciones acerca de por qu funcionan las reglas de la divisibilidad. Se presentan elmximo divisor comn y el mnimo mltiplo comn. Hay una seccin optativa sobre aritmtica del re-loj, o modular, dedicada a quienes quieran examinar la manera en que funciona un sistema numrico di-ferente.

Captulo 6 Nmeros racionales como fraccionesNuevos ejemplos en este captulo hacen nfasis en las habilidades algebraicas por medio de la simpli-ficacin de expresiones algebraicas y la resolucin de ecuaciones y de problemas planteados mediantealguna situacin. Se resalta el concepto de divisin mediante explicaciones y ejemplos mejor trabaja-dos. Se repasan las funciones con dominio en los nmeros racionales.

Captulo 7 Decimales y nmeros realesEste captulo se abrevi al aadir un nuevo captulo, el 8. Se aadieron ms pginas de muestra; unanueva seccin optativa, Uso de nmeros reales en ecuaciones, agrega un nfasis algebraico a estereorganizado captulo.

Captulo 8 Razonamiento proporcional, porcentajes y aplicaciones Debido a que el razonamiento proporcional y los porcentajes son tan importantes en la enseanza me-dia, se dedica todo un captulo al tema. El captulo incluye una explicacin de por qu la relacin entre

Prefacio ix


x Prefacio

dos razones es multiplicativa en lugar de aditiva, y por qu esto es importante. Se ampla el trabajo conporcentajes y se incluyen las barras de porcentajes y estimaciones con porcentajes. Se incluye una sec-cin optativa sobre clculo de intereses para ilustrar una aplicacin de los porcentajes.

Volumen II

Captulo 9 ProbabilidadEl problema preliminar, que incluye una obra de Franois Morellet, da indicios de que la probabi-lidad se usa en el mundo real y en el mundo que los alumnos experimentan. Se aadieron pginas demuestra para ilustrar cmo aparecen los conceptos en cada grado; los conceptos se ilustran con dibu-jos, tiras cmicas y diagramas.

Captulo 10 Anlisis de datos/Estadstica: una introduccinSe ha hecho nfasis en las Indicaciones para la evaluacin e instruccin para la educacin en estads-tica: Un marco curricular de Pre K a 12 (Guidelines for Assessment and Instruction in Statistics Education(GAISE) Report: A Pre-K12 Curriculum Framework) de la Asociacin Estadstica de Estados Unidos (the American Statistical Association) (2005). Se desarrolla una seccin, Diseo de experimentos y reco-leccin de datos, basada en este marco estadstico, con acceso mediante Internet. Se agregan muchosnuevos problemas y se utilizan nociones algebraicas en el desarrollo del captulo.

Captulo 11 Introduccin a la geometraLos variados conceptos de geometra se explican de manera ms minuciosa y hay un tratamiento msdetallado de los ngulos interiores y exteriores de polgonos convexos. A lo largo del captulo se des-taca el pensamiento algebraico.

Captulo 12 Construcciones, congruencia y semejanza El estudio sobre la congruencia y no congruencia de tringulos se ampli para incluir el casoambiguo LLA; tambin se aadi el tema de la congruencia de cuadrilteros. El estudio de los siste-mas de ecuaciones lineales se ampli para incluir una explicacin algebraica acerca de cundo un sis-tema de dos ecuaciones con dos incgnitas no tiene solucin y cundo tiene infinidad de soluciones.

Captulo 13 Conceptos de medicin En este captulo se trabaja tanto con el sistema ingls como con el sistema mtrico, junto con conver-siones dentro de los sistemas y entre ellos. Se incluyen mediciones lineales, de rea, de volumen, demasa y de temperatura. Se deducen frmulas para calcular mediciones ilustrando de dnde vienen. Elteorema de Pitgoras y la frmula de la distancia se desarrollan a lo largo de una nueva seccin sobrela ecuacin del crculo.

Captulo 14 Geometra del movimiento y embaldosados Aunque se mantiene la mayora de las caractersticas de la pasada edicin, en la nueva edicin de estecaptulo hay muchos ms dibujos y ms referencias a pginas de muestra que antes. Tratamos deconstruir lo que los futuros maestros necesitan saber, que es ms de lo que sus futuros alumnospodran necesitar. Este captulo ofrece una visin de lo divertida e interesante que puede ser lageometra del movimiento.

Uso de calculadorasComo se afirma en los Principios y objetivos, es necesario y oportuno trabajar con calculadoras. Losusos de calculadoras graficadoras se presentan cuando es relevante, en el Rincn de la tecnologa.Adems, en los conjuntos de problemas aparece el uso de calculadoras cientficas/fraccionales ygraficadoras.

CARACTERSTICASSeguimos incorporando ayudas y caractersticas que facilitan el aprendizaje.


Prefacio xi

Desarrollo profesional Se incluyen Pginas de muestra de libros de texto actualizadas para ilustrar cmo se presentan en la

rea lidad las matemticas a los alumnos de K a 8 y se hace referencia a ellas a lo largo del libro. Sepide a los alumnos completar varias actividades de las pginas de muestra de manera que percibanlo que van a ver en las escuelas bsicas.

Se presentan Notas de investigacin en los mrgenes, donde se exponen varios proyectos actuales deinvestigacin en matemticas y en matemtica educativa, relacionados con el contexto.

Las Notas histricas agregan contexto y humanizan las matemticas. Se incorporan a lo largo del libro citas importantes de los Principios y objetivos y de los Puntos focales

del NCTM. Preguntas del saln de clase presenta dudas que podran tener los alumnos de K-8. Se aade un

nmero importante de estas dudas y preguntas. Ahora aparecen al final de cada seccin como partede las Conexiones matemticas.

Aprendizaje activo Los Rompecabezas proporcionan un camino diferente para resolver problemas. Se pueden usar como

reto para los alumnos. Las Actividades de laboratorio estn integradas a lo largo del libro para proporcionar ejercicios de

aprendizaje por medio de actividades. Ahora intenta ste, son actividades que aparecen a lo largo de cada captulo que estn diseadas para

que los alumnos se involucren de manera activa en su aprendizaje, facilitando as el desarrollo e in-cremento de su razonamiento crtico y habilidad para resolver problemas, y estimulando las discu-siones tanto dentro como fuera del saln de clases. Al final del libro aparecen las respuestas.

En el Rincn de la tecnologa se incluye el uso de hojas de clculo, calculadoras graficadoras y cientfi-cas, el programa The Geometers Sketchpad y actividades con computadoras.

Herramientas pedaggicas Las definiciones, propiedades y teoremas se resaltan en el texto para un rpido repaso. Las estrategias para resolver problemas se resaltan en cursivas, y en las cajas azules de Resolucin de

problemas se usan estas estrategias. Las tiras cmicas ensean o hacen nfasis en material importante y amenizan el contenido. En el Esbozo del captulo al final de cada captulo se ayuda a los alumnos a revisarlo. El Resumen del captulo al final de cada uno permite a los alumnos autoevaluarse de manera efectiva

como preparacin para un examen. La Bibliografa seleccionada al final de cada captulo, se actualiz y revis.

Evaluacin Conjuntos de problemas: Se revisaron minuciosamente y se reorganizaron en Evaluacin A, B y

Conexiones matemticas. Los problemas en la Evaluacin A tienen la respuesta al final del libro demodo que los alumnos puedan verificar sus resultados. La Evaluacin B contiene problemas simila-res a los de la Evaluacin A, pero no se dan las respuestas. Las Conexiones matemticas se dividenen las siguientes categoras de problemas: Comunicacin, Respuesta abierta, Aprendizaje colectivo,Preguntas del saln de clase y Problemas de repaso. Al final del libro se incluyen las respuestas a losejercicios impares.

Los problemas reales y de importancia son ms accesibles y atractivos para estudiantes de los msdiversos antecedentes.

Nuevo ymejorado!

Nuevo ymejorado!


Diane GinsbachElizabeth GrayJerrold GrossmanAlice GuckinJennifer HegemanJoan HennBoyd HenryLinda HintzmanAlan HofferE. John Hornsby, Jr.Patricia A. JabergJudith E. JacobsDonald JamesThomas R. JayJeff JohannesJerry JohnsonWilburn C. JonesRobert KalinSarah KennedySteven D. KerrLeland KnaufMargret F. KothmannKathryn E. LenzHester LewellenRalph A. LiguoriRichard LittleSusan B. LloydDon LoftsgaardenSharon LouvierStanley LukaweckiLou Ann MartinJudith MerlauBarbara MosesCynthia NaplesCharles NelsonGlenn NelsonKathy NickellBethany NoblittDale OliverMark Oursland

AgradecimientosMuchos ilustres y famosos educadores en matemticas y matemticos han revisado las anteriores edicionesde este libro. Para honrar su trabajo, as como el de los revisores de la actual edicin, hemos nombrado atodos, pero sealamos con un asterisco a los revisores de esta edicin. Queremos agradecer a JerroldGrossman su minuciosa revisin de este libro.

Leon J. AblonPaul AcheG.L. AlexandersonHaldon AndersonBernadette AntkoviakRichard AverySue H. BakerJane BarnardJoann BeckerCindy BernlohrJames BierdenJackie BlaggJim BooneSue BorenBarbara BrittonBeverly R. BroomellAnne BrownJane BuergerMaurice BurkeDavid BushLaura CameronLouis J. ChatterleyPhyllis ChinnDonald J. DessartRonald DettmersJackie DewarNicole DuvernoyAmy EdwardsLauri EdwardsMargaret EhringerRita EiseleAlbert FilanoMarjorie FittingMichael FlomMartha GadyEdward A. GalloDwight GalsterSandy GeigerGlenadine GibbDon Gilmore

Linda PadillaDennis ParkerClyde PaulKeith PeckBarbara PenceGlen L. PfeiferDebra PharoJack PorterEdward RathnellSandra RuckerJennifer RutherfordHelen R. SantizSherry ScarboroughJane SchielackBarbara ShabellM. Geralda ShaeferNancy ShellWade H. SherardGwen ShufeltJulie SlivaRon SmitJoe K. SmithWilliam SparksVirginia StrawdermanMary M. SullivanViji SundarSharon TaylorJo TempleC. Ralph VernoHubert VoltzJohn WagnerEdward WallaceVirginia WarfieldLettie WatfordMark F. WeinerGrayson WheatleyJim WilliamsonKen YoderJerry L. YoungDeborah Zopf

xii Prefacio

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Problema preliminarHay tres platos de fruta en un estante tan alto que no los puedes ver. Un plato contiene slomanzanas, otro plato contiene slo naranjas y otro plato contiene manzanas y naranjas. Cadaplato tiene visible uno de los siguientes rtulos: MANZANAS, NARANJAS, o MANZANAS YNARANJAS. Sin embargo, cada plato tiene el rtulo equivocado. Tu misin es seleccionar unplato, alcanzarlo y tomar una fruta. Al hacer esto y con la informacin anterior, puedes rotularcorrectamente cada plato? Explica tu respuesta.

1Una introduccin a laresolucin de problemas

C A P T U L O1

1 Lopez Mateos Editores. ISBN 978-607-95583-2-1, obra completa, versin electrnica, ISBN 978-607-95583-3-8, volumen 1, versin electrnica. Ejemplar asignado a: Helecto Villarroel gutierrez -

[email protected]. Fecha: 27 de octubre de 2014. Prohibida su modificacin, copia o distribucin.

esolver problemas se ha reconocido, desde hace mucho tiempo, como una caracters-tica relevante de las matemticas. Qu significa resolver problemas? George Plya

(18871985), uno de los ms grandes matemticos y maestros del siglo xx, seal que re-solver un problema significa hallar una manera de superar una dificultad, o rodear un obs-tculo, para lograr un objetivo que no poda obtenerse de inmediato (Plya 1981, p. ix).

En los Principles and Standards for School Mathematics PSSM (Principios y objetivos paramatemticas escolares), publicado por el NCTM, National Council of Teachers of Mathe-matics (Consejo Nacional de Maestros de Matemticas) de Estados Unidos en el ao 2000,se afirma que:

Resolver un problema significa emprender una tarea para la cual no se conoce de antemano el mtodode solucin. Para encontrar una solucin, los estudiantes deben producir conocimiento, y en ese pro-ceso desarrollarn una mayor comprensin matemtica. Resolver problemas no es slo un objetivo deaprender matemticas, sino el mejor medio de hacerlo. Los estudiantes debern tener oportunidadesfrecuentes para formular, enfrentar y resolver problemas complejos que requieran una cantidad signi-ficativa de esfuerzo, lo cual se plasmar en una mayor capacidad de razonar. (p. 52)

Ms an, hallamos queLos programas desde preescolar hasta el grado 12 capacitarn a los estudiantes para: crear nuevo conocimiento matemtico mediante la resolucin de problemas; resolver problemas que surjan en matemticas y en otros contextos; aplicar y adaptar diversas estrategias para resolver problemas; revisar y meditar acerca del proceso de resolucin matemtica de problemas. (p. 52)

Los estudiantes aprenden matemticas como resultado de resolver problemas. Los ejerci-cios, que son las prcticas rutinarias para adquirir habilidades tienen un propsito en elaprendizaje de las matemticas, pero la resolucin de problemas debe ser el centro de aten-cin de las matemticas escolares. Como se seala en la Nota de investigacin, una cantidadrazonable de tensin e incomodidad mejora el desempeo de los estudiantes para resolverproblemas. Tu experiencia matemtica te ayudar a identificar cundo una situacin es unproblema o cundo se trata de un ejercicio.

2 Una introduccin a la resolucin de problemas

R

La experiencia matemtica de los estudiantes de nivel elemental deber alimentarse conproblemas interesantes, que valgan la pena, no slo con problemas de rutina. Para involu-crar a los estudiantes en tareas que valgan la pena, los problemas deben estar inmersos enun contexto familiar o conocido, como se ve en la tira cmica.

Nota deinvestigacin

Una cantidad razonable de tensin e incomodidad mejora el desempeo de los estudiantespara resolver problemas. La motivacin es deshacerse de la tensin una vez resuelto el pro-blema. Si no est presente la tensin, el problema es un ejercicio o los estudiantes generalmente no tienen el deseo de atacar el problema con seriedad (Bloom y Broder1950; McLeod 1985).


Seccin 1-1 Matemticas y resolucin de problemas 3

La buena experiencia de resolver problemas matemticos ocurre cuando se da lo si-guiente:1. Se presenta a los estudiantes una situacin que comprenden, pero ignoran cmo proce-

der directamente para obtener una solucin.2. Los estudiantes estn interesados en obtener la solucin y lo intentan.3. Los estudiantes deben usar ideas matemticas para resolver el problema.En este libro de texto tendrs mltiples oportunidades para resolver problemas. Cada ca-

ptulo comienza con un problema que puede resolverse usando los conceptos desarrolladosen ese captulo. Al final de cada captulo se da una sugerencia para la solucin del problema.A lo largo del texto se encuentran numerosos problemas resueltos por el procedimiento delos cuatro pasos y otros resueltos por medio de diferentes formatos.

Notahistrica

George Plya (18871985) naci en Hungra y recibi su doctorado en la Universidad deBudapest. Se mud a Estados Unidos en 1940 y, despus de una breve estancia en la Uni-versidad de Brown, form parte del personal docente de la Universidad de Stanford.Adems de ser un eminente matemtico, se ocup de la importancia fundamental de la edu-cacin matemtica. En Standford public 10 libros, incluyendo How to Solve It (Cmoplantear y resolver problemas) (1945), que se ha traducido a 23 idiomas.

1-1 Matemticas y resolucin de problemas

Si enfocas la resolucin de problemas de una sola manera, corres el riesgo de emplear ideaspreconcebidas. Por ejemplo, deletrea la palabra ropa tres veces en voz alta: R-O-P-A! R-O-P-A! R-O-P-A! Ahora responde la pregunta: Qu haces cuando llegas a un semforo enverde? Escribe tu respuesta. Si respondiste Paro, se te puede acusar de tener una idea pre-concebida. Uno no para con la luz verde.

Considera el siguiente problema: Un pastor tena 36 ovejas. Todas murieron, excepto 10.Cuntas quedaron vivas? Tu respuesta fue 10? Si as fue, ya ests entendiendo y estspreparado para intentar resolver algunos problemas. Si tu respuesta no fue 10, entoncesno entendiste la pregunta. El primer paso en el proceso de cuatro pasos desarrollado porGeorge Polya es entender el problema. Usar el proceso de cuatro pasos para resolver proble -mas no garantiza que hallemos la solucin, sino que nos proporciona una manera sistem-tica de atacarlos.

Los estudiantes que explican sus soluciones a otros estudiantes, principalmente si estn endesacuerdo, obtendrn una mejor comprensin matemtica. El anlisis de los diferentespuntos de vista es parte importante del aprendizaje. As se aprende el lenguaje matemticoy se valora la necesidad de precisin en el lenguaje (Hatano e Ingaki 1991).

Nota deinvestigacin

Como lo indica la Nota de investigacin, trabajar con otros estudiantes para resolverproble mas mejora tanto tu capacidad para solucionarlos como tus habilidades de comunica -cin. Recomendamos el aprendizaje colectivo y sugerimos a los estudiantes que trabajen engrupo lo ms posible. Para impulsar el trabajo en grupo e identificar cundo conviene usarel aprendizaje colectivo, hemos ubicado actividades donde puede ser til contar con variaspersonas para recolectar datos, o el problema puede ser tal que la discusin en grupo con -duzca a encontrar estrategias para resolver el problema.



Proceso de cuatro pasos para resolver problemas1. Entender el problema

a. Puedes enunciar el problema con tus propias palabras?b. Qu tratas de hallar o de hacer?c. Cules son las incgnitas?d. De qu informacin dispones?e. Qu informacin, si es el caso, falta o cul no se necesita?

2. Trazar un planLa siguiente lista de estrategias, aunque no es completa, resulta muy til:a. Buscar un patrn.b. Examinar problemas relacionados y determinar si las tcnicas aplicadas para

resolverlos se pueden aplicar en este caso.c. Examinar un caso ms sencillo, o un caso particular del problema, para comprender

mejor la solucin del problema original.d. Hacer una tabla o lista.e. Hacer un diagrama.f. Plantear una ecuacin.g. Proponer y verificar.h. Trabajar regresivamente.i. Identificar un objetivo parcial.j. Usar razonamiento indirecto.k. Usar razonamiento directo.

3. Realizar el plana. Llevar a cabo la estrategia o estrategias del paso 2 y efectuar las acciones y los clcu-

los necesarios.b. Verificar cada paso del plan conforme se avanza. La verificacin puede ser intuitiva

o una demostracin formal de cada paso.c. Llevar un registro preciso del trabajo.

4. Revisara. Verificar los resultados en el problema original. (En algunos casos se requerir una

demostracin.)b. Intepretar la solucin en trminos del problema original. Tiene sentido tu

respuesta?, es razonable?, responde la pregunta hecha originalmente?c. Averiguar si hay otro mtodo para hallar la solucin.d. Si es posible, determinar otros problemas relacionados, o ms generales, para los

cuales funcione la tcnica usada.

Cul es el papel que debera jugar el proceso de resolver problemas de Plya en la ense-anza de las matemticas elementales? Esto se responde en los Principios y objetivos de la si-guiente manera:

Una pregunta obvia es Cmo deberan ensearse estas estrategias? Deberan recibir una atencinexplcita, y cmo deberan integrarse al currculo matemtico? Como cualquier otra componentede las herramientas matemticas, debe darse la debida importancia a la enseanza de las estrategiassi se espera que los estudiantes las aprendan. En los grados inferiores los maestros pueden ayudar alos nios a expresar, categorizar y comparar sus estrategias. La oportunidad de usar estrategias debeincluirse de manera natural en el currculo, a lo largo del contenido de las diferentes reas. Cuandolos estudiantes lleguen a los grados medios ya deberan ser hbiles para reconocer cundo son apro-piadas diversas estrategias y ser capaces de decidir cundo y cmo usarlas. (p. 54)



Estrategias para resolver problemasA continuacin presentamos una variedad de problemas en diferentes contextos para quepuedas obtener experiencia en resolver problemas, como se mencion en la Nota de inves-tigacin. Con frecuencia es necesario emplear varias estrategias para resolver stos y otrosproblemas.

Las estrategias son herramientas que puedes usar para descubrir o construir los mediosque te permitan alcanzar un objetivo. Para cada estrategia descrita a continuacin, damosun problema que puede resolverse usndola. Es frecuente que los problemas se puedan re-solver en ms de una manera, como se ilustra en la caricatura. Puedes disear una estrategiadiferente para resolver los problemas de muestra. No existe una estrategia que sea la mejor.

Nota deinvestigacin

La habilidad para resolver problemas se desarrolla lentamente, quiz debido a que la com-prensin y los recursos necesarios para resolver problemas se desarrollan a diferentes rit-mos. Un elemento clave para desarrollar habilidades en la resolucin de problemas es tenerexperiencia mltiple y continua para resolver problemas en diferentes contextos y con dis-tintos niveles de dificultad (Kantowski 1981).

SOLUCIN NO TRADICIONAL

Notahistrica

Carl Gauss (17771855) est considerado como el ms grande matemtico del siglo die-cinueve y uno de los ms prominentes de todos los tiempos. Nacido de padres pobres enBrunswick, Alemania, fue un nio prodigio; se dice que a la edad de tres aos corrigi unerror cometido en la contabilidad de su padre. Gauss realiz contribuciones en las reasde astronoma, geodesia y electricidad. Despus de su muerte, el rey de Hanover ordenacuar una medalla conmemorativa en su honor. En la medalla se inscribi la frase, refe-rida a Gauss, de Prncipe de las Matemticas, ttulo que ha permanecido junto con sunombre.



Estrategia: Buscar un patrn

Resolver problemas Problema de Gauss

Cuando Carl Gauss era nio, su maestro pidi a los alumnos que hallaran la suma de losprimeros 100 nmeros naturales, esperando as mantener a la clase ocupada un buen rato.Gauss dio la respuesta casi de inmediato. Puedes hacerlo t?

Comprender el problema Los nmeros naturales son 1, 2, 3, 4, As, el problema es ha-llar la suma

Trazar un plan Aqu es til la estrategia buscar un patrn. Una versin de la historia acerca deljoven Gauss dice que list los nmeros segn se muestra en la figura 1-1.

Sea Entonces,

Para descubrir la suma original, Gauss dividi entre 2 la suma 2S de la figura 1-1.

Realizar el plan Hay 100 sumas de 101. As, y , 5050.

Revisar El mtodo es matemticamente correcto pues la suma se puede efectuar en cual-quier orden, y la multiplicacin es una suma repetida. Adems, la suma en cada par siemprees 101 pues al movernos de un par al siguiente, sumamos 1 al de arriba y restamos 1 al deabajo, lo cual no cambia la suma; por ejemplo,

y as sucesivamente.Un problema ms general es hallar la suma de los primeros n nmeros naturales,

Usamos el mismo plan que antes y notamos la relacinen la figura 1-2. Hay n sumas de que dan un total de . Por lo tanto,

y

Una estrategia diferente para hallar la suma consiste en hacer un dia-grama y pensar la suma de manera geomtrica como una pila de bloques. Para hallar lasuma, considera la pila en la figura 1-3(a) y la pila del mismo tamao pero colocada de ma-nera diferente, como en la figura 1-3(b). El nmero total de bloques en la pila de la figura1-3(b) es que es el doble de la suma deseada. Entonces la suma deseada es

SS

2S

===

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 98 + 99 + 100100 + 99 + 98 + 97 + 96 + + 3 + 2 + 1101 + 101 + 101 + 101 + 101 + + 101 + 101 + 101

S =n(n + 1)

2.

.

1 + 2 + 3 + + n

SS

2S

===

1 + 2 + 3 + 4 + + nn + (n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + + 1

(n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1)

2S = n(n + 1)

n(n + 1)n + 11 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + n.

3 + 98 = (2 + 1) + (99 - 1) = 2 + 99 = 101,2 + 99 = (1 + 1) + (100 - 1) = 1 + 100,

S =100 # 101

22S = 100 # 101

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + 98 + 99 + 100.

1 + 2 + 3 + 4 + + 100.

n(n + 1),n(n + 1)>2.

Figura 1-1

Figura 1-2



Estrategia: Examinar un problema relacionado

n

(a)n

n

n

(b)1

Figura 1-3

AHORA INTENTA STE 1-1 Un corte en un tronco produce dos piezas, dos cortes producen trespiezas y tres cortes producen cuatro piezas. Cuntas piezas se producen con diez cortes? Supn que loscortes se realizan de la misma manera que los tres primeros. Cuntas piezas se producen con n cortes?

Resolver problemas Suma de nmeros naturales pares

Halla la suma de los nmeros naturales pares menores o iguales a 100. Disea una estrate-gia para hallar esa suma y generaliza el resultado.

Comprender el problema Los nmeros naturales pares son 2, 4, 6, 8, 10, El problema esobtener la suma de los nmeros naturales pares

Trazar un plan Reconocer que la suma se puede separar en dos partes ms sencillas relacio-nadas con el problema original de Gauss, nos ayuda a trazar un plan. Considera lo siguiente:

As, podemos usar el mtodo de Gauss para hallar la suma de los primeros 50 nmeros na-turales y despus tomar el doble.

2 + 4 + 6 + 8 + + 100. .

2 + 4 + 6 + 8 + + 100 = 2 # 1 + 2 # 2 + 2 # 3 + 2 # 4 + + 2 # 50= 2(1 + 2 + 3 + 4 + + 50)

O B S E R VA C I N La suma se analizar de

nuevo en la siguiente seccin, cuando estudiemos sucesiones aritmticas.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + n =n(n + 1)

2



Realizar el plan Realizamos el plan como sigue:

As, la suma es 2550.

Revisar Otra manera de considerar el problema es comprender que hay 25 sumas de 102,segn se ve en la figura 1-4.

= 2550= 2 # [50(50 + 1)>2]2 + 4 + 6 + 8 + + 100 = 2(1 + 2 + 3 + 4 + + 50)

AHORA INTENTA STE 1-2

a. Halla la suma de los nmeros naturales impares menores que 100.b. Sea cualquier sucesin de n trminos, donde

donde es un nmero fijo. Escribe una expresin para la suma de los trminosde esta sucesin, expresada en trminos de y .a1, an n. . . = an - an- 1 = d, d

a1, a2, a3, a4, , an a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 =

4 +2 + 6 + 8 . . .+ 94 + 96 + 98 + 100+

102102102102

Figura 1-4

As, la suma es 2550.25 # 102,

Estrategia: Examinar un caso ms sencilloUna estrategia para resolver un problema complejo es examinar un caso ms sencillo del pro-blema y despus considerar otras partes del problema complejo. En la siguiente pgina semuestra un ejemplo.

AHORA INTENTA STE 1-3 Diecisis personas participaron en un torneo de frontenis de todos con-tra todos, es decir, cada persona juega contra cada uno de los otros participantes. Cuntos partidos se ju-garon?

Estrategia: Hacer una tablaUna estrategia que se usa a menudo en la escuela primaria es hacer una tabla. Se puede usaruna tabla para buscar patrones que emerjan en el problema y que a su vez puedan con-ducirnos a una solucin. En la pgina 10 vemos un ejemplo de esta estrategia. Realmenteel Plan II paga $128?

AHORA INTENTA STE 1-4 Mnica y Carla se iniciaron en un nuevo empleo el mismo da. Despus decomenzar, Mnica debe visitar la oficina central cada 15 das y Carla debe ir a la oficina central cada 18 das.Cuntos das van a transcurrir antes de que vayan el mismo da a la oficina central?



Estrategia para resolver problemas

usar la estrategia de:Resolver un problema ms sencillo.

Idea clave Resolver un problema ms sencilloAPRENDE

Trenes de tringulos Cada lado de cada tringulo de la figura de la derecha mide una pulgada. Si hay 12 tringulos en fila, cul es el permetro de la figura?

Los tringulos estn conectados. Cada lado de cada tringulo mide una pulgada.

Hallar el permetro de la figura con 12 tringulos

Estrategia: Resolver un problema ms sencillo

Puedo ver 1 tringulo, despus 2 tringulos y despus 3 tringulos.

permetro = 3 pulgadas



Respuesta: El permetro es 2 ms que el nmero de tringulos. Para 12 tringulos el permetro es de 14 pulgadas.

Tema de pltica

Cmo se dividi en problemas ms sencillos?

Describe el patrn en los problemas ms sencillos.

Paso 1

Paso 2

Paso 3

S, ubiqu un patrn correcto.

Aprovechar lo que sabes

Revisa y verifica

Aprender cmo y cundo resolver un problema ms sencillo te puede ayudar a resolver problemas.

Resuelve el problema ms sencillo.

Usa las respuestas del problema ms sencillo para resolver el problema original.

Divide o cambia el problema por uno que sea ms fcil de resolver.

Cmo resuelves un problema ms sencillo?

Pgina de un libro de texto Resolver un problema ms sencillo

Fuente: Scott Foresman-Addison Wesley, Grade 4, 2008 (p. 648).



Hacer una tabla


Aprender cmo y cundo hacer una tabla te puede ayudar a resolver problemas.

Idea clave

APRENDEusar la estrategia de:Hacer una tabla.

Cmo puedes hacer y usar una tabla para resolver un problema?Cuidado de bebs A Carolina le ofrecieron un empleo de cuidado de bebs durante la tarde, por 10 das. Los padres que la quieren contratar le ofrecieron dos planes de pago. Cul de ellos deber aceptar Carolina?

Plan I: Un pago nico de $100 por los 10 das de trabajo.Plan II: El pago por el primer da de trabajo ser de $0.25. Despus, por cada da de trabajo se doblar el pago.

Hay dos planes diferentes.Hallar el pago total, por los 10 das del Plan II.

Das

Das

Das

Das

Cantidad

Cantidad

Cantidad

CantidadCmo hacer una tabla

Paso 1 Construye la tabla con las etiquetas correctas.

Paso 2 Registra en la tabla los datos conocidos.

Paso 3 Busca un patrn, ampla la tabla.

Paso 4 Halla la respuesta en la tabla.

Respuesta: Carolina debe aceptar el Plan II que paga $128.

S, la respuesta debe ser un nmero par pues las cantidades en la tabla se duplicaron.

Revisa y verifica

Pgina de un libro de texto Hacer una tabla

Fuente: Scott Foresman-Addison Wesley, Grade 6, 2008 (p. 156).


Resolver problemas Cuadrados mgicos

Arregla los nmeros del 1 al 9 en un cuadrado subdividido en nueve cuadrados menorescomo el mostrado en la figura 1-5, de manera que cada rengln, cada columna y cada dia-gonal principal sume lo mismo. (El resultado se llama cuadrado mgico.)

Comprender el problema Necesitamos colocar cada uno de los nueve nmeros 1, 2, 3, , 9en los cuadrados pequeos, un nmero diferente en cada cuadrado, de manera que la sumade los nmeros en cada rengln, columna y diagonal principal sea la misma.

Trazar un plan Si conociramos el nmero fijo que deben sumar los renglones, las columnasy las diagonales, tendramos una mejor idea de qu nmeros deben ir juntos en un rengln,columna o diagonal. As, nuestro objetivo parcial es hallar esa suma fija. La suma de losnueve nmeros, es igual a 3 veces la suma en un rengln (por qu?).En consecuencia, la suma fija se obtiene al dividir entre 3. Usando elprocedimiento desarrollado por Gauss, tenemos

de modo que la suma en cada rengln, columna y diagonal

debe ser 15. A continuacin, necesitamos decidir qu nmeros podran ocupar qu lugares.El nmero en el centro debe aparecer en cuatro sumas de 15 (en dos diagonales, en el se-gundo rengln y en la segunda columna). Cada nmero en las esquinas debe aparecer en tressumas de 15. (Puedes ver por qu?) Si escribimos el 15 como suma de tres nmeros dife-rentes del 1 al 9 de todas las maneras posibles, podramos contar, para cada nmero del 1 al9, cuntas sumas lo contienen. Los nmeros que aparezcan en al menos cuatro sumas soncandidatos para ocupar el cuadrado del centro, mientras que los nmeros que aparezcan enal menos tres sumas son candidatos para los cuadrados de las esquinas. Nuestro nuevoobjetivo parcial es escribir el nmero 15 de todas las maneras posibles, como suma de tres n-meros diferentes tomados del conjunto

Realizar el plan Las sumas de 15 se pueden escribir, de manera sistemtica, como sigue:

a9 # 102

b , 3, 45 , 3 = 15,1 + 2 + 3 + + 9,

1 + 2 + 3 + + 9,

(1 + 2 + 3 + + 9) , 3 =

{1, 2, 3, , 9}.

9 + 5 + 19 + 4 + 28 + 6 + 18 + 5 + 28 + 4 + 37 + 6 + 27 + 5 + 36 + 5 + 4


Estrategia: Identificar un objetivo parcialAl intentar trazar un plan para resolver algunos problemas, es posible tener la sensacin deque el problema se podra resolver si pudiramos hallar la solucin de un problema algoms fcil o familiar. Hallar la solucin de ese problema ms fcil puede convertirse en unobjetivo parcial del objetivo principal de resolver el problema original. El siguiente problemade cuadrados mgicos muestra un ejemplo de esta situacin.

Figura 1-5



Nota que y , por ejemplo, se cuentan una sola vez. Nota que el 1 apa-rece slo en dos sumas, el 2 aparece en tres sumas, el 3 aparece en dos sumas, y as sucesiva-mente. En la tabla 1-1 se resume el patrn.

5 + 1 + 91 + 5 + 9

El nico nmero que aparece en cuatro sumas es el 5; por lo tanto, el 5 debe estar en elcentro del cuadrado. (Puedes ver por qu?) Como 2, 4, 6 y 8 aparecen tres veces cada uno,deben ir en las esquinas. Supongamos que escogemos el 2 para la esquina superior izquierda.Entonces debemos colocar el 8 en la esquina inferior derecha. (Por qu?) Observa la figura1-6(a). Ahora podemos colocar el 6 en la esquina inferior izquierda o en la esquina superiorderecha. Si escogemos la esquina superior derecha, obtenemos el resultado mostrado en lafigura 1-6(b). El cuadrado mgico se puede completar como se muestra en la figura 1-6(c).

Revisar Hemos visto que el 5 fue el nico nmero, de los dados, que poda ocupar el cen-tro. Sin embargo, tuvimos varios candidatos para las esquinas y, por lo tanto, parece que elcuadrado mgico que hallamos no es el nico posible. Puedes encontrar los dems?

Otra manera de ver que el 5 debe estar en el centro es considerar las sumascomo se muestra en la figura 1-7. Podemos sumar 5 a cada una

para obtener 15.1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6,

5

2

8

(a)

5

2

8

(b)

5

2

8

(c)

6 7 6

19

4 3

Figura 1-6

Tabla 1-1

Nmero 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nmero de sumas que contienen al nmero 2 3 2 3 4 3 2 3 2

4 5321 6 7 8 9

10101010

Figura 1-7

AHORA INTENTA STE 1-5 Cinco amigos decidieron hacer una fiesta y compartir los gastos en partesiguales. Alberto gast $47.50 en invitaciones, Beti gast $120 en bebidas y $52.50 en verduras, Carlos gast$240 en comida, Daniel gast $60 en platos y servilletas, y Elena gast $130 en decorados. Averigua quinle debe dinero a quin y cmo se puede pagar.



Estrategia: Hacer un diagramaSe ha dicho a menudo que una imagen vale lo que mil palabras. Esto es particularmentecierto en la resolucin de problemas. En el problema siguiente, hacer un diagrama nos ayudaa entender el problema y a trabajar para encontrar la solucin.

Resolver problemas Problema de la carrera de 50m

Beto y Juan compitieron 3 veces en una carrera de 50 m. La velocidad de los corredores novari. En la primera carrera, Juan iba en el metro 45 cuando Beto estaba cruzando la meta.

a. En la segunda carrera, para que fuera ms pareja Juan comenz 5 m adelante de Beto,quien se co loc en la lnea de salida. Quin ganar sta?

b. En la tercera carrera, Juan comienza en la lnea de salida y Beto comienza 5 m atrs.Quin ganar la carrera?

Comprender el problema Cuando Beto y Juan corren 50 m, Beto gana por 5 metros; cada vezque Beto cubre 50 m, en ese mismo tiempo Juan cubre slo 45m. Si Beto comienza en la l-nea de salida y da a Juan una ventaja de 5 metros, debemos determinar quin gana la ca-rrera. Si Juan comienza en la lnea de salida y Beto 5 metros atrs, determinaremos quinva a ganar.

Trazar un plan Una estrategia para determinar al ganador en cada una de las condiciones esdibujar un diagrama. En la figura 1-8(a) damos un diagrama para la primera carrera de 50m.En este caso Beto gana por 5m. En la segunda carrera Juan tiene 5m de ventaja y cuando Betocorre los 50m que lo separan de la meta, Juan corre slo 45m. Como Juan est a 45m de lameta, llega al mismo tiempo que Beto. Esto se muestra en la figura 1-8(b). En la tercera ca-rrera, como Beto comienza 5m atrs, usamos la figura 1-8(a) y movemos a Beto 5m como semuestra en la figura 1-8(c). Del diagrama podemos determinar los resultados en cada caso.

0 50 m

45 m

5 m

(b)Beto

Juan

0 50 m

45 m

5 m

(c)Beto

Juan

0 50 m

45 m

5 m

Comienzo

(a)

Final

Beto

Juan

5 m

5 m

Figura 1-8



Realizar el plan De la figura 1-8(b) vemos que si Juan recibe 5m de ventaja, entonces la ca-rrera se empata. Si Beto comienza 5 m detrs de Juan, entonces estarn empatados a los45 m. Como Beto es ms veloz que Juan, Beto recorrer los ltimos 5 m ms rpido queJuan y ganar la carrera.

Revisar Los diagramas muestran que la solucin tiene sentido y es apropiada. Se pueden in-vestigar otros problemas relacionados con carreras y ventajas. Por ejemplo, si Beto y Juan co-rren en una pista ovalada de 50m, cuntas vueltas requerir Beto para aventajar a Juan unavuelta completa? (Supn que las velocidades son las anteriores.)

Estrategia: Proponer y verificarEn la estrategia de proponer y verificar, primero proponemos una solucin al tanteo usandoun tanteo lo ms razonable posible. A continuacin, verificamos si la propuesta fue correcta.De no ser as, el paso siguiente es aprender lo ms posible acerca de la solucin basados en lapropuesta anterior, antes de hacer una nueva propuesta. Esta estrategia se puede consideraruna forma de ensayo y error, donde la informacin acerca del error nos ayuda a escoger elsiguiente ensayo. La estrategia de proponer y verificar es utilizada con frecuencia por losalumnos que no saben resolver el problema de manera ms eficiente o que no tienen an lasherramientas para resolver el problema con ms rapidez. Vean en la pgina del libro de textode la pgina 15 cmo se benefician los estudiantes al observar los errores, como se men-ciona en la Nota de investigacin.

Los estudiantes de los grados 1 a 3 usan principalmente la estrategia de proponer y verificarcuando encuentran un problema matemtico, y conforme llegan a los grados de 6 a 12 estatendencia decrece. Los estudiantes mayores se benefician ms de los errores observadosdespus de una primera propuesta al formular un nuevo intento (Lester 1975).

Nota deinvestigacin

AHORA INTENTA STE 1-7 Un criptarritmo es una coleccin de palabras donde cada letra representaun nmero nico. Halla los dgitos que pueden substituirse en lo siguiente:

T I N+ P I N

T O M A

O B S E R VA C I N En muchas ocasiones las soluciones de los estudiantes puedenincluir procesos que ocurren simultneamente: pensar en el problema y apoyar eserazonamiento haciendo un diagrama.

AHORA INTENTA STE 1-6 Un elevador se detiene en el piso de en medio de un edificio. Despus semueve 4 pisos hacia arriba y se detiene. Luego se mueve hacia abajo 6 pisos y se detiene. A continuacin semueve 10 pisos hacia arriba y se detiene. El elevador est ahora a 3 pisos del piso ms alto. Cuntos pisostiene el edificio?



Pgina de un libro de texto Proponer y verificar

Fuente: Scott Foresman-Addison Wesley, Grade 4, 2005 ( p. 278).

Dos camas es demasiado. Intentar con una.Despus tratar de aadir 2 artculospequeos. Lo intentar primero con las correas.

Estrategia de solucin de problemas

La estrategia Intenta, verifica y revisa te puede ayudar a resolver problemas.

Idea claveusar la estrategia de:Intentar, verificar y revisar.

Qu ests buscando?

Intentar, verificar y revisar

Revisa y verifica



Estrategia: Trabajar regresivamenteEn algunos problemas es mejor comenzar por el resultado y trabajar hacia atrs (regre -sivamente), situacin que ilustramos en la Pgina de un libro de texto siguiente. Nota quetambin se usa la estrategia de hacer un diagrama.

Estrategia: Usar razonamiento indirectoPara mostrar que una afirmacin o proposicin es verdadera, con frecuencia es ms fcilmostrar que es imposible que la afirmacin sea falsa. Esto puede lograrse mostrando que sila afirmacin fuera falsa, implicara algo contradictorio o imposible. Este enfoque es tilcuando se dificulta comenzar con un argumento directo y cuando negar la afirmacin dadanos proporciona algo tangible para trabajar. Veamos un ejemplo.

Resolver problemas Problema del tablero de ajedrez

En la figura 1-9 vemos un tablero de ajedrez donde eliminamos dos esquinas opuestas. Te-nemos un conjunto de fichas de domin de tal forma que cada una cubre 2 cuadros adya-centes del tablero. Se pueden arreglar las fichas de domin de manera que los cuadrosrestantes en el tablero queden cubiertos sin que haya fichas encimadas o colgando fuera?De no ser posible, por qu?

AHORA INTENTA STE 1-8 Luisa tiene un promedio (media) de 80 en sus 11 exmenes de matemticas.Su maestra le dice que va a eliminar la calificacin ms baja, 50. Cul es su nuevo promedio?

Figura 1-9

Comprender el problema Se eliminaron dos espacios rojos en esquinas opuestas del tablerode ajedrez, segn se muestra en la figura 1-9. Se nos pregunta si es posible cubrir los 62cuadros restantes con fichas de domin del tamao de 2 cuadros.

Trazar un plan Si tratamos de cubrir el tablero de la figura 1-9 con fichas, veremos que stasno encajan y que algunos cuadros quedan sin cubrir. Para mostrar que no hay manera decubrir el tablero con fichas, usamos el razonamiento indirecto. Si los 62 cuadros de la figura1- 9 se pudieran cubrir con fichas de domin sin que se encimen o salgan del tablero, sereque riran 31 fichas. Queremos mostrar que esto implica algo imposible.



Pgina de un libro de texto Trabajar hacia atrs

Fuente: Scott Foresman-Addison Wesley, Grade 5, 2008 ( p. 484).

Durante la cuarta semana los

obreros excavaron 21s millas. La

semana siguiente excavaron 11f

para terminar el tnel.

Qu ests buscando?


Construccin de tnel A los obreros les tom 5 semanas excavar un tnel de 10 millas de largo. Cunto haban avanzado los obreros despus de 3 semanas de excavar?

Los obreros terminaron un tnel de 10 millas en 5 semanas. Durante la semana 4 excavaron 21s millas. Durante la semana 5 excavaron 11f millas.

Cuntas millas del tnel excavaron los obreros en las primeras 3 semanas?

APRENDE

Trabajar hacia atrs

No conocemos el nmero de millas que excavaron durante las 3 primeras semanas.

Idea claveAprender cmo y cundo trabajar hacia atrs te puede ayudar a resolver problemas.

usar la estrategia de:Trabajar hacia atrs.

Estrategia: Trabajar hacia atrs

distancia excavada en las primeras 3 semanas = n millas

millas tnel de diez millas 10 millas

Respuesta: Los obreros cavaron 6 1f millas del tnel durante las primeras 3 semanas.

semanassemana semana

Revisa y verificaTu respuesta es razonable?

S, pues al trabajar hacia adelante, partiendo de la cantidad inicial, obtengo el resultado final.

61f millas + 21s millas + 11f millas = 10 millas

millas millas millas

Cmo puedes trabajar hacia atrs para resolver un problema?

Cmo trabajar hacia atrsPaso 1

Paso 2

Paso 3

Identificar pasos en el proceso



Realizar el plan Cada ficha de domin debe cubrir 1 cuadro negro y 1 cuadro rojo. Por lotanto, 31 fichas deberan cubrir 31 cuadros rojos y 31 cuadros negros. Esto es imposiblepues el tablero de la figura 1-9 tiene 30 cuadros rojos y 32 cuadros negros. En consecuen-cia, nuestra hiptesis de que el tablero de la figura 1-9 se poda cubrir con fichas de dominest equivocada.

Revisar Del conteo de los cuadros negros y rojos vemos que si elimi namos cualquier n-mero de cuadros de un tablero de ajedrez de manera que el nmero de los cuadros rojos res-tantes difiera del nmero de los cuadros negros restantes, el tablero no se podr cubrir confichas de domin. (Puedes ver por qu?) Tambin podramos investigar lo que sucedecuando se eliminan dos cuadrados del mismo color de un tablero de 8 por 7 o de tablerosde otras medidas. Podramos investigar, adems, si siempre es posible cubrir el tablero res-tante cuando se eliminan dos cuadros de color opuesto.

Estrategia: Usar razonamiento directoResolver problemas Juego de damas

Dos personas jugaron damas entre s y cada una gan tres partidas. Es posible que slo hayanjugado cinco partidas?

Solucin Sabemos que cada persona gan tres partidas. Razonando de manera directa, vemosque si cada una gan tres partidas y jugaron entre ellas, entonces se tuvieron que jugar seispartidas. De otra forma no podran haber jugado entre s y tener tres victorias cada una.Podra tener cada una tres victorias luego de jugar un total de cinco partidas, habindoseenfrentado entre s? La respuesta es no, y la situacin es imposible.

Estrategia: Plantear una ecuacinUna estrategia para resolver problemas usada en el razonamiento algebraico es plantear unaecuacin. Esta estrategia es muy importante y la veremos en el captulo 4, Razonamientoalgebraico.

Evaluacin 1-1A

1. Usa el enfoque del problema de Gauss para hallar las su-mas siguientes (no uses frmulas):a.b.

2. Halla la suma

3. Las galletas se venden solas o en paquetes de dos o deseis. De cuntas maneras puedes comprar una docenade galletas?

4. Acabas de salir de Oaxaca hacia el Istmo. El Camarnest a 120 kilmetros y Tehuantepec est a 200 kilme-

+ 147.36 + 37 + 38 + 39 + + 1461 + 3 + 5 + 7 + + 10011 + 2 + 3 + 4 + + 99

tros. Hay un descanso a la mitad del camino entre El Ca-marn y Tehuantepec. A qu distancia de Oaxaca est elpunto de descanso?

5. Yolanda, Chocolata, Trueno y Marisolita estn en unacarrera de caballos. Chocolata es la ms lenta, Trueno esms veloz que Yolanda pero ms lento que Marisolita.Da el orden de llegada de los caballos.

6. Pancho y Juanito comienzan a leer una novela el mismoda. Pancho lee 8 pginas diarias y Juanito 5 pginas diarias.Si Pancho va en la pgina 72, en qu pgina va Juanito?

AHORA INTENTA STE 1-9 Ale, Beto, Cali y Dani participan en exactamente un deporte ya sea natacin,beisbol, baloncesto o tenis. Beto juega beisbol. Ale no puede nadar. Cali juega baloncesto. En qu deportesparticipa cada persona?



7. Cul es la mayor suma de dinero en monedas comu-nes y corrientes que puedes llevar en el bolsillo sin quepuedas dar cambio de un billete de cien pesos, ni uno decincuenta, ni 25, ni una moneda de diez pesos ni una decinco?

8. a. Coloca los dgitos 1, 2, 4, 5 y 7 en los cuadros siguien-tes de manera que en (i) se obtenga el mayor pro-ducto y en (ii) se obtenga el mayor cociente:

b. Usa los mismos dgitos que en (a) para obtener (i) elmenor producto y (ii) el menor cociente.

9. Supn que puedes gastar $10 cada minuto, da y noche.Cunto podras gastar en un ao (de 365 das)?

10. Cuntos nmeros de cuatro dgitos tienen los mismosdgitos que 1993?

11. Un comps y una regla, juntos, cuestan $40. El compscuesta $9 ms que la regla. Cunto cuesta el comps?

12. Cata est parada a la mitad de una escalera. Sube tres es-calones, baja cinco y luego sube siete escalones. Por l-timo, sube los restantes seis escalones para llegar al finalde la escalera. Cuntos peldaos tiene la escalera?

Todas las caras de los cubos que no estn pegadas requie-ren pintarse. Cuntos cuadrados necesitarn pintarse(a) en el 100-simo slido y (b) en el n-simo slido?

14. Un granjero necesita cercar un terreno rectangular yquiere que la longitud del campo sea 80 metros mayor queel ancho. Si tiene 1080 metros de material para la cerca,cules debern ser la longitud y el ancho del campo?

15. En una noche de invierno la temperatura descendi Centre la medianoche y las 7 a.m. A las 11 a.m. la tempera-tura era el doble que la de las 7 a.m.. Para medio da seelev C para llegar a C. Cul era la temperatura a lamedianoche?

16. Alicia, Beti, Carlos y Daniel nacieron en diferente esta -cin. Alicia naci en febrero. Beti no naci en otoo.Carlos naci en primavera. Determina en qu estacinnaci cada persona.

17. En los cuadros a continuacin se escriben los 14 dgitosde una tarjeta de crdito. Si la suma de tres dgitos con-secutivos cualesquiera es 20, cul es el valor de A?

16

2

2

(ii)(i)

, ,

A 7 7 4

Evaluacin 1-1B

1. Usa el enfoque del problema de Gauss para hallar lassumas siguientes (no uses frmulas):a.b.

2. Halla la suma de 3. De cuntas maneras se puede fraccionar un billete de

$50 usando billetes de $5, $10 y $20?4. Cuntos cuadrados diferentes hay en la siguiente fi-

gura?

58 + 59 + 60 + 61 + + 203.1 + 3 + 5 + 7 + + 20091 + 2 + 3 + 4 + + 49

b. Si , cul es el msgrande, E o P, y por cunto?

6. a. Coloca los dgitos 4, 5, 6, 7 y 9 en los cuadros siguien-tes de manera que en (i) se obtenga el mayor pro-ducto y en (ii) se obtenga el mayor cociente.

P = 1 + 3 + 5 + 7 + + 99

b. Usa los mismos dgitos que en (a) para obtener (i) elmenor producto y (ii) el menor cociente.

7. Marta va a la tienda y lleva $1 en cambio. Tiene al me-nos una de cada moneda menor de 50, pero no tienemoneda de 50.a. Cul es el mnimo nmero de monedas que puede

tener?b. Cul es el mximo nmero de monedas que puede

tener?

(ii)(i)

13. Se pegan cubos del mismo tamao para construir una suce-sin de slidos con forma de escalera, como se muestra:

5. a. Sin calcular cada suma, encuentra cul es el ms gran-de, O o E, y por cunto.

O = 1 + 3 + 5 + 7 + + 97E = 2 + 4 + 6 + 8 + + 98



14. Hay dos cartas sobre una mesa. En una est escrito elnmero 12 y en la otra el 9. Cada carta tiene un nmeroescrito en el reverso. Al voltear una carta, las dos cartas oninguna carta, y sumando los dos nmeros, se obtienenlas sumas de 15, 16, 20 y 21. Qu nmero est escritoen el reverso de cada carta?

15. Supn que vas a comprar merienda para el club de mate-mticas. Tienes dinero suficiente para comprar 20 ensala-das o 15 emparedados. El grupo quiere 12 emparedados.Cuntas ensaladas puedes comprar?

16. a. Supn que tienes monedas de 25, 10 y 1 que sumanun total de $1.19. Cuntas monedas de cada una puedestener de manera que no puedas cambiar $1.00?b. Di por qu la combinacin de monedas que tienes en

la parte (a) es la mayor cantidad de dinero que puedestener sin cambiar $1.00.

17. Tienes dos recipientes. En uno caben 7 tazas y en el otro4 tazas. Cmo puedes medir exactamente 5 tazas deagua si dispones de una cantidad ilimitada de agua paraempezar?

b. Si se duplica el nmero de renglones y de columnasdel tablero, se duplica tambin el nmero de cuadra-dos diferentes? Justifica la respuesta.

8. Halla un cuadrado mgico de 3 por 3 usando los nme-ros 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 y 19.

9. Tenemos ocho canicas de igual apariencia, pero una esun poco ms pesada que las otras. Usando una balanza,explica cmo se puede descubrir la canica ms pesada enexactamentea. tres pesadas. b. dos pesadas.

10. a. Halla la suma de todos los nmeros en el arreglo si-guiente:

1 2 3 4 5 6 . . . 1002 4 6 8 10 12 . . . 2003 6 9 12 15 18 . . . 300

b. Generaliza la parte (a) para un arreglo similar en dondecada rengln tenga n nmeros y haya n renglones.

11. a. Usando las rectas existentes en el tablero de ajedrezque se muestra, cuntos cuadrados diferentes hay?

ooo100 200 300 400 500 600 100 # 100o o o o o

12. Supn que arrojas tres dardos al blanco ilustrado a con-tinuacin. Todos los dardos dan en el tablero. Culesson las puntuaciones posibles?

13. El siguiente es un cuadrado mgico (todos los renglones,columnas y diagonales suman lo mismo). Halla el valorde cada variable.

10 Puntos

50 Puntos

100Puntos

17 a 7

2212 b

c d 27

Conexiones matemticas 1-1

Comunicacin1. Por qu la enseanza de la resolucin de problemas es

parte importante de las matemticas?2. Analiza cmo se relaciona el proceso de cuatro pasos de

resolucin de problemas de Polya con los dos ltimos ob-

jetivos de la NCTM que aparecen en la tapa posterior dellibro.

3. Explica cmo puedes usar la estrategia de proponer y ve-rificar.


Seccin 1-1 Mtematicas y resolucin de problemas 21

Solucin abierta4. Usa exactamente cuatro dgitos 4 y cualquier operacin

matemtica para obtener los nmeros del 1 al 20 inclu-sive; por ejemplo, y

5. Elige una estrategia para resolver problemas y elabora unproblema en que pueda usarse esta estrategia. Escribe lasolucin usando el enfoque de los cuatro pasos de Plya.

Aprendizaje colectivo6. Que cada persona de tu grupo trabaje con el siguiente

problema: si 8 personas se dan la mano entre s, cuntosapretones hubo?a. Comparen sus estrategias para resolver el problema.

En qu se parecen? En qu difieren?b. Hallen la mayor cantidad posible de maneras para re-

solver el problema.c. Generalicen la solucin para n personas.

7. La distancia alrededor del mundo es cercana a los40,000 km. Aproximadamente cuntas personas de ta-mao promedio de tu grupo se requeriran para rodearel mundo tomadas de la mano?

8. Trabajen en parejas en la siguiente versin de un juego lla-mado NIM. Se necesita una calculadora para cada pareja.a. El jugador 1 presiona y y . El juga-

dor 2 hace lo mismo.Juegan de manera alternada hasta que se llega a 21. Elprimer jugador que llega a 21 gana. Determinen unaestrategia que decida quin gana siempre.

b. Jueguen NIM usando los dgitos 1, 2, 3 y 4, con lameta de 104. El primer jugador que llegue a 104 gana.Cul es la estrategia ganadora?

c. Jueguen NIM usando los dgitos 3, 5 y 7, con la metade 73. El primer jugador que rebase 73 pierde. Cules la estrategia ganadora?

d. Ahora jueguen NIM inverso con las teclas y . En lugar de usen . Coloquen el nmero 21 en lapantalla. La meta es 0. Determinen una estrategia paraganar en NIM inverso.

e. Jueguen NIM inverso usando los dgitos 1, 2 y 3 y co-miencen con 24 en la pantalla. La meta es 0. Cul esla estrategia ganadora?

f. Jueguen NIM inverso usando los dgitos 3, 5 y 7 co-menzando con el 73 en la pantalla. El primer jugadorque obtenga un nmero negativo pierde. Cul es laestrategia ganadora?

9. Cuando se imprime un libro, se pasan pliegos por una im-presora y despus se doblan para formar el libro. Para vercmo funciona esto comencemos con un libro sencillo,formado por una hoja de tamao carta de Dobla la hoja a la mitad, a lo largo, forma un libro y nu-mera sus pginas de 1 a 4. Cuando abres la hoja de papel,los nmeros 2 y 3 estn en un lado de la hoja y los nme-ros 1 y 4 estn en el otro lado. La suma de los nmerosen cada lado de la hoja de papel es 5 y la suma de los n-meros de las pginas es 10. Si se usan dos hojas de papel

812 * 11pulg.

+ -1 2

4>4 + 4>4 = 2 4 * 4 + 4 -

1 + 2 +

14 = 18.para hacer un libro de 8 pginas y stas se numeran, pre-dice la suma de los nmeros en cada lado de cada hoja yla suma de todos los nmeros de las pginas. Haz tu li-bro para ver si estabas en lo correcto. Ensaya lo mismocon 3 hojas. a. Supn que vas a hacer un libro de 100 pginas; cun-

tas hojas vas a necesitar?b. Cul es la suma de dos nmeros de pgina colocados

en el mismo lado de la hoja?c. Cul es la suma de todos los nmeros de pgina del

libro?d. Supn que tienes n hojas de papel. Generaliza para

hallar el nmero de pginas del libro, la suma de losnmeros colocados en el mismo lado de la hoja, y lasuma de todos los nmeros de pgina del libro.

Preguntas del saln de clase10. Ana te pregunta qu es la resolucin de problemas y si

es un problema. Qu le dices?11. Juanito pregunta por qu el ltimo paso del proceso de

cuatro pasos de Plya para resolver problemas, revisar, esnecesario si ya se dio la respuesta. Qu le puedes decir?

12. Una estudiante pregunta por qu no puede simple-mente realizar una propuesta al azar en lugar de unapropuesta inteligente cuando se usa la estrategia deproponer y verificar para resolver problemas. Qu lerespondes?

13. Beto dice que s es posible crear un cuadrado mgico conlos nmeros 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Cmo le respondes?

Pregunta del Third International Mathematics andScience Study (TIMSS) (Tercer Estudio Internacionalsobre las Matemticas y la Ciencia)

3 * 8

La regla para construir la tabla es que los nmeros decada rengln y columna deben sumar lo mismo. Qunmero va en el centro de la tabla?a. 1 b. 2c. 7 d. 12TIMSS 2003, Grado 4

Pregunta del National Assessment of Educational Progress(NAEP) (Evaluacin Nacional del Progreso Educativo)

Habr 58 personas en un desayuno y cada una comer 2huevos. Hay 12 huevos en cada cartn. Cuntos carto-nes de huevo se necesitarn para el desayuno?a. 9 b. 10c. 72 d. 116NAEP 2007, Grado 4

4 11 6

9 5

8 3 10


9EBIL R T Y

491

IN GOD WETRUST

INGO

DWE T

RUST

LIBERTY1994

A B C

ACTIVIDAD DE LABORATORIO Coloca una moneda de $20, una de $10 y una de $5 en la posicinA mostrada en la figura 1-10. Trata de mover estas monedas, una por una, a la posicin C. En ningn mo-mento se permite colocar una moneda mayor sobre otra menor. Las monedas se pueden colocar en laposicin B. Cuntos movimientos se necesitan para llevarlas a la posicin C? Aade ahora una moneda de$2 y observa cuntos movimientos son necesarios. ste es un caso particular del famoso problema de lasTorres de Hanoi, en el cual se pide a los ancianos sacerdotes brahamanes que muevan una pila de 64 dis-cos de tamao decreciente, despus de lo cual el mundo acabar. Cunto tiempo tardarn si efectanun movimiento por segundo?


1-2 Exploracin con patrones

Las matemticas se han descrito como el estudio de los patrones. Hay patrones donde seaen papel tapiz, mosaicos, trfico y aun en los horarios de la televisin. Cuando se come-ten crmenes en serie, los investigadores policacos estudian los archivos de cada caso enbusca del modus operandi, o patrn de operacin. Los cientficos buscan patrones para aislarvariables de manera que se logren conclusiones vlidas en su investigacin. En los Principiosy objetivos hallamos lo sigui

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