APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B

48

DERIVACION IMPLÍCITA

Una función en la cual es difícil o imposible poner y en términos de x se llama una Función Implícita. EJEMPLOS:

1) 2232 32 ++=+ yxyyx

2) 232 yxyx +=+

3) 0132 22 =+−+ xxyy

4) ( ) xyx =+ 32

Para calcular la derivada de funciones definidas implícitamente, el método consiste en derivar ambos lados de la igualdad, considerando a y como una función de x, aplicando la regla del producto y la regla de la cadena para derivar potencias de y. EJEMPLOS: 1) Derivar implícitamente suponiendo a y como variable dependiente de

x 2232 32 ++=+ yxyyx .

SOLUCIÓN:

( ) ( ) yxdx

d

dx

dyxyx

dx

d ⋅+= 222 xydx

dyx 22 += Regla del Producto

( )dx

dyyy

dx

d 23 62 = Aplicamos la regla de la cadena

( ) 33 =xdx

d ( )

dx

dyy

dx

d22 = ( ) 02 =

dx

d

Así tenemos:

dx

dy

dx

dyyxy

dx

dyx

2362 22 +=++

Agrupando y Factorizando:

( )26

232326

22

22

−+−=⇒−=−+yx

xy

dx

dyxy

dx

dyyx

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B

49

2) Derivar implícitamente suponiendo a y como variable dependiente de x

232 yxyx +=+ SOLUCIÓN:

( ) ( )232 yxdx

dyx

dx

d +=+

( ) ( ) ( )232 ydx

dx

dx

d

dx

dyx

dx

d +=+

( )y

xx

dx

dyxx

dx

dyy

xxdx

dyy

dx

dy

dx

dyyx

dx

dyx

21

232321

232

232

22

2

2

−−=⇒−=−

−=−

+=+

3) Derivar suponiendo que y es una función de x; 0132 22 =+−+ xxyy

SOLUCIÓN: Derivando implícitamente obtenemos:

( )xyy

yyyyxyy

yyyxyy

42

223,223,

42

0322,

22,

2

+−=⇒−=+

=−+⋅+

4) Hallar y’ derivando implícitamente xyyx =+ 33 SOLUCIÓN:

Derivando obtenemos: yxyyyx ⋅+=+ 1,,2323

xy

xyy

xyyxy

−

−=

−=

−

23

23,

23,23

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B

50

EJERCICIOS: Hallar dy/dx, por derivación implícita.

a) ( ) xyx =+ 32 Sol.-

( )( )2

2

23

261

yx

yx

dx

dy

++−=

b) 2522 =+ yx Sol.- y

x

dx

dy −=

c) 111 =+yx

Sol.- 2

2

2

−=−=x

y

x

y

dx

dy

d) Comprobar los resultados, despejando y como función de x, y luego

derivando en la forma habitual.

LIMITES INDETERMINADOS – REGLA DE L’HOPITAL

Cuando se tiene un límite de la forma:

)(

)(

0xg

xf

xxlim→

,

donde f(x) y g(x) tienden a cero, puede suceder cualquier cosa. Por ejemplo:

)cos(1

)tan(

0lim ,0

1

12

1lim ,

)(

0lim ,1

)(

0lim

2

existenox

x

xx

xx

xk

x

kxsen

xx

xsen

x −→=

−+−

→=

→=

→

Para caracterizar el comportamiento de un cuociente como los

señalados, se dice que son Formas Indeterminadas del tipo 0

0

Otras formas indeterminadas son:

∞∞∞∞∞∞∞

1y 0 , ,0 , - , 00

Hasta aquí hemos tenido éxito al evaluar algunas de estas formas

indeterminadas. Así mediante un recurso geométrico se demostró que:

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B

51

1)sen(

0=

→ x

x

xlim y en otros casos, como en 0

1

12

1lim

2

=−

+−

→ x

xx

x una

adecuada factorización muestra que:

.0)1(11

)1(

11

1

1

22

=−→

=−−

→=

−+−

→x

xlim

x

x

xlim

x

xx

xlim

Sin embargo carecemos de una regla general para evaluar formas indeterminadas. Los teoremas que se enunciarán a continuación nos proveen de una técnica para evaluar dichas formas indeterminadas, la llamada Regla de L’Hôpital. TEOREMA 1:

Regla de L’Hôpital Para Formas Indeterminadas del tipo 00

Dadas las funciones ( ) ( )xgyxf derivables en ] [ba, y tal que:

( ) 0=

→xflim

ax y ( ) 0=

→xglim

ax.

Si ( )( )xg

xflimax ,

,

→ = L ∈∈∈∈ IR, entonces:

( )( ) =

→ xg

xflimax

( )( )xg

xflimax ,

,

→ .

TEOREMA 2:

Regla de L’Hôpital Para Formas Indeterminadas del tipo ∞∞

Dadas las funciones ( ) ( )xgyxf derivables para x > M y tal que:

ax →lim

( ) ∞=xf y ax →

lim ( ) ∞=xg .

Si ax →

lim

( )( )xg

xf

,

, = L ∈∈∈∈ IR, entonces:

ax →lim ( )

( ) =xg

xf

ax →lim

( )( )xg

xf

,

,=

L. Observaciones:

1) Si +∞→x

lim

( )( )xgxf se indetermina en la forma

0

0 ó

∞∞, entonces:

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B

52

+∞→x

lim

( )( )xgxf =

∞+→x

lim

( )( )xg

xf

,

,

El teorema también es válido si ∞−→x . −→ax , +→ax

2) Si una función ) )( g(xxfy ⋅= adopta la forma indeterminada ∞⋅ 0 , para x = a, podemos escribir la función dada en la

forma:

=)(

1

)( ó

)(1

)(

xf

xg

xg

xfy , de modo que ahora tenga la forma

indeterminada del tipo ∞∞

ó 0

0.

3) Si para una función [ ] )()( xgxfy = , se cumple una de las siguientes indeterminaciones: ∞∞∞ 1 ó 0 , ,0 00 , entonces, tomando logaritmo natural en ambos miembros se tiene que:

)(ln)(ln xgxfy ⋅= . En cualquiera de los cuatros casos ln y adoptará la forma indeterminada

∞⋅ 0 , que puede evaluarse siguiendo las indicaciones de la observación

(1).

Como ln Leyax

limLyax

lim =→

⇒=→

, entonces el límite de la función

puede conocerse. EJEMPLOS:

1) Hallar 2

lim

→x

42

62

−

−+

x

xx

Cuando 2→x el numerador y el denominador tienden a cero (Forma

0

0).

Aplicando la Regla de L`Hôpital:

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B

53

2

lim

→x

42

62

−

−+

x

xx =

2

lim

→x

4

5

2

12 =+x

x

2) Calcular 3→x

lim

−

−−−

92

32223

x

xxx

Consideremos ( ) 32223 −−−= xxxxf y ( ) 92 −= xxg Es inmediato que ( ) 03 =f y ( ) 03 =g . Tenemos la forma indeterminada

0/0

Por regla de L`Hôpital 3→x

lim=

−

−−−

92

32223

x

xxx

3→xlim

6

13

2

2423 =

−−

x

xx

3) xexxlim −

+∞→2 es del tipo ∞⋅0

Pero xe

x

xlimxex

xlim

22

+∞→=−

+∞→ es de la forma

∞∞

Luego ∞→x

lim =− xex2

∞→xlim

xe

x2

∞→xlim

xe

x2=

∞→xlim

xe

2 = 00 =∞

4) 0

lim

→x

−x

xec1

cos es del tipo ∞−∞

0

lim

→x =

−xxsen

11

0

lim

→x

xsenx

xsenx − es de la forma

0

0

0

lim

→x xsenx

xsenx −=

0

lim

→x =

+

−

xxxsen

x

cos

0

0cos1

0

lim

→x 0

2

0

cos2==

− xsenxx

xsen

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B

54

5) Probar que: 0

lim

→x 3

232cot23sec e

xx =

El límite tiene la forma indeterminada ∞1

Sea ( ) xxy

3cot2sec

23= , aplicando logaritmo natural, obtenemos:

( )xxy 2secln)3(cotln 32= =x

x

3tg

2secln32

0

lim

→x ( ) =yln

0

lim

→x

x

x

3tg

2secln32

0

0

0

1ln3

02tg

sec03ln ==

Cuando 0→x el numerador y el denominador tienden a cero, tiene la

forma indeterminada 0

0.

Aplicando la Regla de L`Hôpital:

0

lim

→x ( ) =yln

0

lim

→x

x

x

3tg

2secln32

= 0

lim

→x

x3sec3x tg6

2x sec

22x tg2x sec 3

2

⋅

= 0

lim

→x =

x3sec3x tg6

2x tg62

0

lim

→x

xxxxx

x

3tg3sec63tg3sec3sec 3

2sec 2222

2

⋅+⋅

= 0

lim

→x ( ) 3

2

3tg33sec3sec 3

2sec 2222

2

=+ xxx

x

Como 0

lim

→x ( ) =yln

3

2

0

lim

→x 3

2

ey =

∴ 0

lim

→x =y

0

lim

→x ( ) 3

23cot

2sec2

3 ex

x =

6) Calcular: 1→x

lim 1

1

−xx (Es una indeterminación del tipo

∞1 )

xxg

3tg

13cot

2

2 =

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B

55

Sea 1

lnlny 1

1

−=⇒= −

x

xxy x Es una indeterminación del tipo

0

0

Aplicando la Regla de L`Hôpital:

1

lim

→x

1→xlim

=yln1→x

lim =

−1ln

x

x

1→xlim

11

1

=x

Como 1ln →y cuando e y ,1 →→x ∴ 1

lim

→x ( )11

−xx e =

7) +→ 0

lim

x xsenx Es del tipo 00 .

Sea xx xxy ln sen yln sen =⇒= Tomando logaritmo natural, obtenemos

xcos

lnln

ec

xy = Es de la forma indeterminada

∞∞

+→ 0

lim

x +→ 0x

lim=yln +→ 0x

lim =

xcos

ln

ec

x

+→ 0x

lim

cotgx x cos

1

ec

x

−

= +→ 0x

lim =

− xcos

2sen

x

x +→ 0x

lim 0

xcos- xsen

xcossen x 2 =x

Como 0ln →y , cuando 1y ,0 →+→x

∴ +→ 0

lim

x xsenx = 1 ∴ +→ 0

lim

x 1 x =senx

8) En algunos casos se debe aplicar la regla de L`Hôpital varias veces, por

ejemplo calcular:

0

lim

→x

−

3

)sen(

x

xx

( ) )sen(xxxf −= ( ) 00 =f

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B

56

( ) 3xxF = ( ) 00 =F Tenemos la forma indeterminada 0/0

Por la regla de L`Hôpital 0

lim

→x

( )( ) =xF

xf

0

lim

→x

−

23

)cos(1

x

x,

pero ( ) 00, =f y ( ) 00, =F . Aplicamos nuevamente la regla de L`Hôpital.

0

lim

→x

( )( ) =xF

xf

0

lim

→x

( )( )

=xF

xf

,,

,,

0

lim

→x

x

x

6

)sen(

pero ( ) 00,, =f y ( ) 00

,, =F .

Así: 0

lim

→x

( )( ) =xF

xf

0

lim

→x

( )( )

=xF

xf

,,,

,,,

0

lim

→x

6

1

6

)0(cos

6

)cos( ==

x

9) Calcular:

−→ + 22ln

ln

0 xe

x

xlim

Hacemos ( ) xxf ln= ( )

−= 22ln xexF

Entonces ( ) ∞−→ xf y ( ) ∞−→ xF cuando +→ 0x Por lo tanto,

+→ 0

lim

x

( )( ) =xF

xf

+→ 0

lim

x =

−1

1

xe

xe

x

+→ 0

lim

x

xxe

xe 1−

Ahora ( ) 00, =f y ( ) 00

, =F . Aplicando L`Hôpital nuevamente:

+→ 0

lim

x

( )( ) =xF

xf

+→ 0

lim

x

( )( )

=xF

xf

,,

,,

+→ 0

lim

x 1

10

1

000

0=

+=

+=

+ ee

e

xexxe

xe

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B

57

10) Calcular:

∞→xlim

=xe

x8

∞→xlim

08 =xe

(Por forma ∞∞ )

11) Calcular: 2

lim

π→x ( )xx tansec −

( ) xxxf tansec −= tiene la forma ∞−∞ aplicamos trigonometría para llevar

a la forma indeterminada ∞∞ ó

00

2

lim

π→x ( )tanxx −sec =

2

lim

π→x

x

senx

cos

1− =

2

lim

π→x 0sen

cos =−−

x

x

12) Calcular: 0

lim

→x ( ) x

x

1

1+

Tiene la forma indeterminada ∞1 . Hagamos ( ) xxy1

1+= y tomemos logaritmo natural. Entonces:

( ) ( )x

xxy

x +=+= 1ln1lnln

1

Por regla de L`Hôpital, ( ) ( )xxf += 1ln y ( ) xxF = , tienen la forma

indeterminada 00 .

0

lim

→x( ) =yln

0

lim

→x

( ) =+x

x1ln

0

lim

→x 11

1 =+ x

Por lo tanto, 0

lim

→x( ) =yln 1, y concluimos que:

0

lim

→x =y exx

xlim =+→

1)1(

0.

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B

58

Como yln es continua se puede alterar el orden del límite.

0

lim

→x( ) =yln 1

0ln =

→y

xlim eLL =⇒=⇒ 1ln . exx

xlim =+→

∴1)1(

0

EJERCICIOS: Comprobar los siguientes resultados aplicando la regla de

L`Hôpital.

1) 2

lim

−→x

4

3

42

2522 −=

−

++

x

xx

2) 1

lim

→x

2

3

123

233=

+−−

+−

xxx

xx

3) 0

lim

→x 3

)(sen

)3( =x

xtan

4) 0

lim

→x 4

)cos(1

122=

−−−x

xxe

8) +→ 0

lim

x ∞−=

xe

xln

9) +→ 0

lim

x

( )3

2

3

21ln =+x

x

10) 0

lim

→x ∞=−

2

23

x

xx

11) 2

lim

π→x 0

)cos(

)sen(1 =−x

x

5) ∞→x

lim

3

2

12433

43232 =

+−

++−

xx

xxx

6) ∞→x

lim 03

=xe

x

7) 0

lim

→x =xx ln 0

12) 0

lim

→x 1cot =xx

13) 0

lim

→x =xx 1

14) ∞→x

lim 0=

x

Arctanx