i INDICE Captulo 1 INTRODUCCION Y ALCANCE DE LOS MTODOS NUMRICOS1 1.1Introduccin 1.2Qu son los mtodos numricos? 1.3Mtodos anteriores a la aparicin de la computadora 1.4Los mtodos numricos y la prctica de la ingeniera 1.5Hay lmites para la capacidad de los mtodos numricos? 1.6Por qu estudiar mtodos numricos? 1.7Lenguaje de computadora Captulo 2APROXIMACIONES Y ERRORES7 2.1Introduccin 2.2Cifras significativas 2.3Definiciones de error 2.4Limitaciones y exactitud de los datos experimentales

Captulo 3SOLUCIN NUMRICA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES19 3.1Introduccin 3.2Caractersticas de los mtodos numricos 3.3Mtodo de aproximaciones sucesivas 3.4Mtodo de biseccin 3.5Mtodo de falsa posicin 3.6Mtodo de Monte Carlo 3.7Mtodo de Newton Raphson 3.8Mtodo modificado de Newton 3.9Mtodo de la secante Captulo 4SOLUCIN NUMRICA DE ECUACIONES SIMULTNEAS63 4.1Introduccin 4.2Conceptos y operaciones bsicas con matrices 4.3Mtodos de solucin ii Captulo 5INTERPOLACIN Y AJUSTE DE CURVAS106 5.1Introduccin 5.2Interpolacin lineal 5.3Interpolacin polinomial 5.4Ajuste de curvas- aproximacin funcional 5.5Aproximacin a funciones continuas

Captulo 6INTEGRACIN NUMRICA146 6.1Introduccin 6.2Elementos tericos 6.3Mtodo trapecial 6.4Mtodo de Simpson 6.5Mtodo de Romberg 6.6Cuadratura de Gauss Captulo 7SOLUCIN NUMRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES183 7.1Introduccin 7.2Mtodos de solucin APNDICE A227 APNDICE B234 APNDICE C236 BIBLIOGRAFIA239 iii RESUMEN Al inicio de cada captulo, se presentan, de manera sencilla, los conceptos bsicos ms comunes relacionados con el tema que se desarrolla, de tal forma que el lector hagaunaremembranzadelostpicosquedebeconocerytengaunamotivacin inmediata.Ellofacilitarquelasaplicacionesseanmsexpeditasyamenas, porqueverconsatisfaccinqueobtieneresultadostanexactoscomolosque tendra con los mtodos analticos, cuando sea posible hacerlos de esa forma. Referentealastcnicaspararesolverproblemas,representadosporecuaciones algebraicas y trascendentes, se describen siete mtodos entre los que destacan, por su sencillez: Biseccin, Regla Falsa, Monte Carlo, Newton-Raphson ( llamado tambin Newton-Sencillo ), Newton Modificado y Secante. Entrelosmtodosqueresuelvensistemasdeecuacioneslineales,semuestrala bondadyconvenienciadelosmtodos:EliminacincompletadeGauss-Jordan, Matriz inversa, Jacobi y Gauss Seidel. Lastcnicasdeinterpolacinyajustedecurvaspresentadas,manejanloscasos linealesynolineales.Enlainterpolacinseexplicaconclaridadlaaplicacinde las frmulas de Gregory Newton y la frmula de Lagrange, en el ajuste de curvas, sedescribecondetalleelmtododemnimoscuadrados,porserdeaplicacin sencilla y resultados satisfactorios, si el estudiante visualiza el polinomio de ajuste ms apropiado. En la integracin numrica se incluyen, por una parte: La Regla Trapecial, la Regla deSimpsony,porlaotra:LaCuadraturadeGaussyelpolmicomtodode Romberg. Pararesolverecuacionesdiferenciales,seencontrarnmtodosdeaplicacin sencilla, pero de resultados muy aproximados como: Euler, Euler mejorado y Heun; sinembargo,tambinsemuestranotrosdemayorgradodedificultad,perode resultadosmejorados,comolosmtodosdeRunge-Kuttaensusdiferentes modalidades. En las aplicaciones, se plantean problemas tipo, por reas del conocimiento en el campo de ingeniera. Los ejemplos presentados fueron resueltos con ayuda de una computadora digital, ya que, se justifica ampliamente que, con el advenimiento de las computadoras, los mtodos numricos adquieren una fuerza, casi insuperable. EL AUTOR iv 1 Captulo 1 INTRODUCCIN Y ALCANCE DE LOS MTODOS NUMRICOS 1.1 Introduccin Empezaremos este captulo, discutiendo en forma breve el propsito y el poder de los mtodos numricos; as como sus limitaciones y posteriormente presentaremos unajustificacinparaelestudiodetalladodelosmismos.Encadacaptulo, primeramente se presentas los elementos tericos bsicos, con un lenguaje fcil de digeriryalfinaldecadaexposicinterica,comounrepasodelateorase resuelvenvariosejercicios,conlafinalidaddequelosestudianteslespermitan, posteriormente,adaptarlosasusnecesidadespropias,ensusaplicaciones profesionales o de investigacin. 1.2 Qu son los mtodos numricos? Los mtodos numricos son una clase de tcnicas para resolver una gran variedad de problemas matemticos. Estos problemas pueden, naturalmente, tener su origen comomodelosmatemticososituacionesfsicas.Estetipodemtodosson extraordinariospuestoquesolamentesonempleadasoperacionesaritmticasy lgicas;deestamaneralosclculospuedenhacersedirectamenteousandouna computadora digital. Aunque en el sentido estricto del trmino, cualquier cosa, desde los dedos hasta un baco, pueden ser considerados como una computadora digital, sin embargo, aqu usaremosestetrminoparareferirnosacomputadoraselectrnicas,lascuales hansidousasrazonablementeyenformadifusa,desdeamediadosde1950. Actualmente los mtodos numricos preceden a las computadoras electrnicas por muchosaosy,enrealidad, muchos delosmtodosusadosgeneralmente datan, en forma virtual, desde el inicio de las matemticas modernas; mas sin embargo, el usodeestosmtodosfuerelativamentelimitadohastaeladvenimientodela calculadora mecnica de escritorio y posteriormente dramticamente incrementada. 2 Enunsentidoreal,losmtodosnumricos vinieronarevolucionarlastcnicasde solucin,devariosproblemascomplejos,conlaintroduccindelacomputadora electrnica. Lacombinacindemtodosnumricosylascomputadorasdigitaleshancreado unaherramientadeinmensopoderenelanlisisnumrico.Porejemplo,los mtodosnumricossoncapacesdemanejarlanolinearidad,lageometra compleja y sistemas grandes de ecuaciones simultneas que son necesarios para lasimulacinperfectademuchassituacionesfsicasreales.Lasmatemticas clsicas, junto con las matemticas aplicadas ms ingeniosas no pueden competir con muchosdeestos problemas enel nivelrequeridoporla tecnologadehoyen da.Comoresultado,losmtodosnumricoshandesplazadoelanlisisconlas matemticasclsicasenmuchasaplicacionesindustrialesydeinvestigacin;sin queellosignifiquequelasinstitucionesdebandejardeincluir,enlaformacinde los estudiantes, esta temtica. 1.3. Mtodos anteriores a la aparicin de la computadora Antesdelusodelacomputadoradigital,habatresmtodosdiferentesquelos ingenieros aplicaban a la solucin de los problemas, a saber: 1.Solucionesexactas.Confrecuencia,estassolucionesresultabantilesy proporcionabanunacomprensinexcelentedelcomportamientodealgunos sistemas. Sin embargo, las soluciones analticas pueden encontrarse slo para unaclaselimitadadeproblemas.Estosincluyenaquellosquepueden aproximarsemediantemodeloslinealesytambinaaquellosquetienenuna geometrasimpleypocasdimensiones.Enconsecuencia,lassoluciones exactas (analticas) tienen valor prctico limitado, porque la mayor partede los problemas reales no son lineales, e implican formas y procesos complejos. 2.Solucionesgrficas.Estassolucionestomabanlaformadegrafoso nomogramas.Aunquelastcnicasgrficasamenudopuedenemplearsepara resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos. Es ms, las soluciones grficas (sin ayuda de una computadora) son tediosas en extremo y difciles,deimplementar.Finalmente,lastcnicasgrficasestnlimitadasa aquellos problemas que puedan describirse usando tres dimensiones o menos. 3.Clculos manuales y reglas de clculo. Aunque en teora estas aproximaciones deberanserperfectamenteadecuadaspararesolverproblemascomplicados, enlasprcticas,sepresentan algunas dificultades.Losclculos manualesson lentosytediosos;ademsnoexistenresultadosconsistentesdebidoaque surgen equivocaciones cuando se efectan las operaciones de esa forma. 3 1.4.- Los mtodos numricos y la prctica de la ingeniera Desdefinalesdeladcadade1940,lamultiplicacinydisponibilidaddelas computadorasdigitaleshanllevadoacabounaverdaderaexplosinencuantoal usoydesarrollodelosmtodosnumricos.Alprincipio,estecrecimientoestaba algo limitado por el costo de acceso a computadoras grandes, por lo que, muchos ingenieroscontinuabanusandosimplesplanteamientosanalticosenunabuena partedesutrabajo.Noesnecesariomencionarquelarecienteevolucinde computadoras personales de bajo costo, ha dado a mucha gente un fcil acceso a poderosas capacidades de cmputo. Adems,existeunbuennmeroderazonesporlascualessedebenestudiarlos mtodos numricos, en ciencias e ingeniera: 1.Losmtodosnumricossonherramientasextremadamentepoderosasparala solucin de problemas reales. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones linealesgrandes,lanolinealidadygeometrascomplicadas(comoyasedijo antes),quesoncomunesenlaprcticadelaingenieraaplicadayque,a menudo,sonimposiblesderesolveranalticamente.Porlotanto,amplanla habilidad de quien los estudia para resolver problemas. 2.En el transcurso de su carrera, es posible que el lector tenga la ocasin de usar softwaredisponiblecomercialmentequecontengamtodosnumricos.Eluso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teora bsica en laquesebasanlosmtodosquesediscutirnenestetrabajo;porloquees necesarioqueelestudiantelosvea(losmtodosnumricos),comouna respuesta a sus inquietudes. 3.Hay muchos problemas, en las aplicaciones reales, que no pueden plantearse al emplear programas hechos. Si se est versado en los mtodos numricos y se esunadeptoalaprogramacindecomputadoras,entoncessetienela capacidad de disear programas propios para resolver losproblemas, sin tener que comprar un software costoso. 4.Losmtodosnumricossonunvehculoeficienteparaaprenderaservirsede lascomputadoraspersonales.Esbiensabidoqueunamaneraefectivade aprender a programar las computadoras es al escribir los programas. Como los mtodos numricos en su mayor parte estn elaborados para implementarse en computadoras,resultanidealesparaesepropsito.Anms,estn especialmenteadaptadosparailustrarlapotenciaascomolaslimitacionesde las computadoras. Cuando el lector implemente con buen resultado los mtodos numricos en una computadora personal y los aplique para resolver problemas de otro modo resultan intratables, entonces tendr una demostracin tangible de cmopuedenayudarlelascomputadorasparasudesarrolloprofesional.Al mismotiempo,aprenderareconocerycontrolarloserroresdeaproximacin que son inesperables de los clculos numricos a gran escala. 5.Losmtodosnumricossonunmedioparareforzarsucomprensindelas matemticas. Porque una funcin de los mtodos numricos es la de reducir las matemticassuperioresaoperacionesaritmticasbsicas,yaqueprofundizan 4 en los sistemas que de otro modo resultan oscuros. Esta alternativa aumenta su capacidad de comprensin y entendimiento en la materia. 1.5 Hay lmites para la capacidad de los mtodos numricos? Naturalmente que la respuesta a esta pregunta es un enftico si. Est a la vista de muchosinvestigadores,cientficoseingenierosquienesdeberanconocermejor, que si un problema no puede ser resuelto de ningn otro modo, debido a que, todos ycadaunotienequeestarfrenteaunacomputadora.Esteestadodecosas( eventos ) es indudablemente debido al enorme poder de los mtodos numricos los cualeshemosdiscutidoenlaseccinanterior.Sinembargo,desafortunadamente esciertoquehaymuchosproblemasquesonanimposibles(enalgunoscasos deberamos usar la palabra imprctica ) de resolver usando mtodos numricos. Para algunos de esos problemas no exactos, el modelo matemtico completo an no ha sido encontrado, obviamente es imposible considerar una solucin numrica. Otrosproblemassonsimplementetanenormesquesusolucinestmsallde los lmites prcticos en trminos de la tecnologa actual, de las computadoras. Por ejemplo,hasidoestimadoqueparaobtenerundetalledelasolucinpara problemas de flujo turbulento, en funcin del tiempo, que incluya los efectos de los remolinos ms pequeos, requeriramos del orden de 30 aos. Esta estimacin ha sidobasadaenlatecnologade1968yesprobablementemsotalvezunpoco menorconlatecnologaactual.Desdeluegolapreguntacompletade practicabilidad,frecuentementedependedequtantosedisponeparapagarla obtencindeunarespuesta.Algunosproblemassontanimportantesquela industriaoelgobiernoestdispuestoapagarmuchosmillonesdedlarespara obtener la capacidad computacional necesaria y ayudar a hacer prctica la solucin delosproblemasquepreviamentehabansidoconsideradosconsolucin imprctica.Enmuchoscasos,aunqueloslmitesestnconstantemente reducindose,ahpermanecenmuchosproblemas,loscualesestnenla investigacin con la tecnologa actual o en la formulacin del modelo matemtico o en trminos de la capacidad computacional que hoy se tiene. 1.6 Por qu estudiar mtodos numrico? Podraparecerextraalapregunta;sinembargo,paralosconocedoresdelpoder delosmtodosnumricos,quesabendesuextensousoencadafacetadela ciencia,latecnologayelgobierno;lapreguntaesinjustificada,yaque,enel estudiodelacienciaylatecnologatienenunajustificacininmediata,porloque, 5 mas bien se recomienda su uso en la licenciatura y postgrado, debido a que estos ltimos tendran pocas aportaciones si no hacen aplicaciones de stos y de nada le serviran los equipos ms modernos de clculo. Enmuchoscasos,eltrabajohechoporlosmtodosnumricosesaltamente valorado, sin embargo, en el uso de programas y subprogramas inevitablemente se encontrarndificultades.Estasdificultadespuedendependerdemuchascausas, incluyendo las siguientes: a)Unasituacinfsicacomplejanopuedeserexactamentesimuladaporun modelomatemtico(estoesunpuntoextremadamentecrucial,peroest fuera del alcance de la presente discusin ). b)El mtodo numrico no libera completamente todas las situaciones. c)El mtodo numrico no est completamente libre de error. d)El mtodo numrico no es ptimo para todas las situaciones. Lasdificultadesconlosmtodosnumricospuedenresultarenunprogramapre-empaquetado ounsubprograma delibreraproduciendoresultadoserrneoso no tenerlosresultadosesperados.Enadicin,elusuarioregistrasubprogramasde libreraparaejecutarohacerciertastareasparaencontrarunavariedadde subprogramasynmerosquegeneralmentesonaplicados,peroelmaterial descriptivoraravezdaralgnindicadordelaeficienciadelsubprogramaosu conveniencia para resolver el problema en especfico. El usuario con cualquiera de esos problemas, pero que no tiene el conocimiento de mtodosnumricos,deberabuscarlainformacinnecesaria(quizunanalista numrico),sideverdadesunasesorevaluado.Sinembargo,enestasituacin podraserdifcilqueelusuarioplantearalaspreguntasadecuadamentey,en consecuencialarespuestapodranoserlamsadecuada,puestoquela experiencia de los dos podra quiz sea bastante diferente. Podemosverdeestamaneraque,existeunafuertejustificacinparaqueel cientficooelingenieroadquieranconocimientosdelosmtodosnumricos.Este conocimientocapacitaalusuariodeuncomputador,aseleccionar,modificary programarunmtodoparaunatareaespecfico,ascomoenlaseleccinde programasysubprogramaspregrabadosdelalibrerayhacerposible,parael usuario, la comunicacin con un especialista eficiente y de modo inteligentebuscar ayudaparaunproblemaparticularmentedifcil.Finalmentedeberanser reorganizado,elgranvolumendelosquehansidollamadosmtodos desarrollados (cuyo objetivo es escribir programas para simular problemas fsicos complejos)hechoporingenierosycientficosynoporanalistasnumricos. Obviamente,lastcnicasnumricasmseficientesdeberanserempleadas exactamenteentaltrabajoyelconocimientocompletodemtodosnumricoses esencial para ingenieros y cientficos en tales proyectos. Acontinuacinsediscuten,brevemente,algunostpicosrelevantesdelas herramientas de clculo mencionadas: las computadoras electrnicas. 6 1.7 Lenguajes de computadora. Lamayoradeloslectoresdeestelibro,tendrenmentealgunaideaen programacin,enunlenguajedealtonivelparacomputadora,talcomo FORTRAN, ALGOL o BASIC. Esos lenguajes de programacin permiten al usuario escribirprogramasenunaformaenlaqueincluyefrmulasalgebraicasy proposicioneslgicaseningls,parainstruccionesdeentradaysalida.Tales lenguajedealtonivelsonvirtualmenteindependientesdelamquinaenlacual correrelprograma.Medianteelusodeunprogramadecomputadorallamado compilador,elprogramadealtonivelpuedeserconvertidoalcdigofundamental de la mquina con lo que el programa ser actualmente ejecutado. Paralamayoradelascosasesusadoellenguajealgebraicoparapropsito cientficoesFORTRANIV.ConalgunasexcepcioneselALGOLrarasveceses usado para clculos cientficos, pero es extremadamente usado como un lenguaje internacionalparadescribiralgoritmos.ElBASICesunlenguajepopularparauso desistemasdetiempocompartidoyusualmenteesusadoparatareas programadasrelativamentesimples.Otroslenguajesdealtonivelparauso cientficosonAPL(tambinusa,razonablementeeltiempocompartidoy convenientetantoparatareasde muysimpleshastasofisticadas),MAD(conlas mismaslimitantesqueelALGOL)yPL-1(unlenguajeactualmentepoderosode inters principal para clculos cientficos ). La aparicin de cada nuevo lenguaje de programacin es bien recibida por un buen promedio de usuarios. Estos lenguajes imponen nuevas reglas que tienen que ser aprendidasyposiblementeconfundidasconotroslenguajes.Sinembargo, cualquierperdonarazonablementeflexibleencontrarpocasdificultadesen adaptarse a un nuevo lenguaje si es necesario. Lo ms importante es la economa, losprogramasdecomputadoralargossonmuycarosylaconversindeesos programasaotrolenguajepuedeserlamejortarea,peroinvolucrarmuchos meses de trabajo. Esta es una de las razones principales por las que FORTRAN IV esellenguajeestndarenaplicacionesdelacienciaynicamentedebe desplazarse hacia el futuro. 7 Captulo 2 APROXIMACIONES Y ERRORES 2.1- Introduccin Lastcnicasnumricasconducenaaproximacionesensusresultados,yaque, stasseusancomosedijoantes,comounaalternativadesolucincuandoel problema por resolver no tiene un modelo matemtico de solucin o an tenindolo larespuestaesperadanoesencontradaconlosmtodostradicionales.Por consiguiente, los errores forman parte intrnseca de los mtodos numricos, debido a que stos son slo una aproximacin de la solucin a un problema. En la prctica profesional,loerrorespuedenresultarcostososyenalgunasocasiones catastrficos,debidoaqueporunerrorsepuedeperderhastalavidasiuna estructuraoundispositivollegaafallar.Lasfuentesdeerrorespuedenser instrumentales,porimperfeccionesodesajustesdelequipousadoenlatomade medidas; personales que se producen por la falta de habilidad del observador para leer, con exactitud, los instrumentos y de clculo. Enelpresentecaptulosecubrenvariosaspectosqueidentifican,cuantificany minimizan los errores. Dos de los errores ms comunes son los deredondeo y de truncamiento. Los primeros se deben a que la computadora o el equipo de clculo usado,slopuedenrepresentarcantidadesconunnmerofinitodedgitos.Los erroresportruncamiento,representanladiferenciaentreunaformulacin matemticaexactadeunproblemaylaaproximacindadaporunmtodo numrico. Desde luego que no dejan de discutirse, aunque de manera somera, los errores por equivocacin, que son debidos a una mala formulacin de modelos, as como los errores por incertidumbre de la obtencin de datos. 2.2 Cifras significativas Elconceptodecifrassignificativassehadesarrolladoparadesignarelgradode confiabilidad de un valor numrico. El nmero de cifras significativas es el nmero 8 dedgitos,msundgitoestimadoquesepuedausarenlosinstrumentosno digitales. Loscerosnosiempresoncifrassignificativas,yaque,puedenusarseslopara ubicarelpuntodecimal,asque,lossiguientesnmerostienencuatrocifras significativas. 0.000 018 45 0.000 184 5 0.001 845 Cuandoseincluyencerosennmerosmuygrandes,noseveclarocuantosde ellossonsignificativos,siesqueloshay.Porejemplo,elnmero45300puede tener tres, cuatro o cinco dgitos significativos, dependiendo si los ceros se conocen conexactitud.Laincertidumbresepuededesecharusandolanotacincientfica; porloque,4.53x104,4.530x104y4.5300x104muestranqueelnmeroen cuestin, tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas. Las implicaciones que se tienen en el estudio de los mtodos numricos son: 1.-Debeespecificarseclaramentelatoleranciaenlosclculos,porejemplo,se puededecidirquelaaproximacinseaaceptablesiempreycuandoseacorrecta hasta cuatro cifras significativas, o sea que, debe existir seguridad que las primeras cuatro cifras son correctas. 2.-Aunqueciertascantidades(t,e,2 ),representannmeros especficos,nose puedenexpresarexactamenteconunnmerofinitodedgitos.Porejemplo,el nmero t es igual a 3.141 592 653 589 793 238 462 643... hasta el infinito. De aqu queestosnmerossiemprecontendrnelerrorporredondeo,puestoquelos dgitos desplegados en una computadora (o en una calculadora de bolsillo) siempre es una cantidad finita comprendida entresiete y catorce cifras significativas,como se describe a continuacin. SistemaCifras significativas Calculadora programable7-10 Microcomputadora7-10 Minicomputadora7-10 Computadoras7-14 2.3 Definiciones de error Loserrores numricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemticas. stos incluyen errores de truncamiento, 9 queresultandepresentaraproximadamenteun procedimiento matemticoexacto, ascomoaloserroresderedondeo,queseoriginanalrepresentarenforma aproximadanmerosexactos.Porconsiguiente,larelacinentreunresultado exacto (Xv) y el aproximado (Xa) est dada por: error Xa Xv + =(2-1) De lo anterior se sigue que el error (cv ) se puede calcular con, Xa Xvv = c(2-2) que generalmente, es de ms inters el valor absoluto de dicho error; ya que lo que realmentesequieremedireslacercanadelvaloraproximado(Xa)alvalor exacto.En general, en situaciones reales, es difcil conocer el valor verdadero a priori; por lo que, casi siempre se hablar de error relativo yerror relativo porcentual, que se obtienen con las relaciones, VvEvEr =, en forma absoluta(2-3) VvEvEr = *100, en porcentaje. Enlaaplicacindelosmtodosnumricos,seencontrarqueusanesquemas iterativosparaaproximarresultados.Entalescasos,elerrorsecalculadela siguiente manera: 10011xXaXa Xaii iv||.|

\| =++c(2-4) donde Xai+1, es la aproximacin actual Xai, corresponde a la aproximacin previa. 10 Note usted que la ecuacin (2-4) puede conducir a valores positivos negativos, si la aproximacin previa o el valor aproximado es mayor que la aproximacin actual o que Vv. Entonces, el valor del error ( o del error relativo ) es negativo y, positivo en caso contrario. A menudo, cuando se realizan clculos, puede no importar mucho el signodelerror,sinomsbiensuvalorabsoluto,paracompararloconuna tolerancia prefijadact, la cul depende de la exactitud requerida en los resultados. Cuandoesas,losclculosserepitenhastaqueelvalorabsolutodelerrorsea igual menor que dicha tolerancia. |cv| ct(2-5) debido a que cuando se cumple la relacin anterior, se considera que el resultado obtenido est dentro de un nivel aceptable fijado previamente. 2.3.1 Errores de redondeo En la seccin ( 2-2 ) se mencion que, los errores de redondeo se deben a que las computadoras,sloguardanunnmerofinitodecifrassignificativasduranteun clculo.Lascomputadorasrealizanestafuncindemanerasdiferentes;por ejemplo,sisloguardansiete(7)cifrassignificativasylosclculosinvolucranal nmerot,lacomputadorasloalmacenayusa3.141592,omitiendolascifras restantes y, por consiguiente, genera un error de redondeo de: cv = 0.000 000 650 Siendo sta, una de las varias formas que utiliza una computadora para redondear nmeros.Estatcnicaderetenerslolasprimerassietecifrasselellama truncamiento en el ambiente de computacin; de preferencia se le llamar de corte para distinguirlos de los errores de truncamiento que se analizarn en la siguiente seccin.Uncorteignoralascifrasrestantes,delarepresentacindecimal completa; por ejemplo, para el caso anterior, el octavo dgito significativo es 6. Por lo tanto, t se representa de manera ms exacta como 3.141 593, mientras que con el corte fue 3.141 592. De esta forma el error, por redondeo sera: cv = 0.000 000 350 11 Desde luego que las computadoras, se pueden desarrollar para redondear nmeros de acuerdo con las reglas de redondeo, como la que se acaba de aplicar, aunque esto agrega costo computacional. 2.3.2 Reglas de redondeo Lassiguientesreglaspuedenaplicarsealredondearnmeros,cuandoserealizan clculos a mano. Primera:Enelredondeo,seconservanlascifrassignificativasyelrestose descarta.Elltimodgitoqueseconservaseaumentaenuno,sielprimerdgito descartado esmayorde5;de otramanerasedejaigual,pero sielprimerdgito descartadoes55seguidodeceros,entonceselltimodgitoretenidose incrementa en uno, slo si es par. Segunda:Enlasumaylaresta,elredondeosellevaacabode formatalque,el ltimo dgito retenido en la respuesta corresponda al ltimo dgito ms significativo de los nmeros que estn sumando o restando. Ntese que un dgito en la columna de las centsimas es ms significativo que uno de la columna de las milsimas. Tercera: Para la multiplicacin y para la divisin, el redondeo es tal que, la cantidad decifrassignificativasdelresultadoesigualalnmeromspequeodecifras significativas que contiene la cantidad en la operacin. Cuarta:Paracombinacionesdelasoperacionesaritmticas,existendoscasos generales.Sepuedesumarorestarelresultadodelasmultiplicacionesodelas divisiones. Multiplicacin Divisin

Multiplicacin Divisin + _ 12 otambinse pueden multiplicar o dividirlosresultadosdelassumasylasrestas, es decir, enamboscasos,seejecutanlasoperacionesentreparntesisyelresultadose redondea, antes de proceder con otra operacin, en vez de redondear nicamente el resultado final. Ejemplo 2.1 Ilustracin de las reglas de redondeo. a)Erroresderedondeo.Redondearlosnmerosdados,alnmerodecifras significativas indicadas. NmeroInicial Cifras significa- tivas Nmeroredondeado 5.672335.67 10.406410.41 7.350027.4 7.450027.4 88.216500588.216 1.2500121.3 b)Sumas y restas. b.1.- Evalese 2.2 1.768, redondeando a una cifra significativa 2.2 1.768 = 0.432que redondeado es -- 0.4 b.2.- Evalese 4.68x10-7 + 8.3x10-4 228x10-6. Conviene expresar los nmeros con un mismo exponente, as que, 0.00468x10-4 + 8.3x10-4 .2.28x10-4 = 6.02468x10-4 Suma Resta Suma Resta X / 13 Deestamanera,sepuedeverclaramentequeel3(del8.3)eselltimodgito significativo retenido, por lo que, la respuesta se redondea de la siguiente manera. 6.02468x10-4para a 6.0x10-4 c)Multiplicacin y divisin c.1.- Evaluar 0.0642 x 4.8 0.0642x4.8=0.30816 0.31 c.2.- Ahora evale 945/0.3185 954 /0.3185 = 2 967-032 967....2 967 d)Combinaciones. d.1.-Calcular | 15.2(2.8 x10-4 )| + | (8.456x10-4 ) 0.177 | Primeroefectenselamultiplicacinyladivisinqueestndentrodelos corchetes: | 4.256 x10-3 | +| -176.1544... x10-3 | Ahora, antes de sumar, se redondean las cantidades encerradas: | 4.3x10-3 | +| -176.15x10-3|= -171.85x10-3 -171.8x10-3 d.2.- Evalese 8 . 5 10 672 . 210 7 . 8 10 740 . 637 5+ xx x Igualando los exponentes, se tiene: 3 37 710 0058 . 0 10 672 . 210 7 . 8 10 674x xx x+ redondeando queda. 14 83710 ... 483196 . 210 678 . 210 665= xxx 2.3.3 Errores de truncamiento Sonaquellosquesepresentanalaproximarfuncionesanalticaspormediode algunos trminos de una serie infinita; esto se hace frecuentemente en los mtodos numricoscuandoesdifcilrealizaroperacionesconalgunafuncincomplicaday se toman en su lugar los primeros trminos de una serie que aproxima la funcin, truncandolosdems.Tambinsepresentacuandoseutilizannmeros irracionales,talescomo:\2,e,t,etc.,yaqueparatrabajarconellossetoma un nmero determinado de cifras significativas y se truncan las dems. Ejemplo2.2Elnmeroe,basedeloslogaritmosneperianos,concincocifras decimales, es igual a 2.71828; calcular el error absoluto y el error relativo en el que seincurreencadacaso,altomarhastaelprimero,segundo,terceroycuarto trminos de la serie ==1!1kke Solucin.a)Tomando hasta el primer trmino 1! 01!100= = == kke Enconsecuencia,elerrorabsolutoes,cv=|2.718281|=1.71828yelerror relativo cr, resulta, 00212 . 63 63212 . 071828 . 21 71828 . 2= ==rc b)Si se toma hasta el segundo trmino de la serie, se tendr 15 2! 11! 01!110= + = == kke De aqu se concluye que, cv = 0.71828y cr = 0.26424 = 26.424% c)Ahora, tomando hasta el tercer trmino == + + = =205 . 2! 21! 11! 01!1kke Este resultado conduce a, cv = 0.21828y cr = 0.0803 = 8.03% d)Tomando hasta el cuarto trmino, se tiene == + + + = =306667 . 2! 31! 21! 11! 01!1kke con lo que, se llega a, cv = 0.05161 y cr = 0.01899 = 1.9 % 2.4 Limitaciones en la exactitud de los datos experimentales. Elcientficodebetrabajarcondatosdignosdeconfianza.Enestaseccin describimosalgunasdelasrazonesporlascualeslosdatospuedenresultar defectuosos. 2.4.1. Error humano Este puede deberse al descuido, donde quizs simplemente es una mala lectura en una escala. Las lecturas repetidas de la misma cantidad a menudo revelan este tipo de error. 16 Elerrorenunatcnicaesmuydifcildedetectar,puessecometeentodaslas medidastomadasenlamismaforma.Unafallacomnenestetipodeerroresel paralaje.Esteocurre,porejemplo,cuandoseestleyendolaindicacindeuna aguja, en una escala ( v.gr., en un cronmetro ). La figura 2.1-a, muestra tal aguja vista desde arriba. La figura 2.1-b, es una vista de planta. Claramente se nota que lalecturaRc,delaescala,escorrectay,paraobteneresteresultadoelojodel observador debe estar colocado directamente arriba de la aguja, en el punto Ec. En cualquierotraposicin,digamosEw,setomarunalecturadeescalaRw, incorrecta.Conexperienciaycuidadounosevuelvemsaptoparaevitarerrores como estos. El diseo de los instrumentos puede tambin ayudar en este aspecto. Para evitar el paralaje, por ejemplo, muchos cuadrantes incorporan un espejo a lo largodetodalaescala-colocandoelojoentalformaquelaagujaysureflexin queden superpuestas, de esta manera el ojo queda directamente arriba de la guja; es decir, la lectura tomada ser como la Rc ( la correcta ). Para reducir an ms el error, en la lectura, algunos instrumentos actuales dan la lectura en forma digital. Fig. 2.1-bFig. 2.1-a17 2.4.2. Limitaciones instrumentales Losinstrumentostienensuspropiaslimitacionesinherentes.Algunassonobvias, como el caso de las reglas de madera, donde uno puede ver a simple vista que las divisionesnoestnigualmenteespaciadas.Sinembargo,piezasmssofisticadas de equipo, pueden estar sujetas a varias fuentes de error. Tomen, por ejemplo. Un microscopio.Aunquelosmicroscopios,fuerondiseadosprimeramentepara observarobjetospequeos,algunasvecesesnecesariomedireltamaodel objeto. La exactitud de tales medidas depende de un nmero de factores-la rigidez de la columna que sostiene los lentes, la rigidez con la cual el espcimen se fija en laplatinaylaexactitudconlacuallasdivisioneshansidogravadasenlaescala. Las platinas de algunos microscopios se mueven rotando un tornillo calibrado; cada vuelta completa corresponde a un cierto movimiento de la platina ( figura 2.2 ). La exactitud de la medida hecha, en tales instrumentos, depende de la uniformidad de la rosca del tornillo. A menudo tambin sucede, que cuando la platina se ha movido algunadistanciaenunadireccin,stanorespondeinmediatamentecuandoel tornillo se mueve en sentido contrario. Esto se llama retroceso. Por consiguiente, se darn lecturas diferentes, dependiendo de la direccin en la cual el microscopio se acercaadeterminadaposicin.Desdeluegoqueestadificultadsepuedeevitar simplementeaproximndosealaposicindelamedida,siempreenunmismo sentido. Fig. 2.2 Microscopio de laboratorio 18 Problemas propuestos 2.1 La expansin en serie de Maclaurin para el cos(x) es: ...! 10 ! 8 ! 6 ! 4 ! 21 ) cos(10 8 6 4 2+ + + =x x x x xx Iniciando con el primer trmino cos(x) =1; agrguense los trminos uno a uno para estimarcos(t/3).Despusdeagregarcadatrmino,calclenseloserrores porcentuales relativos, exactos y aproximados.. 2.2Repetirlosclculosdelproblemaanterior,peroahorausandolaseriede Maclaurin para el seno(x): ...! 11 ! 9 ! 7 ! 5 ! 3) (11 9 7 5 3+ + + =x x x x xx x seno y estime el seno(t/2). 2.3. sense los trminos en serie de Taylor de cero a tercer orden para estimar f(3), para f(x) = 25x3 6x2 + 7x 88 usandocomopuntobasex=2.Calculeelerrorrelativoporcentualcorrectopara cada aproximacin. 19 Captulo 3 SOLUCIN NUMRICA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 3.1 Introduccin Unproblemamuycomnenelcampodecienciaseingeniera,eslasolucinde unasituacinfsicaquepuedaserrepresentadaporunaecuacindeltipo(3-1). Por consiguiente, en este captulo se expondrn algunos mtodos para encontrar la solucin a esas ecuaciones. Antesdehacerlapresentacindelosmtodosnumricosdesolucin,es importantetenerclaridaddelconceptoderazsolucindeunaecuacin.Pues bien, encontrar una solucin una raz real de una ecuacin, es hallar el valor de la variableindependientex,queanuleelvalordelafuncinf(x),queseexpreseen trminosdelavariablecitada.Enotraspalabras,silafuncinsedesarrollaenel planocartesianoxy,lasolucinrealdeesafuncineselvalordexque correspondaalaintercepcindelejedelasabscisasconlacurvadefinidaporla funcin f(x), como se muestra en Fig. 3.1. Si la curva no corta al eje x, entonces, la ecuacinnotieneunasolucinreal,peropuedetenerracesimaginarias,queno sern tratadas en este libro. En particular, si la ecuacin a resolver es un polinomio, entonces, debemos considerar, en estricto, la definicin: Sea f(x) e C[x], con gr f(x) = n 1 y f(x) = anxn + ... + a1x + a0

y se dice que c e C es raz de f(x), si f(c) = 0; es decir, si ancn + ... + a1c + a0 = 0 tambinesinteresante,paralasolucindepolinomios,tenerpresenteelteorema fundamentaldellgebra,cuyoenunciadoessif(x)eC[x],congrf(x)=n1, entonces, f(x) tiene al menos una raz compleja ( real o imaginaria); adems del 20 siguiente corolario: si f(x) e C[x], con gr f(x) = n 1, entonces, f(x) tiene n races ( no necesariamente diferentes ). Porotraparte,actualmentelascalculadorasdebolsilloresuelvenlospolinomios, encontrandoloscerosdeesasfunciones,sinembargo,losmtodosquese presentantienenlaventajaderesolvercualquierfuncinf(x)sinimportardeltipo que sea, siempre y cuando tenga races reales. Fig.3.1 CONCEPTO GRAFICO DE RAIZxf(x) Deacuerdoalasdefinicionesdadas,paraencontrarunasolucinreal,las ecuaciones, sin importar que representen un polinomio u otra cualquiera, deben ser representadas en la forma f(x) = 0 ( 3-1 ) Algunos ejemplos de las ecuaciones que se resolvern en este captulo, son: 5 6 ) (2+ = x x x f 4 ) ( ) (2 = x sen x x f 1 ) 2 ( ) (4 =x e x fx 50 . 12) (2 + =gyy y f01 . 0 ) 01 . 0 2000 05 . 0 cos( ) (2 005 . 0 =R e R fR senx x x f = 5 . 0 ) ( RAIZ f(x) 21 3.2 Caractersticas de los mtodos numricos Losmtodosquesepresentanrecibenelnombregenricodeaproximaciones sucesivas,loscualesdesarrollansuconvergenciamediantelaaplicacindeuna frmuladerecurrencia.Selesdaestenombreporqueapartirdeunaprimer aproximacin,seobtieneotraaproximacinmejor,engeneral,mscercanaala solucin.Desdeluegoque,aunquerecibentalnombre,cuandoelmtodo converge,lasolucin estansatisfactoriacomolasolucin exacta,siendola nica limitacinlaexactitudproporcionadaporelnmerodedgitosempleadosenel clculo,oseaque,dependedelerrorporredondeooportruncamientoquese admita.Acontinuacinsedescribenlosmtodos:Aproximacionessucesivas, Biseccin,MonteCarlo,FalsaPosicin,Newton-Raphson,NewtonModificadoy Secante.Estosmtodossonaplicablestantoaecuacionesalgebraicasy trascendentescomoaecuacionesnolineales;esdecir,sepodrnsolucionar, ecuacionescomolaslistadasenlapginaanterior.Sinembargo,silaecuacin a resolver,notienerespuestaenlosreales,elmejormtodofallar,yaquelos mtodos que se presentan estn estructurados para encontrar las races reales de una ecuacin. A modo de sugerencia se seala que, en las aplicaciones a problemas reales, una buenadosisdeexperienciaserunapoyodedecisinimportante,yaque,las soluciones resuelven, algebraicamente una ecuacin, pero no toman en cuenta las situaciones reales del problema. 3.3 Mtodo de aproximaciones sucesivas Este mtodo consiste en proponer un valor inicial aproximado a la solucin - y, a partir de l obtener un valor mejorado de la raz que es sometido a una prueba de convergencia, es decir, de aproximacin y, si dicha prueba es superada, entonces, elvalorobtenidoeslarespuestabuscada;encasodequenosecumplala condicindeconvergencia,conelnuevovalorserepiteelproceso,tantasveces como sea necesario. Para derivar una ecuacin recursiva que permita realizar este proceso, se plantea la siguiente estrategia. Laecuacin(3-1)nocambiasisesuma,miembroamiembro,eltrminox, quedando, | x x f x + = ) ((3-2) 22 si el miembro derecho es otra funcin que se define como g(x), entonces ecuacin (3-2) se transforma en, ) (x g x = ( 3-3 ) Esnotorioquecualquierecuacindelaforma(3-1)puedeexpresarsecomo ecuacin (3-3).Como se ha dicho con anterioridad, si x = xr es una raz, entonces se cumplir que f(xr) = 0 y, ecuacin (3-3) queda como, ) (r rx g x = ( 3-4) Estemtodoconsisteensustituirunvalorinicialdelavariableindependientex0, aproximadoalaraz,enelsegundomiembrodeecuacin(3-3).Siestevalor propuesto es la raz, resultar que se cumple (3-4), o sea que, ) (0 0x g x = En las aplicaciones es difcil que lo anterior ocurra en x = x0, ya que, el valor inicial propuestoessolo,enelmejordeloscasos,unvalorcercanoalaraz,portanto resultar que esto no siempre se cumple la primer vez, por lo que, puede escribirse, ) (0 0x g x = o ms propiamente, ) (0 1x g x = dondex1serlanuevaaproximacindelaraz.Siahorasesustituyex1enel segundo miembro de (3-3), se obtendr un valor ms cercano a la raz. Como esta es la segunda sustitucin que se hace, puede escribirse, ) (1 2x g x = 23 tomandoencuentaqueserepiteelproceso,peroahoraconx2,paraobtenerx3, luegoconx3paragenerarx4y,assucesivamente,hastasustituir xnparaobtener xn+1; entonces el proceso descrito, se puede generalizar con la ecuacin, ) (1 n nx g x =+( 3-5) La ecuacin (3-5) es la ecuacin recursiva del mtodo numrico de aproximaciones sucesivas.Eldiagramadeflujodeesteprocesoiterativo,semuestraenfigura D3.1. Fig. D3.1 Diagrama de flujo del mtodo de aproximaciones sucesivas inicio f (x), x0, c Hacer x = x0 Calcular g(x) = f(x) +x x =g(x)? Escribir x si no fin 24 Un criterio sano de convergencia es que la diferencia, en valor absoluto, entre dos valoresconsecutivos,proporcionadosporesteproceso,sercadavezms pequea,esdecir,xn+1sercadavezmscercanoaxn,sinembargo,puede medirsedichaconvergenciaconecuacin(2-4),cuandosehayaprefijadoelerror tolerable. Finalmente, el estudiante debe saber que este mtodo no siempre converge, por lo que, no ser un error de clculo el hecho de que encuentre, en algunos casos, esta situacin;tampocosetienelacertezadequeelproblemanotengasolucinreal. Cuandoestoocurra,serecomiendaelusodeotromtodonumricoyhacerun bosquejo del problema que se est resolviendo; por lo que este mtodo se presenta como un elemento de conocimiento, para el estudioso. 3.4 Mtodo de Biseccin o de Bolzano Paraeldesarrolloyaplicacindelmtododebiseccin,elculsebasaenel teorema de cambio de signo que se enuncia al final de esta seccin, se requiere del apoyodedosvaloresdelavariableindependientex,queenelplanocoordenado xycorresponderalejedelasabscisas.Estosvaloressonproporcionadosporel usuario y se designan con la letra a el menor de ellos y con b el mayor; tales que, f(a) y f(b) tengan signos diferentes, sin importar cul de ambos sea positivo, aunque lafigura3.2sehadibujadodetalformaquef(a)espositivayf(b)negativa,pero tambinpuedeencontrarse,enlasaplicaciones,quef(a)seanegativayf(b) positiva.Cualquieraqueseaelcaso,silafuncinesderivableycontinuaenel intervalo |a-b | seleccionado, entonces en ese segmento existe al menos, una raz real. Unavezcumplidoloanterior,elmtodoconsisteenvaluarlafuncinf(x)enel punto medio del intervalo seleccionado |a-b |, el cul est dado por x = (b-a)/2. Si f(x) no es nula menor que el error tolerable, entonces se compara el signo de sta conelsignodef(a);cuandosoniguales(observequeenlafigura3.2f(a)es positiva , por tratarse de una funcin decreciente ), el actual valor de a es sustituido porelvalornumricodex,conloqueelintervalosereducea|x-b|.Porel contrario,silafuncinf(x)tienesignodiferenteaf(a);loqueimplicaquetieneel mismo signo que f(b), entonces, se cambiab = x, en consecuencia, el intervalo se reduce a |a-x |. Cualquiera que haya sido el cambio, se repite el proceso a partir delnuevointervalo,esdecir,secalculanuevamentef(x),enelpuntomediodel nuevointervalo,comosedijo,tantasvecescomoseanecesariohastaquela funcinf(x)seaceroocasinula,loquedependerdelerrorqueseadmita,para detener el proceso. En figura D3.2 se muestra la rutina de este mtodo. El mtodo descrito tiene la ventaja de que siempre converge, es decir, si se cumpli lacondicindearranque-estoes,silosvaloresnumricosdef(a)yf(b)tuvieron signos diferentes, sin importar en que orden - en el intervalo | a-b | es encontrada, almenos,unarazreal.Encontrariedadaloanterior,debedecirsequela 25 convergencia de este mtodo es muy lenta, ya que la solucin se obtiene despus derealizar12msiteraciones,cuandolaecuacinmuestraciertogradode dificultadyserequiereunaaproximacin,enlarespuesta,decuandomenostres decimales exactos. Laexactituddeunarespuestadependedelaaplicacinrealdelproblema;por ejemplo, si la solucin representa la superficie de un terreno y la unidad de medida es el metro, con slo un decimal exacto se tendra una excelente aproximacin; sin embargo,sielproblemaaresolverrepresenta,enlasituacinreal,lamedidadel dimetrodeunpistndeunautomotor,entonces,seguramente,sielmetroesla unidad de medida, una aproximacin al milmetro ser requerida, es decir, aqu se exigiran,almenos,tresdecimalesexactos;porelcontrario,sienlasolucinse estinvolucradoellanzamientodeunanaveespacialaunplanetaentonces,la solucintienequeserexacta,estoesconunatoleranciadeltipoc=1x10-20,por ejemplo.

Fig. 3.2 METODO DE BISECCIONXf(x) Teorema de cambio de signo.- Sea f(x) e R[x] y sean a, b e R tales que a < b. Si el signo de f(a) f(b), entonces existe r e ]a, b[ tal que f(r) = 0. Es decir, si a < b y losnmerosf(a)yf(b)tienensignosdiferentes,entoncesf(x)tienealmenosuna raz real entre a y b, como se observa en figura 3.2. x=a x=b f(b) f(a) RAIZ 26 Fig. D.3.2 Diagrama de flujo del mtodo de Biseccin inicio a, b, c Calcular f(a) y f(b) f(a)*f(b) < 0 ? no Calcular ) (21b a x + =si Sea F = f(x) ? c s FF=f(a)SIGNO? no siEscribir x fin si x = a b = x c es el error admisible. 27 3.5 Mtodo de Falsa Posicin ( Regula falsi ) Estemtodotienecaractersticassimilaresalmtododebiseccin,esdecir,es convergenteytilcuandonosetieneideadelvalordelasolucin,siemprey cuandof(a)f(b) 0 1 = b si f(b)f(b) > 0 ], entonces la sucesin { n }, donde 1 es como ya se dijo, y ( )1111 1) ( ) () (o |o |oo | =+ nnnf ff para n = 1, 2, 3, ..., converge a la nica raz de f(x) en [a, b]. El procedimiento de clculo, de este mtodo, es como se plantea en la rutina data en figura D3.3, cuya sntesis se resume en los siguientes pasos: 1.Dadosayb,secalculanf(a)yf(b),verificandodesdeestemomentoque estos nmeros tengan signos diferentes, tal y como lo establece el teorema dadoarriba.Eselementalquesilosnmerospropuestosnohacenquese cumplalacondicinf(a)f(b)2,elprocesodiverge,porloquenoesrecomendablesu seleccin.Enmuchosdeloscasosconvieneproponerfactoresderelajacin comprendidos en el rango de 0 a 1, sin embargo, esto no necesariamente garantiza una rpida convergencia del mtodo, ya que, el vector inicial con que se empiece a desarrollarelmtododeGauss-Seidel,esotrofactorqueinfluyeenla convergencia del mtodo. Contodaslasdificultadesquepuedarepresentarlaseleccindelfactorde relajacin,,elusodelmismo,siempreservirparaacortarelcaminodela solucindeunsistemadeecuacioneslinealesy,algunoscasos,desistemas cuadrados de sistemas no lineales, como se ver en las aplicaciones, aunque ste nohayasidoelobjetivodeestaseccin,yaque,losmtodos aqupresentadosy en la literatura tcnica consultada, el propsito primario es la solucin de sistemas de ecuaciones lineales, que tienen muchas aplicaciones en el rea de ingeniera. 78 Fig. D4.2 Diagrama de flujo del mtodo de Gauss Seidel con relajaciones INTRODUCIR aij, Xi, bi, n, ,c i, j = 1, . . ., n m 0 i 1 TEMP bi j 1 Es i = j? TEMP TEMP xi*aij Es j = n? jj +1 n n s TEMP TEMP/aij ,TEMP-xi , >c? m m +1 xi xi + (TEMP xi ) s es i = n? es m = 0? s FIN s n i i + 1 s INICIO 79 Problemas resueltos Prob.4.1Elsiguientesistemade3x3,seresuelveporelmtododeeliminacin completa de Gauss Jordan.

16x1 + 4x2+ 6x3=60 2x1-18x2 + 4x3 =2 4x1 +6x2 + 12x3 =62 Solucin. Primero se escribe la matriz aumentada, seleccionando en ella el primer pivotedeladiagonalprincipal,siendoenestecasoela11=16.Tambinse identificaron los renglones para facilitar su identificacin.

((((6226012 6 44 18 26 4 16 De acuerdo al mtodo planteado, el pivote es, en esta ocasin, el elemento a11 = 16; por lo que, el rengln uno (R1), se dividi por 16, quedando, 16/16 = 1.00; 1/4;3/8y15/4.Losdemselementosdelarregloanteriorquenoestnenel rengln R1, se transformaron con ecuacin ( 4-10 ). Por ejemplo, los elementos del rengln R2 quedan, Elemento a21 ( i = 2 y j = 1 ), ta21= 000 . 0 ) 16 (1622 ) (11*112121= = aaaa Elemento a22.( i = 2, j =2) ta22= = ) (12*112122aaaa 5000 . 18 ) 4 (16218 = Elemento a23 ( i = 2, j = 3) =ta23) (13*112123aaaa ) 6 (1624 = = 3.250 Elemento b2 ( m = 2, j = 4 ), de ecuacin ( 4- 11 ) 80 ) (*LLLmLmtmbaab b = = 500 . 5 ) 60 (1622 = Para los elementos del R3, se hizo: Elemento a31 ( i = 3 y j = 1 ), ta31= 000 . 0 ) 16 (1644 ) (11*113131= = aaaa Elemento a32 ( i = 3 y j = 2 ) ta32= = ) (12*113132aaaa 000 . 5 ) 4 (1646 = Elemento a33 ( i = 3 y j = 3 ) =ta33) (13*113123aaaa ) 6 (16412 = = 10.500 Elemento b3 ( m = 3 , j = 4), segn ecuacin ( 4-11 ) ) (*LLLmLmtmbaab b = 000 . 47 ) 60 (16462 = = Hastaaqusehahecholatransformacindelarreglooriginalampliado, obteniendo el primer sistema equivalente, el cual queda como,

(((( 000 . 47500 . 5750 . 3500 . 10 000 . 5 000 . 0250 . 3 500 . 18 000 . 0375 . 0 250 . 0 000 . 1 En este nuevo sistema, se escoge como segundo pivote al elemento a22 = -18.500 con el que se obtuvo el siguiente sistema equivalente:

((((514 . 45297 . 0676 . 3378 . 11 000 . 0 000 . 0176 . 0 000 . 1 000 . 0419 . 0 000 . 0 000 . 1 Para el ltimo pivote ( a33 = 11.375), se lleg a, finalmente: 81

((((0 . 40 . 10 . 2000 . 1 000 . 0 000 . 0000 . 0 000 . 1 000 . 0000 . 0 000 . 0 000 . 1, x1 = 2; x2 = 1 y x3 = 4 Prob.4.2Porelmismomtodo,semuestralasolucindeunsistemadecuatro ecuacionessimultneas.Conlafinalidaddenorepetirlaexplicacinyqueel estudiantecompruebelosclculos,sepresentanlosresultadosfinalesaquese lleg partiendo del sistema ampliado, es decir, que en la ltima columna se incluyen los trminos independientes: (((((

=(((((

(((((

504601970197020 7 4 315 10 8 1022 20 15 1050 40 25 20zyxw; sistema original, en su representacin matricial.

(((((504601970197020 7 4 315 10 8 1022 20 15 1050 40 25 20; matriz aumentada Seleccionando pivotes a los elementos de la diagonal principal y aplicando la eliminacincompletadeGaussJordan;seescribenacontinuacinlossistemas equivalentes obtenidos. Se deja al estudiante la tarea de verificar esos resultados, con el objeto que le sirva de prctica.

((((( 50 . 20800 . 38400 . 1550 . 9850 . 12 00 . 1 25 . 0 00 . 10 0 . 10 50 . 4 00 . 3 00 . 0 50 . 2 050 . 2 00 . 2 25 . 1 1 ~

((((( 00 . 21000 . 41100 . 600 . 10680 . 12 00 . 1 00 . 0 040 . 15 0 . 10 00 . 0 020 . 1 00 . 0 00 . 1 000 . 4 00 . 2 00 . 0 1

((((( 90 . 16810 . 4100 . 680 . 2326 . 11 00 . 0 00 . 0 054 . 1 00 . 1 00 . 0 020 . 1 00 . 0 00 . 1 092 . 0 00 . 0 00 . 0 1 ~

(((((0 . 150 . 180 . 120 . 1000 . 1 00 . 0 00 . 0 000 . 0 00 . 1 00 . 0 000 . 0 00 . 0 00 . 1 000 . 0 00 . 0 00 . 0 1 La solucin es: w = 10; x = 12; y = 18 y z = 15 Prob. 4.3En este ejemplo se resuelve un sistema de 2 ecuaciones y 4 incgnitas, obteniendo las soluciones bsicas del sistema.

2x1 + 3x2+ 3x3 + 4x4= 20 82 3x1 + 2x2+ 4x3+ 2x4 = 16 Solucin.Puestoquesetratadeunsistemadedosecuaciones(m=2)ycuatro incgnitas ( n = 4 ), el nmero de soluciones bsicas es, de acuerdo a ( 4-14 ), 6! 2 )! 2 4 (! 4==||.|

\|nm quepuedensintetizarsecomolassiguientescombinaciones:x1x2,x1x3,x1x4;x2x3, x2x4; x3x4.Paraincidirenlaprimersolucin,primeroserescogido,delarregloinicial, como pivote a11 y luego a22, con lo cual se tendr la primer solucin bsica. v.b.X1x2x3x4bm *2.0003.0003.0004.00020.000 *3.0002.0004.0002.00016.000 Igual que en los casos normales de la aplicacin del mtodo de Gauss- Jordan, el primerrenglnsedividipor2(pivote)y,loselementosdelrenglnR2se transformaron con la ecuacin ( 4-15 ), con L = 1 y K =1, quedando: x11.0001.5001.5002.00010.000 *0.000-2.500-0.500-4.000-14.000 En este sistema equivalente, se seleccion como pivote al elemento a22 ( = -2.5 ), como se dijo antes; por lo que x2 entr a la base. Los elementos del rengln R2 se dividieronporelpivote(-2.50)yloselementosdelrenglnR1setransformaron con ecuacin ( 4-15 ). Se hace notar que L = 2 y K =2. De acuerdo a lo anterior, se lleg a los siguientes resultados: x11.0000.0001.200-0.4001.600 x20.0001.0000.2001.6005.600 Puesto que x1 y x2 estn en la base, la primer solucin bsica es: x1 = 1.60 y x2 = 5.60 Paraencontrarlasegundasolucin,quecorrespondealacombinacinx1x3,se marccomopivoteelcoeficienterelacionadoconx3,esdecir,elelementoa23= 0.20, ya que x1 est en la base. El rengln R2 se dividi por 0.20 y el rengln R1 se transform con ecuacin (4 15), tomando en cuenta que L =2 y K = 3, quedando: 83 x11.000-6.0000.000-10.000-32.000 x30.0005.0001.0008.00028.000 Siendo la segunda solucin bsica, x1 = -32 y x3 = 28. Latercersolucinseobtuvoalseleccionara24(=8.00)comopivote,puestoque correspondealacombinacinx1x4yx1yaestenlabase.Llegandoalsiguiente sistema equivalente: x11.0000.2501.2500.0003.000 x40.0000.6250.1251.0003.500 Delamismamanerasefueronobteniendolassiguientessolucionesbsicas,es decir, se seleccion adecuadamente el pivote para que entrara a la base la variable de inters, llegando a los siguientes sistemas equivalentes: x24.0001.0005.0000.00012.000 x4-2.5000.000-3.0001.000-4.000 x20.1671.0000.0001.6675.333 x30.8330.0001.000-0.3331.333

x4-0.1000.6000.0001.0003.200 x30.8000.2001.0000.0002.400 Unresumenfinaldetodaslassolucionesbsicasobtenidas,paraelsistema propuesto es: No.Sol.x1x2x3x4 11.605.600.000.00 2-32.000.0028.000.00 33.000.000.003.50 40.0012.000.00-4.00 50.005.331.330.00 60.000.002.403.20 84 Prob.4.4Encuentrelassolucionesbsicasdelsiguientesistemalineal,detres ecuaciones con cuatro incgnitas. 2x1 -5x2+ 3x3 + 6x4= 61 -x1 + 2x2- 4x3+ 5x4 = 52 3x1 + 7x2- 4x3- 10x4 = 50 Solucin.Enestecasom=3yn=4;porloque,ecuacin(4-14)indicaqueel presentesistematiene4solucionesbsicasquecorrespondenalas combinaciones:x1x2x3;x1x2x4;x1x3x4yx2x3x4.Acontinuacinseobtienenestas soluciones, aplicando el mtodo de Gauss & Jordan, con auxilio de ecuacin ( 4-15 ). Noteustedqueseagregunacolumnaalaizquierda,paraidentificarlavariable queentraalabase;ascomoencabezadodecolumnasparafacilidadde localizacin de los elementos del arreglo matricial. El pivote est marcado, en cada sistema equivalente, con letras negritas. v.b.x1x2x3x4bm *2.000-5.0003.0006.00061.000 *-1.0002.000-4.0005.00052.000 *3.0007.000-4.000-10.00050.000 X11.000-2.5001.5003.00030.500 *0.000-0.500-2.5008.00082.500 *0.00014.500-8.500-19.000-41.500 X11.0000.00014.000-37.000-382.000 X20.0001.0005.000-16.000-165.000 *0.0000.000-81.000213.0002351.000 X11.0000.0000.000-0.18524.346 X20.0001.0000.000-16.000-165.000 X30.0000.0001.000-2.630-29.025 X11.0000.000-0.0700.00026.390 X20.0001.0000.1251.00011.601 X40.0000.000-0.3801.00011.038 X11.0000.5630.0000.56332.925 85 X30.0008.0001.0008.00092.808 *0.0003.0420.0004.04246.331 X11.0000.1390.0000.00026.468 X30.0001.9791.0000.0001.115 X40.0000.7530.0001.00011.462 X27.1751.0000.0000.000189.909 X3-14.2000.0001.0000.000-374.733 X4-5.4000.0000.0001.000-131.467 Cada solucin bsica puede deducirse de cada sistema que presenta tres variables en la base, por ejemplo, la primer solucin bsica es: X1 = 24.346 X2 =-165.000 X3 = -29.025 Prob. 4.5 Para el sistema de ecuaciones simultneas dado a continuacin, obtenga la inversa y posteriormente la solucin del sistema. 6.122x+ 1500.500 y= 1506.622 2000x + 3y= 2003 Solucin. El sistema ampliado es, en este problema, 6.12201500.50001.000000000.00000000 2000.00003.00000.000000001.00000000 Primerpivote:a11=6.122.AplicandolatransformacindeGaussJordan,se tiene, 1.0000245.09960.163345310.00000000 0.0000 -490196.2813-326.690623981.00000000 Ahora con el pivote a22 = -490196.281, se llega al siguiente sistema equivalente, 1.000.00-0.000001000.00050000 0.001.000.00066645-0.00000204 86 Por tanto, la matriz inversa es, | |((

++ =00000204 . 0 00066645 . 000050000 . 0 00000100 . 01A La solucin del sistema se obtiene aplicando el producto matricial dado por ( 4-19 ) | | B AABX *1 = = x= -0.00000100 0.00050000 1506.622 y= 0.00066645-0.00000204 2003.000 Dedondeseobtieneque,x=1.000ey=1.000,comosolucindelsistema compuesto por estas dos ecuaciones simultneas. Prob.4.6Comoproblemaalternoseresuelveunsistemade5x5,presentando sucesivamente los sistemas equivalentes. Sea el sistema: 8x1 + 3x2 9x3 + 7x4 +4x5 = 10 2x1-x2 +6x3 + 17x4 + x5 = 21 4x1 + 3x2 7x3 +x4 +6x5 = 10 12x1 -x2 +6 x3 + 14x4 +2x5 = 28 7x1 + 6x2 + x3 + 9x4 + 10x5 = 38 La matriz ampliada, del sistema anterior es, 8.0003.000-9.0007.0004.0001.0000.0000.0000.0000.000 2.000-1.0006.00017.0001.0000.0001.0000.0000.0000.000 4.0003.000-7.0001.0006.0000.0000.0001.0000.0000.000 12.000-1.0006.00014.0002.0000.0000.0000.0001.0000.000 7.0006.0001.0009.00010.0000.0000.0000.0000.0001.000 87 Conpivoteena11yaplicandoelprocesodeGauss-Jordan,seobtuvoelprimer sistema equivalente: 1.0000.375-1.1250.8750.5000.1250.0000.0000.0000.000 0.000-1.7508.25015.2500.000-0.2501.0000.0000.0000.000 0.0001.500-2.500-2.5004.000-0.5000.0001.0000.0000.000 0.000-5.50019.5003.500-4.000-1.5000.0000.0001.0000.000 0.0003.3758.8752.8756.500-0.8750.0000.0000.0001.000 Tomando los pivotes subsecuentes en a22, a33, a44 y a55, se fueron generando, los sistemas equivalentes siguientes, 1.0000.0000.6434.1430.5000.0710.2140.0000.0000.000 0.0001.000-4.714-8.7140.0000.143-0.5710.0000.0000.000 0.0000.0004.57110.5714.000-0.7140.8571.0000.0000.000 0.0000.000-6.429-44.429-4.000-0.714-3.1430.0001.0000.000 0.0000.00024.78632.2866.500-1.3571.9290.0000.0001.000 1.0000.0000.0002.656-0.0630.1720.094-0.1410.0000.000 0.0001.0000.0002.1884.125-0.5940.3131.0310.0000.000 0.0000.0001.0002.3130.875-0.1560.1880.2190.0000.000 0.0000.0000.000-29.5631.625-1.719-1.9381.4061.0000.000 0.0000.0000.000-25.031-15.1882.516-2.719-5.4220.0001.000 1.0000.0000.0000.0000.0840.017-0.080-0.0140.0900.000 0.0001.0000.0000.0004.245-0.7210.1691.1350.0740.000 0.0000.0001.0000.0001.002-0.2910.0360.3290.0780.000 0.0000.0000.0001.000-0.0550.0580.066-0.048-0.0340.000 0.0000.0000.0000.000-16.5633.971-1.078-6.613-0.8471.000 1.0000.0000.0000.0000.0000.037-0.086-0.0480.0860.005 0.0001.0000.0000.0000.0000.297-0.107-0.560-0.1430.256 0.0000.0001.0000.0000.000-0.050-0.029-0.0710.0270.061 0.0000.0000.0001.0000.0000.0450.069-0.026-0.031-0.003 0.0000.0000.0000.0001.000-0.2400.0650.3990.051-0.060 Por lo que la inversa de A, es 88 | |(((((((

+ + + + ++ + + ++ + +=060 . 0 051 . 0 399 . 0 065 . 0 240 . 0003 . 0 031 . 0 026 . 0 069 . 0 045 . 0061 . 0 027 . 0 071 . 0 029 . 0 050 . 0256 . 0 143 . 0 560 . 0 107 . 0 297 . 0005 . 0 086 . 0 048 . 0 086 . 0 037 . 01A Nuevamente de ( 4-19 ), se tiene que, la solucin es: | | B AABX *1 = = (((((((

(((((((

+ + + + ++ + + ++ + +=(((((((

3828102110*060 . 0 051 . 0 399 . 0 065 . 0 240 . 0003 . 0 031 . 0 026 . 0 069 . 0 045 . 0061 . 0 027 . 0 071 . 0 029 . 0 050 . 0256 . 0 143 . 0 560 . 0 107 . 0 297 . 0005 . 0 086 . 0 048 . 0 086 . 0 037 . 054321xxxxx Por tanto, la solucin del sistema es, x1=0.6852 x2=0.8565 x3=1.2221 x4=0.6503 x5=2.0990 Prob.4.7Resuelvaelsiguientesistemadeecuaciones,aplicandoelmtodode Jacobi, aceptando un error c =1x10-3. 4x + y2 + z = 11 x + 4y + z2 = 18 x2 + y + 4z = 15 Solucin. El sistema recursivo ( paso 1 ) queda, para este sistema es: 4) ( 1121k kkz yx =+ 89 4) ( 1821k kkz xy =+ 4) ( 1521k kky xz =+ Paso2.Proponiendocomosolucininicial,x0=11/4;y0=18/4yz0=15/4,se tienen los siguientes valores: Paso 3. La sustitucin queda, 250 . 34) 4 / 15 ( ) 4 / 18 ( 1121 = = x 297 . 04) 4 / 15 ( 4 / 11 1821= = y 734 . 044 / 18 ) 4 / 11 ( 1521= = z Paso4.Comoestosvaloressondiferentesalospropuestos,serepiteelproceso conestosvaloresparax,y,z.Deestaformaselleg(enlasprimeracinco iteraciones ) a los siguientes resultados: NXYz 02.7504.5003.750 1-3.2500.2970.734 22.5445.1781.035 3-4.2113.5960.837 4-0.6925.378-1.582 5-4.0844.0472.286 Las ltimas iteraciones son, 98-0.6542.4622.922 990.5042.5303.028 1000.3932.0823.054 Claramente se observa que el mtodo no converge. Prob.4.8Resuelvaelsiguientesistemadeecuaciones,aplicandoelmtodode Jacobi, aceptando un error c =1x10-3. 90 12x1 - x2 + 3x3 = 8 x1 + 7x2 - 3x3 =-51 4x1 - 4x2 + 9x3 = 61 Su sistema recurrente es: 123 83 2 11k kkx xx +=+ 73 513 1 12k kkx xx+ =+ 94 4 612 1 13k kkx xx+ =+ Partiendoconelvectorinicial{8/12,-51/7,61/9},seobtuvieronlos siguientes resultados, nX1x2x3 00.667-7.2866.778 1-1.635-4.4763.243 2-0.517-5.6625.515 3-1.184-4.8484.491 4-0.860-5.1925.149 5-1.053-4.9564.853 6-0.959-5.0565.043 7-1.015-4.9874.957 8-0.988-5.0165.013 9-1.004-4.9964.988 10-0.997-5.0055.004 11-1.001-4.9994.996 12-0.999-5.0015.001 13-1.000-5.0004.999 14-1.000-5.0005.000 Llegando, en este caso, a la solucin:x1 = -1.000; x2 = -5.000 y x3 = 5.000, con los tres decimales exactos. Prob.4.9Comoproblemaalternoseresuelveelproblema4.1(escritocomose muestra), usando el mtodo de Jacobi. 8x1 + 2x2 + 3x3 = 30 x1 9x2 + 2x3 =1 91 2x1 + 3x2 +6x3 = 31 Solucin. En este caso el sistema recursivo es: 83 2 303 2 11k kkx xx =+ 92 13 1 12 =+k kkx xx 63 2 312 1 13k kkx xx =+ Usando como solucin inicial 0jX = | 1, 1, 1|, se lleg, para la primer iteracin, a los siguientes resultados: 125 . 38) 1 ( 3 ) 1 ( 2 3011= = x 222 . 09) 1 ( 2 1 112= = x 333 . 46) 1 ( 3 ) 1 ( 2 3113= = x Con estos valores, 1jX = | 3.125, 0.222, 4.333|, la segunda iteracin, es: 070 . 28) 333 . 4 ( 3 ) 222 . 0 ( 2 3021= = x 199 . 19) 333 . 4 ( 2 125 . 3 122= = x 014 . 46) 222 . 0 ( 3 ) 125 . 3 ( 2 3123= = x A continuacin se presenta el resumen de los resultados obtenidos: nx1x2x3 01.0001.0001.000 13.1250.2224.333 22.0691.1994.014 92 31.9451.0113.877 42.0430.9674.013 52.0031.0084.002 61.9971.0013.995 72.0020.9994.000 82.0001.0004.000 92.0001.0004.000 Por tanto, la solucin: x1 = 2.0; x2 = 1.0 y x3 = 4.0. Prob.4.10Resulvase,porelmtododeGauss-Seidel,elsiguientesistemade ecuaciones lineales. 3x1 0.1x2 0.2x3 =7.85Ec. (1) 0.1x1 + 7x2 0.3x3 =-19.3 Ec. (2) 0.3x1 0.2x2 + 10x3 =71.4 Ec. (3) Solucin.El sistema recursivo queda: 32 . 0 1 . 0 85 . 73 2 11k kkx xx+ +=+ 73 . 0 1 . 0 3 . 19311 12k kkx xx+ =++ 102 . 0 3 . 0 4 . 711211 13+ +++ =k kkx xx Siseproponecomovectorsolucininiciales 0jX ={1,0,1},entonces,del sistema recursivo se llega a ( en la primer iteracin ): 6833 . 2305 . 83) 1 ( 2 . 0 ) 0 ( 1 . 0 85 . 71 01= =+ +=+x 7526 . 27) 1 ( 3 . 0 ) 6833 . 2 ( 1 . 0 3 . 191 02 =+ =+x 0044 . 710) 7526 . 2 ( 2 . 0 ) 6833 . 2 ( 3 . 0 4 . 711 03= + =+x 93 Hemosllegadoalvector 1jX ={2.6833,-2.7526,7.0044};elcualesdiferente alvectorinicial,porconsiguiente,repetimoselmismoprocesotomandoestos valores como iniciales, obteniendo ( en la segunda iteracin ): 9919 . 239756 . 83) 0044 . 7 ( 2 . 0 ) 7526 . 2 ( 1 . 0 85 . 711= =+ +=+ kx 4997 . 27) 0044 . 7 ( 3 . 0 ) 9919 . 2 ( 1 . 0 3 . 1912 =+ =+ kx 0002 . 710) 4997 . 2 ( 2 . 0 ) 9919 . 2 ( 3 . 0 4 . 7113= + =+ kx Ahoraelnuevovectores: 2jX ={2.9919,-2.4997,7.0002}.Procediendo reiteradamente, se llega a los siguientes valores: x1x2x3 101 2.6833333-2.75261907.0044476 2.9918759-2.49969337.0002499 3.0000269-2.49998976.9999994 3.0000003-2.50000007.0000000 2.999999998-2.57 3-2.57 Seconcluyequelasolucinesx1=3;x2=-2.5yx3=7,debidoaqueel ltimo vector y antepenltimo, se repiten; por lo que, la solucin es exacta. Prob.4.11Enseguidaseresuelve,porelmtododeGauss-Seidelelsiguiente grupo de ecuaciones simultneas. 7 . 34 11 229 . 17 43 . 7 2 670 . 8 52222= + + += + + = + = + + +z y x wz y x wz y x wz y x w Solucin. Se trata de un sistema deecuaciones no lineales, sin embargo, puede aplicarse el mtodo de Gauss- Seidel debido a que este sistema es cuadrado y en la diagonal principal se tienen variables lineales. El sistema recursivo es, 57 . 82z y xw =94 62 3 . 72z y wx + + = 429 . 172z x wy + = 112 7 . 342y x wz = Proponiendocomovectorinicial 0jX =|1.74,-1.2167,4.3225,3.1545|,se lleg a los siguientes resultados: Primer iteracin: 0515 . 051545 . 3 3225 . 4 ) 2167 . 1 ( 7 . 82 = = w 3011 . 061545 . 3 ) 3225 . 4 ( 2 ) 0515 . 0 ( 3 . 72 + + = x 7723 . 14) 1545 . 3 ( ) 3011 . 0 ( ) 0515 . 0 ( 29 . 172= + = y 9057 . 211) 7723 . 1 ( ) 3011 . 0 ( ) 0515 . 0 ( 2 7 . 342= = z Repitiendo el proceso, en la segunda iteracin, se tiene, 7863 . 059057 . 2 7723 . 1 ) 3011 . 0 ( 7 . 82= = w 0072 . 169057 . 2 ) 3011 . 0 ( 2 ) 7863 . 0 ( 3 . 72 + + = x 7633 . 14) 9057 . 2 ( ) 0072 . 1 ( ) 7863 . 0 ( 29 . 172= + = y 8205 . 211) 7633 . 1 ( ) 0072 . 1 ( ) 7863 . 0 ( 2 7 . 342= = z95 Repitiendo el proceso, para otras iteraciones, se lleg a, En el ltimo rengln se encuentra la solucin a este sistema de ecuaciones, simultneas,oseaquew=0.6082;x=-0.9266:y=2.0571yz=2.7435; considerada exacta en los cuatro decimales. La comprobacin se deja al estudiante como un ejercicio suplementario. Prob.4.12Obtenerlasprimerassieteiteraciones,usandoelmtododeGauss- Seidel, aplicadas al siguiente grupo de ecuaciones: 8x1 + 2x2 + 3x3 = 30 x1 9x2 + 2x3 =1 2x1 + 3x2 +6x3 = 31 Solucin. En este caso el sistema recursivo es: 96 83 2 303 2 11k kkx xx =+ 92 1311 12 =++k kkx xx 63 2 311211 13+ ++ =k kkx xx Usandocomosolucininicial 0jX =|1,1,1|,sellegalossiguientes resultados, para la primer iteracin, 1250 . 38) 1 ( 3 ) 1 ( 2 30111 01= = =+x x 4583 . 09) 1 ( 2 ) 1250 . 3 ( 1121 02= = =+x x 8959 . 36) 4583 . 0 ( 3 ) 1250 . 3 ( 2 31131 03= = =+x x La prueba de convergencia, indica que el error relativo es, 680 . 01250 . 31 1250 . 3,111== ++queda x paraXX Xkjkjkj 1820 . 14583 . 01 4583 . 0,211== ++queda x paraXX Xkjkjkj 7433 . 08959 . 31 8959 . 3,311== ++queda x paraXX Xkjkjkj continuando de la misma forma, se lleg a los resultados, nx1x2X3Er (x1)Er (x2)Er (x3) 011113.12500.45833.89580.68001.18180.7433 22.17450.99623.94370.43710.53990.0121 32.02200.98993.99770.07540.00640.0135 97 42.00340.99993.99890.00930.00990.0003 52.00040.99983.99990.00150.00000.0003 62.00011.00004.00000.00020.00020.0000 72.00001.00004.00000.00000.00000.0000 De donde se desprende que la solucin exacta ( ya que el error es cero ), es x1 = 2; x2 = 1 y x3 = 4 Prob.4.13Resuelvaelsiguientesistema deecuaciones,aplicando elmtodode Gauss-Seidel con relajaciones, aceptando un error c =1x10-3. 4x + y2 + z = 11 x + 4y + z2 = 18 x2 + y + 4z = 15 Solucin. El sistema recursivo ( paso 1 ) queda, para este sistema es, 4) ( 1121k kkz yx =+ 4) ( 182 11k kkz xy =++ 4) ( 151 1 21+ ++ =k kky xz Paso2.Proponiendocomosolucininicial,x0=11/4=2.75;y0=18/4=4.5yz0= 15/4=3.75, se tienen los siguientes valores, Paso 3. La sustitucin, para Gauss-Seidel, queda, 250 . 34) 4 / 15 ( ) 4 / 18 ( 1121 = = x 797 . 14) 4 / 15 ( ) 25 . 3 ( 1821= = y 660 . 04) 25 . 3 ( ) 797 . 1 ( 1521= = z Lasustitucin,enlaecuacinrelajanteindicaquelosvaloresparala siguiente iteracin son: 98 x = 0.64*(-3.25) + (1-0.64)*2.75 = -1.090 y = 0.64*(1.797) + (1-0.64)*4.50 = 2.770 z = 0.64*(0.660) + (1-0.64)*3.75 = 1.773 Estos valores se sustituyen en el sistema recursivo de G-Seidel y, los valores obtenidossesustituyenahoraenlaecuacin(4-22),paraestimarunmejorvalor mediante relajaciones. Los resultados a que se lleg son, ITERMETODO DE GAUSS SEIDELR E L A J A C I O N E Sx1x2x3x1X2x3FACTOR 12.754.53.752.754.53.750.64 2-3.2501.7970.660-1.0902.7701.7730.64 30.3893.6172.549-0.1443.3122.2690.64 4-0.5603.3532.907-0.4103.3382.6770.64 5-0.7052.8842.987-0.5993.0482.8750.64 6-0.2912.5063.034-0.4022.7012.9770.64 70.1822.2393.150-0.0282.4053.0880.64 80.5321.9843.2540.3302.1363.1940.64 90.8111.7473.2860.6381.8873.2530.64 101.0471.5933.2500.9001.6993.2510.64 851.0001.9993.0001.0002.0003.0000.64 861.0001.9993.0001.0001.9993.0000.64 871.0011.9993.0001.0001.9993.0000.64 881.0012.0003.0001.0012.0003.0000.64 891.0002.0003.0001.0002.0003.0000.64 901.0002.0003.0001.0002.0003.0000.64 Problemas propuestos 4.1Escribirunprogramadecomputadorapararesolverungrupodeecuaciones lineales simultneas por el mtodo de Eliminacin de Gauss _ Jordan. Suponer que la maximizacin del pivote no es requerid. El programa debe ser capaz de resolver sistemas de ecuaciones de cualquier tamao, pero no mayor de 20x20. 4.2 Escribir un programa de computadora para resolver un sistema de ecuaciones linealessimultneasporelmtodoiterativodeGauss&Seidelporpuntosde relajacin.Elprogramadebesercapazderesolversistemasdeecuacionesde cualquiertamao,peronomayorde20x20.Laentradadebeincluirlasolucin inicial,paralasvariablesnoconocidas,elcriteriodeconvergencia(elcual puede ser absoluto o relativo, como se prefiera ) y el factor de relacin. 99 4.3ResolverelsiguientesistemadeecuacionesusandoeliminacindeGauss& Jordan. ((((

=((((

((((

2712154 9 13 4 27 2 3321xxx 4.4Resolverelsiguientesistemadeecuacioneslineales,usandoelprogramade computadora escrito en el problema 4.1: ((((((((((

=((((((((((

((((((((((

34101382417479 1 7 2 1 2 71 4 1 11 8 9 21 1 2 7 1 3 42 1 7 2 3 1 111 6 1 5 7 1 22 9 1 15 9 1 18 3 2 4 6 5 37654321xxxxxxx 4.5 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el mtodo iterativo deGauss&Seidel;astambinporelmtododeJacobi.Compareelnmerode iteraciones para obtener la solucin, si converge. a) ((((

=((((

((((

87194720 15 31 4 12 1 7zyx b) (((((

=(((((

(((((

37211223 7 2 14 3 2 912 4 1 34 2 10 1zyxw 4.6 Resolver el sistema tridimensional dado, usando la iteracin de Gauss & Seidel, mediante el programa escrito en 4.2 100 (((((((((((((((

=(((((((((((((((

(((((((((((((((

151515151515151515274 1 0 0 0 0 0 0 0 01 4 1 0 0 0 0 0 0 00 1 4 1 0 0 0 0 0 00 0 1 4 1 0 0 0 0 00 0 0 1 4 1 0 0 0 00 0 0 0 1 4 1 0 0 00 0 0 0 0 1 4 1 0 00 0 0 0 0 0 1 4 1 00 0 0 0 0 0 0 1 4 10 0 0 0 0 0 0 0 1 410987654321xxxxxxxxxx 4.7 Resolver el problema 4.4 usando relajacin, con los factores de 1.3, 1.6 y 1.8. Compare, en cada caso, el nmero de iteraciones requeridas y diga cul es mejor, el mtodo iterativo de Gauss & Seidel o el mtodo iterativo con relajaciones? 4.8 En los siguientes problemas obtenga las soluciones bsicas, indicando si existe degeneracin, inconsistencia o redundancia. a)x1 + 3x2 x3 + x4 =4 2x1 6x2 + 6x3 x4 = -6 b)3x1 - 2x2 + x3 - 2x4 =10 x1 + x2 - 2x3 + 3x4 = 16 c)5x1 - 2x2 + 7x3 - x4 =21 3x1 + 3x2 - 4x3 + 2x4 = -18 16x1 + 2x2 - 6x3 + 2x4 = 6 d)7x1 - 2x2 + x3 - 4x4 =15 2x1 + x2 - 3x3 x4 = 20 14x1 - 4x2 + 2x3 - 8x4 = 18 e)2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 =20 x1 + 2x2 +x3 + 2x4 = 18 3x1 +5x2 + 5x3 + 3x4 = 38 101 Captulo 5 INTERPOLACIN Y AJUSTE DE CURVAS 5.1 Introduccin Lasobservacionesylosexperimentoscientficosseregistran,enforma tabular,comopuntosdiscretos;deigualmaneraocurreconlosresultadosde clculosnumricosparaunafuncin.Estospuntos,extendidosalolargodela variableindependiente,conducenagrficascomolamostradaenfigura5.1.Los valoresdelafuncinf(x)puedenestarespaciadosenformaconstanteono,alo largo del eje horizontal.En este captulo se discutirn los mtodos y tcnicas para estimar elvalordela funcinf(x)entrepuntostabulados; esdecir,seinterpolarn valores de la funcin f(x) no conocidos, a partir de un grupo de datos obtenidos de una investigacin o experimento. La interpolacin puede ser lineal polinomial; la primeradeellas,seaplicaparadospuntosconsecutivossiempreycuando,la grficadelospuntosdadosdescribanaproximadamenteunalnearecta;sin embargo,lainterpolacinpolinomialesaplicadaparalospuntoscuyagrficano describe una recta. Fig. 5.1 Puntos discretos0112233440 5 10 15 20 25Xf(x) 102 5.2 Interpolacin lineal Cuando se aplica esta interpolacin, se asume que los puntos consecutivos, de coordenadas ( xk, yk ) y ( xk+1, yk+1 ) se unen con una recta, como se muestra en figura 5.2. Estos puntos consecutivos, son dos cualesquiera de la informacin dada u obtenida, entre los cuales est el punto no conocido. Deacuerdoafiguraanterior,lascoordenadasdelospuntos1y2( consecutivos)son,respectivamente:(xk,yk)y(xk+1,yk+1).Comoestnsobrela curva y tambin pertenecen a la recta, su ecuacin ( segn la Geometra elemental) es: f(x) = f(xk) +( )kk kk kx xx xx f x f++11) ( ) ( (5-1) donde f(x) es el valor de la funcin para cualquier valor de x que se encuentre entre xk y xk+1. Por ejemplo, para los valores de la tabla 5.1, suponga usted que se desea estimarelvalordelafuncinf(x)paracuandox=3.5;paraestecasosetendra que xk = 3, yk = 25 y xk+1 = 4, yk+1 = 62; debido a que, x = 3.5 est en este intervalo. Enfigura5.3sehangraficadolosdatosdadosentabla5.2,notandoquela interpolacinlinealnoseralomsapropiadoaplicar;sinembargo,amanerade aplicacin de ecuacin (5-1) se hace aqu y, en consecuencia, el valor obtenido se podrmejorarusandolainterpolacinpolinomial,quesevermsadelante. Observe que ecuacin (5-1) conduce a: Recta XkXk+1 f(x) X Y Fig. 5.2 Representacin grfica de la interpolacin lineal. 1 2 X 103 f(3.5) = 25 +( ) 3 5 . 33 425 62 = 43.5 TABLA 5.1 Datos con Ax constante x012345 f(x)-7-362562129 Fig. 5.3.- Grfica del problema 5.1-20.00.020.040.060.080.0100.0120.0140.00.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0xf(x) 5.3 Interpolacin polinomial Lainterpolacinpolinomialseusacuandoalgraficar,labasededatos,los puntos no se pueden ajustar a una recta, como ya se dijo antes. Es claro que para lafigura5.1,estetipodeinterpolacinseraelmsapropiado,yaque,lafuncin f(x) describe una curva. Una funcin de interpolacin es aquella que pasa a travs de puntos dados como datos, los cuales se muestran comnmente como una tabla de valores o se toman directamente de una funcin dada. Lainterpolacindelosdatospuedehacersemedianteunpolinomio algebraico,lasfuncionesspline,una funcinracionalolasseriesdeFourierentre otrasposiblesformas.Lainterpolacinpolinomialesunodelostemasms importantesenmtodosnumricos,yaquelamayoradelosdemsmodelos numricossebasanenlainterpolacinpolinomial.Porejemplo,losmodelosde integracin numrica se obtienen integrando frmulas de interpolacin polinomial y, losmodelosdediferenciacinnumricaseobtienenderivandolasinterpolaciones polinomiales. 104 Los datos obtenidos mediante una medicin pueden interpolarse, pero enla mayoradeloscasosnoesposibleunainterpolacindirectadebidoaloserrores aleatorios implicados en la propia medicin. As pues, el ajuste de una curva a losdatos obtenidos de esta forma, se describe un la segunda seccin de este captulo. 5.3.1 Interpolacin de Lagrange En algunas ocasiones los datos obtenidos no contienen un cambio constante en las variable independiente, ya que muchas de las veces no es posible recabar la informacindeesamanera.Siadems,losvalorespuntualesnoseagrupanen unarecta(Fig.5.1),conmayorraznlainterpolacinlinealnoeslams apropiada.Enestecasosedebeusarunainterpolacinpolinomial,alacual corresponde la frmula de Lagrange. Considereunaseriedepuntosdecoordenadas[xi,f(xi)]dondelasxino estn, en general, igualmente espaciados e i puede tomar todos los valores enteros de0an(loqueindicaquehayn+1deesospuntos).Unejemplotpicoes mostrado en la figura 5.4, para n = 9 ( tabla 5.2). Como se ver despus conms detalle,unpolinomiodeordennquepasaatravsden+1puntosesnico.Esto significaque,independientementedelafrmuladeinterpolacinqueseaplique, todaslasinterpolacionespolinomialeasqueseajustanalosmismosdatosson matemticamente idnticas. TABLA 5.2 Informacin con espacios diferentes i012345678 xi2467911131415 f(x)812767.47172018 Supngase que se tienen n+1 puntos, tales como: x0x1 ... xn f0f1 ...fn dondex0,x1,...sonlasabscisasdelospuntos,dadosenordencreciente;los espaciosentreellossonarbitrarios,comoyasedijo.Elpolinomiodeordennque pasa a travs de los n+1 puntos se puede escribir en una serie de potencias como: g(x) = a0 +a1x + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn( 5-2 ) 105 dondelosaisoncoeficientes.Elajustedelaseriedepotenciasalosn+1puntos dados, da un sistema de ecuaciones lineales, como el que sigue: nnx a x a x a a f020 2 0 1 0 0... + + + + = nnx a x a x a a f121 2 1 1 0 1... + + + + = nnx a x a x a a f222 2 2 1 0 2... + + + + =(5-3 ) . . . nn n n n nx a x a x a a f + + + + = ...22 1 0 Fig. 5.4.- Grfica de puntos con espacios desiguales 0.05.010.015.020.025.00.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0xf(x) Aunqueloscoeficientesaipuedendeterminarseresolviendoelsistemade ecuaciones, se deja para el ajuste de curvas esta tarea, por lo pronto se aplicar la interpolacin de Lagrange y las frmulas de Gregory- Newtonhacia delante y hacia atrs,paraefectuarlainterpolacinpolinomial.Enparticular,paralainterpolacin de Lagrange, considere el producto de los factores dados por, V0(x) =(x-x1)(x-x2)...(x-xn) ( 5-4 ) queserefierenalosn+1puntosdadosantes.LafuncinV0esunpolinomiode orden n de x y se anula en x = x1, x2, ..., xn. Si se divide V0(x) entre V0(x0), la funcin resultante 106 ) )...( )( () )...( )( () () () (0 2 0 1 02 10 000nnx x x x x xx x x x x xx Vx Vx P = = (5-5) toma el valor de uno para x = x0, y de cero para x = x1, x = x2, ..., x = xn. En forma anloga puede escribirse ) )...( )( () )...( )( () () () (1 2 1 1 12 11 111nnx x x x x xx x x x x xx Vx Vx P = =(5-6) siendoelvalordeunoparax=x1,ydeceroparax=x1,x=x2,...,x=xn.En general, puede escribirse ) )...( )( () )...( )( () () () (2 12 1n i i ini iiix x x x x xx x x x x xx Vx Vx P = = ( 5-7) donde el numerador no incluye (x = xi ) y el denominador omite ( xi x ). La funcin Vi(x) es un polinomio de ordenn y toma el valor de uno en x = xi y cero en x = xj, paraj=i.As,simultiplicamosV0(x),V1(x),V2(x),...,Vn(x)porf0,f1,f2,...,fn, respectivamenteylassumamos,elresultadoserunpolinomiocuandomsde ordenneigualafiparacadai=0hastai=n.Lafrmuladeinterpolacinde Lagrange, as obtenida se escribe como: g(x)= P0(x)f0 + P1(x)f1 + P2(x)f2 + ... + Pn(x)fn ( 5-8 ) 5.3.2 Interpolacin polinomial, mediante frmulas de Gregory Newton LasfrmulasdeGregoryyNewtonsonrecomendadascuandolavariacin de la variable independiente es constante (Ax = constante ). Su aplicacin se apoya fuertementeenlasdiferenciasfinitasdelosvaloresdelafuncinf(x).Seusan diferencias finitas hacia delante, simbolizadas con Af, cuando el valor de la variable independiente ( x ), para el cual se requiere estimar la funcin, queda se localiza cerca del inicio del rango de valores dados; sin embargo, cuando el valor buscado queda cerca del final de este rango, se usandiferencias finitas hacia atrs, que se simbolizan con Vf. Por otra parte, cuando la funcin a estimar se localiza muy cerca delcentrodelrangodevaloresdados,seusandiferenciasfinitascentrales,cuyo smbolo es of. Frmula con diferencias hacia delante 107 Si se considera que los valores dados estn distribuidos como se muestra en la figura 5.5, donde la variacin de x es h y, si la funcin es analtica, de la serie de Taylor se puede escribir,para x = 0: ... ) 0 ( ' "! 3) 0 ( "! 2) 0 ( ' ) 0 ( ) (3 2+ + + + = fxfxxf f x f (5 9 ) Aunque ninguno de los valores para las derivadas son conocidos, puede escribirse que: ) ( ) 0 ( "2) 0 ( '2 0h fhhff 0 + A=( 5- 10 ) con lo cual, ecuacin ( 5-9 ) queda como, ...! 4) 3 )( 2 )( (! 3) 2 )( (! 2) () 0 ( ) (0440330220+ A + A + A+ A + = fhh x h x h x xfhh x h x xfhh x xfhxf x f + 011)! () (fh njh x xnnnjA= ( 5- 11 ) 0 h2h 3h4h x -4h-3h -2h-h y Fig. 5.5 Grfica de datos con espacios de paso iguales 108 lacualesllamadafrmuladeinterpolacindeGregoryNewtoncondiferencias hacia delante. Las diferencias se obtienen de una tabla de diferencias finitas hacia delante, desde luego. El subndice 0 se refierealvalor de las diferencias que se encuentranenelrenglnbase,elcualcorrespondealprimervalordexenel intervalo donde se encuentra el valor para el cual deseamos interpolar; por ejemplo, siungrupodevaloresestdadodesdex=-2hastax=5,conh=1ysedesea estimarf(-1.8)quenoestenlatabladevalores;elvalordex=-1.8estenel intervalo | -2,-1 |, por lo que x0 = -2; es decir, el rengln base es el que tiene como x =x0. Frmula con diferencias hacia atrs Unafrmulaenteramentesimilarsepuedeobtenercondiferenciashaciaatrs,la cual queda, ahora como: ...! 4) 3 )( 2 )( (! 3) 2 )( (! 2) () ( ) (0440330220 0+ V+ + ++ V+ ++ V++ V + = fhh x h x h x xfhh x h x xfhh x xfhxx f x f + 011)! () (fh njh x xnnnjV+= ( 5- 12 ) enestecaso,seconsideraqueelrecorrido,delejex,serealizaensentido contrario al convencional y, el rengln base queda determinado de la misma forma quecondiferenciashaciadelante;esdecir,.correspondealprimervalordel intervalo donde se encuentra el valor para el cual deseamos interpolar, encontrado en el sentido del recorrido. Finalmente,elvalorxdelafrmula,secalcula(sielvalordexparaelcual deseamos interpolar se simboliza por xi ): x = xi x0( 5-13 ) 5.3.4 Interpolacin con diferencias centrales Hay ocasiones en que el valor de lavariable independiente, para el cual se requiereinterpolar,estcercadelapartecentraldelconjuntodedatos.Eneste 109 caso,setendrunamejoraproximacin,siseusandiferenciascentrales simbolizadasconof0.Sinembargo,lasdiferenciashaciadelanteproporcionan buenosresultados.Paralaestimacindef(x),pordiferenciascentrales,existen varias frmulas estudiadas. Dos de las ms socorridas, por su sencillez, son: Frmula de Stirling ( toda la lnea como base ) ... ) (! 5) 1 )( 1 () (! 4) 1 () (! 3) 1 () (! 2) ( ) 0 ( ) (052 2042 20320220+ +++ + + =fx x xfx xfx xfxf x f x fo oo o o ( 5-14 ) Frmula de Bessel ( lnea media como base ) ... ) (! 5) )( () (! 4) )( () (! 3) () (! 2) () ( ) 0 ( ) (05 49241204 49241203 41202 4120+ + +++ + =fx x xfx xfx xfxf x f x fo oo o o ( 5-15 ) En esta seccin ser aplicada la frmula de Bessel; para ello se requiere que el valor de x ( obtenido con la frmula 5-13) debe estar en el rango de 0.25. Si los datos tienen espaciamientos mayores que este valor, entonces se recomienda que sesub-dividanlosintervalos;primeroalamitadconvaloresdef(x)igualal promedio de los que se tienen en cada intervalo y se hace la prueba del valor de x, en caso que sea cumplida se aplica la ecuacin directamente, pero de no ser as, sehace otraparticin,hastaquesecumpla lacondicin.Porejemplo,supngase queparalosdatosdeTabla5.1,sequiereinterpolarparax=2.7.Puestoqueel intervalo general de valores est dado para 0s xs 5, entonces x = 2.7 est muy cercadelcentrodeesterangodevalores,porloque,lafrmuladeBesseldar buen resultado. Unatabla inicial ser, Tabla 5.7 Muestra de datos cuando se realizan diferencias centrales xf(x)ofo2fo3fo4fo5f 0-7 4 1-35 95 26103Reng-Base 110 1981 325184 3712 46230 67 5129 Tomando en cuenta que el rengln base es el sealado con x0 = 2, entonces x =2.7-2.0 = 0.70>0.25. Se observa que no se cumple la condicin y por tanto, es necesario dividir los intervalos de Ax a la mitad y calcular los valores de f(x) como la mediadelosvalorespresentes,porejemplo,elprimerintervalo(01),se convierte en dos sub-intervalos ( 0-0.5) y ( 0.5 1 ) y el valor de la funcin ser (-7-3)=-5;paraelintervalode(1-2)elpuntomedioesx=1.5yf(x)promedia, linealmente, en 1.5, etc. Los resultados a que se lleg se presentan en la siguiente tabla.

xf(x)ofo2fo3fo4fo5f 0-7 0.5-54 1-36.55 1.501.5097.55 2614106.53 2.5015.50191483.51 3252818104 3.5043.50372412 4625230 4.5095.5067 5129 En esta ocasin el rengln base est a una distancia de 0.20 de x = 2.7, por loquesecumplelacondicinypuedeaplicarselafrmuladeinterpolacin, quedando: 84245 . 17 ) 1 (! 5) 2 . 0 )( 2 . 0 ( 2 . 0) 5 . 3 (! 4) 2 . 0 )( 2 . 0 () 8 (! 3) 2 . 0 ( 2 . 0) 14 (! 2) 2 . 0 () 19 ( 2 . 0 5 . 15 ) 2 . 0 ( ) 5 . 2 (492412492412412412= + +++ + = =f f 111 5.4 Ajuste de curvas- Aproximacin funcional Mtodo de mnimos cuadrados Cuandosetienenparejasdevalores(x,y),tabuladoscomolosdadosen tabla 5.1, y se quiere estimar el valor de la funcin f(x) solamente para un valor de lavariableindependientex,elproblemaseresuelveconlainterpolacino extrapolacin,segnqueelvalorporestimarseencuentreentreofueradelos datos discretos conocidos, respectivamente.Sin embargo, en muchos de los casos se desea tener una ecuacin que represente todos esos datos y que con slo proponer ( en ella ) valores dex se obtengan los valores de la funcin de manera inmediata. Esta ecuacin puede ser un polinomio degradon [representado porg(x)]una funcin especialquesedeterminacon ayuda de la experiencia del investigador. Puestoqueg(x)nopasar,engeneral,portodoslospuntos(Fig.5.6), existirunerrorcentreg(x)yf(x);porloquesernecesarioproponerunmtodo queminimiceelerrorexistente.Elmtododemnimoscuadradosgarantizaeste requisito y con esas definiciones, la magnitud de la distancia local est dada por: ) ( ) ( ) ( x g x f x d =( 5- 16 ) Sihacemosestaprcticaparacadapuntoy,tomandoencuentaque,el cuadradodeestadiferenciaseranmspequea,entonceselerrortotal simbolizado por E, para todos los puntos puede escribirse, ===n iiix d E12) (( 5-17 ) que debe ser minimizado. 112 Fig. 5.6 Puntos discretoscon lnea de tendenciaXf(x) Considerando que g(x) corresponde a un polinomio de grado l, ecuacin ( 5-17 ) se transforma en, | |2443322 1 01... ) (llnix a x a x a x a x a a x f E + + + + + + == ( 5-18 ) que tambin puede escribirse, | |2443322 1 01) ( ... x f x a x a x a x a x a a Ellni + + + + + + == ( 5-19 ) por estar entre parntesis un valor absoluto. La minimizacin del cuadrado del error E, puede obtenerse igualando a cero la primer derivada de E calculada para cada coeficiente ai, en virtud de la propiedad del clculo diferencial, quedando, 0 ...2 1 0=cc=cc=cc=cclaEaEaEaE (5-20) Para ilustrar el desarrollo, paso a paso, de la forma de estas ecuaciones se realiza la primer derivacin de las ecuaciones dadas en ( 5-20 ), de esta manera se tiene: | |213322 1 00 0) ( ...= + + + + +cc=ccniili l i ix f x a x a x a x a aa aE= 0 g(x) 113 | | 0 ) 1 ( ) ( ... 213322 1 00= + + + + + =cc=niili l i ix f x a x a x a x a aaE desarrollando trmino a trmino y dividiendo por 2, encontramos, ) ( ...1 1313212110 = = = = ==((

+ +((

+((

+((

+nii lniliniiniiniix f a x a x a x a x na similarmente para la segunda ecuacin se tiene: ) ( ...1 1131421311201 = =+= = = ==((

+ +((

+((

+((

+((

nii i lniliniiniiniiniix f x a x a x a x a x a x yasparalasdemsderivadasplanteadasenecuaciones(5-20),llegandoal arreglo matricial siguiente: n=niix1 =niix12 =niix13 ... =nilix1 a0 =niix f1) ( =niix1 =niix12 =niix13

=nilix1 ...=+nilix11 a1 =nii ix f x1) ( =niix12 =niix13

=niix14

=niix15...=+nilix12a2

=nii ix f x12) (. ....... . . =nilix1

=+nilix11 =+nilix12

=+nilix13...=nilix12al

=niilix f x1) ( Parafuncionesespeciales(trigonomtricas,exponenciales,etc.),se sustituyeenecuacin(5-19),laecuacinespecialcorrespondiente,derivandola ecuacinresultante,tantasvecescomoconstantesexistanenlafuncinespecial; originandounsistemadeigualnmerodeincgnitascomoconstantestengala ecuacinpropuesta.Porejemplo,silafuncinespecialesg(x)=A+Bsen(x), entonces, ecuacin ( 5-19 ) se transforma en: | |21) (= + =nii ix f Bsenx A E ( 5-21 ) formando un sistema de dos ecuaciones, ya que solamente existen dos constantes A y B, quedando: 114 | |21) (= +cc=ccnii ix f Bsenx AA AE=| | | | 0 ) ( ) ( 21= +cc +=i inii ix f Bsenx AAx f Bsenx A de donde, la ecuacin resultante queda: ((

=((

+ = =niiniix f B senx nA1 1) (Ecuacin 1 y la otra derivada es, | |21) (= +cc=ccnii ix f Bsenx AB BE=| | | | 0 ) ( ) ( 21= +cc +=i inii ix f Bsenx ABx f Bsenx A llegando a, ((

=((

+((

= = =nii iniiniix f senx B x sen A senx1 121) (Ecuacin 2 Cuandolafuncinesg(x)=aebx,g(x)=axb,ecuacin(5-19)queda, respectivamente, como: | |21) (= =niibxx f ae E | |21) (= =niibx f ax E Enestoscasos,siladerivacinrepresentaproblemasparaelestudiante,se recomiendalinearizarlaecuacinpropuestamediantelaaplicacindelogaritmos, quedando como sigue: g(x) = aebx, se transforma en ---- Ln g(x) = Lna + bx -- y = b + mx( 5-22 a )

g(x) = cxd, se transforma en -----Ln g(x) = Lnc + dLnx - y =b + mx( 5-22 b ) obteniendo, por superposicin que para el primer caso, y = Lng(x); b = Lna; m = b. Para el segundo caso;y = Lng(x); b = Lnc y m = d. 115 5.5 Aproximacin a funciones continuas Lasmejoresaproximacionesparafuncionescontinuas,usualmenteson consideradasparaseraproximacionesqueminimicenelerrorenelsentidodel minimax.Desafortunadamente,amenudoesmuydifcilencontrarlamejor aproximacinparaunaciertaclasedefuncindada;sinembargo,deberamos invocaralaexperienciaparatenerunaaproximacinquesealamejor.Por ejemplo,enlugarde encontrarlamejoraproximacinparauna funcincuadrtica podramos haber aproximado con una cuadrtica que siempre ser razonablemente cercanaalamejorcuadrtica.Lasbuenasaproximacionesparafunciones continuas, usualmente tienen un error d(x) que oscila alrededor de cero en la regin deinters,yaque,lasmagnitudespositivassonaproximadamenteigualesalas magnitudes negativas. Laformamscomnysimpledeaproximacinparaunafuncincontinuaescon algntipodepolinomial.Enefecto,siemprequeesusadaunarepresentacinen serie de potencias para calcular una funcin, entonces, la aproximacin polinomial est siendo usada, puesto que, la serie de potencias debera ser truncada en algn punto y, una serie de potencias truncada es siempre una polinomial. Empezaremosnuestradiscusindelaaproximacinafuncionescontinuas mediante el examen de un mtodo para el improvisar la efectividad del truncado delasseriesdepotencias,enotraspalabras,deobtenerlamejorexactitudcon pocostrminos.Estaprcticaesllamadaunaseriedepotenciastelescpicao economizacin.Comoveremos,tambintieneaplicacionesdirectasala aproximacin de cualquier polinomial. Economizacin de Chebyshev LospolinomiosdeChebyshevsepuedenexpresardedosformasdistintas,pero equivalentes; una utiliza funciones coseno y la otra serie de potencias. En el primer caso, el polinomio de Chebyshev normalizado de orden K, se define como, TK(x) = cos|Kcos-1(x)|, 1 s xs 1 ( 5-23 ) Puestoquelafuncincosenoseanulaent/2;3t/2;5t/2;7t/2,...,las races de un polinomio de Chebyshev de orden K satisfacen la ecuacin, 116 K n n K x Kn..., 3 , 2 , 1 , *21) ( cos1= |.|

\| + =t( 2-24) ms explcitamente: ||.|

\| += t *)21(cosKn Kxn,n = 1, 2, 3, ... , K( 2-25 ) Por ejemplo, si K = 3, entonces esta ecuacin conduce a, 86602 . 0 *3) 1213 (cos1 =||.|

\| += t x 00000 . 0 *3) 2213 (cos2=||.|

\| += t x 86602 . 0 *3) 3213 (cos3+ =||.|

\| += t x Ensegundocaso,lostrminosdelospolinomiosdeChebyshev,songenerados por con la ecuacin recurrente: Tn+1(x) = 2xTn(x) Tn-1(x) ( 5-26 ) Requerimostenerpresenteestospolinomiosparapropsitosdeaplicacin. Algunos trminos son, T0(x) = 1 T1(x) = x T2(x) =2x2 1 T3(x) = 4x3- 3x T4(x) = 8x4 8x2 +1( 5-27 ) T5(x) = 16x5 20x3 +5x 117 T6(x) = 32x6 48x4 +18x2 1 T7(x) = 64x7 112x5 + 56x3 7x T8(x) = 128x8 256x6 +160x4 32x2 +1 Recuerde que estos polinomios tienen una magnitud mxima de 1 en el intervalo de 1 s xs 1. Para nuestros propsitos, tambin es interesante invertir esos polinomios para listar las potencias de x en trminos de Tn(x); quedando: 1 = T0 x = T1 x2 = ( T0 + T2 ) x3 = ( 3T1 + T3 ) x4 = 1/8( 3T0 + 4T2 + T4 ) ( 5-28 ) x5 = 1/16( 10T1 + 5T3 + T5) x6 = 1/32( 10T0 + 15T2 + 6T4 + T6) x7 = 1/64 ( 35T1 + 21T3 + 7T5 + T7 ) x8 = 1/128( 35T0 + 56T2 + 28T4 + 8T6 + T8 ) Note usted que los Tn(x) fueron escritos simplemente como Tn Los polinomios de Chebyshev se puede aplicar en cualquier rango distinto de1 s xs1,sisetransformaprimero al,elrangodeinters.Siesterangoest dado pora s xs b, la transformacin est dada por; a ba b yx =2, 1 s xs 1 ( 5-29) en forma equivalente, 2) ( b a x a by+ + = ,a s ys b ( 5-30 ) por consiguiente, al sustituir los puntos de Chebyshev xn en | -1, 1 | dados por ( 5-25 ), en la ecuacin ( 5-30 ), los puntos de Chebyshev yn en | a, b | son, 118 ((

+ +||.|

\| + = b aKn Ka b ynt *) (cos ) (2121,n= 1,2, 3, ..., K ( 5-31 ) Comoejemplo,considereunafuncine-x,quepuedeserrepresentadaporuna serie de potencias, como e-x = 1 x +...! 6 ! 5 ! 4 ! 3 ! 26 5 4 3 2 + + x x x x x ( 5-32) Si la serie alternativa(e-x = 1 x + ...) es truncada despus del trmino en x5, el error no ser mayor de 1.6152x10-3. Usando la representacin de las polinomiales deChebyshevdelaspotenciasdex,eltruncadodelafuncin(e-x=1x+..) puede escribirse como | | | | | || |1 5 3 1 1614 2 0 813 1 412 0 211 0) 5 10 (! 51) 4 3 (! 41) 3 (! 31) (21c + + + + + + + + + =T T TT T T T T T T T T ex ( 5-33 ) dondec1tieneunamagnitudmximade1.1652x10-3.Agrupandotrminos, obtenemos, e-x~1.2656250T01.1302083T1+0.2708333T20.0442798T3+0.0052083T4 0.0005208T5 ( 5-34 ) Ahora podemos hacer valer el factor de que la magnitud de Tn es 1 ( sobre 1 s xs1).SitruncamoslaexpresinanteriordespusdeltrminoqueinvolucraT3, acumularemosunerroradicionalno mayorquelasumadelasmagnitudesdelos coeficientes de T4 y T5, o sea 0.0052083 + 0.0005208 = 0.0057291. Ahora e-x ~ 1.2656250T0 1.1302083T1 + 0.2708333T2 0.0442798T3( 5-35 ) Lamagnituddelerrormximoposibleenecuacinanterior,eslasumadela magnitudmximadelerrordetruncamientodelaserieoriginal,lacualfuede 0.0016152ylamximamagnituddelerroreneltruncamientofuede0.0057291. 119 Estasumaesde0.0073444.LaspolinomialesdeChebyshevenlaexpresinde arriba pueden escribirse en trminos de x, con lo cual queda como: e-x ~ 1.2656250(1)1.1302083(x) + 0.2708333( 2x2 1 ) 0.0442798( 4x3 3x ) desarrollando y agrupando trminos, se llega a e-x ~ 0.9947917 0.9973959x + 0.5416667x2 0.1770832x3 ( 5-36 ) Estos expresin de aproximacin de cuatro trminos, es muy similar a los primeros cuatro trminos de la serie original ( 5-32 ) excepto que el error mximo de ( 5-36 ) esde0.0073444comparadoconunerrormximoposiblede0.0516152paralos primeros cuatro trminos de la serie original. En efecto, si tomamos cinco trminos de la serie ( 5-32 ), el error mximo posible ser de 0.00994895, el cul an es ms grande