Aproximacin al rea bajo una curva.Calcular cada una de las reas de los rectngulos, que llenan la regin acotada para alcanzar el valor del rea, necesariamente lleva a precisar el sentido de la aproximacin.Consideremos algunas funciones e intentemos calcular, con el procedimiento anterior, las reas bajo las curvas respectivas.Por ejemplo, consideremos la funcin constantef(x) =ken el intervalo [a,b], el rea coincide con el rea de un rectngulo. De acuerdo con la Figura 2.1 el rea estara expresada por la frmula conocida:base por altura= (ba)k.

Figura 2.1Si llevamos a cabo el procedimiento de llenar la regin por medio de rectngulos llegaramos a la misma frmula conocida. En esta regin no importa el tamao de los rectngulos para alcanzar el rea real de la regin, como se ve en la Figura 2.2.

Figura 2.2Dividamos el intervalo [a,b] ensubintervalosmediante los puntos, cada rectngulo tiene la misma alturaky la suma de sus reas se expresa de la siguiente manera,

Si dividimos el intervalo [a,b] ennsubintervalosiguales, obtenemos el mismo resultado, en este caso la longitud de cadasubintervaloesy contamos connrectngulos. Siendo as, la suma de todos los rectngulos tienentrminos iguales, entonces basta multiplicarnveces el rea de un rectngulo,

Sin embargo, si consideramos el rea bajo la curva formada por la funcinen el intervalo [a,b] (Figura 2.3), la situacin del clculo del rea no va a ser exactamente la misma que en el caso anterior.

Figura 2.3Efectivamente, el rea puede ser calculada sumando el rea del rectngulo y la del tringulo (Figura 2.4)

Figura 2.4

y

luego,

Tambin se podra calcular el rea directamente por ser la regin bajo la curva un trapecio, su rea sera la semisuma de las bases multiplicada por la altura:

Tomemos casos particulares para esta rea y observemos los valores numricos. Por ejemplo, consideremos el intervalo [1, 3] y dividmoslo en tressubintervalosde diferente longitud, como en la Figura 2.5.

Figura 2.5Las alturas de los rectngulos son consideradas de tal suerte que todos quedan inscritos en la regin acotada, es decir, los rectngulos estn por debajo de la curva. Y la suma de las reas de los tres rectngulos resulta:(1.5 1)1 + (2 1.5)1.5 + (3 2)2 = 3.25(Observa que las alturas de los rectngulos 1, 1.5 y 2, son calculadas al evaluar la funcinen los extremos izquierdos de lossubintervaloscorrespondientes:,y)Por otra parte, si consideramos ahora las alturas de los rectngulos (con las mismas bases del caso anterior), de tal suerte que los rectngulos quedan circunscritos a la regin como se presenta en la Figura 2.6.

Figura 2.6.La suma de las reas de los rectngulos circunscritos resulta ser,(1.5 1)1.5 + (2 1.5)2 + (3 2)3 = 4.75(En el mismo sentido que la observacin anterior las alturas de los rectngulos son calculadas al evaluar en la funcin los valores extremos derechos de lossubintervaloscorrespondientes)Sin embargo, el valor real del rea de la regin acotada usando la relacin encontrada anteriormente, resulta ser,

Este valor se encuentra acotado por los dos valores anteriormente calculados

eneste sentido 3.25 y 4.75 son valores aproximados al valor real del rea, 4.La aproximacin anterior puede ser mejorada si llenamos la regin con rectngulos de tamao tal que el rea que sobrepase a la curva sea considerablemente muy pequea en comparacin con el rea que no la sobrepasa.

Figura 2.7Para ilustrar esta observacin consideremos nuevamente la regin de la Figura 2.3 y al intervalo [a,b] dividmoslo en n partes iguales mediante los puntos

Cadasubintervaloes de la misma longitudEntonces cada punto puede ser expresado de la siguiente manera:

yla suma de las reas de los rectngulos que llenan la regin de la Figura 2.8 es expresada por

Figura 2.8

Usando el resultado

Como, sustituimosnhporba.

Si h es muy pequeo, esto es, si dividimos al intervalo [a,b] en un nmero de partes iguales con n muy grande, entoncesser muy pequeo, tambin, y la suma de las reas de los rectngulos circunscritos estar muy prxima al rea bajo la curva.Actividades1.Tomando como referencia el ejemplo dnde se calcula el rea bajo la curvaentre las rectasy, cona