Apunte 4 Ondas Guiadas
Transcript of Apunte 4 Ondas Guiadas
Parte I
2.1 Guías de Ondas Rectangulares.
a
b
x
z
y
x z
y
z E
H
Guías de Ondas Capítulo
II
Capítulo
II
Con el objeto de determinar las configuraciones de
campo electromagnético en el interior de una GG.OO.
rectangular.
Se debe:
Resolver las ecuaciones de Maxwell, con
las condiciones de borde apropiadas.
0 nt HE
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
EjHx
HjEx
EE
22 HH
22
Las ecuaciones de Maxwell que interesan son:
Las ecuaciones de onda:
donde:
jjwjw
Constante de propagación
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Para una región conductora, estas ecuaciones llegan a
ser, en coordenadas rectangulares:
a) Interior de la GG.OO. (dieléctrico):
yzx Ej
x
H
z
H
zxy
Ejy
H
x
H
x
yz Ejz
H
y
H
yzx Hj
x
E
z
E
zxy
Hjy
E
x
E
x
yz Hjz
E
y
E
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Ez
E
y
E
x
E
2
2
2
2
2
2
2
Hz
H
y
H
x
H
2
2
2
2
2
2
2
Mientras tanto las ecuaciones de onda quedan:
Obs: Estas ecuaciones, escritas para cada una de las
componentes rectangulares de , deben satisfacer
la ecuación general de Helmholtz: HyE
22
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
: escalar
esto es:
2
2
2
2
2
2
2
zyx
donde:
= X(x) Y(y) Z(z)
La solución a esta ecuación puede alcanzarse usando
la técnica de separación de variables (S.V):
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Z(z) X(x) Y(y)
222222cyxg kkk
222
yxc kkk donde:
: Número de onda
de corte.
Se define la cte. de propagación por la GG.OO.,
para la onda que se propaga en la dirección z como:
=(Asen kxx+Bcos kxx)(Csen kyy+Dcos kyy)(Esen kzz+Fcos kzz)
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Además se sabe que: 22
22
cg k
22
cg k
22
cg kj
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
1° No hay Propagación:
022 ck 0g
cc
c fk
2
2
22
yx
c
kkf
Frecuencia de corte
g De acuerdo a la expresión anterior existirán tres casos
de interés para .
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
2° Hay Propagación (sin aten., sólo cambio de fase):
022 ck gg j
Así, 22
cg kj
2
2
2 1 cg
kj
2
1
f
fj c
g cff ;
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
3° No hay Propagación (sólo existe atenuación):
022 ck gg
1
2
f
fcg
La onda será atenuada para f <fc .
No hay Propagación ( ) cteg
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Para condición , la ecuación de
Helmholtz queda:
= (Asen kxx+Bcos kxx)(Csen kyy+Dcos kyy) e-jgZ
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
a) Modo TEm n
Los subíndices m y n, representan el número de
medios ciclos de la magnitud del campo en la
dirección x e y, respectivamente.
Estos modos se caracterizan por Ez = 0 ( sólo E
transversal), esto implica que existe Hz .
22
es solución para: zz HH 22
2.1.1 Modos de Transmisión.
Por tanto,
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
cuya solución es de la forma:
Donde fue sustituido
a
mxk
b
nky
z
nnmmZ eyb
nDy
b
nCxBxAH
cossen
a
mcos
a
msen
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Volviendo a las ecuaciones de Maxwell:
EjHx
HjEx
0zE
gjz
y considerando
Las ecuaciones para cada una de las
componentes quedan:
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
XYg HwE YXg HwE
XYgZ EjwHj
y
H
0
y
H
x
H XY
ZXY Hjw
y
E
x
E
yZ
Xg Ejwx
HHj
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Las ecuaciones anteriores se resuelven en función
de HZ , quedando:
y
H
k
jwE Z
c
X
2
x
H
kH Z
c
g
X
2
x
H
k
jwE Z
c
Y
2
y
H
kjH Z
c
g
Y
2
0ZE conocidoHZ
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
donde 222
gck
Ahora derivando la solución para HZ (respecto de
x e y) y reeplazando en las ecuaciones anteriores se
obtiene:
Hn = 0 ( normal)
Et = 0 ( tangencial)
En la superficie de
los conductores.
A estas ecuaciones se les aplica las condiciones
de borde:
Un nuevo conjunto de ecuaciones. de campo.
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Obs: suponiendo
conductor perfecto.
x
y
i) Et = 0
a) Ex = 0 en y = 0,b by
y
HZ
,0
= 0
Cn= 0
Ey Ey
Ex
Ex
a
b
0
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
b) Ey = 0 en x = 0,a ax
x
HZ
,0
= 0
Además la derivada normal de Hz debe ser nula en las
superficies conductoras:
0
n
HZ
Am=0
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Las Ecuaciones de Campo para
todo modo TEmn quedan:
zj
XXge
b
yn
a
xmEE
sencos0
zj
YYge
b
yn
a
xmEE
cossen0
0ZE
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
donde: m= 0, 1, 2,........
n = 0, 1, 2,.......
Obs: m y n no pueden ser cero simultáneamente.
zj
XXge
b
yn
a
xmHH
cossen0
zj
YYge
b
yn
a
xmHH
sencos0
zj
ZZge
b
yn
a
xmHH
coscos0
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Entonces,
; a,b en [m]
22
yxc kkk
22
b
n
a
mkc
cc wk
Se definen diversos parámetros de las GG.OO para
los modos TEm,n.
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
22
2
1
b
n
a
mfc
Constante de propagación (o cte. de fase):
2
1
f
fw c
g
Frecuencia de corte:
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Velocidad de fase en la guía, en dirección
del eje z es:
2
1
f
f
vwV
c
pd
g
pg
1pdv
donde
Velocidad de fase en
un dieléctrico abierto
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Impedancia de onda característica
20
1 ff
w
H
E
H
EZ
cgx
y
y
xg
donde
0
00
Impedancia intrínseca
del medio abierto.
Obs.:Sólo en caso en que
el dieléctrico sea vacío
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Longitud de onda en la guía
20
1 ffc
g
donde
f
vpd0
Longitud de onda en
el medio abierto
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Estos modos se caracterizan por tener Hz = 0 (H
es transversal ) debe existir Ez para Tx. de
energía en la guía.
zz EE 22
cuya solución es de la forma:
b) Modo TMm n
zj
nnmmzgey
b
nDy
b
nCxBxAE
cossen
a
mcos
a
msen
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
A la cual se le aplican las condiciones de borde, de
manera similar al modo TE
0tE
En x = (0,a) 0zE
0zE En y = (0,b)
Bm = 0
Dn = 0
zj
ozzge
b
yn
a
xmEE
sensen
donde: m= 1, 2, 3,........
n = 1, 2, 3,.......
Obs: m,n 0 para que exista
campo propagándose en el
interior de la guía.
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Evaluando las ecuaciones de Maxwell para:
EjHx
0zH
xygz HjEj
y
E
yz
xg Hjx
EEj
0
y
E
x
Exy
xyg EH
yxg EH
zxy
Ejy
H
x
H
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Las ecuaciones anteriores se resuelven en función de EZ
y
E
k
jwH Z
c
X
2
x
E
k
jE Z
c
g
X
2
x
E
k
jwH Z
c
Y
2
y
E
k
jE Z
c
g
Y
2
0ZHconocidoEZ
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
donde 222
cg k
Ahora, derivando la solución para EZ , (respecto de x e y)
y reemplazando en las ecuaciones anteriores, se obtienen
las ecuaciones de campo para los modos TMm n.
zj
XXge
b
yn
a
xmEE
sencos0
zj
YYge
b
yn
a
xmEE
cossen0
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
zj
ZZge
b
yn
a
xmEE
sensen0
zj
XXge
b
yn
a
xmHH
cossen0
zj
YYge
b
yn
a
xmHH
sencos0
0ZH
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
A continuación, se pueden obtener las ecuaciones
para los parámetros característicos de los modos TMmn:
22
2
1
b
n
a
mfc
Frecuencia de corte:
2
1
f
fw c
g
Constante de propagación (o cte. de fase):
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
2
1
f
f
vV
c
pd
pg
Velocidad de fase en dirección del eje z :
Impedancia de onda característica
2
0 1
f
f
wZ cg
g
Guías de Ondas Rectangulares
Obs.: 0 sólo en caso en que el dieléctrico sea vacío
Capítulo
II
2
0
1
f
fc
g
Longitud de onda en la guía
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Frecuencias de corte de modos (TE/TM)mn: (fc)mn/fc ; a>b
Guías de Ondas Rectangulares
Obs: modo dominante: TE10 modo con la fc más baja,
para a>b.
TE10
1
1,5
2
3
1 1 1,414 2 2 2,236
1
1
1 3
2
1,5 1,803
2,236
3,162
2
2 3
4 2,828
2,500
f01/f10
a/b
2 6 3,606
TE01
Modo TE11
TM11 TE20 TE02
TE21
TM21
Capítulo
II
2.1.2 Tx. de Potencia en GG.OO. rectangulares.
Asumiendo que la GG.OO. está bien terminada (no
existe reflexión de potencia).
Para el caso de un dieléctrico sin perdidas, el flujo de
potencia está dado por:
A
g
Agtr dAH
ZdAE
ZP
22
22
1
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
222
yx EEE 222
yx HHH
Así para los modos TEm,n y TMm,n se tiene:
donde
x
y
y
xg
H
E
H
EZ
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
TMm,n
dxdyEE
ffP
b a
yx
c
tr
0 0
22
2
0 12
1
TEm,n
dxdyEE
ffP
b a
yxc
tr
0 0
22
0
2
2
1
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
2.1.3 Pérdida de Potencia en GG.OO. Rectángulares.
a) En el dieléctrico:
Obs: Para un dieléctrico de bajas pérdidas ( )
1
022
d
La constante de atenuación de una OEM plana
que se propaga en el dieléctrico (abierto) viene dada
por:
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
La atenuación debido al dieléctrico de baja
pérdida para una GG.OO rectangular será:
20
12 ffc
gd
TEm,n
TMm,n
20 12
ffcgd
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
donde:
b) En las paredes de la GG.OO.:
dAHZ
dsHR
Ag
s Ts
g 2
2
2
222
YX HHH 222
TYTXT HHH
2m
fRs
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II
Puesto que la frecuencia de corte (fc) es una función
de los modos (m,n) y de las dimensiones de la guía;
Las dimensiones físicas
determinarán la propagación de los
modos.
Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II Guías de Ondas Rectangulares
2.1.4 Configuración de campos EM y métodos de
excitación en GG.OO. Rectángulares.
Capítulo
II Guías de Ondas Rectangulares
Capítulo
II Guías de Ondas Rectangulares