APUNTE DE CÁLCULO

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APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN AL TRAZADO DE GRÁFICOS

Partiremos esta sección con un teorema que intuitivamente resulta evidente, este es el teorema de los valores extremos. TEOREMA (De los valores extremos).

Si f es una función continua definida en un intervalo cerrado [[[[a, b]]]] , existe (por lo menos) un punto x1 ∈∈∈∈ [[[[a, b]]]], en el cual f toma el mayor valor, y existe(por lo menos) un punto x2 ∈∈∈∈ [[[[a, b]]]], donde f toma el menor valor. EJEMPLO:

1) Sea 2)( xxf = , definida en el intervalo cerrado [[[[0, 2]]]], la función es continua y alcanza su máximo en el punto (2, 4) y su mínimo en el punto (0, 0), esto se observa en el gráfico siguiente.

2) Veamos que la hipótesis de la continuidad es esencial, ya que la

función 2

1)(

−=x

xf es discontinua en el intervalo [[[[0, 3]]]], y no alcanza sus

extremos en este intervalo, esto se aprecia claramente en la gráfica, la función no tiene máximo ni mínimo en el intervalo. 2.6.2 TEOREMAS DE ROLLE Y DEL VALOR MEDIO TEOREMA (DE ROLLE):

Supongamos que f es continua en bxa ≤≤ y que ( )xf, existe

] [ b a, ∈∀x .

(0, 0)

(2,4)

X

Y

FIGURA 19: f (x) = x2 , es continua en el

intervalo [[[[0, 2]]]], y alcanza su Máximo y su

Mínimo allí.

X

Y

2 0 3

FIGURA 20: 2

1)(

−=x

xf, es discontinua en

el intervalo [[[[0, 3]]]], y no tiene Máximo ni

Mínimo en el intervalo.

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Si ( ) ( ) 0== bfaf , entonces debe existir al menos un punto

] [ b , 0 ax ∈ tal que:

( ) 0,

0 =xf

DEMOSTRACIÓN: Hay tres casos. CASO 1: (Trivial)

Si ( ) [ ] b a, x 0 ∈∀=xf , entonces ( ) 0, =xf

CASO 2: Si ( ) 0>xf en algún punto entre a y b.

Si ( ) 0>xf y ( ) ( ) 0== bfaf , entonces f tiene un valor máximo

positivo, sea el máximo por teorema anterior ( ) 00

, =xf .

Y Y

X

X 0

0

a b x0

a b x0.1

x0.2

Existe un valor (x0 ) que

satisface el teorema.

Pueden existir dos o más

valores que satisfacen el

teorema.

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CASO 3: Si ( ) 0<xf en algún punto entre a y b, entonces el valor mínimo de f

es negativo, sea ( )( )0xf ,

0x el mínimo. Por teorema anterior ( ) 0

, =xf

TEOREMA DEL VALOR MEDIO (T.V.M.)

Supongamos que f es Continua para bxa ≤≤ y que ( )xf, existe para

todo ] [ ba, ∈x . Entonces existe un ] [ b , 0 ax ∈ tal que:

( ) ( ) ( )ab

afbfxf

−−=0

,

Significado geométrico del teorema

La pendiente de la recta que pasa por QP ∧ es:

( ) ( )ab

afbfm

−−=

es la expresión del T.V.M.

X

Y

x0 a b

0

x0 a b X

Y L

P (a, f(a))

f(x0) Q (b, f(b))

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El Teorema dice que hay un punto ( )( )00 , xfx tal que la pendiente de la

recta tangente ( )( )0

,xf es igual a m, es decir las rectas son paralelas.

DEMOSTRACIÓN: La ecuación de la Recta L que pasa por QP ∧ es:

( ) ( ) ( ) ( )axab

afbfafy −

−−=−

Construimos la Función:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )afaxab

afbfxfxF −−

−−−=

Y aplicamos el TEOREMA DE ROLLE a ( )xF en

[ ] ( ) ( ) ( )xF ,0bFy 0aF , ==ba es Continua y diferenciable en ] [b a, ,

luego debe existir ] [ b , 0 ax ∈ tal que:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )afaxab

afbfxfxF

xF

−

−−−−=

= 00

,

Derivando e igualando a cero (Teorema de Rolle).

( ) ( ) ( ) ( )0

,, =−−−=ab

afbfxfxF Para algún ] [ b , 0 ax ∈

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )c.q.d.

,f

0,

0

0

ab

afbfx

ab

afbfxf

−−=

=

−−−

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EJEMPLO:

1. Hallar todos los números ] [ b , 0 ax ∈ tal que satisfacen el T.V.M.

Analizar en cada caso si se satisfacen las hipótesis.

a) ( ) 232 −−= xxxf [ ]2,00

∈x

b) ( )2

2

+−=x

xxf [ ]1,0

0∈x

c) ( )( )21

1

−=x

xf [ ]2,10

−∈x

SOLUCION:

a) ( )xf es continua y diferenciable en IR

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

10

x-13-2x

1,

12

2

02

24

4264223222)( 20

20 32,

=⇒=

−=⇒−=−=−

−−−=−−

−=−−=−⋅−==−==

=∧=−=

xfab

afbf

fbffaf

b axxf

∴ ∃∃∃∃ ] [0,2 10

∈=x

b) ( )( )

( ) ( )( )

( )1

13 1

22x

4

01

01

22

4,−−−

=+

⇒−−=

+= ff

xxf

( )( ) 6

22

3

2

22x

4 =+⇒=

+x

∴ ] [ 6262 x 1,04495,0620

±−=⇒±=+∈=+−= xx

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c) En este caso no es aplicable el T.V.M, ya que ( )xf no es continua en

[ ]2,1− .

DEFINICIÓN DE EXTREMOS Sea f definida en un intervalo I conteniendo c.

1. ( )cf es el mínimo de f en I si ( ) ( ) I x ∈∀≤ xfcf

2. ( )cf es el máximo de f en I si ( ) ( ) I x ∈∀≥ xfcf

El mínimo y el máximo de una función en un intervalo, se llaman Valores Extremos o extremos de la Función en ese intervalo. TEOREMA DEL VALOR EXTREMO Si f es Continua en un intervalo cerrado [ ]ba, entonces f tiene un máximo y también un mínimo en el intervalo.

-1 2

1

Máximo (2, 5)

Mínimo (0, 1) X

Y

Y

X -1 0

f(x)= x2 + 1 es continua en el

intervalo [-1, 2]

-2 1 2

1

1

1)(

+=x

xf es discontinua en

x = -1, f no tiene máximo ni

mínimo en ningún intervalo que

contenga a –1.

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DEFINICIÓN EXTREMOS RELATIVOS

1. Si existe algún intervalo abierto en el que ( )cf es el valor máximo, se

dice que ( )cf es un Máximo Relativo en f.

2. Si existe algún intervalo abierto en el que ( )cf es el valor mínimo, se

dice que ( )cf es un Mínimo Relativo de f. DEFINICIÓN DE NÚMERO CRÍTICO Si f está definida en c, se dirá que c es un número crítico de f si

( ) 0, =xf o si ,

f no está definida en c. Los extremos de una función solo ocurren en números críticos.

X

Y

C1

C2

,f (C1) =0

,f (C2) =0

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PROCEDIMIENTO PARA IDENTIFICAR LOS PUNTOS MÁXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS. Si se tiene la Función Continua f definida en el Intervalo cerrado [ ]uxix , :

1. Localice todos los puntos críticos ( )( )00 , xfx que se hallen dentro del

dominio de la Función sólo se consideran [ ]uxixx ,0 ∈ .

2. Calcule los valores de ( )xf en los extremos del intervalo ( )ixf y ( )uxf .

3. Compare los valores de ( )0xf para todos los puntos críticos relevantes

con ( )ixf y ( )uxf . El máximo absoluto es el mayor de estos valores.

El mínimo absoluto es el menor de ellos. EJEMPLOS: Determine los puntos máximos y mínimos absolutos de la

Función ( ) 562

27

3

3++−= x

xxxf en el intervalo 102 ≤≤ x .

SOLUCION: PASO I: Al calcular la primera derivada, se obtiene

( ) ( )( )16672, −−=+−= xxxxxf

( ) 1 6 0, =∨=⇒= xxxf

El único valor crítico dentro del dominio es x = 6

( ) ( ) ( ) 135662

267

3

366 −=++−=f El único punto crítico es ( )13,6 − .

( ) ( ) ( ) ( )13,6 057626,,

72,, −⇒>=−=−= fxxf Mínimo Relativo.

PASO II: Los valores de f(x) en los puntos extremos del intervalo son:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )3

1

3

2

4851062

2107

3

31010

55262

227

3

322

=++−=

=++−=

f

f

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PASO III: Al comparar ( ) ( ) ( )10y 6,2 fff , se observa que el mínimo

absoluto de 13− ocurre cuando x = 6 y que el máximo absoluto de

.10 cuando presenta se 3

148 =x

EJERCICIOS:

1. Hallar los máximos y mínimos absolutos de:

a) ( ) [ ]10,2 en 2123 xxxf −=

b) ( ) ;4

2

55

6

6xx

xxf +−= donde 40 ≤≤ x

SOLUCIONES:

a) Máximo Absoluto ( )40,2 −

Mínimo Absoluto ( )256,8 −

b) Máximo Absoluto ( )3

2298 ,4

Mínimo Absoluto ( )0,0

Y

X 2 10 0

(6, -13)

Mínimo Absoluto

(10, 483

1 )

Máximo absoluto

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FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES. EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.

DEFINICIÓN: (FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES) Una función f se dice Creciente en un intervalo si para todo par de números

2y

1xx en el Intervalo,

2

1xx < implica ( ) ( )

21xfxf <

Una función f se dice Decreciente en un intervalo si para todo par de números

2y

1xx en el Intervalo.

2

1xx < implica ( ) ( )

2

1xfxf >

TEOREMA: CRITERIO PARA FUNCIONES CRECIENTES O DECRECIENTES. Sea f una función derivable en el intervalo ] [ba,

1) Si ( ) 0, >xf Para todo x en ] [ba, , entonces f es Creciente en ] [ba,

2) Si ( ) 0, <xf Para todo x en ] [ba, , entonces f es Decreciente en ] [ba,

3) Si ( ) 0, =xf Para todo x en ] [ba, , entonces f es Constante en ] [ba,

DEMOSTRACIÓN: (Del primer caso)

Supongamos que ( ) 0, >xf para todo x en ] [ba, sean

2

1xx < dos

puntos de Intervalo. Por el Teorema del valor medio, sabemos que existe un

0x tal que 21 0 xxx << y ( )

( ) ( )12

12,0

xx

xfxfxf

−

−= , como ( ) 0

,0 >xf y 0

12>− xx ,

sabemos que ( ) ( ) 012

>− xfxf , lo cual implica que ( ) ( )21xfxf <

∴ f es Creciente en el Intervalo.

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EJEMPLO 1: Determinar los intervalos donde f es Creciente o Decreciente.

a) ( ) 2

2

33 xxxf −=

SOLUCION: f es continua en todo IR

1°) Hallamos los puntos críticos de f, hacemos ( ) 0, =xf

( )

( )

críticos númerosson 12

01

013

0323,

=∧=

=

=−=

x x

x-x

xxxf

Como no hay puntos en los que ,f no este definida concluimos que 0

y 1 son los únicos números críticos.

2°) Construimos una tabla con los Intervalos determinados por los números críticos.

INTERVALO 0<<∞− x 10 << x +∞<< x1

VALOR PRUEBA 1−=x

2

1=x 2=x

SIGNO DE ( )xf, ( ) 061

, >=f 0

4

3

2

1, <−=

f ( ) 062

, >=f

CONCLUSIÓN ( )xf

Creciente Decreciente Creciente

X

Y

0

( 1, -½)

2

2

33)( xxxf −=