Apunte de Análisis Estructural II 4

5/15/2018 Apunte de An lisis Estructural II 4 - slidepdf.com

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INDICE

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INDICE

UNI DAD 1: HORMI GON PRETENSADO. 7

1 - PRETENSADO Y POSTESADO. 7

1.1 - Introducción. 7

1.2 - Conceptos básicos. 71.3 - Ejemplo introductorio. 81.4 - Materiales. 81.5 - Tipos de pretensado. 111.6 - Análisis introductorio. 121.7 - Ventajas del hormigón pretensado. 17

1.8 - Grados de Pretensado. 17

2 – HORMI GÓN POSTESADO. 18

2.1 - Análisis de una sección en flexión bajo cargas de servicio. 18

2.2 - Sección crítica. 222.3 - Tensiones normales en el hormigón. 232.4 - Núcleo Límite. 25

2.5 - Núcleo de Pasaje. 262.6 - Nivel crítico de una sección. 292.7 - Sección Supracrítica. 302.8 - Ecuaciones de diseño. 312.9 - Levantamiento de cables. 32

3 – ESFUERZO DE CORTE. 33

3.1 - Verificación de una sección a flexión y corte. 33

3.2 - Verificación de tensiones bajo cargas de servicio. 353.3 - Verificación de tensiones bajo cargas de rotura. 363.4 - Dimensionamiento de la armadura de corte. 383.5 - Determinación de las tensiones principales de compresión y de la armadura de corte

mediante el reticulado ideal. 41

3.6 - Determinación de la armadura de corte. 42

4 – PÉRDI DAS DEL ESFUERZO DE PRETENSADO. 43

4.1 - Pérdidas del esfuerzo de pretensado debidas a fricción. 434.2 - Estudio de la contracción y fluencia lenta. 484.3 - Pérdidas del esfuerzo de pretensado por entrada de conos de anclaje. 50

5 – RELAJACI ÓN DEL ACERO. 52

6 – LI MI TACI ÓN DE LA FI SURACI ÓN SEGÚN CI RSOC 201. 53

6.1 - Verificación para la limitación del ancho de fisuras. 54

6.2 - En cables con adherencia a posteriori. 56

6.3 - Verificación en rotura. 57

7 – I NTRODUCCI ÓN DE LAS FUERZAS DE PRETENSADO. 61

7.1 - Hormigón postesado. 61

7.2 - Armadura. 64

8 – HORMI GÓN PRETENSADO PARCI AL. 65

8.1 - Grado de pretensado. 65

PAGI NA



INDICE

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8.2 - Dimensionamiento es estado de servicio y en estado de rotura simultáneos. 67

9 – I NTRODUCCI ON AL ESTUDI O DE SI STEMAS HI PERESTATI COS PRETENSADOS. 70

9.1 - Viga isostática pretensada. 71

9.2 - Análisis conceptual. 72

9.3 - Transformación lineal y concordancia de cables. 77 9.4 - Cable concordante. 78

10 – DI SEÑO DE SECCI ONES DE HORMI GON PRE-TESAD0: 80

10.1 - Diseño de la sección. 81

10.2 - Pérdidas del esfuerzo de pretensado. 84

UNI DAD 2: ESTRUCTURAS DE RI GI DEZ PARA CARGAS HORI ZONTALES. 87

1 – TABI QUES PORTANTES. 87

1.1 - Sistemas isostáticos. 881.2 - Sistemas hiperestáticos. 89

1.3 - Tabiques paralelos y núcleo (de ascensor o escalera) con rigidez a torsión. 98

1.4 - Tabiques con aberturas en todos los niveles, situadas en el eje del mismo. 101

1.5 - Tabiques varias hileras de aberturas. 106

2 – PÓRTI COS. 109

2.1 - Métodos aproximados. 109

2.2 - Combinación de tabiques y pórticos. 112

2.3 - Pórtico y tabique en un mismo plano. 113

2.4 - Estructura compuesta por pórticos paralelos. 114

UNI DAD 3: EFECTOS DEL VI ENTO. 11 9

1 – MÉTODO ESTÁTI CO SEGÚN CIRSOC 10 2. 11 9

1.1 - Velocidad de referencia. 119

1.2 - Velocidad básica de diseño. 119

1.3 - Cálculo de la presión dinámica. 119

1.4 - Cálculo de la presión dinámica de cálculo. 120

1.5 - Cálculo de las acciones unitarias. 120

UNI DAD 4: ESTRUCTURAS SI SMORRESI STENTES. 12 3

1 – CALCULO ANTI SI SMI CO. 123

1.1 - Introducción. 123

1.2 - Concepto de ductilidad. 123

1.3 - Elementos que aumentan la ductilidad en una pieza de hormigón armado. 126

2 – PROCEDI MI ENTO DE CÁLCULO SEGÚN REGLAMENTO I MPRES-CI RSOC. 12 6

2.1 - Zonificación. 126

2.2 - Agrupamiento. 126



INDICE

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2.3 - Factor de riesgo. 127

2.4 - Condiciones locales del suelo. 127

2.5 - Espectros para acciones sísmicas horizontales. 127

2.6 - Ductilidad nominal. 128

2.7 - Influencia de la capacidad de disipación de energía de la estructura mediante deformacionesanelásticas. 128

2.8 - Valoración de la ductilidad global de la estructura. 128

2.9 - Cargas gravitatorias. 128

2.10 - Criterios de análisis y diseño. 129

2.11 - Simultaneidad de efectos de las acciones sísmicas horizontales. 129

2.12 - Direcciones de análisis. 129

2.13 - Período fundamental de vibración. 129

3 – METODOS DE ANALI SI S. 130

3.1 - Método Estático. 130

3.2 - Efectos torsionales. 132

3.3 - Procedimiento para considerar la torsión. 132

3.4 - Límites de apliación del Método Estático. 134

3.5 - Componentes de la construcción. 134

3.6 - Fuerzas sísmicas verticales. 135

3.7 - Método Estático simplificado. 136

UNI DAD 5: VI GAS DE GRAN ALTURA. 13 9

1 – GENERALI DADES. 139

2 – TENSI ONES EN EL ESTADO I . 14 0

3 – ESFUERZOS CARACTERÍ STICOS Y TENSI ONES EN VI GAS DE GRAN ALTURA. 140

3.1 - Tensiones en vigas de gran altura de 1 sólo tramo. 140

3.2 - Tensiones en vigas de gran altura continuas. 146

4 – DI MENSI ONAMI ENTO. 149

4.1 - Determinación del esfuerzo de tracción. 150

4.2 - Limitación de las tensiones principales de compresión. 1524.3 - Armadura de suspensión para cargas aplicadas en el borde inferior. 152

4.4 - Diseño de la armadura. 153



INDICE

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UNI DAD 6: MÉNSULAS CORTAS. 157

1 – TENSI ONES PRI NCI PALES EN MÉNSULAS CORTAS. 15 7

2 – CRI TERI OS PARA EL DI MENSIONAMI ENTO. 159

2.1 - Modelo de reticulado simple. 159

3 – DI SPOSI CI ÓN DE ARMADURAS. 162

3.1 - Ménsula con carga directa. 162

3.2 - Ménsula con carga indirecta. 165



UNI DAD 1: HORMI GON PRETENSADO

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1 - PRETENSADO Y POSTESADO:

1.1 - I nt roducción:

En 1928, Eugéne Freyssinet inicia el desarrollo moderno delhormigón pretensado.

Empezó usando acero de alta resistencia para el pretensado (en

aquella época), de 18.000 Kg/cm² de tensión de rotura.

En 1945, la escasez de acero en Europa durante la 2º GuerraMundial le dio ímpetu al desarrollo del hormigón pretensado.Esto debido a que se necesitaba mucho menos acero para estetipo de construcción con respecto a las convencionales enhormigón armado.

1.2 - Concept os Básicos:

El objetivo del hormigón pretensado es crear esfuerzos en un elemento estructuralde manera que se produzcan efectos contrarios a los que se producen cuandoactúan las cargas.

Por ejemplo: una viga simplemente apoyada se deforma hacia abajo cuandoactúan cargas gravitatorias.

Pero si se introducen cables de acero en la parte inferior de la viga, y luego se lostensa y ancla en los extremos, la viga se curvaría hacia arriba. De esta manera seestaría contrarrestando el efecto de las cargas.

En el hormigón armado, el acero responde a las cargas. En el hormigónpretensado, el acero controla las cargas.

Eugéne Freyssinet – Francés(1879 – 1962)





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1.3 - Ej emplo intr oductorio:

Viga simplemente apoyada de sección rectangular:

Supongamos haber dejado un hueco en la viga e introducimos un cable. Al cablelo anclamos de un extremo y, luego de tensarlo, lo anclamos del otro extremo.

El esfuerzo de tracción originado se transmitirá al hormigón, excéntricamentecomo esfuerzo de pretensado V a través de los anclajes.

La viga, supuesta sin peso propio, se curva hacia arriba debido al momento depretensado Mv = V . e

Si ahora hacemos actuar el peso propio g, las tensiones por flexión σg+ p que seoriginan se superponen a las tensiones σv debidas a la tensión previa.

Las tensiones de tracción en la viga pueden llegar a anularse completamente.

1.4 - Materiales:

1.4.a - Acero:

Este ejemplo sencillo demuestra la necesidad de utilizar aceros de muy altaresistencia.

Supongamos tener un elemento estructural con un efecto de precomprensión que,

para simplificar, lo suponemos centrado. Siendo Ab la sección de hormigón y At lasección de acero:




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Suponemos que la tensión en el hormigón vale:

Kg/cm²60==b

b A V

σ y Kg/cm²000.300=b E (Módulo de elasticidad del hormigón)

Debido a V, el elemento se acorta instantáneamente al aplicar el pretensado:

'lll −=Δ y 0002,0000.300

60===

Δ=

b

b b E

σ ε

l

l

Aproximadamente, la deformación por fluencia lenta será:

0006,00002,03 =⋅≅∞

b ε

Lo que se acorta el hormigón es igual a lo que se “afloja” o destracciona el cable,o sea:

∞= b t ε ε

t t t E ⋅= ε σ con Kg/cm²000.100.2=t E (Módulo de elasticidad del acero)… la pérdida de tensión en el cable vale:

Kg/cm²260.1000.100.20006,0 =⋅=Δ t σ

Si usamos un acero para hormigón armado, por ejemplo un acero ADN 420:

Kg/cm²400.275,1200.4

==t σ

El porcentaje de pérdida será:

%5,52100400.2260.1

100 =⋅=⋅Δ

t

t

σ

σ

Se perdería más de la mitad del esfuerzo por este fenómeno. Este fue el motivo del fracasode la aparición de la idea de pretensar.

Si, en cambio, utilizamos un acero de Kg/cm²000.10=t σ la pérdida de tensión será:

%6,12100000.10260.1 =⋅

Para el cálculo se debe utilizar el diagrama garantizado por el fabricante, con la limitación que,para el cálculo, no se admitan tensiones superiores a s β o 2,0 β según corresponda.




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Según Acindar:

Tabla de aceros más usuales en la construcción (del libro “Hormigón armado y hormigón pretensado ” deHubert Rüsch)

Alambres de acero para pretensado

Descripción: Alambre de acero BR de baja relajación para pretensado Alambre de alto carbono trefilado con tratamiento térmico mecánico BR, según IRAM-IAS U 500-517.

Se utiliza en la fabricación de vigas, postes, etc. de hormigón pretensado.Propiedades mecánicas

Norma IRAM-IAS U 500-517

Alargamientoporcentual de

roturaDiámetronominal

Secciónnominal

Masanominal

po runidad

de long.

Límiteconvencionalde fluencia

mínimo

Resistenciaa la t racción

mínimaMínimo

Long. dereferencia

Designacióndel alambre

(1)

mm mm2 kg/ m Rp 0 ,2 - MPa R - MPa At - % Lo - mm APL - 1700 5 19,64 0,154 1500 1700 5 50 APL - 1700 7 38,48 0,302 1500 1700 5 70

(1) Los valores de designación corresponden aproximadamente a la resistencia a la tracción nominal

del alambre expresada en MPa. 1 Mpa = 10 Kg/ cm²

Cargainicial

Relajación máxima a 1000 h y20° C

% %60 170 280 3

Porcentaje de relajación




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1.4.b - Hormigón:

Se debe utilizar, como mínimo, H-25.

La curva tensión-deformación según la siguiente tabla:

Nota: 1 Mpa = 10 Kg/ cm²

1.5 - Tipos de pretensado:

1.5.a - Pretensado en banco o pretesado:

Se dispone de bloques de anclaje unidos por el banco de tensado. Se construyende hormigón y pueden ser enterrados.

Procedimiento: previamente se dejan agujeros en los macizos de anclaje. Sepasan alambres a través de ellos. Se tensan los alambres con gatos de pretensary se anclan.

Se coloca el encofrado y se hormigona.

Una vez endurecido el hormigón, se cortan los alambres en los extremos. Los

alambres tienden a volver a su posición original, pero se lo impide la adherenciacon el hormigón. Esto se traduce en una precompresión en el hormigón.




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1.5.b - Hormigón postesado:

También llamado con adherencia posterior.

Procedimiento: Antes de hormigonar, se colocan vainas o tubos en forma curva.

Una vez endurecido el hormigón, se desliza el acero de pretensado dentro de ellas.Se tensan los cables y se anclan.

La adherencia se establece después del pretensado, mediante la inyección depasta de cemento, que sirve a su vez como protección contra la corrosión.

1.5.c - Diferencia:

La diferencia entre ambos métodos estriba en que el tesado se efectúa antes odespués de endurecido el hormigón.

1.6 - Análisis int roductorio:1º) Supongamos una viga tumbada o recostada en el suelo, provista de dosapoyos, que se pueden materializar con dos barras enterradas en el suelo.

Para simplificar, suponemos que es de sección rectangular

Primeramente se ha de dejar en el hormigón un hueco o tubo ubicado en el terciomedio de la altura, o sea, en el borde del núcleo central.

Luego se pasa un cable y, por un procedimiento cualquiera, se lo tensa y se loancla, obteniéndose una fuerza de V = 9.000 Kg.

En estas condiciones, la viga podrá recibir cargas horizontales. Supongamos queesta sea de p = 200 Kg/ m .

cm²3003010 =⋅= cm cm A b

cm³500.16

3010

6

222

12 =⋅=⋅

==cm

cm h b

W W

cm56

3060 ===

cm h e

En estas condiciones actuarán, en la viga, el pretensadomás la carga p.




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Tensiones de Pretensado:

Kg/cm²03030500.1

5000.9300000.9

2

0,2 =+−=

⋅+−=

⋅+−=

W e V

A V

b V σ

Kg/cm²603030500.1

5000.9300000.9

1

0,1 −=−−=

⋅−−=

⋅−−=

W e V

A V

b V σ

Tensiones debidas a la carga p:

Kgcm Kgm m

m Kg

p M p 000.90900

8

00,6200

8

222

==⋅

=⋅

=l

² /60³500.1

000.90

2,1,2,1 cm Kg

cm Kgcm

W

M p p ±=±=±=σ

Estado final:

Si introducimos la condición de que no existan tracciones en el hormigón, enninguna de las etapas de carga, resulta que p es la carga útil de la viga.

2º) Procedemos ahora a poner la viga en posición vertical (normal).Inmediatamente entonces, actúa el peso propio y calculamos cual será la próximacarga útil de la viga.

Peso Propio: m Kg m Kg m g /72³ /400.2²0300,0 =⋅=




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Kgcm m m Kg g

M g 400.328

²00,6 /728

22=

⋅=

⋅=

l

² /22³500.1

400.32cm Kg

cm Kgcm

g ±=±=σ

Para que sea p1 la carga útil de la viga, no deben existir tensiones de tracción:

Para que esto se verifique debe ser:

0,,,1 = p g v σ y para que esto se cumpla, debe ser: ² /38,1 cm Kg p =σ

Entonces:

Kgm Kgcm cm cm Kg W M p p 570000.57³500.1² /381,11==⋅=⋅= σ

m Kg m

Kgm M p p /128

²00,6

57088221 =

⋅=

⋅=

l

Luego, la carga útil es menor que en el primer caso, pues el peso propio la haconsumido en parte.

3º) Procedemos ahora a bajar el cable, en el centro de la luz, la cantidadV

M e g ='

cm Kg

Kgcm e 60,3

000.9400.32

' ==

La excentricidad total del cable será:

cm cm cm e e e 60,860,300,5'0=+=+=

Tensiones de Pretensado:




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232

1,1 /82

500.1

6,8000.9

300

000.9cm Kg

cm

cm Kg

cm

Kg W

e V A V

b v −=

⋅−−=

⋅−−=σ

232

2,2 /22

500.1

6,8000.9

300

000.9cm Kg

cm

cm Kg

cm

Kg W

e V A V

b v +=

⋅+−=

⋅+−=σ

Calculamos ahora la carga útil de la viga, para ello debe cumplirse 0,,,1 = p g v σ

Para que se cumpla esta condición, debe tenerse:

² /60,1 cm Kg p =σ

Kgm Kgcm cm cm Kg W M p p 900000.90³500.1² /601,1 ==⋅=⋅=∴ σ

m Kg m

Kgm M p p /200

²00,6

9008822

=⋅

=⋅

=∴l

∴Conclusión: hemos obtenido la misma carga útil que en el primer caso (vigaacostada sin peso propio).

Luego, con el sólo hecho de bajar el cable la cantidad e’=Mg / V la viga tiene lamisma capacidad portante. Quiere decir que, sin gastar más acero, nos hemosllevado el peso propio “gratis”.

Si al calcular e’ nos sale fuera de la sección, algo técnicamente inaceptable,entonces adoptaríamos una excentricidad menor; de modo que el cable estédentro de la sección y entonces sólo nos llevaríamos “gratis” una fracción del pesopropio.

Los estados pretensado + peso propio actúansimultáneamente. (Al efectuarse el pretensado, laviga se despega o se levanta)




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Esto que hemos desarrollado nos permite intuir un procedimiento de cálculo:

1º ) Calcular la viga como si est uviera tu mb ada, sin peso propio ycon V en el borde del Núcleo Central.

2º ) Bajar el cable la cantidad e’= Mg / V, si e’ cae dentro de la sección,

nos llevaríamos “gratis” todo el peso propio. Si e’ cae fuera de la sección,sólo nos llevaríamos “gratis” una fracción del mismo.

En el primer caso sucede:

Ab V

V ⋅

=2

,1σ V Ab V ,121 σ ⋅⋅=

∴Para V ,1σ dado, la fuerza de pretensado es proporcional a la sección Ab. Luego

las secciones rectangulares no convienen.

Es más conveniente usar secciones que tengan más momento de inercia y, encorrespondencia, menos sección. Esto viene dado por lo que se llama:

ρ : rendimiento de la sección.

totalalturacentralnúcleodelaltura21 =

+=

t h e e

ρ

Para una sección rectangular:

33,031

=⋅

=t

t

h

h ρ

En general, para que una sección tenga bastante rendimiento, tiene que teneralrededor de 50,0= ρ .

Esto se consigue con secciones T o cajón.




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Los cálculos realizados anteriormente se refieren a la sección central de la viga.Como V=cte, y Mg varía parabólicamente; esto nos indicaría como debe ser eltrazado del cable a lo largo de la viga:

1.7 - Vent ajas del horm igón pretensado:

No hay material inutilizable, a diferencia del hormigón armado. En elhormigón pretensado se utiliza todo el material.

Al estar el hormigón totalmente comprimido en todas las fases de trabajo(en el caso de pretensado total) no existen fisuras y, por lo tanto, elpeligro de corrosión disminuye notablemente.

Las secciones son más esbeltas que en el hormigón armado, lo mismoque las secciones de acero; por el hecho de utilizar acero de alta calidad.

La economía en hormigón puede ser del 15 al 30%. En acero puede ser

del 60 al 80%.

Las deformaciones son particularmente pequeñas. Alcanzan solamentealrededor de la cuarta parte de las flechas del hormigón armado ordinario,para la misma sección resistente y los mismos valores de las tensionesadmisibles.

El hormigón pretensado tiene la reserva de actuar como un hormigónarmado después de producirse la primera fisura.

1.8 - Grados de pret ensado:

1.8.a - Pretensado total:

Existe cuando, para la carga de servicio total, no existen en el hormigón tensiones de tracciónpor flexión según la dirección portante principal.

1.8.b - Pretensado parcial:

Existe cuando, para la carga de servicio total, las tensiones de tracción en el bordeinferior no están restringidas.

Se coloca una armadura de acero para hormigón de manera de reducir las fisuras,llamada armadura pasiva.

Se define el grado de pretensado como:

s s v v

v v

A A A

k σ σ

σ

⋅+⋅

⋅=

Av : sección de acero de pretensado.

As : sección de acero de armadura pasiva.

σv : tensión de fluencia del acero pretensado.

σs : tensión de fluencia del acero de armadura pasiva.




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Es la relación entre la fuerza de pretensado sola y la sumatoria de la fuerza depretensado y de la armadura previa, todas en estado de fluencia.

Cuando:

As = 0 K = 1 : Pretensado total

As ≠ 0 K < 1 : Pret ensado parcial

Av = 0 K = 0 : Hormigón armado

1.8.c - Pretensado limitado:

Existe cuando las tensiones de tracción no sobrepasan un valor admisible.

2 - HORMI GON POSTESADO:

2.1 - Análisis de una sección en f lexión baj o cargas de servi cio:

Se analiza el caso de una viga isostática, con una sección de forma cualquiera. Seconsideran 2 ejes x e y contenidos en el plano de flexión.

h t : altura total.

y1 ; y2 : distancias del centro de gravedad G a las fibras inferior y superior,respectivamente.

Ab : área de la sección.

z : eje contenido en el plano de la sección.I : Momento de inercia con respecto al eje z.

i : radio de giro de la sección. b A I

i =

e1 ; e2 : bordes del núcleo central de la sección.

2

2

1 y i

e = ;1

2

2 y i

e =

: rendimiento de la sección. t h

e e 21 += ρ

ht




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2121

2

21

1

2

2

2

y y A I

y y i

y y y i

y i

b ⋅⋅=

⋅=

+

+

= ρ

Cargas exteriores:

g : carga permanente (peso propio).

p : sobrecarga.

Estas cargas originan Mg y Mp. El momento resultante M varía entre los valores[Mmin ; Mmax].

Si la viga es isostática:

Es: M M M Δ+= minmax

Pretensado:

V : Fuerza ejercida por el cable, con excentricidad e respecto de G. Si hay varioscables V es la fuerza ideal resultante de cada una de ellos y que, de ahora en más,llamaremos “cable” .

Se supone que V permanece constante a lo largo de la viga.

Tensiones:

Designaremos con:

:2b σ para la fibra superior. :' 2b σ si es de compresión.

:1b σ para la fibra inferior. :' 1b σ si es de compresión.

:b σ tensión admisible. :'b σ si es de compresión.

Los signos adoptados son:y1; y2; e1; e2; h t: en valor absoluto.

y; e: positivas hacia abajo.

Tensiones positivas: cuando son de tracción.

Tensiones negat ivas: cuando son de compresión.

M: es positivo cuando tracciona las fibras inferiores.

V: es una fuerza de tracción en el cable que es positiva, peroejerce una fuerza de compresión en el hormigón de valor -V.




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Centro de presión:

La sección estará sometida a un estado de flexión compuesta, debido a la acciónsimultánea de:

Pretensado: ya sea actuando -V a una distancia e, o lo mismo actuando

-V centrada y un momento -V.e Momento externo M.

El momento total actuando en la sección será:

M e V +⋅−=M

Esto es lo mismo que considerar a la fuerza exterior V situada a una distancia a del centro de gravedad. A este punto se lo llama Centro de presión .

V M

e V

M e V V

−=−

+⋅−==

M a ∴

V M

e −=a (Ecuación 2)

Aplicar un momento exterior M significa desplazar el centro de presión, a partir

del cable, el valorV M (hacia arriba, si el valor de M es positivo).

A lo largo de la viga, el lugar geométrico de los centros de presión se llama línea de presiones .

Si M no actúa, o sea bajo la acción del pretensado solamente, esta línea coincidecon el cable:

M e V +⋅−=M (Ecuación 1)

Si se hace un desplazamiento e δ del cable, se podría llegar a anular el efecto deuna fracción M δ del momento exterior M, con la condición de que:

V M

e δ

δ =

En efecto, veremos que la solicitación total permanece invariable:

( ) ( )M M e e V δ δ +++⋅−=M '

M =+⋅−=++⋅−⋅−= M e V M M e V e V

Esto significa que, con el sólo hecho de bajar el cable una distancia

V

M e

δ δ = se

puede absorber una fracción M δ del momento exterior SIN AUMENTAR la fuerza




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de pretensado V, es decir SIN GASTAR más acero. Luego el costo de hormigón yacero sigue siendo el mismo.

Este concepto se puede aplicar suponiendo que M δ corresponde al momento depeso propio de la viga Mg . En efecto, suponemos que se ha diseñado la viga sinpeso propio (sería el ejemplo de la viga acostada o tumbada en el suelo, viga

prefabricada).

Se ha diseñado entonces la viga para la sobrecarga solamente y sea entonces 0e la excentricidad del cable para esta carga.

Si ahora tenemos en cuenta que la viga tiene su peso actuando permanentemente,existe un momento Mg que podemos compensar o llevarlo “de arriba” , o “GRATIS”

con el sólo hecho de bajar el cable la cantidadV M

e δ

δ = .

La excentricidad total del cable será:

V Mg e e += 0

Observación: la excentricidad inicial 0e debe corresponder al borde del núcleocentral, si no se quiere que aparezcan tensiones de tracción en el borde superior.

De esto surge que, aparentemente para calcular V, se supone la viga sin pesopropio y actuando en el borde del núcleo central; de tal modo que no se supereen el borde inferior un cierto valor de la tensión de compresión en el hormigón.

Luego, con sólo bajar el cable la cantidad

V

Mg nos llevamos “gratis” el peso

propio.




22

Esta es la ventaja extraordinaria que tiene el hormigón pretensado, mostrando laparticipación de carácter activo de los materiales; a diferencia del hormigónarmado común, en donde su participación es pasiva (reacciona según las cargas).

Pero existe un límite práctico de compensar el peso propio o carga permanentepor variación de la excentricidad del cable. Es necesario que el cable permanezca

dentro de la sección y con un recubrimiento de hormigón, para evitar la corrosión.

Si se llama con '1h y '2h las distancias mínimas a mantener entre el eje delcable y las fibras extremas de la sección, se debe cumplir entonces:

Para que se pueda compensar íntegramente la carga permanente, esta debe serlo suficientemente pequeña como para que el suplemento de excentricidad que esnecesario dar al cable no dé una excentricidad más grande que la estipulada en lafórmula anterior.

Se puede establecer un límite diciendo que una sección diseñada para resistir a lasola sobrecarga p, puede resistir gratuitamente una carga permanente g siempre

que la relación p g

sea inferior a un cierto valor llamado crítico .

2.2 - Sección cr íti ca:

Distinguiremos 2 clases diferentes de secciones, según sean los valoresrespectivos de g y p.

2.2.a - Sección sub-crítica: ( p g

pequeño)

Se puede compensar íntegramente la carga permanente, respetando la condiciónde la Ecuación 3:

…es decir sin tener que adoptar la máxima excentricidad permitida.

( ) '' 1122 h y e h y −≤≤−− (Ecuación 3)

( ) '' 1122 h y e h y −≤≤−−




23

2.2.b - Sección crítica:

Todavía se puede compensar la carga permanente, pero justo con el cable en sumáxima excentricidad.

Si M es positivo, esta excentricidad vale:

'11 h y e −=

2.2.c - Sección supracrítica: ( p g

grande)

En este caso, el hipotético cable que compensaría la carga permanente saldríafuera de la sección de hormigón. No cumple la condición de la Ecuación 3:

Es necesario, no obstante, colocar el cable en su máxima excentricidad admisible

para compensar, aunque no sea toda, al menos una parte o la mayor parte de lacarga permanente.

2.3 - Tensiones normales en el horm igón:

Suponemos que el hormigón no está fisurado por tracciones excesivas, ni estáplastificado por compresiones excesivas.

Con estas premisas se puede considerar un comportamiento elástico del material,donde las tensiones son funciones lineales de los esfuerzos. Así podemossuperponer efectos y considerar al material como homogéneo.

En el centro de gravedad de la sección, donde actúan un momento exterior M ode pretensado -V.e, las tensiones son nulas. Allí mismo, la tensión 0'b σ es laoriginada sólo por el esfuerzo de compresión –V, o sea:

El valor de V es constante; en consecuencia, 0'b σ también lo es.

Entonces cuando M varía, el diagrama de tensiones gira alrededor del punto fijorepresentado por 0'b σ . Es:

1

10

2

02 ''''y y

b b b b σ σ σ σ −=

−

( ) '' 1122 h y e h y −≤≤−−

Ab V

b −=0'σ (Ecuación 4)




24

Se puede deducir:t

b b b h

y y 12210

'''

σ σ σ

⋅+⋅= (Ecuación 5)

Para un momento dado M, el centro de presión tiene una excentricidadV M

e −=a .

La tensión normal en una fibra de ordenada y vale:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ⋅

+⋅−=⋅⋅

⋅−−=

⋅−−=

Ab I y

Ab V

y

Ab I Ab

V Ab V

y I

V Ab V

y b aaa

1)(σ

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅=∴

20)( 1'i

a y b y b σ σ

DIAGRAMAS DE TENSIONES DEBIDO A LOS DISTINTOS ESTADOS DE CARGA:

Condiciones a respetar por las tensiones:

CARGA MAXI MACARGA MI NIMA




25

Es necesario que, para cualquier estado de carga, en las fibras extremas severifiquen las siguientes condiciones:

222

02 1'' b b b y

σ σ σ ≤⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−⋅≤

i

a(Fibra superior)

121

01 1'' b b b y

σ σ σ ≤⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+⋅≤

i

a(Fibra inferior)

Siendo 1'b σ , 2'b σ , 1b σ , 2b σ las tensiones admisibles, que figuran en la Tabla 47 – CIRSOC 201.

2.4 - Núcleo Lími te:

De las Ecuaciones 7 despejamos la excentricidad a del centro de presión y se

obtiene:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅−=−≥

0

122 '

1b

b e σ

σ aa

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅−=−≥ 1

''

0

212

b

b e σ

σ a'a

(Ecuaciones 8)

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=−≤

0

211 '

1b

b e σ

σ aa

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=≤ 1

''

0

121

b

b e σ

σ a'a

(Ecuaciones 7)




26

Por ejemplo, para despejar la correspondiente a la fibra superior de tracción:

222

0 1' b b y

σ σ ≤⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−⋅

i

a

0

22

2

'1

b

b y σ

σ ≥

⋅−

i

a

22

0

2'

1i

a y b

b ⋅≥−σ σ ⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −⋅≤

0

2

2

2

'1

b

b y σ

σ ia

Designamos con:

{ }222 ;min a'a=c ; { }111 ;min a'a=c

∴ será: (Ecuación 9)

Para que las tensiones normales dentro del hormigón estén dentro de los límitesadmisibles, el centro de presión debe permanecer (bajo cualquier estado de carga)en el interior del núcleo límite.

A lo largo de toda la viga el núcleo límite engendra el huso límite , dentro del cualdebe permanecer (bajo cualquier estado de carga) la línea de presión.

2.5 - Núcleo de Pasaje:Llamaremos Núcleo de Pasaje a la zona donde debe pasar el cable para que elcentro de presión permanezca dentro del Núcleo límite.

Suponiendo fijada la posición del cable, y según la Ecuación 2, las posicionesextremas del centro de presión en servicio se obtienen llevando, a partir del cable,

los vectoresV

M min− yV

M max− .

Los puntos así obtenidos deben hallarse dentro del Núcleo Límite para que lastensiones normales en el hormigón no superen los valores admisibles (ver

Ecuación 9 y figura posterior).

12 c c ≤≤− a




27

Si se razona en forma inversa, para que esto sea posible es necesario que el cablese encuentre en el interior del llamado núcleo de pasaje , como se indicagráficamente a continuación y definido por la expresión:

1min

2max c

V M

e c V

M +≤≤− (Ecuación 10)

De la Ecuación 10: 1min

2max c

V M

c V

M +≤− (Ecuación 10’)

∴ 21minmax c c

V M

V M

+≤− 21minmax c c

V M M

+≤−

∴ 21 c c V M

+≤Δ

(Ecuación 11)

A lo largo de toda la viga el Núcleo de Pasaje conforma el Huso de Pasaje , en elinterior del cual debe encontrarse el cable.

Valor mínimo de la fuerza de pretensado:

(Ecuación 12)

Debe observarse que ( )21;c c f V = , a su vez c1 y c2 dependen de Ab V

b −=0'σ

2.5.a - Sección Sub-Crítica:

Suponiendo 11 c =a ; 22 c =a ; o sea que V está en los bordes del Núcleo Límite(que podemos intuir que corresponde a Vmin , como se demostrará mas adelante)y reemplazando los valores dados en la Ecuación 8:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅==

0

2111 '

1b

b e c σ

σ a

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −⋅==

0

1222 '

1b

b e c σ σ a

21 c c M

V +

Δ≥

21 c c M

V +

Δ=

En el caso que 012 == b b σ σ

11 e c = ∧ 22 e c = (bordes del núcleo central)




28

0

122

0

211 '' b

b

b

b e e e e

M V

σ

σ

σ

σ ⋅−+⋅−

Δ=∴

Ab V

e

Ab V

e e e

V

M b b

−

⋅−

−

⋅−+=

Δ 12

2121

σ σ

( ) Ab

V

e e e e Ab V

V M b b

⋅⋅+⋅++⋅

=//

Δ 122121 σ σ

( ) ( ) Ab e e e e V M b b ⋅⋅+⋅++⋅=Δ 122121 σ σ

Ab e e e e

V e e

M b b ⋅+

⋅+⋅+=

+

Δ

21

1221

21

σ σ

reemplazando2

2

1 y e

i= ;

1

2

2 y e

i= se llega a:

(Ecuación 12’)

Que para el caso particular de que 021 == b b σ σ (o sea que no se permitentensiones de tracción en el hormigón, grado de pretensado = 1) queda:

21 e e M

V +

Δ=

Luego la Ecuación 10’ se transforma en:

1min

2max c

V M

c V

M +=−

1min

2max c

V M

c V

M e +=−=∴ (Ecuación 13)

Entonces el Huso de Pasaje se cierra, en la sección, en un punto por donde

obligatoriamente debe pasar el cable y cuya excentricidad está dada por Ec 13:

t

b b

h y y

Ab e e

M V 1221

21

σ σ ⋅+⋅⋅−

+

Δ=




29

La Ecuación 13, teniendo en cuenta la Ecuación 12, nos queda:

( )( )

M M c c c M

c c c M

M c

V M

e Δ

Δ⋅−+⋅=−+⋅

Δ=−= 221max

221max

2max

( ) ( )M

M M c c c M Δ

−⋅−+⋅= minmax221max ∴ M

M c M c e Δ

⋅+⋅= max1min2

2.6 - Nivel críti co de una sección:

Una sección se vuelve supracrítica cuando el cable no se puede colocar dentro dela sección.

Es decir que prevalece la condición de recubrimiento dado por la Ecuación 3 antesque la condición de que V caiga en el interior del Núcleo Límite dado por laEcuación 10. Por lo tanto el cable debe pasar por el Núcleo de Pasaje.

Para el caso de que 0min ≥M , el cable se encuentra en la parte inferior de lasección. Esta sección se vuelve supracrítica cuando el borde superior del Huso dePasaje sobrepasa el límite impuesto por las condiciones de recubrimiento.

En este caso se cumple:

112max 'h y c V

M −>−

Despejando V:112

max

'h y c M

V −+

<

Y considerando el valor mínimo de la fuerza de pretensado21 c c

M V

+

Δ= queda:

(Ecuación 14) Condición de sección supracrítica

Borde superior delHuso de pasaje

112

max

21 'h y c M

c c M

−+<

+

Δ




30

2.7 - Sección supracríti ca:

Si aplicamos las Ecuaciones 12 y 13, obtendríamos un cable que saldría del bordedel hormigón:

Es necesario hacer entrar el cable dentro de la sección. Para eso deben reducirse

los vectores de traslaciónV M

, lo que se logra aumentando el valor de V, de

manera que el borde superior del Huso de Pasaje esté por encima de 1'h .

El valor mínimo de la fuerza de pretensado se obtiene cuando esas dos líneas sereúnen en un punto. Por lo tanto, para momentos positivos debe ser:

112max 'h y c V

M −=−

(Ecuación 15) y (Ecuación 16)

De la misma forma que en la Ecuación 12, la Ecuación 15 presenta el problemaque define a la fuerza V en función de 2c . Esta, a su vez, es función de V através de 0'b σ .

Si se supone que 22 a=c (se analizará mas adelante) y teniendo en cuenta la

Ecuación 8: ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=

0

122 '

1b

b e c σ

σ

112

max

'h y c M V

−+=∴ 11 'h y e −=




31

Es:

110

122

max

''

h y e e

M V

b

b −+⋅−

=

σ

σ

V h y

Ab V e e V h y e e M b

b

b ⋅

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+⋅−=⋅⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −+⋅−= 11

12211

0

122max ''

'σ

σ σ

( ) Ab e h y e V V h y Ab V

e e M b b ⋅⋅−−+⋅=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⋅⋅−= 1211211

122max '' σ

σ

(Ecuación 15’)

NOTA: Con las Ecuaciones 15 y 16 se logra ubicar el cable con su máximaexcentricidad, y con un valor de V de tal modo que cuando actúa maxM , el centrode presión no se salga del Núcleo Límite.

En la práctica no es necesario preguntarse de antemano si la sección se subcríticao supracrítica. Se puede aplicar la siguiente regla:

“El valor mínimo de V para aplicar a la sección es igual al más grande de losvalores calculados en la hipótesis de que la sección es subcrítica; y por otra parte,que la sección es supracrítica”. O sea:

{ }racr subcr V V V sup;max=

En efecto, la condición racr subcr V V sup< es la condición de la Ecuación 14, cuya

desigualdad se cumple cuando la sección es supracrítica.

2.8 - Ecuaciones de diseño:

En cada sección, deben considerarse 4 tensiones admisibles en el hormigón:

2211 ';;'; b b b b σ σ σ σ

Se dispone así de 4 ecuaciones: bi bi σ σ = que permiten determinar 4 incógnitas:

a) 2 incógnitas de pretensado V; e.

b) 2 incógnitas de la sección W1; W2 (momentos resistentes).

2.9 - Levantamient o de cables:

A veces no es necesario que todos los cables se anclen en los extremos de la viga,sino que algunos se anclen en la parte superior de la misma.

112

12max

'h y e Ab e M

V b

−+

⋅⋅−=∴

σ

21 c c

M V subcr

+

Δ=

112

maxsup

'h y c

M V racr

−+

=




32

Esta situación puede deberse a varias razones. Una de ellas puede ser debido aque no se pueden alojar todos los cables en los extremos por razones de espacio.La otra es que puede ser necesario hacer un tesado en una 2º etapa, una vezcolocadas las vigas:

Si se intentara colocar el gato para el tesado en los extremos, resulta imposible.

2.9.a - Huso de Pasaje en cables levantados:

El Huso de pasaje se obtiene bajando los vectoresV

M max yV

M min de -c2 y c1

respectivamente.

En la sección A-A, el valor del esfuerzo de pretensado decrece de i V m ⋅ a

( ) i V m ⋅− 1 . Luego se produce un salto de diente de sierra en los bordes del Huso

de Pasaje.El cable resultante también experimenta una discontinuidad en el mismo sentido.

Si se supone, para el cable levantado, 1cos =α no se cometen errores muygrandes por el hecho de que, si el propósito es introducir el cable resultantedentro del Huso de Pasaje, los bordes de éste descienden simultáneamente.

El radio de curvatura del cable levantado no debe ser muy pequeño, para nointroducir pérdidas por fricción elevadas.

Tampoco son muy convenientes los ángulos muy pequeños, debido a la difusiónde las tensiones en la zona de introducción (quedaría una zona muy débil).




33

En la práctica, es conveniente º30º20 << α .

3 - ESFUERZO DE CORTE:

En una viga isostática, además del corte debido a las cargas actuantes, actúa el

efecto del pretensado de forma favorable. En efecto:

α α tg sen ≅

En una sección a-a el esfuerzo de corte de pretensado tiene un valor α sen V ⋅− ,de sentido contrario al de las cargas.

3.1 - Verif icación de una sección a f lexión y cort e:

En hormigón armado se pueden separar, para el cálculo, las tensiones normalesde las tangenciales.

La tensión tangencial es máxima en el eje neutro, donde la tensión normal es nula.De la misma forma, en la fibra superior e inferior extremas, las tensionesnormales son máximas donde las tensiones tangenciales son nulas.

En el hormigón pretensado, si bien la tensión tangencial es siempre nula en lasfibras extremas, para el estudio de las tensiones normales no es necesario teneren cuenta las tensiones tangenciales.

En cambio para el estudio de las tensiones tangenciales será necesario hacerintervenir la tensión normal, en el nivel de la sección considerado.




34

La expresión de las tensiones principales, siendo 0=y σ vienen dadas por:

(CIRSOC 201 – Anexo 26.12)

22

42 xy x x

I τ σ σ

σ ++= (Tensión principal de Tracción)

22

42 xy x x

II τ σ σ

σ +−= (Tensión principal de Compresión)

3.1.a - Con el Círculo de Möhr:

Tomamos x σ y 0=y σ . En correspondencia con estos valores, llevamos xy τ

hacia arriba y hacia abajo respectivamente. Uniendo los extremos de estos valores,obtenemos c (centro del círculo).

Trazado éste, obtenemos sobre las abscisas los valores de las tensionesprincipales I σ y II σ .

x

xy tg σ τ δ

−⋅=⋅ 22 1 ;

xy

I tg τ σ δ =1

ESTADO I:

I b S Q ⋅

⋅= 0

τ

ESTADO II:

z b Q

⋅=

0τ




35

En la figura se ha indicado, en línea de trazos, el círculo que correspondería a lamisma sección sin pretensar ( 0)( =−x σ ).

Se observa que la tensión principal I σ de tracción tiene siempre un valor inferiora xy τ y que aquel valor disminuye a medida que )(−x σ crece.

Entonces el pretensado longitudinal permite reducir la tensión principal de tracciónen el hormigón. Recordemos que la fisuración se produce según los planos dondese ejerce la tensión de tracción mayor.

1∂ es el ángulo que forman las bielas de hormigón comprimidas, recortadas porlas fisuras, con el eje de la viga.

Como º902 1 <∂⋅ es º451 <∂ , luego las bielas de compresión resultan másaplastadas que en hormigón armado.

Otra de las conclusiones que podemos mencionar, de acuerdo a la figura, es queel pretensado hace correr el círculo de Möhr hacia la zona de las compresiones.

3.1.b - Verificación del corte: Según CIRSOC 201 – punto 26.12 – se deben verificar las tensiones para la cargade servicio y para las cargas de rotura.

Se deberá comprobar que las tensiones sean menores o iguales a las que figuranen la Tabla 47.

La verificación puede hacerse, para apoyos directos, en una sección ubicada at h ⋅5,0 , medida desde el borde del apoyo.

Combinaciones:

maxQ y M simultáneos

maxM y τ simultáneos

3.2 - Verif icación de t ensiones baj o cargas de servi cio:

Las tensiones principales de tracción, calculadas en Estado I, deben ser menoresque los valores de la Tabla 47, renglones 46 a 49.

Sin tener en cuenta torsión.




36

3.3 - Verif icación de t ensiones de cort e bajo cargas de rot ura:

En la dirección longitudinal de la estructura se pueden diferenciar 2 zonas dedistinto comportamiento portante, bajo los esfuerzos de corte:

Zona a: En ésta, no son de esperar fisuras por flexión.

Zona b: En ésta, las fisuras por corte se desarrollan a partir de fisuras porflexión.

Como criterio para fijar el límite entre ambas zonas se utiliza la Tensión deTracción en el borde de la viga, determinada por cargas últimas (cargas derotura), calculadas en Estado I.

Si ésta tensión es menor que el valor b σ del siguiente cuadro, la secciónconsiderada corresponde a la Zona a:

Si se sobrepasan estas tensiones, la sección está en la Zona b.




37

3.3.a - Verificación de las tensiones principales de compresión en la Zona a:

- Las tensiones principales de compresión en el hormigón no deben exceder losvalores de la Tabla 47, renglones 62 o 63.

- Las tensiones principales de compresión se obtendrán con la analogía delreticulado. La inclinación de las bielas comprimidas se adoptará de acuerdo a laEcuación 17:

)1(u

I tg tg τ

τ δ δ

Δ−⋅= (Ecuación 17)

4,0≥δ tg Siendo:

I tg δ : la inclinación de las tensiones principales de compresión, conrespecto a la normal a la sección, en el Estado I; a la altura del baricentrode la sección.

u τ : el mayor valor de la tensión de corte en la sección, originada por elesfuerzo de corte bajo cargas de rotura, en el Estado I.

τ Δ : el 60% de los valores establecidos en la Tabla 47, renglón 50.




38

- Si el espesor del alma es constante en toda la altura, puede efectuarse estaverificación a la altura del eje baricéntrico.

- En la determinación de las tensiones principales de compresión debe tenerse encuenta una eventual solicitación de torsión. Para ello se adoptará una inclinaciónde las bielas comprimidas de 45º.

3.3.b - Verificación de las tensiones principales de compresión en la Zona b:

En la Zona b se utiliza como valor característico, el valor de la tensión tangencialR τ , que se calcula:

- Para solicitaciones por corte: con el valor de cálculo de la tensión de corte en elEstado II.

- Para solicitaciones por torsión: con el valor de la tensión tangencial en Estado I.

El valor de R τ no podrá superar los valores de la Tabla 47, renglones 56 a 61.

3.4 - Dimensionamiento de la armadura de corte:

Se deberá verificar la armadura de corte bajo cargas de rotura en aquellas zonasde la estructura y de la sección transversal en las cuales la tensión principal de

tracción I σ (Estado I), o la tensión de corte R τ (Estado II) excedan los valoresde la Tabla 47, renglones 50 a 55.

- La armadura de corte se dimensionará para los esfuerzos de tracción actuandoen las montantes o diagonales del reticulado ideal.

- Armadura mínima: ver Tabla 42. Para más información, ver CIRSOC 201 –26.12.4.1

- Cuando se ha hecho la verificación en rotura, se debe verificar adicionalmente laarmadura de corte bajo cargas de servicio, según las indicacionescorrespondientes a la Zona a. En este caso se admite la inclinación de las

diagonales comprimidas, igual al ángulo que forman las tensiones principalescalculadas en Estado I.




39

- Para el dimensionamiento de la armadura de corte rigen las tensiones de laTabla 47, renglones 68 a 69.

3.4.a - Dimensionamiento:

La inclinación de los elementos traccionados del reticulado ideal puede admitirse,en general, entre 90º (estribos) y 45º (barras inclinadas o estribos inclinados).




40

3.4.b - Inclinación de las diagonales comprimidas:

Zona a

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−=

u tg tg

τ

τ δ δ 11 4,0≥δ tg

Siendo:

:1

δ tg La inclinación de las tensiones principales de compresión en el Estado I, ala altura del baricentro de la sección.

:u τ El mayor valor de la tensión de corte en la sección, originada por elesfuerzo de corte bajo cargas de rotura, calculada según el Estado II.

:τ Δ El 60% de los valores establecidos en la Tabla 47, renglón 50.

En la Zona a puede calcularse también con las disposiciones correspondientes a laZona b.

3.4.c - Inclinación de las diagonales comprimidas:

Zona b

R tg

τ

τ δ

Δ−= 1 4,0≥δ tg

Siendo:

:R τ el valor de cálculo de la tensión de corte bajo cargas de rotura,determinada en Estado II.

:τ Δ El 60% de los valores establecidos en la Tabla 47, renglón 50.




41

3.5 - Determi nación de las tensiones principales de compr esión y dela armadura de cort e mediante el reti culado ideal:

ϕ γ ;V q u Q Q Q −⋅=

Siendo:

75,1=γ

:q Q Esfuerzo de corte debido a las cargas.

:;ϕ V Q Esfuerzo de corte debido al pretensado, una vez producidas las pérdidas.

En Zona a:I

S Q z

Q b u u

u ⋅

==⋅ 0τ

En Zona b: z Q b u R =⋅ 0τ

:δ Inclinación de las barras comprimidas.

: β Inclinación de la armadura de corte.

Tensión principal de compresión: (Art. 26.12.3.2)

δ sen Q

D u II =




42

( )=

⋅+⋅⋅=

⋅+⋅⋅=

⋅=

2000 )cot(cot)cot(cot δ β δ δ β δ

σ sen z b

Q sen z b

D b D u II II

II a

( ) β δ δ σ

cotcot1

12

0 +⋅⋅

⋅=

sen z b Q u

II ∧ z b

Q u Q

⋅=

0τ (Zona a)

∴ ( ) β δ δ

τ σ cotcot

1

12,

+⋅⋅=

sen Q Q II

Con estribos verticales: 0cotº90 =→= β β

δ δ τ σ

cos1

,+

⋅=sen Q Q II (Zona a)

:Q τ Tensión de corte originada por el esfuerzo de corte último.

3.6 - Determ inación de la armadur a de corte:

Esfuerzo de tracción por unidad de longitud:

β β '

sen Q

Z u = ∧ c

Z Z β

β

'=

( ) β δ β β cotcot

1 +⋅

⋅=z sen

Q Z u

∴ ( ) β δ β β cotcot

1

1+⋅

⋅⋅=z sen z

Q Z u

Con estribos verticales: º90= β 1= β sen

0cot = β

∴ δ

β cot1

⋅=z

Q Z u ∴ δ β tan⋅=

z Q

Z u

… que serán distribuidos en la longitud:

δ cot⋅= z c




43

4 - PERDI DAS DEL ESFUERZO DE PRETENSADO:

4.1 - Pérdidas del esfuerzo de pretensado debidas a la fri cción:

Se considera una porción de viga x .

En el punto de aplicación tenemos 0V .

En una sección situada a una distancia x , el esfuerzo de pretensado ha pasado avaler V.

Como acciones del hormigón sobre el cable, tendremos una fuerza repartida radiala lo largo del trazado, donde el radio es r . Se tendrá también una acción debida al

frotamiento del cable sobre la vaina, que hace variar V a lo largo del cable. Análisis de un elemento diferencial:

22

α ∂⋅⋅= sen V R ∧

22α α ∂

≈∂

sen

22

α ∂⋅⋅= V R ∴ α ∂⋅=V R

∴ La fuerza por unidad de longitud vale:




44

ll ∂

∂⋅=

∂=

α V R q ∧ α ∂⋅=∂ r l

∴ r V

r V

q =∂⋅

∂⋅=

α

α

∴ La fuerza tangencial por unidad de longitud, interviniendo el pretensado, vale:

r V

q ⋅=⋅ μ μ (Ecuación 18)

Ecuación de Euler: si se analiza un elemento diferencial…

Debido a la fuerza de rozamiento cable-vaina, la fuerza V decrece el valor V ∂ enla longitud l∂ provocada por la desviación α ∂ .

Es l∂⋅⋅−=∂ q V μ

De acuerdo a las Ecuación 18: l∂⋅⋅−=∂r V

V μ

∴ α μ ∂⋅⋅−=∂ V V ⇒ α μ ∂⋅−=∂

V V

Integrando:

∫ ∫ ∂⋅−=∂

α α

α μ

0 0V V

Teniendo en cuenta que ( ) V V =α ; ( ) 00 V V =

α μ ⋅−=− 0lnln V V ⇒ α μ ⋅−=0

lnV V

α μ ⋅−

= e V

V

0 ⇒ α μ ⋅−

⋅= e V V 0




45

En lugar del ángulo α , se utilizan 2 términos:

:x α ángulo de desvío entre el punto de aplicación de la tensión previa y elpunto x considerado.

:x l⋅ β ángulo de la ondulación involuntaria β en m radianes

, a lo largo de lalongitud del elemento tensor hasta el punto x; en metros.

: β ondulación angular no

prevista enm

radianes .

Esto se debe a que la vaina,entre puntos de sujeción,

sufre deformaciones. Es: x x l⋅+= β α α

( )x x e V V x l⋅+⋅−⋅= β α μ

0 (Ecuación 19)

El esfuerzo de pretensado, que en la práctica se expresa como el esfuerzo V queactúa sobre el hormigón, vale 0V en la aplicación del esfuerzo tensor; y disminuyeluego hasta el punto x , según la Ecuación 19. Ejemplos:

Dividiendo por la sección del cable (suma de secciones individuales) se puedehablar de tensiones:

( )x x e t tx l⋅+⋅−⋅= β α μ

σ σ 0

A veces resulta más conveniente trabajar con la pérdida de tensión:

tx t tx σ σ σ −=Δ 0

( )[ ]x x e t tx l⋅+⋅−

−⋅=Δβ α μ

σ σ 10




46

La función exponencial puede escribirse mediante los 2 primeros términos de sudesarrollo en serie:

( ) ( )x x x x e l

l ⋅+⋅−=⋅+⋅− β α μ

β α μ 1

Reemplazando:( )x x t tx l⋅+⋅⋅=Δ β α μ σ σ 0

Si se habla de esfuerzos:

( )x x o x V V l⋅+⋅⋅=Δ β α μ

Para cables con trazado parabólico, considerando α α tan≅ , como ésta varíalinealmente con x , ocurre lo mismo con x V Δ :

x k V x ⋅=Δ

Por ejemplo, si tenemos una viga simplemente apoyada, con cable recto oparabólico:

Si se quiere alcanzar en2l

el valor nominal V, puede sobre-solicitarse en forma

provisoria, en el lugar de aplicación del pretensado, con adm t t σ σ > . Se puedeadmitir un exceso de un 5% sobre adm t σ .

Si para alcanzar en2l

el valor nominal V es necesario aplicar una sobre-tensión

superior al 5%, entonces es preciso aflojar la tensión previa. Con ello se originanresistencias a la fricción de dirección opuesta, que deben calcularse.

La medida del aflojamiento puede establecerse de forma tal que en ningún lugardel tensor se sobrepase el 5% admisible.




47

Volviendo a nuestros ejemplos:

o V Δ necesarios: cable recto → 200l

⋅⋅⋅=Δ β μ V V ( )0=α

Cable parabólico → ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅⋅=Δ 200

l

β α μ V V

Cuando tenemos varios elementos tensores, la mitad de los mismos puedepretensarse desde la izquierda, y la otra mitad desde la derecha; de modo que alsumar se obtenga un esfuerzo de pretensado constante sobre toda la longitud dela viga.

NOTA: Los valores de β son dados por el fabricante, de acuerdo al sistemaelegido.

Para valores de μ , ver CIRSOC 201 – Anexo Cap 26 (punto 26.8). Valores de β ,IDEM.

- Para elementos tensores en conductos de hormigón sin vainas → 50,0=μ

- Para elementos tensores compuestos por alambres trefilados, o de cordones en

vaina metálica → 20,0=μ

- Para alambres laminados lisos en vaina metálica → 25,0=μ

- Para alambres no lisos en vaina metálica → 30,0=μ

En caso de lubricación ligera (aceites solubles), estos valores pueden multiplicarsepor 0,90.

Para alambres lisos (laminados y trefilados) y cordones con un radio de curvaturaigual a 2 mts, puede admitirse como primera aproximación 30,0=μ .




48

4.2 - Estudio de la Cont racción y Fluencia Lenta:

La deformación del hormigón, en función del tiempo y bajo tensión constante b σ ,se compone de 3 partes:

( ) t s t k el t b ,, ε ε ε ε ++=

Siendo:b

b el E

σ ε = : la deformación elástica constante.

t b

b t k E

ϕ σ

ε ⋅=, : la deformación por fluencia lenta.

Siendo: ( )0,,0 4,00

t t K K K V t f t f f t −⋅⋅+−⋅= ϕ ϕ

00 ,,, t s t s s t s K K −⋅= ε ε : la deformación por retracción.

4.2.a - Fluencia Lenta: t

b

b t k E

ϕ σ

ε ⋅=, :t ϕ factor de fluencia.

:b E según 26.7.3

En general se hacen los cálculos para ∞=t . En ese caso se toman los valoresdados de ∞ϕ de la Tabla 45.

4.2.b - Retracción:

Si se toma como tiempo el valor ∞ , se debe considerar desde cuando se haceefectiva; con la Tabla 45. De esta manera se saca directamente el valor ∞s E .

Para cálculos más exactos, ver CIRSOC 201 para la aplicación de las fórmulasdadas.




49




50

Area rayada Ω

4.3 - Pérd ida del esfuerzo de pretensado por ent rada de conos deanclaje:

Cono simple:

Al liberar el gato de pretensar, el alambre arrastra al cono macho hasta que se

afirma contra el cono hembra.

Como el alambre está tenso, por éste efecto tiende a acortarse; lo que se traduceen una pérdida de tensión del mismo. Esta pérdida de tensión no se transmite atodo el cable, sino que éste deslizamiento es frenado por la fricción entre el cabley la vaina; tal como pasa en el momento de tesado pero en el sentido inverso.

El valor k lΔ (deslizamiento del anclaje) viene dado por el fabricante, de acuerdoal sistema:

Siendo k lΔ : deslizamiento de la cuña.

Se puede aplicar la igualdad de deformaciones:

∫ ⋅Δ

=Δk

dx E t

t k

l

l

0

σ

t

k t A

V Δ=Δσ

∫ ∫Ω⋅

⋅

=⋅Δ⋅

⋅

=⋅

⋅

Δ=Δ

k k

t t k

t t t t

k k

E A

dx V

E A

dx

E A

V l l

l

0 0

11




51

El área rayada está delimitada por la línea de fuerzas de pretensado, obtenida altesar:

[ ]k k V e V V k γ μ γ μ ⋅−⋅≅⋅= ⋅− 100 (Ecuación 20)

… y las de fuerza de pretensado después de aflojar (o sea, después deldeslizamiento). Será k V V Δ−0 .

∴ k e V V V k k γ μ ⋅−⋅=Δ− '

0

( ) k e V V V k k γ μ ⋅⋅Δ−= '

0 (Ecuación 21)

En estas ecuacionesk k k l

β α γ += comprende los ángulos de desviación, tanto

voluntarios como involuntarios, en la longitud k l afectada por el deslizamiento.

Igualando las Ecuaciones 20 y 21 se obtiene:

( ) k k e V V e V k γ μ γ μ ⋅⋅− ⋅Δ−=⋅ '

00

k k k e V e V e V k γ μ γ μ γ μ ⋅⋅⋅− ⋅Δ−⋅=⋅ ''

00

k

k

k

k

e

e V

e

e V V k γ μ

γ μ

γ μ

γ μ

⋅

⋅

⋅

⋅− ⋅+

⋅−=Δ

'

'0

'0

( )[ ]k e V V k γ μ μ ⋅+−−⋅=Δ '

0 1 (Ecuación 22)

Procedimiento:

Se supone un valor de k l , se calcula k γ y k V Δ con la fórmula deducida.

Luego se calcula:

Ω⋅⋅

=Δt t

k E A 1

l

… si éste valor coincide con el valor k lΔ especificado, esa será la verdaderalongitud k l .

Luego con la Ecuación 22 se puede calcular la pérdida k V Δ .

Si los valores supuestos no coinciden, hay que iterar.

Si el diagrama es recto, y suponiendo 'μ μ = , del gráfico se obtiene:

( )k k V V V −⋅=Δ 02 (Ecuación 23)

O ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=

Δ

0012

V V

V V k k




52

… y se procede por tanteos, como antes. Resumiendo:

1) Se elige k l .

2) Se calcula ( )k k V V V −⋅=Δ 02

3) Se calcula2k

k V l

⋅Δ=Ω

4) Se calcula Ω⋅⋅

=Δt t

k E A 1

l

Si coincide con el especificado por el fabricante, se termina el cálculo y con laEcuación 23 se calcula la pérdida k V Δ .

5 - RELAJAMI ENTO DEL ACERO:Se puede explicar el fenómeno de relajamiento del acero con el siguiente ejemplo:

Si en una máquina de ensayo traccionamos un alambre de pretensar, 1º en formalenta y 2º en forma rápida, obtendremos estas 2 curvas diferentes:

En el ensayo lento, el acero ha tenido tiempo de estabilizarse en susdeformaciones.

Si hacemos ahora el ensayo rápido hasta llegar a A, y no permitimos que elalambre se deforme (bloqueamos sus deformaciones), el acero irá perdiendotensión a través del tiempo hasta llegar a la curva estable en el punto B.

Esta pérdida de longitud constante se llama relajamiento del acero .

Si por el contrario mantenemos fija la tensión σ , el acero continuarádeformándose en el tiempo hasta pasar de C a D (curva estable).

Esta variación de longitud a tensión constante se llama fluencia lenta del acero .

En el hormigón pretensado, el fenómeno en cuestión es una pérdida de tensión

con longitud constante que, según los ensayos, es de un 50 a 80% menor que elalargamiento porcentual de fluencia lenta bajo tensión constante.




53

En CIRSOC 201 – Anexo 26.8.2 figuran valores indicativos de relajación.

Los valores están dados en función detracciónlaaaresistenci

inicialtensión0

=z

v

β

σ .

Esto se refiere al relajamiento “puro”. En la pieza de hormigón pretensado lacuestión es distinta, porque el acero no conserva su longitud inicial, ya que elhormigón se acorta a través del tiempo por efecto de la retracción y la fluencialenta.

Luego el relajamiento que se produce en el acero es menor que el relajamientopuro.

Según Leonhardt, si no se desprecia esta pérdida, se puede suponer una pérdidade tensión entre 1 y 2%.

6 - LI MI TACI ON DE LA FI SURACI ON: (CI RSOC 201 – 26 .10)

En general no se permiten tensiones de tracción, bajo cargas de servicio, enestructuras con pretensado total.

Se exceptúan los siguientes casos:

- En estados constructivos, antes de actuar la totalidad de la carga.

- En puentes y estructuras similares bajo cargas principales y secundarias.

- Para ubicaciones de carga poco probables (ej.: acción simultánea de varias

grúas).

La experiencia demuestra que, si se superan las cargas de servicio, aparecenfisuras. Estas se cierran una vez que se retira la carga, esto es debido al efecto depretensado.

Esto ocurre siempre que las armaduras no hayan superado el límite de fluencia. Sise supera esta tensión quedaría en el acero una deformación plástica remanente,que se opondría al cierre de las fisuras.

Las armaduras existentes en una sección pretensaza pueden ser de 3 tipos:

:s A armadura pasiva no tesa.

:v A armadura de pretensado con adherencia (pretesa).

:t A armadura de pretensado con adherencia a posteriori (postesada).

Pueden no existir simultáneamente v A y t A , pero siempre debe haber un mínimoreglamentario s A .




54

6.1 - Verif icación para la lim it ación del ancho de fisuras:

6.1.a - Zona traccionada precomprimida:

Se determinarán las tensiones en el acero, en Estado II (sección de hormigónfisurado debajo del eje neutro, distribución lineal de tensiones de compresión en

el hormigón e hipótesis de Bernouilli).

Solicitaciones a tener en cuenta:

a) ( ) p g +⋅35,1 g: si se considera en etapas (26.2.2)

b) Solicitaciones debidas al pretensado, deducidas las pérdidas.

Para las tensiones en el acero no teso, éstas no deben sobrepasar las tensionesadmisibles que figuran en la Tabla 47 – Renglones 70 y 71.

Para las armaduras tesas (con adherencia) no pueden pasar los límites de fluenciade las mismas, ni tener un incremento mayor que el valor s β de la armadura notesa utilizada.

En la armadura total se puede incluir la armadura de pretensado, sólo cuando es

pre-tesa.




55

Se toma como punto de partida el instante en que el hormigón que rodea el cablese descomprime.

La acción, durante la puesta en tensión de la armadura, está sometida al estado[ ]g V + .

En Estado II sucede lo siguiente:

Eje neutro invariable, pues V pasa por el baricentro de la sección homogeneizada.Se puede tomar:

10==b

t

E E

n

Para el cálculo se puede utilizar el Cuaderno 220 – Punto 1.9.2.3 (Pag 125):

Sección simplemente armada:

s

s

A n d b h A n d b

x ⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅=

25,0

( )d x d d

h z −⋅⋅

+−=262

2

(Ecuación 24)




56

s s A z

M ⋅

=σ ;v

v A z M ⋅

=Δσ

Siendo:M calculado con ( ) p g +⋅35,1

Se debe cumplir:

- Armadura no tesa: s s β σ ≤

- Armadura pretesa: ( )s v v v β σ σ σ ≤Δ+=

0

Ademas: s v β σ ≤Δ del acero no-teso.

Esta verificación garantiza el cierre de la fisura luego de un eventual exceso desobrecarga.

6.1.b - Diámetro máximo de la armadura en la zona traccionada precomprimida:

42

104 ⋅⋅⋅≤s

z s r d

σ

μ

:s d Diámetro máximo de la armadura longitudinal.

:r Coeficiente que caracteriza la adherencia.

- Acero nervurado 65=r .

- Acero liso de pretensado con adherencia directa 35=r .

:z μ Cuantía de armadura v s A A + referida a la sección traccionada bz A (enporcentaje).

:bz A Area de la sección traccionada. En secciones altas, se calculará con unaaltura de la zona traccionada cm 80≤ .

:s σ Tensión en2m

MN del acero no-teso, o el incremento de tansión en el acero

de pretensado ( )v σ Δ .

6.2 - En cables con adherencia a posteri ori : ( CI RSOC pag 351 )

Los cables de postesado pueden influir favorablemente sobre la fisuración, sólodentro de una parte de la sección.

En el Punto (5) se estipula que puede reducirse la armadura necesaria, calculadaanteriormente, en un cuadrado de 30 x 30 cm.

Recordar que se dijo que la armadura de postesado t A no se incluye en el cálculo.




57

En ese cuadrado se puede reducir la armadura ens A Δ .

4s

v s d

A ⋅⋅=Δ ξ μ

:v μ Perímetro del elemento tensor en la vaina. Si es una barra individual:

v v A ⋅⋅= π μ 6,1

:ξ Coeficiente que caracteriza la adherencia del acero de pretensado en lamezcla de inyección, con respecto a la adherencia del acero nervurado en elhormigón.

- En elementos tensores de barras lisas: 2,0=ξ

- En cordones: 4,0=ξ

6.2.a - Zona comprimida:

Se deberá verificar que la resultante de tracción, calculada con las cargas deservicio, esté cubierta con armadura.

Las tensiones en el acero, o el incremento de tensión en el acero de pretensado,

debe ser ≤ que los valores que figuran en la Tabla 47 – Renglones 68 y 69.

6.2.b - Armadura pasiva longitudinal mínima:

La sección tiene que tener una armadura longitudinal mínima, no tesa o pasiva,para controlar las fisuras que resultan de acciones no previstas en el cálculo.

Cuando se trata de hormigón pre-tesado (con adherencia directa) se puedenincluir estas armaduras en el cómputo de armadura mínima, como si fuera acerode armadura pasiva.

Los valores de la armadura mínima están en CIRSOC 201 – Punto 26.6.7; y los

elementos de cálculo se pueden sacar de las Tablas 42 y 43.

6.3 - Verif icación de Rotura:

Luego de calculada una sección para las condiciones de servicio, es decir,tensiones admisibles y fisuración; quedan definidas la sección de hormigón y lasarmaduras activas v A y pasivas ( )'y s s A A .

Queda entonces por calcular cuales son las solicitaciones últimas u M , u N queesta sección reviste. Estas deben ser mayores o iguales que las solicitaciones deservicio mayoradas.




58

r β de Hº Armado

El cálculo es el mismo que en hormigón armado, con la diferencia que en laarmadura activa existe un pre-alargamiento, que hay que tener en cuenta.

Cargas últimas de carga: ( ) p g +⋅75,1

6.3.a - Diagramas Tenso-Deformación del acero: - Acero de Pretensado:

Se debe utilizar el diagrama garantizado por el fabricante. No se debe sobrepasar

el límite de fluencia s β o 2,0 β segúncorresponda.

- Armadura no-tesa:

En tracción:

22 000.100.2000.210cm

Kg

m

MN E s ==

Para el acero no-teso comprimido sesustituye s β o 2,0 β por el valor de cálculo

s s s β β β ⋅=⋅= 83,01,275,1

' (o 2,083,0 β ⋅ ).

6.3.b - Diagrama tensión-deformación del hormigón:

Se lo considera con una tensión de cálculo:

bk bk r '70,0'85,01,275,1

σ σ β ⋅=⋅⋅=

Diagrama simplificado

Estas reducciones en la capacidad del hormigón y del acero no-teso encompresión, se hacen pensando que en hormigón armado se adopta 10,2=υ para roturas frágiles, y acá se usa 75,1=υ para las cargas.

Para simplificar, de acuerdo al Cuaderno 220 – Punto 1.6 y como en hormigónpretensado generalmente la sección NO es rectangular, se puede utilizar el




59

diagrama de la Figura 13 para secciones simplificadas; para las cuales no haytablas de dimensionado disponibles:

(Rüsch 23.6.7.2)

CIRSOC 201 – Anexo al CAP 17

6.3.c - Diagrama de deformación correspondiente a los límites de agotamiento:

Para s ε (armadura pasiva) y para ( )0v v ε ε − (armadura activa) no se deben

superar el 5%o en la capa de armadura más alejada, incluída en la verificación.

Método de cálculo:

1º) Se elige una posición del eje neutro.

- Armadura más alejada, ejemplo 000

5=s ε (rotura por el acero).




60

- Trazado del diagrama de deformaciones (debe ser 0005,3≤bu ε ).

- Cálculo de bui eu bu D D D += .

- Cálculo de s v u Z Z Z += .

2º) Si se cumple que u bu Z D = , está terminado el cálculo y se determinaz Z Z D M u bu u ⋅=⋅= .

Si no se cumple, volver a estimar otro valor de x y repetir el cálculo hasta quehaya coincidencia. Se pueden hacer gráficos en las iteraciones…

…en donde se cortan las curvas, tendremos el verdadero valor de x .

En general, casi siempre la pieza rompe por el acero; por eso suponemos como

valor de partida 0005≤s ε . De no conseguirse el equilibrio, se parte de00

05,3=bu ε con x de tal modo que 0005≤s ε .

Esto equivale a suponer:

3º) Debe comprobarse que: p g u M M +⋅≥ 75,1




61

7 - I NTRODUCCI ON DE LAS FUERZAS DE PRETENSADO:

7.1 - Horm igón postesado:

Las fuerzas de pretensado se aplican en forma concentrada, involucrando altaspresiones localizadas; y requieren cierta longitud para su distribución y reparticiónen la sección.

Si se analiza una cabeza de viga que recibe un anclaje, la fuerza concentrada enun área pequeña genera un diagrama de difusión de esfuerzos de la formasiguiente:

A partir de una cierta distancia d, igual a la altura total de la viga, la distribuciónde tensiones es uniforme:

d b V ⋅

=0σ siendo :b ancho de la viga.

Las curvas muestran cómo varían las tensiones y σ para distintas relaciones dealtura de placa y viga (estas son tensiones de tracción).




62

Vemos por ejemplo que si tenemos una viga pretensada longitudinalmente con

20 100cm

Kg =σ puede presentar, en la zona de introducción, tracciones

transversales de hasta2

40cm

Kg , si la placa de anclaje es pequeña en

comparación con la altura de la viga. Esto origina esfuerzos de tracción muyimportantes, que deben ser tomados por una armadura transversal adecuada(estribos).

La fuerza Z, según Leonhardt puede ser expresada por:

)1(3,0d

V Z a

−⋅⋅=

El valor de Z no es más que la superficie comprendida entre la parte positiva de lacurva y σ y el eje x .

La distribución de las isostáticas muestra que, en las esquinas del borde cargadodel prisma, aparecen pequeñas zonas con fuertes tracciones transversales aambos lados de la placa de anclaje.

Estas tracciones las tendremos que cubrir con armadura, o hacer un chanfle enlas esquinas para evitar para evitar su aparición.

7.1.a - Fuerza aislada excéntrica:

En una longitud d, la distribución de tensiones x σ es trapecial.

Al dimensionar la armadura de distribución nos quedamos del lado de la seguridad

si tomamos, para el dimensionamiento, un prisma ideal con carga centrada yaltura h ⋅2 .

La armadura obtenida en esta forma debe ser colocada repartida en la longitudh ⋅2 . Más allá de ésta, las tensiones transversales de tracción son pequeñas.




63

7.1.b - Caso de varias fuerzas aisladas - Acción conjunta centrada:

Para el cálculo de Z, en la relación

d

ahay que introducir la altura parcial (en el

ejemplo:2d

).

La armadura de cosido obtenida para un cable se deja corrida en toda la altura dela pieza.

7.1.c - Acción conjunta descentrada:

Se toman los prismas ideales según su zona de influencia:

Otra forma:

Se utilizan prismas imaginarios, con alturas 1d , 2d , 3d , etc.; obteniéndose eltrapecio de las x σ en superficies iguales III II I F F F == , etc.

Las relacionesd a

,2d

a,

3d a

, etc. son, por tanto, diferentes.

Se dispone la misma armadura transversal en toda la pieza, aunque los cálculosparciales sean diferentes.

Si existen varias fuerzas al mismo nivel, las áreas serán proporcionales a aquellas.

Con α pequeño, se puede tomar 0=α .




64

7.2 - Arm adura:

Se deben disponer estribos verticales, calculados según el valor de Z.

La armadura horizontal se debe calcular con

b

b '.

Estos estribos pueden ser de 2 o más ramas.

Se deben distribuir de acuerdo a los y σ .

Si tenemos el caso de una placa de anclaje con 50,0=d a

:

Con horquillas para atar lasesquinas.

Haciendo chanfles en las esquinasse pueden suprimir las horquillas.




65

8 - HORMI GON PRETENSADO PARCI AL:

8.1 - Grado de Pretensado:

Modernamente se considera, la combinación de los 2 materiales acero y hormigón,como un solo material compuesto; que sirve para fabricar estructuras.

Este material compuesto está formado por el hormigón y el acero, en formasdistintas: pretensado y como armadura pasiva común de hormigón armado.

Una forma de definir el grado de pretensado es lasiguiente:

:v A Sección de armadura tesa.

:s A Sección de armadura pasiva.

:v σ Tensión de fluencia del acero de pretensar.

:s σ Tensión de fluencia del acero pasivo.

pasivaarmaduradeFuerzapretensadodeFuerzapretensadodeFuerza

+=

⋅+⋅

⋅=

s s v v

v v

A A A

K σ σ

σ

0=s A → 1=K → Pretensado Total.

0≠s A → 1<K → Pretensado Parcial.

0=v A → 0=K → Hormigón Armado.

Entonces, el conjunto Acero-Hormigón pasa por una gama que va desdeHormigón Armado ( 0=K ), pasando por el Pretensado Parcial ( 1<K ), hasta elPretensado Total ( 1=K ).

Para valores de 10 ≤< K se puede pensar como que el pretensado “ayuda” alhormigón armado, o sea, cuando se trata de Pretensado Parcial.

EN RESÚMEN:

Pretensado Total:




66

Pretensado Parcial:

O sea que en el Pretensado Parcial se permiten tensiones de tracción en elhormigón. Las fisuras son controladas por la armadura pasiva, que es necesariapara absorber gran parte de las tensiones de tracción.

Antes se pensaba que, al existir fisuras, había peligro de la existencia de corrosión

en las armaduras. Pero en la práctica las fisuras, si no son muy grandes, secierran luego del paso de la carga accidental.

El Pretensado Parcial se justifica sobre todo para grandes relaciones de cargaaccidental a cargas permanentes.

En efecto, si se adopta un Pretensado Total, la sección de hormigón estáfuertemente comprimida por el pretensado, hasta que se da el paso de la cargaaccidental (que a veces, incluso, no se da nunca; como el caso de puentescarreteros).

Otra forma mas racional de definir el Grado de Pretensado:

Llamamos Moment o de Decompresión al momento necesario para llevar lastensiones al valor 0, o tensiones nulas, en el borde de la zona traccionadaprecomprimida.

Según CIRSOC 204 – Anexo Cap 1, A 1-2: “El momento de decompresión 0M , esel momento externo que, conjuntamente con las solicitaciones originadas por elpretensado (incluídas las pérdidas plásticas debidas a relajación, retracción yfluencia lenta), conduce a tensión nula en el borde de la zona traccionadaprecomprimida”.

Se entiende por Grado de Pretensado K a la relación entre las solicitaciones queproducen la decompresión de una sección y las solicitaciones máximascorrespondientes a esa sección:




67

( ) p g M M

M M

K +

== 00

Relacionado con lo visto en Pretensado Total, esto se cumple cuando:

( ) p g M M +=0

En resúmen:

Si 1=K → p g M M +=0 → Pretensado Total

(Significa que si quiero tensiones de tracción nulas deboaplicar un momento p g M M +=0 para vencer todas las

tensiones de pretensado).

Si 0=K → 00 =M → Hormigón Armado

(Significa que no tengo que poner ningún momento dedecompresión ∴el pretensado no existe)

Si 1<K → p g M M +<0 → Pretensado Parcial

(Significa que el momento de decompresión necesario es p g M +< , luego aparecen tensiones de tracción en la fibra

inferior).

Las recomendaciones de CIRSOC 204 son para 10,0≥K .

8.2 - Dim ensionamient o en estado de servicio y en estado de rotu rasim ult áneos: (En fl exión)

Con este método (CIRSOC 204 – Anexo 10-6) se contemplan simultáneamente losestados de servicio y de rotura.

Se considera que las armaduras activa y pasiva están a la misma altura(simplificación que no conduce a mayores errores).

:* A Sección ficticia de acero.

La selección de la variación de tensiones ( )σ Δ es un aspecto primordial en eldiseño, pues ella indica indirectamente una abertura de fisura determinada.

Este ancho de fisura se adopta en el diseño.

Cuadro indicativo para adoptar σ Δ :

[ ]mm W max : 0,10 0,20 0,30

[ ]MPa σ Δ : ≤ 80 ≤ 160 ≤ 240




68

pretensado

Servicio:

Si referimos el momento exterior R M a la altura de la resultante de tracción delas armaduras, podemos considerar que está formado por un momento 0M correspondiente a la sección rectangular del nervio y por un momento 1M

correspondiente a la sección de las alas.

b x b C '21

00 σ ⋅⋅⋅= (fuerza de compresión interna en el nervio)

b x d x

d b C '2

2 0011 σ ⋅

⋅

−⋅⋅⋅= (fuerza de compresión interna en las alas)

∴ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=

200x

h C M

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅

−⋅⋅−⋅⋅=

0

011 2

33

1d x d x d

h C M siendo:h d 0=φ ; h k x x ⋅=

Reemplazando se obtiene:

b b h b K M '2000 σ ⋅⋅⋅= siendo: ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=

31

20x x

b k k

K

b b h b K M '2111 σ ⋅⋅⋅= siendo: ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅

−⋅⋅−⋅

⋅

−⋅⋅=

φ

φ φ φ φ

x

x

x

x b k

k k

k K

23

31

22

1

Resultando:

( ) b b b R h b K b K M M M '2110010 σ ⋅⋅⋅+⋅=+=

La fuerza total de tracción viene dada por:

( )1 ( ) σ σ σ Δ⋅++⋅=Δ⋅ v s v v A A A A *




69

Tomando momentos con respecto a la resultante de compresión:

z A M R ⋅Δ⋅= σ * → z

M A R =Δ⋅ σ *

Se puede llegar a:

( )2h K

M K M

A z z

1

1

1

0

0* ⋅⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=Δ⋅ σ siendo:

310

x z

k K −=

φ

φ φ

−⋅

−⋅⋅−=

x

x z k

k K

23

311

Si se conocen σ Δ , b 'σ y φ pueden tabularse todos los valores de loscoeficientes necesarios: x k , 0b k , 1b k , 0z k , 1z k .

En CIRSOC 204 – Anexo 10-7 Tabla 1 están tabulados estos valores.

Las ecuaciones desarrolladas son completamente análogas a las de hormigónarmado para secciones en T y en Estado II.

Pero además de cumplir con los requisitos del Estado de Servicio, la seccióndimensionada debe también exhibir un adecuado factor de seguridad contra larotura.

8.2.a - Se incorpora esta verificación:

La ecuación para el estado de rotura (falla por el acero), equivalente al de servicio,viene dad por:

( )3 v v s s u

R A A z M β β γ ⋅+⋅=⋅ ∧ 75,1=γ

De ( )1 :σ

σ σ

Δ

Δ+⋅−= v

v s A A A *

Reemplazando en ( )3 se obtiene:

s

v

v

v v

s u

R

v z

M A

A

β

β

σ

σ σ

β

γ

−Δ

Δ+

⋅

⋅−

=

*

De la ecuación ( )2 :

h K M

K M

A z zo

11

1

10* ⋅⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅

Δ=

σ

Lo que nos permite calcular las armaduras pasiva y activa, fijado un determinadoancho de fisura, a través de σ Δ . En estado de servicio y rotura se puede tomar:

2

o u

d h z −= ∴ h z u ⋅⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −=

2

1φ

Se puede verificar también la zona comprimida de hormigón:




70

u R R z d b M ⋅⋅⋅≤⋅ β γ 0

O sea: R R h b M β φ

φ γ ⋅⋅⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅≤⋅ 2

21

Todas estas fórmulas están dadas en CIRSOC 204 – Anexo 16.6, y unprocedimiento de cálculo, adoptando un valor de x K que luego hay que verificar.

Nosotros adoptaremos un valor de φ .

9 - I NTRODUCCI ON AL ESTUDI O DE SI STEMAS HI PERESTATI COSPRETENSADOS:

Recordemos la relación que existe entre M, Q y P en una viga simple:

x Q

p ∂

∂= ;

x M

Q ∂

∂=

∴2

2

x

M p

∂

∂=

Se deduce que, para hallar la carga p, hay que hallar las diferencias primerasentre las tangentes a la curva de momento.

En el caso de una carga repartida, será la suma de los ángulos φ al origen.

Con φ se calcula la carga total. Dividiéndola por la luz obtenemos p.

Si se trata de una carga concentrada, directamente φ nos da el valor de P.




71

Ejemplos:

t Q 00,745,455,200,293,8

50,393,8

=+=+= 2

50,150,42x

x M ⋅−⋅=

∴ P =φ x x M

⋅−=∂

∂50,150,4

50,40 =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂→=

x M

x

∴ 00,950,450,4 =+=φ

m t

p 50,100,600,9

==

Como vemos, podemos calcular el valor de la carga sin pasar por el esfuerzo decorte.

9.1 - Viga isostática pretensada:

Otra de las formas de calcular la carga es considerando que el cable curvo ejerce,sobre el hormigón, una carga distribuida uniforme.

Una vez ubicado el cable, se puede hallar la carga sobre la viga y calcular lastensiones.

En el caso de vigas isostáticas, la línea de presiones coincide con el cable:




72

Remitiéndonos al EJEMPLO Nº 1 de la práctica:

Kg V 619.94= ;m t

g 31,0= ;m t

p 78,1=

Cálculo de la carga q debida al pretensado:

Como e V M ⋅= , la curva de momentos es afín a la curva del cable; entonces eslo mismo considerar las tangentes a la curva del cable:

( )22

4x x

e y −⋅⋅

⋅= l

l

( )x e

x y

⋅−⋅⋅

=∂

∂2

42

l

l

0826,0 200.1

79,24440 21 =

⋅=

⋅==→=

cm cm e

x l

φ φ

La carga total vale: t t V p 63,151652,0619,94 =⋅=⋅= φ

La carga repartida vale:m t

m t p

q 30,1 00,12 63,15

===l

De la misma forma se puede obtener con el diagrama de momentos debido alpretensado, basándonos en la construcción de la parábola:




73

t m

tm M p v 63,15

00,6 45,232

2

2

22 =

⋅⋅=

⋅⋅==

lφ

Una vez que tenemos la carga q debida al pretensado, se puede operar de 2maneras:

1º) Hallando las tensiones de pretensado y sumándole luego las caras de pesopropio y accidentales.

2º) Sumando directamente las cargas de pretensado, peso propio y accidentales;y calcular las tensiones.

9.1.a - Procedimiento:

m t

m t

m t

q t 79,030,109,2 =−= tm m

m t

M t 22,148

00,1279,0

22

=⋅=

Al actuar p g q ++ , la línea de presiones se desplaza la cantidad:

cm Kg

Kgcm

V

M t 03,15 619.94

000.422.1===a

222322 1295772 744.24

03,15619.94

cm310.1

619.94

cm

Kg

cm

Kg

cm

Kg

cm

cm Kg Kg −=−−=

⋅−−=σ

222321 17372 558.19

03,15619.94

cm310.1

619.94

cm

Kg

cm

Kg

cm

Kg

cm

cm Kg Kg =+−=

⋅+−=σ




74

Resultado al que habíamos llegado antes.

9.2 - Análisis conceptual:

En una viga simplemente apoyada, la línea de presiones (línea c) coincide con el

cable. El momento, en cualquier sección, puede ser determinado por:

e V M ⋅=

9.2.a - Viga contínua:

Si la viga estuviera simplemente apoyada (sin el apoyo central), tendería alevantarse.

Entonces, para volverla a su sitio, hay que introducir una fuerza (reacción deapoyo); y entonces aparecen momentos debido al pretensado.

Para resistirlos la línea c se debe desplazar una distancia a de la línea del cable,

de tal modo que V M =a .

Puesto que el momento exterior sólo es debido a las reacciones de la cargaexterior, la distribución M es lineal.

Si cte V = , y como M es lineal, la variación de a también es lineal.

Este momento debido al pretensado se llama Secundario .

El momento debido al pretensado, como si fuera una viga simple, se llamaPrimario . Luego:

( )1 Momento Secundario + Momento Primario = Momento Resultante




75

9.2.b - Procedimiento para calcular los momentos resultantes:

Una vez calculado este (Momento Primario ), con ( )1 se puede calcular el Momento Secundario .

Hipótesis:

1º) Las excentricidades de los cables son pequeñas, comparadas con laslongitudes de los tramos.

2º) La fricción es despreciable.

Con estas hipótesis se puede decir:

a) La componente horizontal del pretensado es constante para cada tramo, eigual a V.

b) El Momento Secundario 1M , en cualquier sección, vale 11 e V M ⋅=

; siendo 1e la excentricidad del cable con respecto al centro de gravedad de la sección.




76

9.2.c - Procedimiento de Análisis:

1º) Se dibuja el diagrama de Momento Primario para la viga completa, como sifuera una viga simple ( :1M momento debido al pretensado y su excentricidad

1e ).

Como 11 e V M ⋅= , al ser cte V = es directamente, a una cierta escala, eldiagrama de excentricidades 1e . (Diagrama b)

2º) Del diagrama de Momento Primario se dibuja el diagrama de esfuerzo decorte. (Diagrama c)

3º) Del diagrama de esfuerzo de corte se dibuja el diagrama de cargas.(Diagrama d)

4º) Con este diagrama de cargas se calcula el Momento Resultante 2M (Porejemplo, por Método de Cross . Yo prefiero PPlan ®)

5º) La línea c se obtiene transformando linealmente la línea del cable. Se tendrán

nuevas excentricidades V

M

e 2

2 = .




77

La línea c puede dibujarse también calculando su desviación a con respecto a lalínea del cable.

12SecundarioMomento M M −=

∴ V M M 12−

=a

Este método sirve para determinar la línea de presión debida al pretensado, enuna viga continua (Entonces, la línea c se aleja de la línea del cable, debido a lasreacciones que aparecen).

9.2.d - Cuando se aplican cargas exteriores:

Estas cargas producirán momentos adicionales y la línea c se alejará de nuevo. Veremos 2 métodos:

1) Los momentos debidos a cargas exteriores se calculan por Cross (PPlan ®, ni

hablar). Estos momentos se suman a los debidos al pretensado y se tienen losmomentos finales de la viga.

El alejamiento de la línea c (de la obtenida para el pretensado) debido a lascargas exteriores, se puede obtener haciendo el cociente entre: los momentosdebidos a las cargas exteriores y el esfuerzo de pretensado V.

2) Cuando sólo existe un estado de carga, y puesto que el efecto del pretensadose traduce en un sistema de cargas (Diagrama d), se suman los 2 estados decarga; y se halla el diagrama de momentos finales sobre la viga.

9.3 - Transformación lineal y concordancia de cables:

Hasta ahora hemos analizado la viga continua pretensada. Su cálculo es máscomplicado.

Como veremos, es un proceso de tanteos para lograr las condiciones óptimas.

9.3.1 - Transformación lineal:

Cuando se cambia la posición de la línea de cables o de la línea c sobre losapoyos interiores de una viga continua, sin cambiar la forma intrínseca (curvaturay dobleces) de la línea dentro de los tramos, se dice que la línea queda

transformada linealmente. Ya habíamos visto una transformación lineal, cuando dijimos que la línea c queresulta de pretensar una viga continua, es una línea transformada linealmente dela línea de cables.

Esto se debía al hecho de que el Momento Secundario , que produce la desviaciónde las 2 líneas, varía linealmente entre 2 apoyos consecutivos.

TEOREMA:

“En una viga continua cualquier línea de cables puede ser transformadalinealmente, sin cambiar la posición de la línea c resultante”.




78

Esto significa que la transformación lineal de la línea de cables no afecta losesfuerzos en el hormigón, puesto que la línea c permanece invariable.

La demostración de este teorema es la siguiente:

Teniendo la línea de cables la misma forma intrínseca dentro de cada

tramo, producirá Momentos Primarios cuyos diagramas tienen la mismaforma intrínseca (o sea, las mismas curvaturas y dobleces).

Los diagramas de carga correspondientes, a lo largo del tramo, son losmismos; puesto que la carga está dada por la curvatura (o 2º derivada)del diagrama de momentos.

Los momentos resultantes deben ser los mismos, lo que significa que lalínea c tendrá la misma posición.

Vemos que, aunque los Momentos Resultantes son los mismos, losMomentos Primarios tendrán que diferir, pues:

PrimarioMomentoResultanteMomentoSecundarioMomento −=

9.4 - Cable Concordante:

Un cable concordante, en una viga continua, es una línea de cables que produceuna línea c coincidente con dicha línea de cables.

En estos términos: Un cable concordante no produce Momentos Secundarios . Eneste caso, como en las vigas simplemente apoyadas (el cable coincidente con lalínea c), no habrá reacciones (son estas últimas las que producen los Momentos

Secundarios ).

COROLARIO:

“Cuando se obtiene una línea c de un cable NO concordante, esa línea c por sí

misma es la posición para un cable concordante, puesto que la línea c debida alpreesfuerzo es una transformada lineal de la línea de cables (Entonces no cambiala posición de la línea c)”.




79

TEOREMA:

“Cada diagrama de momentos para una viga continua, producido por cualquiercombinación de cargas y dibujado a escala, es una localización de un cableconcordante para esa viga”.

Esto se prueba pensando que cualquier diagrama de una viga continua se calculasobre la base de que no haya descensos sobre los apoyos. Y puesto que cualquierlínea de cable deducida de este diagrama producirá un diagrama de momentossimilar, esa línea de cable tampoco producirá reacciones externas; por lo tantotambién es un cable concordante.

La inversa del teorema también tiene validez: la excentricidad de cualquier cableconcordante, medida desde el centro de gravedad de la sección, es un diagramade momentos para algún sistema de cargas sobre la viga continua, dibujada acierta escala.

Esto resulta evidente del hecho de que cualquier cable concordante coincide con

su línea c, y cualquier línea c es proporcional a una diagrama de momentosproducido por algún sistema de cargas sobre la viga continua.

La suma de cables concordantes da otro cable concordante.

9.4.a - Localización del cable:

Se procede de la siguiente manera:

1) Se fija una sección y se calcula el esfuerzo de pretensado. Se calcula:

g M M =min

p M M =Δ

p g M M M +=max

Ejemplo: Viga de 2 tramos.

El Huso de Pasaje se obtiene llevando los vectoresV

M max yV

M min desde 2e y 1e

respectivamente, y hacia abajo o hacia arriba si M es positivo o negativo.

A su vez, el Centro de Presión debe estar dentro del Huso Límite (en este caso, si

no se permiten tensiones de tracción en el hormigón, el Huso Límite está entre2e y 1e ).

2) Se selecciona una localización del cable, como tanteo, dentro del Huso de Pasaje .

Si el cable sigue la forma de algún diagrama de momentos, será un cableconcordante. Si no es un cable concordante, puede determinarse la línea c mediante la distribución de momentos. Esta línea c debe estar dentro del Huso Límite .

Se pueden hacer transformaciones lineales. Por ejemplo, bajar o subir el cable en

el apoyo, sin variar las curvaturas. A esto se lo llama Transposición de Cables .




80

Pero a los efectos de la capacidad a rotura, es conveniente que, en el apoyo, elcable esté lo más arriba posible.

10 - DI SEÑO DE SECCI ONES DE HORMI GON PRE-TESADO:

Su aplicación es más corriente cuando se trata de elementos prefabricadosrepetitivos, como ser: viguetas para entrepisos, vigas para cubiertas, vigas parapuentes de mediana luz, etc.

Como ya se dijo anteriormente, la tensión en los alambres se efectúa antes dehormigonar la pieza.

Los muertos de anclaje se ubican a distancias grandes, de manera de educir lacantidad de operaciones de tesado y los desperdicios de armaduras en lasextremidades.

Los elementos a fabricar se ubican uno a continuación del otro, y luego se cortanlos alambres.

También se puede usar, como banco de tesado, el propio encofrado metálico dela viga a hormigonar; el que debe ser verificado como columna para resistir elesfuerzo V.

10.a - Armadura:

Es conveniente utilizar armadura de pequeño diámetro (de mayor perímetro) yaque la transmisión del esfuerzo se efectúa por adherencia.

Se utilizan alambres lisos, trenzas o cordones.




81

10.1 - Diseño de la sección:

En general, se usan cables rectos. Esto implicaría la condición de que no puedellevarse “de arriba” el peso propio. Entonces la resultante del esfuerzo depretensado debe pasar necesariamente por el borde del Núcleo Central (comomáximo).

10.1.a - Centro de Presión:

Debe permanecer dentro del Núcleo Límite para no sobrepasar las tensionesadmisibles.

El Huso Límite , en este caso, está encerrado dentro de los bordes del Núcleo Central .

Esto equivale a decir lo que se había visto:

V M

e −=a

Cuando 0=M (Pretensado sólo) El Centro de Presión coincide con el cable.

Cuando actúa M Centro de Presión desplazado hacia arriba, el valor

V M

(si 0>M )

Debe ser: 12 e e ≤≤− a

10.1.b - Núcleo de Pasaje:

Se obtiene bajandoV

M max yV

M min desde 2e y 1e .




82

Si se trata de Cables Rectos ; en el apoyo, la excentricidad máxima permitida es1e (para que no existan tracciones en el borde superior). Luego debe aumentarse

el valor de V, para hacer que el borde superior sea tangente al borde inferior delNúcleo Límite , en el centro de la luz.

Esta condición, en la sección central, se escribe:

12max e e V

M += (se ve gráficamente)

De donde se puede calcular el valor mínimo de V:

21

max

e e M

V +

=

De esta expresión se desprende que, para calcular V, interviene toda la carga(permanente + accidental)




83

10.1.c - Una solución:

Para cumplir la condición en el apoyo se lleva, de punta apunta de la viga, unaparte de los alambres en el borde del núcleo ( 1e ); y luego se va interrumpiendolos cables, envainándolos para que no tengan adherencia con el hormigón, amedida que nos acercamos al centro de la viga.

De esta forma se puede inscribir la resultante de pretensado dentro del Núcleo de Pasaje , que corresponde a una viga postesada.

De esta forma se puede disminuir V, pero se desperdicia la parte de alambresenvainados.




84

10.1.d - Otra solución:

Para conseguir aumentar e, se puede construir la viga con altura variable en elborde superior:

En general, estas vigas se pueden utilizar para cubiertas. De esta forma, lapendiente sirve para escurrimiento de aguas pluviales.

10.2 - Pérdidas del esfuerzo de pretensado:

Se producen pérdidas por relajamiento del acero y pérdidas por acortamientoelástico del hormigón.

10.2.a - Pérdida por acortamiento elástico del hormigón:

212 V V V σ σ σ −=Δ

:1V σ Tensión de pretensado inicial.

:2V σ Tensión después del acortamiento.

En el momento de la transferencia del esfuerzo de pretensado, el hormigón seacorta y, por la adherencia, el acero acompaña a esta deformación, aflojándose.

Al transferirse el esfuerzo de pretensado, actúa también el peso propio; ya que laviga se curva hacia arriba.




85

En el centro de la viga, y a la altura del cable, se tiene la siguiente tensión decompresión en el hormigón:

g t b b

g t b V t b V t b e

A V

,,2

2

,,,,,, '1''22

σ σ σ σ +⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +⋅−=+=

i

g t b b

v V V t b

e A

A ,,2

2

,, '1' 2

2σ

σ σ +⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +⋅

⋅−=

i

El acortamiento del hormigón en esa fibra vale:

b

g t b

b b

v V

b

V t b b E

e A E

A

E ,,

2

2,, '

1'

' 22σ σ σ

ε +⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +⋅

⋅

⋅==

i

… y es igual al acortamiento del acero:

t b '' ε ε =

Luego, la pérdida de tensión en el acero es:

b

v g t b

b b

v v V v t V E

E e E A

E A E

⋅−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +⋅

⋅

⋅⋅=⋅=Δ

,,2

21' 2

2

σ σ ε σ

i

Llamando:b

v

A A

=μ ,b

v

E E

n =

y teniendo en cuenta que 212 V V V σ σ σ Δ−=

212 V V V σ σ σ −=Δ

∴ ( ) g t b V V V n e

n ,,2

2

2121 σ σ σ μ σ ⋅−Δ−⋅⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +⋅⋅=Δ

i

Despejando2V σ Δ :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +⋅⋅+

⋅−⋅⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ +⋅⋅

=Δ

2

2

,,2

2

11

11

2

i

i

e n

n e

n g t b V

V

μ

σ σ μ

σ

10.2.b - Pérdida por retracción y fluencia lenta:

Se calcula igual que antes, pero para la retracción debe considerarse desde elinstante inicial, cuando el hormigón empieza a endurecer. Desde ese momento, elacero se adhiere al hormigón, y es arrastrado por éste en sus deformaciones.




86



UNI DAD 2: ESTRUCTURAS DE RI GI DEZ PARA CARGAS HORI ZONTALES

87

Son elementos estructurales que se disponen para asegurar la estabilidad de un edificio sometido acargas horizontales (viento y sismo).

1) Tabiques portantes.

2) Sistemas de vigas y columnas con rigidez en los nudos o encuentros (pórticos).

3) Combinación de tabiques y pórticos.

4) Cajas de ascensores y escaleras.

5) Sistemas reticulados.

1 - TABI QUES PORTANTES:

Para cargas horizontales, se los considera como una ménsula empotrada en la base.

Estudiaremos las diversas posiciones de los tabiques en una planta cualquiera.

UNI DAD 2: ESTRUCTURAS DE RI GI DEZ PARACARGAS HORI ZONTALES




88

1.1 - Sist emas isostát icos:

1.1.a - Caso de 2 tabiques:

Suponiendo las losas infinitamente rígidas en su plano, sea cual fuere la rigidez de lostabiques, aquella actúa como una viga; y las acciones sobre los tabiques son:

e b

H P ⋅=1 ye a

H P ⋅=2

En el caso particular de que 2e b a == es:

221H

P P ==

1.1.b - Caso de 3 tabiques, 2 de ellos perpendiculares a H:




89

Acciones sobre los tabiques:

H P =1 es: d H e P ⋅=⋅2

∴ 32 P

e

d H P =⋅=

1.2 - Sistemas hiperestáticos:

En este caso, es necesario recurrir a las deformaciones del sistema para hallar los esfuerzosque absorben los tabiques.

1.2.a - Hipótesis:

- Los entrepisos (Losas) son indeformables en su plano.

- Los tabiques están perfectamente empotrados en su base.

- La inercia de cada tabique es constante en toda su altura.

1.2.b - Caso de tabiques paralelos a la dirección H y simétricos:

Suponemos que la fuerza horizontal pasa por el eje del sistema (caso más común), y este ejecoincide con el eje de inercia. El eje de inercia es aquel que pasa por el Centro de Gravedad de las inercias de los tabiques.

Para visualizar el problema suponemos que los tabiques, debido a la fuerza H, reciben unaacción i P en la punta.

En realidad, si se trata de un edificio de varios pisos, existirá una fuerza horizontal en cadapiso; dicha fuerza será transmitida a los tabiques.

En el ejemplo planteado, el problema es calcular 1P , 2P , 3P y 4P .

Al estar vinculados por la losa, rígida en su plano, los tabiques sufren la misma deformaciónen la punta:




90

1

31

1 3 I E h P

T ⋅⋅

⋅=Δ⇒ (1)

2

32

2 3 I E

h P T

⋅⋅

⋅=Δ⇒ (2)

3

33

3 3 I E h P

T ⋅⋅

⋅=Δ⇒ (3)

4

34

4 3 I E h P

T ⋅⋅

⋅=Δ⇒ (4)

Siendo 1I , 2I , 3I e 4I los respectivos momentos de inercia de cada tabique.

Para el conjunto, ∑i I es:

∑⋅⋅

⋅=Δ

i I E

h H

3

3(5)

Haciendo (1) = (5) se obtiene:

∑⋅⋅

⋅=

⋅⋅

⋅

i I E

h H I E

h P

33

3

1

31

∑⋅

=i I

I H P 1

1

De la misma forma, haciendo (2) = (5); (3) = (5); (4) = (5) se obtiene:

∑⋅

=i

i i

I

I H P

Luego, los esfuerzos que absorben cada uno de los tabiques son proporcionales a las inerciasde cada uno. Por eso las columnas no absorben prácticamente ningún esfuerzo, debido a queposeen poca inercia. Es decir, son muy Flexibles .

Al existir simetría en la planta, el edificio sufrirá sólo una Traslación .




91

1.2.c - Caso de tabiques paralelos a la dirección del esfuerzo H y asimétricos:

El eje de inercia (eje por donde pasa el eje de gravedad de las inercias), se puede hallaranalíticamente considerando las inercias como fuerzas, y tomando momentos estáticos conrespecto a un eje conveniente (Por ejemplo, el eje de 1T o 3T ).

También se puede hallar gráficamente, por medio de un funicular de fuerzas:




92

Suponiendo que H actúa en el eje geométrico de la planta, colocando 2 fuerzas iguales ycontrarias en el eje de inercia nos quedan, actuando en dicho eje, una fuerza H y unmomento d H ⋅ .

El esquema (A) nos indica que la estructura sufrirá una TRASLACION . En esa etapa, lasfuerzas que absorben los tabiques serán:

∑⋅=

i

i i

I

I H F

El esquema (B) nos indica que la estructura sufrirá una ROTACION . Veremos cuales son lasfuerzas que coinciden sobre los tabiques, por efecto de aquel momento.

Recordemos que la deformación de una viga en voladizo, de una longitud h y una carga R,vale:

I E h R

⋅⋅

⋅=Δ

3

3

∴es: Δ⋅⋅⋅

=3

3

h

I E R




93

Pasando a nuestro problema:

131

1 3 Δ⋅⋅⋅=h

I E R ; 232

2 3 Δ⋅⋅⋅=h

I E R ; 333

3 3 Δ⋅⋅⋅=h

I E R

Haciendo: K h

E =

⋅3

3

111 Δ⋅⋅= I K R ; 222 Δ⋅⋅= I K R ; 333 Δ⋅⋅= I K R

Siendo: 11

22 Δ⋅=Δ

x x

; 11

33 Δ⋅=Δ

x x

( )1Δ=Δ f i

Es: 11

222 Δ⋅⋅⋅=

x x I K R ; 1

1

333 Δ⋅⋅⋅=

x x I K R

Debe verificarse: 332211 x R x R x R d H ⋅+⋅+⋅=⋅

11

23

311

22

2111 Δ⋅⋅⋅+Δ⋅⋅⋅+⋅Δ⋅⋅=⋅x x

I K x x

I K x I K d H

[ ] ∑ ⋅⋅Δ⋅

=⋅+⋅+⋅⋅Δ⋅

=⋅ 2

1

1233

222

211

1

1i i x I

x K

x I x I x I x

K d H




94

Siendo:1

11 I K

R ⋅

=Δ ∑ ⋅⋅⋅

⋅=⋅ 2

1

1

1i i x I

I K R

x K

d H

∑ ⋅

⋅⋅⋅=

211

1i i x I

x I d H R

De la misma forma, haciendo:

( )2Δ=Δ f i ∑ ⋅

⋅⋅⋅=

222

2i i x I

x I d H R

( )3Δ=Δ f i ∑ ⋅

⋅⋅⋅=

233

3i i x I

x I d H R

Sumando los efectos de Traslación y Rotación , se obtienen las fuerzas que actúan en cadatabique:

i i i R F P +=

(Ecuación 25)

El segundo término puede ser (+) o (-).

1.2.d - Caso particular: 0=d

Es el caso de tabiques simétricos; o puede darse el caso que, aunque exista ASIMETRIAgeométrica, exista simetría de inercias:

En ambos casos existirá sólo Traslación .

EN RESUMEN: debido a la Traslación y Rotación de la planta, se ubica de la siguiente manera:

∑∑ ⋅

⋅⋅⋅+⋅=

2i i

i i

i

i i

x I

x I d H

I

I H P




95

Es conveniente que d sea el menor valor posible. De acuerdo a la Ecuación 25, puede sucederque los tabiques trabajen en contra de H.

1.2.e - Tabiques perpendiculares al esfuerzo H:

Determinando los ejes de inercia según x e y, en la intersección de estos se obtiene o; que esel Centro de Inercia (centro de rotación de la planta). Teóricamente, un observador situadoen ese punto, no sufrirá los efectos de la rotación.

Por efecto de la Traslación se obtiene:

4T y 5T no absorben esfuerzos, debido a su escasa inercia.




96

Por efecto de la Rotación :

O sea, que 4T y 5T colaboran únicamente para la Rotación .

Disposición no recomendable:

Al no tener como reaccionar para la rotación, el esquema gira indefinidamente. O sea, que nosirve.

1.2.f - Aplicación a un edificio elevado:

Para efecto de viento:b H

=λ (esbeltez de edificio elevado).

Valores aprobados de λ : 105 ≤≤ λ




97

En Hormigón Armado , y siempre hablando de estructuras semi-protegidas por la densidad,para 5<λ es suficiente la rigidización de la misma con los elementos corrientes (columnas,cajas de ascensor y escalera); y no es necesaria la verificación.

Para 10>λ ya los problemas tecnológicos que aparecen hacen insoluble el problema.

b a ⋅≤ 5

Sobrepasando este límite, ya la hipótesis de que los entrepisos (losas) son indeformables ensu plano es muy dudosa; y habría que considerar el efecto de ésta deformación.

Una vez que cada tabique ha absorbido el esfuerzo producido en cada planta, se obtienen lassolicitaciones necesarias para el dimensionamiento de aquellos.

Sumando las cargas gravitatorias se obtienen las solicitaciones totales:

La fundación estará sometida a las siguientes solicitaciones:




98

1.3 – Tabiques paralelos y núcleo (de ascensor o escalera) conrigidez a torsión:

H: fuerza horizontal en cada piso

En cada piso, al momento d H ⋅ hay que restarle la reacción del momento torsor del núcleo.El esfuerzo final, después de la traslación y la rotación de cada tabique, será:

( )∑∑ ⋅

⋅⋅−⋅+⋅=

2i i

i i t

i

i i

x I

x I M d H

I

I H P

Debido a la rotación, por ejemplo tomando el tabique 1T , en cada piso o nivel adopta lassiguientes posiciones:




99

Asi, el 1T experimenta un desplazamiento

1'Δ en el 1º nivel

11 ''' Δ+Δ en el 2º nivel

111 '''''' Δ+Δ+Δ en el 3º nivel

Las rotaciones serán:

En el 1º nivel:1

11

'x Δ

=φ

Si h es la altura de cada piso, y 2I es el Momento de Inercia del núcleo.

Es:2I G

M

h

t

⋅

=

∂

∂φ (giro por unidad de altura del núcleo)

El Momento Torsor en el 1º nivel es:

1

121

21

'x h

I G h I G

M t Δ

⋅⋅

=⋅⋅

= φ

1

122

22

''x h

I G h I G

M t Δ

⋅⋅

=⋅⋅

= φ En el 2º nivel

1

123

23

'''

x h

I G

h

I G M t

Δ⋅

⋅=⋅

⋅= φ En el 3º nivel

Debe señalarse que 1''Δ es el desplazamiento del 2º nivel con respecto al 1º. De la mismaforma, 2φ es el ángulo de rotación del 2º nivel, con respecto al 1º nivel; siendo el ángulo totalgirado por el 2º nivel: 21 φ φ +

El esfuerzo final en 1T , debido a la traslación y a la rotación, vale:

( )∑∑ ⋅

⋅⋅−⋅+⋅=

21

11

1

11

i t

x I

x I M d H

I

I H P

Hablando de la rotación solamente, se tiene para 1T :

1º Nivel: ( )∑ ⋅

⋅⋅−⋅=

211

11'i i

t x I

x I M d H R

2º Nivel: ( )∑ ⋅

⋅⋅−⋅=

211

21''i i

t x I

x I M d H R (1)

…

Nivel n: ( )∑ ⋅

⋅⋅−⋅= 2111

i i tn n

x I x I M d H R




100

Desplazamientos en cada uno de los niveles para 1T debido a la rotación: (desplazamientostotales)

Recordando que en una viga empotrada la flecha, en el lugar de aplicación de la carga, es:

I E x R

f ⋅⋅

⋅=

3

3

Y recordemos que la flecha, en cualquier punto debido a una carga concentrada, es:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⋅

⋅⋅

⋅=

332

6 ll

l x x I E

R f x

Se puede expresar los desplazamientos, debido a la rotación de 1T , en función de los

esfuerzos 1'R ; 1''R ; 1'''R ; … ; etc.

( )111111 ;...;''';'';' n R R R R F f =

)111122 ;...;''';'';' n R R R R F f =

( )111133 ;...;''';'';' n R R R R F f = (2)

…

( )1111 ;...;''';'';' n n n R R R R F f =




101

Por otra parte, sabemos que:

1

12

1

121

'x f

h I

G x h

I G M t ⋅⋅=

Δ⋅

⋅= en el 1º nivel

( )1

1221122 '' x f f h I G x h I G M t −⋅⋅=Δ⋅⋅= en el 2º nivel

( )

1

232

1

123

'''x

f f h I

G x h

I G M t

−⋅⋅=

Δ⋅

⋅= en el 3º nivel (3)

…

( )

1

12

1

12

x f f

h I

G x h

I G M n n

n

tn −−

⋅⋅=Δ

⋅⋅

= en el nivel n

Reemplazando los valores de 1'R ; 1''R ; 1'''R ; … ; 1n R obtenidos en (1), que son funcionesde los ti M en (2), y los valores de i f en las ecuaciones (3); obtenemos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas ti M .

De esta forma obtenemos 1t M , 2t M , 3t M , … , tn M ; que son los momentos torsor queabsorbe el núcleo en cada piso.

Luego, aplicamos como siempre la ecuación i i i R F P += para sacar los esfuerzos en cadatabique. La variante es que ahora, para la rotación, se considera:

t M d H −⋅

1.4 – Tabiques con abert uras en todos los niveles, sit uadas en el ejedel mismo:

Existe un debilitamiento del tabique. Se considera que el conjunto está constituido por 2pantallas de igual ancho, unidas por elementos horizontales (dinteles) de poca rigidez; y estosempotrados en los tabiques.




102

Hipótesis:

2 puntos, 1 A y 1B de las fibras medias de los tabiques que están situados en un mismo plano(plano de la losa), antes de la deformación permanecen en un mismo plano después de ladeformación; y sufren iguales desplazamientos.

Si el punto de inflexión O está en el punto medio del dintel, se puede desmembrar lostabiques y colocar 2 fuerzas F, de tal modo que queden 2 ménsulas con desplazamientos

iguales a2h Δ

.

Es:J E

a F

h ⋅⋅

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅

=Δ

32

2

3

I: Momento de Inercia del dintel.




103

h a

J E h

a

J E F Δ⋅

⋅⋅=

Δ⋅

⋅⋅⋅=

33

122

83

El momento de empotramiento del dintel en 1C o 1D será:

262 a h J E a F M Δ⋅⋅⋅=⋅=

l+

Δ=

a h

φ ( )l+⋅=Δ a h φ

∴ ( ) φ ⋅+⋅⋅⋅

= la a

J E M

2

6

El momento, con respecto a las fibras medias de los tabiques, es:

( ) ( ) ( )2122 31

ll

l +⋅+⋅⋅

⋅⋅=

+⋅= a a a J E a F M A φ

∴ ( )

φ ⋅+⋅⋅⋅

=3

261 a

a J E M A

l

∴ φ ⋅= K M A 1

Es el momento en cada nivel, expresado en función de la rotación del tabique en ese nivel.

Recordando que:

Si en cada nivel actúa P, y dibujamos la deformación del tabique:

I: Momento de Inercia deltabique.




104

Se puede escribir el momento en cada nivel partiendo de la parte superior del tabique:

A B K h P M φ ⋅−⋅= (1)

Es:

I E

h K

I E

h P A B A

⋅

⋅⋅−

⋅⋅

⋅+= φ φ φ

2

2(2)

Esta expresión es la del giro en A, en función del giro en B, y delas acciones que actúan por encima de B.

Análogamente:

( )B A C K h P h P M φ φ +⋅−⋅+⋅⋅= 2 (3) (Ver figura 1)

Expresión que determina el momento en C, de las fuerzas exteriores que actúan por encimade ese nivel, considerado el tabique como ménsula.

Es: ( )I E

h K I E

h P I E

h h P B A C B ⋅

⋅+⋅−⋅⋅

⋅⋅+⋅

⋅⋅+= φ φ φ φ 2

22

(4)

Gráficamente:

Figura 1

De (2):

Se puede reemplazar: ( ) A f B φ φ =

De (4): ( ) A B f C φ φ φ ;= ( ) A f C φ φ =

Y así sucesivamente, se va calculando la rotación en cada nivel, en función de A φ .

Al llegar al empotramiento (nivel inferior) se debe plantear que 0=F φ , y entonces se puedecalcular A φ y luego las rotaciones en los otros niveles; ya que están todas en función de A φ .

El momento en cada nivel es:

A B K h P M φ ⋅−⋅=

( )B A C K h P h P M φ φ +⋅−⋅+⋅⋅= 2




105

Se obtendrá entonces como el momento en ese nivel, del medio tabique considerado comoménsula; disminuido por el momento debido a todos los dinteles situados por encima de esenivel.

En general:

( )I E

h K

I E h

Q I E

h M n n n n n

⋅⋅+++⋅−

⋅⋅⋅+

⋅⋅+= −−−− 121

2

110

1 ...2

φ φ φ φ φ

( )121110 ... −−− +++⋅−⋅+= n n n n K h Q M M φ φ φ

El momento de corrección originado por la reacción de los dinteles, tiende a enderezar lostabiques.

Momento de correcciónMomento exterior

como ménsula




106

1.5 – Tabiques con vari as hileras de abert uras:

Cada uno de los tabiques tiene el mismo desplazamiento debido a las cargas horizontales,siempre que ellos estén empotrados en la base y tengan I constante en toda la altura.

Esto implica que los giros son iguales en cada uno de ellos. En el caso de los tabiquesextremos, el problema es análogo a lo visto con 2 tabiques, pero en los intermedios es distinto.

En el caso del Tabique II: el momento de corrección, debido a las fuerzas 1F y 2F es:

( ) ( )222221 ll +⋅++⋅= b F a F M

Es:3

11

12

a

h J E F

Δ⋅⋅⋅= ;

32

212

b

h J E F

Δ⋅⋅⋅=

J: Momento de Inercia de los dinteles = cte.

Es: φ φ ⋅+⋅+

=⋅⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=Δ

22

222121

1llll a

a h

φ φ ⋅+⋅+=⋅⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ++=Δ 2222

32322llll

b b h




107

φ φ ⋅+⋅+

=⋅⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=Δ

22

224343

3llll b

c h

Reemplazando:

( ) φ ⋅+⋅+⋅⋅⋅= 2131 26 ll a a

J E F

( ) φ ⋅+⋅+⋅⋅⋅

= 3232 26

ll b b

J E F

( ) φ ⋅+⋅+⋅⋅⋅

= 4333 26

ll c c

J E F

Momentos de corrección en función de φ :

Tabique I:

( )2

111

l+⋅=

a F M

∴ ( ) ( ) φ ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅

= 12131 23

lll a a a

J E M

Tabique II:

( ) ( )22

22

212

ll +⋅++⋅= b F a F M

∴ ( ) ( ) ( ) ( ) φ φ ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅

+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅

= 232322132 23

23

llllll b b b

J E a a

a

J E M

Tabique III:

( ) ( )

22

33

323

ll +⋅+

+⋅=

c F

b F M

∴ ( ) ( ) ( ) ( ) φ φ ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅

+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅

= 343333233 23

23

llllll c c c

J E b b

b

J E M

Tabique IV:

( )2

434

l+⋅=

c F M

∴ ( ) ( ) φ ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅

= 44334 23

lll c c c

J E M

1K

1'K 2K

2'K 3K

3'K




108

El cálculo se puede hacer como en el caso de 1 tabique con 1 única hilera de aberturas,haciendo:

Tabique I: φ ⋅= 11 K M

Tabique II: ( ) φ φ φ ⋅+=⋅+⋅= 21212 '' K K K K M

Tabique III: ( ) φ φ φ ⋅+=⋅+⋅= 32323 '' K K K K M

Tabique IV: φ ⋅= 34 'K M

Donde los valores de i K y i K ' se sacan de las ecuaciones anteriores.

Si los desplazamientos y los giros son los mismos en todos los pisos de altura h, los momentosde corrección se repartirán proporcionalmente a las inercias de cada tabique. Entonces sepuede calcular el giro del tabique con inercia ∑ I en un nivel cualquiera, partiendo del nivel

superior y luego se reparte de acuerdo a las inercias de cada una.

( ) ( )∑∑∑∑∑ ⋅

⋅+++⋅+−⋅⋅

⋅+⋅

⋅+= −−−−I E

h K K

I E

h Q

I E

h M Q Q n n n n n 12111

01 ...'

2φ φ φ

El momento en el piso n:

( ) ( )n n n n K K h Q M M φ φ φ +++⋅+−⋅+= ∑∑−− ...' 21110

Siendo entonces:

:10

−n M Momento originado en el tabique suma considerado como ménsula, bajo elefecto de las cargas exteriores totales en el nivel 1−n .

:1−n Q Esfuerzo de corte en el nivel 1−n del tabique suma, bajo el efecto de lascargas exteriores totales.

:n M Momento modificado por la acción de los dinteles por encima del dintel de niveln.

Se opera igual que en el caso de 1 sólo tabique, con la precaución de tomar ∑ i I ; y luego sereparten los momentos en cada uno de los tabiques, de acuerdo a las inercias de cada uno.




109

2 - PORTI COS:

2.1 - Métodos aproxim ados:

Se pueden aplicar cuando:

- Las columnas de un mismo piso tengan todas la misma altura.

- Las rigidecesl

I de las vigas sean todas superiores a

51

de la rigidez de la

columna mas rígida.

Con estas condiciones, se admite que:

- Las fuerzas horizontales, que actúan sobre una fila de columnas, se reparten entrelas distintas columnas de esta fila; proporcionalmente a los Momentos de Inercia de las columnas. Los Momentos de Inercia de las columnas extremas se deben

afectar por el coeficiente 0,8.- Las columnas están empotradas a nivel de cada uno de los pisos, y articuladas en

el medio de la altura.

2.1.a – Caso de pórticos de 1 sólo nivel.

∑ ⋅+++⋅= 4321 8,08,0 I I I I I i

F I

I F

i

⋅⋅

=∑

11

8,0; F

I

I F

i

⋅=∑

22 ; F

I

I F

i

⋅=∑

33 ;

F I

I F

i

⋅⋅

=∑

44

8,0

Los momentos en la cabeza y en el pie de cada una de las columnas valen:

21 h F ⋅ ;22 h F ⋅ ;

23 h F ⋅ ;24 h F ⋅ (Son iguales en valor absoluto)




110

Los momentos en las vigas valen, respectivamente:

- En el nudo correspondiente a la columna 1:

21h

F ⋅−

- En el nudo correspondiente a la columna 2:

d

d

i

i

i

i

I I

I h

F

ll

l

+

⋅⋅−22 a la izquierda del nudo.

d

d

i

i

d

d

I I

I h

F ll

l

+⋅⋅− 22 a la derecha del nudo.

De igual forma para las columnas 3 y 4.

:i I Inercia de la viga a la izquierda del nudo.

:d I Inercia de la viga a la derecha del nudo.

:i l Luz de la viga a la izquierda del nudo.

:d l Luz de la viga a la derecha del nudo.

Se puede hacer:i

i i

I K

l= ;

d

d d

I K

l=

Diagrama Final:

Relación de ri idez




111

2.1.b – Caso de pórtico de varios niveles:

∑ ++++= ++ n i i i i F F F F F ...21

En el piso 1+i tendremos, de acuerdo a lo visto anteriormente, en el pilar 2 y enel nudo A:

- Momentos en las columnas:

22h

F M ⋅= s M para el pilar superior.

b M para el pilar inferior.

- Momentos en las vigas:

( )d i

d b s i K K

K M M M

+⋅+=

( )d i

i b s d K K

K M M M

+⋅+=




112

2.1.c – Método de Bowman:

Se obtienen resultados muy aproximados a los reales.

Se diferencia del anterior en la ubicación de los puntos de momento nulo ( ≠ a2h

).

2.2 - Combinación de t abiques y pórt icos:

El problema consiste en determinar los esfuerzos horizontales en los tabiques por

un lado, y en los pórticos por otro.




113

Una de las soluciones es atribuir una Inercia Ficticia a los pórticos, paraconsiderarlos así como si fueran un tabique más. Para ello se opera así:

1) Cargar el pórtico con una fuerza en cada piso (por ejemplo 1 t), y calcular losdesplazamientos en cada nivel.

2) Se aplica el mismo sistema de cargas a un tabique determinado de tal modoque, en cada nivel, los desplazamientos sean iguales a los obtenidos en el pórtico.Para ello se atribuye, en cada nivel, una inercia determinada al tabique. Estasserán las Inercias Ficticias que se atribuyen al pórtico, y se opera como si fuerantodos tabiques.

Esto es válido pensando que la losa tiene rigidez infinita en el plano. Se operacomo ya se ha visto, como si fueran tabiques paralelos que sufren el mismodesplazamiento en cada piso.

2.3 - Pórt ico y tabique en un mismo plano:

Se puede estudiar así:

1º) Se supone que la totalidad del esfuerzo lo absorbe el tabique. Se calculan losdesplazamientos en cada nivel.




114

Se determinan las reacciones del pórtico, en la hipótesis de que está sometido alos mismos desplazamientos que la pantalla.

2º) Se calculan los desplazamientos del tabique, sometiéndolo a los esfuerzosexteriores, disminuidos por las reacciones del pórtico de acuerdo a lo calculadoen el punto anterior (1º).

Se tienen así 2 casos límite (tabique sólo con todos los esfuerzos exteriores y conéstos disminuidos por las reacciones del pórtico con desplazamientos más grandesque los reales).

La flecha exacta del conjunto pórtico-tabique se sitúa entre estos 2 valores. Elproblema se resuelve por iteración, de la forma siguiente:

Se toma, como desplazamiento de cada nivel, la media aritmética de losobtenidos en (1º) y (2º). A estas flechas impuestas al pórtico lecorresponden reacciones determinadas.

El tabique estará solicitado por la totalidad de los esfuerzos externosrestados de las reacciones del pórtico. Se obtienen así deformaciones en eltabique que deben coincidir con las de partida.

Si no es así, se deberá adoptar una nueva flecha entre la de partida y lacalculada. Se sigue iterando hasta obtener esta coincidencia.

2.4 - Est ruct ura compuesta por pór t icos paralelos:

Si la estructura es simétrica y los pórticos tienen la misma rigidez, debido a larigidez infinita de la losa los pórticos estarán sometidos al mismo esfuerzohorizontal en cada piso.

Cuando no hay simetría, o no son de distinta rigidez, se procede así:

1º) Se somete a todos los pórticos a una fuerza igual a 1 t en cada piso.

2º) Se supone, en una primera instancia, que la fuerza H es absorbida únicamentepor los pórticos extremos 1 y 4.




115

3º) Con esta hipótesis, en cada uno de los pórticos extremos actuará2H

. Por lo

hecho en (1º) sacamos 1Δ y 4Δ .

Se determinan, por compatibilidad, 2Δ y 3Δ .




116

4º) Con 2Δ y 3Δ sacamos 2F y 3F con auxilio de lo calculado en (1º).

5º) Se descomponen 2F y 3F en 1'F y 4'F .

6º) Se calculan las flechas 1'Δ y 4'Δ que tomarán los pórticos 1 y 4, actuando

1'2F

H − y 4'2

F H

− en 1 y 4 respectivamente.

Hemos obtenido:

- 1Δ y 4Δ , con todo el esfuerzo2H

a 1 y 4. Se obtienen flechas

máximas (la más grande que podría soportar, como si no existieran 2 y3).

- 1'Δ y 4'Δ , suponiendo que actúa, en 1 y 4,2H

; restado de las

reacciones de los pórticos 2 y 3 con los más grandes desplazamientosque podrían tener. Luego, es el mínimo desplazamiento que podrían

tener los pórticos 1 y 4. Luego, los desplazamientos de 1 y 4 estaránentre estos 2 valores límites. Se opera por iteración, adoptando comovalor inicial, una flecha media:

2'11

1Δ+Δ

=Δm ;2

'444

Δ+Δ=Δm

Con estos valores se determinan 2m Δ y 3m Δ , y calcular 1'm F y 4'm F (como se hizo en 5º). Si ahora se calculan las flechas de 1 y 4 con esteesquema:




117

… y nos da las flechas iguales a 1m Δ y 4m Δ inicial, el problema estáterminado. De no ser así, con este último esquema sacamos flechas 1''Δ y

4''Δ . Se aplica el mismo procedimiento adoptando2

'' 11 Δ+Δm y

2'' 44 Δ+Δm . Se itera hasta que exista coincidencia.




118



UNI DAD 3 : EFECTOS DEL VI ENTO

119

1 – MÉTODO ESTÁTI CO SEGÚN CI RSOC 102:

Para evaluar la acción del viento sobre las construcciones, se seguirán los siguientesdetallados a continuación.

1.1 – Velocidad de referencia: ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡seg m

En la Tabla 1 figura el valor a adoptar para distintas localidades. Si la localidad no figura, sedetermina de la Figura 4 (Mapa) , interpolando o tomando el valor máximo de la Isoyeta correspondiente al lugar.

1.2 – Velocidad básica de diseño: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

seg m V 0

β ⋅= p C V 0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

seg m

: p C Coeficiente de velocidad probable. Varía de acuerdo con el tipo y destino de laconstrucción. El valor se saca de la Tabla 2 .

1.3 – Cálculo de la presión dinámica: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡20 m

KN q

200 000613,0 V q ⋅= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡2m

KN

221001

m

Kg

m

KN =

UNI DAD 3: EFECTOS DEL VI ENTO




120

1.4 – Cálculo de la presión d inám ica de cálculo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2m

KN z q

d z z C C q q ⋅⋅= 0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2m

KN

Siendo:

:z C Coeficiente que expresa la ley de variación de la presión con la altura, y toma enconsideración la condición de rugosidad del terreno.

:d C Coeficiente de reducción que tiene en cuenta las dimensiones de la construcción.

Esta expresión conduce a diagramas de presión dinámica de cálculo, variables con la altura.

Las rugosidades se pueden dividir en tipos: I, II, III, IV; y se pueden visualizar en las Figuras 5 a 10 .

Los valores de z C se pueden sacar de la Tabla 4 .

Los valores de d C se pueden sacar de la Tabla 5 , en función de

0V h

y (h a

óh b

) para cada tipo de rugosidad.

Debe tomarse siempre 65,0>d C .

1.5 – Cálculo de las acciones unit arias:

1.5.a – Para construcciones prismáticas: (edificios elevados)

d

h 0=λ

Prisma de 4 lados, según Tabla 10 : Categoría I.




121

En general:

z q C w z ⋅⋅= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2m

KN

:z w Acción unitaria.

:C Coeficiente de presión. Depende de la forma geométrica de la construcción.

:e C Coeficiente de presión exterior.

Para nuestro caso:

80,0+=e C Para la cara a barlovento.

( )80,030,1 −⋅−= γ e C Para la cara a sotavento.

:γ Se saca de la Figura 22 , entrando con λ y la curva de 0γ , que corresponde aconstrucciones que no están separadas del suelo.




122



UNI DAD 4: ESTRUCTURAS SI SMORRESI STENTES

123

1 – CALCULO ANTI SI SMI CO:

1.1 – I nt roducción:

Existen varias teorías sobre el diseño de estructuras antisísmicas. Algunas personas dicen quelas estructuras rígidas soportan mejor los terremotos. Otras dicen que una estructura flexible,aunque se deforme, deja pasar el sismo sin oponer resistencia.

La realidad es que la estructura debe ser lo suficientemente fuerte a fin de evitar el colapso;pero razonablemente dúctil para que disipe, en deformaciones plásticas, parte de la energíasísmica absorbida.

1.2 – Concepto de duct ilidad:

En un elemento estructural se puede definir la ductilidad como la capacidad de adquirirdeformaciones, sin presentar disminución alguna de su resistencia.

La ductilidad corresponde entonces a un comportamiento NO-Elástico del material, ya queimplica la fluencia del mismo.

Hay que distinguir entre la ductilidad del material y la del elemento estructural. Por ejemplo: elacero común presenta buenas condiciones de ductilidad, pero una columna de acero muyesbelta puede fallar por inestabilidad elástica o pandeo, demostrándose su falta de ductilidad.

El comportamiento opuesto a la ductilidad es la fragilidad.

UNI DAD 4: ESTRUCTURASSI SMORRESI STENTES




124

La ductilidad μ del material se define como la relación entre el punto “último ” a partir del cualla resistencia decrece continuamente hasta la rotura R ε , y la deformación en el punto defluencia f ε :

f

R

ε

ε μ = “A mayor resistencia, menor ductilidad”.

Para un elemento estructural cualquiera:

f R

ΔΔ=μ

La ductilidad de una sección cualquiera del elemento se determina del diagrama Carga- Deformación , en donde R Δ es la deformación última y f Δ la de fluencia.

Si el elemento está sometido a flexión, la ductilidad se saca del diagrama Momento-Curvatura .

f

R

φ

φ μ =




125

Este último diagrama es de gran importancia en el diseño de estructuras para cargasdinámicas. Es la forma más rápida de visualizar que tan dúctil y tan resistente es un elementoestructural, y de llegar al compromiso óptico entre estas 2 cualidades.

Además, el área bajo la curva φ −M representa la energía interna.

A: Área bajo la zona elástica: representa la energía de deformación acumulada en elelemento.

B: Área bajo la zona después de la fluencia: representa la energía disipada en lasdeformaciones plásticas del elemento.

Esto se comprueba, por ejemplo, al hacer 1 ciclo de carga y descarga en un elemento.

Durante el proceso de carga el elemento se deforma: primero plásticamente hasta el punto defluencia, y luego elásticamente hasta que se suspende la carga; si se hace la descarga, lacurva es paralela a la elástica pero dejando una deformación permanente 1φ .

De la energía total suministrada T E sólo se recupera, al descargar el elemento, una porciónaproximadamente igual a la de la energía de deformación d E ; el resto se consumió en vencerlas fricciones internas en la rotación plástica.

Un comportamiento de esta naturaleza ofrece un excelente mecanismo de para disipar, almenos, parte de la energía que el sismo genera a la estructura.




126

Las deformaciones plásticas son visibles y permanentes, pero se pueden prever como unrecurso que entra en acción únicamente en el momento de un terremoto excepcional, deprobabilidad muy baja en el tiempo.

Una estructura que funcione elásticamente, aún en el más intenso de los sismos, se sale decualquier presupuesto. Por el contrario la estructura dúctil en exceso y poco resistente

ocasionará frecuentes y costosas reparaciones, y hasta quedará inutilizada para un sismo demediana magnitud.

Entonces se debe fijar un criterio de diseño racional: la estructura ha de soportarelásticamente los sismos más frecuentes, y tener una reserva de ductilidad suficiente paraabsorber la energía adicional de aquellos terremotos fuertes que se puedan presentar menosfrecuentemente.

1.3 – Element os que aumentan la ductil idad en una pieza dehormigón arm ado:

- Inclusión de armadura en la zona de compresión (en el trabajo a flexión).

- Refuerzo transversal, aumentando la cantidad de estribos (el corte ofrece unarotura frágil). Además los estribos cerrados confinan el hormigón.

- La ductilidad de un elemento disminuye cuando existen esfuerzos normales. A lascolumnas sometidas a flexo-compresión es conveniente reforzarlas con estriboscerrados; por un lado para confinar el hormigón, y por otro para excluir una fallapor esfuerzo cortante.

2 – PROCEDI MI ENTO DE CALCULO SEGÚN REGLAMENTO I NPRES-CI RSOC:

2.1 – Zonificación: (Capítulo 3)

Se divide al país en 5 zonas, de acuerdo a la peligrosidad sísmica:

ZONA PELIGROSIDAD SÍSMICA

0 MUY REDUCIDA

1 REDUCIDA

2 MODERADA

3 ELEVADA

4 MUY ELEVADA

2.2 – Agrupamient o: (Capítulo 5)

Se agrupan las estructuras según su destino y funciones:

Grupos: 0 A , A , B , C .




127

2.3 – Factor de riesgo: d γ (Punto 5.2)

CONSTRUCCION FACTOR DE RIESGO

Grupo 0 A 1,40

Grupo A 1,30

Grupo B 1,00

Para el Grupo C no se necesita hacer un cálculo sísmico.

2.4 – Condiciones locales del suelo:

Se clasifican los suelos en: Dinámicamente Inestables y Estables . (Capítulo 6)

Los suelos Dinámicamente Estables se dividen en 3 grupos:

Tipo I (Ver Tabla 3 )

Tipo II

Tipo III

2.5 – Espect ros para acciones sísmi cas hor izont ales:

La excitación sísmica se cuantifica a través de los espectros de aceleraciones equivalentes oespectros de pseudo-aceleraciones .

Se obtiene un valor a S , que es la pseudo-aceleración elástica expresada como fracción de laaceleración de la gravedad. Depende del tipo de suelo y la Zona que se trate.

La Tabla 4 brinda los valores necesarios.

Ejemplo:

Para Zona 1

Suelo Tipo I:T Período de vibración genérico, expresado en segundos.




128

Estos espectros consideran un amortiguamiento:

%5=ξ

2.6 – Ductil idad nominal: μ

Se establece el valor de μ para los distintos tipos estructurales.

Ejemplo: tabiques portantes de hormigón armado diseñados con cierta ductilidad, 6=μ .

2.7 – I nfl uencia de la capacidad de disipación de energía de laest ruct ura m ediante deformaciones anelást icas:

Se tendrá en cuenta un factor de reducción R, para la valoración de las fuerzas sísmicas,teniendo en cuenta lo dicho en el título.

Es una reducción de las ordenadas a S visto en el punto (2.5 ).

El valor R depende de la ductilidad global de la estructura y del período de vibración que seconsidere:

( )1

11T T

R ⋅−+= μ para 1T T ≤

μ =R para 1T T >

:T Período de vibración que se considere, en segundos.

:μ Ductilidad global de la estructura.

2.8 – Valoración de la ductili dad global de la estru ctura:

Se establece en función de la ductilidad μ y de la posibilidad de que la mayor parte de laestructura participe en la disipación de la energía por deformaciones anelásticas.

Para considerar esto se introduce el Índice de Sobre-Resistencia , que se define como larelación entre la capacidad resistente EFECTIVA de un nivel y la capacidad resistenteREQUERIDA por las secciones de diseño en ese nivel (Ver pág. 34 INPRES-CIRSOC).

2.9 – Cargas gravitator ias:

k k k L G W ⋅+= η

:k W Carga gravitatoria que actúa en el nivel k .

:k G Carga gravitatoria permanente.

:k L Carga accidental.

:η Factor de simultaneidad (fracción de la sobrecarga de servicio a considerar). Estefactor se saca de la Tabla 6 .




129

2.10 – Cri terios de análisis y diseño:

Toda construcción, y cada uno de sus componentes, deberá ser proyectada, ejecutada ymantenida para resistir como mínimo las acciones sísmicas indicadas a continuación.

2.11 – Sim ult aneidad de efectos de las acciones sísmicashorizontales:

En edificios regulares en planta y elevación, se considerará para el diseño los valores másdesfavorables que se obtengan de combinar:

- Carga Gravitatoria ± Sismo Dirección 1.

- Carga Gravitatoria ± Sismo Dirección 2.

En elementos verticales, comunes a 2 planos sismorresistentes o elementos importantes:

- Carga Gravitatoria ± Sismo Dirección 1 ± 0,3 . Sismo Dirección 2.

- Carga Gravitatoria ± Sismo Dirección 2 ± 0,3 . Sismo Dirección 1.

2.12 – Direcciones de análisis:

Se refiere a la consideración de las direcciones, según exista o no, simetría en la construcción.

Se considera como Nivel Base , el correspondiente a la unión de la estructura con la fundación,o el plano horizontal a partir del cual se producen deformaciones apreciables.

2.13 – Período fundam ental de vibr ación:

Fórmula empírica que se puede utilizar:

d h

T n e

⋅++⋅=

301230

1000l

[ ]seg

:0e T Período fundamental de vibración del edificio, en la dirección analizada.

:n h Altura total del edificio, medido entre el Nivel Base y el último nivel típico, expresadoen metros.

:l Longitud del edificio, en metros, en la dirección analizada.

:d Densidad de muros. Cociente entre el área de la sección horizontal de los muros,ubicados según la dirección analizada, y el área de la planta tipo.




130

3 – METODOS DE ANALI SI S:

- Método estático (con fuerzas estáticas equivalentes).

-

Método aproximado.- Métodos dinámicos.

3.1 – Método estát ico:

Consiste en considerar la excitación sísmica mediante fuerzas horizontales, proporcionales alas cargas gravitatorias:

W C V ⋅=0

Siendo: ∑=

=n

i i W W

1

:0V Esfuerzo de corte en la base.

:C Coeficiente sísmico de diseño.

:W Carga gravitatoria total de la construcción, sobre el Nivel Base .

:i W Carga gravitatoria concentrada en el Nivel i.

3.1.a - Coeficiente sísmico de diseño:

R S

C d a γ ⋅=

:a S Pseudo-Aceleración elástica horizontal.

:d γ Factor de riesgo.




131

:R Factor de reducción por disipación de energía.

Fuerzas sísmicas laterales en el Nivel k :

0

1

V

h W

h W F

n

i i i

k k k ⋅

⋅

⋅=

∑=

Esfuerzo de corte en el Nivel k :

∑=

=n

k i i k F V

:k F Fuerza sísmica en el Nivel k .

:; k i W W Cargas gravitatorias concentradas en los Niveles i o k , respectivamente.

:; k i h h Alturas de los Niveles i o k , medidas a partir del Nivel Base .

Si el Período Fundamental es mayor que 22 T ⋅ , la distribución en altura se realizará de lasiguiente manera:

- Para niveles intermedios:

0

1

V

h W

h W F

n

i i i

k k k ⋅

⋅

⋅⋅=

∑=

α

- Para el último nivel:

( ) 0

1

1 V

h W

h W F

n

i i i

k k n ⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⋅

⋅⋅=

∑=

α α

Siendo:2

20

102

1T

T T ⋅

⋅−−=α con 1≤α

Momentos de vuelco:

∑=

⋅⋅=n

i

i i f h F M 1

*9,0

:*i h Altura del Nivel i de la construcción, a partir

del plano de fundación.




132

3.2 – Efectos t orsionales:

De acuerdo a las distintas configuraciones de las plantas de las estructuras, se define:

Centro de Masas (C. M.): Baricentro de las cargas gravitatorias operantes.

Centroide de sistemas sismorresistentes verticales (C. S.): Baricentro de los Momentos de Inercia de los componentes verticales de los sistemas sismorresistentes (columnas, tabiques),con respecto a su Eje Principal , normal a la dirección analizada.

Centro de Rigidez (C. R.): Punto de un nivel o planta en el que, aplicando una fuerzahorizontal cualquiera como acción única, sólo produce una traslación del nivel.

Excentricidad Geométrica: Distancia entre C. M. y C. S., medida perpendicularmente a ladirección analizada.

Excentricidad Estructural: Distancia entre C. M. y C. R., medida perpendicularmente a ladirección analizada.

3.3 – Procedimient o para considerar l a tor sión:

3.3.a – Caso a: Estructuras con 2 ejes de simetría

Se consideran como tales, todas las estructuras que presenten las siguientes características:

- En ninguna planta la Excentricidad Geométrica supera el 5% de la mayordimensión en planta, medida en sentido perpendicular a la dirección analizada.

- Los Centroides de sistemas sismorresistentes , correspondientes a los distintosniveles, se encuentran aproximadamente alineados en posición vertical.

- Los Centros de Masas , correspondientes a los distintos niveles, se encuentranaproximadamente alineados en posición vertical.

Cuando se cumplan estas condiciones, el Momento Torsor en el Nivel k se determina con lassiguientes fórmulas:

( ) k Tk V e M ⋅⋅+⋅= l10,050,1 1

( ) k Tk V e M ⋅⋅−= l10,01

Se toman los valores másdesfavorables




133

Siendo:

:Tk M Momento Torsor en el Nivel k .

:k V Esfuerzo de corte en el nivel k .

:1e Distancia entre C. S. del Nivel k y la línea de acción del esfuerzo de corte, medidaperpendicularmente a la dirección considerada.

:l Máxima dimensión en planta, medida perpendicularmente a la dirección de k V .

3.3.b – Caso b: Estructuras asimétricas constituidas por planos sismorresistentes verticales, de comportamiento similar

Se consideran como tales, aquellas estructuras formadas sólo por pórticos, sólo por tabiques omuros; sin que exista combinación de ellos.

Los Centros de Masas y los de Rigidez se encuentran aproximadamente alineados, endirección vertical.

La excentricidad estructural, en ningún nivel, supera el 25% de la mayor dimensión en planta,medida perpendicularmente a la dirección considerada.

El Momento Torsor en el Nivel k vale:

( ) k Tk V e M ⋅⋅+⋅= l07,050,1 3

( ) k Tk V e M ⋅⋅−= l07,03

Siendo 3e la distancia entre el Centro de Rigidez del Nivel k , y la línea de k V .

3.3.c – Caso c: Estructuras asimétricas constituidas por planos sismorresistentes verticales, de comportamiento diferente

Se consideran de este tipo las estructuras que posean las siguientes características:

- En ninguna planta la Excentricidad Geométrica es menor que el 5%, ni mayor queel 25% de la mayor dimensión de la planta, medida perpendicularmente a ladirección analizada.

- Los C. S. y C. M. se encuentran aproximadamente alineados en dirección vertical.

En este caso se hace un análisis estático, acoplando traslaciones y torsiones. En dicho análisisse deberá tener en cuenta las fuerzas estáticas equivalentes, correspondientes a loscomponentes de la construcción.

Las torsiones accidentales se tendrán en cuenta aplicando, en cada Nivel, una cupla torsora devalor:

k tk F m ⋅⋅±= l12,0

Las cuplas así definidas se supondrán todas actuando en el mismo sentido, pero seexaminarán 2 estados de carga independientes, con ambos sentidos de giro.

Se toman los valores másdesfavorables




134

3.3.d – Caso d: Estructuras no encuadradas dentro de los casos anteriores

Deberá realizarse un análisis dinámico, considerando el acoplamiento de traslación y torsión.

3.4 – Lími t es de aplicación del Método Estát ico:

La aplicación del Método Estático esta limitado al cumplimiento de las siguientes condiciones:

- La altura total de la construcción, medida desde el Nivel Base , no debe superar losvalores de la Tabla 11:

- Las estructuras del Grupo 0 A cuyas fallas puedan tener consecuenciascatastróficas sobre la población (gases y líquidos tóxicos, radiación), no podrán seranalizadas por el Método Estático .

- El Período Fundamental de vibración 0T debe ser:

20 3 T T ⋅<

:2T Período de vibración correspondiente al fin del plafón.

- La estructura debe encuadrarse dentro de los casos a), b) y c) de losprocedimientos, para considerar torsión.

- En elevación, la estructura no presenta cambios bruscos de rigideces ni de masas.

3.5 – Component es de la const rucción:

Todo componente de la construcción, que no forma parte de la estructura principal, deberáser diseñado para resistir la fuerza sísmica sobre él. Además debe estar vinculado a laestructura principal, para transferirle dichas fuerzas.

3.5.a – Fuerza estática equivalente: Se deberá considerar una fuerza p F , aplicada en el Centro de Gravedad , para comprobar la

propia estabilidad y resistencia de un componente ubicado en el Nivel k ; cuyo valor es:

p pk p W C F ⋅=

Siendo:

: p F Fuerza estática equivalente.

: p W Peso del componente considerado.




135

: pk C Coeficiente sísmico correspondiente al componente ubicado en el Nivel k de la

construcción. Este coeficiente vale:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅⋅⋅= s

k

k r p pk a

W F

C 50,1γ γ

: p γ Coeficiente del tipo de componente indicado en Tabla 13 (INPRES-

CIRSOC)

:r γ Coeficiente de ubicación del componente indicado en la Tabla 13 (INPRES-CIRSOC)

:k F Fuerza sísmica horizontal operante en el Nivel k de la construcción.

:k W Carga gravitatoria supuesta concentrada en el Nivel k .

:s a Ordenada al origen del espectro de Pseudo-Aceleraciones , quedepende de la zona sísmica y del tipo de suelo de fundación.

3.6 – Fuerzas sísmicas verticales:

La componente vertical de la excitación sísmica no es necesario considerarla, excepto en lassiguientes componentes estructurales:

- Caso a: Voladizos, balcones y aleros.

- Caso b: Cubiertas de edificios industriales de luces considerables. Miembroshorizontales de estructuras de Hormigón Pretensado.

- Caso c: Estructuras especiales, estructuras con saliente, etc.

Estos elementos se supondrán sometidos a fuerzas verticales proporcionales a los pesos:

W C F d v v ⋅⋅±= γ

Siendo:

:v F Fuerza sísmica vertical, asociada a la carga gravitatoria W.

:v C Coeficiente sísmico vertical, dado en la Tabla 10 .

:d γ Factor de riesgo, según (2.3).

:W Carga gravitatoria.

Además, para el Caso a , se comprobará la componente estructural considerando una fuerzavertical neta vn F , no superpuesta a la carga gravitatoria:

W C F v vn ⋅⋅−= 25,0

Los valores del coeficiente sísmico vertical v C se indican en la Tabla 10 . Para estructuras

correspondientes al Caso c , los valores de dicho coeficiente se determinarán mediante lautilización de los espectros de respuesta.




136

3.7 – Método Estát ico sim plif icado:

Consiste en controlar , en cada nivel de la construcción, las tensiones de corte que seproducen en los planos sismorresistentes verticales, considerando las acciones sísmicashorizontales según 2 direcciones ortogonales independientes.

Si se cumplen las condiciones de aplicabilidad del método, no es necesario considerar losefectos de momentos de vuelco y torsores.

3.7.a – Condiciones para la aplicación del Método Estático Simplificado:

Se deben cumplir, simultáneamente, las siguientes condiciones:

- Por lo menos el 80% de las cargas verticales actuantes en la estructura deben ser

soportadas por muros de mampostería encadenada o tabiques sismorresistentesde hormigón armado, vinculados entre sí por losas rígidas en su plano. La alturadel edificio no excederá de 12 m.

- La relación entre la altura total de la construcción n h y la menor dimensión 0b delrectángulo que circunscribe la planta del edificio no superará los valores límitesindicados en la Tabla 12 :

- En alguna dirección deben existir 2 planos sismorresistentes verticales perimetrales,paralelos o que formen entre sí un ángulo menor que 20º; estando cada uno deellos ligados a las losas en por lo menos una fracción 1λ de la longitud de la plantaen la dirección de estos planos. Los valores mínimos, a continuación:




137

- En la dirección analizada debe existir por lo menos 1 plano sismorresistentevertical que esté ligado a las losas en por lo menos una fracción 2λ de la longitudde la planta en la dirección analizada; o 2 planos sismorresistentes verticales queestén ligados a las losas en por lo menos una fracción 1λ de la longitudcorrespondiente. Los valores mínimos, a continuación:

- La relación entre la dimensión mayor y la menor del rectángulo que circunscribe laplanta del edificio, no debe ser superior a 2.

3.7.b – Esfuerzo de corte en la base:

W C V ⋅=0

Siendo:



:W Carga gravitatoria total de la construcción sobre el Nivel Base .

3.7.c – Coeficiente sísmico de diseño:

d n C C γ ⋅=

Siendo:


:d γ Factor de riesgo, según (2.3).




138

:n C Coeficiente normalizado, que depende de la zona sísmica y de la capacidad dedisipación de energía.

3.7.d – Distribución en altura de fuerzas sísmicas laterales:

0

1

V

h W

h W F

n

i i i

k k k ⋅

⋅

⋅=

∑=

Siendo:

:k F Fuerza sísmica lateral ubicada en el Nivel k , y asociada con la carga gravitatoria k W .

:; k i W W Cargas gravitatorias supuestas concentradas en el Nivel i o k .

:h; k i h Altura de los Niveles i o k , medidos a partir del Nivel Base .


3.7.e – Tensiones de corte límites:



UNI DAD 5: VI GAS DE GRAN ALTURA

139

1 – GENERALI DADES:

El límite entre vigas esbeltas y vigas de gran altura se establece según la distribución de lasdeformaciones x ε . Las siguientes figuras establecen las esbelteces límite de las vigas de granaltura:


5,2<d l

2<d l

3<d l




140

2 – TENSI ONES EN EL ESTADO I :

La teoría de flexiónW M

=σ ya no es aplicable para vigas de gran altura y ménsulas cortas;

pues, por efecto de la aplicación de las cargas, las secciones no se mantienen planas despuésde la deformación (Bernoulli, diagrama de x ε lineal). La distribución de tensiones x σ ya noes lineal.

Tampoco se pueden despreciar las tensiones y σ y las de corte xy τ .

A los fines prácticos, para el dimensionamiento en Hormigón Armado, es suficiente conocer elcomportamiento de las tensiones en el Estado I ; y en especial la intensidad y la dirección delas tensiones principales.

3 – ESFUERZOS CARACTERÍ STI COS Y TENSI ONES EN VI GAS DE GRANALTURA:

Los esfuerzos característicos se calculan igual que para cualquier otra estructura.

Cuando se trata de sistemas hiperestáticos, una variación muy pequeña de las deformacionesverticales de los apoyos trae aparejada una variación considerable de las reacciones de vínculo,debida a la gran rigidez de la viga.

El punto de aplicación de la carga tiene una influencia considerable en las tensiones, de modoque debe diferenciarse si la carga actúa en la parte superior o cuelga de la parte inferior.

El tipo de apoyo también influye notablemente (directos o indirectos, etc.). La mejor forma devisualizar el comportamiento de una viga de gran altura es mediante ejemplos.

3.1 - Tensiones en vigas de gran alt ura de 1 sólo t ramo:

3.1.a - Cargas uniformemente distribuidas:

10,0=l

c :c ancho del apoyo

1≤d k l




141

4=d l

Es:l⋅⋅= p Z 75,0

2=d l

Es:

l⋅⋅= p Z 38,0

1=d l

Es:

l⋅⋅= p Z 20,0




142

Si hacemos un gráfico de la variación de Z y z con la relaciónd l

, vemos que las diferencias

en el brazo de palanca interno comienzan a manifestarse a partir de 22

=l

:

1<d l

Es:

ll

ll

⋅⋅<<⋅⋅

⋅⋅<<⋅⋅

p Z p p z p

20,016,078,062,0




143

Para 1≤d l

, a pesar de que el brazo de palanca elástico sigue reduciéndose, los valores de z

varían muy poco. Es decir que sólo la parte inferior de una altura l≅ colabora en laresistencia, y que la parte que queda por encima actúa como una carga uniforme.

Para el caso 1=d l

:

CARGA EN EL BORDE SUPERIOR CARGA EN EL BORDE INFERIOR

TENSIONES XY τ SON IGUALES PARA CARGAS ARRIBA O ABAJO




144

Las figuras muestran la influencia de las distintas formas de aplicar la carga sobre las

tensiones y sus trayectorias, para el caso 1=d l

.

x σ y xy τ son las mismas para ambas formas de aplicación de las cargas, y únicamente las

y σ son distintas y modifican las trayectorias de las tensiones principales I σ y II σ . Dichamodificación de las tensiones principales afecta el comportamiento bajo las cargas.


TRAYECTORIAS DE I σ y II σ :





145

Para carga superior sólo existen tensiones de tracción en la parte inferior y de muy pocainclinación.

Cuando se trata de carga suspendida en la parte inferior, las tensiones de tracción son muyempinadas y se extienden en casi toda la altura de la viga. Entonces la carga debe ser anclada,mediante armaduras verticales, a los arcos comprimidos de descarga.

El peso propio de la viga de gran altura conduce a una distribución de tensiones ubicada entrelos 2 casos vistos. La parte comprendida un poco por debajo de una parábola, que pasa porlos apoyos y con una flecha u x y ⋅= 5,1 (1,5 veces la distancia del eje neutro al borde inferior)debe, en consecuencia ser colgada, lo que exige siempre una ligera armadura vertical.

3.1.b - Cargas concentradas:

Debajo de la carga se originan tensiones de compresión y σ ; pero a medida que la viga se

hace más esbelta, las tensiones x σ se incrementan.

Para vigas de muy gran altura, por ejemplo 5,0=d l

, se forma una zona de distribución

cte y =σ . A partir de l=d , el diagrama de tensiones x σ es igual al de la viga de esas

dimensiones con carga uniforme en el borde superior.

1<d l

1>d l




146

3.2 - Tensiones en vigas de gran altura cont inuas:

3.2.a - Cargas uniformemente distribuidas:

Cuando se trata de vigas de gran altura de varios tramos (suponiendo apoyos indeformables)

se tiene para el tramo, para2l

, los mismos diagramas de tensiones que para la viga de 1

tramo.Se tienen concentraciones de tensiones x σ y y σ en los apoyos. También allí se concentran

las tensiones de corte.




147

TENSIONES Y σ EN VIGAS CONTINUAS: ( 5,1=d l

)




148

3.2.b - Trayectoria de las tensiones principales en 1 tramo intermedio de una

viga continua con 1=d l :

Se obtienen los mismos valores de Z y z.

Las máximas tensiones de compresión se producen sobre los apoyos, alcanzando un valormáximo:

b c p

y II ⋅

⋅=≈

lσ σ

… sobre el eje de los mismos.




149

La longitud c de los apoyos, y el espesor b de la chapa deben dimensionarse para obtener unaseguridad suficiente a la compresión.

La zona de tracción, sobre el apoyo, se extiende a una parte considerable de la altura de la

viga, y la tensión de tracción alcanza su valor máximo por debajo de2d

cuando se tiene

5,1≤d l

. Esta circunstancia debe tenerse en cuenta al proceder a la distribución de la

armadura de flexión.

3.2.c - Cargas concentradas en vigas continuas:

F Dischinger calculó, para cargas concentradas en el centro del tramo, los diagramas de lastensiones x σ en la sección central. Para la distribución de tensiones en el eje de los apoyos,se deben invertir dichos diagramas.

4 – DI MENSI ONAMI ENTO:

Existen criterios simples de dimensionamiento, que conducen a una capacidad portantesuficiente, sin que sea necesario proceder a una verificación de tensiones.

En general no se necesita una verificación al corte, o sea, no es necesario determinar τ ;

porque los esfuerzos de corte a absorber resultan determinados por las tensiones principalesde compresión verticales en las cercanías de los apoyos, para los que sólo es necesarioconsiderar valores límites aproximados.

Franz Dischinger – Alemán(1887 – 1953)




150

Trataremos el dimensionamiento para la carga portante requerida donde, para determinar lasección de armadura e F , el acero debería suponerse trabajando a su límite de escurrimiento;

pero nunca a más de2

4200cm

Kg .

4.1 - Determi nación del esfuerzo de tr acción:

4.1.a - Vigas de 1 sólo tramo:

z M

Z u u

max=

:maxu M Se calcula mediante la teoría de flexión de vigas, para ν veces la carga.

Brazo de palanca elástico:

Para 21 <<d l

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅⋅=

d d z

l315,0

1≤d l

l⋅= 6,0z

4.1.b - Vigas continua de 2 tramos:




151

F

U F U F z

M Z max,

, = ;S

mín U S U S z

M Z ,

, =

max,U F M y :, mín U S M Se calculan mediante la teoría de flexión de vigas, para ν veces la

carga.

Brazo de palanca elástico:

Para 21 <<d l

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅⋅==d

d z z S F l

25,210,0

1≤d l

l⋅== 45,0S F z z

4.1.c - Vigas continua de varios tramos:

Para el tramo externo y el primer apoyo interno, son aplicables las aproximaciones dadas parala viga de 2 tramos.

Para los tramos interiores, se tiene con:

F

U F U F z

M Z max,

, = ;S

mín U S U S z

M Z ,

, =

… de acuerdo con la teoría de vigas para ν veces la carga, los siguientes valores de los brazoselásticos:

Para 31 << d

l

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

+⋅⋅== d d z z S F

l

215,0

1≤d l

l⋅== 45,0S F z z

Indicaciones para una correcta distribución de la armadura sobre los apoyos intermedioscorrespondientes a S Z :




152

4.2 - Limit ación de las tensiones principales de compresión:

La tensión principal de compresión II σ , que se determina teóricamente, puede sersobrepasada en las proximidades de los apoyos; como consecuencia de la diferencia de

direcciones entre la armadura y la tensión principal I σ .

La verificación de II σ puede evitarse cuando, para apoyo directo, la presión de contacto en elapoyo, supuestamente distribuida para 1,2=ν (2,1 veces la carga de servicio), no sobrepasalos siguientes valores:

En apoyos extremos: R U P β ⋅≤ 8,0

En apoyos intermedios: R U P β ⋅≤ 2,1 (compresión biaxial)

La zona de apoyos debe estar cercada con estribos cerrados.

La Presión de Contacto U P se obtiene:

b c A

P exist U ⋅

⋅=

1,2

:c Longitud de apoyo.

:b Espesor de la viga.

Debe ser:51

≤c de la menor separación entre apoyos.

4.3 - Arm adura de suspensión para cargas aplicadas en el bordeinferior:

Cuando las vigas de gran altura están solicitadas por cargas uniformes o cargas concentradasen el borde inferior, o en la superficie por debajo de la curva de vértice l⋅<⋅ 5,05,0 d , sedebe disponer de armaduras de suspensión capaces de soportar esas cargas (se debe teneren cuenta, además, el peso propio de la viga comprendida dentro de la curva):




153

Si las cargas son pequeñas o están distribuidas uniformemente sobre la longitud l :

∑ ∑=

ν

β s e

P F

Para grandes cargas concentradas (por ejemplo: una pared apoyada indirectamente), resultanadecuados estribos o barras inclinadas de º60a50=α :

ν

β α s

izq e der e

sen

P F F

⋅⋅

==

2

4.4 - Diseño de la armadura:

4.4.a - Vigas de 1 sólo tramo:

Para vigas cargadas en el borde superior, las trayectoriasde las tensiones de tracción son muy aplanadas. Luego laarmadura de tracción será esencialmente horizontal.

Los estribos sólo son constructivos, y sirven para envolverla armadura principal y vincular las armadurashorizontales.

Las barras dobladas son perjudiciales.

La armadura horizontal principal, resultante de la tracciónZ, debe extenderse a toda la luz de la viga; y anclarse enla zona de apoyos para un esfuerzo Z ⋅8,0 .

La armadura principal longitudinal debe repartirse en unaaltura del orden de d ⋅20,0a15,0 .

Para 1≤d l

debe introducirse, como valor de d, la luz l .

En la zona restante de la viga debe disponerse unaarmadura en malla en ambas caras. La separación entre barras debe ser:

b e ⋅≤ 2 ; cm e 30≤




154

APOYOS EN COLUMNAS:




155

Para cargas suspendidas en el borde inferior, de acuerdo a la trayectoria de las tensiones detracción, además de la armadura principal horizontal es necesaria una armadura vertical, paraabsorber las cargas ubicadas en la zona rayada.

l⋅5,0 hasta d ⋅7,0 (Para l<d )

Zona de influencia de las cargas suspendidas(peso propio y carga actuante)

Esta armadura de suspensión se hace en forma de estribos, o estribos de malla (separaciónentre barras de 10 a 15 cm):

Si 2,1>d l

Se anclan en el borde superior.

Si 2,1≤d l

Siguiendo el contorno del semicírculo, cuya altura en el

vértice sea l .




156

4.4.b - Vigas continuas con carga superior:

También las tensiones de tracción son muy aplanadas, luego conviene que la armadura detracción inferior sea continua en toda la luz; puede dividirse en cada tramo, pero anclándola.

La mitad de la armadura, por lo menos, debe aparecer como armadura de malla. La mitad

restante debe tener una longitud del orden de d ⋅8,0 o l⋅8,0a7,0 (cuando 1<d l

), y con

separación entre barras de 10 a 15 cm.

Aún en vigas con 1<d l

, en las que teóricamente no aparecen tensiones de tracción en el

borde superior, conviene colocar allí una armadura longitudinal.

En apoyos de columnas conviene reforzar como se dijo para vigas simples.

Las barras inclinadas sólo se justifican para cargas suspendidas, o aplicadas indirectamente.

Ejemplo de armado para 1=d l

:

Ejemplo de armado para 5,2=

d

l:



157

1 – TENSI ONES PRI NCI PALES EN MÉNSULAS:

Ménsula empotrada en una columna robusta, sin carga ( d a ⋅= 5,0 ):

Cuando la forma de la ménsula es rectangular, el vértice inferior extremo no trabaja, por lotanto la ménsula trabaja con un cordón traccionado y una diagonal ideal comprimida. Lastensiones x σ son constantes en la longitud a, en la parte superior.

UNI DAD 6: MÉNSULAS CORTAS



158

La diagonal comprimida se estrecha en la parte inferior. Las tensiones principales de tracción ycompresión pueden resumirse en los esfuerzos D y Z:

En la 2º figura se indica la forma adecuada al flujo de tensiones. En un tabique con unaménsula de gran altura, se produce lo siguiente:

Sólo la longitud a ⋅2 colabora en la absorción del momento de empotramiento (esquemasimilar al apoyo interior de una viga continua).

Si sólo se carga el voladizo, aparece una segunda zona de tracción, en la parte superior.



159

Para vigas con voladizos puede suponerse un reticulado imaginario, para cada tipo de carga.Este modelo puede servir para calcular el esfuerzo de tracción Z.

2 – CRI TERI OS PARA EL DI MENSI ONAMI ENTO:

2.1 - Modelo de ret iculado simple: Aparece casi siempre una fuerza horizontal H, además de P.

Con este esquema, se elimina una verificación al corte; por cuanto éste es absorbido por ladiagonal comprimida.

Al estudiar h se debe tener en cuenta que, en el cordón traccionado, en general existen variascapas de armadura:

Actuando 1P :

z Z a P p ⋅=⋅ (Ecuación 26)

Actuando H :

( ) z Z h z H H ⋅=Δ+⋅ (Ecuación 27)

De Ecuación 26 :z

a P Z p

⋅=

h a P

h a P

Z Pu ⋅

⋅≅⋅

⋅⋅= 2,2

8,0ν

Con 75,1=ν (Rotura dúctil)

De Ecuación 27 : ( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅

Δ+⋅⋅=

⋅⋅Δ+⋅⋅⋅=

h h

H h

h h H Z Hu 8,01

8,01

8,0 ν ν

En forma aproximada, puede admitirse:

H H Z Hu ⋅≅⋅⋅= 0,21,1 ν



160

Cuando actúan simultáneamente las cargas de servicio P y H, resulta:

H h

a P Z u ⋅+

⋅⋅= 0,22,2 (Ecuación 28)

Los estribos horizontales, ubicados a h ⋅41

medido desde el borde superior, pueden incluirseen la armadura del cordón traccionado, calculado con la Ecuación 28 .

2.1.a - Diagonal comprimida de hormigón:

Puede admitirse la existencia de la diagonal comprimida cuando el espesor b de la ménsula se

ha dimensionado en forma tal que, para ν veces la carga, el hormigón no rompa porcompresión.

Supondremos que el hormigón puede alcanzar el valor R β ⋅95,0 con distribución uniforme detensiones.

Sección de la diagonal: c b ⋅ (siendo h c ⋅= 2,0 )

1,2=ν (Rotura frágil)

El brazo de palanca elástico z se mide al centro de la diagonal comprimida.

h H a P x D Δ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ ν ν ν

R R b h c b D β β ν ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≤⋅ 95,02,095,0

( ) a x

a h

h ≅

+⋅

⋅

229,0

9,0

∴ ( ) a h

h a

a h

a h x

+⋅

⋅⋅≅

+⋅

⋅⋅=

6,18,1

9,0

9,022

H p D D D +=



161

∴ ( )h H a P a h h a

h b R Δ⋅+⋅⋅=+⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1,2

6,18,1

95,02,0 β

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ⋅+⋅⋅=

+

⋅⋅⋅⋅

a h

H P a

h

a h a

b R 1,26,1

34,0 β

∴ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅

⋅

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ⋅+

⋅=h a

h a h

H P b

R nec 6,12,6

β (Con a h ⋅≤ 2 )

Si la diagonal comprimida está zunchada por estribos horizontales muy poco separados, no seproduce rotura brusca y se puede reducir el coeficiente de seguridad.

Haciendo: 0=H y h z ⋅= 85,0

∴ ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +⋅

⋅⋅= h a z P b

R

6,1

85,0

2,6 β

Tendremos una tensión ficticia de corte:

85.06,12,6 ⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅

=⋅

h a z b

P R β

2.1.b - Cargas indirectas aplicadas, o suspendidas de la parte inferior:

Si se dispone de una armadura inclinada, se puede admitir que un 60% de la reacción deapoyo A lo absorbe la viga como carga superior, por medio de la armadura de tracción; y otro60% se supone “colgada” de la armadura inclinada.

h A

a D W

⋅

⋅=

8,06,0

∴ A h a

A h

a D W ⋅⋅=⋅⋅

⋅= 75,06,0

8,0

∴

1=h a

5,13

R β τ =

5,0=h a

11

R β τ =



162

( ) ( ) =⋅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅=⋅+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅=⋅+= 2

222

222 56,036,06,075,06,0 A

h a

A A A h a

A D Z W s

2

55,1136,0 ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ⋅+⋅⋅=

h

a A ∴

2

55,116,0 ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ⋅+⋅⋅=

h

a A Z s

Luego:

ν β s

s es

Z F =

3 – DI SPOSI CI ON DE ARMADURAS:

3.1 - Ménsula con carga directa:

15.0 <<d a

Es conveniente colocar un elemento elástico (del tipo Neoprene) para lograr una distribuciónuniforme de presiones; y además permite, dentro de ciertos límites, desplazamientoshorizontales.

La superficie de apoyo debe ser menor que la abarcada por la armadura longitudinal de

tracción, para evitar que afecten los bordes de la ménsula.Longitud de anclaje: (CIRSOC 201 - 18.5.2)

00,11 =α (Tabla 25)

0

11 ll ⋅⋅=exist s

nec s

A A

α

∴ s adm r

s d ⋅⋅

=

0 7 τ

β l :adm r τ Tabla 24

Neopreno®: es la marca comercial de DuPont para una familia de gomas sintéticas. Su inercia químicalo hace útil en aplicaciones como sellos (o juntas) y mangueras, así como enrecubrimientos resistentes a la corrosión. También puede usarse como base paraadhesivos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Goma

http://es.wikipedia.org/wiki/Goma



163

3.1.a - Armadura de tracción: (para N reducido)

(Para esfuerzos de tracción reducidos, essuficiente una sola capa)

Puede ser:

Para N grandes se puede disponer así:



164

Los estribos verticales no tienen ningún efecto en la absorción de cargas en la ménsula, y sólosirven como elementos de rigidez para el conjunto.

En cambio los estribos horizontales, ubicados debajo de la armadura principal y distribuidos entoda su altura, impiden una rotura brusca de la diagonal ideal comprimida; siempre que se los

disponga con muy poca separación entre sí. Esto para ménsulas con 5,07,0 a d

a

≈ .

Las ménsulas más altas, con 5,0<d a

deben analizarse como se vió anteriormente:

En el 1º caso se debe cumplir:



165

3.2 - Ménsula con carga indir ecta:

CASO A: CASO B:



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ESTE APUNTE SE TERMINÓ DE CONFECCIONAR EL DÍA 25 DE

NOVIEMBRE DE 2007

Apunte de Análisis Estructural II 4

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