Apunte Renta

APUNTE:

RENTAS O ANUALIDADES

PROFESOR: JAIME REYE M.

RENTA

Renta o anualidad es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos de tiempo iguales.Las rentas se pueden clasificar según el siguiente esquema:

EVENTUALES

VencidasNo Diferida

Anticipadas

A Plazo

VencidasDiferida

Anticipadas

CIERTAS

VencidasNo Diferida

Anticipadas

Perpetua

VencidasDiferida

Anticipadas

Rentas Eventuales: Son aquellas en las que el primer o último pago dependen de algún acontecimiento previsible, pero cuya fecha de realización exacta no se puede fijar. Ejemplo: un contrato hecho con una compañía de seguros de vida, en la que ésta se obliga a pagar una cierta cantidad de dinero a una persona mientras esté viva en el caso que fallezca el asegurado.

Rentas Ciertas: Son aquellas cuya fecha de inicio y término se conocen. Ejemplo: el pago de un préstamo.

Rentas no diferidas: Son aquellas en las cuales el primer pago ocurre en el primer período. Ejemplo: el pago de un préstamo sin períodos de gracia.Rentas Diferidas: Son aquellas en las que el primer pago ocurre en un período posterior al primero.

Ejemplo: el pago de un préstamo con períodos de gracia.

Rentas a Plazo: son aquellas en las que la duración del pago es limitada. Esto es, la fecha de término es conocida. Ejemplo: el pago de un préstamo.

Rentas perpetuas: Son aquellas en las que la duración del pago es ilimitado. Ejemplo: el Premio Nobel

Rentas Vencidas: Son aquellas en las que los pagos ocurren al final de cada período o intervalo de pago. Ejemplo: sueldos.

Rentas anticipadas: Son aquellas en las que los pagos ocurren al principio de cada intervalo de pago. Ejemplo: arriendos.

RENTAS ORDINARIASSe denominan rentas ordinarias, aquellas que cumplen con

las siguientes características: ciertas, no diferidas, a plazo y vencidas. Gráficamente podemos expresarlo como sigue:

X X X X X

0 1 2 3 4 ... n

Se debe visualizar y entender porqué la gráfica muestra una renta cierta, no diferida, a plazo y vencida.

VALOR FUTURO DE UNA RENTA ORDINARIA

Ejemplo:Se depositan $10.000 al final de cada mes a una tasa de interés del 2% mensual. ¿Que cantidad se tendrá acumulada al cabo de 4 meses?

Desarrollo:

1. Expresemos gráficamente los datos del ejercicio, esto es:

$10.000 $10.000 $10.000 $10.000

0 1 2 3 4 períodos de interés

2. Desarrollemos para cada uno de los depósitos, esto es: Primer depósito

Gana interese por 3 meses. Por lo tanto el monto compuesto de éste, aplicando la formula respectiva es:

M1 = 10.000 (1 + 0,02)3

Segundo depósitoGana intereses por 2 meses. Por lo tanto el monto compuesto es:M2 = 10.000 (1 + 0,02)2

Tercer depósitoGana intereses por 1 mes. Por lo tanto el monto compuesto es:M3 = 10.000 (1 + 0,02)1

Cuarto depósitoGana intereses por 0 meses, es decir no alcanza a ganar intereses. Por lo tanto el monto compuesto es:M4 = 10.000 (1 + 0,02)0

3. Obtengamos el monto total de la renta, para ello debemos sumar los montos compuestos de cada uno de los distintos pagos, esto es:

M = M1 + M2 + M3 + M4 = 10.000 ( 1 + 0,02 )3 + 10.000 ( 1 + 0,02 )2 + 10.000 ( 1 + 0,02 )1 + 10.000 ( 1 + 0,02 )0

4. Expresemos gráficamente el proceso realizado, esto es:

$10.000 $10.000 $10.000 $10.000

2% 2% 2% 2% 0 1 2 3 4 periodos de interés 10.000 + 10.000 (1 + 0,02) +

10.000 (1 + 0,02) 2

+ 10.000 (1 + 0,02) 3

Es decir:M = 10.000 + 10.000 (1 + 0,02) + 10.000 (1 + 0,02)2 + 10.000 (1 + 0,02)3

Factorizando, tenemos que:M = 10.000 (1 + (1 + 0,02) + (1 + 0,02)2 + (1 + 0,02)3)M = 10.000 (4,121608) = 41.216,08Por lo tanto la cantidad que tendrá acumulada a los 4 meses es $ 41.216,08

Considerando el ejemplo anteriormente resuelto generalizaremos, esto es:Sea

M ó FV= Monto o valor futuro (FV= Future Value) R = Renta o pago periódico

i = Tasa de interés por períodon = Número de períodos

Luego:

(1 + i)n - 1 FV = R -------------- (*)

i

Observación: Al factor (1 + i) n - 1 se le denomina FACTOR DE CAPITALIZACION y i

se denota comúnmente por S y constituye el monto de una renta vencida de una unidad n ipor período, colocada a la tasa de interés “i” por período, durante “n” períodos.

Ejercicio Nº1 (aplicando fórmula)

1. Identificar los datosR = 10.000i = 2% = 0,02n = 4FV = ?

2. Reemplazar los datos en la formula, esto es:

(1 + 0,02)4 - 1 FV = 10.000 ------------------- = 10.000 (4,121608) = 41.216,08

0,02

El factor (1 + 0,02) 4 - 1 de acuerdo a la simbología mencionada es S y representa el 0,02 4 0,02

monto de una renta de $1 colocado al 2% de interés durante 4 períodos.

De la fórmula anterior (*) podemos despejar “n” y “R”, esto es:

FV log (----- i + 1)

R n = -------------------------- log (1 + i)

FV R = ------------------- (1+i)n -1 ----------- i

Observación: La variable “i” no se puede despejar, pero su valor se puede obtener mediante el uso de una calculadora financiera.

Ejercicio Nº2

¿En cuanto tiempo, depósitos de $50.000 anuales se transforman en $305.255 al 10% anual?

Desarrollo

1. Identificar los datos

R = 50.000i = 10% = 0,10FV = 305.255n = ?


305.255 log (---------- x 0,10 + 1)

50.000 n = --------------------------------- = 5 (años) log (1 + 0,10)3. Por lo tanto, depósitos de $50.000 anuales se transformaran en $305.255 al 10% anual,

al cabo de 5 años.

Ejercicio Nº3

¿Cuanto se debe depositar trimestralmente al 5% trimestral para acumular US$ 6.305 al cabo de 9 meses?

Desarrollo


i = 5% = 0,05 trimestralFV = 6.305n = 3 trimestresR = ?


6.305 R = ----------------------- = 2.000 (1+0,05)3 -1 ---------------- 0,05

3. Por lo tanto se deben depositar US$ 2.000 trimestralmente al 5% trimestral para acumular US$6.305 al cabo de 9 meses.

VALOR PRESENTE DE UNA RENTA ORDINARIA

Ejemplo:Si usted va a percibir US$5.000 al final de cada mes durante 3 meses. ¿Cuánto estaría dispuesto a aceptar hoy a cambio de esos pagos si la tasa de interés a la que usted puede invertir es del 3% mensual?

Desarrollo:

1. Expresemos gráficamente los datos del ejercicio, esto es:

US$5.000 US$5.000 US$5.000

0 1 2 3

2. Desarrollemos para cada uno de los pagos, esto es:

Primer pago.Se actualiza 1 mes, por lo tanto el valor presente, aplicando la fórmula respectiva es:

5000C1 = -------------- (1 + 0,03)1

Segundo pago.Se actualiza 2 meses. Por tanto el valor presente es: 5000C2 = -------------- (1 + 0,03)2

Tercer pago.Se actualiza 3 meses. Por tanto el valor presente es: 5000C3 = -------------- (1 + 0,03)3

3. Obtengamos el valor presente total, para ello debemos sumar el valor presente de cada una de las rentas, esto es:

5000 5000 5000C= C1 + C2 + C3 = -------------- + --------------- + --------------

(1 + 0,03)1 (1 + 0,03)2 (1 + 0,03)3

4. Expresemos gráficamente el proceso realizado, esto es:

US$5.000 US$5.000 US$5.000 3% 3% 3%

0 1 2 3

5000 -------------- (1 + 0,03)

+ 5000 -------------- (1 + 0,03)2

+ 5000 -------------- (1 + 0,03)3

Es decir:

5000 5000 5000C = -------------- + --------------- + -------------- (1 + 0,03) (1 + 0,03)2 (1 + 0,03)3

Factorizando, tenemos que:

1 1 1C = 5.000 ( -------------- + --------------- + --------------) (1 + 0,03) (1 + 0,03)2 (1 + 0,03)3

Esto es: C = 5.000 ((1 + 0,03)-1 + (1 + 0,03)-2 + (1 + 0,03)-3)

C = 5.000 (2,828611354) = 14.143,06

Por lo tanto estaría dispuesto a aceptar hoy una cantidad mayor o igual a US$ 14.143,06

Considerando el ejemplo anteriormente resuelto generalizaremos, esto es:Sea

C ó PV = Capital ó Valor Actual ó Valor Presente (PV= Present Value) R = Renta o pago periódicoi = Tasa de interés por períodon = Número de períodos

1 - (1 + i) -n PV = R ------------------ (**) i

Observación: Al factor 1 - (1 + i) -n se le denomina FACTOR DE ACTUALIZACION y ise le denota comúnmente por A y representa el valor actual de una renta vencida de una n iunidad monetaria por período colocada a la tasa de interés “i” por período, durante “n” períodos.

Ejercicio Nº4 (aplicando fórmula al ejemplo anterior)

1. Identificar los datosR = 5.000i = 3% = 0,03n = 3PV = ?

2. Reemplazar los datos en la fórmula, esto es: 1 - (1 + 0,03) -3 PV = 5.000 -------------------- = 5.000 (2,828611354) = 14.143,06 0,03

El factor 1 - (1 + 0,03) -3 de acuerdo a la simbología mencionada es A y representa el 0,03 3 0,03

valor actual de una renta de $1 colocada al 3% de interés durante 3 períodos.

De la fórmula anterior (**) podemos despejar “n” y “R”, esto es:

PV -log ( 1 - ---- i ) R n = ---------------------------- log (1 + i)

PV R = ---------------------- 1 - (1 + i) -n -------------- i

Ejercicio Nº5

La herencia de una persona asciende a US$390.000. Una compañía recibe instrucciones de pagar a los herederos US$25.000 por año. Si el capital se invierte al 5%. ¿Durante cuántos años los herederos recibirán los pagos?

Desarrollo


PV = 390.000R = 25.000i = 5% = 0,05 n = ?


390.000 -log (1 - ------------ x 0,05 ) 25.000 n = ----------------------------------------- = 31,03 (años) log (1 + 0,05)

3. Por lo tanto los herederos recibirán los pagos durante 31,03 años.

Ejercicio Nº6

Se depositaron $550.000 al 4% trimestral para percibir una determinada renta trimestral durante 6 años. ¿A cuanto ascienden dichas rentas?

Desarrollo


PV = 550.000i = 4% = 0,04 trimestral n = 6 años =>24 trimestres (6 x 4)R = ?


550.000 R = -------------------------- = 36.072,76 1 - (1 + 0,04) -24 --------------------- 0,04

3. Por lo tanto las rentas ascienden a $36.072,76

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Encuentre el valor futuro y valor presente de una renta de US$7.800 mensuales durante 4 años y medio al 18% capitalizable mensualmente. Compruebe que el valor actual capitalizado al término del plazo de la renta, es igual al valor futuro a esta fecha.

2. Hace 5 años, Ripsy está depositando US$1.000 al final de cada trimestre obteniendo un 4% trimestral. ¿Cuánto tiene en la cuenta hoy día si no ha efectuado retiros?

3. ¿Cuanto tiene Ripsy, si hace 5 trimestres suspendió los depósitos?4. Matín recibe una herencia de su padre. Un banco le ofrece una renta de $45.000

mensuales durante 20 años si deposita la herencia al 12% capitalizable mensualmente. Encuentre el monto de la herencia recibida por Matín.

5. Un vehículo de transporte se vende al crédito bajo las siguientes condiciones: US$5.000 de pié y 15 cuotas mensuales. Si la tasa de interés cargada es de 15% capitalizable mensualmente, determine el valor de cada cuota si el valor contado del vehículo es de US$22.000

6. Un fundo se vende el las siguientes condiciones: 5.000 UF de pié y 20 cuotas mensuales de 800 UF c/u. Se cobra un interés de 1% mensual. Determine el valor contado del fundo.

7. Se compra un barco cancelando US$ 80.000 de pié y se convienen pagos de US$10.000 cada dos meses durante 10 años. El interés utilizado en los cálculos es del 12% capitalizable bimestralmente. Si después de haberse cancelado la décima cuota se desea liquidar la deuda:a) ¿Cuanto debe cancelarse en el vencimiento de la onceava cuota además del

pago regular?b) Si se dejan de pagar las primeras 8 cuotas, ¿Cuanto debe pagar en la novena

para ponerse al día?c) ¿Cuanto cuesta el barco al contado?d) Si se omiten las primeras 8 cuotas y se quiere pagar todo de una vez en la

fecha de vencimiento de la novena cuota ¿Cuanto se debe pagar?8. Para financiar sus estudios universitarios Ud., deposita US$ 8.000 trimestrales

durante 3 años antes de ingresar a la universidad. El último depósito lo efectúa al momento de entrar. Estos depósitos ganan un 12% capitalizable trimestralmente. ¿Cuantos retiros trimestrales de US$ 5.000 puede realizar durante los 7 años que duran los estudios, iniciando los retiros al cumplir un trimestre en la universidad?

9. Suponga en el problema anterior que los retiros son mensuales y que en el momento de ingresar a la universidad la tasa de interés baja al 10% capitalizable mensualmente. ¿Cuantos retiros de US$ 5.000 podrá realizar mientras duren sus estudios?

10. Cuando Ud. llegue a disponer de un ahorro ascendente a 2 millones de pesos se iniciará como empresario. De sus ingresos de $200.000 puede ahorrar el 20% e invertirlos al 12% capitalizable mensualmente. Determine el número de depósitos que debe efectuar y el monto del depósito final.

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