Equazioni n. Incognite n.

a) equilibrio scheletro solido 3 a) tensioni totali σij 6

b) congruenza scheletro solido 3 b) tensioni efficaci σ’ij 6

c) legame costitutivo scheletro solido 6 c) deformazioni scheletro solido εij 6

d) legge di moto fluido 3 d) pressione interstiziale u 1

e) equazione di stato fluido 1 e) densità fluido ρf 1

f) equazione di continuità fluido 1 f) componenti moto fluido vij 3

g) accoppiamento fasi 6

Totale 23 Totale 23

[ ] [ ] [ ]( )' u Iσ σ= − ⋅

Stato limite

1 Approccio rigoroso nell’analisi meccanica dei terreni

Nel trattare il mezzo multifase, occorrerebbe a rigore tener conto di caratteri individuali ed accoppiamento di scheletro solido e fluidi.

Bilancio di equazioni e incognite (mezzo bifase):

+ condizioni al contorno (frontiera del dominio di analisi)

+ condizioni iniziali (t = 0) e/o finali (t ∞)

(entrambe espresse in termini di tensioni/pressioni/deformazioni/moto fluido) ↓ Approccio rigoroso ⇒ soluzione sistema differenziale troppo complesso!

Equazioni n. Incognite n.

a) equilibrio scheletro solido 3 a) tensioni totali σij 6

b) congruenza scheletro solido 3 b) tensioni efficaci σ’ij 6

c) legame costitutivo scheletro solido 6 c) deformazioni scheletro solido εij 6

d) legge di moto fluido 3 d) pressione interstiziale u 1

e) equazione di stato fluido 1 e) densità fluido ρf 1

f) equazione di continuità fluido 1 f) componenti moto fluido vij 3

g) accoppiamento fasi 6

Totale 23 Totale 23

[ ] [ ] [ ]( )' u Iσ σ= − ⋅

Stato limite

2

Sfrutta livelli di semplificazione differenziati, in relazione agli aspetti da trattare caso per caso

Ipotesi generalmente introdotte:

⇒ eliminazione equazioni/incognite e)

• Acqua incomprimibile

• Scheletro solido con legge costitutiva semplificata (p.es. elastico lineare, rigido-plastico)

Approccio ingegneristico nell’analisi meccanica dei terreni

• Disaccoppiamento della soluzione del problema idraulico da quello meccanico (p.es.: si determinano le [σ] dalle (a), si risolvono le (d)-(f), si applicano le (g), si ricavano le [ε] dalle (c))

• Aria infinitamente comprimibile

Metodi di analisi: Semplificazioni ‘operative’ Stato limite

3

Condizione: Legame costitutivo:

2) Problema di STABILITÀ (il terreno si rompe?)

1) Problema di DEFORMAZIONE (quanto si deforma il terreno?)

di equilibrio limite (SLU = Stato Limite Ultimo)

di esercizio (SLE = Stato Limite di Esercizio)

Mezzo rigido perfettamente plastico

Mezzo elastico, lineare e isotropo

Metodi risolutivi per i problemi di STABILITÀ:

a)Metodo dell’Analisi Limite

1) Si individua la superficie di scorrimento critica (per tentativo). 2) Si assume una distribuzione di tensioni lungo tale superficie 3) Si risolve l’equazione di equilibrio globale del terreno considerato come corpo rigido all’interno della superficie di scorrimento.

Ricerca del valore limite superiore e limite inferiore del carico di collasso reale. Si basa sui teoremi di plasticità: • Teorema del limite superiore • Teorema del limite inferiore

b)Metodo dell’Equilibrio Limite Globale

c) Metodo delle caratteristiche Si basa sull’ipotesi che una massa di terreno in incipiente stato di collasso devono essere soddisfatti sia il criterio di rottura che le condizioni di equilibrio (equazioni di Kotter, 1903)

Teoremi dell’Analisi Limite Stato limite

4

a)Teorema del Limite Superiore (applicazione del teorema Metodo Cinematico)

“Se è possibile individuare un meccanismo di collasso tale che il lavoro svolto dalle forze esterne è pari all’energia dissipata dalle tensioni interne, si verifica la rottura. Il sistema di forze esterne applicato, quindi, costituisce un valore il limite superiore, o al più coincidente, con il carico di collasso”

Enunciati:

b)Teorema del Limite Inferiore (applicazione del teorema Metodo Statico)

“Se il sistema di forze esterne è in equilibrio con lo stato tensionale interno, e non viola il criterio di rottura, il collasso non può avvenire. Il sistema di forze esterne, quindi definisce un valore limite inferiore, o al più coincidente, del carico di collasso”

forze esterne;

incremento di spostamento

tensioni interne

incremento di deformazione

F

wδσδε

==

′ ==

Principio dei Lavori Virtuali ( ): F w dVδ σ δε′⋅ = ⋅ ⋅∑ ∫PLV

Metodo statico: Teoria di Rankine (1857) Stato limite

5

Ipotesi:

1) terreno omogeneo (γ = cost.) 2) superficie del piano campagna piana, orizzontale ed infinitamente estesa 3) terreno incoerente (c’ = 0; ϕ’ ≠ 0) 4) falda assente 5) parete verticale liscia 6) validità del criterio di rottura di Mohr-Coulomb

1) – 4): ipotesi rimovibili

Condizioni iniziali tensioni orizzontali Coefficiente di spinta a riposo K0

00

0

0,

0, 0,

formule empiriche:

1 sin

con:

0.5 (Meyerhof, 1976)

h

v

nc

aoc nc

K

K

K K OCR

a

σσ

ϕ

′=

′

′= −

= ⋅

=

Applicazione del teorema del limite inferiore

Teoria di Rankine: Spinta Attiva Stato limite

6

0 0(raggio del cerchio di Mohr); (coordinata del centro del cerchio)2 2

v ha v hat sσ σ σ σ′ ′ ′ ′− +

= =

0 00

0

0

21 sin

sin (1 sin ) (1 sin

tan (coefficiente di spinta attiva)1 si

)2 2

1 sin1 sin

n 4 2

v ha v haha v

ha

ha a v

av

K

K

σ σ σ σ ϕ σ ϕ σ ϕ

ϕσϕ

ϕ

σ σϕ πσ ϕ

′

′ ′ ′ ′− + ′ ′ ′ ′ ′= ⋅ ⇒ + = −

′′= ⋅

′ ′− = = −

−′ ′= ⋅ ⇒ ′+ + ′

ϕ ϕ′ ′= = ⋅ = ⋅PC OC sin sint sCon riferimento al triangolo rettangolo OCP:

Al raggiungimento della tensionale orizzontale σ’ha il terreno si trova nello stato tensionale attivo di Rankine, a cui corrispondono due famiglie di piani di rottura inclinati di α = (45°+ϕ’/2) rispetto all’orizzontale.

Teoria di Rankine: Spinta Passiva Stato limite

7

σ σ σ σ′ ′ ′ ′− += =0 0(raggio del cerchio di Mohr); (coordinata del centro del cerchio)

2 2hp v hp vt s

ϕ ϕ′ ′= = ⋅ = ⋅PC OC sin sint s

σ σ σ σϕ σ ϕ σ ϕ

ϕσ σϕ

σ σϕ π ϕϕ

′ ′= ⋅ ′ ′+ = = = + ′−

′ ′ ′ ′− +′ ′ ′ ′ ′= ⋅ ⇒ − = +

′ +′ ′= ⋅ ⇒ ′−

00

0

0

21 1 sintan (coefficiente di spinta passiva)

1 si

sin (1 sin ) (1 sin )2 2

1 sin1 sin

n 4 2

hp p v

hp v hp vohp v

hp vp

a

K

KK

Con riferimento al triangolo rettangolo OCP:

Al raggiungimento della tensionale orizzontale σ’hp il terreno si trova nello stato tensionale passivo di Rankine, a cui corrispondono due famiglie di piani di rottura inclinati di β = (45°-ϕ’/2) rispetto all’orizzontale.

Percorsi della sollecitazioni Stato limite

8

Effetto della coesione Stato limite

9

Spinta Attiva Spinta Passiva

ϕ ϕ ϕ′ ′ ′= = ⋅ = + ⋅PC DC sin ( '/ tan ) sint s cCon riferimento al triangolo rettangolo DCP:

σ σ

σ σ σ σ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

π

′ ′= ⋅ −

′ ′ ′ ′ ′− + ′

′ ′ − = = −

= +

′+

⋅ ′ ⇓

0

0

2

0

2 '

1 sintan

sin2 2 t

1 sin

an

4 2

v ha v h

ha

a

a v a

a

K c K

K

c

σ σ

σ σ σ σ

ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

π

′ ′= ⋅ +

′ ′ ′ ′− + ′ ′

′ ′+ = =

=

+ ′

+

−

⋅ ′

⇓

0

2

0 0

2 '

1 sintan

sin2 2 t

n 4

an

1 si 2

hp p v p

p

hp v hp v

K c K

K

c

NOTA: Se si valuta σ’ha(z) = f(σ’v0(z)) < 0 Se : z < zc zc= 2 c’/(γ √Ka) (profondità critica)

Mobilitazione della resistenza Stato limite

10

Stato limite attivo piccoli spostamenti/rotazioni (resistenza di picco) Stato limite passivo grandi spostamenti/rotazioni (resistenza di stato critico/residua)

Stato limite

11 Metodo dell’Equilibrio Limite Globale: esempio

Ipotesi:

1) terreno omogeneo (γ = cost.) 2) superficie del piano campagna piana, orizzontale ed infinitamente estesa 3) terreno incoerente (c’ = 0; ϕ’ ≠ 0) 4) falda assente 5) parete verticale liscia 6) validità del criterio di rottura di Mohr-Coulomb

dalla (1) alla (5) ipotesi rimovibili

Equilibrio delle forze agenti sul cuneo di terreno ABC:

21peso del cuneo di terreno

2 tanh

W γϕ

′=′

(1) sen cos 0 (eq. componenti orizzontali)

(2) cos sen 0 (eq. componenti verticali)

(3) tan (criterio di rottura)

P N T

W N T

T N

α αα αϕ

− + = − − = ′=

0 (3 icognite: , e )W P N T P N T+ + + =

Introducendo la (3) nelle eqq. (1) e (2); ricavando N dalla (2) e sostituendo nella (1) si ottiene:

2tan tan 1 tan( )(4)

1 tan tan 2 tanP W h

α ϕ α ϕγα ϕ α

′ ′− −′= =′+

Metodo di Coulomb (1776):

Soluzione per problemi di stabilita dei muri di sostegno, basata sull’equilibrio limite globale del sistema, formato dal muro e dal prisma di terreno omogeneo retrostante il muro coinvolto nella rottura. La rottura si manifesta con il distacco del cuneo di terreno che scorre verso l’esterno e verso il basso su una superficie di rottura piana ed inclinata.

Per trovare il valore massimo della forza P al variare di α:

04 2

dPd

π ϕαα

′= ⇒ = + sostituendo nelle (4)

2 21tan

2 4 2 ah PPπ ϕγ

′ ′= − =

Caso “attivo”:

Ka = coefficiente di spinta attiva (coincidente con la soluzione

di Rankine)

Stato limite

12 Metodo dell’Equilibrio Limite Globale: esempio classico

Equilibrio delle forze agenti sul cuneo di terreno ABC:

21peso del cuneo di terreno

2 tanh

W γϕ

′=′

(1) sen cos 0 (eq. comp. orizzontali)

(2) cos sen 0 (eq. comp. verticali)

(3) tan (criterio di rottura)

P N T

W N T

T N

β ββ βϕ

− − = − + = ′=

0 (3 icognite: , e )W P N T P N T+ + + =

Introducendo la (3) nelle eqq. (1) e (2); ricavando N dalla (2) e sostituendo nella (1) si ottiene: 2tan tan 1 tan( )

(4)1 tan tan 2 tan

P W hβ ϕ β ϕγβ ϕ β

′ ′+ +′= =′−

Per trovare il valore massimo della forza P al variare di α:

04 2

dPd

π ϕαα

′= ⇒ = − sostituendo nelle (4)

2 21tan

2 4 2 ph PPπ ϕγ

′ ′= + =

Caso “passivo”:

Kp = coefficiente di spinta passiva (coincidente con la soluzione di Rankine)