Aproximación a Pi
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Aproximaci´ on a π ´ Oscar Valor Hi º ch¯ o p kei ‹ Y¯ u « ki [email protected] 23 de febrero de 2011 v1.0 1. Idea Me propongo buscar una aproximaci´ on a π con las f´ ormulas que conozco. La idea es inscribir pol´ ıgonos regulares que tengan cada vez mas lados dentro de un c´ ırculo, pues un pol´ ıgono de infinitos lados ser´ ıa una circunferencia, y si el di´ ametro es 1, su per´ ımetro seria π. El problema con el que nos encontramos al querer inscribirlo en un pol´ ıgono de n lados, es calcular el tama˜ no del lado, si lo que conocemos es el di´ ametro de la circunferencia. Esto se puede calcular a partir del doble del seno del ´ angulo que forma la apotema con un radio que vaya al v´ ertice, que es 360 o /(2n) donde n es el n´ umero de lados, es decir: l =2 · radio · sin 360 o 2n y como el radio es la mitad del di´ ametro: l = sin 180 o n ⇒ P = n · sin 180 o n Lado Seno Radio α Resuelto este bache, el siguiente problema que nos encontramos es el c´ alculo del seno, pues las series que conozco se basan en radianes, y obviamente no podemos utilizarlos pues no hemos definido a´ un a π. As´ ı que intentaremos crear una forma alternativa de calcularlo a partir de algunas f´ ormulas que conocemos: 1
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Demostración de como aproximar pi a partir de una serie con algunas ideas intuitivas
Transcript of Aproximación a Pi
Aproximacion a π
Oscar ValorHi
火cho
長kei
兄Yu
勇ki
23 de febrero de 2011v1.0
1. Idea
Me propongo buscar una aproximacion a π con las formulas que conozco. La idea esinscribir polıgonos regulares que tengan cada vez mas lados dentro de un cırculo, puesun polıgono de infinitos lados serıa una circunferencia, y si el diametro es 1, su perımetroseria π.
El problema con el que nos encontramos al querer inscribirlo en un polıgono de n lados,es calcular el tamano del lado, si lo que conocemos es el diametro de la circunferencia.Esto se puede calcular a partir del doble del seno del angulo que forma la apotema con unradio que vaya al vertice, que es 360o/(2n) donde n es el numero de lados, es decir:
l = 2 · radio · sin 360o
2n
y como el radio es la mitad del diametro:
l = sin180o
n⇒ P = n · sin 180o
n
Lado
Seno
Radio
α
Resuelto este bache, el siguiente problema que nos encontramos es el calculo del seno,pues las series que conozco se basan en radianes, y obviamente no podemos utilizarlos puesno hemos definido aun a π. Ası que intentaremos crear una forma alternativa de calcularloa partir de algunas formulas que conocemos:
1
sin 30o = 1/2
sin2 α+ cos2 α = 1⇒ cos 30o =√
3/2
sinα
2=
√1− cosα
2
cosα
2=
√1 + cosα
2
2. Desarrollo
Podemos empezar con una aproximacion de π a partir de un hexagono circunscrito,y elegimos los hexagonos, y los polıgonos regulares multiplos de 6, para poder calcular elseno de 30.
Sea n = 6 · 2k, donde k es el grado de acercamiento del polinomio, tenemos entoncesque:
π = lımk→∞
6 · 2k · sin 30o
2k
Esta formula carecerıa de sentido si no pudieramos calcular una aproximacion. Paraver como se desarrolla el seno a partir de los angulos mitad, vamos a ir haciendo sucesivasaproximaciones de pi.
k=0
π ≈ 6 · sin 30o = 3
k=1
π ≈ 2 · 6 · sin 30o
2= 12
√1− cos 30o
2= 12
√1−
√32
2=
12
2
√2−√
3 ≈ 3,105
k=2
π ≈ 22 · 6 · sin 30o
22= 24
√1− cos (30o/2)
2= 24
√√√√2− 2
√1 +√
3/2
2=
= 12
√2−
√2 +√
3 ≈ 3,132
k=3
π ≈ 23 · 6 · sin 30o
23= · · · = 48
2
√2−
√2 +
√2 +√
3 ≈ 3,139
2
3. Conclusion
Ahora se puede comprobar su calculo para un valor n cualquiera:
π = lımn→∞
2n · 6 ·
√√√√√√2−
√2 +
√2 +
√· · ·+
√3︸ ︷︷ ︸
n+1
�
3
