Apoyo Aleatoriedad

Matemticas

Apoyo Aleatoriedad

11ogrado

Qu es la estadstica?

Formas de observar la poblacin.

Qu son los datos estadsticos?

Qu se entiende por frecuencia en estadstica y cmo se clasifican?

Qu es la distribucin de frecuencias?

Cmo se representan graficamente los datos estadsticos?

Medidas de centralizacin.

Medidas de posicin.

Medidas de dispersin.

Probabilidad.

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Apoyo Aleatoriedad

Matemticas

Resumen

Apoyo Aleatoriedad

Hace referencia a la interpretacin de datos, al reconocimiento y anlisis de tendencias, cambio, correlaciones, a las inferencias y al reconocimiento, descripcin y anlisis de eventos aleatorios. Ms especficamente involucra la exploracin, representacin, lectura e interpretacin de datos en contexto; el anlisis de diversas formas de representacin de informacin numrica, el anlisis cualitativo de regularidades, de tendencias, de tipos de crecimiento, y la formulacin de inferencias y argumentos

usando medidas de tendencia central y de dispersin.

En este nivel se espera un manejo comprensivo de la informacin proveniente de los medios o de estudios diseados en el mbito escolar, que se describan las tendencias que se observen en conjuntos de variables relacionadas y usen comprensivamente algunas medidas de centralizacin, localizacin, dispersin y correlacin. Se espera que se interpreten conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos y que se resuelvan y formulen problemas usando conceptos bsicos de conteo y probabilidad (combinaciones, permutaciones, espacio muestral, muestreo aleatorio,

con reemplazamiento).

La estadstica es la ciencia que trata de la recoleccin, clasificacin y presentacin de los hechos sujetos a una apreciacin numrica como base a la explicacin,

descripcin y comparacin de los fenmeno.

MATEMTICAS - Apoyo Aleatoriedad.04

Qu es la estadstica?

Cuales son los conceptos bsicos en la estadstica.

Poblacin:El concepto de poblacin en estadstica va ms all de lo que comnmente se conoce como tal. Una poblacin se precisa como un conjunto finito o infinito de personas u objetos que presentan caractersticas comunes.

Muestra:"Se llama muestra a una parte de la poblacin a estudiar que sirve para representarla". Murria R. Spiegel (1991)."Una muestra es una coleccin de algunos elementos de la poblacin, pero no de todos". Levin & Rubin (1996)."Una muestra debe ser definida en base de la poblacin determinada, y las conclusiones que se obtengan de dicha muestra solo podrn referirse a la poblacin en referencia", Cadenas (1974).

Muestreo:Esto no es ms que el procedimiento empleado para obtener una o ms muestras de una poblacin; el muestreo es una tcnica que sirve para obtener una o ms muestras de poblacin.

Tipos de muestreoExisten dos mtodos para seleccionar muestras de poblaciones; el muestreo no aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio o de probabilidad. En este ltimo todos los elementos de la poblacin tienen la oportunidad de ser escogidos en la muestra. Una muestra seleccionada por muestreo de juicio se basa en la experiencia de alguien con la poblacin. Algunas veces una muestra de juicio se usa como gua o muestra tentativa para decidir como tomar una muestra aleatoria ms adelante. Las muestras de juicio evitan el anlisis estadstico necesario para hacer muestras de probabilidad.

1. Atendiendo a la fuente se clasifican en directa o indirecta.

Observacin directa: es aquella donde se tienen un contacto directo con los elementos o caracteres en los cuales se presenta el fenmeno que se pretende investigar, y los resultados obtenidos se consideran datos estadsticos originales.

Ejemplo: El seguimiento de la poblacin agrcola por ao, llevado en una determinada granja.

Observacin Indirecta: Es aquella donde la persona que investiga hace uso de datos estadsticos ya conocidos en una investigacin anterior, o de datos observados por un tercero (persona o entidad). Con el fin de deducir otros hechos o fenmenos

2. Atendiendo a la periodicidad, puede ser continua, peridica o circunstancial.

Una observacin continua; como su nombre lo indica es aquella que se lleva acabo de un modo permanente.

Ejemplo: la contabilidad comercial, llevada en cuanto a compras, ventas y otras operaciones que se van registrando a medida que van producindose.

Una observacin peridica; es aqulla que se lleva a cabo a travs de perodos de tiempo constantes. Estos perodos de tiempos pueden ser semanas, trimestres, semestres, aos, etc. Lo que debemos destacar es que los perodos de tiempo tomados como unidad deben tomarse constantes en lo posible.

Ejemplo: el registro llevado por la Oficinas de Control de Estudios de una institucin educativa, en cuanto a la inscripcin de los estudiantes por semestre.


Formas de observar la poblacin

La observacin circunstancial, es aquella que se efecta en forma ocasional o espordica, esta observacin hecha ms por una necesidad momentnea, que de carcter regular o permanente.

Ejemplo: La obtencin de nmeros de aulas utilizadas y no utilizadas en los colegios pertenecientes a un municipio.

3. Atendiendo a la cobertura; pueden ser exhaustiva, parcial o mixta.

Observacin Exhaustiva: Cuando la observacin es efectuada sobre la totalidad de los elementos de la poblacin se habla de una observacin exhaustiva.

Observacin Parcial: Dados que las poblaciones en general son grandes, la observacin de todos sus elementos se ve imposibilitada. La solucin para superar este inconveniente es observar una parte de esta poblacin.

Observacin Mixta: En este tipo de observacin se combinan adecuadamente la observacin exhaustiva con la observacin parcial. Por lo general, este tipo de observaciones se lleva a cabo de tal manera que los caracteres que se consideran bsicos se observan exhaustivamente y los otros mediante una muestra; o bien cuando la poblacin es muy grande, parte de ella se observa parcialmente.


Formas de observar la poblacin

Las variables y su medicin

Una variable es un smbolo, tal como X, Y, H, x B, que pueden tomar un conjunto prefijado de valores, llamado dominio de esa variable. "una variable que puede tomar cualquier valor entre dos valores dados se dice que es una variable continua en caso contrario diremos que la variable es discreta".

Las variables, tambin llamadas caracteres cuantitativos, son aquellas cuyas variaciones son susceptibles de ser medidas cuantitativamente, es decir, que pueden expresar numricamente la magnitud de dichas variaciones. Por intuicin y por experiencia sabemos que pueden distinguirse dos tipos de variables; las continuas y las discretas.

Las variables continuas se caracterizan por el hecho de que para todo para de valores siempre se puede encontrar en valor intermedio, (el peso, la estatura, el tiempo empleado para realizar un trabajo, etc.)Una variable es continua, cuando puede tomar infinitos valores intermedios dentro de dos valores consecutivos. Por ejemplo, la estatura, el peso, la temperatura.

Las variables discretas sern aquellas que pueden tomar solo un nmero limitado de valores separados y no continuos; son aquellas que solo toman un determinado nmeros de valores, porque entre dos valores consecutivos no pueden tomar ningn otro; por ejemplo el nmero de estudiantes de una clase es una variable discreta ya que solo tomar los valores 1, 2, 3, 4... ntese que no encontramos valor como 1,5 estudiantes.

Los datos estadsticos no son otra cosa que el producto de las observaciones efectuadas en las personas y objetos en los cuales se produce el fenmeno que queremos estudiar. Dicho en otras palabras, son los antecedentes (en cifras) necesarios para llegar al conocimiento de un hecho o para reducir las

consecuencias de este.

Los datos estadsticos se pueden encontrar de forma no ordenada, por lo que es muy difcil en general, obtener conclusiones de los datos presentados de esta manera. Para poder obtener una precisa y rpida informacin con propsitos de descripcin o anlisis, estos deben organizarse de una manera sistemtica; es decir, se requiere que los datos sean clasificados. Esta clasificacin u organizacin puede muy bien hacerse antes de la recopilacin de los datos.

Como se clasifican los datos estadisticos?

Los datos estadsticos pueden ser clasificados en cualitativos, cuantitativos, cronolgicos y geogrficos.

Datos Cualitativos: Cuando los datos son cuantitativos, la diferencia entre ellos es de clase y no de cantidad.Ejemplo:Si deseamos clasificar los estudiantes que cursan la materia de estadstica I por su estado civil, observamos que pueden existir solteros, casados, divorciados, viudos.

Datos cuantitativos: Cuando los valores de los datos representan diferentes magnitudes, decimos que son datos cuantitativos.Ejemplo:Se clasifican los estudiantes del Ncleo San Carlos de la UNESR de acuerdo a sus notas, observamos que los valores (nota) representan diferentes magnitudes.



Datos cronolgicos: cuando los valores de los datos varan en diferentes instantes o perodos de tiempo, los datos son reconocidos como cronolgicos.Ejemplo:Al registrar los promedios de notas de los Alumnos de un colegio de educacin media en los diferentes bimestres.

Datos geogrficos: cuando los datos estn referidos a una localidad geogrfica se dicen que son datos geogrficos.Ejemplo:El nmero de estudiantes de educacin superior en las distintas regiones del pas.

Fuentes de datos Estadsticos:

Los datos estadsticos necesarios para la comprensin de los hechos pueden obtenerse a travs de fuentes primarias y fuentes secundarias.

Fuentes de datos primarias: es la persona o institucin que ha recolectado directamente los datos.

Fuentes secundarias: son las publicaciones y trabajos hechos por personas o entidades que no han recolectado directamente la informacin.

Las fuentes primarias ms confiables, son las efectuadas por oficinas gubernamentales encargadas de tal fin.

Qu metodos se emplean para la recolecion de datos?

En estadstica se emplean una variedad de mtodos distintos para obtener informacin de los que se desea investigar.

La entrevista personal: los datos estadsticos necesarios para una investigacin, se renen frecuentemente mediante un proceso que consiste en enviar un entrevistador o agente, directamente a la persona investigada. El investigador efectuar a esta persona una serie de preguntas previamente escritas en un cuestionario o boleta, donde anotar las respuestas correspondientes. Este procedimiento que se conoce con el nombre de entrevista personal, permite obtener una informacin ms veraz y completa que la que proporcionan otros mtodos, debido a que al tener contacto directo con la persona entrevistada, el entrevistador podr aclarar cualquier duda que se presente sobre el cuestionario o investigacin.

Como se clasifican los datos estadisticos?

Los datos estadsticos pueden ser clasificados en cualitativos, cuantitativos, cronolgicos y geogrficos.

Datos Cualitativos: Cuando los datos son cuantitativos, la diferencia entre ellos es de clase y no de cantidad.Ejemplo:Si deseamos clasificar los estudiantes que cursan la materia de estadstica I por su estado civil, observamos que pueden existir solteros, casados, divorciados, viudos.

Datos cuantitativos: Cuando los valores de los datos representan diferentes magnitudes, decimos que son datos cuantitativos.Ejemplo:Se clasifican los estudiantes del Ncleo San Carlos de la UNESR de acuerdo a sus notas, observamos que los valores (nota) representan diferentes magnitudes.



Datos cronolgicos: cuando los valores de los datos varan en diferentes instantes o perodos de tiempo, los datos son reconocidos como cronolgicos.Ejemplo:Al registrar los promedios de notas de los Alumnos de un colegio de educacin media en los diferentes bimestres.

Datos geogrficos: cuando los datos estn referidos a una localidad geogrfica se dicen que son datos geogrficos.Ejemplo:El nmero de estudiantes de educacin superior en las distintas regiones del pas.

Fuentes de datos Estadsticos:

Los datos estadsticos necesarios para la comprensin de los hechos pueden obtenerse a travs de fuentes primarias y fuentes secundarias.

Fuentes de datos primarias: es la persona o institucin que ha recolectado directamente los datos.

Fuentes secundarias: son las publicaciones y trabajos hechos por personas o entidades que no han recolectado directamente la informacin.

Las fuentes primarias ms confiables, son las efectuadas por oficinas gubernamentales encargadas de tal fin.

Cuestionarios por correo: consiste en enviar por correo el cuestionario acompaado por el instructivo necesario, dando en este no solo las instrucciones pertinentes para cada una de las preguntas, sino tambin una breve explicacin del objeto de la encuesta con el fin de evitar interpretaciones errneas.

Entrevista por telfono: como lo indica su nombre, este mtodo consiste en telefonear a la persona a entrevistar y hacerle una serie de preguntas. Este mtodo es bastante simple y econmico, ya que el entrenamiento y supervisin de las personas encargadas de efectuar las preguntas es siempre fcil.

Se llama frecuencia a la cantidad de veces que se repite un determinado valor de la variable.

Frecuencia absoluta (ni) de una variable estadstica Xi, es el nmero de veces que este valor aparece en el estudio. A mayor tamao de la muestra, aumentar el tamao de la frecuencia absoluta; es decir, la suma total de todas las frecuencias absolutas debe dar el total de la muestra estudiada (N).

Frecuencia relativa (fi), es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamao de la muestra (N). Es decir,

Si multiplicamos la frecuencia relativa por 100 obtendremos el porcentaje o tanto por ciento (pi) que presentan esta caracterstica respecto al total de N, es decir el 100% del conjunto.

Frecuencia absoluta acumulada (Ni), es el nmero de veces ni en la muestra N con un valor igual o menor al de la variable. La ltima frecuencia absoluta acumulada deber ser igual a N.

Frecuencia relativa acumulada (Fi), es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el nmero total de datos, N. Es decir,


Qu se entiende por frecuencia en estadistica y como se clasifican?

i = =N i ni

ni ni i =

N

ni

La distribucin de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenacin en forma de tabla de los datos estadsticos, asignando a cada dato su frecuencia

correspondiente.

Distribucin de frecuencias agrupadas

La distribucin de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un nmero grande de valores o la variable es continua. Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

Lmites de la clase

Cada clase est delimitada por el lmite inferior de la clase y el lmite superior de la clase.


Qu es la distribucin de frecuencias?

Amplitud de la clase

La amplitud de la clase es la diferencia entre el lmite superior e inferior de la clase.

Marca de clase

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el clculo de algunos parmetros.

Diagrama de Barras

Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas. Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

Polgonos de frecuencia

Un polgono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.Tambin se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y unindolos mediante segmentos.

Diagramas de sectores

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.Los datos se representan en un crculo, de modo que el ngulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ngulos


Cmo se representan grficamente los datos estadsticos?

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2

4

6

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10

20 21 22 23 24 25 26 27 28 290 21 4 53 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8 Diagrama de barrasPolgono de frecuencias

Nmero de Alumnos i

Notas de los Alumnos xi

= i= . 360N

Accin

No contesta

Terror

Amor

Comedia

Histograma

Un histograma es una representacin grfica de una variable en forma de barras.Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran nmero de datos, y que se han agrupado en clases.En el eje abscisas se construyen unos rectngulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.


Cmo se representan grficamente los datos estadsticos?

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20

30

40

50

60

< 60 60 - 80 81 - 100 101 - 120 >120

Nos indican en torno a qu valor (centro) se distribuyen los datos.

Media aritmticaLa media es el valor promedio de la distribucin.

Mediana La mediana es la puntacin de la escala que separa la mitad superior de la distribucin y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.

ModaLa moda es el valor que ms se repite en una distribucin.


Medidas de centralizacin

Unimodal

Bimodal

Multiimodal

Las medidas de posicin dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo nmero de individuos.

Para calcular las medidas de posicin es necesario que los datos estn ordenados de menor a mayor.

CuartilesLos cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales. Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

DecilesLos deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales.Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.D5 coincide con la mediana.

PercentilesLos percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales. Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.P50 coincide con la mediana.


Medidas de posicin

Q1

25%25% 25%25%

Q2 Q3

Min D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Max

Rango o recorridoEl rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribucin estadstica.

Desviacin mediaLa desviacin media es la media aritmtica de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

VarianzaLa varianza es la media aritmtica del cuadrado de las desviaciones respecto a la media.

Desviacin tpica La desviacin tpica es la raz cuadrada de la varianza.

Las medidas de dispersin nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribucin.

Las medidas de dispersin son:


Medidas de dispersin

Experimentos o fenmenos aleatorios Son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cul de stos va a ser observado en la realizacin del experimento.

Suceso aleatorio Es un acontecimiento que ocurrir o no, dependiendo del azar.

Espacio muestral Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.

Suceso de un fenmeno o experimento aleatorio Es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.

Operaciones con sucesos.Dados dos sucesos, A y B, se llaman:

Experimentos o fenmenos aleatorios Son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cul de stos va a ser observado en la realizacin del experimento.

Suceso aleatorio Es un acontecimiento que ocurrir o no, dependiendo del azar.

Espacio muestral Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.

Suceso de un fenmeno o experimento aleatorio Es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E.

Operaciones con sucesos.Dados dos sucesos, A y B, se llaman:


Probabilidad

A B Es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B.

A B es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

El suceso =E - A se llama suceso contrario de A.

-

Unin

Interseccin

A B

A B

E ASuceso contrario

Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningn elemento comn. Es decir, cuando = (A y B son disjuntos)

Probabilidad de un suceso es el nmero al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el nmero de veces que se realiza el experimento crece

La frecuencia relativa del suceso A:

Propiedades de la frecuencia relativa:1. 0 fr (A) 1 cualquiera que sea el suceso A. 2. fr ( A U B ) = fr(A) + fr(A U B) si = .3. fr(E) = 1 fr() = 0.

Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de cada suceso es un nmero que verifica: 1. Cualquiera que sea el suceso A, P(A) 0. 2. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unin es igual a la suma de sus probabilidades. A U B= P( A U B ) = P(A) + P(B).3. La probabilidad total es 1. P(E) = 1.


Probabilidad

r (A)=Nmero de veces que aparece A

Nmero de veces que se realiza el Experimento

P ( B/A )=P (B A)

P (A)

Probabilidad condicionada.

En el clculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad dar en funcin del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Veamos un ejemplo.Si disponemos de una urna que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y seguidamente la volvemos a introducir para realizar una segunda extraccin, la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola nmero 3 en la segunda extraccin es la misma que en la primera.

Si realizamos el mismo proceso sin reemplazar la bola extrada la probabilidad de extraer, por ejemplo, la bola nmero 3 en la segunda extraccin depender de la bola extrada en primer lugar.

Probabilidad condicionada.

El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre s.

Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre s si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si

P( B/A ) = P( B ) P( A/B ) = P( A )

Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre s si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si

P( B/A ) P( B ) P( A/B ) P( A )

Probabilidad total.

Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An que cumplen:

1. Son incompatibles dos a dos, Ai Aj =

2. La unin de todos ellos es el suceso seguro.


Probabilidad

n

i = 1Ai = E

Teorema de la probabilidad total

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresin:

Teorema de Bayes.

En el ao 1763, dos aos despus de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se public una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinacin de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El clculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresin:


Probabilidad

P(B) = p(A1) . P(B/A1) + P(A2) . P(B/A2) + P(An) . P(B/An)

P(Ai / B ) = P(Ai) . P(B/Ai)

P(Ai) . P(B/Ai) + P(A2) . P(B/A2) + ... + P(An) . P(B/An)

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