Apunte logica y_conjunto

UNIVERSIDAD ANDRES BELLOFACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

TUTORIA DE LOGICA Y CONJUNTOS

“Matematica solo se aprende practicando”

Ricardo M. Monge Rogel

Algebra (FMM009) - Semestre 1 de 2010CONCEPCION-CHILE

Indice general

1. Logica proposicional 11.1. Proposiciones logicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Conectivos logicos y sus tablas de verdad . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Conectivos logicos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2. Tipos de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3. Tablas de verdad para los conectivos basicos . . . . . . 3

1.3. Tautologıas, contradicciones y contingencias . . . . . . . . . . 61.4. Implicaciones y equivalencias logicas . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1. Implicacion logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2. Equivalencia logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.3. Algunas tautologıas importantes . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Funciones proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.1. Cuantificadores logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.2. Mas sobre cuantificadores logicos . . . . . . . . . . . . 9

1.6. Teoremas y metodos de demostracion . . . . . . . . . . . . . . 101.7. Problemas de logica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Teorıa de conjuntos 162.1. Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Maneras de definir un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. Diagramas de Venn Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Inclusion de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5. Igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6. Conjunto de las partes de un conjunto dado . . . . . . . . . . 192.7. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7.1. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7.2. Otras operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . 222.7.3. Propiedades de ∩ y ∪ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.8. Mas definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2

INDICE GENERAL 3

2.9. Particion de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.10. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.10.1. Propiedades de la cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . 272.11. Conjuntos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.11.1. Conjunto de los numeros naturales IN. . . . . . . . . . 282.11.2. Conjunto de los numeros enteros ZZ. . . . . . . . . . . 282.11.3. Conjunto de los nuneros racionales Q . . . . . . . . . . 282.11.4. Conjunto de los numeros irracionales Q∗ . . . . . . . . 29

2.12. Problemas de teorıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Capıtulo 1

Logica proposicional

1.1. Proposiciones logicas

Los valores de verdad VERDADERO (V) y FALSO (F) son los conceptosprimitivos de la logica.

Una proposicion es una sentencia (expresion) sujeta a un valor de verdad.Usualmente se denotan por letras minusculas p, q, r, s, etc.

Ejemplo 1.1 Son proposiciones:

p: “ Las sillas estan en el techo”.

q: “ La luna gira alrededor de la tierra”

r: “ El planeta Marte es cuadrado”

Observacion 1.1 Como puede observar, las proposiciones pueden ser ver-daderas (V) o falsas (F), no aceptan ambiguedades.

Ejemplo 1.2 No son proposiciones:

“ La calculadora ”.

“ x+ y = 2 ”

“ ¿ Que dıa es hoy? ”

1

1.2 Conectivos logicos y sus tablas de verdad 2

1.2. Conectivos logicos y sus tablas de verdad

Un conectivo logico es una operacion que nos permite obtener nuevas pro-posiciones a partir de otras dadas.

1.2.1. Conectivos logicos basicos

Los conectivos basicos son:

Negacion (∼) (“no”)

Conjuncion (∧) (“y”)

Disyuncion (∨) (“o”)

Condicional (→) (“Si . . . , entonces”)

Bicondicional (↔) (“Si y solo si”)

1.2.2. Tipos de proposiciones

Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas, vale decir, lasque no incluyen conectivos logicos, y las que sı los incluyen.

Ejemplo 1.3 Las proposiciones del Ejemplo 1.1, son ejemplos de proposi-ciones simples. Ejemplos de proposiciones compuestas son:

p: “ Michelle Bachelet es chilena y presidente ”

q: “ La luna es un satelite natural o el sol es una estrella”

r: “ No es verdad que 2+2=4”

Valores posibles de dos proposiciones dadas

p qV VV FF VF F

En general, los valores posibles para n proposiciones dadas son 2n.


Ejemplo 1.4 Para 3 proposiciones dadas, los valores posibles son 23 = 8, asaber:

p q rV V VV F VF V VF F VV V FV F FF V FF F F

1.2.3. Tablas de verdad para los conectivos basicos

Negacion (∼)Dada una proposicion p, se llama negacion de p, y se escribe ∼p, a la pro-posicion “no p”. Esto significa que ∼p es V si p es F, y ∼p es F si p esV.

Tabla de verdad para ∼p

p ∼pV FF V

Observacion.:

Otra notacion que tambien se usa para denotar la negacion de p es p.

Ejemplo 1.5 El siguiente es un ejemplo de negacion,

p: “ El pizarron es blanco ”

∼ p: “ El pizarron no es blanco”

Conjuncion (∧)Dadas dos proposiciones p y q, la conjuncion de ellas es la proposicion “p yq”, la cual se escribe p∧q. Ası p∧q, es V si ambas lo son, y p∧q es F si almenos una de ellas lo es.


Tabla de verdad para p∧q

p q p∧qV V VV F FF V FF F F

Ejemplo 1.6 Considere las dos proposiciones:

p: “ EL pizarron es rojo”

q: “ El platano es amarillo”

Entonces, p∧q se escribe en lenguaje comun: “ El pizarron es rojo y el platanoes amarillo.

Disyuncion (∨)Dadas dos proposiciones p y q, la disyuncion de ellas es la proposicion “p oq”, la cual se escribe p∨q. As, p∨q es V si al menos una de ellas lo es, y p∨qes F si ambas lo son.

Tabla de verdad p∨q

p q p∨qV V VV F VF V VF F F


p: “ El computador funciona con gas”

q: “ El libro es de piedra”

Entonces, p∨q se escribe en lenguaje comun: “El computador funciona congas o el libro es de piedra”


Condicional (→)

Dadas dos proposiciones p y q, la condicional de ellas es la proposicion “sip entonces q”, la cual se escribe p→q. Aquı, p se llama antecedente y qconsecuente. Tambien, p→q se lee “p es condicion suficiente para q”, o bien“q es condicion necesaria para p”. Ası, p→q es F solo si p es V y q es F.

Tabla de verdad para p→q

p q p→qV V VV F FF V VF F V


p: “ Son las 9:10 de la noche”

q: “ la clase es de Algebra”

Ası, p→q, se escribe en lenguaje comun: “Si son las 9 de la noche, entoncesla clase es de Algebra”

Bicondicional (↔)

Dadas dos proposiciones p y q, la bicondicional de ellas es la proposicion “psi y solo si q”, la cual se escribe p↔q. Tambien, p↔q se lee “p es condicionnecesaria y suficiente para q”. Ası, p↔q es V solo si ambas proposicionestienen el mismo valor de verdad.

Tabla de verdad para p↔q

p q p↔qV V VV F FF V FF F V


p: “ Estoy en el cine”

1.3 Tautologıas, contradicciones y contingencias 6

q: “ Estudio Auditorıa”

Ası, p↔q, se escribe en lenguaje comun: “ Estoy en el cine, si y solo si,estudio Auditorıa”

1.3. Tautologıas, contradicciones y contingen-

cias

Una proposicion se dice una:

TAUTOLOGIA (o TEOREMA LOGICO), si ella es siempre V , cuales-quiera sean los valores de verdad de las proposiciones simples que lacomponen, es decir, si su tabla de verdad solo contiene valores V .

CONTRADICCION, si ella es siempre F.

CONTINGENCIA, si no es tautologıa ni contradiccion.

Ejemplo 1.10 La proposicion:

a) p ∨ ∼ p es una tautologıa. En efecto:

p ∼p p ∨ ∼ pV F VF V V

b) p ∧ ∼ p es una contradiccion. En efecto:

p ∼p p ∧ ∼ pV F FF V F

c) p ∧ ∼ q es una contingencia. En efecto:

p q ∼ q p ∧ ∼ qV V F FV F V VF V F FF F V F

1.4 Implicaciones y equivalencias logicas 7

1.4. Implicaciones y equivalencias logicas

1.4.1. Implicacion logica

Dadas dos proposiciones p y q, se dice que p implica logicamente q, si laproposicion p→q es siempre verdadera. En tal caso se escribe p⇒q y se lee“p implica q”.

Ejemplo 1.11 (p⇒ (p ∨ q)), porque (p→ (p ∨ q)) es una tautologıa.

1.4.2. Equivalencia logica

Dadas dos proposiciones p y q, se dice que ellas son logicamente equivalentes,si la proposicion p↔q es siempre verdadera. En tal caso se escribe p⇔q y selee “p es equivalente a q”.

Ejemplo 1.12 (p ∧ q)⇔ (q ∧ p), porque (p ∧ q)↔ (q ∧ p) es una tautologıa(Compruebelo!).

1.4.3. Algunas tautologıas importantes

∼ (∼ p)⇔ p (doble negacion)

p ∧ q ⇔ q ∧ p (conmutatividad de ∧)

p ∨ q ⇔ q ∨ p (conmutatividad de ∨)

p↔ q ⇔ q ↔ p (conmutatividad de ↔)

p ∨ (q ∨ r)⇔ (p ∨ q) ∨ r (asociatividad de ∨)

p ∧ (q ∧ r)⇔ (p ∧ q) ∧ r (asociatividad de ∧)

p↔ (q ↔ r)⇔ (p↔ q) ∧ r (asociatividad de ↔)

p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (distributividad de ∧ con respecto a ∨)

p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (distributividad de ∨ con respecto a ∧)

∼ (p ∧ q)⇔ (∼ p) ∨ (∼ q) (Ley de De Morgan para ∧)

∼ (p ∨ q)⇔ (∼ p) ∧ (∼ q) (Ley de De Morgan para ∨)

p→ q ⇔ (∼ q)→ (∼ p) (contrarecıproca)

1.5 Funciones proposicionales 8

p→ q ⇔ (∼ p) ∨ q

∼ (p→ q)⇔ p∧ ∼ q (Reduccion al absurdo)

p↔ q ⇔ (p→ q) ∧ (q → p) (Bicondicional dividida en dos partes)

p↔ q ⇔ (∼ p ∧ ∼ q) ∨ (p ∧ q)

(p→ q) ∧ (q → r) =⇒ (p→ r) (Transitividad)

Ejercicio 1.1 Demuestre (usando tablas de verdad) que cada una de las tau-tologıas anteriores efectivamente los son.

1.5. Funciones proposicionales

Se llama funcion proposicional (o enunciado abierto) a una expresion p quecontiene una o mas variables, y tal que ella se convierte en una proposicionlogica cuando se le asignan valores especıficos a dichas variables.

Ejemplo 1.13 Sea A = {1, 2, 3}, entonces

p(x) : x+ 1 ≤ 3, x ∈ A.

es una funcion proposicional. En efecto, pues:

Si x = 1, p(1) : 1 + 1 ≤ 3 es una proposicion logica (V).

Si x = 2, p(2) : 1 + 2 ≤ 3 es una proposicion logica (V).

Si x = 3, p(3) : 1 + 3 ≤ 3 es una proposicion logica (F).

Conjunto de validez

Se llama Conjunto de validez de una funcion proposicional p, y se denota porVp, al conjunto de valores (o n-uplas de valores) para los cuales dicha funciones verdadera.

Ejemplo 1.14 Sea B = {2, 3, 4}, y

s(x) : x− 1 > 2, x ∈ B.

Entonces:

1.5 Funciones proposicionales 9

Si x = 2, s(2) : 2− 1 > 2 es F.

Si x = 3, s(3) : 3− 1 > 2 es F.

Si x = 4, s(4) : 4− 1 > 2 es V.

Por lo tanto, el conjunto validez es Vs = {4}, ya que solo el numero x = 4hace que la funcion s(x) sea verdadera.

1.5.1. Cuantificadores logicos

Para indicar que una funcion proposicional es verdadera para cualquierelemento de un determinado conjunto A se usa el sımbolo ∀, el cual sellama cuantificador universal.

∀ se lee: “para todo”, “cualquiera sea”, “para cada”.

Para indicar que una funcion proposicional es verdadera para algunoselementos de un determinado conjunto A se usa el sımbolo ∃, el cualse llama cuantificador existencial.

∃ se lee: “existe (un)”, “existe al menos un”, “existe algun”.

Para indicar que una funcion proposicional es verdadera para un unicoelemento de un determinado conjunto A se usa el sımbolo ∃!.

∃! se lee: “existe un unico”.

1.5.2. Mas sobre cuantificadores logicos

Sean A un conjunto y p una funcion proposicional que depende de una va-riable x (en tal caso se escribe p(x)).

∀x ∈ A : p(x) se lee “para todo x en A, p(x) es verdadera”.

∃x ∈ A : p(x) se lee “existe x en A tal que p(x) es verdadera”.

Ejemplo 1.15 Ejemplos de lecturas de cuantificadores,

a) ∀x ∈ IN : x2 ≥ 1, se lee: “ para todo x en IN, x2 es mayor o igual que1”.

1.6 Teoremas y metodos de demostracion 10

b) ∃x ∈ ZZ : x2 = 1, se lee: “existe x en ZZ, tal que, x2 es igual a 1”.

c) ∃!x ∈ ZZ : x + 5 = 0, se lee: “existe un unico x en ZZ, de modo que,x+ 5 sea igual a 0”.

Negaciones importantes

∼ (∀x ∈ A : p(x))⇔ (∃x ∈ A : ∼ p(x))

∼ (∃x ∈ A : p(x))⇔ (∀x ∈ A : ∼ p(x))

∼ (∃!x ∈ A : p(x)) ⇔ [∀x ∈ A : ∼ p(x)] ∨ [∃x ∈ A, ∃y ∈ A, x 6= y :p(x) ∧ p(y)]

Ejemplo 1.16 Negaciones de los enunciados del ejemplo 1.15,

a) ∼ (∀x ∈ IN : x2 ≥ 1)⇔ (∃x ∈ IN : x2 < 1).

b) ∼ (∃x ∈ ZZ : x2 = 1)⇔ (∀x ∈ ZZ : x2 6= 1).

c) ∼ (∃!x ∈ ZZ : x + 5 = 0) ⇔ ([∀x ∈ ZZ : x + 5 6= 0] ∨ [∃x ∈ ZZ, ∃y ∈ZZ, x 6= y : x+ 5 = 0 ∧ y + 5 = 0]).

1.6. Teoremas y metodos de demostracion

Un teorema es una proposicion verdadera de cierta relevancia para unateorıa y cuya verdad debe ser demostrada.

Algunas estructuras de teoremas

Implicacion: Si (hipotesis), entonces (tesis) (H → T )Metodos de demostracion:

• Metodo directo.

• Metodos indirectos: contra-recıproca (∼ H →∼ T ), reduccion alabsurdo (H∧ ∼ T )→ (p ∧ ∼ p) (contradiccion).

Equivalencia: (Hipotesis) si y solo si (tesis) (H ↔ T )Metodo de demostracion: (H → T ) ∧ (T ← H).

Equivalencia de n proposiciones:P1 ↔ P2 ↔ · · · ↔ Pn, n > 2Metodos de demostracion:

1.7 Problemas de logica proposicional 11

• Directo: P1 ↔ P2 y P2 ↔ P3, etc.

• Usando transitividad: [(Pi → Pj) ∧ (Pj → Pk)]→ (Pi → Pk).(en general, demostrar que Pi → Pi+1, i = 1, . . . , n−1 y Pn → P1).

Discreto: ∀n ∈ IN : p(n)Metodo de demostracion: Induccion matematica.

La falsedad de una proposicion se puede demostrar usando un contraejemplo.

Ejemplo 1.17 Ejemplos de demostracion:

Proposicion 1.6.1 Sea a ∈ IN. Si a es par, entonces a2 par.

Demostracion. (directa) Hipotesis: a es par,

entonces a = 2n para algun n ∈ IN,

entonces a2 = (2n)2 = 4n2 = 2(2n2),

entonces a2 es par (pues 2n2 ∈ IN).�

Proposicion 1.6.2 Sea a ∈ IN. Si a2 es par, entonces a es par.

Demostracion. (contradiccion) Se supone H ∧ ∼ T : a2 es par y a esimpar,

entonces a = 2n+ 1 para algun n ∈ IN,

entonces a2 = (2n+ 1)2 = 4n2 + 4n+ 1,

entonces a2 es impar (por Proposicion 1.6.1 y “suma de numeros pareses par”),

entonces a2 es par y a2 es impar (p ∧ ∼ p), CONTRADICCION,(→←)�

1.7. Problemas de logica proposicional

Problema 1 Si p(x) denota el enunciado “x + 2 > 5”, establecer si p(x) eso no una funcion proposicional sobre cada uno de los siguentes conjuntos:

a) IN, el conjunto de los numeros naturales;


b) M = {−1,−2,−3, . . .},

c) C, el conjunto de los numeros comlejos.

Problema 2 Determinar el valor de verdad de cada uno de los siguentesenunciados. ( Aquı, IR es el conjunto de los numeros reales.)

a) ∀x ∈ IR, |x| = x

b) ∀x ∈ IR, x+ 1 > x

c) ∃x ∈ IR, |x| = 0

d) ∃x ∈ IR, x2 = x

e) ∃x ∈ IR, x+ 2 = x

Problema 3 Negar los enunciados del Problema 2.

Problema 4 Considere las siguientes formulas proposicionales

a) (p↔ q)↔ [(p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)]

b) (p→ q)↔ (q → p)

c) [(p→ q)∧ ∼ q]→ p

d) [(p→∼ q) ∧ ((∼ r ∨ q) ∧ r)]→∼ p

Se solicita:

i) usar una tabla de verdad para determinar si corresponden a equivalen-cias logicas, o implicacions logicas.

ii) usar la equivalencia logica de a) para obtener una equivalencia para∼ (p↔ q) que solo tenga concectivos ∼, ∧ o ∨.

iii) dar un contra-ejemplo para hecer ver que (c) no es una implicacionlogica.

Problema 5 Probar las siguientes implicaciones logicas (usando tablas deverdad), que son algunas de las llamadas reglas de inferencia

a) p⇒ (p ∨ q) (Adicion)

b) (p ∧ q)⇒ p (Simplificacion)


c) [(p ∧ (p→ q)]⇒ q (Modus ponens)

d) [(p→ q)∧ ∼ q]⇒∼ p (Modus tollens)

e) [(p ∨ q)∧ ∼ p]⇒ q (Silogismo disyuntivo)

f) [(p→ q) ∧ (q → r)]⇒ (p→ r) (Silogismo hipotetico)

Problema 6 Se define el conectivo ↓, conjuncion negativa; p ↓ q (se lee “ Nip ni q”), por la siguiente tabla de verdad

p q p ↓ qV V FV F FF V FF F V

Demostrar que los tres conectivos ∨, ∧ y ∼ se pueden expresar con el conec-tivo ↓ como sigue:

a) ∼ p↔ [p ↓ p]

b) p ∧ q ↔ [(p ↓ p) ↓ (q ↓ q)]

c) p ∨ q ↔ [(p ↓ q) ↓ (p ↓ q)].

Problema 7 Se define el conectivo ∨, disyuncion exclusiva; p∨q (se lee “p oq, pero no ambos”), por la siguiente tabla de verdad:

p q p∨qV V FV F VF V VF F F

Demostrar que (p∨q)↔ [(p∨q)∧ ∼ (p∧q)]. Por lo tanto, ∨ se puede escribirempleando los tres conectivos ∨, ∧ y ∼ .

Problema 8 Sean las proposiciones:

p: Tengo dinero.

q: Hoy dejare de fumar.


Escriba los siguientes enunciados verbales en forma simbolica usando p y q.

a) No tengo dinero .

b) Si tengo dinero entonces hoy no dejare de fumar.

c) Tengo dinero, sı y solo si, hoy dejo de fumar.

d) No es verdad que, hoy no dejare de fumar.

e) No es verdad que, no tengo dinero y que hoy no dejare de fumar.

f) Es falso que, no tengo dinero o que hoy dejare de fumar.

Problema 9 Escriba la negacion de las siguientes proposiciones.

a) Estoy en clase de matematica I si y solo si hoy es miercoles.

b) Una condicion necesaria y suficiente para que este en clase de matemati-ca I es que hoy sea dıa lunes.

c) Todos los polıticos son mentirosos.

d) Existe un sol en nuestra galaxia.

e) Existe un unico sol en nuestra galaxia.

Problema 10 Considere el conjunto A = {1, 2, . . . , 100} y las proposiciones

a) ∀n ∈ A: n2 ≤ 100.

b) ∃n ∈ A: n2 = 50.

c) ∃!n ∈ A: 2n = n2.

Se solicita:

i) Determine el valor de verdad de cada una.

ii) Escriba la negacion de cada una.

Problema 11 Niegue cada una de las siguientes proposiciones

a) (∃x ∈ IR)(∀y ∈ IR) : x < y

b) (∀x ∈ IR)(∀y ∈ IR) : x ≥ y.


c) (∃!n ∈ IN) tal que ∀x ∈ IR : x ≤ n

d) ∃x ∈ IR, ∃y ∈ IR : x2 + y2 < 0.

e) ∃ǫ > 0, ∃x ∈ IR, ∀y ∈ IR : |x− y| > ǫ.

f) ∀x ∈ IR, ∃!y ∈ IR : xy ≤ 0 ∧ |x− y| = 2x

Capıtulo 2

Teorıa de conjuntos

Llamaremos conjunto a cualquier coleccion de objetos determinados ydistintos. Los objetos los llamaremos elementos del conjunto. Dos conjuntosimportantes son el conjunto vacıo, que no contiene elementos, y el conjuntouniverso, que contiene todos los elementos.

2.1. Notacion

Los conjuntos se escribiran: A, B, C, . . .

Los elementos se escribiran: a, b, c, . . .

a pertenece a A se escribira: a ∈ A

a no pertenece a A se escribira: a /∈ A

Conjunto vacıo se escribira: φ

Conjunto universo se escribira: U

Ejemplo 2.1 Sea el conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, tenemos que1 ∈ A, 13 /∈ A.

Observacion 2.1 Dado x ∈ U y un conjunto A: ¿ x ∈ A ∨ x /∈ A?Si esta pregunta puede responderse siempre, entonces se dice que el conjuntoA esta bien definido.

16

2.2 Maneras de definir un conjunto 17

2.2. Maneras de definir un conjunto

Por extension, vale decir mostrando los elementos del conjunto.

Ejemplo 2.2 IN = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}. (numeros naturales)

Por compresion, esto es dando una propiedad (o proposicion) que ca-racterice a los elementos del conjunto.

Ejemplo 2.3 Q ={a

b: a, b ∈ ZZ, b 6= 0

}

. (numeros racionales)

2.3. Diagramas de Venn Euler

Los diagramas de Venn nos permiten visualizar en forma sencilla e instruc-tiva los conjuntos y sus relaciones, y en estos diagramas se usan las siguientesformas:

Figura 2.1: Formas usadas para hacer diagramas de Venn Euler.

Ejemplo 2.4 Ejemplo de representacion en un diagrama de Venn del con-junto A formado por dos cubos y un cilindro.

2.4 Inclusion de Conjuntos 18

Figura 2.2: El conjunto A formado por dos cubos y un cilindro.

2.4. Inclusion de Conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se dice que A es subconjunto de B, y seescribe A ⊆ B, si todos los elementos de A estan tambien en B, esto es:

A ⊆ B ⇔ (∀x ∈ U : x ∈ A⇒ x ∈ B)

Figura 2.3: Diagrama de Venn para representar que A ⊆ B.

Ejemplo 2.5 Si A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {2, 4, 6, 8}, entoncesB ⊆ A.

Propiedades de la inclusion

Dados A,B,C conjuntos, se tiene que

φ ⊆ A ⊆ U (el conjunto vacıo es subconjunto de cualquier conjunto ytodo conjunto es subconjunto del conjunto universo)

2.5 Igualdad de conjuntos 19

A ⊆ A (Todo conjunto es subconjunto de sı mismo)

(A ⊆ B ∧B ⊆ C)⇒ A ⊆ C ( Transitividad de la inclusion).

2.5. Igualdad de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se dice que A y B son iguales, y se escribeA = B, si los elementos de A y B coinciden, esto es:

A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A).

2.6. Conjunto de las partes de un conjunto

dado

Dado un conjunto A, se define el conjunto de las partes de A, y se denotaP(A), como el conjunto de todos los subconjuntos de A, esto es:

P(A) = {X : X ⊆ A}

Observacion 2.2 Notar que:

i) los elementos de P(A) son conjuntos;

ii) P(A) 6= φ ya que φ ∈ P(A) ∧A ∈ P(A).

Observacion 2.3 Notar que si A tiene n elementos, entonces el conjuntoP(A) tiene 2n elementos

Ejemplo 2.6 Dado el conjunto A = {a, b}, entonces

P(A) = {φ, {a}, {b}, A}.

En este caso A tiene 2 elementos y P(A) tiene 22 = 4 elementos.

2.7. Operaciones entre conjuntos

Sea U el conjunto universo, y sean A, B subconjuntos de U .

2.7 Operaciones entre conjuntos 20

La diferencia de A y B es el conjunto

A−B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x /∈ B}

(otra notacion: A \B).

Figura 2.4: Diagrama de Venn para A− B.

Figura 2.5: Diagrama de Venn para A− B = φ, cuando A ⊆ B.


Figura 2.6: Diagrama de Venn para A− B, cuando A y B son disjuntos.

Ejemplo 2.7 Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {2, 4, 6, 8}, entoncesA− B = {1, 3, 5, 7, 9}.

El complemento de A con respecto a U , el cual se denota Ac (o bienA′, −A), es el conjunto U − A, vale decir:

Ac = U − A = {x ∈ U : x /∈ A}.

Figura 2.7: Diagrama de Venn para Ac.


Figura 2.8: Diagrama de Venn para Ac, cuando A ⊆ B.

Figura 2.9: Diagrama de Venn para Ac, cuando A y B son disjuntos.

Ejemplo 2.8 Si U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {1, 2, 3, 7}, en-tonces Ac = {0, 4, 5, 6, 8, 9}.

2.7.1. Algunas propiedades

Para todo x ∈ U se tiene: (x ∈ A) ∨ (x ∈ Ac).

φc = U ∧ U c = φ

(Ac)c = A

2.7.2. Otras operaciones entre conjuntos

Sea U el conjunto universo, y sean A, B subconjuntos de U .


La interseccion de A y B, la cual se denota A ∩ B, es el conjunto detodos los elementos comunes a A y B, esto es

A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Figura 2.10: Diagrama de Venn para A ∩B.

Figura 2.11: Diagrama de Venn para A ∩ B = A, cuando A ⊆ B.


Figura 2.12: Diagrama de Venn para A∩B = φ, cuando A y B son disjuntos.

Ejemplo 2.9 Si A = {i, w, v, x, y, z} y B = {a, b, c, x, y},entonces A ∩ B = {x, y}.

La union de A y B, la cual se denota A ∪ B, es el conjunto de todoslos elementos que estan en A o en B, esto es

A ∪B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Figura 2.13: Diagrama de Venn para A ∪B.


Figura 2.14: Diagrama de Venn para A ∪ B = B, cuando A ⊆ B.

Figura 2.15: Diagrama de Venn para A ∪ B, cuando A y B son disjuntos.

Ejemplo 2.10 Si A = {π,√2, e} y B = {−1, 0, 1},

entonces A ∪ B = {−1, 0, 1, π,√2, e}.

2.7.3. Propiedades de ∩ y ∪A ∪A = A y A ∩A = A (idempotencia)

A ∪B = B ∪ A y A ∩B = B ∩A (conmutatividad de ∪ y ∩).

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C (Asociatividad de ∪)

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C (Asociatividad de ∩)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)(distributividad de ∪ con respecto a ∩)

2.8 Mas definiciones 26

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)(distributividad de ∩ con respecto a ∪)

(A ∪B)c = Ac ∩ Bc (Ley de De Morgan)

(A ∩B)c = Ac ∪ Bc (Ley de De Morgan)

2.8. Mas definiciones

Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si y solo si A ∩B = φ.

Dados dos conjuntos no vacıos A y B, se define el Producto Cartesianode ellos, el cual se denota por A × B, como el conjunto de todos lospares ordenados (a, b) tales que a pertenece a A y b pertenece a B, estoes

A×B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}

Observacion 2.4 Note que, en general: A× B 6= B × A.

Observacion 2.5 Si A tiene n elementos y B tiene m elementos, en-tonces A× B tiene m · n elementos.

Ejemplo 2.11 Si A = {1, 2} y B = {3, 4, 5},entonces A× B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} yB×A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}. Usando la observacion2.5, que A tiene 2 elementos y B tiene 3 elementos tenemos que A×Btiene 2 · 3 = 6 elementos.

2.9. Particion de un conjunto

SeanA1, A2, . . . , An subconjuntos de un conjunto B. Se dice que {A1, A2, . . . , An}es una PARTICION de B si estos conjuntos son no vacıos, disjuntos dos ados y su union es el conjunto B, vale decir si y solo si:

Ai 6= φ, para cada i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}.

Ai ∩ Aj = φ, para i 6= j.

n⋃

i=1

Ai = B.

2.10 Cardinalidad 27

Ejemplo 2.12 Si B = {1, 2,−1}, entonces una particion de B es {A1, A2, A3}con A1 = {1}, A2 = {2} y A3 = {−1}.

2.10. Cardinalidad

El numero de elementos de un conjunto finito A se llama cardinalidad deA y se denota |A|.

2.10.1. Propiedades de la cardinalidad

Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces |A ∪B| = |A|+ |B|.

Si A y B son conjuntos arbitrarios, entonces |A∪B| = |A|+|B|−|A∩B|.

Si A, B y C son conjuntos arbitrarios, entonces

|A∪B∪C| = |A|+ |B|+ |C|−|A∩B|−|A∩C|−|B ∩C|+ |A∩B∩C|.

Ejemplo 2.13 Si A = {1, 2,−1} y B = {1, 3, 5, 7, 9}, entonces A∩B = {1},|A| = 3, |B| = 5, |A∩B| = 1 y |A∪B| = |A|+ |B|− |A∩B| = 3+5−1 = 7.

2.11. Conjuntos numericos

Son aquellos conjuntos formados por numeros y que tienen un numeroinfinito de elementos.

Figura 2.16: Relacion entre los conjuntos numericos: IN ⊆ ZZ ⊆ Q ⊆ IR.

2.11 Conjuntos numericos 28

2.11.1. Conjunto de los numeros naturales IN.

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}El conjunto de los Numeros Naturales surge de la necesidad de contar. Esteconjunto se caracteriza porque:

Tiene infinitos elementos.

Cada elemento tiene un sucesor y cada elemento, excepto el 1, tiene unantecesor.

El sucesor de un numero natural se obtiene sumando uno (+1); y el antecesorse obtiene restando uno (-1).

2.11.2. Conjunto de los numeros enteros ZZ.

ZZ = {. . . ,−6,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}El Conjunto de los Numeros Enteros nace de la necesidad de dar solucion alproblema que surge cuando restamos dos numeros naturales y el sustraendoes mayor que el minuendo, esta sustraccion no tiene solucion en el Conjuntode los numeros Naturales (por ejemplo: 1 − 2 =¿?). Debido a esto, la rectanumerica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto querepresenta un numero natural le corresponda un punto simetrico, situadoa la izquierda del cero. Punto simetrico es aquel que esta ubicado a igualdistancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de el).

Observacion 2.6 Si definimos, el conjunto de los enteros negativos, ZZ−,

como:ZZ

− = {. . . ,−6,−5,−4,−3,−2,−1},entonces ZZ = ZZ

− ∪ {0} ∪ IN.

2.11.3. Conjunto de los nuneros racionales Q

Q ={a

b: a, b ∈ ZZ, b 6= 0

}

Ejemplo 2.14 Tenemos que: 1

2∈ Q, 3

2∈ Q, 0,001 ∈ Q, etc.

2.12 Problemas de teorıa de conjuntos 29

El conjunto de los Numeros Racionales surgio debido a las limitaciones decalculo que se presentaban en el conjunto de los Numeros Naturales y Nume-ros Enteros. Por ejemplo, solo se puede dividir en el conjunto de los NumerosEnteros si y solo si el dividendo es multiplo, distinto de cero, del divisor. Paraarreglar esta dificultad, se creo este conjunto.

2.11.4. Conjunto de los numeros irracionales Q∗

Este conjunto surgio de la necesidad de reunir a los numeros que no per-tenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos tenemos a las raıces inexactas,el numero π, etc. A este conjunto pertenecen todos los numeros decimalesinfinitos puros, es decir aquellos numeros que no pueden transformarse enuna fraccion. No deben confundirse con los numeros racionales, porque estosson numeros decimales finitos, infinitos periodicos e infinitos semiperiodicosque sı pueden transformarse en una fraccion.

Ejemplo 2.15 Tenemos que: π ∈ Q∗,√2 ∈ Q∗,

√5 ∈ Q∗, etc.

2.12. Problemas de teorıa de conjuntos

Problema 1 Sea M el conjunto de los numeros naturales menores que 5.

a) Escriba el conjunto M por comprension.

b) Escriba el conjunto M por extension.

Problema 2 Expresar por extension los siguientes conjuntos:

a) A = {x : x es una vocal de la palabra “ Auditor” o “ Contador” }.

b) B = {x : x es una vocal de la palabra “ IVA” }.

Problema 3 Sean los conjuntos A y B, tales que: A ∪ B = {a, b, c, d} ∧A ∩ B = {a, c} ∧ A− B = {b}. Hallar A y B.

Problema 4 Sea U = {x ∈ ZZ : −1 < x ≤ 7} y los conjuntos:

A = {x ∈ U : x > 2}

B = {x ∈ U : 4 ≤ x < 7}

C = {x ∈ U : x ≥ 3}


Encuentre:

a) (A ∩B)c − C

b) (A ∪ C)c − (A ∩ B)

c) (C ∪A)− Bc

d) (A ∪B)c − (C − A)

e) [A− (B − C)]c

Problema 5 Dado los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, b, {c}}; encuentrelos conjuntos P(A) y P(B).

Problema 6 Sean los conjuntos A = {1, 2, 4, 5, 7}, B = {7, 8, 9} y C ={1, 2, 3, 4}. Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.

a) (A− (A−B))c = Ac ∪ Bc

b) (A ∪B)− (B ∩ Ac) = A

c) (A ∩ C)− (A− B) ⊆ A

Problema 7 Determine si las siguientes proposiciones son Verdaderas o Fal-sas.

a) −7 ∈ IN

b)√7 ∈ Q

c) (−1)3 ∈ ZZ

d)√3 /∈ Q∗

Problema 8 Determine si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas.

a) Todos los numeros naturales tienen sucesor.

b) Algun numero natural es impar y es divisible por 2.

c) Todo numero natural menor que 10 es menor que 9.

Problema 9 Sean A = {−3, 0, 5}, B = {0, 5,−3} y C = {0, 5}. Determinarsi las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. En el caso de que seanfalsas indique por que.


a) C ⊆ A.

b) A = B.

c) C ∈ A.

d) C ⊆ B.

e) A 6= C.

f) φ = {φ}.

g) A ⊆ B.

h) φ ⊆ B.

Problema 10 En una investigacion a mil estudiantes de un Instituto sedetermino que 720 tenıan cassettes, 670 poseıan CD y 540 tenıan ambascosas. Determinar:

a) ¿ Cuantos estudiantes tienen cassettes o CD?

b) ¿ Cuantos estudiantes no tienen cassettes ni CD?

c) ¿ Cuantos estudiantes tienen solo CD?

d) ¿ Cuantos estudiantes tienen solo cassettes?

Problema 11 Se investigo un grupo de 5500 personas en relacion con laestrategia de ahorrar combustible. De estas, 2000 opinaron que lo aceptableera el racionamiento, 1500 dijeron que lo apropiado serıa fijar un impuestoadicional por litro, y 750 personas indicaron que lo apropiado serıa la aplica-cion de ambos procedimientos. El resto de las personas no aceptan ningunode los dos sistemas. Determinar:

a) Un diagrama de Venn, que resuma lo anterior.

b) ¿ Cuantas personas aceptarıan en forma voluntaria el racionamientopero no el impuesto?

c) ¿ Cuantas personas aceptarıan en forma voluntaria el impuesto, perono el racionamiento?

d) ¿ Cuantas personas no aceptarıan en forma voluntaria ninguno de losdos cursos de accion?


Problema 12 En una eleccion de directorio de una empresa asistieron 595de un universo de 703 accionistas. Segun los estatutos de la empresa cadaaccionista recibe una papeleta con los nombres de todos los candidatos yen donde el accionista marcara, si lo desea, hasta dos preferencias. De losresultados de la eleccion se determino la siguiente informacion referente a lastres primeras mayorıas. El candidato A obtuvo 324 preferencias, 47 de losaccionistas solo votaron por A, 203 votaron por A y no por B, 164 votaronpor C y B, 358 votaron por C y 42 votaron solo por B. Determinar:

a) ¿ Quien obtuvo la primera mayorıa?

b) ¿ Quien obtuvo la segunda mayorıa?

c) ¿ Cuantos votaron por dos candidatos?

d) De todos lo asistentes, ¿ cuantos no votaron por C?

e) ¿ Cuantos solo votaron por C?

f) ¿ Cuantos de los asistentes no votaron por ninguno de los tres?

g) ¿ Cuantos accionistas no se hicieron presente?

h) ¿ Cuantos accionistas votaron por los tres candidatos?

Problema 13 De una encuesta a 200 personas que compran pasta de dientes80 compran Pepsodent, 60 compran solamente Odontine, 20 compran sola-mente Signal, 14 compran Pepsodent y Odontine, 20 compran Odontine ySignal, 12 compran Pepsodent y Signal y 10 compran todos. El resto compraotra marca.

a) ¿ Cuantos compran al menos una de estas marcas?

b) ¿ Cuantos no compran estos dentrıficos?

c) ¿ Cuantos compran solamente Pepsodent?

d) ¿ Cuantos compran Signal?

e) ¿ Cuantos no compran Odontine?

f) ¿ Cuantos compran Signal u Odontine?

Apunte logica y_conjunto

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