Universidad de Costa RicaSede Guanacaste

 IF-0323 Métodos Numéricos

Aproximaciones y errores

Elaborado por:Gallo Ruiz Dago A82501González Sibaja Jenniffer A92798

Definición y origen del errorDefinición y origen del error

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Aproximaciones y Errores

¿Por que se cometen errores?

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Aproximaciones y Errores

Seguro que más de una vez has dicho "esto pesa más o menos un kilo y medio" o "he echado unos 5 minutos en

el camino." En todas estas situaciones no estamos hablando con exactitud, sino que estamos dando una

idea del verdadero valor de la medida, o sea, una aproximación. Y claro, por pequeña que sea, siempre habrá alguna diferencia entre ese valor que estamos

dando y el real, o lo que es lo mismo, estamos cometiendo un error en la información que estamos

dando.

Seguro que más de una vez has dicho "esto pesa más o menos un kilo y medio" o "he echado unos 5 minutos en

el camino." En todas estas situaciones no estamos hablando con exactitud, sino que estamos dando una

idea del verdadero valor de la medida, o sea, una aproximación. Y claro, por pequeña que sea, siempre habrá alguna diferencia entre ese valor que estamos

dando y el real, o lo que es lo mismo, estamos cometiendo un error en la información que estamos

dando.

Punto Flotante

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Fl (x) = 0, d1 d2 … dk x 10k

-x = M * Be

Ejemplo:

Sea X = 54 ≈ 54.0 entonces -x = 0.54 * 102

Sea X = 2.236 entonces -x = 0.2236 * 101

Aproximaciones y Errores

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Propagación de errorPropagación de error

Aproximaciones y Errores

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El origen del error puede presentarse por dos causas:

Aproximaciones y Errores

Error en los datos

Error computacional

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Tipos de Errores:

Aproximaciones y Errores

Corte o truncamiento

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Una vez que sepas cuantas cifras significativas debes tener, el número se corta y discriminan los números a la derecha

Ejemplo:

El numero π (pi), tiene una expansión decimal de la forma:

π = 3,141592654, en flotante es igual a fl(π)= 0,3141592654 x 101

La representación flotante de π utilizando corte al 4 digito es:

fl(π)= 0,3141 x 101

Redondeo

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Para expresar x en forma normalizada con redondeo y corte, se sigue la regla: Si dk + 1 ≥ 5 entonces se suma 1 a dk

En otro caso se cortan los dígitos después del k-èsimo dígito.

Ejemplo:

El numero π (pi), tiene una expansión decimal de la forma:

π = 3,141592654, en flotante es igual a fl(π)= 0,3141592654 x 101

La representación flotante de π utilizando redondeo al 4 digito es:

fl(π)= 0,3142 x 101

Error Absoluto

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Ejemplo:

Si tenemos x= 3 y ͞x = 2.76

Error Absoluto = | 3 - 2.76 | = 0.24

x = valor real ͞x = el error

Error Relativo

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Ejemplo:

Si tenemos x= 3 y ͞x = 2.76

Error Relativo = | 3 - 2.76 |

x = valor real ͞x = el error

| 3 |= 0.08 = 8%

Aritmética de punto flotante

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En las computadoras los cálculos se realizan de

forma distinta a lo tradicional.

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Dígitos significativos (d.s): Si ͞ x es una aproximación de x, entonces ͞ x aproxima a x, con k dígitos o

cifras significativas, si k es el entero no negativo más grande se cumple:

∂ x ≤ 5 x 10-

k

Es el número de dígitos con que se trabaja en la aritmética de punto flotante, es

el número de corte y por ende donde se realiza el redondeo.

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Cotas de los errores:Teorema: Si x E R , x ≠ 0, donde ͞x es la aproximación de x, entonces:

Si ͞x se encuentra a partir de cortar k dígito, entonces: ∂ x ≤ 10-k Si ͞x se obtiene a partir de redondeo al k dígito, entonces: ∂ x ≤ 5 x 10-k

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Ejercicio:

1. Realice el siguiente calculo: (−10𝜋− 57)ξ7+𝑒3

1.1. Aplicando aritmética de redondeo a 4 dígitos.

1.2. Calcule los errores relativos y absolutos. Además determine los dígitos significativos, la precisión y exactitud del cálculo.

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Dudas o ConsultasDudas o Consultas

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Gracias!!!Gracias!!!