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Aproximación de funciones. Diferencias divididas Polinomio de newton P n (x)= n ∑ i=0 f [x 0 ,..., x i ]Q i (x). P n (x) = f [x 0 ]+ f [x 0 , x 1 ]Q 1 (x)+ f [x 0 ,..., x 2 ]Q 2 (x)+ + f [x 0 ,..., x 3 ]Q 3 (x)+ ··· + f [x 0 ,..., x n ]Q n (x). Propiedad recursiva f [x 0 ,..., x k ]= f [x 1 ,..., x k ] - f [x 0 ,..., x k-1 ] x 0 - x k Computación
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Aproximación de funciones.
Diferencias divididas
Polinomio de newton
Pn(x) =n
∑i=0
f [x0, . . . ,xi]Qi(x).
Pn(x) = f [x0]+ f [x0,x1]Q1(x)+ f [x0, . . . ,x2]Q2(x)+
+ f [x0, . . . ,x3]Q3(x)+ · · ·+ f [x0, . . . ,xn]Qn(x).
Propiedad recursiva
f [x0, . . . ,xk] =f [x1, . . . ,xk]− f [x0, . . . ,xk−1]
x0 − xk
Computación
Aproximación de funciones.
Diferencias divididas
Polinomio de newton
Pn(x) =n
∑i=0
f [x0, . . . ,xi]Qi(x).
Pn(x) = f [x0]+ f [x0,x1]Q1(x)+ f [x0, . . . ,x2]Q2(x)+
+ f [x0, . . . ,x3]Q3(x)+ · · ·+ f [x0, . . . ,xn]Qn(x).
Propiedad recursiva
f [x0, . . . ,xk] =f [x1, . . . ,xk]− f [x0, . . . ,xk−1]
x0 − xk
Computación
Aproximación de funciones.
Diferencias divididas
Polinomio de newton
Pn(x) =n
∑i=0
f [x0, . . . ,xi]Qi(x).
Pn(x) = f [x0]+ f [x0,x1]Q1(x)+ f [x0, . . . ,x2]Q2(x)+
+ f [x0, . . . ,x3]Q3(x)+ · · ·+ f [x0, . . . ,xn]Qn(x).
Propiedad recursiva
f [x0, . . . ,xk] =f [x1, . . . ,xk]− f [x0, . . . ,xk−1]
x0 − xk
Computación
Aproximación de funciones.
x0 f [x0]
x1 f [x1]
x2 f [x2]
x3 f [x3]
x4 f [x4]
x5 f [x5]
orden 0
Computación
Aproximación de funciones.
x0 f [x0]
f [x0,x1] =f [x0]− f [x1]
x0−x1
x1 f [x1]
f [x1,x2] =f [x1]− f [x2]
x1−x2
x2 f [x2]
f [x2,x3] =f [x2]− f [x3]
x2−x3
x3 f [x3]
f [x3,x4] =f [x4]− f [x3]
x4−x3
x4 f [x4]
f [x4,x5] =f [x4]− f [x5]
x4−x5
x5 f [x5]
orden 0 orden 1
Computación
Aproximación de funciones.
x0 f [x0]f [x0,x1]
x1 f [x1] f [x0,x1,x2] =f [x1,x2]− f [x0,x1]
x2−x0
f [x1,x2]
x2 f [x2] f [x1,x2,x3] =f [x2,x3]− f [x1,x2]
x3−x1
f [x2,x3]
x3 f [x3] f [x2,x3,x4] =f [x3,x4]− f [x2,x3]
x4−x2
f [x3,x4]
x4 f [x4] f [x3,x4,x5] =f [x4,x5]− f [x3,x4]
x5−x3
f [x4,x5]x5 f [x5]
orden 0 orden 1 orden 2
Computación
Aproximación de funciones.
x0 f [x0]f [x0,x1]
x1 f [x1] f [x0,x1,x2]f [x1,x2] f [x0,x1,x2,x3] = · · ·
x2 f [x2] f [x1,x2,x3]f [x2,x3] f [x1,x2,x3,x4] = · · ·
x3 f [x3] f [x2,x3,x4]f [x3,x4] f [x2,x3,x4,x5] = · · ·
x4 f [x4] f [x3,x4,x5]f [x4,x5]
x5 f [x5]
orden 0 orden 1 orden 2 orden 3
Computación
Aproximación de funciones.
x(:) A(:,1)x0 f [x0]
f [x0,x1]x1 f [x1] f [x0,x1,x2]
f [x1,x2] f [x0,x1,x2,x3] = · · ·x2 f [x2] f [x1,x2,x3]
f [x2,x3] f [x1,x2,x3,x4] = · · ·x3 f [x3] f [x2,x3,x4]
f [x3,x4] f [x2,x3,x4,x5] = · · ·x4 f [x4] f [x3,x4,x5]
f [x4,x5]x5 f [x5]
orden 0 orden 1 orden 2 orden 3
Computación
Aproximación de funciones.
x(:) A(:,1) A(:,2)x0 f [x0]
f [x0,x1]x1 f [x1] f [x0,x1,x2]
f [x1,x2] f [x0,x1,x2,x3] = · · ·x2 f [x2] f [x1,x2,x3]
f [x2,x3] f [x1,x2,x3,x4] = · · ·x3 f [x3] f [x2,x3,x4]
f [x3,x4] f [x2,x3,x4,x5] = · · ·x4 f [x4] f [x3,x4,x5]
f [x4,x5]x5 f [x5]
orden 0 orden 1 orden 2 orden 3
Computación
Aproximación de funciones.
x(:) A(:,1) A(:,2) A(:,3)x0 f [x0]
f [x0,x1]x1 f [x1] f [x0,x1,x2]
f [x1,x2] f [x0,x1,x2,x3] = · · ·x2 f [x2] f [x1,x2,x3]
f [x2,x3] f [x1,x2,x3,x4] = · · ·x3 f [x3] f [x2,x3,x4]
f [x3,x4] f [x2,x3,x4,x5] = · · ·x4 f [x4] f [x3,x4,x5]
f [x4,x5]x5 f [x5]
orden 0 orden 1 orden 2 orden 3
Computación
Aproximación de funciones.
x(:) A(:,1) A(:,2) A(:,3) A(:,4)x0 f [x0]
f [x0,x1]x1 f [x1] f [x0,x1,x2]
f [x1,x2] f [x0,x1,x2,x3] = · · ·x2 f [x2] f [x1,x2,x3]
f [x2,x3] f [x1,x2,x3,x4] = · · ·x3 f [x3] f [x2,x3,x4]
f [x3,x4] f [x2,x3,x4,x5] = · · ·x4 f [x4] f [x3,x4,x5]
f [x4,x5]x5 f [x5]
orden 0 orden 1 orden 2 orden 3
Computación
Aproximación de funciones.
x(:) A(:,1) A(:,2) A(:,3) A(:,4)x(1) A(1,1)
f [x0,x1]x(2) A(2,1) f [x0,x1,x2]
f [x1,x2] f [x0,x1,x2,x3] = · · ·x(3) A(3,1) f [x1,x2,x3]
f [x2,x3] f [x1,x2,x3,x4] = · · ·x(4) A(4,1) f [x2,x3,x4]
f [x3,x4] f [x2,x3,x4,x5] = · · ·x(5) A(5,1) f [x3,x4,x5]
f [x4,x5]x(6) A(6,1)
orden 0 orden 1 orden 2 orden 3
Computación
Aproximación de funciones.
x(:) A(:,1) A(:,2) A(:,3) A(:,4)x(1) A(1,1)
A(1,2)=A(1,1)-A(2,1)x(1)-x(2)
x(2) A(2,1) f [x0,x1,x2]
A(2,2)=A(2,1)-A(3,1)x(2)-x(3) f [x0,x1,x2,x3] = · · ·
x(3) A(3,1) f [x1,x2,x3]
A(3,2)=A(3,1)-A(4,1)x(3)-x(4) f [x1,x2,x3,x4] = · · ·
x(4) A(4,1) f [x2,x3,x4]
A(4,2)=A(4,1)-A(5,1)x(4)-x(5) f [x2,x3,x4,x5] = · · ·
x(5) A(5,1) f [x3,x4,x5]
A(5,2)=A(5,1)-A(6,1)x(5)-x(6)
x(6) A(6,1)
orden 0 orden 1 orden 2 orden 3
Computación
Aproximación de funciones.
x(:) A(:,1) A(:,2) A(:,3) A(:,4)x(1) A(1,1)
A(1,2)=A(1,1)-A(2,1)x(1)-x(2)
x(2) A(2,1) A(1,3)=A(1,2)-A(2,2)x(1)-x(3)
A(2,2)=A(2,1)-A(3,1)x(2)-x(3) f [x0,x1,x2,x3] = · · ·
x(3) A(3,1) A(2,3)=A(2,2)-A(3,2)x(2)-x(4)
A(3,2)=A(3,1)-A(4,1)x(3)-x(4) f [x1,x2,x3,x4] = · · ·
x(4) A(4,1) A(3,3)=A(3,2)-A(4,2)x(3)-x(5)
A(4,2)=A(4,1)-A(5,1)x(4)-x(5) f [x2,x3,x4,x5] = · · ·
x(5) A(5,1) A(4,3)=A(4,2)-A(5,2)x(4)-x(6)
A(5,2)=A(5,1)-A(6,1)x(5)-x(6)
x(6) A(6,1)
orden 0 orden 1 orden 2 orden 3Computación
Aproximación de funciones.
x(:) A(:,1) A(:,2) A(:,3) A(:,4)x(1) A(1,1)
A(1,2)=A(1,1)-A(2,1)x(1)-x(2)
x(2) A(2,1) A(1,3)=A(1,2)-A(2,2)x(1)-x(3)
A(2,2)=A(2,1)-A(3,1)x(2)-x(3) A(1,4)=· · ·
x(3) A(3,1) A(2,3)=A(2,2)-A(3,2)x(2)-x(4)
A(3,2)=A(3,1)-A(4,1)x(3)-x(4) A(2,4)=· · ·
x(4) A(4,1) A(3,3)=A(3,2)-A(4,2)x(3)-x(5)
A(4,2)=A(4,1)-A(5,1)x(4)-x(5) A(3,4)=· · ·
x(5) A(5,1) A(4,3)=A(4,2)-A(5,2)x(4)-x(6)
A(5,2)=A(5,1)-A(6,1)x(5)-x(6)
x(6) A(6,1)
orden 0 orden 1 orden 2 orden 3Computación
Aproximación de funciones.
A(k,j)=A(k,j-1)-A(k+1,j-1)x(k)-x(k+j-1)�
f u n c t i o n w= d i f e r e n c i a s ( x , y )n=columns ( x ) ;A=zeros ( n , n ) ;A( : , 1 ) = y ’ ;w=zeros (1 , n ) ;w(1)= y ( 1 ) ;f o r j =2:n
f o r k =1:n−j +1A( k , j ) = (A( k , j −1)−A( k+1 , j −1) ) / ( x ( k)−x ( k+ j −1)) ;
endw( j )=A(1 , j ) ;
endendfunc t ion� �
Computación
Aproximación de funciones.
A(k,j)=A(k,j-1)-A(k+1,j-1)x(k)-x(k+j-1)�
f u n c t i o n w= d i f e r e n c i a s ( x , y )n=columns ( x ) ;A=zeros ( n , n ) ;A( : , 1 ) = y ’ ;w=zeros (1 , n ) ;w(1)= y ( 1 ) ;f o r j =2:n
f o r k =1:n−j +1A( k , j ) = (A( k , j −1)−A( k+1 , j −1) ) / ( x ( k)−x ( k+ j −1)) ;
endw( j )=A(1 , j ) ;
endendfunc t ion� �
Computación
Aproximación de funciones.
Ejercicio
Contar las operaciones realizadas todas las diferencias divididas deorden k.
Ejercicio
Contar las operaciones realizadas en la interpolación por el métodode Newton.
Ejercicio
Calcular las diferencias divididas hasta el orden 20 en los puntosx = 0 : 20 de los polinomios xk con k = 0 : 19.
Computación
Aproximación de funciones.
Ejercicio
Contar las operaciones realizadas todas las diferencias divididas deorden k.
Ejercicio
Contar las operaciones realizadas en la interpolación por el métodode Newton.
Ejercicio
Calcular las diferencias divididas hasta el orden 20 en los puntosx = 0 : 20 de los polinomios xk con k = 0 : 19.
Computación
Aproximación de funciones.
Ejercicio
Contar las operaciones realizadas todas las diferencias divididas deorden k.
Ejercicio
Contar las operaciones realizadas en la interpolación por el métodode Newton.
Ejercicio
Calcular las diferencias divididas hasta el orden 20 en los puntosx = 0 : 20 de los polinomios xk con k = 0 : 19.
Computación
Aproximación de funciones.
Las diferencias divididas de orden mayor a k de la función f (x) = xk
son todas nulas
f [x0, . . . ,xi] =f (i)(ξ)
i!
en(x) = f (x)−Pn(x) = f [x0, · · · ,xn,x]Qn+1(x).
en(x) = M f (n+1)(ξ).
Computación
Aproximación de funciones.
Las diferencias divididas de orden mayor a k de la función f (x) = xk
son todas nulas
f [x0, . . . ,xi] =f (i)(ξ)
i!
en(x) = f (x)−Pn(x) = f [x0, · · · ,xn,x]Qn+1(x).
en(x) = M f (n+1)(ξ).
Computación
Aproximación de funciones.
Las diferencias divididas de orden mayor a k de la función f (x) = xk
son todas nulas
f [x0, . . . ,xi] =f (i)(ξ)
i!
en(x) = f (x)−Pn(x) = f [x0, · · · ,xn,x]Qn+1(x).
en(x) = M f (n+1)(ξ).
Computación
Aproximación de funciones.
Las diferencias divididas de orden mayor a k de la función f (x) = xk
son todas nulas
f [x0, . . . ,xi] =f (i)(ξ)
i!
en(x) = f (x)−Pn(x) = f [x0, · · · ,xn,x]Qn+1(x).
en(x) = M f (n+1)(ξ).
Computación
Aproximación de funciones.
Multiplicación encajada - Método de Horner
p(x) =n
∑i=0
aixi.
p(x) = a0 +a1x+a2x2 +a3x3 + · · ·+anxn
= a0 + x(a1 +a2x+a3x2 + · · ·+anxn−1)
= a0 + x(a1 + x
(a2 +a3x+ · · ·+anxn−2))
= a0 + x(a1 + x
(a2 + x
(a3 + · · ·+anxn−3)))
...
= a0 + x(a1 + x(a2 + x(a3 + · · ·+ x(an−1 + xan))))
Computación
Aproximación de funciones.
Multiplicación encajada - Método de Horner
p(x) =n
∑i=0
aixi.
p(x) = a0 +a1x+a2x2 +a3x3 + · · ·+anxn
= a0 + x(a1 +a2x+a3x2 + · · ·+anxn−1)
= a0 + x(a1 + x
(a2 +a3x+ · · ·+anxn−2))
= a0 + x(a1 + x
(a2 + x
(a3 + · · ·+anxn−3)))
...
= a0 + x(a1 + x(a2 + x(a3 + · · ·+ x(an−1 + xan))))
Computación
Aproximación de funciones.
p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + x(a3 + · · ·+ x(an−1 + xan))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(n)+ xa(n+1)))))
p(x) = a(1)+ x
p(x) =
Computación
Aproximación de funciones.
p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + x(a3 + · · ·+ x(an−1 + xan))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(n)+ xa(n+1)))))
p(x) = a(1)+ x
p(x) =
Computación
Aproximación de funciones.
p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + x(a3 + · · ·+ x(an−1 + xan))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(n)+ xa(n+1)))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(m-1)+ x))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(m-1)+ xa(m)))))
Computación
Aproximación de funciones.
p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + x(a3 + · · ·+ x(an−1 + xan))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(n)+ xa(n+1)))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(m-1)+ xa(m)))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(m-1)+ xw(m)))))
Computación
Aproximación de funciones.
p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + x(a3 + · · ·+ x(an−1 + xan))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(n)+ xa(n+1)))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(m-1)+ xw(m)))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ xw(m-1))))
Computación
Aproximación de funciones.
p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + x(a3 + · · ·+ x(an−1 + xan))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(n)+ xa(n+1)))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ xw(5))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ xw(4)))
Computación
Aproximación de funciones.
p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + x(a3 + · · ·+ x(an−1 + xan))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(n)+ xa(n+1)))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ xw(4)))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ xw(3))
Computación
Aproximación de funciones.
p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + x(a3 + · · ·+ x(an−1 + xan))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(n)+ xa(n+1)))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ xw(3))
p(x) = a(1)+ xw(2)
Computación
Aproximación de funciones.
p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + x(a3 + · · ·+ x(an−1 + xan))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(n)+ xa(n+1)))))
p(x) = a(1)+ xw(2)
p(x) = w(1)
Computación
Aproximación de funciones.
p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + x(a3 + · · ·+ x(an−1 + xan))))
p(x) = a(1)+ x(a(2)+ x(a(3)+ x(a(4)+ · · ·+ x(a(n)+ xa(n+1)))))
p(x) = a(1)+ xw(2)
p(x) = w(1)
w(k) = a(k)+ xw(k+1)
Computación
Aproximación de funciones.
�f u n c t i o n pz=horner ( a , z )m=columns ( a ) ;pz=0∗z ;f o r j =m:−1:1
pz=a ( j )+ pz .∗ z ;endendfunc t ion� �
Computación
Aproximación de funciones.
Multiplicación encajada para el método Newton
Pn(x) =n
∑i=0
CiQi(x).
Qi(x) = Qi−1(x)(x− xi)
Pn(x) = c0 +(x− x1)(c1 +(x− x2)(c2 +(x− x3)(c3 + · · ·)))
Computación
Aproximación de funciones.
Multiplicación encajada para el método Newton
Pn(x) =n
∑i=0
CiQi(x).
Qi(x) = Qi−1(x)(x− xi)
Pn(x) = c0 +(x− x1)(c1 +(x− x2)(c2 +(x− x3)(c3 + · · ·)))
Computación
Aproximación de funciones.
Multiplicación encajada para el método Newton
Pn(x) =n
∑i=0
CiQi(x).
Qi(x) = Qi−1(x)(x− xi)
Pn(x) = c0 +(x− x1)(c1 +(x− x2)(c2 +(x− x3)(c3 + · · ·)))
Computación
Aproximación de funciones.
newtonh.m�f u n c t i o n pz=horner ( c , x , z )m=columns ( c ) ;pz=0∗z ;f o r j =m:−1:1
pz=c ( j )+ pz .∗ ( z−x ( j ) ) ;endendfunc t ion� �
Computación
Aproximación de funciones.
Errores y tiempos de ejecución en Newton
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(1). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(0). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(0,99). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Computación
Aproximación de funciones.
Errores y tiempos de ejecución en Newton
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(1). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(0). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(0,99). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Computación
Aproximación de funciones.
Errores y tiempos de ejecución en Newton
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(1). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(0). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Interpolar la función f (x) = xk en el intervalo [0,001,k] usando lospuntos [0,001 (1 : k)/k]. Calcular el valor de Pk(0,99). Graficar losvalores obtenidos para k = 1 : 200. Analizar los resultados obtenidos.
Computación
