Apunte Usach - Introducción a la Matemática para Ingenieria de Ejecución

8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEDEPARTAMENTO DE MATEMTICA Y CC.

INTRODUCCIN A LA MATEMTICA PARAINGENIERA DE EJECUCIN.-

2009

Prof. Jorge Inostroza . L.Prof. Heraldo Gonzlez .S.

INTRODUCCIN:

En el curso de muchos aos de experiencia en la formacin de Ingenieros en la Universidadhemos podido formarnos una meridiana idea de las bondades y las carencias de lospostulantes que por ello su rendimiento no es todo lo esperado, al punto que en el ltimotiempo se ha visto incrementando motivo por el cual nos hemos propuesto una instanciaremedial mediante un proceso de homologacin que conlleve una revisin o consolidacinde conocimientos bsicos para una mejor insercin en el programa regular del primer nivelde matemtica. Junto a ello hemos pretendido dar una visin ms fundamentada de losconceptos, amn de insistir en las habilidades operacionales ms requeridas. No obstanteello se ver un tratamiento a veces algo superficial para profundizar en el curso normal delos estudios. Todo ello perdera su propsito si no contamos con la voluntad, la dedicacin

y el esfuerzo para iniciar un efectivo proceso de auto-estudio y auto-evaluacin por partedel estudiante.


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2

INDICE (Dos primeras semanas)

Materias pgs.

CALCULO APLICADO

TEMA N 1.- LENGUAJE Y NOMENCLATURAS 4

TEMA N 2.- CARACTERIZACIN DE LOS NMEROS REALES (R) 7

TEMA N 3.- IDEAS BSICAS DE TRIGONOMETRA 11

3.1 Razones Trigonomtricas 11

3.2 Ecuaciones Trigonomtricas 153.3 Otras Identidades Trigonomtricas 16

TEMA N 4.- GEOMETRA ANALTICA (Conceptos bsicos) 21

4.1 Plano Euclidiano 21

4.2 Distancia entre dos puntos 21

4.3 La recta 22

4.4. Rectas paralelas y rectas perpendiculares 244.5 La circunferencia

MATEMATICA GENERAL 26

TEMA N 5.- ELEMENTOS DE ALGEBRA CLSICA. 30

5.1 Expresiones Algebraicas 30

5.2 Valor numrico de una expresin algebraica 31

5.3 Reduccin de Trminos Semejantes 32

5.4 Resolucin de Parntesis 34

5.5 Suma de Expresiones Algebraicas 35

5.6 Producto de expresiones Algebraicas 375.7 Factorizacin de Expresiones Algebraicas 41


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3

5.8 Simplificacin de Expresiones Racionales 42

5.9 Cuociente de Expresiones Algebraicas 44

5.10 Cuociente de Polinomio con monomio 46

5.11 Cuociente entre multinomios 47

5.12 Expresiones Algebraicas Racionales 50

5.13 Operaciones con Fracciones Algebraicas 54

5.14 Producto de Fracciones Algebraicas 57

5.15 Fracciones Algebraicas Compuestas 60

5.16 Potencias 63

5.17 Races Aritmticas 66

5.18 Propiedades Operacionales 68

5.19 Racionalizacin 725.20 Logaritmo en Base A 76

5.21 Propiedades del Logaritmo 78

TEMA N 6.- PROBLEMAS Y ECUACIONES 87

6.1 Problemas Resueltos 111

6.2 Problemas Propuestos 119


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4

TEMA N 1.- LENGUAJE Y NOMENCLATURAS.

La matemtica se sirve, para su difusin, de un lenguaje o vocabulario y de una serie desmbolos o nomenclaturas a fin de universalizar sus proposiciones adems de dar mayor

coherencia y claridad a sus elaboraciones. Este aporte le corresponde a la Lgica y laTeora de conjuntos,

Para que podamos hablar este lenguaje comn, en lo que nos corresponde, incorporamosaqu los elementos ms bsicos requeridos y su uso.

Conjuntos y sus operaciones:

El conjunto entendido como un concepto primitivo denotado por letras maysculas:

ZYXCBA ,,.......,,, .; y que est compuesto por elementos sealados por letrasminsculas: .....,,....,,, zyxcba . La pertenencia de stos a un conjunto y la inclusinde un conjunto en otro se denotan por:

Aa Se lee a pertenece al conjunto A

Aa Se lee a no pertenece al conjunto A

BA Se lee A es un subconjunto de B o est contenido en el conjunto B

BA Se lee A es un subconjunto o igual al conjunto B

BA Se lee El conjunto A no es parte del conjunto B.

Un conjunto se puede expresar porextensin, es decir enumerando todos sus elementos o bien porcomprensin, sealando las caractersticas comunes de todos sus elementosmediante un clasificador:

}{ ....,,,, edcbaA = Por extensin.

{ xRxA = pares } Por comprensinClasificador que se lee A es el conjunto de todos los x de R , tal que x es un nmero

par.

Las operaciones principales entre conjuntos son: Unin e Interseccin:

}{ BxAxxBA =

Se lee es el conjunto de todos los elementos x que pertenecen a A pertenecen a B


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5

}{ BxAxxBA = :Se lee Es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B

Tambin requerimos del Complemento de un conjunto o sea el de aquellos elementosdel conjunto universal que no pertenecen al conjunto:

}{ AxUxAC =)(

La Diferencia entre dos conjuntos A y B est dada por:

}{ BxAxxBA = .

Las sentencias o proposiciones en matemtica son enunciados que admiten un valor deverdad, es decir pueden ser verdaderas o falsas: Ejemplo:

P = Dos naturales consecutivos no pueden ser ambos parQ = Todo nmero divisible por 3 y por 4 lo es por 12

Para expresar o conectar sentencias o proposiciones necesitamos adems de ciertossmbolos o conectores que nos entrega la lgica simblica.

QP Se lee P implica Q, o Si P entonces Q

QP Se lee P es equivalente con Q.

QP Se lee P y Q

QP Se lee P Q.

Adems se tienen los llamados cuantificadores:

para todo existe al menos uno

! existe un nico

Las siguientes sentencias o proposiciones las vemos en smbolos:

1.- Para todos los alumnos del curso , existen menores o igual a 20 aos

20 aCa .

2.- El curso est formado por los de edad entre 19 y 21 aos

2119 aCa

3.- Todo nmero natural multiplicado por dos es par


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6

parxNx = 2 .

Ejercicios:

Defina el conjunto y escriba en smbolos

1 Si un natural es divisible por 2 y por 6 entonces lo es por 12.2 Todo nmero divisible por 3 y por 4 lo es por 123 Si la suma de dos nmeros es par entonces uno es el 2 .Lea la sentencia:

1. {=A a }NmmaN = ,3 2. }{ 0= xRxB 3. }{ 8=+= babaC Para cerrar este tema debemos advertir que en el programa formal de la asignaturaMatemticas Generales y de Clculo Aplicado se tendr una mayor informacin alrespecto, razn por la que aqu se da una visin simplificada a fin de ponernos todos enun mismo nivel de informaciones.

TEMA N 2.- CARACTERIZACIN DE LOS NMEROS REALES (R)

El conjunto de los nmeros reales, protagonista principal y casi nico de nuestro quehacermatemtico requiere ser identificado con cierta claridad y precisin en aras del rigor quedebe acompaar todo nuestro quehacer, del mismo modo son necesarias lascaracterizaciones de los otros sistemas numricos que forman parte de los reales.

Los Reales conforman lo que se llama una Estructura Algebraica, es decir un conjunto deAxiomas y operaciones que le dan el carcter deun Cuerpo-Ordenado y Completo. Se

ver que en el enunciado de estos axiomas faltan muchas propiedades de los reales que sonconocidas y con las que hemos convivido desde nuestros primeros aos de estudio, y es quetodas ellas se derivan de estos enunciados y eso es lo grandioso de esta caracterizacin.

R es un Cuerpo: Es decir que admite dos operaciones llamadas suma y producto entrereales y que satisfacen los siguientes Axiomas


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7

RyxRyxAx + ,:01. ClausuraxyyxRyxAx +=+ ,:02. Conmutatividad

zyxzyxRzyxAx ++=++ )()(,,:03. AsociatividadxxxRxRAx =+=+ 000:04. Neutro aditivo

0)()(:05. =+ xxRxAx Inverso aditivoRyxRyxAx ,:06. Clausura

xyyxRyxAx = ,:07. Conmutatividad:08. Ax RxxxxR == ;111 Elemento unitario

1;0:09. 11 = xxxxAx ; )1

( 1x

x = Inverso multiplicativo

zxyxzyxRzyxAx +=+ )(,,:10. Distributividad.

Como se deca, de estos axiomas surgen otras propiedades de los reales que son objeto dedemostraciones, que denominamos Teoremas y que no son sino aquellas que hemos estadoasumiendo en nuestro quehacer cotidiano.

:01.Teo RR 10 .-son cosni zxzyyxRzyxTeo =+=+ ,,:02. zyzxy == ; ncancelaci

00;:03. = xRxTeo 00,:04. yxyxTeo .

00:06. 1 xxTeo xxRxxxRxTeo == 11)(};0{)(:07. Rx ;

yxyxyxyxTeo ==+ )()()(:08. ; Ryx ,xxTeo = )1(:09. ; Rx

111

)(0,:10.

=

yxxyRyxTeo 111 )()(0,,,:11. +=+ ywyzxwzwxyRwzyxTeo 111 )()()()(0,;,,,:12. = yzxwwzxyzyRwzyxTeo .

Las demostraciones son tema para ms adelante, por ahora baste saber que sonconsecuencias de los Axiomas.

R es Ordenado: Se admite axiomticamente que existe un sub-conjunto de Rdenominadode nmeros positivos sealado por +R que cumplen los Axiomas de

Orden:

++ + RyxRyxAx ,:01. ++ RyxRyxAx ,:02.

0;;:03. = ++ xRxRxRxAx .

Se definen los conceptos que le dan sentido al carcter de ordenado de R: Con los smbolos:


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8

igualomayor; ; mayor> igualomenor ; menor<

1.- )0(;, = + yxRyxyxRyx x mayor o igual a y

2.- )(;, +> RyxyxRyx x mayor que y3.- )(;, xyyxRyx .x menor o igual a y4.- )(;, xyyxRyx > + xRxTeo 0

RzyxzxzyyxSiTeo x

xSiTeo yx

yxSi11

0 >


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9

2. Z el conjunto de los enteros conformado por los naturales el cero y sus negativos:-3,-2,-1,0,1,2,3,..

3. Q el conjunto de los Racionales, son de la formay

xcon x e y enteros, e y no nulo.

As se tendr que: RQZN . Donde IQR = es el conjunto de losIrracionales. Adems existe otro conjunto y que contiene a los reales y que son LosComplejos, en l est, por ejemplo, las soluciones de la ecuacin:

012 =+x

R es Completo: Esto es, que cumplen el denominado Axioma del Supremo:

Previo algunas precisiones: Se dice

i) El conjunto S es Acotado superiormente si: RMMxSx ; , M es llamado Cota Superior del conjunto.

ii) El conjunto S se dice Acotado inferiormente si : RNNxSx , N es Cota Inferior del conjunto.

iii) El conjunto S es Acotado; si RMsi MxMSx .

Se llama Supremo del conjunto a la menor de las cotas superiores e nfimo del conjunto a

la mayor de las cotas inferiores .Ahora el Axioma del SupremoupremoStieneSnteSuperiormeadoaSRSAx cot,:. .-

Ejemplos:

1. Determinar cotas, Supremo e nfimo del conjunto:}

+== Nnn

xRxS ;1

1

Solucin:

Intuitivamente se observa que: 21 < x ,luego todo nmero menor que 1 es una cotainferior y la mayor de ellas es el 1 y es el nfimo, y todo valor mayor que 2 es cotasuperior , la menor de ellas es 2 es el Supremo.


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10

2. Determinar Supremo e nfimo de: }

+

== Nnn

xRxS n ;)1

1()1(

Solucin:

Una simple intuicin y dando valores a n, nos indica que Sup S = 1/3 y el Inf S = -1/2.Para que el estudiante reflexione cuidadosamente se incluyen algunas propiedadesderivadas de este Axioma del Supremo:

1. yxnNnRyx > +, -Propiedad Arquimediana.2. nxRxNn .3. 3.-

nxNnRx

1> + .

Aqu terminamos una presentacin medianamente formal de los conjuntos numricos y suspropiedades, lo que se ver complementada en el desarrollo normal de los temas del primercurso de matemticas superiores.

El objetivo de esta primera parte se ver cumplido cuando el estudiante use adecuadamenteeste lenguaje y nomenclaturas en su decir y hacer matemtico y ver como esta disciplinapuede ser llevada a todo su quehacer an el ms domstico.

____________________________________________________________


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11

TEMA N 3. - IDEAS BSICAS DE TRIGONOMETRA

RAZONES TRIGONOMTRICAS:

Definicin:

En el tringulo rectngulo ABC; se definen:

===2

;:AC

BCCos

AC

BCSen

===

2;:

AC

ABSen

AC

ABCos

AB

BCTg = ;

;BC

ABCotg =

20


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12

4. 21sec CotgCo += An ms, se pueden lograr relaciones de cada una de estas razones gracias a unsimple expediente grfico con ayuda del teorema de Pitgoras.

a) Sen b)

21 Cos

21 Sen Cos

c) 21 tg+ Tg eccos

d)

1cos 2 ec

e) 2cot1 g+ 1 f) Sec

12 Sec

1

En cada grfico buscamos la razn trigonomtrica segn la definicin:

As en a)1

1cos:

1

1sec:

1

2

22

sen

sensen

sentg

=

=

=

1

1

1

Cotg

1


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13

De este modo se puede construir en una tabla todas la relaciones o identidadesfundamentales de las razones entre s.

Sen cos tg eccos sec gcot

Sen ___ 2cos1

21 tg

tg

+

eccos

1

sec

1sec2 2cot1

1

g+

cos 21 sen ____ 21

1

tg+

ec

ec

cos

1cos 2 sec

1

2cot1

cot

g

g

+

tg

21 sen

sen

cos

cos1 2 ____ 1cos

12 ec

2secgcot

1

eccos sen1

2cos11

21 tgtg+

_____

sec1sec2

2cot1 g+

sec 211

sen

cos

1

21 tg+ 1cos

cos2

ec

ec ____

2cot1

cot

g

g

+

gcot

sen

sen21

2cos1

cos

tg

1

1cos 2 ec 1sec

12

_____

3) Siendo 360 = 2 rad. Donde 1 radin es el ngulo cuyo arco es la medida del radio,como ste esta contenido 2 veces en la circunferencia que equivale al ngulocompleto de 360. Entonces:

360 = 2 rad. 180 = rad.

90 =2

rad. .45 =

4

rad.

60 =3

rad. 30 =

6

rad.

4) Como en la fig. 1 : == cos2

Sen

=

2cosSen

=

2cos sen pues: sen=cos

=

2cot gtg y

=

2cot tgg

r

r

r


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14

5) Del grfico

22

21

4cos

4=== Sen

14

=

tg

2

32

3

32

1

6

2 ====

a

a

sen

a

Sena

2

32

3

6cos ==

a

a

Lo que podemos resumir en el siguiente cuadro

0 6

4

3

2

Sen 02

11

2

12

2

13

2

14

2

1

Cos 42

13

2

12

2

11

2

10

2

1

Identidades trigonomtricas:

Son relaciones de igualdad vlidas para todo valor del ngulo, cuya verificacin se logracon las identidades fundamentales y algunos recursos algebraicos

Ejemplo:

Verificar las identidades elementales

C

4

4 2

AB

C

1

1

3

3

6

6 23a

A

B

a

a

2a

2

a

2

a

2

a


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15

a) tgsen = sec Solucin.:

tgsensen cos

1sec

b) 1seccot = seng Solucin.:

1soc

1socseccot

Sen

nesseng

c)

Secec

sen

sen=

cos

cos

cos

Solucin.:

1. miembro :

cos

11

coscos

cos

cos

cos

sensen

sen

sensen

sen

2 miembro :

cos

11seccos

senec

d)

seccos

cos

2

=+sen

Solucin.:

sec

cos

1

cos

coscos

cos

222

+

+sensen

ECUACIONES TRIGONOMTRICAS

Son relaciones de igualdad validas para ciertos valores del ngulo, valores que buscamos

encontrar, pero ello demanda una mayor profundizacin en el tema veremos algunosejemplos muy elementales.

1)2

14 =xsen

Solucin.:


16/128

16

2464

64

=== xxsenxsen

2)2

3

43cos =

+x

Solucin.:

41236336cos

43cos

===+

+ x

xxx

3)

=

+ xx 2

3cos

4cos

Solucin.:

364332

342

3cos

4cos

===+

=

+ xxxxxx

OTRAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Otras identidades que son de uso frecuente son:

1) ( ) sensenSen coscos =

S

TPST

OS

SPSen

0)(

+==+

OS

TP

OS

OR

OR

RQCosSen ==

OS

ST

OS

SR

SR

STSenCos ==

_____________________

SenCosCosSenSen +=+ )(

OP Q

R

S

T


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17

2)

SenSenCosCosCos = )(3) 3) ( )

tgtg

tgtgtg

1

+=

De ellas se puede deducir que (haciendo = )

a) cos22 senSen = b) 22cos2cos sen= c) c)

21

22tgtgtg

=

De aqu se puede obtener las siguientes nuevas identidades

a)2

cos1

2

=Sen b)

2

cos1

2cos

+= c)

sen

sentg

cos1

cos12

=

+=

En efecto:

a) Si tomamos2

= debemos probar que:

2

2cos1

=Sen como vemos que

2

2cos1

2

2cos1 2

=

= SenSen

( ) 1coscos12 22222 =+= sensensen

como esto ltimo es verdadero lo anterior lo es si argumentamos en reversa es decir apartir de esto ltimo y ( lo normal seria partir de este punto y construir lo que sigue en elproceso pero ello es ms laborioso). De igual modo se verifica las otras identidades.

Ejercicios

1) Calcular el valor numrico de:

12

7Sen

Solucin.:


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18

34cos

3cos

43412

7 SenSensenSen +=

+=

( )624

1

4

6

4

2

2

3

2

2

2

1

2

2+=+=+=

2) Calcular

+

2

Sen

Solucin.:

2cos

2cos

2

sensenSen +=

+

=+= 1cos0 Sen

cos=

3) Demuestre que ( ) ( ) coscos2coscos =++ Solucin.:

( ) ( ) ( )

( )+

+=++

sensen

sensen

coscos

coscoscoscos

a)

De igual forma se puede verificar que :

b)

c)

Ntese que haciendo22

yxyyx =+= se llega a:

a)

+=+

2cos

2cos2coscos

yxyxyx

( ) ( ) coscos2coscos =++

( ) ( ) cos2sensensen =++

( ) ( ) sensen2coscos =+


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19

b)

+=+

222

yxsen

yxsenysenxSen

c)

+=

222coscos

yxsen

yxSenxy

Estas identidades son de gran utilidad para estudios posteriores.

4.- Si ,15

4=tg Hallar el valor de

SenCos

CosSen

36

75

+.

Solucin.

Recurriendo al cuadro de identidades (Pg. 13)

24115

2414

11

1 22==

+=

+=

CosySen

tgCos

tgtgSen luego

78

125

1290

10520

36

75=

+=

+

SenCos

CosSen.

5.- Si ,2=+ SecTg Demostrar que5

3=Sen

Solucin.

)1(4)1(212 22 SenSenCosSenSecTg =+=+=+

5

3

10

820325 2 =

==++ SenSenSenSen

6.- Determinar el valor numrico de: X= 603

245560

4

1303 222 SenCotgSecTg ++

Solucin.

Con ayuda del cuadro de la pg.14:

2

360;145;260;

3

330 ==== SenCotgSecTg 6= X

7.- Comprobar las identidades:

a) 424 21 TgTgSec +=


20/128

20

b)

sec2

11Co

Sec

Tg

Sec

Tg=

++

c)

Cotg

CosSenSen

CosCosSen=

+

221

2

d) 1=+ CotgSenCosTgCosSen

Solucin.a) Reescribiendo el primer miembro como: )1)(1( 22 + SecSec y el segundo

miembro como:)12)(1()2( 2222 +=+ SecSecTgTg ,

la identidad a demostrar quedara:

1122

+=+ SecSec , por lo que no hay nada que demostrar.

b) Como una identidad no puede trabajarse admitiendo la igualdad, es quedesarrollamos el primer miembro y/o el segundo por separado.

1 M

sec2

22

1

)1()1(

11 22Co

Sen

SecCos

Tg

SecTg

Sec

SecTgSecTg

Sec

Tg

Sec

Tg===

++=

++

c) 1M:

CotgSen

Cos

SenSen

SenCos

SenSenSen

SenCos==

=+

222 2

)12(

)1(1

)12(

d) 2SenTgCosSen = y 2CosCotgSenCos = , la suma resulta 1.

Algunos Problemas

1) Un poste colocado a 100 mts. de un punto de observacin, el observador ve su cspidebajo un ngulo de 30. Hallar la altura del poste.

Solucin.:

30

h


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21

3502

3

10030 === h

htg

1002) En la orilla de un canal hay dos personas a 50 mts. una de la otras; en la otra orilla y en

un lugar intermedio un observador ve a uno en un ngulo de 30 y al otro en uno de 45Cul es el ancho del canal?

Solucin.:

_______________2

330

150

45

==

=

=

x

htg

x

htg

===3

2503

2;50 hhhxxh

=

+

==

+

3

21

5050

3

21 hh

3) Pruebe que en el tringulo ABC su rea est dada por sebabSenacSenbcA

2

1

2

1

2

1===

Solucin.:

h

50-x x

45

h

A B50

30

B

C

b

c

a

h

A


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22

Senbhb

hSenhABA === :

2

1

.2

1SenbcA =

Los otros resultados se logran del mismo modo (rotando los vrtices)

4) Pruebe el llamado teorema del seno

c

sen

b

sen

a

sen == En un tringulo ABC

Solucin.:

== SenabSenacSenbcA2

1

2

1

2

1

abcSenabsenacsenbc :/ ==

c

sen

b

sen

a

sen ==

5) Pruebe el llamado teorema del cosenocos2222 bcbca +=

( ) =+= 222cos ahxcbx

( ) 22222 2 axbxcxc =++

A

B

h

C

b a

x c-x


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23

222 cos2 abcbc =+

Observacin

Al trmino de esta visin muy elemental del tema solo nos corresponde esperar

que el alumno a partir de ello pueda insertarse exitosamente en los contenidos del

programa regular de la signatura


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24

TEMA N 4.- GEOMETRA ANALTICA (Conceptos bsicos)

En esta parte del programa, contamos con que el estudiante en, algunos casos, ya tienealgn manejo de ciertos conceptos bsicos de la Geometra Analtica obtenidos en la

enseanza media. Sin embargo aqu daremos una breve informacin para homologar yponernos a un nivel comn. No se trata de contenido completo de un curso de este temasino ms bin una somera informacin.

4.1.- Plano Euclidiano

El plano Euclidiano plano geomtrico est conformado por puntos P, los que sonrepresentados mediante un sistema Cartesiano de ejes por pares ordenados de reales (x,y),establecindose una correspondencia biunvoca entre los puntos del plano y el conjunto delos pares ordenados .As el punto sealado por P se asocia al par (x,y) donde x es la

abscisa del punto e y la ordenada de l , como lo muestra la fig.

4.2.- Distancia entre dos puntos.

Los puntos: ),( 11 yxP y ),( 22 yxQ ,segn la fig. son vrtices del tringulo rectngulo PQR.Y por tanto la distancia d(P;Q) se define como la hipotenusa de dicho tringulo.Como: 12);( xxRQd = ; 12);( yyRPd = y de acuerdo al Teorema de Pitgoras:

R

);();();( 222 RQdRPdQPd += .)()();( 2122

12 yyxxQPd +=

x x

y

yP

Fig.

Y

y

y1 y2

yx1 x2

x

x

x

P(x1 ,

Q(x2 ,R


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25

Propiedades:

a)

d(P,Q) 0 b) d(P;Q)=0 QP= c) d(P;Q)=d(Q;P)d) d(P;Q)+d(Q;R) d(P;R) .Esto se puede verificar en la fig.

4.3 .- Divisin de un trazo en razn dada.

Si P es un punto del trazo 21PP 21 PPPP = con ),(),(),( 222111 yxPyxPyxP ===

+

+=

+

+===

11)()( 21212121

yyy

xxxyyyyxxxx

Luego si 1= el punto P dimidia al trazo 21PP

Ejemplo:

1.- Los puntos extremos de un segmento o trazo son: )4,8()4,2( 21 PyP .Hallar el puntoP(x,y) que divide en la razn -2.

Solucin:

P

Q

R

Y

X

Fig.

421

)4(24

114

21

822

12121 =

=

+

+==

=

+

+=

yyy

xxx


26/128

26

2.- Los extremos de un segmento son los puntos: )4,1()4,7( 21 == PP ; el punto)2,1( =P lo divide en la razn ,determinar su valor.

Solucin.

31

)1(71 =+

+=

3.- Los puntos medios de los lados de un tringulo son: (2,5) , (4,2) y (1,1) .Hallar lascoordenadas de los vrtices.

Solucin

Sean ),(),(),( 212121 ccCbbBaaA los vrtices,

entonces

12125222;22;42221122112211 =+=+=+=+=+=+ acyaccbycbbayba

Planteando y resolviendo estos sencillos sistemas se tiene

: 462153 222111 ====== cbacba luego los vrtices son :A(3,-2) B(5,6)C(-1,4)

4.4 .-La Recta.

La entendemos como un Lugar Geomtrico, o sea una coleccin de puntos sujetos a unaley determinada , expresada en sus componentes. As:

Recta por dos puntos:P y Q

),(),( 2211 yxQyyxP

== )(

)(

)()(),( 2

12

122 xx

xx

yyyyyxL .

P

Qy2

y1

y

x1 x2x

y2 y1

x1 - x2 m = tg


27/128

27

En la figura : =m12

12

xx

yy

, se llama la pendiente de la recta y corresponde a la )(tg

de modo que la ecuacin toma la forma:

)( 22 xxmyy += .

Que corresponde a la recta por el punto ),( 22 yxQ y con pendiente m .Si la escribimoscomo

)( 22 mxymxy += ,

bmxy += ,

Decimos que tiene la forma estndar; siendo b el punto en que corta al eje y coeficientede posicin y ello se ve cuando hacemos x=0.

b

a

Si los puntos fueran: ),0()0,( bQyaP , la recta tomara la llamada forma de segmentos:

1=+b

y

a

x,

lo que se consigue haciendo las sustituciones correspondientes en la primera ecuacin y quecorresponde a los segmentos que ella determina en los ejes coordenados como se ve en lafig:

y

x

b

a


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28

Por lo tanto toda recta tiene la forma General:

0=++ CByAx ,

o sea una relacin de primer grado en x e y. Despejando y :

BAm

BCx

BAy ==

Ejemplos:

1. Dada la recta : 5x +4y = 8. Encontrar : a) pendiente ;b)interseccin con los ejes ;c)verificar si el punto (3,-2) est en ella ;d) encontrar la ordenada para que (-1,y) sea de larecta.

Solucin:

a) 24

5845 +==+ xyyx , luego

4

5=m

b) En 845 =+ yx ; hacemos : 20 == yx ;5

80 == xy .

c) 87)2(43545 =++ yxEn , luego no contiene al punto.d) En

4

1384)1(5 ==+ yy .

2. Encontrar la ecuacin de la recta con pendiente 32=m y que contenga al punto (1,1).Solucin:

En2

3

3

2

2

31

3

21

3

2+==+=+=+= xybbbxybmxy .

3. Determinar la pendiente de la recta que pasa por: )3,1()5,2( QyP .Solucin :

Como 3

8

21

53

12

12

=+

=

= mxx

yy

m .

Rectas paralelas y rectas perpendiculares.

Entendamos que las rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente, es decir hacenigual ngulo con el eje x; y sern perpendiculares si el producto de las pendientes es -1.Lo


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29

primero se aprecia claramente en la figura y la perpendicularidad se comprueba teniendoque:

==

+===+ 0

2cot

1)(

22

g

CotgCotg

CotgCotgCotg

101101 ==+=+

TgTgTgTg

CotgCotg

Luego teniendo las rectas:

0: 1111 =++ CyBxAL y 02222 =++ CyBxAL con pendientes:

1

11

B

Am = y

2

22

B

Am = , Por lo tanto el paralelismo se expresa

por: 21 mm = o sea 1221 BABA = y la perpendicularidad

por: 121 = mm o sea 02121 =+ BBAA .

Finalmente el punto de concurrencia de las rectas no paralelas se determina resolviendo elsistema:

111 CyBxA =+

222 CyBxA =+ .-

L

L

Y

X

L1

L2

L

L

Y

X02121 =+ BBAA

02121 =+ BBAA


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30

Ejemplo:

Determinar el punto de concurrencia de las rectas:152;853 =+= yxyx

Solucin:

152

853

=+

=

yx

yx

_____________________/

5137 == yex

4.5 La circunferencia:

La entendemos como el Lugar Geomtrico de los puntos P(x,y) del plano cuya distancia aotro fijo C(a,b),llamado centro ,es la constante R, llamada el radio de ella. La figura queacompaa ahorra ms detalles.

De la definicin dada y el teorema de Pitgoras se deduce su expresin analtica:

222 )()( Rbyax =+ (a)

Donde (a,b) es su centro y R el radio ,luego si el centro es (0,0) tomar la forma:

R

x-a

(x,y)

y-bb

a

y

0R

x


31/128

31

222 Ryx =+

.

Desarrollando la expresin analtica vemos que es de la forma:

022 =++++ FEyDxyx (c)

Sin embargo no toda expresin de esa naturaleza puede representar una circunferencia,

pues para que ello ocurra debe poder cumplir con lo demandado al completar los cuadradosde binomio:

22222

22

4

4

44)

2()

2( R

FEDF

EDEy

Dx =

+=+=+++

la condicin ser que : 0422 >+ FED ;de modo que )2

,2

(ED

es su centro y

FED 42

1 22 + el radio.

Para identificar la circunferencia necesitamos conocer 3 incgnitas, veamos los Ejemplos:

1. Hallar la circunferencia centro en el origen y contiene al punto P(1,-4).Solucin:

Ser de la forma (b) ,luego 17)4(1 222 ==+ RR 1722 =+ yx es la ecuacin.

17

-4

117


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32

2. Hallar la circunferencia centro en (3,0) y contiene al origen.Solucin.:

En la forma a) 222 )0()3( Ryx =+ y 222 )0.0()30( R=+ 3= R ;y la ecuacin ser:

9)3( 22 =+ yx .3. Encontrar la circunferencia tangente a los ejes y centro en (-3,3).

Solucin.:

En la forma a) 222 )3()3( Ryx =++ al ser tangente a los ejes: 3= R ,luego

9)3()3( 22 =++ yx es la solucin buscada.

4. Determinar la circunferencia que pase por los 3 puntos (0,6);(4,-2);(9,3).Solucin.:

La forma c) nos genera el sistema:

039981

024416

0636

=++++

=+++

=++

FED

FED

FE

3

-3

(0,6)

(4,-2)

(0,3)

5

3


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33

Cuya solucin es : 0;6;8 === FED y la ecuacin ser: 06822 =+ yxyx .

5. Encontrar radio y centro de la circunferencia : 07822 =++ yyx .Solucin.:

Debemos dar la forma a ) para ello completamos el cuadrado de binomio:

9)4( 22 =+ yx .

6. Sealar radio y centro de : .0102422 =++ yxyx Solucin.:

Para llegar a la forma b) completamos los cuadrados debinomio: 25144)5()12( 22 +=++ yx 13)5()12( 22 =++ yx .Debemos reiterar que nuestro propsito no es hacer un desarrollo acabado de estostemas, sino mas bien definir un piso mnimo para que el inicio de los estudios tenga una

base comn.

3

4


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34


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35

MATEMATICA GENERAL

TEMA N 5.- ELEMENTOS DE ALGEBRA CLSICA.

INTRODUCCION

Luego de conocer los fundamentos y consecuencias de los reales, nos disponemos aefectuar una revisin de ideas en torno a la operatoria con tales elementos; ello con elpropsito de observar con una ptica diferente, fundamentada y lgica, aquella operatoriaque nos debi parecer arbitraria o inexplicable; el beneficio de esta revisin es evidente.

Junto a esto est tambin la oportunidad de ejercitar un espritu crtico que esperamos haberfomentado en los captulos anteriores.

Este ltimo tema tendr una connotacin y estructura diferentes, por lo que se ha dicho;estar constituido bsicamente por listados de ejercicios operatorios de los temas deAlgebra de los Reales ms relevantes de la Enseanza Media.

Tiene por lo tanto tambin un carcter evaluativo que el alumno podr autoaplicarse unavez concluida la etapa de anlisis de conceptos y revisin de tcnicas operatorias. Sinembargo se incluyen, en algunos casos, el fundamento de algunas reglas operatorias paraque el alumno observe con igual sentido todos los algoritmos operacionales del texto.

5.1 Expresiones Algebraicas:Definicin:

Se llama Expresin Algebraica, a aquella constituida por las operaciones de suma y producto y otras entre factores numricos y literales, estos ltimos representativos devalores reales arbitrarios.

Ejemplos:

1. .253 cba + 2. (x-2)5y3.

ba

ba

32

22

4.5

3x


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36

5.2 Valor numrico de una expresin algebraica:

Se consigue sustituyendo en cada factor literal los valores numricos asignados.Ejemplo:

Determinar valor numrico de las siguientes expresiones.

a) 3a2 bc 2a ; Si a = 2; b = 1 ; c = 3b) ( )232 ba

4

3ba3 ++ ; Si a = 2; b = 1

c)( )

( )41

22

cbacba

baab+

+

; Si a = 2; b = 1; c = 3

Solucin.:

a) 3a2 bc 2a = 3 4 1 3 2 2 = 32 //

b)

( ) ( )

//4

3632

//42712

124

3143

4

33 2232

+=

+=

=++=++ baba

c) ( ) 422

4

16

33

2

4

1312

3)12(

1212+

=+

+

Ejercicios:

Determine el valor numrico para:

1) 3x2 - 6x + 5 ; Si x = 52) x2 - 2xy + y2 ; Si x = 4 ; y = 2


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37

3) (x + y) ( x y) - x2 + y2 ; Si x = 13 ; y = 144) ( )xyyx

3

z 22 ++ ; Si z = 10 ; x = 27 ; y = 3

5) ( ) ( )

yx

yxyx:yx 2233

++

; Si x = 10 ; y = 20

6)3

21

x

xx

+; Si x = 2

7) ( ) ( ) ( )cpbpapp ; Si a = 35 ; b = 28 ; c = 31( )cbap ++=

2

1

5.3 Reduccin de Trminos SemejantesEn una expresin algebraica, son trminos semejantes aquellos que tienen los mismosfactores literales y los mismos exponentes aunque el factor numrico sea diferente:

Ejemplo:

a) ( )222 ba2;ba4

3;ba7

b) 31

31

31

xy35,0;xy41;xy2,0

Reducir trminos semejantes es agrupar en un solo los trminos semejantes entre siefectuando las operaciones algebraicas que se sealen.

Ejemplos:

Reducir trminos semejantes:

a) -5 a3 b4 - 7a3 b4 -3a 43b + 12a3 b4 - 13a3 b4b) 24a - 7b + 12c - 11a - 3b + 11c - 5a + 9b + 6cc) bab2,0a25,0b

5

4a

3

2+++


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38

Solucin:

//16

1228

1312375a)

43

4343

4343434343

ba

baba

bababababa

=+

=+

b) 24a - 11a - 5a - 7b - 3b + 9b + 12c + 11c + 6c =

8a - b + 29c //

c) bb5

1b

5

4aa

4

1a

3

2+++

=+ bb5

3aa

12

11

//b5

2a

12

1+

Observacin:Esta reduccin recoge la propiedad asociativa de los reales

Ejercicios:

Reducir trminos semejantes:

1) 3m - 7m + 5m - 7m + 3n - 8p - 5n + 8p2) x - 5y + 8 + 7x - 3y3) b8a4

11c2

16c6

1b2

14a3

12c3

17b5a2

13 ++++

4) 12xy - 4x2y + 6xy2 - 4x2y + 3xy + 8xy2 - yx3 - x2y25) 0,75x - 0,6y +

2

1y + 1

2

1x - y


39/128

39

6) 83

1a - 6,35b - 5,7a - 2

12

2 b + 1

6

1a + 7

3

1b

7) 32x + 17y + 14z - 21w - 0,86x -17

1y -

4

3z

5.4 Resolucin de Parntesis

Los parntesis se usan para agrupar o asociar expresiones y cuya resolucin se rige por laspropiedades de distributividad en los reales o asociatividad de estos:

Ejemplos:

Resolver parntesis en:

a) 5a + (3b 2a + c) - 4cb) 7x - (3x + 9) + (6x + 8)c) 3x (2a - b) + ( )[ ]xaxbxa 3

Solucin:

a) 5a + (3b - 2a + c) - 4c = 5a + 3b - 2a + c - 4c=3a + 3b-3c

b)

7x - (3x + 9) + (6x + 8) = 7x - 3x - 9 + 6x + 8=10x 1

c) 3x (2a - b) + (3xa - xb + xa) = 6xa - 3xb + 3xa - xb + xa = 10ax 4bx.

Observaciones:

Recurdese las siguientes propiedades de los reales:

- (a + b) = - a - b

- (a - b) = - a + b

- (-a - b) = a + b


40/128

40

Ejercicios:

Resolver parntesis y reducir trminos semejantes:

1) (a - b + c) - (a + b - c) + (-a + b + c)2) m - [ ] )nm()nm()nm( ++ 3) (9a - 4c) - [ ])a6c4()ba3( 4) (7a - 2b) - [ ])c3b2()ca3( 5) 2a - 2b + { } ])ba()ba(a3x3 6) a - { }[ ])ba(b2a(a3x3b2 + 7) - [ ] )( bab [ ]( ))ab(

5.5. Suma de Expresiones Algebraicas

La suma de expresiones algebraicas se hace entre trminos semejantes; empleando laspropiedades asociativas, conmutativas y distributiva que caracteriza a los reales:

Ejemplo:

Si A = 3x2 - 4x + 8 ; B = 2x2 - 6x + 4 ; C = -6 + 4x + x2

Calcular

a) A + Bb) 3A + 2B - Cc) (A + B) + (-2A - 3B) - 6C

Solucin:

a) A + B = (3x2 - 4x + 8) + (2x2 - 6x + 4)= 3x2 + 2x2 - 4x - 6x + 8 + 4

= 5x2 - 10x + 12 //


41/128

41

b) 3A + 2B - C = 3(3x2 - 4x + 8) + 2(2x2 - 6x + 4) - (-6 + 4x + x2)

= 9x2 + 4x2 - x2 - 12x - 12x - 4x + 24 +8 + 6

= 12x2 - 28x + 38 //

c) (A + B) + (-2A - 3B) - 6C = A - 2A + B - 3B - 6C

= -A - 2B - 6C

- (3x2 - 4x + 8) - 2(2 2x - 6x + 4) - 6 (-6 + 4x + x2) =

- 3x2 + 4x - 8 - 4x2 + 12x - 8 + 36 - 24x - 6x2 =

- 3x2 - 4x2 - 6x2 + 4x + 12x 24x - 8 - 8 + 36 =

- 13x2 - 8x +20 //

Ejercicios:

1. Sumar las expresiones:Si:

A = 5a + 6b - 7

B = 3a - 4b + 2C = -4a + 3b - 4

1) A + (B - C)2) A - (B 2C)3) 2A + 3B - (2C + 4A)

2. Calcule

a) De la suma de 6xy - 8x + 15 con - 7x2 + 8xy - 10 rstese

5x2 + 8xy 20

b) Sume xy5x2

1x

4

3 22 + con el doble de xy3x4

3x

2

1 23 +


42/128

42

c) Al doble de 3x2 - 12x + 6 aumentado en 11, rstese un medio de la suma entre(x2 + 4x + 2) y (-2x2 + 6x + 4)

d) El Semi-permetro de un rectngulo es 3x + 2y + 7, y el ancho es:

x - 3y + 2 Cul es el largo?

5.6Producto de expresiones Algebraicas:

a) Producto de MonomiosPara ello se emplean las propiedades del producto de reales y se multiplican loscoeficientes numricos entre s y los coeficientes literales homlogos.

Ejemplo:

Multiplicar

a) 222

3

2

13 xaxa

b) (-8ab)

2

1ba

4

1 22

c) axn bxm c x

Solucin:

a) 3a2 2223

2

2

13

2

3

2

1xxaaxax =

= a3 x3 //

b) (-8ab) ( ) 2222 bbaa2

1

4

18

2

1ba

4

1

=

= a3 b3 //

c) axn bxm cx = a b c xn xm x

= abc xn+m+1


43/128

43

Ejercicios:

Multiplicar los monomios

a) ( ) ( )32 a2a3

b) ( ) ( )abaa 422

3 3

c) 14a2 bcx (-8ab3 x)

d) 7ab3 c2 0,21 a2 b2 c2 14

1a3 bc2

e)22

2

q

pq

p

q

q

p

f) 5a3 b3 3a-3 b3 7ab

g) abccabbaa

b) Producto entre polinomios:

Su ejecucin contempla la propiedad distributiva del producto respecto a la suma y lasotras propiedades o axiomas del cuerpo .

Ejemplo:

a) (5ab - 3a) 2a2 b2

b) 3 (-2a2 - 6ab2) (a3 b3)

c) (2x - 6) (x + 4)

Solucin:a) (5ab - 3a) 2a2 b2 = 10 a3 b3 - 6 a3 b2 //

b) 3 (-2a2 - 6 ab2) (a3 b3) = (-6a2 - 18 ab2) (a3 b3)

= 6 a5 b3 - 18 a4 b5 //

c) (2x 6) (x + 4) = 2x (x + 4) - 6 (x + 4)

= 2x2 + 8x - 6x - 24


44/128

44

= 2x2 + 2x - 24 //

Ejercicios:

Multiplicar y reducir trminos semejantes.

1) ( )

++ ab

2

1ba4ab8ba6 32322

2) (x - 8) (x + 6)

3) (x + 4) (x - 3) (x + 1)

4) (6x2y - 3xy + 4xy2 + 8x2y2 - 7x2y) (xy2 - x2 y2)

5) (x - y) (x2 + xy + y2) (x3 - y3)

6) 3(2x - 6) + 4 (3x + 4) - 7(2x - 1) + 8(x + 3) (x + 1)7) (x + 2y) (x + 2y) (x + 2y)

Observacin:

Hay ciertos productos usuales, que es necesario conocer su desarrollo.

1. Cuadrado de Binomio

(a + b) (a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b) (a - b) = (a - b)2 = a2 -2ab + b2

2. Cubo de Binomio

(a + b) (a + b) (a + b) = (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

(a - b) (a - b) (a - b) = (a - b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3

3. Producto de binomios que slo difieren de un signo

(a + b) (a - b) = a2 - b2

(-a - b) (-a + b) = a2 - b2

4. Binomio con un trmino comn

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) + ab


45/128

45

5. Cuadrado de Polinomio

(a + b + c ..)2 = a2 + b2 + c2 . + 2(ab + ac +` bc + ..)

6. Suma de Cubos

(a3 + b3) = (a + b) (a2 - ab + b2)

(a3 - b3) = (a - b) (a2 + ab + b2)

Ejercicios:

Resolver los productos notables siguientes:1) (2a + b2)22) [ ]2)abb(2ba 3) (6x - 3y)24) (3ax + 2ay)25) (-2 - 2b)26) (x - 2)37) (2xy - 5y)

3

8) (3x - 2y + z)29) (2xy - x2 + y2)210) (3ax - 2ay) (3ax + 2ay)11) (2x - 3y) (3x - 2y) (2x + 3y) (3x + 2y)12) (2x - 6) (2x + 9)13) (x - xy) (x + x2)14) (x - 8) (x - 4) (2x - 3)15) (a + 32 + b + 2b2)216) (x - y + z)317) 232 zxy

4

1xy

3

1x

2

1

++


46/128

46

5.7 Factorizacin de Expresiones Algebraicas

Se trata de restituir a un producto, una expresin algebraica desarrollada como unaaplicacin de la propiedad distributiva.

Ejemplo:

Factorizar las expresiones siguientes:

a) (2ax - 3x)b) 3ax2 - 2axc) 2a3 b2 c4 d - 6ab4 c3 + 8a2 b2 c4 d2d) x2 - 2x + 1e) 9x2 - 16f) x2 - x - 6

Solucin:

a) 2ax - 3x = x (2a - 3)b) 3ax2 - 2ax = a x (3x - 2)c) 2a3 b2 c4 d - 6ab4 c3 + 8a2 b2 c4 d2 = 2ab2 c3 (a2cd - 3b2 + 4acd2)d) x2 - 2x + 1 = (x - 1)2e) 9x2 - 16 = (3x - 4) (3x + 4)f) x2 - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

Observacin:

Un problema de factorizacin frecuente es el caso de un trimonio cuadrtico.

ax2 + bx + c

Recurdese el producto:

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

es decir, en el trinomio:


47/128

47

x2 + sx + py

s representa la suma de los trminos no comunes y p el producto de los mismos; poreso en:

x2 - x - 6 ; s = -1

p = -6 o sea

a + b = -1

ab = -6 a = -3 ; b = 2

x2 - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

Ejercicios:

Factorizar los trinomios

1) x2 - 5x + 62) x2 - 7x + 33) 10x2 + 17 + 34) -6x2 + 37x - 455) 6x2 + xy - 12y26) 10x2 + 17xy + 3y27) x2 + x + 18) 3x3 - 12x2 + 9x9) x5 - ax4 - a4x + a510) (a + b)2 - 4ab11) a12 + b12 (a4)3 + (b4)312) a12 - b12

5.8 Simplificacin de Expresiones Racionales

Simplificar una expresin racional es cancelar factores comunes que parecen en elnumerador y denominador de ella; esto es la aplicacin de la propiedad del inversomultiplicativo.


48/128

48

Ejemplo:

Simplificar

a)2a4

4x2

+

b))ba(ab

ba2ab3 22

c)6xx

6x5x2

2

+

Solucin:

a) 11 )1a2(2)2x(2)1a2(2

)2x(2

2a4

4x2 +=

+

=

+

1a2

2x

)1a2()2x(1

)1a2()2x(221

1

+

=

+=

+=

b)ba

a2b3

)ba(ab

)a2b3(ab

)ba(ab

ba2ab3 22

=

=

c)2x

2x

)2x()3x(

)2x()3x(

6xx

6x5x2

2

+

=

+

=

+

Observacin:

Este trabajo de simplificacin, si no se hace concientemente es fuente de graves errores, deah el desarrollo detallado del ejemplo a) hago usted lo mismo con:

a)22 ba

ba

+


49/128

49

b)y2x2

yx 22

+

c)22

33

baba

ba

++

Ejercicios:

Simplificar o cancelar factores comunes en:

1)6x2

9x3

+

+

2) 3226 bab3a3a

ba

+++

+

3)22

66

b2a2

ba

4))ba(

)ba(ab2ba 33

+

++

5)5a10a5

1a2

2

+

6)mymx

yxy2x 22

+

++

5.9 Cuociente de Expresiones Algebraicas

a) Cuociente entre Monomios: Se trata, como ya se sabe, de un producto del monomiodividendo por el inverso multiplicativo del monomio divisor.

Ejemplo:

a) 16 a2 b5 c6 : 4ab3c3b) -0,14a3b-2 c-4 : 10a3b3 c3

Solucin:


50/128

50

a) 16 a2 b5 c6 : 4ab3 c3 = (16a2b5 c6) (4ab3 c3)-1= 16 a2 b5 c6 4-1 a-1 b-3 c-3

= 16 4-1 a2 a-1 b5 b-3 c5 c-3

= 4ab2 c3

otra forma 3233

652

cab4cab4

cba16=

Esta forma es una modalidad ms frecuente pero la justificacin para ello est en laprimera modalidad.

b) -0,14a3 b-2 c-4 : 10a3 b3 c =10

14,0a3-3 b-2-3 c-4-1

0,14b-5 c-5 =55

14,0

cb

Ntese que:

nmn

m

aa

a = ; puesto que

( ) === n,m;aaaaa

a

a nmnm1nmn

m

IN

Ya antes habamos usado el hecho que

am an = am+n ; m, n IN

y que est basada en la asociatividad del producto, por cuanto:

am an =

n vecesvecesm

a.........aaa.........aaa

=

n vecesm

a...........aaa+

Ejercicios:


51/128

51

Efectuar las operaciones

1) 3432 zy9:zyx3

1

2) -12a4 b3 c-3 : -18 b-3 c4

3) 2111 zyx53:xy

53

5.10 Cuociente de Polinomio con monomio

Est basado en la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

Ejemplo:

a) (15x4 y2 - 9x2 y3 + 12 xy4) : 3xyb) 324423

2

3:

4

3

2

1bababa

+

Solucin:

a) (15x4 y2 9x2 y3 + 12xy4) 3-1 x-1 y-1 =3233023 43531239315

yxyxyxxyyx +=+

b) +=

+

32

34

32

23

32

433423

ba

ba

3

2

4

3

ba

ba

3

2

2

1

ba2

3

ba2

3ba

4

3ba

2

1

aba2

1ab

3

1

ba

ba

3

2

2

3 2132

43

+=

Ejercicios:

Efectuar las divisiones:

1) (8a2 b5 - 16a3 b3 + 24a-2 b5) : 8a2 b32) (-4x7 y8 - 12x20 y10 + 24x21 y42) : 4x9 y-10


52/128

52

5.11 Cuociente entre multinomios

La divisin entre multinomio, an cuando est determinada por la distributividad en los

reales, tiene un algoritmo especial para conseguir el cuociente y el resto, si lo hay. Puestoque si A y B son dos expresiones se trata de encontrar las expresiones C y R tal que:

A = B C + R

C es el cuociente y R es resto

El algoritmo lo explicamos en el ejemplo

(a2

+ 4ab + 3b2

) : (a + b) = a + 3b

2

2

b3ab30

aba

++

00

b3ab3 2

Observacin:

Tngase presente que hay que:

Ordenar respecto a las potencias de una letra ambos multinomios.

a) Se busca un elemento que multiplicado por el primer elemento del divisor resulte elprimer elemento del dividendo.

b) Se multiplica el elemento encontrado por todo el divisor y el producto se resta deldividendo.

c) La diferencia es un nuevo dividendo y se repite el proceso hasta llegar a un resto ceroo un elemento que no permite continuar.

Ejemplos:

a) (3a5 - 6a2 + 9a - 7) : (2a2 - 3)


53/128

53

Solucin:

3a5 - 6a2 + 9a - 7) : (2a2 - 3) =

cuociente

aa 34

9

2

3 3 +

7a9a6a2

9

a2

9a3

23

35

+

7a4

63a6

a4

27a

2

9

2

3

+

( )

16a4

639a6 2

+

(Resto)

Luego debe tenerse que

(3a5 6a2 + 9a - 7) = (2a2 -3)

+

+ 16a

4

633a

9

9a

2

3 3

En efecto, realizando el producto se llega a:

3a5 - 6a2 -4

27a + 9 Sumando el resto

7a9a6a3

16a4

63

25 +

+

Ejercicios:

Efectuar el cuociente y comprobar:


54/128

54

1) (2x3 + 2x3 - 3x2) : ( 2x + 4)2) (x4 - 2x3 - 3x2 + 5x + 2) : ( x3 - 4x2 + 5x - 2)3) (x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 3x + 2 ) : ( x + 2)4) (x5 - 3x4 + x2 - 2x - 3 ) : (x - 3)5) (x7 + 3x6 + 2x3 + 3x2 - x + 1) : (x4 - x + 1)6) ((x + 1)3 - x2 + 2x ) : (x2 + x - 1)

Observacin:

El cuociente xn - yn : x - y ; tiene siempre resto cero cualquiera sea el valor de n

N.

Ejemplo:

x5 - y5 : x - y = x4 + x3 y + x2 y2 + xy3 + y4

( )54

45

yyx

yxx

( )523

234

yyx

yxyx

( )532

3223

yyx

yxyx

( )54

432

yxy

xyyx

( )0

yxy 54

De igual forma podr verificarse que:

x6 - y6 : x - y = x5 + x4y + x3y2 + x2y3 + xy4 + 5

y en general puede intuirse que:

xn - yn : x - y = xn-1 + xn-2 y + xn-3 y2 + . + x2 yn-3 + xyn-2 + yn-1


55/128

55

Ejercicios:

Escriba el resultado directamente:a) a5 - x5 : a - xb) 8x3 - y3 : 2x - y

Igual situacin a la anterior se produce con los cuocientes.

a) xn + yn : x + y si n es par (n = 2p)

b) xn + yn : x + y si n es impar (n = 2p 1)

Verifquelo para:

a) x8 - y8 : x + yb) x7 + y7 : x + yc) x6 - y6 : x + yd) x5 + y5 : x + y

Adems conjeture una frmula general para dichos cuocientes.

5.12 Expresiones Algebraicas Racionales:

Son aquellas en forma de cuociente entre multinomios:

Ejemplo:

a)a8ba3ab4

6ab2ba3223

2

+

b)222 ba

1;

abx5

2;

bx7

a3


56/128

56

A) Mnimo Comn MltiploEl mnimo comn mltiplo (m.c.m.) entre dos o ms expresiones; es la expresin que

se obtiene al multiplicar los factores primos numricos o literales cada uno con sumayor exponente.

Ejemplo:

m.c.m. entre: 15a2 b3 ; 8ab2 ; 3a3 b

3 5 a2 b3 ; 23 ; 3 a3 b es:

3 5 23 a3 b3 120 a3 b3 //

Observacin

El m.c.m. es entonces la expresin ms pequea que contiene a cada una de lasexpresiones dadas.

m.c.m. entre (1 + a) ; (1 - a) es (1 + a) (1 a)

m.c.m. entre a3 b ; xy2 ; uv5 es a3 bxy2uv5

m.c.m. entre 6(a - b) ; 9a2 - 9b2 ; 8(a2 + b2 - 2ab)

es:

Como 6(a - b) ; 9a2 - 9b2 ; 8 (a2 + b2 - 2ab) se puede expresar por:

3 2 (a b) ; 32 (a - b) (a + b) ; 23 (a - b) (a - b)

Entonces el m.c.m. ser:

32 23 (a - b)2 (a + b)

Ejercicios:

Determinar m.c.m. entre:

a) (1 - a) ; (1 + a) ; (1 - a2) ; (1 + a2)

b) 6a2 b ; 2abc ; 5a2 b2 ; 13 abc2d

c) (a - 1) ; (a + 1) ; (b - 1) ; (b + 1)


57/128

57

B) Reducir dos o ms Expresiones Racionales o Fracciones Algebraicas a Funcionesde igual Denominador.

Se trata de obtener mediante un proceso de amplificacin, que cada fraccin tenga el

mismo denominador. Amplificar una fraccin algebraica es multiplicar numerador ydenominador por un mismo factor; con ello no se altera el valor de esta por cuantomediante un proceso de cancelacin o simplificacin se retorna a la expresin original.Amplificar y simplificar son procesos recprocos.

Ejemplos:

a) Amplificarab5

a2ba3 2 por b2 a3 ; luego queda:

( ) ( )43

232

32

232

ab5

a2ba3ab

ab5ab

a2ba3ab

=

b) Simplificarab5

a2ba3 2 : luego como

ab5

a2ba3 2 =

( )

ab5

2ab3a queda

b5

2ab3

Para determinar el denominador comn; entre dos o ms fracciones; (es convenienteque sea el mnimo posible) o ms bien el mnimo comn denominador; se busca elmnimo comn mltiplo entre denominadores y se amplifica cada fraccin por unaexpresin conveniente y lograr que el denominador sea ese m.c.m.

Ejemplos:

Reducir las fracciones dadas a expresin de igual denominador pero que sea el mnimocomn denominador.

a)yx

yx;

yx

x;

yx

322 +

b)c2

b;

a7

2;

b6

a3


58/128

58

c)abc

5;

ba

a3;

ba2

c4222

Solucin:

a) m.c.m. entre (x - y) ; (x - y) (x + y) ; x + y es (x - y) (x + y) ;

luego

)yx()yx(

3

yx

3

+=

)yx()yx(

x

yx

x22 +=

)yx()yx(

)yx(yx

yx

yx

+

=

+

b) m.c.m. entre 6b ; 7a ; 2c es 6 7 abc = 42 abc (mnimo comn

denominador)

abc42

ca21

abc42

ac7a3

b6

a3 2==

abc42

bc12

abc42

bc62

a7

2==

abccab

cb

42212

2

=

c) m.c.m. entre 2a2 b ; a2 b2 ; abc

es: 2a2 b2 c ; luego


59/128

59

c2b2

2

222a2

bc4

cba2

)bc()c4(

ba2

c4=

=

cba2

c6

cba2

)c4()a2(

ba

3222222 =

=

cba2

ab10

cba2

)ab2(5

abc

52222

=

=

Ejercicios:

Reducir al mnimo comn denominador las fracciones:

a)22

22

ba

ab;

ba

b;

ba

a

+

b)12

2

22

22

ba

ab2a3;

xaxa

xa2;

xa

ax

++

c)22

2

2 ba

x;

)ba(

yx;

)ba(

)ba(x

+

+

d)yx6

ba5;xy21ab8;

y14b5;

x7a3

2

2

22

5.13 Operaciones con Fracciones Algebraicas

1. Suma:La suma de fracciones algebraicas se realiza transformndolas a fracciones dedenominador comn; luego el resultado es la suma de los numeradores manteniendo el

denominador.

Ejemplo:

1) Sumar:22 b

a

a2

b2

a5

3

ab2

1++


60/128

60

Solucin:

m.c.d: 10a2 b2

22

3

22

3

22

2

2222 ba10

a10

ba10

ab10

ba10

b6

ba10

ab5

b

a

a2

b2

a5

3

ab2

1++=++

=22

332

ba10

a10ab10b6ab5 ++

2) Sumar:ba

a

b

ba

a

ba

+

+

Solucin:

m.c.d.: (a - b) ab

)(

4

)(

)2(

;)(

)()(

)(

)(

)(

)(

)((

2332

22232

22222

2

baab

abbaba

baab

baabababba

reduciendobaab

baababba

baab

ba

baab

aba

baab

bbaba

ba

a

b

ba

a

ba

=

++=

+=

+

+=

+

+

3) Sumar:1a

a4

1a

1a

2a2

1a

2a2

1a22

2

++

+

+

Solucin:

m.c.d entre 2(a - 1) ; 2(a + 1) ; (a + 1); (a + 1) (a -1) es

2(a + 1) (a - 1) = 2(a2 - 1)


61/128

61

//1a

1a

ndoSimplifica)1a( )1a(1a 1a2a

ndoSimplifica)1a(2

2a4a2

ndoSimplifica)1a(2

a82a21a2a1a2a

duciendoRe

)1a(2

a8)1a(2)1a()1a(

1a

a4

1a

1a

)1a(2

1a

)1a(2

1a

2

2

2

2

2

2

2

222

2

222

22

2

+

=

=

+

+=

++++++

+++

=

++

+

+

Ejercicios:

Sumar y expresar el resultado en la forma ms simple:

a) =

+ xy

y

yx

x

yx

x222

2

b) =

+ 1a

2

2a3a

322

c) =

+

+ 1a

2

1a

a4

1a

2

d)5a6a

2

10a3a

a22 +


62/128

62

5.14 Producto de Fracciones Algebraicas:

El producto de fracciones algebraicas se efecta multiplicando numeradores ydenominadores entre s y el cuociente se encuentra multiplicando la primera fraccin

por el inverso multiplicativo de la segunda.

Ejemplo:

1. ndoSimplificayab12

abx15

aby2

bx3

by6

ax522

2

=

//by4

x52

2

=

2 ndoSimplifica)x1()x2(b)x2()x1(a

x1x2

bxb2axa

22 +

+=

+

+

)x1(b

a

+=

3. +

+=

+

+

xx

xx

xx

xx

111

11

1

+

x1x

x1x

2

24

2

2 2121 xxx

xxx

+=+=

Se ha usado la distributividad en lugar de expresar los factores como fracciones o sea

+

+=

x

xx

x

xx 11 22

Ejercicios:

Resolver los productos, y simplificar si procede:

a) =

+

++

+

yx

yx

yxyx

yxyx22

22


63/128

63

b) =+

+

ba

ba

ba

)ba(b 22

44

2

c) =

+ x

a

a

x

xa

ax

d) =

+

+

+ 1a

a

11a

a

1

e) =

+

ca

ca

ca

ca1

22

f) =

+

+22

2

ca

ca1

1a

ca

g) =++

++

22

22

33

33

baba

baba

ba

ba

Para dividir dos expresiones fraccionarias se reducen a un producto como ya se seal:

Ejemplo:

1)aby2

bx3:

bx6

ay5

Solucin:

Comobc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a

d

c:

b

a1

==

=

22

22

xb18

bya10

bx3

aby2

bx6

ay5

aby2

bx3:

bx6

ay5==

//bx9

ya52

22

=

2) =

+

+1

x

1:

x1

x2

x1

12


64/128

64

=

+

+ x

x1:

x1

x2

x1

12

( ) =

+

x1 xx1 x2x1 2

=

+

x1

x

x1

x12

//)x1(

x2

3) =

+

+

31512:

6253

xx

xxx

=

+

+

3

15)3()12(:

)3(2

53

x

xx

x

xx

rSimplificaxx

x

x

xx=

+

+

15)3()12(

)3(

)3(2

5)3(2 2

=

+

+

))15)3()12(()3(2

)3()5)3(2( 2

xxx

xxx

=+

+

30)3()12(2

5)3(2 2

xx

xx

30)372(2

18722

2

++

+

xx

xx

//2

1

)18x7x2(2

18x7x22

2

=+

+=

Ejercicios:

1)

+

2x

11:

x

11


65/128

65

2)

5

35

3

2

x4

x2x2:

x2

1x

3)

+

1a

11:

1a

11

4) +

+

22

22

b3cb3

a2xa2:

b2bc2

a3ax3

5)

+

+

+

ba

b1:1

ba

ba2

6)

323

3

b

a

b

1:

b

a1

7)

+

+

+

ba

ba1:

ba

ba

ba

ba

5.15 Fracciones Algebraicas Compuestas

Se trata de fracciones cuyo numerador y denominador son a su vez fracciones y sudesarrollo consiste en darle una forma simplificada.

Ejemplo:

1)

+++

=

++

+

x1

x2)x1()x1(

x1

1

x1

x2

x1

x1

1

2

2

2x2)x1()x1(

)x1(x1

1

++

+

=


66/128

66

2x1

)x1(x1

1

+

+

=

2

2

x1)x1(xx1(

1

+++

=

)1(

122

2

xxx

x

++

+=

//x1

x1 2

+

+=

Ejercicios:

Resolver:

1.

1x

x1

1xx

+

+

2. =

ba

1b

1a

3. =

1b

aa

b

b

a

4.

ca

1

b

1ca

1

b

1

:

cb

1

a

1cb

1

a

1

++

+

++

+


67/128

67

5.a

a

1

cb

1

ab

1

ba

1

+

6.

+

+

+

a

11

b

11

b

11

a

11

a

1

b

1a

b

b

a


68/128

68

5.16 PotenciasSiendo la notacin an una expresin para el producto de n factores a; para n IN osea.

an = a a a .. a (n veces). Para n = 0;

a0 = 1

Se tiene las siguientes consecuencias operacionales:

a) am an = am+n

b) am : an = am-n :

c) an bn = (ab)n

d) am : bm =m

b

a

e) (am)n = amn

Adems son inmediatas las siguientes propiedades:

f) a ; a2n 0

g) a ; a2n-1

0 si a 0a2n-1 0 si a 0

Ejemplos:

a) a ax+1 = ax+2

b) a2n-3 : a 1+n = a(2n-3)-(n+1) = an-4

c) 5x 7x = (35)x

d) 82n : 42n = nn2n2

424

8==

e) ( ) 1025 33 =

f) (-7)2 = 49

g) (-5)3 = -125 < 0


69/128

69

( 3)3 = 27 > 0

Observacin:

Si m Z ; Entonces

nn

mm

a

1a

a

1a ==

Ejercicios:

1. a) a2n+3 a3n =

b) 25x 8 =

c) 52p-1 25p+1 =

d) (x + y)3n (x + y)1-n

e) (a + b + c) (a + b + c)n-1 (a + b + c)n

f)26

3

5

5

3

g)

33

3

5

:5

3

h) (1 + 2xy)2 : (1 + 2xy)-3

i) ( )58

axabx3

1

j) (32xy)3 : (4x)3

k) (16-1 40) : 4-2

2. a) =

+

+

+

+ 532

ba

p

q

qp

qp

ba

b) =

5

4

625

5

43

x

ym:

x

ym


70/128

70

c) =

+nm

n2

m2m2

nm

nm

a

a

a

a

d) =

2

121

2

3

2

3

yx:yx

e) =

25

1

4

23

ba

ab

ab

ba

f) =+

+

+

1x1x

1x

)1x(x

1x

)2(

4:

2

2

h) (0,25)-2 + 160 + (-2)-3 =


71/128

71

5.17 Races Aritmticas

Si n IN ; nn baba == ; luego ( )nn aa = (*)

La Potenciacin es la operacin recproca de la radicacin

Ejemplo:

33 327327 ==

66 264264 ==

55 )3(2433243 ==

33 )2(828 ==

Denotemos tambin: n1

aan =

ya que si en n1

aan = / elevamos a n ambos lados, se tendr:

( ) aaatambiny;aa nn

n1 nnn ==

= quedando justificada la notacin.

De lo anterior se tiene: p naa pn

=

Ejemplos:

a) 3 5xx 35

=

b) 883

31

=

c) 45

2324 =

d) 22128 7 77 ==

e) 32727 331

==

f) 5555 21

168

16 8 ===


72/128

72

g) 12 83 2 aa =

12 34 aa =

12 66 3 aa =

Ejercicios:

1) Simplificar las racesa) 30 18x

b) 24 9a

2) Convertir en races de igual ndicea) 43 6;3;5

b) 10 66 55 3 a;a;a

3) Calcular:a) 333 275128 +

b) 433 16827425 +

c) 3 35 2n n4 4 )x2(2

1xx2x +


73/128

73

5.18 Propiedades Operacionales

a) nnn baba =

b) nnnb

ab:a =

c) nmm n aa =

d) ) n qpqn p aa =

El fundamento de ello es que:

a) == yb;xa nn

a = xn ; b = yn

ab = xn yn = (x y)n

nnn bayxab ==

b) Anlogamente:

n

n

n

y

x

y

x

b

a

==

n

n

n

b

a

y

x

b

a=

=

c) nmmnm n )u(auaua ===

a = umn


74/128

74

m nmn aua ==

d) ( ) ( ) n pqqqn p aaaa npqnp ===

Observacin:

( ) ( ) ( ) n pqpqnpn qqn p aaaa ===

Ejemplo:

a) axxaaxxa 3 333 23 2 ==

b) 22212 3333 xxxxx ==

c)3

332

3 23

ax

1

xa

1

xa

axa:a ===

d)

1

10

1510 33:3

=

e) ba

ab

b

a:ab

2

==

f) ( )( )723723723723 +=+

416723 ===

g) ( )2

1815

2

72102:18157210 +=+

105315610

9153610

=+=

+=


75/128

75

h) Reducir:

//2162

232

2

32

2

840

2

8220

28254

2

1822545,08504

===

==

=

=

i) Reducir:

210

224210224

246252264

216622522364326502724

=

+=

+=

+=+

Ejercicios:

Desarrollar las expresiones y reducir

1)

+

3

26246

2) 318318 +

3) ( ) ( ) ( )353523 2 +

4) ( ) ( )2322332483252 +

5) 634287


76/128

76

6)12

14

3

193275,0184 +

7) 33327

16858 ++

8) 983162450732583 ++++

9) 78:74

10) 25:15015

11) xy3:yx75 3

12) ( ) 2:18157210


77/128

77

5.19 Racionalizacin

Para una expresin Fraccionaria con races en el denominador, la racionalizacin es laoperacin de amplificacin que tiende a eliminar dicha raz.

Ejemplo:

a) Racionalizar:n

m

Solucin:

//n

nm

nn

nm

n

m

=

=

b) Racionalizar:ba

a

Solucin:

( )

( )( )

( )//

ba

baa

baba

6aa

ba

a

+=

+

+=

c) Racionalizar:ba

b

+

Solucin:

( )

( ) ( )

( )ba

bab

baba

bab

ba

b2

=

+

=

+

d) Racionalizar:ba

a

Solucin:


78/128

78

//2

2

22

2

2

ba

babaa

baba

babaa

ba

baa

baba

baa

ba

a

+=

+=

+=

+

+=

e) Racionalizar:cba

a

++

Solucin:

( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )( )( )

( )

( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )//

4)(

2

22

2

2

))(

2

2

bccba

bccbacbaa

bccbabccba

bccbacbaa

bccba

cbaa

cba

cbaa

cbacba

cbaa

cba

a

+=

+

+=

=

+

+=

+++

+=

++

f) Racionalizar:33 cb

a

+

Solucin:

Tngase presente que:

x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2) Si 3 bx =

3 cy =


79/128

79

))(( 3 2333 233 ccbbcbcb ++=+ (3 233 2

33 )(cbcb

cbcb

++

+=+

Luego:

cb

ycbba

cb

a

+

+==

+

32

31

31

32

33

Ejercicios:

Racionalizar:

1) m nx

x

2)m 5a

a

3)5 x

x

4)32

32

+

5)23

9

6)32

10

7)273

273

+

8) 2253

5223

+

+

9)2237

254

++


80/128

80

10)33 23

7

11)33 35

2

+

12)3 yx

yx

+

+


81/128

81

5.20 Logaritmo en base a

Para la ecuacin ax = b , a 1 ; a > 0 la solucin se define por:

x = logab

luego:

ax = b x = loga b (*)

a) ba bloga =

b) xalog

x

a =

Observacin:

Ambas se logran por simple sustitucin de acuerdo a la relacin (*) y con ello sedetermina que la operacin de exponenciacin y la de logaritmacin son recprocas una dela otra.

Ejemplo:

1) log32 = x 3x = 2

2) log28 = 3 23 = 8

3) log2x = 5 25 = x x = 32

4) logx64 = 6 x6 = 64 x = 2646 =

Ejercicios:

1) Dar forma exponencial a

a) log981 = 2


82/128

82

b) log322 =5

1

c) log82 =3

1

d) log1010 = 1

2) Determinar el valor de x en:a) logx8 = 3

b) log749 = x

c) log8x =32

d) logx0,01 = -2

e) 5x = 3


83/128

83

5.21 Propiedades del Logaritmo

1) logaa = 1 a + - {1}

2) loga1 = 0 a + - {1}

3) loga(x y) = logax + logay

4) loga

y

x= logax - logay

5) logaxn = n logax

6) logbx =blog

xlog

a

a

7) xlogn

mxlog a

n m

a =

Demostracin:

1) y 2) son consecuencia inmediata de la definicin:

3) Sea loga(x y) = u

au = x y


84/128

84

Sea logax = m

logay = n

x = am

y = an

xy = am+n

= au

m + n = u

logax + logay = logax y

4) Seay

xalog = u a

u =y

x

Si logax = m logay = n

x = am y = an

== unm aay

x

m - n = u

loga ylogxlogy

xaa =

5) Es una reiteracin del caso 3 pues

logax2 = 2 logax

log3x3 = 3 logax

6) Si logbx = u x = bu

y m = logax ; n = logab

am = x ; an = b

x = am ; bu = (an)u

= anu


85/128

85

a m = anu m = nu

xlogblog

xlogu

n

mb

a

a ==

7) Se sabe que: nm

an m

a logxlog =

Sea nm

xlogu a=

nm

xau =

Sea = xlog

n

my a

xlogm

nya=

m

ny

a = x

ya = nm

x luego

au = ay u = y o sea

xlog

n

mxlog aa

nm

=

Ejemplo:

1) Probar que: logaa = 1

Solucin:

Si u = logaa

au = a u = 1

2) Calcular log216 ; log264 ; log21


86/128

86

Solucin:

log216 = log224 = 4 log22 = 4

log264 = log226 = 6 log22 = 6

log21 = log220 = 0 log22 = 0

3) Calcular x en log4x = 3 ; logx121 = 2

Solucin:

log4x = 3 43 = x x = 64

logx121 = 2 x2 = 121 x = 11

4) Desarrollar:xy4

cab3log

2

Solucin:

ylogxlog4logclog2

1blog2alog3log

)ylogxlog4(logclogblogalog3log

xy4logcab3logxy4

cab3log

2

22

+++=

+++++=

=

5) Calcular usando log10, el valor de:

y =2,0128

)001,032,0( 21

; Si log 2 = 0 , 30103


87/128

87

Solucin:

2

1

2

312log

2

12log2log

2

5

10log2

12log

2

1128log10log

2

11log

2

110log

2

12log

2

1

10

2log

2

1128log

1000

1log

100

32log

2

1ylog

7

325

10

+=

++=

+=

50515,3ylog

230103,05

22log5

22log21725

10 =

=

=

=

Luego haciendo uso de la calculadora se puede verificar el resultado en que:

y = 0,000322499

Observacin

Cuando la base es 10 el logaritmo se denota log; y en el caso que la base sea el

nmero e, el logaritmo llamado natural se denota Ln.

(e = 2,7182818)

6) Resolver la ecuacin exponencial:

a) a2x b3x = c5


88/128

88

b) (a4 - 2a2 b2 + b4)x-1 = (a - b)2x (a + b)-2

Solucin:

a) Aplicamos log a ambos miembros o sea a toda la ecuacin:

log (a2x b3x) = log c5

2x log a + 3x log b = 5 log c

x (2 log a + 3 log b) = 5 log c

//

blog3alog2

clog5

+

=

b) Se tiene:

(a2 - b2)2(x-1) = (a - b)2x (a - b)2x (a + b)-2

[ (a - b) (a + b)]2x-2 = (a - b)2x (a + b)-2

(a - b)2x-2 (a + b)2x-2 = (a - b)2x (a + b)-2 / (a + b)2

(a - b)2x-2 (a + b)2x-2+2 = (a - b)2x / (a - b)-2x

(a - b)-2 (a + b)2x = 1 / (a - b)2

(a + b)2x = (a - b)2 / log

2x log (a + b) = 2 log (a - b)

)ba(log )ba(logx += //

7) Dado log 2 = 0,30103; hallar:

Log25200


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89

Solucin:

5log2

10log22log

5log

)102(log

25log

2001200log

2

2

10

1025

+=

==

og

//2log22

22log

)2log10(log2

22log

2

10log2

22log

+=

+=

+=

Ejercicios:

1) Hallar logaritmo de:

a) 16 base ( )16log2 2 b) 125 base 5 5c) 0,0625 base 2

2) Hallar:

3a

215alog


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90

3) Hallar el valor de:

49log;216

1log;128log 34368

4) Expresar en funcin de log a ; log b ; log c

a) 33 2 balog

b) 9 34. balog

c)

ab:ba3log 321

d)

5

32

13

34

2

cb

cb:

cb

bclog

5) Demostrar que:

3log3

22log

5

25log

4

1

218

25log

3

104

=

6) Resolver las ecuaciones exponenciales:

a) x21x

1x

cb

a=

+

b) ax = cbx

7) Dados log 2 y log 3, hallar:

3

42

2

53log


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91

8) Resolver el sistema:

2x+y = 6y

3x = 3 2y+1


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92

TEMA N 6. -PROBLEMAS Y ECUACIONES

Prof .Heraldo Gonzlez S

EcuacinUna ecuacin es toda igualdad entre dos expresiones matemticas ,denominadosmiembros de la ecuacin, por ejemplo xyxyx 3423 =+ es una ecuacin.

En muchos problemas matemticos, la condicin del problema se expresa en forma deecuacin algebraica; se llama solucin de la ecuacin a cualquier valor de las variables dela ecuacin que cumpla la igualdad, es decir, a cualquier elemento del conjunto de nmeroso elementos sobre el que se plantea la ecuacin que cumpla la condicin de satisfacer laecuacin. Al igual que en otros problemas matemticos, es posible que ningn valor de laincgnita haga cierta la igualdad. Tambin puede que todo valor posible de la incgnita

valga. Estas ltimas expresiones se llaman identidades.

Historia de las ecuaciones polinmicasLos primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los rabes, en un librollamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, lgebra (del r. algabruwalmuqbalah, reduccin y cotejo). La cosa era la incgnita. La primera traduccin fuehecha al latn en Espaa, y como la palabra rabe la cosa suena algo parecido a la Xespaola medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, comoen Mexico/Mjico, Ximnez/Jimnez), los matemticos espaoles llamaron a la cosaX.Para resolver ecuaciones hasta segundo grado, el hombre no encontr gran dificultad, lasituacin fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2.

En efecto, la ecuacin general de tercer grado: 023 =+++ dcxbxax requiriconsideraciones bastante profundas y resisti todos los esfuerzos de los matemticos de laantigedad. Slo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era delRenacimiento en Italia. Aqu se presentar el ambiente en que aconteci el descubrimientode la solucin de las ecuaciones de tercer grado o cbicas. Los hombres que perfeccionaronlas cbicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matemticos tan pintoresco comonunca se ha dado en la historia. La mayora de ellos eran autodidactas, trabajaban encontabilidad, en problemas de inters compuesto y de seguros.

Habindose elevado por encima del simple clculo prctico, los grandes algebristas

italianos constituan en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba ensu elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban lasCallejas del Renacimiento, como en las ctedras de Universidad, a las que aspiraban yalgunas veces ocupaban. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieronentre s competencias para la solucin de problemas. (Algo muy similar a lo que hacan loshindes siglos antes). Para hacer doblemente difcil su deporte, algunas veces hacanapuestas que depositaban en manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En estaatmsfera combativa estall la guerra en torno a la ecuacin cbica. La chispa pudo haber


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93

sido encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publicun compendio de lgebra, la "Suma Aritmtica". Con ella transmiti el lgebra inventadahasta la fecha y termin con la irritante observacin de que los matemticos no podrantodava solucionar ecuaciones cbicas por mtodos algebraicos.

El primer hombre en recoger el desafo de Pacioli en torno a las cbicas fue, como yadijimos Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que lleg a ser catedrtico dematemtica en la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la solucin general paratodas las ecuaciones cbicas de la forma simplificada hnxx =+3 .

Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a losadversarios durante las competencias. Pero en sus ltimos das confo su solucin a unestudiante, Antonio Fior, quien la utiliz en una disputa de lgebra con un rival, NcoloFontana, llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padeca este defecto.

En la poca de la contienda con Fior, Tartaglia haba pasado a ser uno de los ms sagaces

solucionadores de ecuaciones de Italia, y haba ideado un arma secreta propia: Una solucingeneral para las cbicas del tipo hmxx =+ 23 .

Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos especficos del tipo03 =++ qpxx , le respondi con ejemplos del tipo nmxx =+ 23 . Durante el intervalo

concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente,ocho das antes de finalizar el plazo, Tartaglia haba encontrado una solucin general paralas ecuaciones del tipo qpxx =+3 y en dos horas resolvi todas las ecuaciones de Fior; deesta suerte, cuando se acab el tiempo y lleg el da de hacer el cmputo, Tartaglia habasolucionado los problemas de Fior y ste no haba solucionado los de Tartaglia. Comonuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontr con un rival ms fuerte:Gerolamo Cardano, hijo ilegtimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardanoera un astrlogo que hacia horscopos para los reyes, un mdico que visitaba a susenfermos y un escritor cientfico de cuya pluma emanaron montaas de libros. Fue tambinun jugador inveterano, siempre balancendose al borde de la prisin. Pero Cardano siempresala bien parado. El Santo Padre lo pension solucionndole as sus problemas econmicosy Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solucin de la ecuacin cbica.

Aunque Cardano jur mantener secreta la solucin de Tartaglia, la public unos cuantosaos despus, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado "Ars Magna"(Gran Arte). Tartaglia, que haba estado a punto de escribir su propio libro, pas el resto desu vida maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconoca eldescubrimiento de Tartaglia. Tambin en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia aotro matemtico: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que muri a la edad de 43aos, envenenado por su propia hermana. As como Tartaglia haba solucionado la cbica,de la misma forma Ferran, cuando todava estudiaba con Cardano, solucin de las de cuartogrado (con frmulas ms complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra deambos hombres, Cardano en su "Ars Magna" pudo dar al mundo las soluciones generalesde las cbicas y las curticas, divulgando los dos avances del lgebra ms trascendentalesdesde la muerte de Diofanto, 1300 aos antes.


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94

En el Ars Magna, Cardano acept formalmente el concepto de los nmeros negativos yenunci las leyes que los rigen. Tambin anticip otro tipo nuevo de nmero que denominficticio o sofisticado. Tal fue la raz cuadrada de un nmero negativo, que es incluso msdifcil de comprender que un nmero negativo propiamente, ya que ningn nmero realmultiplicado por s mismo da un nmero negativo. En la actualidad los matemticos llaman

a la raz cuadrada de un nmero negativo nmero imaginario; cuando dicha cantidad secombina con un nmero real, el resultado se llama nmero complejo.

Los matemticos posteriores han mostrado que los nmeros complejos pueden tener todaclase de aplicaciones.

En gran parte debido a Cardano, la matemtica sali de su paso por las pugnas

Apunte Usach - Introducción a la Matemática para Ingenieria de Ejecución

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