Apostila Cálculo III - Prof. Cristina Cerri

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Ementa

Contedo e BibliografiaObjetivos da Disciplina: Estudar integrais de funes de duas e trs variveis, aplicaes e interpretaesna fsica e em outras reas..

Contedo: Integrais duplas e triplas. Mudanas de variveis em integrais (polares, cilindricas e esfricas). Integrais de linha - Teorema de Green. Integrais de superfcies.Teoremas de Gauss e Stokes. Aplicaes. Bibliografia: [S] J. Stewart, "Calculo", Ed. Pioneira-Thomson Learning, So Paulo, 2001; [BCHS] J. Bouchara, V. Carrara, A.C. Hellmeister e R. Salvitti, "Clculo Integral Avanado", Ed. Edusp, 1996. [G] H. Guidorizzi, "Um Curso de Clculo", Vol. 3, Livros Tcnicos e Cientficos, Rio de Janeiro, 5a edio, 2002. Software Grfico Winplot http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html Outros textos: APOSTOL, Tom M. Clculo. Rio de Janeiro: Editora Revert, 1979; BOULOS, Paulo. Introduo ao Clculo. (vrios volumes) So Paulo: Edgard Blcher Ltda, 1974; BOYER, Carl B. Clculo. So Paulo: Atual, 1996; CORANT, Richard. Differential and integral calculus. V. I. Translation E. J. McShane. New York: Nordeman Publishing Company, Inc., 1945. KAPLAN, W. "Cculo Avanado", vol 1, Ed. Edgard Blcher Ltda, 1972, LEITHOLD, Louis. Clculo com geometria analtica. Traduo: Cyro de Carvalho Patarra. So Paulo: Harbra, 1994. PISKUNOV, N. Differential and integral calculus. Moscou: ditions de la Paix, s.d. SIMMONS, George F. Clculo com Geometria Analtica. Traduo: Seiji Hariki. So Paulo: McGraw-Hill, 1987. SWOKOWSKI, Earl W. Clculo com Geometria Analtica. Traduo Alfredo Alves de Faria. So Paulo: Makron Books, 1994. THOMAS, George B. Clculo - Volume 1. Traduo: Paulo Boschcov. So Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002. Textos sobre histria da Matemtica: EVES, Howard W. Introduo histria da matemtica. Traduo: Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 1995. BOYER, Carl B. Histria da matemtica. Traduo: Elza Gomide. So Paulo: Edgard Blcher Ltda, 1974 Sites na Internet: The MacTutor History of Mathematics archive (http://www-groups.dcs.standrews.ac.uk/~history) , Clculo - Thomas (http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/medialib/indexb.html), Visual Calculus (http://archives.math.utk.edu/visual.calculus) The Calculus Page (http://www.calculus.org), S.O.S. mathematics - Calculus (http://www.sosmath.com/calculus/calculus.html), Gacetilla Matemtica (http://www.arrakis.es/~mcj ), Historia de Matemticos Famosos (http://www.mat.usach.cl/histmat/html/indice.html) History of Mathematics at the School of Mathematics (http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/RBallHist.html)

mac2166.ime.usp.br/pluginfile.php?file=%2F4788%2Fmod_resource%2F

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Informaes Gerais 1

MAT 2455 Clculo Diferencial e Integral para Engenharia IIITurma Especial Ministrada Distncia pela WEB 1o semestre 2010Caro(a) aluno(a). Uma das experincias pioneiras no ensino "no presencial" ou "a distncia" na USP foi o oferecimento de turmas de MAT 2455 para alunos dependentes dessa disciplina da POLI. Desde o primeiro oferecimento, no 2o semestre de 2000, essa experincia vem sendo analisada e aprimorada. O(a) aluno(a) matriculado(a) nestas turmas tem a oportunidade de estudar o contedo destas disciplinas de forma autnoma, dentro do seu ritmo e da sua disponibilidade, com textos e atividades feitas especialmente para a turma. Somente para estes alunos esto disposio ferramentas para comunicao (Forum e Chat) que propiciam um atendimento mais personalizado e frequente (mesmo a distncia). Alm disso, so disponibilizadas atividades peridicas para que cada aluno possa estudar e se preparar melhor para as avaliaes. importante que voc saiba que nesta modalidade de oferecimento "a distncia" no h pouco trabalho. Num curso desse tipo o aluno desempenha um papel ativo e sua participao fundamental. Afinal "a aula" s acontece se o aluno tomar a deciso de entrar no site e participar. importante que voc se organize e tenha disciplina para estudar sozinho e com frequncia, acessar o site regularmente e fazer as tarefas pedidas. Nesse semestre utilizaremos o ambiente Moodle. Na rea da disciplina haver textos com resumos dos diversos contedos tratados em Clculo III, listas de exerccios, gabaritos etc. Mas ateno: os textos so apenas um resumo e um roteiro de estudo. Para que seu aproveitamento seja bom voc deve completementar os estudos lendo os livros indicados na Bibliografia. Estaro tambm disponveis Fruns para discusso de temas relacionados a disciplina, como dvidas da matria ou de exerccios. Monitores daro atendimento diariamente na sala de monitoria do Binio. Lembre-se que seu aproveitamento ser avaliado periodicamente no decorrer do semestre, atravs de tarefas programadas, trabalhos, provas e de sua participao nas atividades propostas. Para maiores detalhes veja os Critrio de Avaliao. Estamos empenhados em fazer o melhor, mas esta iniciativa s poder ter xito com seu envolvimento e participao. Temos certeza que voc vai levar a srio esta proposta e colaborar para tudo dar certo. Um bom semestre a todos! Profa Cristina Cerri Ramal : 6278 e-mail: [email protected]


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Criterio de Avaliacao

Critrio de AvaliaoA mdia final dos alunos desta Turma 13 - Web ser calculada da seguinte forma:

MF = K (P1 + P2 + P3 + T)/4sendo que Pi so as notas das provas, i = 1,2,3; T a mdia das nota dos trabalhos realizados durante o semestre que tiveram uma nota atribuda. Os trabalhos devem ser redigidos e entregues at a data limite estabelecida conforme cronograma. Sero propostos 9 trabalhos durante o semestre que somaro no mximo 30 pontos. Sendo S a soma das notas dos trabalhos ento T ser igual a S/3. Ao longo do semestre sero propostas vrias atividades dentro do ambiente Moodle. Cada uma dessas Atividade dever ser feita on-line. Cada atividade realizada pelo aluno conta participao e no vale nota. Essas atividades tero prazos pr-estabelecidos conforme cronograma. K o fator de participao que varia de 0 a 1, tendo em vista a participao do aluno, ou seja, a quantidade de atividades realizadas. Ser atribudo K = 1 para o aluno que fizer 70% das atividades propostas (Atividades e Trabalhos). O fator K tambm fornecer a porcentagem de frequncia que ser atribuda a cada aluno no final do semestre. Ateno: o aluno que s fizer as provas tradicionais ter K = 0 e assim estar automaticamente reprovado. Este um ponto fundamental e o diferencial desta proposta, que teve o apoio total das Comisses de Graduao da POLI e do IME. Datas das Provas: todas s 13h10 P1: 06 de abril P2: 18 de maio P3: 22 de junho PSUB: 29 de junho - SEMI ABERTA ( a nota da PSUB entra obrigatoriamente no lugar da menor das Pi) Professora responsvel pela Turma-Web: Profa.Cristina Cerri Coordenador da disciplina: Prof. Luiz Augusto Fernandez de Oliveira


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Integrais Duplas - uma introduo

Integrais Duplas - IntroduoComo calcular o volume de slidos? Para certos slidos, como pirmides, cilindros, esferas, temos frmulas que permitem calcular seus volumes. Mas por que valem tais frmulas? Matemticos gregos, como Arquimedes (287-212 a.C.) dedicaram muita ateno a problemas relacionados com o clculo de reas e volumes. H mais de dois milnios atrs esses matemticos calculavam reas e volumes de figuras geomtricas por procedimentos como os do Clculo Integral. Usava-se o processo de "exausto". Por exemplo, para se obter a rea de um crculo inscreve-se nele polgonos regulares cuja rea facilmente calculvel; aumentando-se o nmero de lados obtm-se aproximaes cada vez melhores. Obtm-se ento a rea do crculo por um processo de limite das reas dos polgonos. Esse processo era tambm usado para calcular rea de outras regies, como a regio interior a um arco de parbola. Com as mesmas idias do clculo de reas os matemticos gregos tambm tratavam do volume de slidos. As idias bsicas do Clculo Integral estavam l presentes. Contudo essas idias ficaram escondidas ou perdidas, pois os matemticos gregos descreviam tudo geometricamente e no por meio de frmulas numricas como fazemos hoje. Alm disso, esse mtodo funcionava para particulares regies e uma generalizao s poderia ser possvel com uma nova formulao do problema. Somente muito mais tarde, no sculo XVII, com uma simblogia mais desenvolvida e com o surgimento da moderna notao da Geometria Analtica, foi possvel criar mtodos sistemticos para o tratamento de reas e volumes. Por volta de 1820, o matemtico francs Augustin-Louis Cauchy definiu integral em termos de somas, mas ainda de forma incompleta. Na poca problemas de Fsica como o da propagao do calor motivaram o desenvolvimento de teorias matemticas. Por volta de 1854 o matemtico alemo Bernhard Riemann fez um estudo aprofundado da integral e contribuiu de forma decisiva para o desenvolvimento da teoria. tanto que at hoje as somas usadas para definir a integral so chamadas de Somas de Riemann, bem como a prpria integral leva seu nome. Lembremos que para funes de uma varivel a integral definida como o limite de somas:

A idia bsica da integral, como limite de somas, pode ser estendida para funes definidas em regies do plano e do espao: surgem assim as integrais duplas e triplas, respectivamente. E tais integrais esto associadas a clculos de volume, massa etc. Nos textos trataremos, primeiramente, de definir a integral dupla de funes de duas variveis, utilizando como motivao o clculo de volume. Veremos a seguir propriedades e resultados bsicos. E, claro, mtodos para o clculo de integrais duplas. Leia o texto Integrais Duplas definioistina Cerri -2010

www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-1-intdupla-intro.htm

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Funes Integrveis e No Integrveis

Funes integrveis e no-integrveisAlguns Resultados e ExemplosQue funes so integrveis? Existem funes no-integrveis? Da maneira como foi dada a definio pode-se pensar que sempre existe a integral dupla de uma funo. Afinal pode parecer que se f positiva ento sempre se pode calcular o volume do slido que se forma abaixo do grfico de f e acima do plano z = 0. Mas voc viu que existem funes de uma vrivel que no so integrveis. Com duas vriveis isto tambm ocorre. Um exemplo de funo no integrvel: Considere a funo f definida em R = [0,1]x[0,1] (quadrado de lado 1) da seguinte forma: f(x,y) = 1 se x e y so racionais e 0 caso contrrio. Tome uma partio qualquer de R e em cada Ri . Escolha primeramente (x i ,yi) tal que se x i e yi so racionais. Assim um clculo simples mostra que

Entretanto podemos escolher (x i ,yi) de forma ambos x i e yi no so racionais. Dessa forma

Portanto o limite dessa somas depender da escolha de (x i ,yi) . Portanto f no integrvel. Agora enunciaremos um resultado til. PROPOSIO. Se f uma funo integrvel em R , retngulo, ento f limitada em R, isto , existe M > 0 tal que |f(x,y)| < M, para todo (x,y) em R .(veja a demonstrao, que no difcil, em Teorema III.1.2 de [BCHS] ). Outro exemplo: O resultado acima til no seguinte sentido: se uma funo de duas variveis no limitada em R ento ela no integrvel em R. Por exemplo, a funo

no limitada em [0,1]x[0,1] (prove isso!), logo no integrvel. Exerccio: Obtenha um outro exemplo de funo no integrvel usando o resultado anterior. J temos exemplos de funes no integrveis. timo! Mas que funes so integrveis? Ser sempre necessrio encontrar a integral dupla de uma funo usando a definio e tendo que calcular aquele limite. Como para funes de uma varivel, as funes "bem comportadas" so integrveis. Vale que TEOREMA. Toda funo contnua definida em um retngulo R integrvel em R. Muito bem, mas como se calcula a integral dupla de uma funo? Para isso vamos ver as Integrais Iteradas.Cristina Cerri - 2010www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-3-intdupla-integraveis.htm 2/2

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Integrais Duplas - Como calcular?

Integrais Duplas - Como calcular?Clculos de reas e volumes de regies so problemas antigos. A idia de fazer aproximaes por regies com reas e volumes conhecidos j era utilizada pelos gregos. Outra forma de tentar calcular volume de slidos usa a idia de "fatiar" o slido. Por exemplo, fatiando um paraleleppedo ele pode ser visto como "uma pilha de retngulos"; um cilindro pode ser visto como um "monte de discos empilhados". Como cada fatia tem a mesma rea, "somamos" as reas e temos o volume. Ento razovel que o volume desses slidos sejam Area da base x Altura. Tal argumento pode ser aplicado aos prismas tambm. A idia de "fatiar" um slido para obter seu volume, basea-se na sua teoria de que toda figura geomtrica pode ser considerada como uma totalidade de elementos primordiais, chamados "indivisiveis". Um princpio bem natural baseado nessa idia e que estabelece um fato til sobre volumes foi estabelecido pelo matemtico italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647), no sculo XVII. conhecido como o Prncpio de Cavalieri. Vamos usar essa idia de fatiar para chegar num resultado que permita calcular volume de certos slidos. Considere uma funo de duas variveis f definida num retngulo fechado R=[a,b]x[c,d] e suponha que f(x,y) positiva e contnua para (x,y) em R. O grfico desta funo um subconjunto do R3 . Considere o slido limitado pelo grfico de f e o plano xy com (x,y) em R, isto , Nosso objetivo o de calcular o volume de S . Por exemplo tome a funo f(x,y) = x (1-y4) e R = [0,2]x[0,1] . O grfico de f est representado na figura abaixo.

Poderiamos pensar em calcular o volume de S (slido delimitado pelo grfico de f) fatiando o slido com planos paralelos ao plano yz.

www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-intdupla-iterada-intro.htm

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Para cada x fixo entre 0 e 2 temos uma regio onde a rea se calcula facilmente usando integral de uma varivel

Vamos denot-la por A(x). Ento


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Assim, como fizemos no caso do cilindro, o volume do slido poderia ser definido como sendo a soma de todos os A(x). Somar em x integrar. Ento uma boa definio do volume de S parece ser

Poderiamos ter feito outro tipo de fatiamento, por exemplo com planos paralelos ao plano xz. Teriamos obtido o mesmo valor? Podemos usar esta idia para qualquer tipo de funo? Leia Integrais Duplas Iteradas.Cristina Cerri - 2010


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Integrais Iteradas

Integrais Duplas Iteradas Teorema de FubiniA definio de integral dupla consequncia natural da idia de calcular o volume de determinado tipo de slido. Porm difcil obter o valor de uma integral dupla diretamente da definio. Vamos aqui ver uma forma de calcular tal integral. Tomemos, em particular, uma funo f(x,y) positiva e definida num retngulo R=[a,b]x[c,d] e considere a regio Para se calcular o volume do slido S poderamos pensar em fati-lo paralelamente ao plano x = 0 ou ao plano y = 0. Fixe um x entre a e b e considere a interseco do plano paralelo a x = 0 passando por x e o slido S.

A rea da fatia pode ser calculada com a integral

Intuitivamente o volume a "soma" de todas as reas. Ento o volume de S deve ser

Entretanto, fixando y entre c e d, poderamos tambm calcular a rea de cada fatia e depois o volume fazendo

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Integrais Iteradas

Estas integrais so chamadas de integrais iteradas e usualmente se escreve apenas ou Exemplos:

Teria sido mera coincidncia as duas integrais acima terem dado o mesmo valor? No coincidncia, e o que vale o seguinte: Teorema de Fubini. Se integrvel em =[a,b]x[c,d] ento

Ou seja se integrvel no importa a ordem que fazemos a integrao. Assim temos uma forma de clcular integrais. OBS: comum denotar a integral dupla de f em R por , lembrando que isso no significa que estamos indicando integrais iteradas. Na hora de calcular pode-se fazer de duas maneiras. Para estudar: leia o pargrafo 2 do captulo 15 (15.2) de [S] Curiosidade: O teorema acima foi provado em 1907 pelo matemtico italiano Guido Fubini (18791943), entretanto a verso para funes contnuas era conhecida pelo matemtico francs AugustinLouis Cauchy, quase um sculo antes.Cristina Cerri - 2010

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Principio de Cavalieri - Frmula do Volume da Esfera - aplicando principio

O Princpio de CavalieriBonaventura Cavalieri (1598-1647) Matemtico italiano nascido em Milo e falecido em Bolonha. Foi discpulo de Galileo e escreveu sobre diversos temas como geometra, trigonometra, astronomia, ptica, etc. Foi o primeiro matemtico italiano que apreciou em todo seu valor os logartimos. Tambm figurou entre os primeiros que ensinaram a teoria coprrnica dos planetas. Outros trabalhos seus so o desenvolvimento dado a trigonometria esfrica, assim como o descobrimento das frmulas relativas aos focos dos espelhos e de las lentes. Mas sua obra fundamental a "Geometra dos indivisiveis", pela qual considerado como um dos precursores do clculo infinitesimal. A base da nova teoria que toda figura geomtrica pode ser considerada como uma totalidade de elementos primordiais, chamados "indivisiveis". Deste modo, o clculo de longitudes, reas e volumes foi levado por Cavalieri ao clculo da soma de infinitos indivisiveis".

O Principio de Cavalieri nos diz que se dois corpos tm a mesma altura e os cortes por planos paralelos a suas bases so figuras com a mesma rea, ento eles tm o mesmo volume.

Com esse princpio se pode obter o volume da esfera, por exemplo. A idia comparar o volume da esfera com os volumes do cilindro e do cone.

Tome uma esfera de raio R. Considere o slido X que cone dentro de um cilindro de altura 2R e raio R, como mostra a figura. Corte por um plano horizontal B (perpendicular ao eixo do cilindro), que dista h do centro da esfera. Vamos calcular as reas das seces planas. Na esfera a seco plana d um cculo. J no cilindro temos um anel.

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Principio de Cavalieri - Frmula do Volume da Esfera - aplicando principio

Aplicando o Principio de Cavalieri temos que o volume da esfera igual ao volume do slido X. Mas Vol(X) = Volume de cilindro - 2x Volume do cone = = pi R2 (2R) - 2 pi R2 (R)/3 = 4 pi R3 / 3 Portanto volume da esfera 4 pi R3/3. Extrado de http://www.members.tripod.com/caraipora/cavprin.htm Outros sitios (mas s usar o "Google" e pesquisar) http://www.youtube.com/watch?v=vtsWUjk-CtY http://pt.wikipedia.org/wiki/Bonaventura_Cavalieri http://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle

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Integrais Iteradas - Exemplos

Integrais Iteradas - ExemplosComo j foi visto, o clculo de integrais duplas pode ser feito utilizando a integrao iterada. Veja esse exemplo Exemplo A1. Sejam f(x,y) = 2 x 2 + y2/3 e D = [-1,1] x [-1,2] (um retngulo). Ento podemos calcular a de duas maneiras, pois integral dupla

Ento

Nesse caso o valor da integral dupla o volume do slido que est abaixo do grfico de f e acima do plano z = 0 (pois f positiva). Clicando no cone ao lado voc poder ver o grfico dessa funo e de outras do tipo f(x,y) = A x 2 + B y2 . Na animao voc poder interagir: variando x e y dentro do domnio voc poder visualizar o slido sendo formado. Explore!Cristina Cerri - 2010

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Integrais Duplas sobre Regies

Integrais Duplas em Regies - definioNo texto Integrais Duplas em Retngulos definimos integrais duplas sobre retngulos. Contudo so vrias as funes definidas em regies que no so retngulos. Seja f uma funo definida numa regio D do plano . Se f positiva desejamos que o volume do slido esteja relacionado com integral dupla. Nesse texto vamos definir a integral dupla sobre regies planas D limitadas, isto , regies contidas em algum retngulo R. Vamos utilizar um pequeno "truque". Como s temos a definio de integral dupla para funes definidas num retngulo, vamos estender f para um retngulo R que contm D de forma conveniente. Defina F(x,y) em R de forma que

chamada de "funo caracterstica do conjunto D". Dizemos que f integrvel em D quando F integrvel em R. E definimos a integral dupla de f em D por

Observe o desenho. Primeiramente como F 0 fora de D regio de R-D (complementar de D) a definio acima no depende do particular retngulo R. Assim sempre podemos considerar um retngulo de lados paralelos aos eixos. E perceba tambm que R-D no interfere no clculo da integral. DEFINIO. Se f(x,y) positiva e integrvel em D definimos o volume do slido como sendo

Suponha que f seja contnua em D. razovel esperar que f seja integrvel em D. Mesmo f sendo contnua em D no temos necessariamente a continuidade de F em R. Observe que as descontinuidades ocorrem no bordo (ou fronteira) de D (veja a figura acima), que denotamos por D. De fato, nesse caso, o conjunto dos pontos de descontinuidade de f est contido em D. A integrabilidade de f depender do tipowww.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-5-intdupla-regiao.htm 2/3

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Integrais Duplas sobre Regies

do bordo de D: de uma forma informal, ele tem que ser "magrinho" para no interferir no clculo da integral. Mas o que significa isso? Que tipos de conjuntos so esses? O conceito que desejamos introduzir agora o de contedo nulo. Um conjunto A do plano tem contedo nulo se, dado > 0 arbitrrio, existem retngulos R1 , R2 , ... Rn , de lados paralelos aos eixos coordenados, tais que e .

No difcil mostrar que um segmento no plano tem contedo nulo. Um fato importante que PROPOSIO. O grfico de uma funo contnua definida num intervalo [a,b] tem contedo nulo. Esse resultado j mais difcil de provar. Contudo em [BCHS] (captulo 3) voc encontrar a demostrao para o caso de funo de classe C1. Finalmente temos um resultado esperado: TEOREMA. Seja D um subconjunto limitado do plano e seja f uma funo contnua e limitada em D. Se o bordo de D tem contedo nulo ento f integrvel em D. A prova desse resultado pode ser encontrada no Apndice 2 de [G]. Para ver um pouco mais sobre essa teoria veja o texto Funes Integrveis - teoria.Cristina Cerri - 2010

www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-5-intdupla-regiao.htm

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Funes Integrveis - teoria

Funes Integrveis - teoriaJ sabemos que temos funes que no so integrveis. Ser que existe alguma caracterizao das funes integrveis? Seja D um subconjunto limitado do plano. E seja o slido . Como temos altura constante razovel pensar que o volume de S igual a rea de D, pois espera-se que V(S) = 1.A(D). Mas a integral dupla de f(x,y) = 1 sobre D , caso exista, o volume deste slido. Dizemos que D tem rea se f(x,y) = 1 integrvel em D e define-se a rea de D por Lembre que para definir a integral de f sobre D defininimos uma funo F como sendo f em D e 0 em RD onde um retngulo qualquer. Ento nesse caso F 1 em D e 0 em R-D. A descontinuidade de F ocorre na fronteira, ou bordo, de D. Para que tenhamos F integrvel ser preciso que o bordo de D no atrapalhe, seja "desprezvel". O bordo ou fronteira de um subconjunto D, que denotado por D, o conjuntos dos pontos (x,y) tais que qualquer retngulo (ou disco) centrada em (x,y) contm pontos de D e do complementar de D. As regies que nos interessam so as regies cujo bordo tem contedo nulo. Formalmente, um conjunto A tem contedo nulo se para todo > 0 1 , 2,..., Rn cuja unio contem A e que a soma das suas reas menor que .. As regies que nos interessam so as regies que tem rea, As regies que tem rea so aquelas que o bordo tem contedo nulo. Note que felizmente os retngulos tem rea. Pode parecer estranha mas existem regies do plano que no tem rea. Por exemplo, se D = Q x Q em [0,1]x[0,1] seu bordo todo o quadrado [0,1]x[0,1]. Estranho, no ? Mas isso acontece pois perto de todo o par de nmeros racionais tem sempre pares de racionais e de irracionais. Ento a funo constante 1 em D no integrvel. (Veja o texto Funes integrveis e nointegrveis.) O problema aqui com o conjunto D . Queremos evitar isso e tratar de conjuntos D bem comportados, ou seja, que tenham rea. Assim afirmamos que D tem rea se, e somente se, D tem contedo nulo. Conjuntos de rea nula representam papel importante na Teoria de Integrao. Esses so conjuntos que no interferem na integrao. TEOREMA. Seja uma regio D com rea e limitada do plano e seja f uma funo limitada em D. Se f contnua, exceto num conjunto de rea nula, ento f integrvel em D. O resultado acima vale em contextos mais gerais e no apenas para funes de duas variveis. Foi o matemtico Henri Lebesgue (1875-1941) que estabeleceu a conexo entre a integrabilidade segundo Riemann e o conjunto dos pontos de descontinuidade da funo. Resumidamente, Lebesgue provou que uma condio necessria e suficiente para que uma funo seja Riemann integrvel que o conjunto dos pontos de descontinuidade tem rea (ou medida) nula. Ele criou toda uma teoria nova para integrao, que hoje leva seu nome: integral de Lebesgue.www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-5-1-intdupla-integraveis.htm 2/3

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Clculo de Integrais Duplas

Clculo de Integrais DuplasDepois de definida a Integral Dupla sobre Regies planas D temos que saber como calcul-la. Sabemos que se f contnua em D e se o bordo da regio D tem contedo nulo ento f integrvel em D. Mas afinal quais regies so desse tipo e como calcular a integral dupla nessas regies? Vamos ver dois tipos de regies cujo calculo da integral dupla pode ser feito. Regio do Tipo I: regio do plano entre grficos de funes contnuas de x definidas num intervalo [a,b]. Mais explicitamente so regies do tipo onde g1 e g2 so funes contnuas em [a,b]. Graficamente:

Nesse caso D limitada e se tomamos um retngulo R=[a,b]x[c,d] que contm D ento

Regio do Tipo II: regio plano entre grficos de funes contnuas de y definidas em [c,d]. Mais explicitamente, so regies do tipo

onde h1 e h2 so funes contnuas em [c,d]

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Clculo de Integrais Duplas

Tambm podemos calcular a integral dupla fazendo

Cristina Cerri - 2010.

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Clculo de Integrais Duplas - Exemplos

Clculo de Integrais Duplas - Exemplos1. Calcular a onde a regio limitada pelas parbolas = 2 2 e = 1 + 2 .

2. Encontre o volume do slido que fica abaixo do parabolide = 2 + 2 e acima da regio no plano pelas superfcies = 2 e = 2 . Temos neste caso a regio de integrao (no plano )

e delimitada

e o volume dado pela integral dupla de (

) = 2 + 2 logo

3. Calcule

.

Se tentarmos calcular da forma que a integral aparece teremos problemas. Mas a integral acima igual a integral dupla de ( ) sen( 2) em

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Clculo de Integrais Duplas - Exemplos

Desenhe a regio e perceba que tambm podemos escrev-la na forma

Ento, usando o Teorema de Fubini,

Explore mais exemplos clicando aqui.

Leia a teoria e veja mais exemplos em 15.3 de [S] e III.4 de [BCHS].Pratique fazendo exerccios do livro [S] e da Lista 1. Dica: O livro de J. Stewart [S] traz muitos exerccios resolvidos e muitos grficos e figuras. Consulte pois para um melhor aproveitamento visualizar os grficos e as regies de integrao fundamental. Use para isso programas grficos como Winplot .2010

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Integrais Duplas - propriedades

Integrais Duplas - PropriedadesAs seguintes propriedades bsicas so vlidas para integrais duplas. Proposio. Se f e g so funes integrais em D, regio limitada do plano e com rea, e c constante ento

Uma outra propriedade muito til para o clculo de integrais duplas a seguinte. Proposio. Suponha que f(x,y) seja integrvel em D1 e em D2 , que so regies limitadas do plano. Se D1 D2 tem rea nula ento f integrvel em D1 U D2 e vale

Por exemplo, seja f(x,y) = 1, se (x,y) pertence a [0,3]x[0,1] e f(x,y) = 2, se (x,y) pertence a [3,5]x[0,1] . Claramente essa funo no contnua em R = [0,5]x[0,1], mas descontnua apenas no conjunto {( 3,y ) : 0 y 1} que tem rea nula no plano.

Ento f integrvel em R e

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Mudana de Variveis em Integrais Duplas

Mudana de Variveis em Integrais Duplas Coordenadas PolaresNas integrais de funes de uma varivel real muitas vezes uma mudana de varivel conveniente permite seu clculo mais facilmente. A frmula nesse caso

onde g (c) = a e g (d) = b , sendo g estritamente crescente. comum escrevermos que dx = g'(u) du. Para integrais duplas tambm possvel fazer mudanas de variveis. Nesse caso temos que fazer mudanas do sistema de coordenadas Oxy para outro sistemas de coordenadas Ouv. E como fica a integral dupla quando mudamos de coordenadas? O que ir substituir o fator g'(u) du nesse caso? Antes de tratar do caso geral veremos como fica a integral dupla quando mudamos do sistema de coordenadas cartesianos Oxy para o sistemas de coordenadas polares Or. Sabemos que x = x(r,) = r cos() e y = y(r,) = r sen(), onde r representa a distncia do ponto P de coordenadas (x,y) e o ngulo formado pelo segmento OP e o eixo Ox no sentido anti-horrio. Suponha que f(x,y) integrvel numa regio D do plano Oxy. Como a integral dupla o limite das somas de Riemann vamos avaliar a soma para uma partio qualquer de D. Para cada retngulo da partio sua rea aproximadamente a rea de um setor circular. Mas a rea de um setor circular pode ser calculada usando as variaes de r e de . (Veja o texto sobre Coordenadas Polares ) Logo

Fazendo o limite temos que

onde Dxy denota a regio D descrita em coordenadas cartesianas Oxy e Dr denota a regio descrita em coordenadas polares.

Ateno: nunca se esquea de multiplicar pelo fator r !Para ver mais exemplos clique aqui!


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Integral Dupla em Coordenadas Polares - Exemplos

Mudana de Variveis em Integrais Duplas Coordenadas Polares - ExemplosExemplo 1. Queremos calcular o volume do slido que est sob o parabolide z = x2 + y2 , acima do plano xy e dentro do cilindro x2 + y2 = 2x. Ento

onde

E ento nas coordenadas cartesianas

No uma integral muito simples. Mudando para coordenadas polares a regio D passa a ser

pois substituindo x(r,) = r cos() e y(r,) = r sen() na equao x 2 + y2 = 2x temos que r2 = 2 r cos(), logo na circunferncia r = 2cos(). Como o ngulo entre o segmento do ponto a origem e o eixo x, a variao do ngulo de /2 a /2.

Regio em coordenadas cartesianas

Regio em coordenadas polareswww.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-9-2-intdupla-mudapolar-ex.html 2/3

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Integral Dupla em Coordenadas Polares - Exemplos

E ento

Exemplo 2. Desejamos calcular o volume do slido que est sob o parabolide z = 4 - x 2 - y2 , acima do plano xy e dentro do cilindro x 2 + y2 = 1. Sabemos que disco de centro (0,0) e raio 1. Logo onde D o

Ento

Contudo o clculo dessa integral elaborado. A regio D pode ser facilmente descrita em coordenadas polares. Assim usando que x = x(r,) = r cos() e y = y(r,) = r sen() ento o disco pode ser representado por

Portanto

Exemplo A3. Se a funo ento

est definida na rego

Clique e veja a regio acima para diferentes raios. Explore!Cristina Cerri - 2010

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Mudana de Variveis em Integrais Duplas Caso GeralPara o clculo de funes de uma varivel temos que, s vezes, fazer uma mudana de varivel de integrao. Quando fazemos isso temos que fazer uma "correo" e multiplicar pela derivada:

No clculo de integrais duplas tambm precisamos as vezes mudar de variveis. Uma mudana de coordenadas em R2 uma transformao contnua e injetora no interior da regio. Escrevemos (u,v) = (x(u,v),y(u,v)). Assim para funes de duas variveis devemos ter uma frmula do tipo

O que viria no lugar do ?????? ? Antes de dar a frmula vamos ver um exemplo de mudana de varivel. Seja (u,v) = (x(u,v),y(u,v)) onde x(u,v) = (u - v)/2 e y(u,v)=(u + v)/2, ou seja, u = x + y e v = y - x . Seja Dxy a regio limitada pelas retas x + y = 4 , x + y = 3, y - x = 3 e y - x = 1. Note que uma reta y + x = a no plano Oxy corresponde a reta u = a no plano Ouv e que uma reta y - x = b no plano Oxy corresponde a reta v = b no plano Ouv.

Com esta aplicao transformamos o retngulo Dxy (amarelo) no retngulo Duv = [3,4]x[1,3] (verde). Note que as reas dos retngulos so diferentes!!! Veja que a rea de Duv 2, mas a rea de Dxy 1. Note que todo retngulo de lados paralelos aos eixos Ou e Ov se transforma pela em outro retngulo e que A(Dxy) = A(Duv)/2. Esta transformao no preserva reas, mas h uma relao entre elas. Para calcularmos uma integral dupla teremos que levar isso em conta. Se queremos calcular a integral

onde D = Dxy diretamente com as variveis x e y vamos ter algum trabalho. Entretanto se rodamos a figura, ou seja, fazemos uma mudana de variveis, passaremos a ter um retngulo paralelo aos eixos e assim a integrao ficar mais simples. Se u = x + y e v = y - x, ou x = (u - v)/2 e y = (u + v)/2 transformamos Dxy em Duv = [3,4]x[1,3]. Como A(Dxy) = A(Duv)/2

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Mas esse foi um caso muito particular. Em geral dada uma mudana de variveis o fator de correo da rea no constante. Esse fator o Jacobiano da transformao. Em geral, dada uma transformao (u,v) = (x(u,v),y(u,v)) do plano o Jacobiano

O que vale o seguinte resultado: TEOREMA. Seja uma transformao de uma aberto de R2 em R2 de classe C1 onde (u,v) = (x(u,v),y(u,v)). Seja Duv subconjunto de limitado, com bordo de contedo nulo tambm em , e Dxy = (Duv). Suponha que injetora e J(u,v) no nulo o interior de Duv. Se f contnua em Dxy ento

Note que na frmula aparece o mdulo do Jacobiano! Voltando ao exemplo e calculando o Jacobiano temos J(u,v)= 1/2 . Logo

Agora com voc: calcule a integral! Mais exemplos e muito mais voc ver em Mudana de Variveis em Integrais Duplas -

ExemplosComo voc deve se lembrar, as coordenadas polares x(r,) = r cos() e y(r,) = r sen() so teis e de grande importncia. Vrias integrais duplas ficam mais fceis de serem calculadas se usamos a mudana de coordenadas polares, cujo Jacobiano r. Referncias: 15.9 de [S] e III.5 e IV.5 de [BCHS] ou 4,2 de [G].Cristina Cerri -2010

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Mudana de Variveis em Integrais Duplas - Exemplos

Mudana de Variveis em Integrais Duplas ExemplosVimos que nas condies do enunciado do Teorema a frmula de mudana de variveis

Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1. Para calcular uma integral sobre uma regio D = { (x,y) : (x-p)2 + (y-q)2 a2 }, com a > 0, que a regio interior a circunferncia de raio a, podemos, para facilitar, fazer uma mudana de varivel do tipo polar, tal que x-p = r cos() e y-q = r sen(), ou seja, x(r,) = r cos() + p e y(r,) = r sen() + q . Verifique que nesse caso o Jacobiano tambm r. Exemplo 2. Para calcular uma integral sobre uma regio D = { (x,y) : x 2/a2 + y2 /b2 1 }, com a, b > 0, que a regio interior a uma elipse, podemos, para facilitar, fazer uma mudana de varivel do tipo polar, tal que x/a = r cos() e y/b = r sen(), ou seja, x(r,) = a r cos() e y(r,) = b r sen() . Verifique que nesse caso o Jacobiano abr. Compondo essas transformaes podemos resolver o seguinte exerccio (extrado da prova de 1999). Exemplo 3. Determine o volume do slido limitada pelas superfcies: 0. Soluo. Note que desejamos calcular o volume do slido dado por ; z = x 2 + y2 e z =

Mas isso pode ser feito com integrais duplas.

onde D a regio interior a elipse

. Portanto fazendo a mudana de varivel

Ento no nulo no interior. Portanto

e o Jacobiano

,

.


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Aplicaes da Integral Dupla

Aplicaes da Integral DuplaAlgumas aplicaes das Integrais Duplas j foram discutidas. O clculo de volume, por exemplo, foi inclusive motivao para a definio dessas integrais. Algumas outras aplicaes apresentamos aqui, porm ainda mais podem ser encontradas em fsica, biologia, ecomonia etc. 1. Clculo de volume. Dada f e g so contnuas em D, regio limitada do plano Oxy com rea, e regio

ento o volume da

entre os grficos de f e g dado por

2. rea de uma regio plana Seja D uma regio limitada do plano Oxy, com rea. Se criamos um "prisma" B de base D e altura 1 esperado que o volume de B seja area da base vezes a altura, que 1. Logo devemos ter Vol(B) = Area (D) x 1. Ento

3. Massa e Centro de Massa Recordamos que a massa total de um sistema de k partculas cuja massa de cada partcula mi , i = 1,...,k, a soma m = m1+m2+...+mk . Considere uma lmina ou placa fina plana (sem volume) cujo formato uma regio D, regio limitada do plano Oxy, com bordo de contedo nulo. Se (x,y) uma funo contnua positiva em D que representa a densidade superficial de massa, ento a massa total de D deve ser a soma das massas em cada ponto (x,y) de D. Pensando assim faz sentido definir a massa de D como sendo j que (x,y) dA pode ser interpretado como a massa do elemento de rea dA. Fazendo tambm a analogia com um sistema finito de partculas temos que o centro de massa da lmina o ponto onde

2. Momento de inrcia O momento de inrcia de uma partcula de massa m com relao a uma reta dado por md2 onde d a distncia da partcula a esta reta. Estendendo esse conceito a uma placa de formato D, regio limitada do plano Oxy, com bordo de contedo nulo, com densidade pontual de massa dada por uma funao contnua positiva (x,y), temos as seguintes definies: O momento de inrcia com relao ao eixo x

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Aplicaes da Integral Dupla

O momento de inrcia com relao ao eixo y

O momento de inrcia polar (ou com relao origem) definido por

Um exemplo. A densidade de cada ponto de uma placa semicircular proporcional a distncia ao centro do crculo. Encontre o centro de massa da placa. Vamos colocar a placa na parte superior do circulo de raio a. A distncia de (x,y) portanto a densidade (x,y) ao centro (origem)

para alguma constante K. Calculemos primeiramente a massa M

Como a regio simtrica com relao ao eixo y temos que

.E

Logo o centro de massa o ponto (0,(3a)/2). Localize-o no desenho. Observao: se a densidade for constante ento o centro de massa ser o ponto (0, (4a)/2). Leia mais e veja mais exemplos em III.6 de [BCHS] e 15.5 de [S] e faa exerccios da Lista 1.Cristina Cerri -2010

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Integrais Triplas

Integrais Triplas em ParaleleppedosDefinioVamos agora considerar funes de trs variveis , isto , f uma funo que a cada terna (x,y,z) de um subconjunto do R3 associa-se um valor f(x,y,z) em R. J no podemos visualizar o grfico desse tipo de funo pois um subconjunto do R4, mas podemos definir uma integral, que ser a integral tripla de f. Vamos motivar a definio usando o clculo de massa de um paralelepdedo. Seja P um paraleleppedo feito de um material com densidade de massa constante . Ento a massa total de P .V(P), onde V(P) denota o volume de P. Se tivessemos um conjuto de Pi pareleleppedos, i = 1,..,n com densidade de massa i ento Massa Total a soma das massas Mi = i .V(Pi) . Agora suponha que o paraleleppedo P no feito de um material com densidade de massa constante . Como calcular sua massa total? Vamos tentar obter esse valor por aproximaes. Num sestema de coordenadas Oxyz o paraleleppedo P o produto cartesiano de segmentos [a,b][c,d][p,q], ou seja,

Suponha que a densidade de massa depende de cada ponto de P , ou seja, e a densidade pontual de massa uma funo (x,y,z), contnua e positiva, definida em P.

Particione P em pequenos paraleleppedos P1 , P2 ,..., Pn , dividindo os intervalos [a,b] , [c,d] e [p,q] . Para cada i =1,...,n escolha um ponto (x i , yi , zi) de Pi . Como estes Pi so pequenos podemos dizer que a massa de Pi aproximadamente (x i , yi , zi).V(Pi) . Portanto a massa de P aproximadamente a soma das massas de cada Pi

Como no caso das funes de duas variveis, estas somas so conhecidas como Somas de Riemann. Intuitivamente a aproximao deve melhorar quanto menores forem os retngulos Pi . Assim natural pensarmos que a Massa Total de P deve ser o LIMITE destas somas, quando as dimenses de Pi vo para zero. Isto , se o limite existir, a massa total deve ser

onde d(Pi) denota a diagonal de Pi. Podemos generalizar e temos assim a seguinte definio DEFINIO: Seja f uma funo definida em P. A integral tripla de f sobre P

se tal limite existe, e o mesmo para qualquer escolha de (xi , yi , zi) em P. Neste caso se diz quewww.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-1-inttripla-def.html 1/2

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Integrais Triplas

f integrvel em P. As mesmas propriedades operatrias que valem para integrais duplas valem para integrais triplas. Propriedades: Se f e g so funes integrveis em P ento

sempre que Como no caso de integrais duplas, existem funes que no so integrveis. Contudo as funes "bem comportadas" so integrveis. Temos que TEOREMA Se f contnua em P ento f integrvel em P. Portanto, se f(x,y,z) for uma funo contnua e positiva e representar a densidade de massa de cada ponto (x,y,z) de P, a massa total de P dever ser a integral tripla acima (caso existir). Como no caso de integrais duplas existem funes que no so integrveis. Veja aqui um exemplo. Mas como calcular integrais triplas? Usaremos tambm as integrais iteradas, que podem ser feitas em qualquer ordem. Veja como nos prximos textos da disciplina. claro que os domnios das funes no so sempre paraleleppedos. Tambm veremos como definir e calcular a integral tripla em diferentes regies do espao.Cristina Cerri - 2010

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Funes Integrveis e No Integrveis

Exemplos de funes no-integrveisExistem funes de trs variveis que no so integrveis. Um exemplo de funo no integrvel: Considere a funo f definida em R=[0,1]x[0,1]x[0,1] (cubo de lado 1) da seguinte forma: f(x,y,z) = 1, se x, y e z so racionais e 0 caso contrrio. Basta calcular a soma de Riemann para convenientes escolhas de (x i , yi, zi ) que teremos somas com valor 1 e outras que valem 0. Portanto o limite no existe. (Lembre-se do exemplo que demos para integrais duplas.) Um resultado til: Usando a definio pode-se mostrar que se uma funo integrvel em limitada em , isto , existe M > 0 tal que | ( )| < M, para todo ( ) em . Para a demonstrao veja Teorema IV.1.4 de [BCHS]. ento

Como para funes de duas variveis o resultado acima til para encontrar exemplos. Se uma funo no limitada em ento ela no integrvel em . Desafio: encontre um exemplo de funo no limitada em [0,1]x[0,1]X[0,1], e assim voc ter um exemplo de funo no integrvel.Cristina Cerri - 2010

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Integrais triplas sobre regies

Integrais Triplas sobre RegiesConsidere uma regio limitada S do R3, isto , S est contida num paraleleppedo P, e seja f(x,y,z) uma funo definida em S. Como fizemos para integrais duplas vamos definir a integral tripla de f em S usando a integral tripla de uma funo auxiliar F(x,y,z) em P. Defina F(x,y,z) = f(x,y,z) em S e F(x,y,z) = 0 nos pontos que esto em P, mas no em S.

Dizemos que f integrvel em S, se F integrvel em P e definimos a integral tripla de f(x,y,z) sobre S como sendo . Como no caso das integrais duplas, como F nula nos pontos de P-S, a definio acima no depende da escolha do paraleleppedo P. As mesmas propriedades vlidas para integrais duplas so tambm vlidas para integrais triplas (veja Integrais Duplas sobre Regies). Como voc sabe existem funes que no so integrveis. Contudo, assim como para funes de duas variveis, a integrabilidade da f pode ser garantida quando f contnua em S e a regio S de um tipo especial. Note que se f contnua em S a funo F definida acima ser descontnua num conjunto que contm o bordo de S. Logo para existir a integral esse bordo deve ser "magrinho", ou seja, no pode ter volume em R3. Estes so os tais conjuntos de contedo nulo. Por exemplo, um segmento de reta ou um pedao de plano so conjuntos com volume nulo. Formalmente um conjunto A tem contedo nulo, se dado > 0 arbitrrio, existem paraleleppedos P1 , P2 , ... Pn , de arestas paralelas aos planos coordenados, tais que A est contido na unio P1 U P2 U ...U Pn e a soma dos volumes Temos ento o seguinte resultado. TEOREMA. .

O prximo resultado nos d varios exemplos de conjuntos desse tipo. PROPOSIO. Seja D um subconjunto limitado do plano, com bordo de contedo nulo. Se g uma funo contnua e limitada em D, ento seu grfico um subconjunto de contedo nulo no R3. Superfcies parametrizadas tambm so exemplos de conjuntos de volume nulo. Por isso trabalharemos com regies S cujo bordo formado por grficos de funes contnuas. Vamos destacar alguns tipos dessas regies que aparecem com mais frequncia.www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-2-inttripla-regiao.html 1/2

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Integrais triplas sobre regies

1. Regio do Tipo I. So regies do espao da forma

onde u1 e u2 so funes contnuas em D. Um exemplo:

2. Regies Tipo II. So regies do tipo onde v 1 e v 2 so funes contnuas em D. Um exemplo:

3. Regio Tipo III. So regies do tipo onde w1e w2 so funes contnuas em D onde D a projeo de S no plano xz. (exerccio: faa um desenho deste tipo de regio). Observao importante: O bordo de S contitudo da unio dos dois grficos e das superfcoes que constituem as "laterias" pois S um slido no espao. Veja no texto sobre Clculo de Integrais Triplas como calcular integrais deste tipo.Cristina Cerri - 2010

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Clculo de Integrais Triplas

Clculo de Integrais TriplasComo calcular integrais triplas? Como no caso de Integrais Duplas, se f est definida num paralaleleppedo temos as integrais iteradas. E como antes no importa a ordem que fazemos o clculo. S que neste caso como temos trs variveis teremos 6 combinaes possveis. Este resultado tambm devido a Fubini. Teorema de Fubini. Se f uma funo integrvel em P = [a,b][c,d][p,q] ento

Exemplo 1: Se P = [0,1] [-1,2] [0,3] e f(x,y,z) = xyz2 ento

Exemplo 2: A integral tripla da funo f(x,y,z) = x sen(y+z) em P, onde P o cubo de arestas os segmentos [0,1] nos eixos x,y e z

. E como podemos calcular a integral tripla em regies dos tipos I, II e III? Veja clicando aqui.Cristina Cerri - 2010

www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-3-inttripla-calculo.html

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Clculo de Integrais Triplas sobre Regies

Clculo de Integrais Triplas sobre RegiesComo no caso de integrias duplas para calcular integrais triplas usamos as integrais iteradas e o Teorema de Fubini. Vamos ver como fica a integral tripla no caso de S ser do tipo I, II ou III. 1. Regio Tipo I. Seja S do tipo onde u1 e u2 so funes contnuas em D (D a projeo de S no plano xy), e D como as regies vistas anteriormente em Integrais Duplas. Ento

Assim usando integrao iterada, dependendo da regio D podemos ter

ou

2. Regies Tipo II. Seja S do tipo

onde v 1 e v 2 so funes contnuas em D ( D a projeo de S no plano yz) e D como as regies vistas anteriormente em Integrais Duplas. Ento

Da mesma forma que antes, podemos ter dois tipos de integrao, dependendo da forma da regio D.

ou

3. Regies Tipo III. Seja S do tipo

onde w1e w2 so funes contnuas em D onde D a projeo de S no plano xz. Tambm nesse caso

E pode-se ter dois tipos de integrao, dependendo da forma da regio D.www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-3-1-inttripla-calculo-regiao.html 1/3

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ou

Melhor mesmo ver um exemplo. Exemplo. Calcule 4. Lembre sempre que S o slido cheio. Pode-se descrever esta regio de vrias formas. Projetando S no plano xy temos a regio D limitada pela parbola y = x 2 (z = 0) e a reta y = 4. onde S a regio limitada pela parbola y = x 2 + z2 e pelo plano y =

E se (x,y) est nesta regio D ento E assim

Entretanto a integral que temos que calcular um pouco complicada (vai ter que fazer mudana de varivel). Vamos tentar escapar disto vendo S de outra maneira. Projetando S no plano xz temos um disco D de raio 2 e centro na origem (pois encontramos a interseco fazendo x 2 + z2 = 4). Para (x,z) em D temos que y varia entre v 1(x,z) = x 2 + z2 e v 2(x,z) = 4.

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Ento fazendo a mudana para coordenadas polares

temos

Importante: Na integrao dupla ou tripla cada vez que se integra com relao a uma determinada varivel ela deve "desaparecer", pois estamos fazendo uma integral definida, e o que sobra apenas funo das variveis restantes. O resultado de integrao dupla ou tripla sempre um nmero.Crisitna Cerri-2010

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Mudana de Varivel

Mudana de Variveis em Integrais TriplasComo nas integrais duplas, podemos fazer mudana de variveis em integrais triplas para facilitar os clculos. Uma mudana de coordenadas em R3 uma transformao de um aberto do R3 em R3 , que contnua e injetora. Por exemplo, (u,v,w) = (x(u,v,w), y(u,v,w), z(x,y,w)) = (u + w, v - w , u - v ) uma mudana de coordenadas. O Jacobiano de

Numa transformao o volume de slidos nem sempre presenvado. Por isso quando fazemos uma mudana de variveis temos que fazer uma correo para manter a ingualdade na integrao. Vale o seguinte TEOREMA. Seja uma transformao de uma aberto de R3 em R3 de classe C1 onde (u,v, w) = (x(u,v,w), y(u,v,w), z(x,y,w)). Seja Duvw subconjunto de limitado, com bordo de contedo nulo tambm em , e Dxyz = (Duvw). Suponha que injetora e o Jacobiano J(u,v,w) no nulo o interior de Duvw. Se f contnua em Dxy ento

onde Dxyz a regio de integrao descrita nas variveis x,y e z, Duvw, a mesma regio descrita com as varivies u,v e w . Ateno: na frmula aparece o mdulo do Jacobiano!

Exemplo. Calcule para D limitada por: x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y - z = 0, x + y - z = 2, x - y - z = 1, x - y - z = 2. Solio. Note que D uma regio limitada por planos. Fazendo u = x + y + z, v = x + y - z e w = x - y - z transformamos a regio D no paraleleppedo [1,2] [0,2] [1,2] no sistema de coordenadas Ouvw.

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Mudana de Varivel

Ento

Como usamos o mdulo do Jacobiano temos

As mudanas de variveis mais comuns so as mudanas por coordenadas cilndricas e coordenadas esfricas. Veja em outros textos detalhes sobre essas mudanas de coordenadas . Leia mais em 15.9 de [S] e III.5 e IV.5 de [BCHS].Cristina Cerri - 2010

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Integrais Tripla - Coordenadas Cilindricas

Mudana de Variveis em Integrais Triplas Coordenadas CilndricasUm ponto P do espao pode ser descrito em coordenadas cartesianas (x,y,z), mas tambm pode ser descrito com coordenadas chamadas cilndricas. Dado um sistema de coordenadas cartesiano e um ponto P de coordenadas (x,y,z) , podemos descrever (x,y) em coordenadas polares, no plano Oxy. Ento temos uma terna (r, , z) onde x = r cos e y = r sen e z = z.

Para obter todos os ponto do espao basta variar entre 0 e 2, tomar r real positivo e z qualquer nmero real. Nesse caso, se fazemos essa mudana de variveis, como J (r,, z) = r (verifique! ) ento da frmula geral de mudana de varivel em integral tripla temos

Exemplo 1: Calcule 2.

onde S a regio interior ao cone z2 = x 2 + y2 para z entre 0 e

Note que

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onde D o disco de centro 0 e raio 2. Em coordenadas cilndricas temos

Exemplo 2 (questo da 1 prova de 2000). Seja D a regio do espao interior ao cilindro x2 + y2 = 16 e exterior ao cilindro x2 + y2 - 4x = 0 , compreendida entre os planos z = 0 e z = y + 6. Calcule

Soluo: A regio D

Para calcular a integral percebemos que a regio D mais facilmente descrita em coordenadas cilindricas. Contudo temos que separ-la em duas regies. Considere D1 a regio compreendida entre os planos e interior ao cilindro maior e D2 a regio compreendida entre os planos e interior ao cilindro menor. Usando coordenadas cilndricas temos as seguintes parametrizaes (em r, , z)

Ento

=0


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Portanto

OBS: O nome coordenadas cilindricas vem do fato de que um retngulo em 0r z transformado em um setor de cilindro. Verifique que se 0 < r < a, 0 < < 2 e 0 < z < b , ento temos um cilindro de raio a e altura h.

No esquea: na mudana de coordenadas cilndricas o Jacobiano r.Cristina Cerri-2010


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Integrais Triplas - Coordenadas Esfericas

Mudana de Variveis em Integrais Triplas Coordenadas EsfricasUm ponto P do espao pode ser descrito em coordenadas cartesianas ( ), mas tambm pode ser descrito com coordenadas chamadas esfricas. Dado um sistema de coordenadas cartesiano e um ponto P de coordenadas ( ) , podemos descrever ( ,z) usando variveis , , , onde o comprimento do segmento OP, o ngulo que este forma com o eixo e representa o ngulo que a projeo de OP forma com o eixo . Ento

x = sen cos y = sen sen z = cos .

Um ponto P do espao pode ser escrito tanto em coordenadas cartesianas ( ) como em coordenadas esfricas (,, ) . Para representar todos os pontos fazemos qualquer real positivo, variando de 0 a 2 e de 0 a . Note que no sistema de coordenadas cartesianas uma esfera de raio o conjunto que em coordenadas esfricas passa a ser o paraleleppedo [0,a][0,][0,2]. Por isso essas coordenadas so chamadas de esfricas. Note que um retngulo no sistema se transforma num setor esfrico em ..

Se queremos calcular uma integral tripla sobre uma regio que mais facilmente descrita em coordenadas esfricas devemos fazer uma mudana de varivel. Como vimos, no caso geral temos que

No caso de coordenadas esfricas temos que o Jacobiano 2 sen .

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Integrais Triplas - Coordenadas Esfericas

E ento

Como no caso das integrais duplas o Jacobiano far a correo necessria para manter a igualdade das integrais, j que o volume por esta mudana no preservado. Uma esfera de raio o conjunto que em coordenadas esfricas passa a ser o paraleleppedo [0,a][0,][0,2]. Sabemos que o volume da esfera 4a3/3, mas o volume do paraleleppedo 2 2 a . Logo o volume no preservado atravs da mudana de coordenadas esfricas. Quando definimos integral fizemos parties do domnio de integrao. Vamos particionar o domnio em pequenos setores esfricos. Gostariamos de estabelecer alguma relao entre o volume de um pedao da esfera, onde

Considerando que so as variaes das respectivas coordenadas e supondo que so pequenos temos que o volume da regio aproximadamente 2 sen (e no apenas ). Portanto razovel que este seja o fator de correo quando se passa de coordenadas cartesianas para esfricas numa integrao. Veja exemplos e aplicaes clicando aqui. - 2010

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Coordenadas Esfericas - Exemplos

Integrais Triplas em Coordenadas Esfricas ExemplosExemplo 1. Calcule sendo S a regio interior ao cone 2 = 2 + 2 , com positivo, e limitada pela esfera 2 + 2 + 2 = 2 (esfera de centro (0,0,1) e raio 1). Soluo:

A equao 2 + 2 + 2 = 2 em polares fica = 2cos. A interseco do cone com a esfera quando z = 1 e x2 + y2 = 1. O ngulo varia de 0 at o encontro da esfera com o cone que quando z = 1 e da temos que o ngulo /4. Ento nossa regio que o interior do sorvete

Logo

Exemplo 2. (questo da 1 prova de 2000) Seja z2 = 4 e pelos planos y = 0 e Soluo: . Calcule

a regio do primeiro octante limitada pela esfera x2 + y2 +

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Coordenadas Esfericas - Exemplos

Em coordenadas esfricas a parametrizao de

Portanto

No se esquea o Jacobiano 2 sen nas mudana para coordenadas esfricas.- 2010

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Aplicaes de Integrais Triplas

Aplicaes de Integrais Triplas1. Massa e VolumeDe forma anloga ao que fizemos para lminas planas podemos calcular a massa de slidos usando integrais triplas. Considere um slido S que pode ser descrito como uma regio S limitada do R3 cujo bordo tem contedo nulo (do Tipo I, II ou III, por exemplo), e tal que a densidade de massa do material uma funo (x,y,z) positiva e contnua em S. Ento a massa de S definida por

Se a densidade constantemente 1, ento a massa coincide com o volume de S, que definido por

Note que em particular se D uma regio plana com bordo de contedo nulo e se f (x,y) uma funo contnua e positiva em D, e se ento

ou seja como j tinhamos anteriormente.

2. Centro de MassaDe forma anloga ao que fizemos para lminas planas podemos calcular o centro de massa de slidos usando integrais triplas. Se S como antes e (x,y,z) uma funo positiva e contnua em S que representa a densidade do material ento o centro de massa de S um ponto de coordenadas

onde

3. Momento de InrciaTambm podemos definir os momentos de inrcia de um slido S com relao aos eixos coordenados. As frmulas de cada momento de inrcia em relao aos eixos x, y e z , respectivamente so

Exerccio: Seja S o slido limitado pela "calha" x = y2 e pelos planos x = z, z = 0 e x = 1.www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-7-inttripla-aplica.html 1/2

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Aplicaes de Integrais Triplas

(a) Calcule o volume de S (b) Encontre o centro de massa de S considerando que a densidade constante. Soluo: A regio S

Projetando S no plano xy temos a regio

Ento (a) O volume de S

(b) Como a densidade constante k em S (isto , (x,y,z) = k) a massa de S ser simplesmente k.V(S). Como a regio e a funo (x,y,z) so simtricas com relao ao plano xz ento a segunda coordenada do centro de massa 0. Calculado as outras temos que

que no dependem de k. OBS: Veja mais sobre isso em 15.7 de [S] e IV.6 de [BCHS]. E faa os exerccios da Lista 1.Cristina Cerri

- 2010

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Curvas

CurvasSeja uma aplicao de um intervalo I da reta em R2 ou R3. Ento para cada valor de t em I temos vetores (t) = (x(t),y(t)) ou (t) = (x(t),y(t), z(t)). A imagem de (trao de ), que o conjunto dos pontos (t) = (x(t),y(t)) ou (t) = (x(t),y(t), z(t)), onde t pertence a I, chamado de curva. As funes x(t), y(t) e z(t) so as chamadas de parametrizaes de . Uma curva pode ser vista como a trajetria de uma partcula no plano ou no espao num intervalo de tempo I. Nesse caso, (t) = (x(t),y(t), z(t)) a posio da partcula no instante t. Uma curva pode ter vrias parametrizaes. Por exemplo, a curva plana formada pelos pontos (x,y) tais que x 2 + y2 = 1 pode ser parametizada de vrias maneiras: (1) x(t) = cos(t) e y(t) = sen(t), onde t varia de 0 a 2 ; (2) x(t) = sen(2t) , y(t) = cos(2t), onde t varia de 0 a . Se as funes x(t),y(t) e z(t) so contnuas, dizemos que contnua; se x(t),y(t) e z(t) so derivveis, dizemos que derivvel. Nesse caso, '(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) chamado de vetor tangente a curva no ponto (t). Dizemos que uma curva lisa, se ' contnua e se '(t) diferente do vetor nulo no interior de I. Se o intervalo I unio finita de intervalos I1 , I2 ,...In e se a curva contnua e lisa em cada intervalo Ik , ento dizemos que lisa por partes.

Exemplos. 1. Uma parametrizao da curva dada pela interseco do cilindro x 2 + y2 = 1 e o plano y + z = 2 x(t) = cos(t) , y(t) = sen(t) e z(t) = 2-sen(t) onde t varia de 0 a 2.

2. A curva dada por x(t) = t cos(t) , y(t) = t sen(t) e z(t) = t est contida no cone z2 = x 2 + y2

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Curvas


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Integral de Linha de Campo Escalar

Integral de Linha de Campo EscalarDefiniremos aqui a chamada Integral de Linha de uma funo f a valores reais. Esta integral semelhante a integral de Riemann de funes que foi vista no Clculo 1. A diferena que em vez de fazermos a integrao sobre um intervalo faremos a integrao sobre uma curva . Este tipo de integral foi desenvolvida no incio do sculo 19 para resolver problemas envolvendo escoamento de fluidos, eletricidade, magnetismo etc. Vamos comear tomando uma curva (t) = (x(t),y(t)) onde t pertence ao intervalo [a,b]. Vamos assumir que a curva lisa, isto , que ' contnua e que '(t) diferente do vetor nulo. Particionando o intervalo [a,b] em k subintervalos [t i -1 , t i] temos os correspondentes pontos na curva Pi = (x(t i),y(t i)). A imagem do intervalo [ti -1 , ti] o pedao da curva (arco) que vai de Pi-1 a Pi . Vamos denotar por si o comprimento de cada um desses arcos. A curva fica dividida em sub-arcos de comprimentos s1, s2, ... sn .

Mas com arcos bem pequenos podemos dizer que

. Portanto para obter o comprimento

da curva basta somar todos os comprimentos dos arcos. fazendo o limite para t i vai a zero temos uma integral. O comprimento da curva ento dado por

Vamos generalizar. Suponha que representa um arame fino com densidade de massa varivel dada por uma funo f positiva e contnua definida num aberto que contem o trao de . Desejamos calcular a massa total do arame. Considere a funo , n = 2 ou 3, isto , o domnio D de f um subconjunto do plano ou do espao e a imagem de f um subconjunto da reta real. Suponha que o domnio D contm a curva (lembre que isto quer dizer que a imagem (t)=(x(t),y(t)) est contido em D, para todo t em [a,b]).

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Calculando f em Pi , multiplicando pelos comprimentos do arco si e somando tudo temos uma aproximao da massa total.

Fazendo o limite para parties de forma que os intervalos [ti -1 , ti] sejam de tamanho cada vez menores devemos melhorar a aproximao. Note que a soma acima tipo uma Soma de Riemann. Ento a massa procurada deve ser esse limite (quando existir). Temos ento a seguinte definio. Definio: A integral de linha de ao longo de

quando tal limite existe. Chamada de integral de linha de um campo escalar (que a funo ). Mas o comprimento de um pequeno arco da curva aproximadamente o tamanho do vetor tangente, assim

lembrando que ou u Se f for uma funo contnua o limite acima sempre existe. Ento a integral de linha de sobre

Se f representa a densidade de massa, a integral acima nos d a massa total do arame. Exerccio importante: Aparentemente a definio acima depende da particular parametrizao da curva. Mas seria estranho j que a massa total no deve depender na parametrizao, mas apenas do formato da curva. Prove que a integral de linha no depende da parametrizao de .


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Note que comprimento de uma curva que uma integral de linha pois

Se temos uma curva lisa por partes, isto , se a unio finita de curvas lisas 1 , 2 , ... n onde o ponto inicial de +1 coincide com o ponto final de , ento definimos a integral de f ao longo de por

Exerccio. Denota-se por - a curva que tem os mesmo pontos de mas com orientao contrria. Mostre que integrais de linha

so iguais.

Clique aqui e veja exemplos e aplicaes deste tipo de integral.Cristina Cerri - 2010


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Integral de Linha - Exemplos e Aplicaes

Integral de Linha de Campo Escalar Exemplos e AplicaesAlgumas AplicaesConsidere um cabo delgado entortado em forma de uma curva de R2 (ou R3). Se a densidade linear uma funo contnua (x,y) (ou (x,y,z)) a massa e o centro de massa do cabo podem ser calculadas. Suponha que (t) = (x(t),y(t)) uma curva lisa onde t percorre o intervalo [a,b]. O comprimento do cabo o comprimento da curva e a integral

A massa do cabo M

O centro de massa do cabo definido como sendo o ponto de coordenadas

Alguns Exemplos1. Calcule , para t entre 0 e 2 . Soluo: onde a hlice circular de equao x(t) = cos t , y(t) = sin t e z(t) = t

2. Seja um cabo que dobrado na forma de um semi-crculo x 2 + y2 = 4 para x positivo. Se a densidade linear uma constante K, determine a massa e o centro de massa do cabo. Soluo: O trao da curva x 2 + y2 = 4 que nos d o cabo est no semi- plano direito e uma semicircunferncia, pois x positivo. Parametrizando a curva temos (t) = (2cos t , 2 sen t ) para t entre -/2 e /2. Derivando temoso vetor tangente a curva : '(t) = (-2sen t , 2cos t ) ento |'(t)| = 2. Portanto, sendo a densidade constante (x,y) = K, temos que: Massa:

Centro de massa:

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Integral de Linha - Exemplos e Aplicaes

Por simetria temos que a coordenada y do cntro de massa 0 (verifique!). Portanto o centro de massa , (/4, 0). OBS: Como a densidade constante e a curva simtrica com relao ao eixo x nem pecisariamos calcular para saber que o centro de massa do cabo estaria do eixo x. Mas cuidado: se a densidade no for constante isto pode no ocorrer. ATENO: Para aprender bem estes conceitos e obter um bom aproveitamento os textos na WEB acima no suficiente. Apresentamos aqui apenas um resumo da teoria com alguns exerccios. Voc deve estudar pelo livro ( por exemplo [S] ) e fazer os exerccios da Lista 2.Cristina Cerri - 2010

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Campos Vetoriais

Campos VetoriaisO "vento" possui uma direo, um sentido e uma intensidade. Assim uma boa representao do "vento" em cada instante e em cada ponto do espao um vetor. Este um tpico exemplo de um campo de vetores. Outro exemplo um campo de fora: a cada ponto associa-se um vetor "fora", que tem intensidade, direo e sentido.

Em linguagem matemtica um campo de vetores do R2 , ou do R3, uma funo que associa a cada ponto (x,y), ou (x,y,z), de uma regio D , um vetor do R2, ou do R3 . Podemos escrever onde P e Q so funes de D no conjunto dos numeros reais R. Ou escrevemos onde P, Q e R so funes de D em no conjunto dos numeros reais R. Um campo dito contnuo se as funes P, Q e R so contnuas. E de classe C1 se P, Q e R so C1. So muitos os exemplos de campos vetoriais, principalmente em Fsica. Um tipo importante de campo o campo gradiente e os campos conservativos. Associado a um campo temos outro campo chamado de rotacional.Tambm pode-se calcular o divergente de um campo, obtendo-se uma funo. Clique em cada link e recorde.Cristina Cerri - 2010

www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-3-campos.html

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Campos gradientes

O Campo Gradiente - Campos ConservativosDada uma funo f de D subconjunto do R2 (ou R3) a valores em R (conjunto dos nmeros reais) com derivadas parciais, o campo gradiente de f o campo que a cada ponto (x,y) (ou (x,y,z)) de D associa-se o vetor

ou

. Obs: comum e prtica a notao

com verso anloga para o caso R2 . Um campo de vetores chamado campo conservativo se ele um campo gradiente de alguma funo f, isto , se existe uma funo f tal que . Nesta situao chamamos de f potencial de .

Um exemplo: Da Lei de Gravitao de Newton a intensidade da fora gravitacional entre dois objetos de massa M e m F = mMg/r2, onde r a distncia entre os objetos e g a constante gravitacional. Vamos assumir que um objeto de massa M est localizado na origem de R3 (por exemplo M pode ser a massa da Terra e a origem seu centro). Se o objeto de massa m est no ponto (x,y,z) ento a fora gravitacional que est agindo em m

Temos aqui um exemplo importante de campo vetorial, chamado de campo gravitacional. Este um exemplo de campo conservativo pois

um potencial para

. ( verifique !)

Para pensar: Todo campo conservativo? Quando o campo conservativo s existe um potencial para este campo? Como so todos os pontenciais de um campo conservativo?www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-3-1-gradiente.html 1/2

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Rotacional

O RotacionalDado um campo vetorial definido em D, subconjunto do R3 , tal que P, Q e R possuam derivadas parciais em D, ento o rotacional de

. que um campo de vetores defindo em D. Simbolicamente podemos denot-lo como um produto vetorial ou o determinante de uma "matriz":

. Se ento .

Um exerccio: Tomando uma funo f de classe C2 , verifique que


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Divergente

O DivergenteDado um campo vetorial definido em D, subconjunto do R2 , tal que P e Q possuam derivadas parciais em D, ento o divergente de

. Analogamente, se possuam derivadas parciais tal que P, Q e R

. Note que o divergente uma funo de D a valores em R (conjunto dos nmeros reais). Simbolicamente o divergente pode ser expresso como o produto interno

. Um exerccio: Se que um campo de classe C2 , isto , as funes P, Q e R so de classe C2 , verifique


www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-3-3-divergente.html

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Integrais de Linha de Campos Vetoriais

Integrais de Linha de Campos VetoriaisConsidere uma partcula que se move no plano ao longo da curva (t) = (x(t),y(t)), onde t pertence ao intervalo [a,b], isto , em cada instante t a partcula encontra-se na posio (t). Suponha que ela est sob a ao de um campo de foras

Queremos calcular o trabalho realizado pela fora dado pelo produto escalar .

quando a partcula se desloca de (a) at (b). Se

fosse uma fora constante e se a partcula se deslocasse sob um segmento de reta AB ento o trabalho W

Dividindo o intervalo [a,b] em pequenos subintervalos [t i-1 , t i] criamos pequenos arcos na curva (t): ([t i-1 ,t i]) . Se estamos com intervalos pequenos o deslocamento de Ai-1 = (t i-1) a Ai = (t i) aproximadamente um deslocamento ao longo do segmento Ai-1Ai . Se tambm a variao de ao longo do arco ([t i-1, t i]) for muito

pequena podemos pensar que quase constante. Assim o trabalho neste trecho ser aproximadamente

onde x i = x(t i) - x(t i-1) e yi = y(t i) - y(t i-1) . Aplicando o TVM podemos dizer que o trabalho total

Assim uma definio razovel de trabalho

Pode-se fazer raciocnio anlogo para o caso de R3.

Definio: Sejam (t) = (x(t),y(t)) (ou (t) = (x(t),y(t),z(t)) ) curva lisa por partes e cujo domnio contm a curva. A integral de linha dewww.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-4-intlinha-vetorial.htm

campo contnuo

ao longo de

dt

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Integrais de Linha de Campos Vetoriais

dtNo caso R2 fica

No caso R3 fica

Usando a notao dx = x'(t)dt , dy = y'(t)dt e dz = z'(t)dt podemos escrever que ou Importante: No difcil provar que a integral de linha no depende da particular parametrizao da curva, desde que no se inverta a orientao da curva. Veja alguns exerccios resolvidos, clicando aqui.Cristina Cerri- 2010.

www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-4-intlinha-vetorial.htm

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Integrais de Linha - Exercicios

Integrais de Linha de Campos Vetoriais Exemplos1. Calcule para entre 0 e 2. sendo e a curva a hlice ( ) = (cos ,sin , ),

Soluo:

2. Calcule o trabalho realizado pelo campo de fora

quando uma partcula se move

ao longo da curva ( ) = (cos ,sin ), para entre 0 e /2 (a quarta parte da circunferncia 2 + 2 = 1, partindo de (1,0) at (0,1)) . Soluo:

3. Calcule o trabalho realizado pelo campo de fora

quando uma partcula se move

ao longo da curva ( ) = (sin( ),cos( )), para t entre 0 e /2 (a quarta parte da circunferncia 2 + 2 = 1, partindo de (0,1) at (1,0)). Soluo: Neste caso

www.ime.usp.br/mat/mat2455//3-4-1-intlinha-vetorial-exemplos.htm

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Integrais de Linha - Exercicios

4. Nos dois exemplos anteriores temos o mesmo campo e curvas com o mesmo trao. Por que as integrais so diferentes? Resposta: As curvas tem o mesmo trao, mas no exemplo 2 estamos percorrendo-a no sentido antihorrio enquanto no exemplo 3 no sentido horrio. Em geral, vale que .Verifique isto !

5. Considere o mesmo campo do exemplo 2, mas a curva ( ) = (cos(2 ),sin(2 )), para entre 0 e . Calcule a integral de linha . Soluo:

6. As respostas dos exerccios 2 e 5 so iguais. Como se explica isso? Resposta: As curvas dos dois exerccios so iguais (trao e sentido) s foram parametrizadas de formas diferentes. A integral de linha no depende da parametrizao, desde que no se inverta sua orientao.2010

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O Teorema de Green

O Teorema de GreenO Teorema de Green nos d uma relao entre integrais de linha sobre curvas fechadas e integrais duplas sobre regies limitadas pela curva. um resultado muito importante e com muitas aplicaes. Para compreend-lo precisamos de algumas definies. Uma curva em [ ] dita fechada, se os pontos inicial e final coincidem, isto , ( ) = ( ). Uma curva chamada de simples se a curva no se auto-intercepta entre o ponto inicial e final. Formalmente, uma curva simples se ( ) diferente de ( ) , para todo . Veja alguns exemplos de curvas planas:

As regies que vamos considerar nas hipteses do Teorema de Green so regies planas fechadas e limitadas cuja fronteira (ou bordo) composto por um nmero finito de curvas simples, fechadas, lisas por partes, duas a duas disjuntas. Um exemplo de regio assim a regio ao lado.

O Teorema de Green estabelece uma relao entre a integral de linha de um campo sobre as curvas da fronteira de e a integral dupla sobre a regio da componente do rotacional deste campo. Teorema de Green Seja uma regio fechada e limitada de R2 cuja fronteira (ou bordo), denotado por formada por um nmero finito 1 , 2 ,..., n de curvas simples, fechadas e lisa por partes, duas a duas disjuntas orientadas no sentido que deixa esquerda das curvas. Seja um campo vetorial de classe C1 (as derivadas parciais de P e Q so contnuas) em um aberto que contem . Entowww.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-5-intlinha-teogreen.html 1/3

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ou pode-se escrever onde a integral de linha a soma de integrais sobre as curvas componentes da fronteira (ou bordo) de , isto , = 1 + 2 + ... + n.

Ateno. A orientao das curvas que compoem a fronteira de para o Teorema acima seja vlido aquela que deixa a regio esquerda. Ou seja, ao caminharmos sobre a curva a regio fica sempre esquerda. Esta orientao definimos como positiva. Na regio ao lado o bordo de formado por 4 curvas e a orientao do bordo para que o Teorema seja verdadeira a indicada na figura.

A prova deste Teorema bem complicada, mas no caso de regies simples mais fcil e pode ser encontrada em [BCHS] (veja pgina 230), em [S] ou em muitos outros livros. Vale a pena ler estas demostraes para compreender por que o resultado vale. Vamos ver nos prximos textos algumas aplicaes do Teorema de Green. Obs: Alguns textos usam a notao fechadas. quando se trata de integrais de linha de curvas

Exerccios: Clique aqui veja alguns exerccios resolvidos. Faa tambm os exerccios da Lista 2.www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-5-intlinha-teogreen.html 2/3

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Teorema de Green - Exerccios

O Teorema de Green - Exerccios ResolvidosExerccio 1. Calcule para o bordo do quadrado de vrtices (0,0) , (1,0), (1,1) e (0,1) orientado positivamente (anti-horrio) . Obs: Alguns textos usam a notao fechadas. Soluo: Claramente poderamos calcular diretamente esta integral:

quando se trata de integrais de linha de curvas

Usando o Teorema de Green: seja o quadrado de vrtices (0,0) , (1,0), (1,1) e (0,1). Note que o campo 3 ) = ( ( ), ( )) est definida em D. As funes e tem derivada parciais contnuas F( ) = ( 2 em e a curva est orientada de forma a deixar a regio D a esquerda. Ento aplicando o Teorema de Green vale que

claro que o Teorema mais til quando alguma das integrais envolvidas muito difcil de calcular. Exerccio 2. Calcule centrado na origem orientado no sentido anti-horrio. Soluo: Ao se tentar calcular diretamente a integral de linha acima logo se chega a integrais complicadas (verifique isso!). Uma sada tentar usar o Teorema de Green. Tome o disco de raio 3 centrado na origem (interior do crculo). O campo ( ) = (3 + sin , 7 + ( 4 + 1)1/2 ) est definido em e as funes e tem derivadas parciais contnuas. Portanto usando o Teorema de Green temos que onde o crculo de raio 3

O Teorema de Green nos permite passar de integrais de linha complicadas para integrais de linha mais simples de se calcular. Exerccio 3. Calcule onde onde o

grfico de y = cos x percorrido de (-/2, 0) a (/2,0). Soluo: Tentado calcular diretamente a integral de linha iremos encontrar funes cujas integrais no so simples. Assim vamos usar o Teorema de Green. Para isso temos que criar uma regio cujo bordo (ou fronteira) contenha a . Uma idia obter uma curva fechada usando o segmento [ -/2, /2]. Com isso criamos uma regio D do plano (a regio amarela) que tem como bordo (ou fronteira) a curva e owww.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-5-1-intlinha-teogreen-ex.html 1/3

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segmento [ -/2, /2].

Orientando as curvas de forma que a regio fica a esquerda (no desenho indicamos a orientao) podemos usar o Teorema de Green. E assim temos que

Note que a orientao da curva dada no a que deve ser usada no Teorema de Green. Por isso aparece o sinal "-" na frente da integral de linha de .

Muito cuidado ao se usar o Teorema de Green. Todas as hipteses devem ser verificadas. comum os alunos se esquecerem de verificar se a regio D est contida no domnio do campo. Exerccio 4. Calcule a integral de linha de sobre uma curva fechada,

simples, lisa por partes qualquer que contem a origem no seu interior, percorrida uma vez no sentido antihorrio. Soluo: Temos que (verifique!!). O aluno apressado vai concluir que a integral de

linha zero, usando o Teorema. Errado!!!!! O aluno deve ter pensado em usar como regio a regio interior a curva . Mas o campo em questo no est definido na origem! E (0,0) pertence a onde o campo no est definido!!!! No podemos usar o Teorema de Green para esta regio. Note, entretanto que podemos pegar outra regio que "isola" o ponto (0,0).

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Tomemos um crculo r de centro na origem e raio r que est no interior da curva (sempre existe?). Agora sim pelo Teorema de Green

Portanto sendo r ( ) = (r cos , r sin ) para t em [0,2] temos uma parametrizao de r no sentido antihorrio, e assim

OBS: Para curvas contnuas, fechada e simples vale um Teorema (de Jordan) que afirma que a curva divide o plano em duas partes: uma regio fechada e limitada, que o interior da curva e outra no limitada, em ambas o bordo a curva dada.2010

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Campos Conservativos

Campos Conservativos - DefinioPara funes de uma varivel real o Teorema Fundamental do Clculo nos d a seguinte igualdade

para funes f tais que f funo integrvel. Vamos estabelecer um resultado semelhante para funes f(x,y) de duas ou f(x,y,z) de trs variveis. Neste caso, a e b seriam substituidos por pontos A e B do plano ou do espao. A integral que faria sentido seria a integral de linha, pois podemos pensar em vrios caminhos que ligam A a B. Mas o que substituiria a derivada? Vamos fazer algumas contas. Tomemos uma curva de [a,b] em R2 ou R3, lisa por partes, e uma funo f de classe C1 cujo domnio contm a curva . Calculando, temos

Portanto se temos um campo vetorial contnuo

tal que

ento vale, nas condies acima, que

Um campo de vetores funo , isto , se

chamado de . Nesta situao chamamos de

se ele um campo gradiente de alguma

Assim o que mostramos acima pode ser escrito da seguinte forma: Se um campo gradiente, ou conservativo contnuo em , subconjunto de R2 (ou R3 ), e se

uma curva de [a,b] em R2 (ou R3 ) curva lisa por partes contida em ento

Note que o valor da integral de linha de um campo gradiente sobre uma curva s depende do ponto inicial e final da curva e no da particular curva. E portanto a integral de linha de um campo gradiente sobre qualquer curva fechada lisa por partes 0. Ateno: No verdade que todo campo conservativo: sejam e dois caminhos

ligando os pontos (-2,0) a (0,2) : 1 (t) = (2cos t , 2sin t ) para t em [/2, ] e 2 o segmento ligando (-2,0) a (0,0) e de (0,0) a (0,2).

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Campos Conservativos

Ento

Como os valores so diferentes concluimos que o campo no conservativo. Mas e se temos um campo cujas integrais ao longo de qualquer curva so iguais podemos concluir que o campo conservativo? Vamos estudar esta questo. Clique aqui e leia sobre isso.Cristina Cerri - 2010.

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Campos Conservativos - Caracterizaes

Campos Conservativos - CaracterizaesTome um campo definido em subconjunto do R2 que tem a seguinte propriedade: dados dois pontos A e B do domnio , o valor das integrais de linha do campo sobre curvas ligando A a B em no dependem da curva, ou seja, s dependem dos pontos finais e iniciais. Ser que o campo conservativo? Queremos encontrar uma funo potencial f tal que ,

Para funes reais sabemos do TFC que

.

Usando essa idia vamos definir f da seguinte forma: se X = (x,y) e uma curva qualquer ligando A a X tome

Note que por hiptese a integral no depende da particular curva o valor no depende de . De fato, resumidamente teriamos

e analogamente podemos mostrar que

. ( para uma prova mais detalhada veja [BCHS] VI.4

ou em [S] ou em [G]). Portanto parece que a resposta sim. Mas para provar usamos que existe uma curva ligando A a X em D. Mas ser que sempre existe uma curva ligando A a X em D ? Veja a seguinte regio D:

Para esta regio no existe uma curva ligando A a X toda contida em . Assim o que fizemos funciona em certas regies que so chamadas de conexas. Um conjunto dito conexo se para dois pontos quaisquer de existe uma curva curva lisa por partes contida em ligando esses pontos . Lembramos que um subconjunto do R2 ou R3 dito aberto se para todo ponto P de existe uma bola (disco ou esfera) de centro P contida em . Desta forma o que vimos acima um esboo da prova do seguinte Teorema, importante e til. Se um campo contnuo num domnio aberto conexo do R2 ou R3 tal que para cada

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Campos Conservativos - Caracterizaes

par de pontos (A,B) a integral de linha de

a mesma ao longo de qualquer curva lisa

contida em ligando A e B, entao o campo conservativo. Juntando os resultados temos que Se um campo contnuo num domnio aberto conexo , entao conservativo se, e a mesma ao longo

somente se, para cada par de pontos (A,B) em a integral de linha de de qualquer curva lisa ligando A e B contida em . Como j vimos, para um campo

contnuo num domnio aberto conexo e conservativo ento

para qualquer curva lisa por partes fechada em . Ser que vale a recproca? Vamos tentar responder.

Sejam e curvas lisas p.p. ligando dois pontos A e B do domnio . A unio das duas curvas e , que d

Apostila Cálculo III - Prof. Cristina Cerri

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