Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 06 - Integral Def

7/30/2019 Apostila Matemtica Clculo CEFET Captulo 06 - Integral Def

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Captulo 6

INTEGRAO INDEFINIDA

6.1 Introduo

Na primeira parte do captulo mostraremos como obter uma funo conhecendo apenas a suaderivada. Este problema chamado de integrao indefinida.

Definio 6.1. Uma funo chamada uma primitiva da funo no intervalo se para todo, tem-se:

Muitas vezes no faremos meno ao intervalo , mas a primitiva de uma funo sempre serdefinida sobre um intervalo.

Exemplo 6.1.

[1] Seja , ento uma primitiva de em , pois .

tambm uma primitiva de em , pois . Na verdade,

, para todo primitiva de pois .

[2] Seja , ento , para todo uma primitiva de . De fato,.

[3] Seja:

No existe funo definida em todo cuja derivada seja igual a . Por outro lado, considerea seguinte funo:

239


2/32

240 CAPTULO 6. INTEGRAO INDEFINIDA

uma funo contnua em todo e se . Logo, uma primitivade em .

Em geral, uma funo admite uma infinidade de primitivas sobre um intervalo. o queassegura a seguinte proposio:

Proposio 6.1. Seja uma primitiva da funo no intervalo . Ento, , , tambm primitiva de no intervalo .

A pergunta natural que surge, a seguir, : se e so primitivas de uma funo sobre umintervalo, ser que e esto relacionadas de alguma forma? A resposta a esta questo dadapela seguinte proposio:

Proposio 6.2. Se e so primitivas de uma funo num intervalo , ento existe tal que, para todo .

Prova: Seja ; ento, para todo , temos que:. Como consequncia do Teorema do Valor Mdio, para todo , ;

ento, para todo ,

Em outras palavras, duas primitivas de uma funo diferem por uma constante. Logo, se co-nhecemos uma primitiva de uma funo, conhecemos todas as primitivas da funo. De fato,basta somar uma constante primitiva conhecida para obter as outras.

Exemplo 6.2.

[1] Seja . Uma primitiva desta funo ; logo, toda primitiva de do tipo .

-6 -4 -2 2 4 6

-2

-1

1

2

3

Figura 6.1: Grficos de e algumas primitivas de .

[2] Seja . Uma primitiva desta funo ; logo, toda primitiva de do tipo , .

Definio 6.2. Seja uma primitiva da funo no intervalo . A expresso chamada a integral indefinida da funo e denotada por:


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6.1. INTRODUO 241

Note que

em particular:

Teorema 6.1. (Linearidade da Integral) Sejam , primitivas de e , respectivamente, numintervalo e . Ento, uma primitiva de , e:

Prova: Se e so primitivas de e , respectivamente, ento primitiva de; logo:

Exemplo 6.3.

Calcule as seguintes integrais:

[1] .

[2] .

[3] .

[1] Usando o Teorema, podemos decompor a integral em duas outras integrais:

Sabemos que e , ento:

[2] Usando o Teorema de linearidade, podemos escrever a integral como:


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Como e , ento:

[3] Observe que ; logo:

Assim o processo de integrar se reduz a descobrir uma funo conhecendo apenas sua deriva-da; usando a tabela de derivadas do captulo anterior, obtemos uma lista de integrais chamadasimediatas. Esta lista pode ser comprovada derivando cada resultado da integral e consultandoa tabela de derivada. Por exemplo, na tabela de derivadas do captulo anterior temos que:

ento

No entanto, no incluimos como imediatas, por exemplo, integrais do tipo , pois no evidente encontrar uma funo que tem como derivada . Para resolver este impasse,estudaremos os chamados mtodos de integrao, que nos permitiro calcular integrais noimediatas.

6.2 Tabela

Usaremos como varivel independente .

1.

2.

3.

4. , ( )

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.


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6.3. MTODO DE SUBSTITUIO 243

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

Mtodos de Integrao

Nas prximas sees apresentaremos os mtodos mais utilizados que nos permitiro determi-nar uma grande quantidade de integrais no imediatas. O primeiro a ser estudado se baseia naregra da cadeia.

6.3 Mtodo de Substituio

Sejam uma primitiva de num intervalo e uma funo derivvel tal que estejadefinida. Usando a regra da cadeia; temos, . Logo,

uma primitiva de , ento:

fazendo , tem-se ; substituindo na expresso anterior:

Exemplo 6.4.


[1] Fazendo , ento . Substituindo na integral:

[2] Fazendo , ento . Substituindo na integral:


6/32


[3] . Fazendo , ento ou, equivalentemente, . Substi-

tuindo na integral:

[4] . Fazendo , ento . Substituindo na integral:

[5] . Fazendo , ento . Substituindo na integral:

[6] . Reescrevemos a integral fazendo: . Se ,

ento ou, equivalentemente, . Substituindo na integral:

[7] . Reescrevemos a integral como: .

Fazendo , ento . Substituindo na integral:

Muitas vezes, antes de efetuar uma substituio adequada, necessrio fazer algumas mani-pulaes, como, por exemplo, o completamento de quadrados.

[8] Calcule . Completando os quadrados ; ento,

Fazendo , teremos . Substituindo na integral:


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6.4. INTEGRAIS DE PRODUTOS E POTNCIAS DE FUNES TRIGONOMTRICAS 245

6.3.1 Outros Tipos de Substituies

Exemplo 6.5.


[1] . Fazendo , ento e ;

[2] . Fazendo , ento e ;

[3] . Seja ; ento, e ; .

[4] . Fazendo , e . Logo, e

.

6.4 Integrais de Produtos e Potncias de Funes Trigonomtricas

Exemplo 6.6.


[1] . Se , utilizamos :

ento:


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Se , utilizamos ; ento:

[2] . Como , fazendo

, temos e:

[3] . Fatorando ;

[4]

Fazendo , temos . Substituindo na integral:

Estes exemplos nos mostram que para determinar a primitiva de uma integral que envolveprodutos ou potncias de funes trigonomtricas necessrio, em primeiro lugar, transfor-mar a funo a integrar por meio de identidades trigonomtricas conhecidas, para depois usaralguns dos mtodos.

6.5 Mtodo de Integrao por Partes

Sejam e funes derivveis no intervalo . Derivando o produto :

ou, equivalentemente, . Integrando ambos os lados:

fazendo: e , temos: e . Logo:


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6.5. MTODO DE INTEGRAO POR PARTES 247

Este mtodo de integrao nos permite transformar a integrao de na integrao de . importante saber escolher a substituio e na integral de partida. Devemos escolher

tal que permita determinar . As expresses de e devem ser mais simples que as de e, respectivamente.

Exemplo 6.7.


[1] . Faamos e ; ento, e ; logo:



Calculemos agora , novamente por partes. Fazendo e , temose ; logo:

Ento:

[4] ; . Faamos e ; ento, e

; logo:

(6.1)

Calculemos , novamente integrando por partes. Fazendo e

, temos e ; logo:

(6.2)


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Denotemos por . Ento, de 6.1 e 6.2, temos:

Pois a ltima integral exatamente a integral procurada e podemos pass-la ao outro lado daigualdade:

Logo, .

[5] . Aqui usamos os dois mtodos:

Substituio: seja ; ento, ou ;

Integrando por partes, fazemos e ; ento, e :

[6] . Aqui usamos, novamente, os dois mtodos:

Substituio: seja ; ento, ou ;

Integrando por partes: fazemos e ; ento, e :

[7] . Aqui usamos, novamente, os dois mtodos:

Substituio: seja ; ento, ou e ;


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6.6. MTODO DE SUBSTITUIO TRIGONOMTRICA 249

Integrando por partes: fazemos e ; ento, e :

6.6 Mtodo de Substituio Trigonomtrica

Este mtodo usado quando a expresso a integrar envolve alguns dos seguintes tipos deradicais:

onde .

Caso 1:

Para , seja ; ento, . Logo .Denotando por :

ua

c

Figura 6.2: Caso 1

Caso 2:

Para , seja ; ento, . Logo .

Denotando por :

a

ud

Figura 6.3: Caso 2


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Caso 3:

Para ou , seja ; ento, . Logo

. Denotando por :

a

u e

Figura 6.4: Caso 3.

Exemplo 6.8.


[1] .

Seja ; ento, ; e .

e ; ento, ; estamos no caso 1: xa

c onde

; logo, e . Substituindo no resultado da integral:

[2] . Seja ; ento, ; . Em tal caso

:

Estamos no caso 2: d

a

x

; onde e . Logo, . Substituin-do:


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6.6. MTODO DE SUBSTITUIO TRIGONOMTRICA 251

[3] . Seja ; ento, ; . Neste caso,

:

Estamos no caso 1: xa

c onde ; logo, ; ento, .Substituindo no resultado da integral:

[4] . Reescrevendo a integral: . Seja ; ento,; ou ( ). Neste caso, :

Estamos no caso 3: x e

1/3 onde ; logo, e .Substituindo no resultado da integral:

[5] . Seja ; ento, ; ou .

Neste caso e:

Estamos no caso 3: x

4

e

onde ; logo, . Para calcular

, devemos ter cuidado, pois definida para e .Se , ento e , onde . Se , ento

e , onde . Mas e ; logo, para, , onde ; substituindo no resultado da integral:

i) :

ii) : onde .


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[6] . Primeiramente completamos os quadrados: ;

fazendo , temos . Substituindo na integral:

Seja ; ento ; e .

Estamos no caso 1: . Substituindo no resultado da integral:

[7] . Completando os quadrados: ; fazendo

, temos . Substituindo na integral:

Seja ; ento e :

Estamos no caso 2: e . Substituindo no resultadoda integral:

6.7 Mtodo para Integrao de Funes Racionais

Um polinmio de coeficientes reais podeser sempre expresso como um produto de fatoreslineares e/ou quadrticos. Naturalmente esta decomposio depende essencialmente do grau

de .i) ou

ii) ou

iii) ou

iv) .


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6.7. MTODO PARA INTEGRAO DE FUNES RACIONAIS 253

Exemplo 6.9.

[1] .

[2] .[3] .

[4] .

Seja uma funo racional . A decomposio de uma funo racional em fraes mais

simples, depende do modo em que o polinmio se decompe em fatores lineares e/ouquadrticos. Se numa funo racional o grau de maior ou igual ao grau de , entopodemos dividir os polinmios. De fato, se ento

onde ; ento, Logo, basta estudar o caso em

que:

pois, caso contrrio efetuamos a diviso dos polinmios.

Caso 1: se decompe em fatores lineares distintos.

Ento:

onde so distintos dois a dois; ento

onde so constantes a determinar.

Calculemos .

Fazendo ; ento, ; logo:

onde so constantes a determinar.


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Exemplo 6.10.


[1] . Observe que . Dividindo os polin-

mios:

A seguir, aplicamos o mtodo ltima parcela da direita:

Calculemos . Fatorando: ; temos:

Comparando os numeradores: . As razes do polinmio soe ; agora substituimos cada raiz na ltima expresso. Se teremos

e . Se , ento e . Logo, podemos decompor a frao inicialem:

Ento, pelo Caso 1: A integral procurada :

[2] . Note que . Dividindo os polin-

mios:

Ento:

Aplicando o mtodo ltima parcela da direita, calculemos . Primei-

ro observemos que :


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Comparando os numeradores: ;as razes do polinmio so , e ; agora substituimos cada raiz na ltimaexpresso.

Se , ento, ; se ento, e se , ento, . A frao inicialpode ser decomposta em:

Pelo Caso 1, temos: . A integral procurada :

Nos exemplos anteriores a forma de determinar os coeficientes equivalente a resolver umsistema de equaes.

Consideremos o exemplo 2. .Ordenando o segundo membro em potncias de , temos:

Comparando os polinmios e sabendo que dois polinmios soiguais se e somente se os coeficientes dos termos do mesmo grau so iguais, temos que resolvero seguinte sistema:

que tem como soluo: , e .

[3] .

; e ; aplicando o mtodo:

Comparando os numeradores: ; as razes do polinmio soe ; agora substituimos cada raiz na ltima expresso. Se , ento, e

se , ento, . A frao inicial pode ser decomposta em:

Pelo Caso 1, temos:

Aplicamos esta ltima frmula para completamento de quadrados.


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Exemplo 6.11.


[1] . Como : Fazendo ,

temos . Substituindo:

onde as ltimas igualdades so obtidas pela frmula anterior.

[2] . Completando os quadrados e fazendo ,

temos . Substituindo:

onde as ltimas igualdades so obtidas pela frmula anterior.

Caso 2: se decompe em fatores lineares, alguns deles repetidos.

Seja o fator linear de de multiplicidade e a maior potncia da fatorao. Ento,a cada fator linear repetido associamos uma expresso do tipo:

onde so constantes a determinar. Em tal caso, integrando esta expresso obte-mos:

Os fatores lineares no repetidos so tratados como no caso 1.

Exemplo 6.12.


[1] . Como e . O fator

tem multiplicidade 2 e o fator como no caso 1.

Comparando os numeradores: . As razes dopolinmio so: e ; agora, substituimos cada raiz na ltima expresso. Se

, ento e se , ento . Falta determinar . Para calcular o valor


19/32


da constante , formamos o sistema de equaes, obtido da comparao dos coeficientes dospolinmios. ; ento:

Como sabemos os valores de e obtemos, facilmente, ; ento:

logo,

[2] .Como ; . O fator tem multiplicidade 2e os fatores so como no caso 1.

Comparando os numeradores:

; asrazes do polinmio so: , e . Agora substituimos cada raiz na ltimaexpresso. Se , ento ; se , ento e se , ento . Faltadeterminar . Para calcular o valor da constante , formamos o sistema de equaes obtido

da comparao dos coeficientes dos polinmios.

note que o coeficiente da potncia cbica nos d o valor de . De fato, sendo ,ento .

logo: .

Caso 3: se decompe em fatores lineares e fatores quadrticos irredutveis, sen-do que os fatores quadrticos no se repetem

A cada fator quadrtico de associamos uma expresso do tipo:

onde so constantes a determinar. Os fatores lineares so tratados como no caso 1 e 2.


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Exemplo 6.13.


[1] Calcule .

Primeiramente observamos que . Fatorando. O nico fator quadrtico irredutvel ; o fator como no caso 1.


. A raizreal do polinmio ; agora substituimos esta raiz na ltima expresso. Se ,

ento . Formamos o sistema de equaes, obtido da comparao dos coeficientes dospolinmios: , logo e implica em .

Portanto: , onde a ltima inte-

gral resolvida usando substituio simples.

[2] Calcule .

Primeiramente observamos que . Fatorando. O nico fator quadrtico irredutvel . O fator como

no caso 1.


;a raiz real do polinmio ; substituindo esta raiz na ltima expresso: Se ,ento . Formamos o sistema de equaes, obtido da comparao dos coeficientes dospolinmios: ; logo e ; logo . Ento:

logo:

onde a ltima integral resolvida usando substituies; de fato: .Ento, considere ; logo e:


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A segunda integral imediata, pois:

Na primeira integral fazemos ; logo :

e: .

[3] Calcule . Observemos que ;

e so fatores quadrticos irredutveis. Temos:


.

Formando o sistema de equaes, obtido da comparao dos coeficientes dos polinmios:

Resolvendo o sistema: , , e ; logo:

Integrando, aps a decomposio da funo integranda, obtemos quatro integrais, a primeira resolvida por substituio simples, a segunda imediata, a terceira e quarta so resolvidas porcompletamento de quadrados.


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Caso 4: se decompe em fatores lineares e fatores quadrticos irredutveis, sen-do que alguns dos fatores quadrticos se repetem

Se um fator quadrtico de tem multiplicidade , a esse fator quadrticoassociamos uma expresso do tipo:

onde so constantes a determinar, . Os outros fatores so tratados como noscasos 1, 2 e 3.

Exemplo 6.14.


[1] Calcule .

Primeiramente observamos que e o nico fator quadrticoirredutvel, de multiplicidade 2.


. Formando e resolvendoo sistema de equaes obtido da comparao dos coeficientes dos polinmios e lembrando que

tem uma raiz real , obtemos, , , , e Logo:. Calculando as integrais correspondentes:

[2] Calcule .

Primeiramente observamos que e o nico fator quadrticoirredutvel, de multiplicidde 3.

Formando e resolvendo o sistema de equaes obtido da comparao dos coeficientes dos po-linmios; obtemos, , B=1 e Logo:

e .


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6.8. MUDANA: TANGENTE DO NGULO MDIO 261

6.8 Mudana: Tangente do ngulo Mdio

Se a funo integranda envolve expresses do tipo: , ou combinaes

destas, utilizamos a mudana ; logo:

e

Por exemplo:

Exemplo 6.15.

[1] Calcule . Neste caso e ; logo:

[2] Calcule .Utilizando as mudanas: ; logo:

6.9 Aplicaes da Integral Indefinida

6.9.1 Obteno de Famlias de Curvas

Seja uma funo derivvel. O coeficiente angular da reta tangente ao grfico deno ponto . Inversamente, se um coeficiente angular dado por ,por integrao determina-se uma famlia de funes: , onde uma constantearbitrria.

Exemplo 6.16.

[1] Obtenha a equao de uma famlia de curvas, sabendo que o coeficiente angular da retatangente cada curva, num ponto, igual a menos duas vezes a abscissa do ponto. Obtenha aequao da curva que passa pelo ponto .


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Temos ; integrando: No ponto , tem-se

; ento, e .

[2] Em todos os pontos de uma curva tem-se que . Obtenha a equao dacurva, se esta passa pelo ponto e a reta tangente nesse ponto paralela reta .Temos ; integrando:

O coeficiente angular da reta: e a reta tangente curva no ponto (1,1) paralela a esta reta: ; logo, e . Integrandonovamente: (azul). Usando o fato de que temos e

(verde).

-2 -1 1 2

-1

1

2

Figura 6.5:

6.9.2 Outras aplicaes

Exemplo 6.17.

[1] A taxa de produo de uma mina de cobre anos aps a extrao ter comeado foi calculadacomo mil toneladas por ano. Determine a produo total de cobre ao final doano .

Seja a produo total ao final do ano ; ento, a taxa de produo ; logo,; integrando:

Ao final do ano zero a produo zero; logo, , donde obtemos ; portanto, aproduo total de cobre ao final do ano dada por:

[2] A temperatura de um lquido . Coloca-se o lquido em um depsito cuja temperatura,mantida constante igual a . Passados minutos a temperatura do lquido . Sabendo


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6.9. APLICAES DA INTEGRAL INDEFINIDA 263

que a velocidade de resfriamento proporcional diferena que existe entre a temperatura dolquido e a do depsito, qual a temperatura do lquido aps minutos?

Seja a temperatura do lquido no instante , e . A velocidadede resfriamento proporcional diferena que existe entre a tenperatura do lquido e a dodepsito. Ento, , . Devemos determinar .

. Como , ento:

logo, ; ento:

donde ; logo, e ; ento:

[3] (Lei de resfriamento de Newton): A taxa de variao da temperatura de umcorpo proporcional diferena entre a temperatura ambiente (constante) e a temperatura

, isto :

Para determinar , integramos em relao a :

obtendo

logo, . Se a temperatura inicial ; ento, e:

[4] (Crescimento populacional inibido): Considere uma colnia de coelhos com populaoinicial numa ilha sem predadores. Se a populao pequena, ela tende a crescera uma taxa proporcional a si mesma; mas, quando ela se torna grande, h uma competio

crescente por alimento e espao e cresce a uma taxa menor. Estudos ecolgicos mostram quea ilha pode suportar uma quantidade mxima de indivduos, se a taxa de crescimento dapopulao conjuntamente proporcional a e a ; logo:

Para determinar , integramos em relao a , aplicando o mtodo de fraes parciais:

logo,


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e:

Como , ; ento,

logo, donde:

que uma funo logstica de populao limite .

6.10 Exerccios

1. Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados paraconferir as respostas:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

(m)

(n)

(o)

(p)

(q)

(r)

(s)

(t)

2. Calcule as seguintes integrais usando o mtodo de substituio:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)


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6.10. EXERCCIOS 265

(j)

(k)

(l)

(m)

(n)

(o)

(p)

(q)

(r)

(s)

(t)

(u)

(v)

(w)

(x)

(y)

(z)

3. Calcule as seguintes integrais, usando as substituies dadas:

(a) use

(b) use

(c) use

(d) use

(e) use

(f) use

4. Calcule as seguintes integrais usando o mtodo de integrao por partes:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

(m)

(n)

(o)

(p)

(q)

(r)

(s)

(t)

(u)

(v)

(w)

(x)

(y)

(z)


28/32


5 Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o mtodo de substituio e depois,integrao por partes:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

6 Calcule as seguintes integrais que envolvem potncias de funes trigonomtricas:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

5. Calcule as seguintes integrais, usando substituio trigonomtrica:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

(m)

(n)

(o)

(p)

(q)

6. Usando primeiramente o mtodo de substituio simples, seguido do mtodo de substi-tuio trigonomtrica, calcule as seguintes integrais:


29/32

6.10. EXERCCIOS 267

[

7. Completando quadrados e usando substituio trigonomtrica, calcule as seguintes inte-

grais:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

8. Calcule as seguintes integrais, usando fraes parciais:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

(m)

(n)

(o)

(p)

(q)

(r)

(s)

(t)

(u)

(v)

9. Calcule as seguintes integrais:


30/32


(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

(m)

(n)

(o)

(p)

(q)

(r)

(s)

(t)

(u)

(v)

(w)

(x)

10. Calcule as seguintes integrais:

(a)

(b)

(c)

(d)

11. Verifique, utilizando exemplos, se verdadeiro ou falso que se um polinmio

de grau , ento: .

12. Em todos os pontos de uma curva tem-se que . Obte-nha a equao da curva, se esta passa pelo ponto e a reta tangente nesse ponto perpendicular reta .


31/32

6.10. EXERCCIOS 269

13. Em alguns estudos, a degradao ambiental produzida por detritos txicos modeladapela equao de Haldane:

onde , a concentrao do substrato ( a substncia do resduo na qualas bactrias agem). Determine .

Qual a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando aps horas?


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