APUNTE MATEMÁTICA 1º DE POLIMODAL

Esc. Nº 4-198Francisco GarcíaProf. Sergio Viñolo

MATEMÁTICA. 3º AÑO

Plan FinEs 2011

Trabajo evaluativo Teórico Práctico.

CONTENIDOS CONCEPTUALES: FUNCIONES: Función Afín y Cuadrática; Problemas de aplicación de ecuaciones de primer y segundo grado; CONJUNTOS NUMÉRICOS: introducción a los números Complejos.

Actividad 1.

Lea el siguiente texto y realice un cuadro conceptual determinando los conceptos relevantes.

FUNCIÓN.

Una función es una “relación entre dos conjuntos”, uno de entradas y otro de salidas. Además estos conjuntos se denominan “Dominio” y “Codominio” respectivamente. Los elementos de ambos conjuntos son “variables”, tales que los del codominio “dependen” de los valores asignados a las variables del dominio. Esta relación de dependencia establece una “correspondencia” tal que, a cada elemento de variable independiente, se le asigna mediante la función, uno y sólo un valor de la variable dependiente.

f esuna función definida de X enY

f : X → Y /(∀ x∈X ∃ y∈Y : f ( x )¿¿ y )¿

Toda función puede representarse de varias maneras, y en distintos registros de representación. Entre estos, se destaca: EL REGISTRO ALGEBRAICO (la fórmula de la función), EL REGISTRO TABLA y EL REGISTRO GRÁFICO (en un sistema de ejes cartesianos).

Actividad 2.

Una función afín es aquella cuya expresión algebraica viene dada por:

y=a.x + b

donde e son variables, a es una constante que se denomina pendiente y b otra constante

denominada ordenada en el origen.

Su representación gráfica es una recta que corta al eje de ordenadas (el y) en b, es decir en el

par ordemanado (0;b).

2.1 Teniendo en cuenta la anterior definición, indique para las funciones f(x)= 2.x y g(x)=-(2/3).x + 1 :

a) ¿Mediante qué tipo de representación se han expresado a f(x) y g(x)?

b) Represéntelas en tablas de valores y gráficamente.



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Actividad 3.

Estudio analítico de las funciones.

A toda función f puede analizarsele entre otras cosas:

1. Dominio: conjunto de los valores que toma la variable independiente. Se simboliza Df

2. Imagen: conjunto de las imágenes del dominio, es decir, el conjunto de los posibles valores de la variable dependiente. Se simboliza If y además If⊆ Codomf

3. Intervalo de crecimiento: intervalo en el que la función crece, es decir que al aumentar la variable independiente, aumenta la variable dependiente.

4. Intervalo de decrecimiento: intervalo en el que la función decrece, es decir que al aumentar la variable independiente, disminuye la variable dependiente.

5. Conjunto de positividad: Intervalo del dominio para el que la función toma valores positivos y se grafica por encima del eje de las x. Se simboliza C+.

6. Conjunto de negatividad: Intervalo del dominio para el que la función toma valores negativos y se grafica por debajo del eje de las x. Se simboliza C -.

7. Conjunto de ceros: conjunto de las raíces de la función. Ceros o Raíces de la función: son los valores para los cuales la imagen es cero. Para calcularlo basta con igualar la función a cero, es decir y=0. Gráficamente son los valores de abscisa (de x) donde la gráfica corta al eje de las x.

8. Ordenada al Origen: es la imagen al cero. Para calcularla basta con igualar la variable independiente a cero, es decir x=0. Gráficamente es el valor de la ordenada (de y) donde la gráfica de la función corta al eje de las y.

9. Extremos Absolutos: máximos y mínimos, es decir abscisas para las que se obtienen los máximos y mínimos valores de la ordenada.

POR EJEMPLO: Se analizará la siguiente función f(x).1

CRITERIOS f(x)Dominio RImagen RInterv. Crecimiento (−∞ ;a )∪(b ;+∞)Interv. Decrecimiento. (a;b)Conj. Positividad (−2 ;1 )∪(3 ;+∞)Conj. Negatividad (−∞ ;−2 )∪(1,3)Conj. Ceros. {−2,1,3 }Ord. Origen 6

Realice dicho análisis para las dos funciones propuestas en el ejercicio anterior.

1 Ubique aproximadamente a las abscisas “a” y “b”.



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Actividad 4.

Proposición

La pendiente a de una recta cuya ecuación es y=a.x +b, mide la inclinación de la misma, de

manera que:

Si a > 0, la función es creciente. Y su gráfica se dirige del 3ºcuadrante al 1ºcuadrante.

Si a < 0, la función es decreciente. Y su gráfica se dirige del 2º al 4º cuadrante.

Si a = 0, la función es constante (recta horizontal). Y su gráfica se dirige del 2º al

1ºcuadrante, o del 3º al 4º.

Cálculo de la pendiente

Dado que la pendiente de una recta indica la inclinación de la misma, se trata de un cociente

entre variaciones de la variable dependiente con variaciones de la variable independiente; de

tal forma que se puede hallar de la siguiente manera:

a= variaciónde yvariaciónde x

para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones restando

sus coordenadas e , respectivamente. Es decir, si P1(x1; y1) y P2(x2; y2) son dos puntos de la

función, para calcular la pendiente a, se hace:

a= y1− y2x1−x2

Indique verdadero o falso según corresponda:

a) Los puntos (2;4) y (-2;-4) pertenecen a una recta de pendiente -2.

b) Los puntos (0;5) y (5,0) pertenecen a una recta de pendiente 5.

c) La recta de pendiente 0 contiene a los puntos (0,6) y (0, -21)

d) La recta cuya pendiente es 0,5, contiene a los puntos (4;-2) y (-1; -4,5)

Luego para los casos anteriores indique si se habla de funciones crecientes, decrecientes o constantes.



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Lea el siguiente texto instructivo para hallar luego las ordenadas al origen de las funciones descritas correctamente (las opciones verdaderas) del ejercicio anterior.

Cálculo de la ordenada al origen

Una vez conocido el valor de la pendiente de una recta, y teniendo como dato por lo menos un

punto de la misma, por ejemplo P1, se calcula la ordenada al origen de la siguiente forma:

y 1=a . x1+b

Entonces, para averiguar b se debe resolver la ecuación planteada quedando:

b= y 1−a . x1

Así, conociendo dos puntos P1 y P2 de la función afín, se puede hallar

su ecuación y=ax+b si es que ésta es desconocida.

Este procedimiento es utilizado también cuando se tiene la gráfica de la función y se pide hallar

su ecuación.

A continuación determine la expresión algebraica de las

funciones con las que estuvo trabajando en esta actividad.

Luego indique para la siguiente recta, su representación

algebraica:

Actividad 5.

Existen tres métodos útiles para representar funciones de este tipo. La primera es con la que hemos venido trabajando hasta el momento, el resto son métodos más directos.

1. Tabla de valores: se va dando valores a x, se obtiene el correspondiente y, y estos constituyen las coordenadas de puntos de la función. Se los ubica en un sistema de ejes coordenados. Son suficientes dos puntos, y por ellos pasa la recta.La tabla es:

x y=ax+b



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2. Mediante el cero o raíz y la ordenada al origen: Se calculan estos dos puntos, que son las intersecciones con los ejes, y se los ubica en el sistema de ejes coordenados. Por ellos pasa la recta.Recordar que para calcular el cero o raíz, se averigua el valor de la incógnita que satisface la ecuación: 0 = ax +b.

3. Mediante la ordenada al origen y la pendiente. Se ubica la ordenada al origen el sistema de ejes coordenados, y desde este punto se realiza la variación de x e y según lo indica la pendiente; es decir: ejemplo. Si la pendiente es -2/5, me está diciendo que desde la ordenada al origen debo hacer 5 lugares a la derecha (esa es la variación en x) y bajo 2 lugares (esta es la variación en y).

Teniendo en cuenta los tres métodos planteados, grafica las siguientes funciones utilizando sólo los métodos 2 y 3.

Y=0,5 x -3 y=-4x+2

Actividad 6.

Indague sobre las condiciones para que dos funciones afines sean

paralelas y para que sean perpendiculares.

Para la funciones Y=0,5 x -3 , y=-4x+2, indique gropos de rectas

paralelas y perpendiculares.

Indique la ecuación de la recta para los siguientes casos:

Para f, función paralela a y=3x+1 y pasa por el origen de coordenadas.

Para g, función perpendicular a y= -(0,3).x y que pasa por el punto (-2, 1).

Actividad 7.

Dentro de las funciones afines podemos destacar las siguientes:

- Función lineal o de proporcionalidad directa: su ordenada

al origen es cero.

- Función Identidad: es una función lineal de pendiente 1.

- Función Constante: tiene por pendiente cero.

- Función Nula: es una constante de ordenada al origen cero.

Cite ejemplos correspondientes a los casos nombrados y esboce su

representación gráfica.



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Actividad 8.

Lea atentamente los siguientes casos y resuélvalos recurriendo a los conocimientos ya adquiridos.

A pagar la luz o a apagar la luz!

La factura de la luz que hemos contratado en casa nos supone un coste de $10,44 , además de $0,09 por kilovatio-hora consumido.

a) Halla la ecuación de la función que relaciona el consumo y el costp de la factura.

b) Representa gráficamente la función.

c) halla el importe de la factura para un consumo de 750 kw-h.

El concierto

Para invitar a un concierto a sus amigos, Juan tiene dos posibilidades:

A: Hacerse socio del club organizador del concierto por un valor de $18 y pagar las entradas a $7 cada una.

B: Pagar cada entrada a $10.

Obtener en cada caso una expresión que relacione el número de invitados con el precio que le costará llevarlos al concierto.

Finalmente, Juan se presenta al concierto con 7 amigos. ¿Cuál de las opciones le conviene escoger?

Actividad 9.

Lea atentamente la siguiente definición y luego resuelva la guía de actividades:

FUNCIÓN CUADRÁTICA.



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Un polinomio de segundo grado es aquel de la forma P(x)=a x2+bx+ c (con a≠0), en el cual a es el coeficiente cuadrático (o coeficiente principal), b el coeficiente lineal y c el término independiente.

Observación: si b o c son cero entonces es un polinomio incompleta, si todos sus coeficientes son distintos de cero es un polinomio completo.

Si pensamos a P(x) como una función, es decir que la x puede variar, se habla de FUNCIÓN CUADRÁTICA, por ejemplo: f(x)=2 x2−2 x−4.

Esta función está definida en un dominio real, es decir de (+∞ ;−∞), y a un codominio también real.

Construya funciones cuadráticas siguiendo las siguientes instrucciones:

f, función de segundo grado cuyo término independiente es igual al coeficiente lineal.g, función cuadrática incompleta y con coeficiente lineal 1.h, función cuadrática completa cuyos coeficientes son negativos.

Represente mediante tabla de valores las funciones antes dadas.

Actividad 10.

Represente gráficamente las funciones:

m ( x )=2x2−x

p ( x )=3 x+18−3 x2

t ( x )=4 x2+x+1

para tal fin deberá seguir el instructivo:

Para poder GRAFICAR la función se debe determinar de esta los siguientes datos:

RAÍCES. Como ya hemos dicho las raíces hacen cero a la función; para hallarlas se aplica la fórmula de Gauss, es decir:

x=−b±√b2−4 ac2a

y



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La expresión b2−4 ac se llama DISCRIMINANTE, y debe tenerse bien en cuenta que este discriminante puede ser:

Positivo; en este caso habrán dos raíces reales y distintas.(la función cortará en dos puntos al eje x)

Cero; en este caso habrán dos raíces reales e iguales. (la función cortará en un solo punto al eje x, y este punto serán las raíces y también el vértice de la función)

Negativo; en este caso habrán dos raíces complejas no reales conjugadas. (la función no corta al eje x)

ORDENADA AL ORIGEN. Es el término independiente (c). RAMAS. Si a es positivo, las ramas de la función van hacia arriba, si a es negativa las

ramas van hacia abajo. VÉRTICE. El vértice está determinado por un punto de coordenadas (xv; yv). Para

determinar el xv se calcula x=−b2 a

, y para determinar yv se reemplaza en la x de la

función por el valor hallado para el xv (o bien se emplea la ecuación: yv ¿ −b2

2 a+c

Observación: la función cuadrática se representa mediante una parábola con un eje de simetría vertical, x = xv.

Para las funciones m, p y t, realice su análisis detallando cada punto de estudio.

Verifique las proposiciones respecto del discriminante con las funciones planteadas.

A modo de ejemplo, se plantea una función cuadrática para la cual se la graficará y analizará :



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f(x)=2 x2−2 x−4

Las raíces son x=-1 y x=2. La ordenada al origen es -4. Las ramas van hacia arriba. El punto

vértice es (12

;−92

). Entonces si marcamos las raíces en el eje de las x, la ordenada al origen

sobre el eje de las y, y ubicamos el vértice, uniendo estos puntos se determina la PARÁBOLA que queda representada por la función.

Si ANALIZAMOS la representación gráfica podemos afirmar: el DOMINIO de la función es (−∞;+∞) (esto es siempre así mientras no se aclare lo contrario), la IMAGEN de la función es (-9/2 ;+∞) (en general la imagen va desde el y del vértice hacia el +∞ si las ramas van hacia arriba, y si van hacia abajo la imagen va desde −∞ hacia el y del vértice), la función decrece de (−∞; 1/2) y crece en el intervalo (1/2 ;+∞). Además teniendo en cuenta las raíces se puede determinar al conjunto de positividad y el de negatividad, el primero dado en el intervalo (−∞; -1) U (2; +∞), y de negatividad (-1; 2). Como ya se ha dicho antes el conjunto de ceros es {−1 ;2 }. Además el máximo no existe por tener ramas hacia arriba, y el mínimo es el vértice

( 12

;−92

).

RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.

Por otra parte siendo r1 y r2 las raíces de una función de segundo grado (cuadrática) de ecuación y¿a x2+bx+c, se cumple que: r1+r2= (-b/a) y r1 . r2= (c/a).

Estas relaciones permiten reconstruir la ecuación de la función cuadrática conociendo las raíces.

Por ejemplo: si r1 + r2=-4 y r1 . r2=1, empezaremos por considerar siempre a=1, entonces b=4, y c=1, por lo tanto la ecuación es: y¿1 x2+4 x+1

Verifique las propiedades con las funciones propuestas.



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Actividad 11. Los siguientes ejercicios son de aplicación y reflexión sobre las funciones cuadráticas. Resuélvelos.

11.1 Una caja bien cuadrática.

Una caja mide 5 cm de altura, y de ancho cinco cm. más que de largo tiene un volumen es 1500 cm3.

Calcule los lados desconocidos de esta caja recordando que el volumen es largo por ancho por alto.

c) Indique para la función el dominio y la imagen; intervalos de crecimiento, de

decrecimiento; conjunto de positividad y de negatividad; máximo y mínimo absoluto;

intersecciones con los ejes.

11.2 Complete los espacios en blanco.

Una función cuadrática se representa algebraicamente por la expresión

……………………………………… , donde el coeficiente cuadrático no puede valer ….. porque de lo

contrario la función sería ……………………………………. y no cuadrática.

Si la función cuadrática tiene coeficiente principal positivo se puede afirmar que

…………………………………… y si la ordenada al origen de la función es el punto (0; -1) entonces el

coeficiente .… es igual a -1.

Si el eje de simetría de una función cudrática es x=1,5, entonces se puede afirmar que

…………………………….. es 1,5.

Si una función cuadrática posee un discriminante negativo, puede afirmarse que la función

………………………………………………………………, mientras que si el discrimínate es cero, la función

tiene …………………………………., y esta coincide con el …………………………….

11.3 Teniendo en cuenta la función

t ( x )=4 x2+x+1

propuesta en el ejercicio 10, ¿Son sus raíces números reales? En caso de no serlo, ¿Por qué?

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