Apunte de Números Complejos

INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA QUMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

DIQI; Departamento de Ingeniera Qumica Industrial INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

IPN-ESIQIE Edif. 6 y 7 Unidad Profesional Adolfo Lpez Mateos, Col Lindavista Mxico D.F., C.P. 07738 Enero 2014

Pgina: 1 Prof: Juan Arturo Snchez Pascualli

Nmeros complejos

Existen ecuaciones que carecen de solucin en el conjunto de los nmeros reales. Por ejemplo, la ecuacin x+9=0 No tiene solucin real ya que no existe ningn nmero real que elevado al cuadrado resulte -9, es necesario entonces el empleo de la unidad imaginaria para asignar una solucin a dicha ecuacin. Entonces decimos que la solucin a esta ecuacin es:

La unidad imaginaria, i, es el nmero igual a la raz cuadrada de -1.

1i

Una expresin de la forma a + b i, en la que a y b son dos nmeros reales

cualesquiera e i es la unidad imaginaria, se denomina nmero complejo.

Escribiremos z = a + b i, a es la parte real del nmero complejo z, y b es la parte imaginaria de z.

La expresin a + b i recibe el nombre de forma binmica del nmero complejo z.

Si la parte imaginaria es cero, tenemos un nmero real puro. Si la parte real es cero, un nmero imaginario puro.

Representacin grfica de los nmeros complejos.

Los nmeros complejos se representan en un plano cartesiano infinito que llamaremos plano complejo, de modo que la parte real se represente en el eje x, llamado EJE REAL, y la parte imaginaria en el eje y, llamado EJE IMAGINARIO.





Ilustracin del plano complejo. Los nmeros reales se encuentran en el eje de

coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical. Los nmeros complejos son una extensin de los nmeros reales y forman el mnimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los

nmeros complejos se designa como , siendo el conjunto de los reales

se cumple que . Los nmeros complejos incluyen todas las races de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo nmero complejo puede representarse como la suma de un nmero real y un nmero imaginario (que es un mltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i ), en forma polar o en forma exponencial. Cuando la parte compleja de l es cero, entonces se trata de un nmero puramente real ya que no tiene parte compleja. Del mismo modo cuando la parte real es cero se dice que tenemos un nmero puramente complejo. Como hemos visto un nmero complejo puede ser escrito en su forma rectangular o bien en su forma polar.

Forma rectangular: Donde: a y b son nmeros reales e

Forma Polar: Donde: mdulo y es el ngulo

As decimos R sis del angulo

Los nmeros complejos son la herramienta de trabajo del lgebra, anlisis, as como de ramas de las matemticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinmica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Adems los nmeros complejos se utilizan por doquier en matemticas, en muchos campos de la fsica (notoriamente en la mecnica cuntica) y en ingeniera, especialmente en la electrnica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnticas y la corriente elctrica.





Forma polar o mdulo-argumental de un nmero complejo.

A cada nmero complejo z = a + b i se le asigna, en el plano complejo, un punto P de coordenadas (a,b).

Si se une el origen de coordenadas 0 con P, se obtiene el vector 0P. De esta forma a todo nmero complejo se le asocia un vector fijo de origen 0 y

extremo P en un ngulo (Vector que representa al nmero complejo).

El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (a,b) o mediante la longitud del vector 0P y el ngulo que ste forma con el eje positivo de x (abscisas).

Se llama mdulo (o valor absoluto) del nmero complejo z = a + b i, y se

representa por m o bien |z|, a la longitud del vector 0P.

Al ngulo se le denomina argumento del nmero complejo z = a + b i, y se

representa por al ngulo que forma el vector 0P con el eje positivo de

abscisas. Para determinar el valor de se aplica la fmula:

= arctan (

La determinacin del argumento no es nica ya que existen infinitos ngulos con la misma tangente. Si se restringe la determinacin a ngulos

comprendidos entre 0 y 2 (0 y 360), existen dos ngulos, que difieren en radianes (180), con la misma tangente. El argumento depender de los signos de a y b, es decir, del cuadrante en el que est situado el afijo de dicho nmero complejo.





Notemos que: a = m cos( ) y b = m sen( ).

Escribiremos: z = a+b i = z = m (cos +i sen ).

En resumen:

Mdulo de un nmero complejo

El mdulo de un nmero complejo es el mdulo del vector determinado por el

origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

|z|=

Donde m= mdulo o valor absoluto |z| a= Parte real del nmero complejo b= Parte imaginaria del nmero complejo

Argumento se z, se refiere al ngulo que forma con el eje x y el cual

obtenemos mediante el clculo del arco tangente de b entre a, sin tomar en

cuenta los signos para el clculo, este signo realmente nos va a ubicar en el

cuadrante correspondiente en cada caso:

Ahora bien, dependiendo de los signos que se tengan para a y b, tendremos

que ubicar en que cuadrante se encuentra tomando en cuenta lo siguiente:

Si =

Si = 180 -

Si = 180 +

Si = 360 -

Si = 0

Si = 180





Si = 90

Si = 270

Noten que en este caso la divisin entre cero no es un resultado indefinido,

simplemente es la indicacin del cuadrante correspondiente para nuestro

mdulo.

Conversin de la forma polar a la forma binomial.

Para convertir un nmero complejo expresado en forma polar a su forma binomial o binmica, tenemos que pasar a la forma trigonomtrica primeramente y a continuacin hacer la debida operacin para obtener los valores de a y b en forma binomial:

Ejemplo:

Sea el nmero complejo z = 4 + 5 i

Vamos a obtener su forma polar inicialmente y posteriormente la convertiremos a su forma binomial que es de donde hemos partido.

Primero obtenemos el mdulo de z

|z| = = = = = 6.4031

A continuacin obtenemos el ngulo

= = =51.34

De modo que podemos expresar ahora el nmero complejo en forma polar como:

Z = 6.4031 51.34

Para expresarlo ahora nuevamente en su forma binomial escribimos la siguiente expresin trigonomtrica:

z = m (cos +i sen ).

Donde: a = m cos( ) ; b = m sen( ) y m = |z|= 6.4031





As tenemos: a= 6.4031 x ( cos (51.34 )) y b = 6.4031 x (sen (51.34 )) =

a = 6.4031 x 0.624 = 4.0000015

b = 6.4031 x 0.7808 = 4.99996

Obtenemos entonces la expresin binmica inicial escribiendo:

z = (4.000015 + 4.99996 i)

Existen casos de nmeros complejos en los cuales en los cuales se tiene el

valor del mdulo como la unidad (el valor de z no puede ser cero), para diferentes valores de ngulos en este caso se asume lo siguiente:

z =1 0 = 1

z =1 180 = 1

z =1 90 = i

z =1 270 = i

Ejemplos: Algunos otros ejemplos de conversiones muy simples tomando en cuenta las posibilidades de los signos pueden ser los siguientes:

Ejemplo 1.-

2

1 3 2z

3arctan 60

1

Z = 2 60

Ejemplo 2.-

2

2( 1) 3 2z





3arctan 120

1

Z = 2 120

Ejemplo 3

2

2( 1) 3 2z

3arctan 240

1

Z = 2 240

Ejemplo 4

2

2(1) 3 2z

3arctan 300

1

Z = 2 300

Ejemplo 5

Z= 2 Significa que b = 0 i o bien z = (2 + 0 i)

22(2) 0 2z

0arctan 0

2

Z = 2 0





Ejemplo 6

Z= -2 Significa que b = 0 i o bien z = (-2 + 0 i)

22( 2) 0 2z

0arctan 180

2

Z = 2 180

Ejemplo 7

Z= 2 i Significa que b = 2 i o bien z = (0, 2 i) , parte real a =0

22(0) 2 2z

2arctan 90

0

Z = 2 90

Ejemplo 8

Z= -2 i Significa que b = -2 i o bien z = (0, -2 i) , parte real a =0

22(0) 2 2z

2arctan 270

0

Z = 2 270





Para el caso de los exponentes tenemos que:

= i

= -1

= )(i)=(-1) i = -i

=( )( ) = (-1)(-1) = 1

Los dems son una secuencia

= ( ) ( ) (i) =(-1)(-1) (i) = i

= ( ) ( ) ( ) = (-1) (-1) (-1) = -1

( ) = ( ) ( ) ( ) (i) = (-1) i = -i

( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = (-1) (-1) = 1

Nmeros complejos expresados en forma exponencial

Otra forma de expresar a un nmero complejo es la forma exponencial, que es as:

iz Re

Donde R es el mdulo y es el ngulo, i es como sabemos el imaginario, e es el nmero exponencial.

Operaciones con Nmeros Complejos

Suma y diferencia de nmeros complejos

La suma y diferencia de nmeros complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre s, respectivamente.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i





Ejemplo:

(5 + 2i) + ( 8 + 3i) (4 2i ) = (5 8 4) + (2 + 3 + 2)i = 7 + 7i

SUMA

el resultado es 7 + 4i

RESTA O DIFERENCIA

Al igual que en la suma, se opera como con los nmeros reales ordinarios:

Multiplicacin de nmeros complejos

El producto de los nmeros complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = 1.

(a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc) i

Ejemplo:

(5 + 2 i) (2 3 i) =

= 10 15i + 4i 6i2 = 10 11i + 6 = 16 11i

Divisin de nmeros complejos

El cociente de nmeros complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

Ejemplo:





Potencias

Para elevar un nmero complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables (cuadrado de la suma) . Se debe tener en cuenta la

igualdad: :

Suma, multiplicacin y divisin de nmeros complejos en forma binmica.

Sean los nmeros complejos z = a + b i y w = c + d i. Definimos:

Suma.- Para sumar dos o ms nmeros complejos se suman las partes real e imaginaria de cada uno de ellos.

z + w = (a + b i) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

Multiplicacin.- Para multiplicar nmeros complejos se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta que i 2 = -1.

z . w = (a + bi) . (c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Divisin.- Para dividir dos nmeros complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. (El conjugado de un nmero complejo es otro nmero complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo).





A veces es necesario efectuar infinidad de operaciones con nmeros

complejos y resulta ms simple hacerlo del siguiente modo:

Cuando efectuamos sumas o restas de nmeros complejos es mucho ms

fcil hacerlo en forma binomial o rectangular puesto que solo es necesario

sumar o restar nmeros semejantes.

Para el caso de las multiplicaciones es mejor efectuarlas con su expresin

polar, ya que de este modo se simplifica el proceso.

Para multiplicar expresiones polares se hace del siguiente modo:

Para dividir las expresiones:

Estas operaciones pueden ser efectuadas fcilmente, siempre que se respeten

las propiedades de los nmeros complejos.

Tambin pueden ser efectuadas usando una calculadora apropiada para

efectuar las operaciones o bien para hacer solamente las transformaciones de

forma binomial (rectangular) a polar y viceversa.





Ejemplo de esto se puede ver usando la calculadora casio fx 991 ES Plus

(Pginas 20 y 21 del manual de la casio fx 991ES Plus)

Para convertir a la expresin polar un nmero complejo en rectangular proceda

como el ejemplo:

Convertir a polar: 56 + 35 i

Entre en la calculadora: shift Pol (56,35) y oprima el signo =

Se obtendr: r= 66.03786, = 32.0053

O sea: 66.03786 32.0053

Convertir a rectangular o binomial : 66 32

Entre en la calculadora: shift Rec (66,32) y oprima el signo =

Se obtendr: x=55.97117,y=34.97467

O sea: (55.97117 + 34.97467 i )

No olvidar los parntesis y las comas. Otros modelos de calculadoras tambin

pueden efectuar estas operaciones, sin embargo para hacer operaciones con

nmeros complejos solo con ciertos modelos es posible hacerlo y es muy

importante aprender la sintaxis de cada aparato en particular.

S-19

Clculos con nmeros complejos (CMPLX)

Para realizar clculos con nmeros complejos, presione primeramente (CMPLX) para ingresar al modo CMPLX. Para ingresar nmeros complejos puede utilizar coordenadas rectangulares (a+bi) o polares (r). Los resultados se mostrarn de acuerdo al formato de nmeros complejos elegido en el men de configuracin.

(2 + 6i) (2i) = 3 i (formato de nmeros complejos: a + bi) 2 6 $(i) 2 $(i) 3i 2 45 = '2 + '2 i B (formato de nmeros complejos: a + bi) 2 () 45 '2 +'2 i '2 + '2 i = 2 45 B (formato de nmeros complejos: r) 2 C 2 C$(i) 245Nota: Si desea ingresar y mostrar los resultados en coordenadas polares, especifique la unidad angular antes de iniciar el clculo. El valor del resultado est definido en el intervalo 180 180. Si ha seleccionado el display Linear, el resultado se ver como a y bi (o r y ) en lneas separadas.

Ejemplos de clculo en modo CMPLX (1 i)1 = 12

12+ i (formato de nmeros complejos: a + bi)

1 $(i) 1212+

i

(1 + i)2 + (1 i)2 = 0 1 $(i)7 1 $(i)7 0 Obtener el complejo conjugado de 2 + 3i (formato de nmero complejo: a + bi) (CMPLX)(Conjg) 2 3 $(i) 23i Obtener el valor absoluto y el argumento de 1 + i B Valor absoluto: @(Abs) 1 $(i) '2 Argumento:(CMPLX)(arg)1$(i) 45

Uso de un comando para especificar el formato del resultadoPueden ingresarse cualquiera de dos comandos especiales (r o a+bi) al finalizar un clculo para especificar el formato en el que se muestran los resultados. El comando anula la configuracin del formato de nmeros complejos existente en la calculadora. '2 + '2 i = 2 45, 2 45 = '2 + '2 i B 2 C 2 C$(i)(CMPLX)(r) 245 2 () 45 (CMPLX)(a+bi) '2 +'2 i

Nmeros Complejosfx-570_991ES_PLUS_ES

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