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Apuntes de Curso

Introduccion al cuerpode los numeros complejos

Juan Mayorga-Zambrano, Ph.D.Universidad Tecnologica Israel

jrmayorgaz@gmail.com

Septiembre 2012

Resumen

Se hace una introduccion al cuerpo de los numeros complejos que incluye lasfunciones modulo y conjugacion as como tambien la formula de Euler.

Topicos

1. Introduccion 1

2. El cuerpo C 22.1. Operaciones con numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Propiedades de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Notacion imaginaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Funciones complejas elementales 63.1. Funcion modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2. Funcion de conjugacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Leyes de los exponentes 9

5. Formula de Euler. Forma polar 9

6. Problemas 11

1. Introduccion

Los matematicos inventaron C, el conjunto de los numeros complejos, para poderresolver ecuaciones como

x2+1 = 0.

Suponiendo la existencia de un numero x0 = i que verifique esta ecuacion entoncesdebera cumplirse que

i =1 (1.1)

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que no pertenece al conjunto de numeros reales, R; se empezo a referir a i como unnumero imaginario.

Por mas de un siglo se miro a los numeros complejos a+ bi, donde a,b R, conmucha suspicacia. Existen realmente? Simbolicamente manipular algebraicamente losnumeros complejos no es complicado, basta tener en mente (1.1) de manera que

i2 = 1.Pero, de hecho, los numeros complejos son bastante reales. Si los numeros complejoshubieran sido inventados hace unos 30 anos y no hace 300, no hubieran recibido el apelativo decomplejos. Quiza se les hubiera llamado numeros planares o numeros bidimensionales o algosimilar, y no se utilizara el calificativo de imaginarios..., [1].

Los numeros complejos son utiles para describir ondas periodicas y en el manejo practico de solucio-nes de Ecuaciones en Derivadas Parciales. Las funciones de variable compleja son usadas en Electronica,Transferencia de Energa, en aplicaciones de las Teoras de Filtrado y de Control, etc.

2. El cuerpo C

2.1. Operaciones con numeros complejos

Al conjuntoC =R2 = {z = (x, y) : x R y R} (2.2)

se le llama cuerpo de los numeros complejos cuando se le proveen operaciones internasde suma y multiplicacion conforme a la siguiente definicion.

Definicion 2.1. [Operaciones con complejos]Si z1 = (a,b) C y z2 = (c,d) C, se definen las operaciones de suma, + : CC C, ymultiplicacion, : CC C, mediante

z1+ z2 = (a+ c, b+d), (2.3)z1 z2 = (ac bd, ad+bc). (2.4)

La suma de numeros complejos no es mas que la suma habitual de vectores de R2.

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, J.Figura 1: En virtud de su definicion, un numero complejo es un numero bidimensional.

Sin embargo, de donde sale la formula (2.4) para la multiplicacion en C? Una res-puesta simple parte de suponer momentaneamente la validez de la formula (1.1). Enefecto, si ponemos z1 = a+ ib y z2 = c+ id se tendra que

z1 z2 = (a+ ib) (c+ id)= ac+ iad+ ibc+ i2bd= (acbd)+ i(ad+ bc).

Tip de Maxima No. 1.Para definir una matriz, se utiliza el comando matrix. La multiplicacionmatricial se realiza con el punto.

Para dar una segunda respuesta, consideramos el espacio vectorial de las matricescuadradas de orden 2,M2(R), y el subespacio vectorial de dimension 2,

W ={(

a bb a

): a,b R

}.

No es difcil verificar que la aplicacion

C 3 (a,b) 7(

a bb a

)W

es lineal y biyectiva (y por tanto un isomorfismo); de manera que se puede considerar aW como una representacion matricial de C. La multiplicacion matricial de elementos deW se corresponde exactamente a la multiplicacion en C. En efecto, tomando z1 = (a,b) yz2 = (c,d), con representaciones matriciales Z1 y Z2, respectivamente,

(%i1) Z1: matrix([a, -b], [b, a]);

(%o1)(a bb a

)(%i2) Z2: matrix([c, -d], [d, c]);

(%o2)(c dd c

)

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se tiene que

(%i3) Z1.Z2;

(%o3)(acbd ad bcad+ bc ac bd

)de manera que Z1 Z2 pertenece a W y su representacion en C es (ac bd, ad+ bc), vease(2.4).

2.2. Propiedades de cuerpo

No es difcil verificar que (C,+, ) es efectivamente un cuerpo o campo, es decir quese cumplen las siguientes propiedades:

Asociatividad de la suma. Dados z1,z2,z3 C, se tiene que(z1+ z2)+ z3 = z1+ (z2+ z3).

Existencia del neutro aditivo. Existe un unico elemento 0 C tal quez+0 = z, para todo z C.

Existencia de inversos aditivos Para cada z C existe un unico elemento w Z tal quez+w = 0.

Por convencion se denota w = z.Conmutatividad aditiva. Dados z1,z2 C, se tiene que

z1+ z2 = z2+ z1.

Asociatividad de la multiplicacion. Dados z1,z2,z3 C, se tiene que(z1 z2) z3 = z1 (z2 z3).

Propiedad distributiva. Dados z1,z2,z3 C, se tiene quez1 (z2+ z3) = (z1 z2)+ (z1 z3).

Existencia del neutro multiplicativo. Existe un unico elemento 1 C tal quez 1 = 1 z = z, para todo z C.

Existencia de inversos multiplicativos. Para cada z C \ {0} existe un unico elementow C tal que

z w = w z = 1.Por convencion se denota w = z1 = 1

z.

Conmutatividad multiplicativa. Dados z,w C, se tiene quew z = w z.

Ejercicio 2.1. Pruebe que C junto con las operaciones definidas en (2.3) y (2.4) constituye uncuerpo.

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2.3. Notacion imaginaria

Como ya se menciono, las operaciones definidas en (2.3) y (2.4) corresponden formal-mente a trabajar con el smbolo i =

1. De aqu en adelante se usara la notacionz = x+ iy, z C, (2.5)

y se dira quex = Re(z) R, y = Im(z) R,

son respectivamente la parte real e imaginaria de z.

Figura 2: En el planoC=R2 al eje horizontal se le refiere como el eje real y al eje verticalcomo el eje imaginario.

Tip de Maxima No. 2.En Maxima se representa a la unidad imaginaria mediante %i. El comandorectform permite transformar un numero complejo a su forma rectangular.

Usemos Maxima para obtener la formula para el cociente de dos numeros complejos:

(%i1) z1: a+b*%i;

z2: c+d*%i;

(%o1) ib+ a(%o2) id+ c

(%i3) z1 / z2, rectform;

(%o3)bd+ acd2+ c2

+i (bc ad)

d2+ c2es decir,

z1z2

=bd+ acd2+ c2

+i (bc ad)

d2+ c2(2.6)

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3. Funciones complejas elementales

3.1. Funcion modulo

Se llama funcion compleja de variable compleja a toda funcion cuyo dominio ycodominio son subconjuntos de C:

f : U C Cz 7 w = f (z) (3.7)

Tenga presente que una funcion compleja tiene tres componentes: dominio, codominioy una formula. Coherente con esto, a veces, en lugar de la notacion (3.7) se escribe

C U 3 z 7 f (z) C. (3.8)

Regla del Maximo Dominio. Si no se hace explcito el dominio de una funcion y se provee solo unaformula debera suponerse como dominio de la funcion el conjunto mas grande de numeros complejos dondela formula tiene sentido. Por defecto se supondra que el codominio es C.

As como el valor absoluto es la funcion real mas importante, la funcion complejamas importante de todas es la funcion modulo pues permite medir distancias en C. Larelevancia se debe a que para establecer la convergencia de un metodo numerico, im-plementado computacionalmente para resolver un problema de Ingeniera, se requiereque a medida que avanza el algoritmo la distancia entre la solucion aproximada y lasolucion real sea cada vez mas pequena.

Definicion 3.1. [Modulo]La funcion modulo (o simplemente modulo), | | : C R, se define mediante

|z| =

x2+ y2, para z = x+ iy. (3.9)

Las propiedades de la funcion modulo se resumen en el siguiente Teorema.

Teorema 3.1. [Propiedades del modulo]Se cumple que

i) |z| 0, para todo z C;ii) |z| = 0 ssi z = 0;

iii) |z w| = |z| |w|, para todo z,w C;iv) |z+w| |z|+ |w|, para todo z,w C.

Demostracion. Demostremos el punto iii). Sean z = a+ ib y w = c+ id, dos numeros com-plejos cualesquiera. Se tiene que

|z w| = |(acbd)+ i(ad+ bc)|=

(ac bd)2+ (ad+bc)2

=

a2c2+ b2d2+ a2d2+ b2c2

=

a2(c2+d2)+ b2(d2+ c2)

=

(c2+d2)(a2+b2)= |z| |w|.

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Se concluye por la arbitrariedad de z y w.

Ejercicio 3.1. Pruebe los puntos i), ii) y iv) del Teorema 3.1.

Entonces el modulo de un numero complejo es un numero no-negativo; es cero solo si suargumento es el numero 0+0i. Asimismo, el teorema anterior establece que el modulodel producto de dos numeros complejos es igual al producto de sus respectivos modulos.

Figura 3: A la propiedad 4 del Teorema 3.1 se le denomina desigualdad triangular: lalongitud de un lado no puede sobrepasar la suma de las longitudes de los otros dos.

Tip de Maxima No. 3.En Maxima el comando abs permite calcular el tamano de un numero real ocomplejo.

Ejemplo 3.1. Dados a,b,k R se tiene que(%i1) abs(a+b%i)+abs(-4)+abs(k);

(%o1) |k|+ |b%i+ a|+4La formula para calcular la distancia entre numeros complejos es simbolicamente

identica a la correspondiente formula para numeros reales.

Definicion 3.2. [Distancia en C]La distancia entre los numeros complejos z1 = x1+ iy1 y z2 = x2+ iy2 esta dada por

dist(z1,z2) = |z1 z2|. (3.10)Por tanto, se tiene 1

dist(z1,z2) =

(x1x2)2+ (y1 y2)2. (3.11)Ejercicio 3.2. Pruebe que para todo z C se cumple que

|Re(z)| |z|, (3.12)|Im(z)| |z|. (3.13)

1Que justamente corresponde a la distancia de los puntos (x1, y1) R2 y (x2, y2) R2 que el estudianteaprendio en su curso de Geometra Analtica.

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3.2. Funcion de conjugacion

La proyeccion con respecto al eje de las x esta dada por la siguiente definicion.

Definicion 3.3. [Funcion de conjugacion]Se define la funcion de conjugacion, : C C, mediante la formula

z = x iy, para z = x+ iy. (3.14)Se dice que z es el conjugado de z y viceversa.

Figura 4: El conjugado z de un numero complejo z.

Tip de Maxima No. 4.El comando conjugate permite obtener el conjugado de un numerocomplejo.

Ejemplo 3.2. Dados los numeros complejos z = a+ ib y w = c+ id, calculemos z w y z w(%i1) z: a+%i*b;

w: c+%i*d;

(%o1) ib+ a(%o2) id+ c

(%i3) conjugate(z*w), rectform;

(%o3) i (ad bc) bd+ ac(%i4) conjugate(z)*conjugate(w), rectform;

(%o4) i (ad bc) bd+ acEn el ejemplo anterior se ha verificado una parte de la siguiente Proposicion.

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Proposicion 3.1. [Propiedades de la conjugacion]Dados z C y w C, se tiene que

i) z w = z w;ii) |z|2 = z z;

iii) zw = |z||w| , en tanto que w , 0.

Ejercicio 3.3. Pruebe la Proposicion 3.1.

4. Leyes de los exponentes

Denotamos porK a uno de los cuerpos C o R. Para a K\ {0} y n N se definean = a an1 (4.15)

= a ... a n veces;se pone asimismo

a0 = 1, (4.16)

an = 1an. (4.17)

Proposicion 4.1. [Leyes de los exponentes]Sean m,n N y a,b K. Se tiene que

am an = am+n, (4.18)(ab)n = anbn, (4.19)(an)m = amn. (4.20)

Ejercicio 4.1. Pruebe la Proposicion 4.1.

5. Formula de Euler. Forma polar

La formula de Euler, provista en el siguiente teorema, es fundamental para el manejode funciones complejas pues simplifica muchos calculos que de otra manera resultaranengorrosos.

Teorema 5.1. [Formula de Euler]Sea R. La sucesion (En)nN C, definida por la formula

En =n

k=0

(i)k

k!,

converge al numero complejo definido como

ei cos()+ i sen(). (5.21)

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Observacion 5.1. Mas adelante en el curso estaremos en condiciones de entender y probar ensu plenitud el resultado anterior pues necesitamos entender lo que es el lmite de una sucesion(real o compleja). Por el momento, debemos aceptar la validez de la formula (5.21).

Con ayuda de la formula de Euler se escribe la forma polar de un numero complejoz = x+ iy , 0:

z = rei, (5.22)

donder = |z|, (pi,pi]. (5.23)

Se dice que r y son el modulo y el argumento de z, respectivamente. Se tiene que

x = r cos(), y = r sen(). (5.24)

Figura 5: Coordenadas rectangulares (x, y) y polares (r,) de un numero z C\ {0}.

Tenga presente que el argumento de un numero complejo pertenece al intervalo (pi,pi] antes que a[0,2pi). La eleccion se debe exclusivamente a la convension con que se encontrara el lector en la mayora detextos.

Tip de Maxima No. 5.El comando polarform transforma un numero complejo de forma cartesiana aforma polar.

Ejemplo 5.1. Tranformemos un numero complejo z de su forma rectangular a su forma polar yviceversa:

(%i1) z: a+%i*b;

(%o1) ib+ a

(%i2) w: polarform(z);

(%o2)

b2+ a2 eiatan2(b,a)

(%i3) rectform(w);

(%o3) ib+ a

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La siguiente notacion se usara de aqu en adelante. Tome nota.

Para un angulo R, el valor corresponde al angulo en (pi,pi] tal quesen() = sen() y cos() = cos(). (5.25)

Entonces es el angulo en (pi,pi] que provee la misma direccion que R.Las formulas para multiplicacion y division de polinomios son realmente simples en

forma polar:

Teorema 5.2. [Multiplicacion en forma polar]Dados los numeros complejos z1 = r1ei1 y z2 = r2ei2 se tiene que

z1 z2 = r1r2 ei (1+2); (5.26)z1z2

=r1r2

ei (12), z2 , 0. (5.27)

En particular, la multiplicacion de un complejo z por un factor de la forma ei representauna rotacion de tamano del vector z. Para futura referencia, tenga presente que

|ei| = 1, para todo R. (5.28)Ejercicio 5.1. Pruebe el Teorema 5.2.

Con ayuda de (5.26) se obtiene el siguiente corolario.

Corolario 5.1. [Potencia real de base compleja]Dados z = re C\ {0} y R se tiene que

z = rei. (5.29)

6. Problemas

6.1. Determine a R de manera que z = 2ai1+2i sea a) real puro, b) imaginario puro.6.2. Sea n N y > 0. Resuelva la ecuacion

zn = , z C.Para n = 3,4,5,6,7 grafique el polgono que resulta de unir las soluciones de la ecuacion consegmentos en el plano complejo.

6.3. Halle a,b R de manera que se cumpla

1) a+ ib =

2|z|+ z z2

+ i1948 zi z , donde z = 1 i.

2) a+ ib =z|z| (1+ i)

6 z2

z+

z zz2 i191, donde z = 1+ i.

6.4. Sean n N y z = (i)4n+15. Hallar a,b R de manera quea+ ib = (z+1)7.

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6.5. Hallar el angulo (pi,pi] que transforma al numero z1 C en el numero z2 C.1) z1 =

3+3i, z2 = 3 i

3.

2) z1 =

3 i, z2 =

3 i.3) z1 = 43i, z2 = 52 + i 52 .4) z1 = 3

2+2

2i, z2 = 5+ i.

6.6. Resuelva la ecuacion

z5+ z3 z21 = 0, z C;z4 iz2+ i1 = 0, z C;

(z3 i+1)(z2+ z+1) = 0, z C;z6+ z3+1 = 0, z C.

6.7. Pruebe la ley del paralelogramo:

z,w C : |z+w|2+ |zw|2 = 2(|z|2+ |w|2). (6.30)6.8. Sea z C.

1) Pruebe que Im(z) = 0 ssi z = z.2) Pruebe que Re(z) = 0 ssi z = z.3) Pruebe que z+ z = 2Re(z).4) Pruebe que z z = 2Im(z).

6.9. SeaA = {z = ei : R}.

Pruebe que (A, ) es un grupo abeliano.6.10. Sea z C\ {1}. Pruebe que

Re(z1

z+1

)= 0 |z| = 1.

6.11. Sean z1,z2 C, z1 , z2. Halle el numero complejo z que se halla sobre el segmento que unez1 con z2 tal que la distancia de z a z1 es el doble de la distancia de z a z2.

Referencias

[1] M. Alder, An Introduction to Complex Analysis for Engineers, Massachusetts Instituteof Technology, 1997.

[2] A. Kurosch, Curso de Algebra Superior, Editorial MIR, Moscu, 1987.

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Funciones complejas elementalesFuncin mduloFuncin de conjugacin

Leyes de los exponentesFrmula de Euler. Forma polarProblemas