Capítulo 11: Inductores

Los tres componentes básicos en los sistemas eléctricos y electrónicos son resistencias, condensadores e inductores. El inductor, el cual estudiaremos en este capítulo, es el dual del condensador. Esto es, podemos establecer una analogía entre el voltaje a través de un condensador con la corriente en un inductor, y entre el voltaje a través de un inductor y la corriente en un condensador.

Según los condensadores almacenan la energía que reciben en un campo eléctrico, los inductores almacenan la energía que reciben en un campo magnético.

Sección 11.2: Campo MagnéticoEncontramos aplicaciones de la teoría electromagnética en prácticamente todos los enseres y aparatos eléctricos: motores, generadores, transformadores, circuit breakers, televisores, computadoras, teléfonos, etc.

Consideremos el siguiente imán permanente.

FIG. 11.1 Flux distribution for a permanent magnet.

Un campo magnético existe en la región que rodea el imán permanente. Dicho campo magnético puede ser representado por las líneas de flujo magnético las cuales son similares a las líneas de flujo eléctrico. Sin

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embargo, al contrario de las líneas de flujo eléctrico, las líneas de flujo magnético no tienen ni punto de origen ni punto de terminación. Las líneas de flujo magnético existen en bucles continuos.

Las líneas de flujo magnético emanan del polo norte del imán hasta el polo sur y regresando al polo norte pasando por el interior del imán.

La intensidad de un campo magnético en una región en particular está directamente relacionada con la densidad de las líneas de flujo en dicha región. Por ejemplo, la intensidad del campo magnético en el punto a es el doble de la intensidad del campo magnético en el punto b pues cuenta con el doble de las líneas de flujo magnético. Esto es compatible con el comportamiento observado de los imanes permanentes. Mientras más nos acercamos a los polos, mayor será su fuerza de atracción o repulsión.

Polos opuestos se atraen y su distribución de flujo magnético es representada por la siguiente figura.

FIG. 11.2 Flux distribution for two adjacent, opposite poles.

Polos iguales se repelen y su distribución de flujo magnético es representada por la siguiente figura.

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FIG. 11.3 Flux distribution for two adjacent, like poles.

Si un material no ferromagnético, como cristal o cobre, es colocado en el paso de las líneas de flujo magnético, apenas notamos cambio alguno.

FIG. 11.4 Effect of a ferromagnetic sample on the flux distribution of a permanent magnet.

En cambio, si un material ferromagnético como el hierro es colocado en la paso de las líneas de flujo magnético, las líneas de flujo magnético pasan a través de dicho material más fácilmente que a través del aire y se altera el patrón de líneas. Este principio es comúnmente usado para proteger instrumentos sensitivos.

FIG. 11.5 Effect of a magnetic shield on the flux distribution.

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Un campo magnético representado por los círculos concéntricos de líneas de flujo magnético está presente en cada cable a través del cual pase corriente. Podemos usar la regla de la mano derecha para mostrar la dirección de las líneas de flujo magnético. El dedo pulgar de la mano derecha apunta en la dirección de la corriente y los restantes dedos curvean en la dirección de las líneas de flujo magnético.

FIG. 11.6 Magnetic flux lines around a current-carrying conductor.

Si, tal y como muestra la siguiente figura, el conductor es alambrado formando una sola vuelta el flujo magnético resultante fluye en una dirección a lo largo del centro del embobinado.

FIG. 11.7 Flux distribution of a single-turn coil.

Si el conductor en vez de formar una sola vuelta forma múltiples vueltas se produce un campo magnético de mucho mayor intensidad y que existe en un paso continuo a través y alrededor del embobinado.

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FIG. 11.8 Flux distribution of a current-carrying coil.

La intensidad del campo magnético del embobinado con múltiples vueltas puede ser incrementada colocando un material ferromagnético como hierro, acero o cobalto dentro del embobinado aumentando así la densidad de flujo dentro del embobinado. De esta forma producimos un electroimán.

FIG. 11.9 Electromagnet.

En el caso del electroimán podemos usar la regla de la mano derecha para determinar cuál de los extremos es el polo norte. El dedo pulgar apunta hacia el polo norte y los dedos curveados apuntan en la dirección de la corriente.

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FIG. 11.10 Determining the direction of flux for an electromagnet: (a) method; (b) notation.

El flujo magnético se mide en unidades de Weber (Wb) y se representa con la letra griega phi, . La densidad de flujo magnético se denota con la letra B y se mide en Teslas (T),

B = ΦA

dondeB = Wb/m2 = teslas (T) = webers (Wb)A = metros cuadrados (m2)

FIG. 11.13 Defining the flux density B.

1 tesla es equivalente a 1 Wb/m2. Esto es, si un weber de flujo magnético pasa a través de un área de un metro cuadrado, entonces la densidad de flujo magnético es 1 tesla.

La densidad de flujo de un electroimán es función del número de vueltas del alambre (N) y de la corriente que fluye a través del alambre (I). El producto del número de vueltas y la corriente nos da la fuerza magneto-motriz, la cual se mide en amperio-vueltas.

F = N I amperio-vueltas

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En otras palabras, si aumentamos la corriente o si aumentamos el número de vueltas, aumentamos la intensidad del campo magnético. La fuerza magneto-motriz en circuitos magnéticos es equivalente al voltaje en circuitos eléctricos, pues si aumenta la corriente, aumenta el voltaje.A los materiales como el hierro, el acero, el níquel y el cobalto que poseen la propiedad de fácilmente permitir el paso del flujo magnético se les conoce como ferromagnéticos. Además, dichos materiales poseen alta permeabilidad. La permeabilidad () es una métrica de cuán fácil se pueden establecer líneas de flujo magnético en el material.

Muchas veces usamos la permeabilidad del aire, o, como referencia.

o = 4 x 10-7 Wb/A.m

La permeabilidad de todos los materiales no-magnéticos como cobre, aluminio, madera, y cristal tienen prácticamente la misma permeabilidad del aire.

A los materiales que tienen una permeabilidad un poco menor que la del espacio libre se les conoce como diamagnéticos. A los materiales que tienen una permeabilidad un poco mayor que la del espacio libre se les conoce como paramagnéticos. A los materiales con alta permeabilidad como hierro, níquel, acero, cobalto y aleaciones de estos metales, se les conoce como ferromagnéticos. Un material ferro magnético tiene una permeabilidad varios cientos o hasta miles de veces mayor que la del espacio libre.

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Muchas veces usamos el concepto de permeabilidad relativa para expresar la permeabilidad de un material con respecto a la permeabilidad del espacio libre,

= o r

donde r es la permeabilidad relativa.

Para los materiales ferromagnéticos r > 100, y para los materiales no-magnéticos r = 1.

Sección 11.3: InductanciaCualquier alambre embobinado, con o sin un core o núcleo, constituye un inductor. La inductancia determina la intensidad de campo magnético producido por una corriente.

La inductancia se mide en Henries. La definición formal de lo que es un Henry es la siguiente:

Un Henry es el nivel de inductancia que establece un voltaje de un voltio a través de un embobinado producido por un cambio en corriente de 1 amperio por segundo.

El valor de la inductancia es función del área dentro del embobinado, el largo del inductor, la permeabilidad del core o núcleo del embobinado y del número de vueltas de alambre que tenga el embobinado.

L = μ N 2Al =

μr μo N2 A

l Henries

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FIG. 11.16 Defining the parameters for Eq. (11.6).

Como N, el número de vueltas aparece elevado al cuadrado, N juega un papel importante en el valor de la inductancia. A mayor número de vueltas, mayor es la inductancia. Ahora, si tratamos de usar alambre muy fine para así poder aumentar el número de vueltas, nos corremos el riesgo de limitar la corriente máxima.

Ejemplo: Para el siguiente inductor con núcleo de aire

FIG. 11.18 Air-core coil for Example 11.1.

a) Calcule la inductancia.

l = 1 in x

1 m39 .37 in = 0.0254 m

d = 0.25 in x

1 m39 .37 in = 0.00635 m

A = π4 d2 =

π4 (0.006352) = 3.17 x 10-5

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L = μ N 2Al =

μr μo N2 A

l = (1) ( 4 π x 10−7 ) (1002 ) (3 .17 x 10−5 )

0 .0254 = 15.68 H

b) Calcule la inductancia si un núcleo con r = 2000 es insertado dentro del coil.

L = (2000) (15.68 x 10-6) = 31.36 mH

Tipos de inductores

Los inductores, al igual que las resistencias y los condensadores, pueden ser de valor fijo o de valor variable.

A continuación podemos observar los distintos símbolos usados para los distintos tipos de inductores.

FIG. 11.20 Inductor (coil) symbols.

En general, el tamaño del inductor es determinado por el tipo de construcción, el core o núcleo, y su corriente máxima.

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La siguiente figura muestra inductores variables típicos. Al mover el tornillo lo que hacemos es que desplazamos el núcleo hacia adentro o hacia afuera del embobinado. Cuando el núcleo está completamente dentro del embobinado obtenemos la máxima inductancia. Cuando el núcleo está casi fuera del embobinado obtenemos el mínimo de inductancia.

FIG. 11.23 Variable inductors with a typical range of values from 1 mH to 100 mH; commonly used in oscillators and various RF circuits such as CB transceivers, televisions, and radios.

Si consideramos la resistencia interna del alambre usado en la construcción del embobinado y la capacitancia creada por los alambres enrollados obtenemos el siguiente modelo de circuito para un inductor.

FIG. 11.24 Complete equivalent model for an inductor.

Si ignoramos la capacitancia parásita entonces obtenemos el siguiente modelo simplificado que aunque no es tan exacto como el anterior, es más práctico y sencillo de utilizar.

FIG. 11.25 Practical equivalent model for an inductor.

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Sección 11.4: Voltaje InducidoAntes de analizar el comportamiento del inductor desde el punto de vista de circuito primero necesitamos discutir la ley de inducción electromagnética de Faraday. Esta ley nos dice que si movemos un conductor a través de un campo magnético de forma que el conductor corte las líneas de flujo magnético entonces se induce un voltaje a través de dicho conductor. Mientras más rápido se mueva el conductor, mayor será el voltaje inducido. El mismo efecto se logra si el conductor está fijo y el campo magnético es el que se mueve.

FIG. 11.28 Generating an induced voltage by moving a conductor through a magnetic field.

La ley de Faraday también nos dice que si movemos un embobinado de N vueltas a través del cual cruza un campo magnético entonces el voltaje inducido en el embobinado está dado por la siguiente ecuación,

e = N dΦdt voltios

donde, por definición,

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dΦdt =

limΔt−¿0

ΔΦΔt

A mayor número de vueltas de alambre y mientras más rápido el alambre pase por el flujo magnético, mayor será el voltaje inducido. Por

otro lado, si es constante, esto es, no cambia con el tiempo, dΦdt = 0

y e = 0 voltios. Esto es, bajo dichas circunstancias el voltaje inducido es cero.

Apliquemos ahora todos estos conceptos a un inductor como el mostrado en la siguiente figura.

FIG. 11.30 Demonstrating the effect of Lenz’s law.

Como hemos visto con la Ley de Faraday, un embobinado en la vecindad de un flujo magnético que cambia con el tiempo induce un voltaje. Un cambio en corriente a través del embobinado induce un voltaje, y dicho voltaje tiene una polaridad que se opone al aumento en corriente. Mientras más rápido cambie la corriente, mayor será el voltaje inducido que se opone a dichos cambios en corriente.

La inductancia de un embobinado también es una medida o una métrica del cambio en flujo magnético enlazando el embobinado como efecto del cambio en corriente a través del embobinado. Esto es,

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L = N

dΦdiL Henries (H)

Ahora, si usamos la regla de la cadena (chain rule) de cálculo I obtenemos la siguiente expresión.

e = N dΦdt = N

dΦdiL

diLdt = L

diLdt voltios

O sea, que el voltaje eL a través de un inductor está dado por la siguiente relación.

eL = L

diLdt = vL voltios

Si la corriente a través del inductor es constante, esto es, no cambio con

el tiempo, entonces

diLdt = 0 y vL = 0 voltios. Esto quiere decir que a DC

el inductor se comporta como corto circuito.

Sección 11.5: R-L Transients: The Storage PhaseConsideremos el siguiente circuito en donde el interruptor se cierra cuando t = 0 segundos.

FIG. 11.31 Basic R-L transient network.

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Las siguientes gráficas muestran la corriente y el voltaje a través del inductor.

FIG. 11.32 iL, yL, and yR for the circuit in Fig. 11.31 following the closing of the switch.

El inductor se opone a los cambios en corriente, y como inicialmente, antes de que se cerrara el interruptor, la corriente a través del inductor era cero, un instante después de cerrarse el interruptor la corriente sigue siendo cero. La corriente va aumentando hasta que el inductor finalmente se comporta como corto circuito, quedando la corriente final definida por E/R.

iL = ER (1 – e- t/(L/R)) =

ER (1 – e- t/) A

Inicialmente, como la corriente a través del inductor es cero, no hay caída en voltaje a través de la resistencia y el voltaje de la batería aparece reflejado a través del inductor. Eventualmente, cuando el inductor se comporta como corto circuito, el voltaje a través del inductor es cero.

vL = E e- t/(L/R) = E e- t/

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= L/R segundos es la constante de tiempo.

Vemos un comportamiento similar al que habíamos visto cuando un condensador se cargaba. La diferencia es que cuando el condensador se carga se almacena energía en el campo eléctrico entre las placas. En cambio, en el inductor se almacena energía en el campo magnético que se crea alrededor del embobinado.

Ejemplo: En el siguiente circuito el interruptor se cierra cuando t = 0 segundos. Escriba las ecuaciones que describen el comportamiento de iL

y de vL.

FIG. 11.36 Series R-L circuit for Example 11.3.

= LR =

42000 = 0.002 segundos

iL = ER (1 – e- t/) A

iL = 502000 (1 – e- t/.002) =

5200 (1 – e- 500 t) A

iL = 1

40 (1 – e- 500 t) A = 25 (1 – e- 500 t) mA

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vL = E e- t/(L/R) = E e- t/ = 50 e-500t voltios

Sección 11.7: R-L Transients: The Release Phase

Consideremos el siguiente circuito R-L en serie.

FIG. 11.41 Demonstrating the effect of opening a switch in series with an inductor with a steady-state current.

Asumamos que el interruptor estuvo cerrado por largo tiempo y el inductor alcanzó su comportamiento de régimen permanente siendo la corriente igual a E/R. Tiempo después el interruptor se abre repentinamente y arquea produciendo una chispa. Esto se debe a que en un breve instante de tiempo pretendemos que la corriente cambie de E/R a cero. Como vL = L di/dt, el voltaje vL a través del inductor es alto. Dicho voltaje, en serie con el voltaje E, aparece entre los contactos del interruptor.

Ahora utilizaremos un ejemplo para presentar cómo se comporta un inductor al descargarse.

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Ejemplo: Consideremos el siguiente circuito en donde el interruptor se cierra en t=0 y mucho más tarde, después de haber llegado a régimen permanente, se abre.

Primero consideremos el proceso de carga del inductor. El inductor se carga a través de R1 con constante de tiempo L/R1 = 4/2000 segundos. Como la resistencia R2 está en paralelo con la batería, vR2 = 50 V.

iL = 502000 (1 – e-t/(4/2000)) A = 25 (1 – e-500t) mA

vL = 50 e-500t voltios

Ahora consideremos el proceso de descarga que ocurre a través de las resistencias R1 y R2 cuando el interruptor se abre. Asumamos que para cuando se abre el interruptor, iL ya había alcanzado 25 mA. Gracias a R2

no se produce una chispa al abrir el interruptor. La nueva constante de tiempo es L/(R1 + R2) = 4/(2000 + 3000) = 0.0008 segundos.

iL = 25 e-t/0.0008 mA = 25 e-1250t mA

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Como el inductor se opone a cambios en corriente, al abrirse el interruptor la misma corriente que existía antes de que se abriera el interruptor sigue fluyendo a través del inductor, pero la corriente pasa por R1 y R2.

vL = -(vR1 + vR2)

vL = -5(25) e-1250t = -125 e-1250t voltios

Sección 11.11: Inductores en serie y en paraleloComo en un circuito en serie la corriente es la misma, las inductancias en serie se suman.

FIG. 11.56 Inductors in series.

LT = L1 + L2 + L3 + . . . + LN

Para inductores en paralelo, la inductancia total se calcula de la misma forma en que se calcula la resistencia total para resistencias en paralelo.

FIG. 11.57 Inductors in parallel.

1LT =

1L1 +

1L2 +

1L3 + . . . +

1LN

Para el caso especial de dos inductores en paralelo,

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LT =

L1 L2

L1+L2

Ejemplo: Simplifique el siguiente circuito.

FIG. 11.58 Example 11.9.

L2, L3 y L4 están en paralelo. Sea L’ la resultante de la combinación en paralelo de L2, L3 y L4.

1L' =

1L2 +

1L3 +

1L4

1L' =

11. 2 +

11. 2 +

11.8

1L' = 2.22

L’ = 0.45 H

L’ está en serie con L1 y con R.

0.56 + 0.45 = 1.01 H

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FIG. 11.59 Terminal equivalent of the network in Fig. 11.58.

Sección 11.13: Energía almacenada por un inductor

Al igual que un condensador ideal, un inductor ideal no disipa la energía que se le ha suplido. Almacena esta energía en la forma de un campo magnético.

Potencia es voltaje multiplicado por corriente.

PL = vL iL

Potencia es energía o trabajo por unidad de tiempo. Por lo tanto, si construimos la gráfica de PL vs tiempo y sumamos el área bajo la curva entonces obtenemos la energía almacenada. En cálculo II veremos que sumar el área bajo la curva consiste en integrar la función.

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FIG. 11.65 The power curve for an inductive element under transient conditions.

Walmacenada = 12 L I2 joules

Ejemplo: Calcule la energía almacenada por el inductor cuando la corriente ha alcanzado su valor final.

FIG. 11.66 Example 11.12.

Cuando la corriente alcanza su valor final, el inductor, tal y como muestra la anterior figura, se comporta como un corto circuito.

I = 155 = 3 A

Walmacenada = 12 L I2 joules

Walmacenada = 12 (6 x 10-3) (32) = 0.027 joules

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