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CONTENIDO TRIGONOMETRÍA ................................................................................................................................ 1

1. ORÍGEN DE LA TRIGONOMETRÍA ............................................................................................. 1

2. ÁNGULOS ................................................................................................................................. 1

3. ANTES DE EMPEZAR. ............................................................................................................... 2

a) Agudos ................................................................................................................................. 5

b) Rectos .................................................................................................................................. 6

c) Obtusos ............................................................................................................................... 6

4. TRIÁNGULOS............................................................................................................................ 6

Cuando uno de los ángulos es obtuso (mayor que 90º pero menor que 180º), el

triángulo se llama obtusángulo. .............................................................................................. 9

5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................. 9

6. Ejemplos ................................................................................................................................ 10

7. . Teorema de Pitágoras ......................................................................................................... 15

EJERCICIOS RESUELTOS ..................................................................................................................... 16

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS ............................................................. 20

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TRIGONOMETRÍA

1. ORÍGEN DE LA TRIGONOMETRÍA

La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han

requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y

otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los

antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de

procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un

triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al

pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta

un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar

inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual

dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra

visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal),

acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El

objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las

medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo

con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible

calcular las unas mediante las otras.

2. ÁNGULOS

Asociada tradicionalmente a un capítulo tan importante de la actividad humana

como es el de la observación astronómica, la noción de ángulo es básica en

geometría (y obviamente en trigonometría). Su aparente sencillez no ha de ocultar

el hecho de que el tratamiento de los ángulos como magnitudes susceptibles de

ser medidas encierra una considerable complejidad; en efecto, un sistema de

medición de los ángulos que permita compararlos eficazmente con otras

magnitudes geométricas, como la longitud o la superficie, requiere tratarlos como

magnitudes lineales, lo que sólo se consigue adecuadamente asociándolos a

arcos de circunferencia. Pero el cálculo de la longitud de la circunferencia hace

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intervenir una magnitud irracional, el número pi; esto implica que cuestiones

aparentemente sencillas, como por ejemplo la división de un ángulo cualquiera en

tres partes iguales, no puedan resolverse fácilmente mediante una construcción

geométrica que se sirva exclusivamente de la regla y el compás.

Dados tres puntos distintos, M, N y R, consideremos las dos semirrectas NM y NR

del plano que contiene a los tres puntos; dichas semirrectas poseen un origen

común N y dividen al plano en dos regiones, cada una de las cuales se denomina

ángulo. Las semirrectas son los lados del ángulo y su origen común es el vértice.

3. ANTES DE EMPEZAR.

La trigonometría nace con la observación de los fenómenos astronómicos.

El primer antecedente escrito de la trigonometría lo encontramos en el

problema 56 del papiro de Rhind. Escrito por Ahmés alrededor del 1800 a.C.

transcribiendo otro del 500 a.C.

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En el conjunto megalítico de Stonehenge (Gran Bretaña), construido entre 2200

y 1600 a.C., la alineación de dos grandes piedras indica el día más largo del año.

En la antigua Babilonia se introdujo la medida del ángulo en grados.

La división de la circunferencia en 360º, probablemente va unida a la del año en

360 días. Así, como el sol recorre una circunferencia en un año, un grado sería el

recorrido en un día.

Con la cultura griega la trigonometría experimentó un nuevo y definitivo impulso.

Aristarco de Samos (s. III a.C.) halló la distancia al sol y a la luna

utilizando triángulos. Hiparlo de Nicea (s. II a.C.) es considerado como el “inventor”

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de la trigonometría.

Ptolomeo, en el siglo II, escribió el “Almagesto” que influyó a lo largo de toda la

Edad Media.

El desarrollo de la trigonometría debe mucho a la obra de los árabes, quienes

transmitieron a Occidente el legado griego.

Fueron los primeros en utilizar la tangente.

Hacia el año 833, Al-Kwuarizmi construyó la primera tabla de senos.

En Europa se publica en 1533, el primer tratado de trigonometría: “De trianguli

omnia modi, libri V”. Escrito en 1464 en Köningsberg, por Johann Müller,

conocido como el Regiomontano.

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Newton utiliza en 1671 las coordenadas polares.

La física de los fenómenos ondulatorios, como el producido por una cuerda que

vibra, llevó a Euler (1707-1783) al estudio de las funciones trigonométricas.

Hoy, en nuestros días, las utilidades de la trigonometría abarcan los más diversos

campos: de la topografía a la acústica, la óptica y la electrónica

A continuación estudiaremos un poco sólo los ángulos que contienen los

triángulos.

a) Agudos

Son aquellos ángulos que miden más de 0º pero menos de 90º. Son

característicos de los triángulos acutángulos.

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b) Rectos

Son aquellos ángulos que miden 90º. Son característicos de los triángulos

rectángulos.

c) Obtusos

Son aquellos ángulos que miden más de 90º pero menos de 180º. Son

característicos de los triángulos obtusángulos.

4. TRIÁNGULOS

El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que

cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las

diagonales a partir de un vértice, o más en general, uniendo todos los vértices con

un mismo punto interior al polígono. Por otra parte, un tipo particular de triángulos,

los triángulos rectángulos, se caracterizan por satisfacer una relación métrica (el

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llamado teorema de Pitágoras) que es la base de nuestro concepto de medida de

las dimensiones espaciales.

I. CLASIFICACIÓN POR LADOS

a. Isósceles

Se llama triángulo isósceles al que tiene dos lados iguales; el tercer lado se llama

base. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales;

recíprocamente, si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a

dichos ángulos también serán iguales.

b. Equilátero

Se llama triángulo equilátero al que tiene los tres lados iguales. Como un triángulo

equilátero es isósceles para cualquier par de lados, resulta que los tres ángulos de

un triángulo equilátero son iguales; recíprocamente, si los tres ángulos de un

triángulo son iguales, el triángulo es equilátero. Cabe mencionar que al triángulo

que tiene los tres ángulos iguales se llaman, como se acaba de mencionar,

triángulo equilátero, pero también es llamado equiángulo.

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c. Escaleno

Cuando un triángulo tiene sus tres lados distintos entre sí se llama escaleno.

II. CLASIFICACIÓN POR ÁNGULOS

a) Acutángulo

Un triángulo que tiene sus tres ángulos agudos (mayor que 0º pero menor que

90º) se llama acutángulo.

b) Rectángulo

Cuando uno de los ángulos es recto (igual a 90º), se llama rectángulo.

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c) Obtusángulo

Cuando uno de los ángulos es obtuso (mayor que 90º pero menor que 180º), el

triángulo se llama obtusángulo.

5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

La trigonometría es el estudio de la relación entre

los lados y los ángulos del triángulo rectángulo.

Muchas aplicaciones de la trigonometría

dependen de esta relación. A estas relaciones las

denominamos funciones trigonométricas.

Sea el triángulo ABC un triángulo rectángulo con

el ángulo recto en el vértice C. Sus lados a y b

son sus catetos y el lado c la hipotenusa. Cada

ángulo, en el triángulo tiene un lado opuesto, lado

de frente al ángulo, y un lado adyacente, lado

que forma parte del ángulo en cuestión.

De la forma en que ha sido configurado el

triángulo en este ejemplo, el vértice A tiene al

cateto a como lado opuesto y al cateto b como

lado adyacente. De igual forma el vértice B tiene

al cateto b como lado opuesto y al cateto a como

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lado adyacente. Los lados opuestos y adyacentes se intercambian entre sí para

los dos ángulos que no son el ángulo recto en el triángulo rectángulo.

En el caso del ángulo recto, hay que notar que tiene como lado opuesto a la

hipotenusa y no tiene lado adyacente. El identificar los lados opuestos y

adyacentes respecto a un ángulo es sumamente importante a la hora de definir las

funciones trigonométricas. En esta unidad solamente definiremos las tres

funciones trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente. Estas son las

convenientes y utilizadas en Física para resolver problemas. Estas son:

6. Ejemplos

a. Seno

Se define la función seno (sen) de un ángulo como la proporción que existe entre

el lado opuesto y la hipotenusa. Matemáticamente esta proporción se expresa

como:

Donde el símbolo θ se utiliza para denotar el ángulo que estaremos considerando.

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Observa la figura de la izquierda.

En ella hay un triángulo con unas

cantidades medidas. Sea el ángulo

igual a 30° y su lado opuesto igual a

5 cm y la hipotenusa igual a 10 cm,

entonces el seno de 30° es:

El procedimiento para calcular el

seno sería:

Los valores de las funciones trigonométricas no tienen unidades ya que se

cancelan. También son independientes del tamaño del triángulo. El seno de 30°

siempre es igual a 0.5. El triángulo que mejor nos muestra esta relación es:

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b. Coseno

La función coseno (cos) se define como la proporción entre el lado adyacente y la

hipotenusa. Esta función se expresa como:

Sea el ángulo igual a 45° y su lado opuesto igual a 7 cm y la hipotenusa igual a 10

cm, entonces el coseno de 45° es:

Puedes notar que se utilizó la función de

Esta se lee "coseno inverso" pero su significado es el el recíproco de la función lo

cual representa un número que nos da el ángulo correspondiente. Puedes usar

la calculadora para obtener el resultado. El triángulo básico que mejor nos muestra

esta relación es:

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c. Tangente

La función tangente se define como la proporción entre el lado opuesto y el

adyacente. Esta función se expresa como:

Sea el ángulo igual a 60° y

su lado opuesto igual a 8 cm

y el adyacente igual a 4.62

cm, entonces la tangente de

60° es:

Puedes usar la calculadora para revisar los cálculos aquí demostrados y sustituir

otras cantidades en los ejemplos demostrados. El mejor triángulo que representa

la situación del ejemplo es:

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7. . Teorema de Pitágoras

Los lados de un triángulo rectángulo se

pueden relacionar entre sí por medio del

teorema de Pitágoras. La ecuación que

describe esa relación es la siguiente:

c2 = a2 + b2

No importa el tamaño del triángulo, la

proporción existente entre los lados, a partir

de un ángulo de referencia, se mantiene

constante. Esto es, dibuja dos triángulos rectángulos de diferente tamaño con uno

de sus ángulos iguales. Mide los lados de

cada triángulo y establece la proporción para

cada lado según se definen las funciones

trigonométricas y verás que las proporciones

entre los dos triángulos se mantienen

independientemente del tamaño del triángulo.

Sea ABC un triángulo rectángulo con lados a,

b y c, como muestra la figura superior de la

derecha.

Si el lado c es la hipotenusa, entonces:

c² = a² + b²

Si el cateto a = 2 cm y el cateto b = 3 cm, entonces

c² = a² + b²

c² = (2 cm) ² + ( 3 cm)²

c² = 4 cm² + 9 cm²

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c² = 13 cm²

c = 3.6 cm

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Se conocen la hipotenusa y un cateto:

Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo:

a = 415 m y b = 280 m.

sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′

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C = 90° - 42° 25′ = 47° 35 ′

c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

2) Se conocen los dos catetos:

Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo:

b = 33 m y c = 21 m .

tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′

C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′

a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m

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3) Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo:

Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo:

a = 45 m y B = 22°.

C = 90° - 22° = 68°

b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m

c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

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4) Se conocen un cateto y un ángulo agudo:

Ejemplo:

Resolver el triángulo conociendo:

b = 5.2 m y B = 37º

C = 90° - 37° = 53º

a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m

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EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS

5) De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes

elementos

6) De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes

elementos.

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