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Complemento de la Asignatura Dispositivos Electrónicos

Elementos de Teoría de los Circuitos

1 - Fuentes de tensión y de corriente

Todo circuito eléctrico necesita para su operación de la presencia de fuentes de energía

eléctrica. Estas fuentes pueden ser generadores de tensión o de corriente.

1.1 - Generadores de tensión ideales

Una fuente de tensión ideal es un elemento que produce

entre sus dos terminales una diferencia de tensión constante e

independiente de la corriente que por ellos circule. En electrónica

estos generadores de tensión se suelen representar mediante los

símbolos que muestra la figura 1:

a) corresponde a una fuente de tensión continua de valor V volts,

el terminal de trazo corto y grueso representa al terminal

negativo y el largo y fino al positivo.

b) es el símbolo de una fuente de tensión variable en el tiempo de

valor v(t) que mantiene en todo momento su polaridad.

c) es otro símbolo diferente para expresar lo mismo que (b).

1.2 - Generadores de tensión reales

Un generador de tensión ideal entrega en sus terminales un valor de tensión que es

independiente de la corriente que deba entregar. Pero un generador de tensión real no se comporta de la

misma manera, sino que solamente mantiene entre sus terminales el valor nominal de tensión cuando

no debe entregar corriente, es decir a circuito abierto, en

cambio, cuando debe suministrar corriente, la tensión sobre sus

terminales decrece. Como esta caída resulta ser proporcional a la

corriente que suministra el generador, la misma puede

explicarse como debida a una cierta resistencia interna del

mismo. Es así que un generador de tensión real puede

concebirse como un generador de tensión ideal que tiene en

serie con él una resistencia interna. Siendo que la resistencia

interna de los generadores de tensión ideales es nula, cuanto más

pequeña sea la resistencia interna de un generador de tensión

real tanto más próximo será su comportamiento al de un

generador de tensión ideal. Así, por ejemplo, una pila puede tener una resistencia interna del orden del

ohm, mientras que en un circuito electrónico en el que se ha buscado una muy baja resistencia interna

pueden lograrse valores muy inferiores. Con estas consideraciones acerca de los generadores de tensión

reales, los símbolos que emplearemos para los mismos se aprecian en la Figura 2. Los tipos de

generador que se ven en (a), (b) ó (c) corresponden a la misma descripción dada en correspondencia

con la Figura 1.

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1.3 - Generadores de corriente ideales

Una fuente de corriente ideal es un elemento que hace circular

entre sus dos terminales una corriente de valor independiente de la

tensión aplicada entre ellos. En electrónica estos generadores de

corriente se suelen representar mediante los símbolos que muestra la

figura 3:

a) representa indistintamente a una fuente de corriente constante de

valor I o variable en el tiempo de valor i(t). La flecha indica el

sentido de circulación de la corriente. Hemos indicado con i(t) a la

corriente, pues corresponde a una expresión genérica en la cual la

corriente puede ser constante para cualquier valor de tiempo.

b) corresponde a otro símbolo que indica lo mismo que (a).

1.4 - Generadores de corrientes reales

Un generador de corriente ideal hace circular por su circuito externo siempre una corriente

constante de valor nominal que es independiente de la

tensión que se desarrolle entre sus terminales. Pero un

generador de corriente real no se comporta de la manera

indicada, sino que solamente entrega la corriente nominal

cuando su circuito externo es un corto circuito, es decir,

que no aparece tensión entre sus terminales, pero cuando

entre sus terminales aparece una cierta tensión, la corriente

que entrega es menor que su valor nominal. Como esta

pérdida de corriente resulta ser proporcional a la tensión

entre sus terminales, puede explicarse como debida a una

cierta resistencia interna en paralelo con el generador, y el

comportamiento de un generador de corriente real puede describirse como el de un generador de

corriente ideal que tiene en paralelo con él una resistencia interna. Siendo que la resistencia interna de

los generadores de corriente ideales es infinita, cuanto más grande sea la resistencia interna de un

generador de corriente real, tanto más próximo será su comportamiento al de un generador de corriente

ideal. Con estas consideraciones acerca de los generadores de corriente reales, los símbolos que

emplearemos para los mismas son los que muestra la figura 4.

1.5 - Equivalencia entre generadores de tensión y de corriente reales

Una fuente de energía eléctrica real, que posee una

resistencia interna, puede representarse indistintamente como un

generador de tensión real o un generador de corriente real ya que el

comportamiento de ambos generadores reales, como puede

demostrarse, es equivalente.

Demostremos ese comportamiento equivalente. Sea una

fuente de tensión real de resistencia interna Riv

conectada a un

determinado circuito. Lo dicho se muestra en la figura 5.

Para obtener el valor de vo

debemos recorrer la rama donde

está el generador en el sentido supuesto para vo, es decir, de abajo

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hacia arriba en la figura, y allí observar que primeramente encontramos una elevación de tensión

debido a la presencia del generador, y finalmente una caída de tensión al recorrer una resistencia en el

mismo sentido que la corriente propuesta. De esta manera, resulta que los valores de vo e i

oestán

ligados por la siguiente expresión:

ivoo R.ivv (1)

De tratarse de un generador de corriente real de resistencia

interna Rii conectado de manera similar, el circuito queda como

muestra la figura 6.

Para obtener el valor de vodebemos ver que parte de la

corriente i del generador circula por la resistencia Rii, según

podemos apreciar, una parte io circula por el resto del circuitoy el

remanente, es decir i-io, circula de arriba hacia abajo por la

resistencia interna dando lugar a una caída de tensión, que es el

valor de vo que deseamos obtener. De esta manera, resulta que los

valores de vo e i

o están ligados por la siguiente expresión:

iioiiiioo R.iR.iR).ii(v (2)

Si observamos las expresiones (1) y (2), se observa que si Riv

=Rii

=R , para que ambas sean

iguales tendrá que verificarse que v=i.R de donde i=v/R. En ese caso, ambas expresiones resultan

idénticas, y por lo tanto el comportamiento del generador de tensión y el de corriente resultan

equivalentes. En conclusión:

Un generador de tensión con su resistencia interna en serie es equivalente a un generador de

corriente con la misma resistencia interna en paralelo, si el valor del generador de corriente es

igual al valor del generador de tensión dividido la resistencia interna.

Esto permite que cualquier generador real pueda ser considerado un generador de tensión o de

corriente según más convenga en cada caso.

Sin perjuicio de la afirmación anterior que permite el uso de cualquiera de los dos modelos para

representar un generador eléctrico real, cabe preguntarse cuál es el más recomendable. En general, si el

generador tiene una resistencia interna baja, lo que lo aproxima al generador de tensión ideal,

convendrá utilizar el modelo basado en un generador de tensión ideal con una resistencia interna en

serie. Por el contrario, de tener una resistencia elevada, probablemente convenga emplear el modelo

basado en un generador de corriente ideal con una resistencia interna en paralelo.

1.6 - Divisores de Tensión

Un circuito relativamente simple pero que aparece

reiteradamente en los sistemas eléctricos y electrónicos es el

formado por un generador de tensión ideal al que se hallan

conectadas dos resistencias R1 y R

2 en serie, tal como muestra la

figura 7.

De acuerdo a lo que viéramos recientemente en

correspondencia con los generadores de tensión reales, la resistencia

R1

puede corresponder a la interna del generador y R2 ser la carga

del mismo.

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Un circuito como el descripto es denominado divisor de tensión porque la tensión del generador

queda distribuida entre ambas resistencias, según una proporción que veremos a continuación.

Por el circuito circulará una corriente que de acuerdo con la ley de Ohm será:

21 RR

VI

(3)

La tensión V2

sobre la resistencia R2

por la misma ley, será el producto de dicha resistencia por

la corriente que circula por ella, luego:

21

222

RR

RVR.IV

(4)

Si quisiéramos conocer la caída de tensión V1 sobre la resistencia R

1, aplicaríamos la misma ley,

luego:

21

111

RR

RVR.IV

(5)

Observando las expresiones (4) y (5), podemos extraer la siguiente regla:

En un divisor de tensión, la caída de tensión en cada una de las resistencias es igual al valor de

la tensión del generador multiplicado por la resistencia sobre la cual se desea conocer la caída

de tensión y dividido por la resistencia total, es decir, la suma de ambas resistencias. Si

sumamos las expresiones (4)y (5), veremos que se verifica que V=V1+V

2, es decir, que la

tensión aplicada por la fuente es igual a la suma de las caídas sobre las resistencias que se

hallan alimentadas en serie por dicha fuente..

La reiterada aparición de divisores de tensión en los circuitos eléctricos hace aconsejable

efectuar su análisis en particular como acá se ha hecho. Pero convendrá ahora estudiar el análisis de los

circuitos eléctricos de una manera más general, como se hace a continuación.

2 - Resolución de circuitos

2.1 - Leyes de Kirchhoff

Antes de ver las leyes de Kirchhoff que nos permitirán resolver las circuitos eléctricos, conviene

clarificar la nomenclatura que utilizaremos:

rama: tramo de circuito de dos terminales donde hay uno o más elementos circuitales en serie

nodo: punto donde concurren 2 o más ramas

malla: circuito cerrado, es decir, que se puede recorrer a partir de un nodo y, atravesando

distintas ramas, se puede retornar al nodo incial.

Con estas definiciones las leyes de Kirchoff se pueden expresar de la siguiente manera.

Ley de las tensiones: al recorrer una malla eléctrica, la suma de las subidas de tensión es igual a

la suma de las caídas.

Dicho en otras palabras, si al circular por una fuente de tensión entramos por el polo negativo de

la misma, tendremos una subida y por el contrario será una caída, si entramos por el polo positivo. En

cuanto a las resistencias que encontramos en nuestro camino, tendremos una caída de tensión si la

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circulación coincide con el sentido de la corriente sobre la misma y será una subida si circulamos en

sentido contrario a dicha corriente. En todos los casos la suma de las tensiones tendrá que ser nula.

Ley de las corrientes: la suma de las corrientes que ingresan a un nodo es igual a la suma de las

corrientes que salen del mismo.

Dicho de otra manera, si consideramos positivas a las corrientes entrantes a un nodo y negativas

a las salientes, la suma de las corrientes que concurren a un nodo deberá ser nula.

El empleo de dichas leyes para la resolución de los circuitos eléctricos puede hacerse mediante el

llamado método de las ramas, que consiste en lo siguiente:

1) Se le da un nombre y se supone un sentido a las corrientes en cada una de las ramas. El sentido

asignado es arbitrario, porque si del cálculo resulta posteriormente un valor negativo para esa

corriente, significa que el sentido real es el contrario al supuesto.

2) Se aplica la ley de las corrientes en todos los nodos del circuito excepto en uno de ellos, porque

puede demostrarse que la ecuación que resulta en ese nodo no es independiente de las ecuaciones

que se obtienen en los otros.

3) Se aplica la ley de las tensiones recorriendo las diferentes mallas independientes del circuito. Valen

las siguientes observaciones.

a) el número de mallas independientes de un circuito es igual al número de ramas menos el

número de nodos independientes (es decir, el número total de nodos menos uno). En un circuito

que puede ser representado en un plano, las mallas independientes son aquellas que no pueden

descomponerse en mallas más simples.

b) es práctica recomendada recorrer todas las mallas independientes siempre en el mismo sentido,

siendo lo más frecuente el empleo del sentido dextrógiro, es decir, en el sentido del movimiento

de las agujas de un reloj.

c) al recorrer una malla se debe tener presente que hay una subida de tensión cada vez que se

atraviesa un generador de tensión ingresando por su terminal negativo, y una caída de tensión

cada vez que se recorre una resistencia en el sentido asignado a la corriente que la atraviesa. Por

el contrario será una caída de tensión si se atraviesa un generador ingresando por su polo

positivo y una subida si se recorre una resistencia en sentido contrario a la corriente que por ella

circula.

d) Las ecuaciones obtenidas en los pasos 2) y 3) forman un sistema de ecuaciones independientes

cuyo número iguala al número de incógnitas (las corrientes en cada una de las ramas), el que se

resuelve con los métodos comunes del álgebra.

Ejemplo: Resolveremos el circuito eléctrico que muestra la figura 8(a) por el método de las

ramas. Dicho circuito consta de 3 ramas y para aplicar el método, tendremos que adjudicar una

corriente en cada una de ellas. Dichas corrientes las llamaremos I1

, I2

e I3

y se las indica en la figura

8(b). Las incógnitas son 3 por lo tanto necesitaremos plantear 3 ecuaciones, una por cada malla, o sea 2

y una para un nodo. Como podemos apreciar en dicho circuito existen dos nodos, pero un simple

análisis nos permite observar que concurren a los dos las mismas corrientes, por lo cual no son

independientes y basta con considerar solamente uno de ellos.

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Haciendo la circulación en el sentido de las agujas del reloj en cada malla, obtenemos las

ecuaciones siguientes:

32211 I.0I.RI.RV reemplazando valores: 321 I.0I.K3I.K6V (5a)

33221 I.RI.RI.00 reemplazando valores: 321 I.K4I.K3I.00 (5b)

y por último, planteando la ecuación de corriente en uno de los nodos.

321 III0 (5c)

tenemos pues un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, que se resuelve empleando cualquiera de los

mecanismos habituales del Álgebra. Aplicando por ejemplo la regla de Cramer, podemos hallar el valor

de las 3 corrientes.

mA33,2K54

VK126

111

K4K30

0K3K6

110

K4k30

0K3V18

I221

mA33,1K54

VK72

111

K4K30

0K3K6

101

K400

0V18k6

I222

mA1K54

VK54

111

K4K30

0K3K6

011

0K30

V18K3K6

I223

Con la obtención de la corriente en cada rama, queda resuelto el problema.

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2.2 - Principio de superposición

El principio de superposición establece que:

En un circuito "lineal" donde existen varios generadores independientes, las tensiones y

corrientes en los distintos nodos y ramas es la misma que resulta de sumar las contribuciones

de cada uno de esos generadores por separado, estando los restantes desactivados. La

desactivación de un generador consiste en anular su valor, es decir reemplazando una fuente

de tensión ideal por un cortocircuito y una fuente de corriente por un circuito abierto, pero

reteniendo en el circuito, las resistencias internas de los generadores de tratarse estos de

generadores reales.

La aplicación de este principio simplifica la resolución de los circuitos complejos que incluyen

varios generadores independientes, razón por la que es muy recomendable su empleo en esas

circunstancias, porque si bien se debe resolver un circuito por cada uno de ellos, al desactivar todos los

otros generadores cada circuito puede resolverse muy fácilmente. La corriente en cada rama será la

suma de las originadas por cada generador en forma independiente.

2.3 - Teorema y circuito equivalente de Thevenin

Cuando en un circuito eléctrico de cierta complejidad sólo se tenga un interés particular en

conocer la tensión y/o corriente en una de sus ramas (situación que en electrónica suele presentarse con

frecuencia) puede resultar simple el reemplazar todo el circuito exterior a la rama en que se tiene

interés por un circuito que se comporte (visto desde sus dos terminales de conexión con dicha rama) de

idéntica manera que el circuito real.

El Teorema de Thévenin provee la herramienta que estamos buscando. Dicho Teorema

establece que:

Visto desde sus 2 terminales, un dipolo activo (es decir, una red de 2 terminales que contiene

generadores independientes en su circuito) puede ser reemplazado por otro dipolo constituido

por un generador de tensión en serie con una resistencia, si dicho generador tiene un valor

igual a la tensión entre los terminales del dipolo cuando no existe conexión externa alguna

conectado entre sus dos terminales (la llamada tensión a circuito abierto o tensión de Thévenin,

que simbolizaremos VT) y la resistencia (llamada resistencia de Thévenin, que simbolizaremos

RT) es igual a la resistencia vista desde los dos terminales del dipolo cuando se desactivan

todos los generadores independientes que contiene.

La figura 9 simboliza lo que expresa este teorema. Desde el punto de vista de la resistencia R,

los circuitos (a) y (b) se comportan de la misma manera, por lo que se dice que el de la derecha es el

circuito equivalente de Thévenin.

La demostración de este teorema, se verá en el curso de Teoría de los Circuitos en tercer año.

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2.4 - Teorema y circuito equivalente de Norton

Dada la equivalencia entre un generador de tensión en serie con una resistencia y un generador

de corriente con la misma resistencia en paralelo, parafraseando el Teorema de Thévenin se puede decir

que:

visto desde sus 2 terminales, un dipolo activo puede ser reemplazado por otro dipolo

constituido por un generador de corriente en paralelo con la resistencia de Thévenin, si dicho

generador tiene un valor igual a la tensión de Thévenin dividida por la resistencia de

Thévenin.

Así expresado esto se conoce con el nombre de Teorema de Norton, y el valor del generador de

corriente (cociente entre la tensión y la resistencia de Thévenin) se conoce como corriente de Norton y

se suele representar como IN

Así como la tensión de Thévenin es la tensión entre los terminales del dipolo a circuito externo

abierto, la corriente de Norton es la corriente por los terminales del dipolo con el circuito externo en

cortocircuito. Compruébese, efectivamente en el dibujo de la derecha, que cuando R=0 circula por ella

la corriente IN.

2.5 - Ejemplo de aplicación

Para comprender mejor la aplicación de los teoremas de Thévenin y Norton, y las ventajas de la

mayor simplicidad que pueden aportar, supongamos que en el circuito de la figura 8(a), en el cual

hemos determinado las corrientes en sus ramas, quisiéramos, por ejemplo, cambiar la resistencia R3

de

4K a 2K y conocer la corriente que circularía por la nueva resistencia utilizando las leyes de

Kirchhoff, tendríamos que rehacer totalmente el cálculo para el circuito completo.

Veamos el procedimiento aplicando el Teorema de Thevenin. Lo aplicaremos a la izquierda de

los puntos marcados a y b en la figura 11(a). Elminamos la rama sobre la cual queremos calcular la

corriente, es decir I3 , y el circuito queda como indica la figura 11(b).

Vamos a calcular la tensión de Thévenin VT

sobre el circuito de la figura 11(b), para lo cual

eliminamos la carga y calculamos la caída de tensión entre los puntos a y b.

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V6K3.K3K6

V18VT

(6)

y la resistencia de Thevenin RT

la calcularemos cortocircuitando la fuente en el circuito de la figura

11(b) y calculando la resistencia que se ve entre los puntos a y b la misma será:

K2

K3K6

K3.K6RT (7)

Con lo que el circuito equivalente queda como muestra la figura 11(c), y la corriente por la

resistencia de 4K puede ahora ser calculada como 6V/6K=1mA.

Pero si la resistencia de 4k cambiase ahora de valor, y fuese de 2k, simplemente el nuevo

cálculo daría para la corriente por ella 6V/4k=1,5mA.

3 - Introducción a los circuitos de corriente alterna

Se denominan circuitos de corriente alterna a aquellos en los cuales las tensiones y corrientes

pueden variar con el tiempo.

En electrónica, es de interés analizar la respuesta permanente de un circuito ante una excitación

periódica determinada. Una forma de encarar este problema es partir de la ecuación diferencial y

considerando nulas las condiciones iniciales, obtener la solución particular de la ecuación completa, es

decir, la llamada respuesta forzada. Esta forma de encarar el problema indicado se denomina análisis

en el dominio del tiempo.

Dado que toda señal periódica puede representarse por una serie de Fourier donde sólo aparece

un término constante más señales senoidales de la misma frecuencia de la señal periódica y sus

múltiplos (armónicas), es posible analizar el desempeño del circuito analizando su comportamiento

frente a señales senoidales de variada frecuencia. Un estudio como el indicado se denomina análisis en

el dominio de la frecuencia, y justifica nuestro interés en estudiar el comportamiento de los circuitos

electrónicos frente a la excitación de señales senoidales.

3.1 - Valores instantáneo, pico y eficaz de una tensión alterna senoidal

Una tensión senoidal puede ser expresado por su valor instantáneo que es una función senoidal

del tipo:

)tsen(.V)t(v m (8)

en donde:

Vm es el valor máximo de la tensión, también llamado valor de cresta, valor de pico, o, más

simplemente, amplitud de la señal senoidal.

es la pulsación (también llamada frecuencia angular) cuya unidad es radianes por segundo.

es la fase que corresponde al instante inicial

La pulsación está relacionada con otros dos parámetros importantes de una señal senoidal:

la frecuencia f (medida en c/s ó Hertz) que es el número de ciclos de la señal senoidal por

unidad de tiempo. Dado que un ciclo corresponde a 2 radianes, =2f de donde f=/2.

el período T, que es la duración de un ciclo de la señal senoidal, e igual a la inversa de la

frecuencia, es decir, T=1/f y, por lo tanto, igual a 2/.

Otro valor de una señal senoidal que resulta de interés definir es el valor eficaz. El interés en este

valor surge de la observación de que la energía que suministra una fuente senoidal de amplitud Vm

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sobre una resistencia R es menor que la que le suministraría una tensión continua de valor Vm, ya que

en la onda senoidal la mayor parte del tiempo la tensión es menor que su valor máximo. Interesa

determinar, entonces, la capacidad de suministrar energía de una onda senoidal.

La potencia que una cierta tensión v(t) aplicada sobre una resistencia R entrega a dicha

resistencia vale:

R

)t(v)t(i).t(v)t(p

2

(9)

Calculemos ahora la potencia promedio p entregada al cabo de un período T, es decir, a lo largo

de un ciclo, por una onda senoidal definida como )tsen(.V)t(v m . Nótese que hemos de hacer

el cálculo a lo largo de un período, por lo que la fase inicial bien podemos considerarla nula para

nuestro cálculo, sin perder por ello generalidad.

T

0

22m

T

0

2

dt.tsenVTR

1dt

R

)t(v

T

1p

y recordando de trigonometría que 2

t2cos1tsen2

, podemos escribir:

0TTR2

Vt2cosdt

TR2

Vdt

2

t2cos1

TR

Vp

2m

T

0

T

0

T

0

2m

2m

de donde finalmente:

R2

Vp

2m (10)

Se define como valor eficaz (o raíz del valor cuadrático medio) de una tensión senoidal al valor

de la tensión continua que aplicada sobre una resistencia R produce en ella la misma disipación de

potencia promedio que dicha onda senoidal. El valor eficaz se simboliza con el subíndice rms (por las

iniciales de su denominación inglesa root mean square), vemos que su valor debe satisfacer la relación:

R2

V

R

V2

m2

rms de donde 2

VV m

rms (11)

Es decir que el valor eficaz de una onda senoidal es de sólo el 70,7% de su amplitud.

3.2 - Repaso de los números complejos

En el estudio de las señales senoidales aparece reiteradamente la referencia a los números

complejos, en el siguiente cuadro se presentan algunas de las expresiones más útiles con este tipo de

números.

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Expresión Comentario

1j la unidad imaginaria

)db(j)ca()jdc()jba( regla del paralelogramo

senjcose j relación de Euler.

Nótese que el módulo del complejo ej

es 1, por

aplicación de la propiedad siguiente.

j)a/barctg(.j22 ee.bajba

senjcose j

conversión entre las formas cartesiana y polar.

y son, respectivamente, el módulo y la fase

de la forma polar

(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+bc)

)21(j21

2j2

1j1 eee

producto de complejos

22 ba)jba)(jba(

2jj e.e

producto de complejos conjugados

22 dc

)adbc(j)bdac(

jdc

jba

)21(j

2

1

2j2

1j1 e

e.

e.

cociente entre complejos

4 - Inductores, capacitores, ecuaciones diferenciales

Una de las características de los circuitos excitados con generadores de onda senoidal, es que si

en los circuitos eléctricos de corriente continua los únicos elementos que limitan la circulación de

corriente son las resistencias, en los circuitos de corriente alterna intervienen además los inductores y

los capacitores. Las resistencias son elementos disipativos y la vinculación entre la tensión aplicada a

ellas y las corrientes que las atraviesan es una simple expresión algebraica, la ley de ohm, en el caso de

inductores y capacitores, elementos capaces de almacenar energía (el primero de naturaleza

electromagnética, y el segundo electrostática) la relación entre tensión y corriente no es una expresión

algebraica sino una diferencial.

Así, en un inductor, la tensión sobre el mismo es proporcional a la derivada de la corriente que

lo atraviesa con respecto al tiempo, mientras que en un capacitor la corriente por el mismo es

proporcional a la derivada de la tensión sobre él aplicada. Es decir, valen respectivamente las

expresiones:

dt

idLv (12a)

e

dt

dvCi (12b)

En los circuitos de corriente continua estos elementos circuitales no fueron considerados por lo

siguiente:

en el caso de los inductores, al ser las corrientes constantes (es decir de derivadas nulas) la tensión

sobre los mismos es cero y su comportamiento corresponde a un cortocircuito

en el caso de los capacitores, al ser las tensiones constantes (es decir de derivadas nulas) la

corriente a través de los mismos es cero y su comportamiento corresponde a un circuito abierto.

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Otra de las características de los circuitos de corriente alterna que merece destacarse es que,

siendo la excitación de tipo senoidal, todas las tensiones entre los diferentes nodos y todas las

corrientes por las diferentes ramas son también funciones senoidales, de la misma frecuencia que la

excitación, aunque de amplitud y fase particulares de cada caso. Este carácter universal de las ondas

senoidales, ha llevado a desarrollar una transformación específica para ellas con el fin de simplificar y

sistematizar el tratamiento de estos circuitos de corriente alterna. Se trata de la transformación fasorial

que se detalla a continuación.

4.1 - Transformación fasorial

Para realizar el análisis de los circuitos en corriente alterna se ha encontrado muy útil efectuar

una transformación de las tensiones y corrientes senoidales en fasores armónicos. Para introducir el

concepto de "fasor armónico" convendrá destacar que el mismo tiene su base teórica en la fórmula de

Euler para los números complejos, que indica que:

senjcose j (13)

Teniendo esto en consideración, si tuviéramos que expresar la función coseno, la podemos escribir

)e(cos j (14)

en donde el símbolo significa "parte real" de un complejo. De igual forma, la función seno puede

escribirse:

)e(sen j (15)

en donde significa “parte imaginaria” de un complejo.

Con estas consideraciones, una función senoidal de amplitud A, puede escribirse de la siguiente

forma:

A.sen(t+)=[A.ej (t+)

] (16)

Al vector rotante, cuya proyección sobre el eje "imaginario" da lugar a la expresión (16), se lo

denomina "fasor armónico", o simplemente "fasor", y puede

ser representado en el plano complejo - de la forma que

indica la figura 12. Esa forma de representación, se llama

"diagrama fasorial":

El fasor está representado por su valor en el instante

inicial, Aej

. Sin embargo el fasor incluye un factor adicional

que es ejt

, cuya interpretación es el de un número complejo

de módulo unitario pero de fase linealmente creciente con el

tiempo que hace que el fasor, a partir de ese estado inicial,

gire manteniendo su módulo en sentido contrario a las agujas

del reloj (es decir, incrementando su fase) con una velocidad

angular . Y mientras el fasor armónico realiza sus giros, su

proyección sobre el eje imaginario es la función senoidal de la que hemos partido. El desplazamiengo

angular del fasor está simbolizado en la figura por el arco punteado y la flecha, pero lo habitual es que

no suele representarse el giro en los diagramas fasoriales, quedando el mismo implícito.

Según la fórmula de Euler dada por la expresión (16), el fasor de la figura 12 tendríamos que

escribirlo:

)j(A]e.A[ )t(j (17)

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En donde el primer término de la expresión (17) representa el "fasor" en su representación

estricta y el segundo término corresponde a una representación simplificada, denominada "equivalente

fasorial". Así, si v(t) es una tensión senoidal, su equivalente fasorial será simbolizado V(j) y si i(t) es

una corriente senoidal, su equivalente fasorial será simbolizado I(j).

La transformación fasorial tiene las siguientes reglas, enunciadas para tensiones senoidales pero

igualmente válidas para corrientes:

v(t) V(j) (18)

que muestra la simbología que hemos de emplear.

k.v(t) k.V(j (19)

que es una propiedad que señala que multiplicar a la función senoidal por una constante es equivalente

a multiplicar por la misma constante el fasor correspondiente.

v1(t)+v2(t) V1(j) + V2(j) (20)

esta regla establece que la transformación fasorial de la suma de dos funciones senoidales es igual a la

suma vectorial de los fasores de cada una de

ellas. Para demostrar esta propiedad, nos

referiremos al diagrama de la figura 13. En

ella vemos dos fasores )j(V1 y

)j(V2 que representan, en su proyección

sobre el eje imaginario, dos funciones

senoidales. El diagrama demuestra que si

sumamos los dos fasores empleando la

conocida regla del paralelogramo, la

proyección del fasor resultante sobre el eje

imaginario, es decir, su antitransformación

fasorial, es igual a la suma de las funciones

senoidales correspondientes a cada uno de los fasores individuales.

)j(Vjdt

dv (21)

esta regla establece que la transformación fasorial de la derivada de una variable senoidal es un fasor

cuyo módulo es veces mayor que el módulo del fasor de la variable senoidal, y su fase está

adelantada 90 grados respecto a la de dicho fasor. De allí el factor j que se observa en el fasor

correspondiente a la derivada. La demostración de esta aseveración es como sigue:

)tcos(Vdt

))tsen(.V(d

dt

dv

y recordando que º90sencos

)j(Vj)90tsen(Vdt

dv (22)

4.2 - Cociente entre fasores

Si se realiza el cociente entre dos fasores, como se muestra a continuación, se observa que el

resultado es un número complejo y no un nuevo fasor, porque desaparece el carácter de giratorio:

)(j

2

1

)tj(2

)tj(1

2

1 21

2

1

eA

A

eA

eA

)j(A

)j(A

(23)

1

V1(j) V1(j)+V2(j)

V2(j)

2

V2.sen(t+2)

V1.sen(t+1)

V2(j)

Figura 13

Página 14 de 17

Así, este número complejo indica, con su módulo, la relación entre las amplitudes de ambas

señales senoidales, y con su fase, el desfasaje entre las mismas.

4.3 - Impedancia

Si los fasores entre los cuales realizamos el cociente representa la tensión aplicada a una rama

de un circuito, y la corriente que circula por la misma, su resultado se expresa en y se denomina

impedancia de esa rama.

La impedancia de una rama, es decir el cociente entre el fasor de la tensión sobre esa rama

dividido por el fasor de la corriente que la atraviesa, se simboliza universalmente con la letra Z. Su

parte real se denomina resistencia y se simboliza R y su parte imaginaria se llama reactancia y se

simboliza X.

jXR)j(I

)(jVZ

(24)

En efecto, la impedancia es una generalización de la ley de Ohm que permite extenderla, en

términos fasoriales, a otros elementos circuitales como son los inductores y capacitores.

4.3.1 - Resistencia.

Analizando por medio de la ley de Ohm el caso conocido de la resistencia, se verifica que:

)t(i.R)t(v

transformando:

)j(I.R)j(V

de donde la impedancia, de acuerdo con la (23), queda:

R)j(I

)j(Vz

(25)

en donde vemos que la resistencia es un caso particular de impedancia.

4.3.2 - Inductancia.

En este caso, la relación entre tensión y corriente, queda expresada por la (12a), es decir:

dt

idLv

transformando:

)j(I.Lj)j(V

de donde la impedancia será:

Lj)j(I

)j(VZ

(26)

que indica que una inductancia se comporta como una reactancia de módulo L cuyo fasor adelanta 90º

con respecto del fasor de la corriente.

4.3.3 - Capacitor.

En este caso, la relación entre tensión y corriente, queda expresada por la (12b), es decir:

dt

dvCi

transformando: )j(V.Cj)j(I

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de donde:

C

1j

Cj

1

)j(I

)j(VZ

(27)

en este caso, la capacidad se comporta como una reactancia negativa de módulo 1/C. El "-j" indica

que el fasor tensión atrasa 90º respecto del fasor corriente.

En el siguiente cuadro haremos un resumen de lo recientemente expuesto:

Resistencia R

La ley de Ohm establece que:

)t(.R)t(v

Transformando

)j(I.R)j(V

De donde la impedancia resulta

R)j(I

)j(VZ

Lo que demuestra que la resis-

tencia es un caso particular de

impedancia, y que esta última es

un concepto de mayor grado de

generalidad.

Inductancia L

La ecuación diferencial

establece que:

dt

)t(dL)t(v

Transformando

)j(I.Lj)j(V

De donde la impedancia resulta

Lj)j(I

)j(VZ

Lo que demuestra que una in-

ductancia se comporta como

una reactancia de módulo L.

La presencia del factor j refleja

que el fasor tensión adelanta 90

grados respecto del fasor co-

rriente.

Capacidad C

La ecuación diferencial

establece que:

dt

)t(dvC)t(

Transformando

)j(V.Cj)j(I

De donde la impedancia resulta

C

1j

Cj

1

)j(I

)j(VZ

Lo que demuestra que una capa-

cidad se comporta como una

reactancia negativa de módulo

1/C. La presencia del factor

1/j (o, lo que es equivalente, –j)

refleja que el fasor tensión atra-

sa 90 grados respecto del fasor

corriente.

4.3.4 - Combinaciones de impedancias.

Las impedancias se pueden combinar entre sí en serie y/o en paralelo, y las fórmulas a aplicar

para calcular la impedancia resultante son similares a las empleadas para las conexiones serie y paralelo

de resistencias.

4.3.4.1 - Circuitos R-L

La impedancia de una conexión serie de una resistencia con un inductor es la suma de las

impedancias individuales, y de acuerdo a la expresión (27) resulta:

Z = R+jL (28)

si la combinación fuera en paralelo, tendríamos que aplicar la regla del producto sobre la suma, luego:.

L

Rj1

R

LjR

Lj.RZ

(29)

4.3.4.2 - Circuitos R-C

La impedancia de una conexión serie de una resistencia con un capacitor es la suma de las

impedancias individuales, teniendo en cuenta la expresión (27) resulta:

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C

1jRZ

(30)

y la impedancia de la conexión paralelo entre una resistencia y un condensador serí en este caso:

CRj1

R

Cj

1R

Cj

1R

Z

(31)

4.3.5 - Análisis de un circuito R-L.

Sea el circuito de la figura 14 constituido por una

inductancia L y una resistencia R conectadas en serie y

alimentadas por una fuente v(t), queremos hallar la caida de

tensión vo(t) sobre la resistencia.

Este circuito no es más que un divisor de tensión entre una

inductancia y una resistencia y lo utilizaremos como ejemplo para

ilustrar la aplicación de los fasores a la resolución de circuitos de

corriente alterna.

La impedancia del circuito, según la expresión (28) resulta:

Z = R+jL (28)

La ecuación de la malla, en términos fasoriales, es:

)j(I.Z)j(V

Y teniendo en cuenta la (28), la corriente que circula por el circuito será:

LjR

)j(V)j(I

de donde la tensión sobre la resistencia vale:

LjR

R)j(V)j(I.R)j(Vo

La función transferenia, definida como el cociente entre la tensión de salida y la de entrada será:

Lj1

1

R

Lj1

1

LjR

R

)j(V

)j(Vo

(31)

En donde el cociente L/R tiene dimensión de la inversa de , es decir de tiempo; se lo denomina

constante de tiempo del circuito inductivo y se lo suele representar con la letra griega L

.

Observando la expresión (31), vemos que la misma para =0 será igual a la unidad, o sea que

vo=v. Esto es asi puesto que en esas condiciones, L representa un corto circuito; si en cambio , la

(31) tiende a cero, es decir que la tensión de salida vo=0. Esto es asi porque en este caso X

L y toda

la caida se produce sobre la inductancia.

4.3.6 - Análisis de un circuito R-C.

Sea el circuito de la figura 13 constituido por un capacitor C y una resistencia R conectadas en

serie y alimentadas por una fuente v(t), queremos hallar la caida de tensión vo(t) sobre la resistencia.

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Este circuito, al igual que el R-L analizado recientemente,

constituye un divisor de tensión, en este caso entre un capacitor y

una resistencia. Vamos a aplicar también aquí fasores para resolver

este circuito de corriente alterna.

La impedancia del circuito, de acuerdo con la (29), resulta:

C

1jRZ

(29)

La ecuación de la malla, en términos fasoriales, es también:

)j(I.Z)j(V

luego, teniendo en cuenta la (29), la corriente que circula por el circuito será:

C

1jR

)j(V)j(I

de donde la tensión sobre la resistencia vale:

C

1jR

R)j(V)j(I.R)j(Vo

La función transferencia, definida recientemente, será:

c

1j1

1

CR

1j1

1

C

1jR

R

)j(V

)j(Vo

(32)

En donde el cociente CR tiene también en este caso dimensión de la inversa de , es decir de

tiempo; se lo denomina constante de tiempo del circuito capacitivo y se lo suele representar con la letra

griega c.

Observando la expresión (32), vemos que la misma para =0 será igual a cero, no hay

circulación de corriente puesto que el capacitor constituye un circuito abierto para la continua; si en

cambio , la (32) se hace igual a la unidad puesto que para frecuencia infinita, el capacitor

constituye un cortocircuito y toda la caida se produce sobre la resistencia R.