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Apunte: Ecuaciones para el flujo y el transporte " Modelacin Ambiental, Cdigo: 999.038

Dr. Diego Caamao A. Dr. Alejandra Stehr G.

Introduccin

Las ecuaciones bsicas para caracterizar el movimiento y el transporte en el fluido se obtienen de:

Conservacin de masa del fluido Conservacin de momento Conservacin de energa calrica Conservacin de masa del soluto

Por lo tanto, para representar el fenmeno flujo-transporte es necesario construir una ecuacin de balance para cada una de las cuatro caractersticas mencionadas.

Las ecuaciones de conservacin de masa de agua y de momento son la base para simular los cambios hidrodinmicos en el cuerpo de agua (i.e. velocidades y alturas de agua), y es la hidrodinmica del flujo la encargada de conducir consigo al soluto (i.e. sustancias contaminantes). Por lo tanto, la caracterizacin del flujo es fundamental para determinar el destino final del soluto. Dichas ecuaciones hidrodinmicas se conocen como las Ecuaciones de Saint-Venant.

De igual forma las ecuaciones de conservacin de energa calrica y del soluto, dan origen a las ecuaciones que definen el transporte, ya sea de temperatura o de algn compuesto en particular soluto. Estas ecuaciones se denominan como Ecuaciones de Adveccin-Dispersin-Reaccin, y relacionan las propiedades de dispersin y decaimiento del soluto con la hidrodinmica del flujo.

Es importante notar que existe una retroalimentacin entre la hidrodinmica y las caractersticas del soluto. Por lo tanto, ambas ecuaciones deben ser resueltas en forma simultnea, a menos que el flujo se encuentre en estado estacionario, vale decir, no cambie con el tiempo (aceleracin nula para todo el periodo estudiado).

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Ecuaciones fundamentales de conservacin

La forma fundamental de las ecuaciones de conservacin puede derivarse del anlisis a un pequeo volumen de control cbico de dimensiones dx, dy , dz a lo largo de los ejes coordenados x, y , z (Figura 1).

Figura 1 Volumen de Control Cbico

La Figura 1 muestra la entrada y salida de flujo (F) en un cierto volumen de control, donde el transporte de una cierta concentracin de soluto por unidad de volumen, Ca, se expresa como dxdydzCa. . La tasa de cambio o acumulacin del soluto en el volumen de control es igual a la suma de los flujos a travs de todas las superficies, lo que se traduce en la expresin siguiente:

( ) dxdydzRFit

dxdydzCai

=

=

6

1

.

(1)

En la expresin 1 la derivada con respecto al tiempo simula la acumulacin, la sumatoria de los flujos representa el transporte, y R indica las fuentes o sumideros asociados al soluto (i.e. reacciones).

El flujo neto a travs de cualquier eje coordenado es igual al flujo de entrada menos el flujo de salida, entonces la ecuacin 1 se puede escribir como:

( ) Rdxdydzdzz

FzFzFzdyy

FyFyFydxx

FxFxFxt

dxdydzCa

++

++

+=

.

(2)

o bien, de una manera simplificada

Fy Fz

Fx

+ dzz

FzFz

+ dyy

FyFy

+ dxx

FxFx z

y

x

dx

dy

dz

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( ) Rdxdydzdzz

Fzdyy

Fydxx

Fxt

dxdydzCa

=

.

(3)

donde los flujos Fx, Fy, Fz son el resultado de dos procesos: la adveccin y la dispersin.

Adveccin

Cuando ocurre adveccin la concentracin por unidad de volumen Ca se traslada a travs del volumen de control sin afectar la distribucin de las propiedades del cuerpo de agua. El flujo de agua tiene las dimensiones L3T-1 y es igual al producto entre la velocidad (LT-1) y la superficie perpendicular al flujo (L2). Entonces la concentracin Ca por unidad de tiempo, para cada uno de los ejes coordenados, est dada por:

udydzCaFx = (4) vdxdzCaFy = (5) wdxdyCaFz = (6)

donde u, v, w son las velocidades a lo largo de los ejes x, y, z respectivamente.

Figura 2 Adveccin

Figura 3 Adveccin en la confluencia ros Biobo-Laja

u(z)

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Por lo tanto, el aporte del flujo advectivo se transforma en las ecuaciones siguientes:

( ) dxx

udydzCaFxadveccin

=

(7)

( ) dyy

vdxdzCaFyadveccin

=

(8)

( ) dzz

wdxdyCaFzadveccin

=

(9)

Dispersin

La dispersin se relaciona a la primera ley de Fick1, la que plantea que el transporte es proporcional al gradiente en las tres direcciones de flujo del volumen de control, es decir:

( )x

dydzCaFx

=

(10)

( )y

dxdzCaFy

=

(11)

( )z

dxdyCaFz

=

(12)

Figura 4 Dispersin longitudinal

donde es una constante de proporcionalidad.

1

dxdCADqx = donde, qx: Flujo neto de partculas; C: Concentracin masa por unidad de volumen; A:

rea perpendicular a x

u(z)

El trazador es inyectado uniformemente

La difusin longitudinal ha homogenizado el gradiente vertical

El trazador es extendido por el perfil de corte

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Figura 5 Mezcla lateral y dispersin longitudinal (rojo). Imagen extrada del manual del USGS: TWRI-A9, pgina 2

Entonces, debido a la dispersin, en cada una de las direcciones se obtienen las ecuaciones siguientes:

( ) dxx

dydzCax

Fxdispersin

=

(13)

( ) dyy

dxdzCay

Fydispersin

=

(14)

( ) dzz

dxdyCaz

Fzdispersin

=

(15)

Ecuacin General de Conservacin

Finalmente reemplazando las ecuaciones 7, 8, 9 y 13, 14, 15 en la ecuacin 3, se logra la ecuacin general de conservacin:

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( ) ( ) ( ) ( )

Rdxdydzdzz

dxdyCaz

dyy

dxdzCay

dxx

dydzCax

dzz

wCadxdydyy

vCadxdzdxx

uCadydzt

Cadxdydz

+

+

+

=

(16)

O bien,

( ) ( ) ( ) ( ) Rz

Cazy

Cayx

Caxz

wCay

vCax

uCat

Ca

+

+

+

=

(17)

Conservacin de la masa de agua

La Ca de agua est dada por la densidad, , y recordemos que la densidad por el volumen entrega la masa de agua existente en dicho volumen. Entonces:

( ) ( ) ( ) ( )

+

+

+

=

zzyyxxzw

yv

x

u

t

(18)

El trmino reactivo no aparece en la ecuacin 18, debido a que la masa de agua no sufre reacciones cinticas (no hay degradacin). Por otra parte, en el transporte del agua los efectos dispersivos no son relevantes por lo que dichos gradientes pueden ser eliminados de la ecuacin 18.

( ) ( ) ( ) ( ) dzz

wdyy

vdxx

u

t

=

(19)

Al considerar un problema bidimensional con densidad constante, se tiene:

( ) ( ) ( ) 0=

+

+

yvh

x

uht

h

(20)

De igual manera para el caso unidimensional, se logra:

( ) ( ) 0=

+

x

uhbt

hb

(21)

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Conservacin del momento

En este caso la Ca de momento est dada por el producto entre la densidad, , y la velocidad respecto al eje coordenado respectivo. La constante de proporcionalidad, , se representa por la viscosidad cinemtica del agua, .

La diferencia ms relevante entre el momento y los otros fenmenos, es que el momento es un vector, por lo tanto, posee magnitud y direccin. Por esto se requiere una expresin por separado para cada uno de los ejes coordenados.

( ) ( ) ( ) ( )xR

z

u

zyu

yxu

xz

uw

yuv

x

uu

t

u

+

+

+

=

(22)

( ) ( ) ( ) ( )yR

z

v

zyv

yxv

xz

vw

yvv

x

vu

t

v

+

+

+

=

(23)

( ) ( ) ( ) ( )zR

z

w

zyw

yxw

xz

ww

ywv

x

wu

t

w

+

+

+

=

(24)

Al considerar un problema bidimensional, sin los efectos dispersivos, y con densidad constante, el sistema toma la forma:

( ) ( ) ( )xRy

vuhx

uuht

uh'+

=

(25)

( ) ( ) ( )yRy

vvhx

uvht

vh'+

=

(26)

donde xR' y yR' son las fuerzas que actan en el sistema.

( )x

px

hghFR afxwxxx

+= 1

''

(27)

( )y

pyhghFR afywyyy

+= 1

''

(28)

De igual manera un sistema unidimensional queda dado por:

( ) ( ) ( )

++

=

x

px

hghbFx

uuhbt

uhb afxwxx

1'

(29)

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Conservacin de masa del soluto

Si se considera una sustancia cualquiera, con una concentracin C, y que la constante de proporcionalidad, , se representa por el coeficiente de dispersin E, la ecuacin de transporte adquiere la forma

( ) ( ) ( ) ( ) Rz

CEzy

CEyx

CExz

wCy

vCx

uCt

Czyx

+

+

+

=

(30)

Para el caso bidimensional con decaimiento de primer orden, se tiene:

( ) ( ) ( ) [ ]Chy

vChx

uChyChE

yxChE

xtCh

yx +

+

=

(31)

De igual manera para el caso unidimensional

( ) ( ) [ ]Chbx

uChbx

ChbExt

Chbx +

=

(32)

Conservacin de la energa calrica

La energa calrica se utiliza para representar el comportamiento de la temperatura, la relacin existente entre ambas es que Ca de energa calrica se representa por

TcCa p= (cp es el calor especfico). Entonces se tiene: ( ) ( ) ( ) ( )

Rz

TcE

zyTc

Eyx

TcE

x

z

Tcwy

Tcvx

Tcut

Tc

pz

py

px

pppp

+

+

+

=

(33)

Por lo tanto, para dos dimensiones con densidad constante y decaimiento de primer orden, se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]Tch

yThvc

x

ThucyTc

hEyx

TchE

xt

Thcp

pppy

px

p +

+

=

(34)

Para una dimensin: ( ) ( ) ( ) [ ]Tchb

x

Thbucx

TchbE

xt

Thbcp

ppx

p +

=

(35)

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Caso Particular

El caso del oxgeno disuelto (OD) y la demanda bioqumica de oxgeno (DBO) presenta un caso especial en el fenmeno de transporte. Ambos compuestos dependen el uno del otro, y por consiguiente, la caracterizacin del problema debe hacerse por medio de un sistema de 2 ecuaciones diferenciales, tanto para el caso bidimensional como para el unidimensional.

Otra diferencia con las ecuaciones anteriores radica en la cintica de degradacin, esto porque aqu aparecen algunos trminos extras que deben ser considerados, sin embargo, stos no cambian la condicin de primer orden de la cintica de degradacin.

Por lo tanto, un fenmeno bidimensional se representa por medio del siguiente sistema de ecuaciones:

[ ]( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( )

[ ]( ) [ ] [ ]{ }DBOkDOSFotsODODkhy

hODvx

hODuy

ODhEyx

ODhExt

hOD

csa

yx

+

+

=

Re

(36)

[ ]( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( )

[ ]{ }DBOkhy

hDBOvx

hDBOuy

DBOhEyx

DBOhExt

hDBO

c

yx

+

=

(37)

Para el caso unidimensional

[ ]( ) [ ] [ ]( )

[ ]( ) [ ] [ ]{ }DBOkDOSFotsODODkhbx

hbODux

ODhbExt

hbOD

csa

x

+

=

Re

(38)

[ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]{ }DBOkhbx

hbDBOux

DBOhbExt

hbDBOcx

=

(39)

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Nomenclatura

Fi Flujos de entrada y salida al volumen de control en cada una de las direcciones.

Ca Concentracin de una sustancia cualquiera por unidad de volumen. R Reacciones fsicas, qumicas y biolgicas en el volumen de control.

h(x,y,t) Altura del agua sobre el punto (x,y) en el instante t. b(x,t) Ancho superficial en el punto x para un instante t. u, v Velocidades en las direcciones x, y respectivamente.

Constante de decaimiento de primer orden.

pa Presin atmosfrica

F Efecto Coriolis

( )[ ]hvwFx sen2= ( )[ ]huwFy sen2= f Roce con el fondo

22

.

vuuChezyC

gfx +=

22

.

vuvChezyC

gfy +=

w Tensin tangencial por el viento 22vvvwx vugu += 22 vvvwy vugv +=

El subndice v se refiere a la velocidad. ka Constante de reaireacin.

kc Constante total de decaimiento de DBO. ODs Oxgeno Disuelto de saturacin.

Res Tasa de respiracin de los diferentes organismos. Fot Tasa de produccin de oxgeno por fotosntesis. DOS Demanda de oxgeno por los sedimentos.