APUNTE_MICRO_I_V2013

Microeconomıa I:apunte de curso (v1)

Jorge Rivera *

23 de julio de 2012

*Departamento de Economıa, Universidad de Chile, Diagonal Paraguay 257, Torre 26, Of. 1502, Santiago, [email protected]. Se agradece el trabajo de Marco Rojas para la confeccion de este apunte.

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mailto:[email protected]

Departamento de Economıa Universidad de Chile

Indice

I Repaso Matematico 7

1. La derivada y conceptos relacionados 71.1. Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. El estudio del crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Funciones Importantes 192.1. Homogeneas y Hometeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Cobb-Douglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3. CES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4. Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5. Leontiev o de Proporciones Fijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II Teorıa del Consumidor 23

3. El modelo del consumidor 233.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. Eleccion del consumidor: conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3. Eleccion del consumidor: criterio de maximizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4. Analisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5. Conceptos relacionados y relaciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6. Funciones de compensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.7. Ecuacion de Slutzky: efecto sustitucion, efecto ingreso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. Aplicaciones y complementos 544.1. Demanda agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2. El excedente del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3. Modelo de consumo intertemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4. Modelo de Ocio - Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5. Decisiones Bajo Incertidumbre 705.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2. El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3. ¿Cual es el comportamiento de los individuos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4. ¿Como se comportan diversos individuos frente al riesgo? . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

III Teorıa de la Firma 84

6. Conceptos Basicos 846.1. La firma y sus objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.2. La tecnologıa de una firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3. Complementos y propiedades de la tecnologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4. Elasticidad de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.5. El corto y el largo plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.6. Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

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7. Maximizacion de Beneficios 1097.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.2. Los Beneficios de una firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3. Maximizacion de beneficio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.4. Demanda, oferta y temas relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.5. Problema de corto y largo plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.6. Los beneficios y los rendimientos de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.7. Ejemplos y problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8. Costos 1218.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.2. Condiciones de optimalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.3. Un analisis grafico de las condiciones de optimalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.4. Corto y largo plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.5. Costos y rendimientos de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.6. Costos y precios de los factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.7. Costos y cantidades de producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.8. Geometrıa de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9. Oferta de la firma y la industria en competencia perfecta 1379.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.2. Competencia perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.3. Analisis de equilibrio parcial: ¿como se determina el precio de mercado? . . . . . . . . . 1479.4. Ejemplos varios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10.Competencia Imperfecta: Monopolio y Monopsonio 15210.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.2. Maximizacion del beneficio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.3. Discriminacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.4. Monopsonio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

11.Oligopolio 16211.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.2. Cournot-Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16311.3. Stackelberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

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Indice de figuras

1. Interpretacion de la derivada como pendiente de la tangente en el punto . . . . . . . . . 82. Derivadas parciales: pendientes de plano tangente para funcion de dos variables . . . . . 83. Funciones Crecientes y Estrictamente Crecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114. Funciones estrictamente crecientes y sus derivadas correspondientes. . . . . . . . . . . . 125. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137. Mınimos y Maximos Locales y Globales (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158. Mınimos y Maximos Locales y Globales (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169. Curvas de Nivel de una funcion Cobb-Douglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2010. Curvas de Nivel de una funcion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2211. Curvas de Nivel de una funcion Leontiev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212. Curva de Indiferencia (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2613. Curva de Indiferencia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2714. Pendiente de una Curva de Indiferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2815. Relacion Marginal de Sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2916. Curva de Indiferencia Convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3117. Restriccion Presupuestaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3218. Restriccion Presupuestaria y Aumento de Ingreso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3219. Restriccion Presupuestaria y Aumento de Precio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3320. Restriccion Presupuestaria y Disminucion de Precio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3321. Maximizacion de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3722. Maximizacion de Utilidad de Funcion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3823. Curva de Indiferencia Convexa y No Convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4024. Bien Giffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4125. Bien Giffen y No Giffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4226. Bien Normal y Bien Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4327. Bien de Lujo y Bien Necesario (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4428. Bien de Lujo y Bien Necesario (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4529. Funcion de Compensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4930. Ecuacion de Slutzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5031. Demanda Agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5432. Oferta Agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5533. Demanda y Oferta Agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5634. Excedente del Consumidor (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5735. Excedente del Consumidor (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5736. Excedente del Consumidor (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5837. Excedente del Consumidor y Perdida de Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5938. Valor Esperado del Ingreso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7639. Utilidad VNM Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7740. Utilidad VNM Convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7841. Utilidad VNM Concava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7842. Equivalente Cierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8043. Funcion de Produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8744. Funciones de Produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8845. Producto Medio y Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9046. Comportamientos Funciones de Produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9047. Distintos Comportamientos en una Funcion de Produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . 9148. Funcion Concava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9149. Funcion de Produccion Convexa y Concava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9250. Isocuanta de Produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9451. Isocuanta son curvas decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

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52. Isocuantas no se cortan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9553. Pendiente de Isocuantas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9654. Arriba, bajo y sobre una Isocuanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9755. Relacion Tecnica de Sustitucion (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9856. Relacion Tecnica de Sustitucion (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9957. Elasticidad de Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10258. Elasticidad de Sustitucion (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10359. Elasticidad de Sustitucion (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10460. Isobeneficio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11261. Maximizacion de Beneficios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11362. Costo Medio y Costo Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12263. Isocosto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12564. Analisis Grafico de las Condiciones de Optimalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12665. Costos y Rendimientos de Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12866. Costo Medio Mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13267. Costos en el Corto Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13368. Costos en el Corto y Largo Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13469. Costos de Largo Plazo como la envolvente de Costos de Corto Plazo . . . . . . . . . . . 13570. Costos Medios de Corto y Largo Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13671. Costos Marginales de Corto y Largo Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13772. Curva de Demanda de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13973. Curva de Demanda de la Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14074. Oferta de la Firma en el Largo Plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14275. Oferta de la Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14376. Oferta de la Firma en el Corto Plazo (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14477. Oferta de la Firma en el Corto Plazo (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14578. Cantidad producida y precio en Monopolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15679. Beneficios del Monopolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15780. Perdida de Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15881. Oligopolio Cournot-Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16382. Curva de Reaccion de la Firma 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16483. Curva de Reaccion de la Firma 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16584. Ambas Curvas de Reaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16585. Existencia y Unicidad de Equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

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Parte I

Repaso Matematico

1. La derivada y conceptos relacionados

1.1. Conceptos Basicos

Dada una funcion f : Rn → R, recordemos que la derivada parcial c.r a la variable xj , evaluada enx∗ = (x∗

1, x∗2, ..., x

∗n), se define como:

∂f(x∗)

∂xj= lım

hj→0

f(x∗1, x

∗2, ..., x

∗j + hj , x

∗j+1, ..., x

∗n)− f(x∗

1, x∗2, ..., x

∗n)

hj,

es decir, la derivada de la funcion c.r a la variable indicada, asumiendo que todo el resto es constante.

En forma analoga, la segunda derivada parcial c.r a las variables xi, xj (que denotaremos ∂2f(x∗)∂xi∂xj

)

se define como la derivada parcial c.r a xi de la derivada parcial c.r. a xj , es decir:

∂2f(x∗)

∂xi∂xj=

∂[∂f(x∗)∂xj

]

∂xi.

En lo que sigue, asumiremos que las dobles derivadas parciales cruzadas son iguales1. En otraspalabras, en todo lo que sigue trabajaremos bajo el siguiente supuesto:

∂2f(x∗)

∂xi∂xj=

∂2f(x∗)

∂xj∂xi, ∀ i, j.

Dadas las dobles derivadas parciales, para una funcion, de varias variables, f : Rn → R, la segundaderivada es una matriz de n×n, llamada matriz Hessiana, cuyos elementos constituyentes son dichasdobles derivadas parciales. De esta manera, la matriz Hessiana corresponde a:

H(f, x∗) =

∂2f(x∗)∂x1∂x1

∂2f(x∗)∂x1∂x2

· · · ∂2f(x∗)∂x1∂xn

∂2f(x∗)∂x2∂x1

∂2f(x∗)∂x2∂x2

· · · ∂2f(x∗)∂x2∂xn

......

. . ....

∂2f(x∗)∂xn∂x1

∂2f(x∗)∂xn∂x2

· · · ∂2f(x∗)∂xn∂xn

Para el caso de una funcion f : R → R (es decir, de una variable), los conceptos son similares a losanteriores, pero ahora considerando que solo tenemos una unica fuente de variacion (una variable). Ası,

la derivada en x∗, que sera denotada, indistintatemte, como f ′(x∗) o df(x∗)dx o Df(x∗), y sera definida

como:

f ′(x∗) = lımh→0

f(x∗ + h)− f(x∗)

h.

De manera natural se define la segunda derivada de una funcion de una variable como la derivadade la derivada. Ası tendremos que2:

1En rigor, para ello basta que las funciones sean dos veces diferenciables y que las derivadas parciales sean continuas,vistas como funcion. En lo que sigue asumiremos tales condiciones, que aunque algo tecnicas, se verifican en la mayorıade los casos de nuestro interes.

2Para definir la derivada de orden n de una funcion de una variable, se procede en forma recursiva: definida la derivadade orden (n− 1), la derivada de orden n en un punto es simplemente la derivada de la derivada de orden (n− 1) en dichopunto. Es decir:

f(n)(x∗) =df(n−1)(x∗)

dx= lım

h→0

f(n−1)(x∗ + h)− f(n−1)(x∗)

h.

Para una funcion de varias variables f : Rn → R, definir una derivada de orden mayor a 2 es complejo. Note que en dichocaso, la primera derivada es un vector y la segunda una matriz. Siguiendo con esa logica, la tercera derivada sera un cubo,la cuarta un hipercubo, etc. Muy complejo en notacion y difıcil de interpretar.

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f ′′(x∗) = lımh→0

f ′(x∗ + h)− f ′(x∗)

h.

Geometricamente, la primera derivada se puede interpretar como la pendiente de la recta tangenteal grafico de la funcion en el punto (x∗, f(x∗)) tal como se ilustra en la siguiente Figura 1:

Figura 1: Interpretacion de la derivada como pendiente de la tangente en el punto

f(x∗)

x∗

m = f ′(x∗)

f

Puesto que la pendiente de la recta es m = f ′(x∗) y pasa por el punto (x∗, f(x∗)), la ecuacion de lamisma es,

y = f(x∗) + f ′(x∗) · (x− x∗).

Para una funcion de varias variables, la interpretacion geometrica de la derivada parcial correspondea la pendiente de las rectas tangentes segun la direccion de los ejes, tomadas en el plano tangente a lasuperficie que define la funcion. La siguiente figura es ilustrativa de lo indicado:

Figura 2: Derivadas parciales: pendientes de plano tangente para funcion de dos variables

x1

(1)

(x1, x2)

x2 (2)

d2

d1z = f(x1, x2)

7


Algunas reglas basicas de derivacion se resumen en la siguiente proposicion:

Proposicion 1.1 Dadas las funciones f1, f2 : Rn → R, y h1, h2 : R → R y dado α ∈ R se tieneentonces lo siguiente:

a.- ∂[f1+αf2](x)∂xi

= ∂f1(x)∂xi

+ α∂f2(x)∂xi

; [h1 + αh2]′(x) = h′

1(x) + αh′2(x): regla de la suma y la pon-

deracion.

b.- ∂[f1·f2](x)∂xi

= ∂f1(x)∂xi

· f2(x1, x2) + f1(x1, x2) · ∂f2(x)∂xi

; [h1(x) · h2(x)]′ = h′

1(x) · h2(x) + h1(x) · h′2(x):

regla del producto.

c.-[h1(x)h2(x)

]′=

h2(x)·h′

1(x)−h1(x)·h′

2(x)

h22(x)

: regla del cuociente (analogo con derivadas parciales).

Tal vez la regla de derivacion mas importantes (y probablemente la mas dıficil de comprender) esla llamada regla de la cadena. Para ilustrar supongamos que un cierto fenomeno economico esta mo-delado por una funcion f que depende de las variables x1, x2 y x3, las que a su vez dependen de lasvariables p1 y p2: digamos, xi = xi(p1, p2), i = 1, 2, 3. Sabemos que una pequena variacion en x1 implicaun cambio en la funcion, el cual puede ser estimado por la derivada parcial correspondiente. En efecto,si inicialmente los valores son x1, x2 y x3 dados, el valor de la funcion es f(x1, x2, x3). Si hay un cambioen δ ∈ R en la variable x1, el cambio en la funcion sera,

∆f = f(x1 + δ, x2, x3)− f(x1, x2, x3),

y por lo tanto el cambio porcentual sera,

f(x1 + δ, x2, x3)− f(x1, x2, x3)

δ.

Cuando δ es pequeno, este cambio porcentual es aproximadamente la derivada. Ası, tenemos lasiguiente aproximacion:

f(x1 + δ, x2, x3)− f(x1, x2, x3)

δ≃ ∂f(x1, x2)

∂x1.

Luego,

f(x1 + δ, x2, x3)− f(x1, x2, x3) ≃ δ · ∂f(x1, x2)

∂x1.

Notemos en consecuencia que cuando δ = 1 se tiene que,

f(x1 + 1, x2, x3)− f(x1, x2, x3) ≃∂f(x1, x2)

∂x1

lo que justifica el uso de la derivada para medir lo que en economıa denominamos el cambio marginal:como cambia el valor de la funcion cuando una de sus variables aumenta en una unidad.

De todo lo anterior, ademas de la interpretacion de marginalidad, lo relevante es que un cambio enuna de las variables xi se puede estimar solo por la derivada parcial correspondiente. Sin embargo, dadala dependencia de las variables en p1, p2, la pregunta que surge ahora es sobre el efecto en la funcionque tiene un cambio en alguna de estas variables. Vamos por partes. Si p1 cambia en δ, entonces por unlado se veran afectadas las tres variables x1, x2, x2. El efecto en estas se puede estimar por las derivadasparciales:

∂xi(p1, p2)

∂p1≡ ∂xi

∂p1, i = 1, 2, 3.

Pero, por otro lado, un cambio en las variables xi implica cambios en la funcion, que pueden serestimados por,

8


∂f(x1, x2, x3)

∂xi, i = 1, 2, 3.

Lo que la regla de la cadena establece es que el cambio en la funcion, dado un cambio en p1, essimplemente la suma ponderada de todos los cambios anteriores:

∂f(x1, x2, x3)

∂p1=

∂f(x1, x2, x3)

∂x1· ∂x1

∂p1+

∂f(x1, x2, x3)

∂x2· ∂x2

∂p1+

∂f(x1, x2, x3)

∂x3· ∂x3

∂p1:

Es decir, un cambio en la funcion, dado cambio en p1, es igual a suma de cambios en la funcion, dadoslos cambios en las variables xi (las derivadas parciales ∂f

∂xi) por el cambio en las variables xi, dados los

cambios en p1 (las derivadas parciales ∂xi

∂p1).

Esta es una regla de derivacion muy importante. El siguiente ejemplo ilustra una aplicacion.

Ejemplo 1.1 Dada una funcion de dos variables f(x1, x2), consideremos todos los puntos x1, x2 talesque f(x1, x2) = α, con α constante. En este caso, esta definida una relacion implıcita entre x1 y x2,que se puede obtener de despejar x2 en funcion de x1 de la igualdad anterior. Denotemos dicha relacioncomo x2 = x2(x1). Luego, la expresion funcional se puede reescribir como:

f(x1, x2(x1)) = α.

Derivemos lo anterior con respecto a x1. Ası, aplicando la regla de la cadena, se tiene que:

∂f(x1, x2(x1))

∂x1=

∂f(x1, x2(x1))

∂x1· ∂x1

∂x1+

∂f(x1, x2(x1))

∂x2· ∂x2(x1)

∂x1=

∂α

∂x1= 0

pues α no depende de x1. Considerando que ∂x1

∂x1= 1 y despejando de lo anterior, se tiene que

∂x2(x1)

∂x1= −

[∂f(x1,x2(x1))

∂x1

∂f(x1,x2(x1))∂x2

].

Ejercicio 1.1 Suponga que f(x1, x2) = xa1 · xb

2.

a.- Despeje x2 en funcion de x1 a partir de la igualdad f(x1, x2) = α. Derive la expresion resultanteen funcion de x1.

b.- Aplique lo visto en el ejemplo para calcular la derivada y compruebe que coincide con lo anterior.

1.2. El estudio del crecimiento

Una aplicacion importante de las derivadas se relaciona con el estudio de crecimiento (o decrecimien-to) de las funciones. Recordemos que una funcion f : R → R es creciente si y solo si,

∀x, y ∈ R : x < y ⇒ f(x) ≤ f(y),

es decir, si aumenta la variable, la funcion o bien aumenta o se mantiene, nunca disminuye. Si fueraque aumentos estrictos en la variables implican aumentos estrictos en la funcion, se dice que esta esestrictamente creciente:

∀x, y ∈ R : x < y ⇒ f(x) < f(y).

La Figura 3 ilustra la diferencia entre una funcion creciente y una estrictamente creciente:

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Figura 3: Funciones Crecientes y Estrictamente Crecientes

Creciente Estrictamente Creciente Estrictamente Creciente Estrictamente Creciente

(1)(2)

(3)

(4)

A partir de lo anterior, se tiene la siguiente caracterizacion de una funcion creciente (diferenciable)en terminos de las derivadas:

Proposicion 1.2 Una funcion f : R → R es creciente si y solo si f ′(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. Mas aun, lafuncion es estrictamente creciente si y solo si f ′(x) > 0, ∀ x ∈ R.

Que la derivada sea positiva, significa que un cambio positivo en x (es decir, un aumento) implicaun cambio positivo en la funcion (derivada positiva); luego, la funcion crece cuando x crece. Por elcontrario, un cambio negativo en x (es decir, una disminucion) implica un cambio negativo en la funcion(para que el cuociente que define la derivada sea positivo), luego la funcion disminuye si x lo hace, esdecir, lo que equivale a decir que la funcion es creciente.

Para el caso de una funcion de varias variables, que una derivada parcial sea positiva significa que,mantiendo constante el resto de las variables, la funcion es creciente c.r a aquella con respecto a la cualse realiza la derivacion.

Finalmente, en forma simetrica al resultado anterior se tiene una caracterizacion de las funcionesdecrecientes:

Una funcion f : R → R es decreciente, si y solo si, su derivada es negativa en todos los puntos de sudominio.

Ahora bien, de la figura anterior notemos que aun cuando las funciones (2) y (3) son crecientes, enel primer caso la derivada es creciente, mientras que para la funcion (3) su derivada es decreciente. Losgraficos respectivos son los siguientes3:

3Para determinar si la derivada es creciente o decreciente utilizando solo el grafo de la funcion, basta ver como cambiala pendiente de la tangente a la curva. Imaginar que se esta esquiando en la curva y ver si el esquı se inclina hacia arriba(creciente) o hacia abajo (decreciente) en la medida que se avanza sobre el eje x. Si el esquı se inclina hacia arriba significaque la derivada es creciente, ya que la pendiente es creciente; por lo tanto es el caso de una funcion cuya derivada escreciente. No confundir esto con que a su vez la funcion sea creciente o no: una funcion puede tener derivada decrecientepero ella ser creciente. Un ejemplo de esto es f(x) = ln(x), x > 0: la funcion es creciente (el logaritmo lo es), pero suderivada es f ′(x) = 1/x, que es decreciente.

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Figura 4: Funciones estrictamente crecientes y sus derivadas correspondientes.

Funcion

(2)

(3)

Estrictamente Creciente Estrictamente Creciente

(3)

(2)

Derivada

Este no es el caso, por ejemplo, de la funcion (4), ya que su deriva es creciente en un rango ydecreciente en otro. Las funciones que tienen, ya sea, derivada creciente o derivada decreciente entodo el rango de su dominio son fundamentales en economıa. Son las llamadas funciones convexas(derivada creciente) o concavas (derivada decreciente). La definicion es un poco mas general que lacaracterizacion anterior4.

1.3. Concavidad

A partir de lo anterior, en lo que sigue dedicaremos tiempo a estudiar el concepto convexidad (oconcavidad) de funciones, que es fundamental en economıa.

Definicion 1.1 Dados x, y ∈ Rn, f : Rn → R y dado λ ∈ [0, 1] cualquiera, se tiene entonces la siguientedefinicion:

a.- Combinacion convexa de puntos. Una combinacion convexa de los puntos x e y es cualquiervalor de la forma λx+ (1− λ)y ∈ Rn.

b.- Diremos que f es una funcion convexa si y solo si

f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y).

4El concepto aplica, por ejemplo, a funciones de varias variables, a valores reales.

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c.- Diremos que f es una funcion concava si y solo si

f(λx+ (1− λ)y) ≥ λf(x) + (1− λ)f(y).

Para fijar ideas, el conjunto de todas combinaciones convexas de dos puntos x e y corresponde alsegmento de lınea recta que une ambos puntos. De esta manera, un punto cualquiera de la combinacionconvexa de otros dos se puede entender como un valor promedio ponderado de los mismos, donde losextremos de estos promedios son simplemente x e y. Note que si λ = 1/2 es el promedio simple; si λ = 0corresponde a y mientras que si λ = 1 corresponde a x.

De esta manera, utilizando el concepto anterior, la funcion f(·) es convexa si evaluada en el promedioponderado de dos puntos (f(λx+ (1− λ)y)), el resultado obtenido es menor que el promedio ponderadode los valores de la funcion (λf(x)+(1−λ)f(y)). Para el caso de las concavas la situacion es la contraria:la funcion en la combinacion convexa es mayor que la combinacion convexa de los valores de la funcion.

La Figura 5 ilustra el concepto de concavidad y convexidad utilizando la definicion anterior:

Figura 5: Concavidad y convexidad

e

d

c

b

x a y

En la figura, a = λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1] (promedio ponderado de x e y); b = f(a) (valor de lafuncion en el promedio), c = f(x), e = f(y), d = λc + (1 − λ)e (promedio ponderado de los valores dela funcion); como hay convexidad, se tiene que d ≥ b como se muestra en la figura.

Graficamente las funciones convexas pueden ser como aquella de la figura anterior. Sin embargo, laforma puede variar un poco, tal como se muestra en la Figura 6 que ilustra cuatro graficos de funcionesconvexas:

Figura 6: Funciones convexas

Como hemos visto, una forma sencilla de caracterizar la convexidad de funciones es a traves de susderivadas. Ya sabemos que para funciones de una variable, la convexidad (concavidad) se tiene cuando

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la primera derivada es creciente (decreciente). Pero, una funcion es creciente (decreciente) si y solo si suderivada es positiva (negativa). Por lo tanto, una funcion sera convexa (concava) si y solo si su derivadasegunda (derivada de la derivada) es positiva (negativa). Esto se resume en la siguiente proposicionfundamental.

Proposicion 1.3 Una funcion dos veces diferenciable f : R → R es convexa (concava) si y solo sif ′′(x) ≥ 0 (f ′′(x) ≤ 0) para todo x en el dominio.

Para el caso de una funcion de varias variables, la caracterizacion en terminos de la segundas derivadasparciales es algo mas compleja de enunciar. De hecho, el resultado que se tiene es el siguiente: una funcionf : Rn → R es convexa, si y solo si, su matriz Hessiana es semi-definida positiva en todo el dominio.Esta condicion tecnica se tiene cuando, por ejemplo, los valores propios de dicha matriz son mayores oiguales a cero. Sin embargo, un caso particular importante (cuando la funcion es de dos variables) es elsiguiente:

Proposicion 1.4 Dada una funcion f : R2 → R, se tiene que es convexa si y solo si

∂2f(x∗)

∂x1∂x1+

∂2f(x∗)

∂x2∂x2≡ ∂2f(x∗)

∂x21

+∂2f(x∗)

∂x22

≥ 0,

y ademas

∂2f(x∗)

∂x21

· ∂2f(x∗)

∂x22

−[∂2f(x∗)

∂x1∂x2

]2≥ 0.

Para el caso de las concavas, las condiciones son que la primera suma sea negativa y que la segundadiferencia sea positiva5.

Ejemplo 1.2 Dada la funcion f(x, y) = bx+x2+cy−axy+5y2, se tiene que ∂2f(x,y)∂x2 = 2, ∂2f(x,y)

∂y2 = 10

y ∂2f(x,y)∂x∂y = −a. Puesto que ∂2f(x,y)

∂x2 + ∂2f(x,y)∂y2 = 12 > 0 y ∂2f(x,y)

∂x2 · ∂2f(x,y)∂y2 − ∂2f(x,y)

∂x∂y · ∂2f(x,y)∂x∂y = 20−a2

se tiene que la funcion es convexa siempre y cuando 20− a2 ≥ 0.

Siguiendo con esta introduccion matematica, definiremos algunos conceptos que seran utiles masadelante, los que se resumen en la siguiente definicion.

Definicion 1.2 Dada una funcion f : Rn → R diremos que:

a.- La funcion es homogenea de grado k ∈ IN, k 6= 1, si cumple que para todo t > 1

f(t · x) = tk · f(x).

b.- La funcion es homogenea de grado 1 si cumple que para todo t > 0

f(t · x) = t · f(x).

c.- La funcion es separable si existen n funciones fi : R → R tales que:

f(x1, x2, ..., xn) = f1(x1) + f2(x2) + ...+ fn(xn).

Ejemplo 1.3 Sean α y β dos reales positivos. Dadas las siguientes funciones

i. f1(x1, x2) = xα1 + βxγ

2 , α 6= γ

5Queda para el lector mostrar que se cumple aquella condicion.

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ii. f2(x1, x2) = xα1 + βxα

2

iii. f3(x1, x2) = xα1 · xβ

2

iv. f4(x1, x2) = xα1 · x1−α

2

v. f5(x1, x2) = xα1 + x1−α

2

se tiene que: f1 es separable; f2 es separable y homogenea de grado α; f3 no es separable pero eshomogenea de grado α+ β; f4 es homogenea de grado 1; f5 es solo separable.

1.4. Optimizacion

Para terminar con esta introduccion matematica, vamos a establecer las condiciones de optimalidadde un problema de optimizacion. En primer lugar, consideremos el caso simple de una funcion f : R → R,la que deseamos optimizar sin restricciones. Para ello, previamente necesitamos algunas definicionesbasicas.

Definicion 1.3 Dada f : R → R, diremos que un punto x∗ es:

a.- un maximo local de la funcion si existe un intervalo (x∗ − δ, x∗ + δ) tal que f(x∗) ≥ f(x), ∀x ∈(x∗ − δ, x∗ + δ).

b.- un maximo global de la funcion si f(x∗) ≥ f(x), para todo x ∈ R.

c.- un mınimo local de la funcion si existe un intervalo (x∗ − δ, x∗ + δ) tal que f(x∗) ≤ f(x), ∀x ∈(x∗ − δ, x∗ + δ).

d.- un mınimo global de la funcion si f(x∗) ≤ f(x), para todo x ∈ R.

La diferencia entre local y global esta simplemente en que para el concepto local se exige la condicionsolo en un entorno del punto, mientras que para el concepto global se pide para todo el dominio de lafuncion.

La Figura 7 ilustra los conceptos anteriores:

Figura 7: Mınimos y Maximos Locales y Globales (1)

a b c d e f g

En la figura, los puntos a, c, e, g son maximos locales, y los puntos b, d, f son mınimos locales. Deellos, g es maximo global y b es mınimo global.

Para determinar que puntos son maximos o mınimos locales o globales de una funcion dada, seprocede de la siguiente forma:

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a.- Se encuentran todos los puntos que satisfacen la relacion

f ′(x) = 0.

Esta es la llamada condicion de optimalidad de primer orden o condicion necesaria deoptimalidad. Supongamos que los puntos candidatos son x1, ..., xk.

b.- Se evalua la segunda derivada en los puntos candidatos anteriores. Si ella es negativa en xi setiene que dicho punto es un maximo local de la funcion; si la segunda derivada es positiva enxj se tiene que es un mınimo local de la funcion6.

c.- Para saber cual de ellos es el optimo global, se evalua la funcion para decidir.

Geometricamente la situacion es como sigue:

Figura 8: Mınimos y Maximos Locales y Globales (2)

a b c d e f g

f ′ = 0; f ′′ > 0

f ′ = 0; f ′′ < 0

Una cuestion importante: notemos que si la funcion objetivo es convexa, entonces se tiene quef ′′(x) > 0 para todo x. Por lo tanto, cualquiera que sea el punto canditato que verifica la condicionde primer orden, necesariamente sera un punto de mınimo local: la funcion convexa no puede tenermaximos locales pues nunca sera satisfecha la condicion de segundo orden. Mas aun, se puede mostrarque una funcion convexa tiene un unico mınimo global, el cual, como sabemos, se encuentra a partirde las condiciones de primer orden. Analogo con las funciones concavas y los maximos. Esta es otrapropiedad muy importante de las funciones concavas y convexas.

Supongamos que ahora nos preocupa el problema de optimizar una funcion de varias variables f :Rn → R. Para encontrar maximo y mınimos locales, el procedemiento es el mismo que antes, solo queahora la primera derivada igual a cero se reemplaza por el gradiente igual a cero, es decir, que todas lasderivadas parciales sean nulas (condicion de primer orden), mientras que la condicion de segundo ordencorresponde a Hessiano definido positivo (mınimo) o Hessiano definido negativo (maximo).

Sin embargo, si la funcion objetivo es convexa, al igual que en el caso de una variable, no se requiere decondiciones de segundo orden para decidir si el punto candidato es mınimo local o global: las funcionesconvexas tienen un unico punto que verifica las condiciones de primer orden y ese punto es mınimoglobal. Analogo con funciones concavas y maximos globales.

Siguiendo con esta lınea, lo que nos preocupa ahora es resolver un problema de optimizacion (maxi-mizacion o minimizacion), pero considerando que existen restricciones sobre las variables, restricciones

6En lo que sigue no vamos a considerar el caso en que la segunda derivada es nula en el punto candidato. En rigor,existe una regla mas general que pueden revisar en cualquier libro de calculo.

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que seran resumidas en un conjunto S ⊆ Rn. Para simplificar el analisis, vamos a suponer que S esta de-finido por igualdades de funciones: supongamos dadas m funciones hi : Rn → R, i = 1, ...,m, talesque,

S = {x ∈ Rn | hi(x) = 0, i = 1, ...,m}.El problema que nos ocupa es entonces:

S = {x ∈ Rn | hi(x) = 0, i = 1, ...,m}.El problema que nos ocupa es entonces:

{mın (max) f(x)

s.a hi(x) = 0, i = 1, ...,m

Diremos que un punto que verifica las restricciones del problema (hi(x) = 0, ∀i = 1, ...,m) es un puntofactible del mismo. De esta manera, nuestro asunto consiste en encontrar, dentro de los puntos factibles,aquel que minimice (maximice) la funcion objetivo f . El problema es que no existe regla general quenos permita encontrar directamente los optimos globales de la funcion, ası que solo esperamos disponerde un criterio que nos permita encontrar los optimos locales de la misma, para despues analizarlos paradeterminar cual de ellos es global.

Para establecer las condiciones necesarias de optimalidad de primer orden, vamos a introducir elLagrangeano del problema de optimizacion.

Definicion 1.4 Dado el problema de optimizacion,

{mın (max) f(x)

s.a hi(x) = 0, i = 1, ...,m

definamos la funcion,

L : Rn × Rm → R

tal que,

L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm) = f(x) +

m∑

i=1

λi · hi(x).

Esta funcion es el denominado Lagrangeano del problema de optimizacion.

Con lo anterior se tiene que bajo condiciones bastantes generales sobre la funcion, si x∗ es un puntomınimo (maximo) local de f sujeto a las restricciones hi(x) = 0, i = 1, ...,m, entonces existen valoresλ1, λ2, ..., λm ∈ R tales que,

∂f(x∗)

∂xi+

m∑

j=1

λj∂hj(x

∗)

∂xi= 0, i = 1, ..., n,

es decir, el gradiente de la funcion objetivo y los gradientes de las restricciones son linealmentedependientes en el punto en cuestion. Si a esto agregamos las restricciones del problema, se tiene unsistema de n+m ecuaciones con n+m incognitas, el cual en teorıa podemos resolver.

Es importante senalar que cuando la funcion objetivo es convexa, las condiciones anteriores derivanen ecuaciones que permiten el punto de mınimo global de la misma sujeto a las restricciones del problema;por el contrario, si la funcion objetivo es concava dichas condiciones nos permiten encontrar el punto demaximo global de la misma sujeto a las restricciones.

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En general, las condiciones de Lagrange son solo necesarias y en rigor, salvo el caso concavo - convexo,se requiere de condiciones de segundo orden para determinar si el punto candidato es maximo o mınimolocal.

En todo lo que sigue, supondremos que el problema de optimizacion planteado es tal quecon las condiciones de primer orden se encuentra directamente la solucion, sin necesidadde utilizar condiciones de segundo orden. Como se ha indicado, este es el caso de problemasde maximizacion con funciones objetivo concavas y de minimizacion con funciones objetivoconvexas.

Ejemplo 1.4 a.- Dadas las funciones f1(x, y) = sen(a · x2 · y), f2(x, y) = [a · xr + b · yr]1r se tiene

que (verificar),

∂f1(x,y)∂x = 2 a x y cos[a x2 y]

∂2f1(x,y)∂x2 = 2 a y cos[a x2 y]− 4 a2 x2 y2 sen[a x2 y]

∂f2(x,y)∂x = a x(−1+r) · (axr + byr)

−1+(1/r)

∂2f2(x,y)∂x2 = a2 · (−1 + 1/r)rx−2+2/r(axr + byr)

−2+1/r+ a(−1 + r)x−2+r(axr + byr)

−1+1/r

∂2f2(x,y)∂x∂y = (ab)(−1 + 1/r)rx−1+ry−1+r(axr + byr)−2+(1/r)

b.- Dada la funcion f(x, y) = bx+ x2 + cy − axy + 5y2, recordemos que las condiciones necesarias deoptimalidad son:

∂f(x, y)

∂x= 0,

∂f(x, y)

∂y= 0.

En este caso, el punto que satisface el sistema anterior para la funcion dada es el siguiente:

x∗ = 10b+ac−20+a2 e y∗ = ab+2c

−20+a2 .

Finalmente, viendo el ejemplo 1.1.2, si fuera que 20− a2 ≥ 0, entonces el punto encontrado es unmınimo global de la funcion, ya que esta es convexa.

Para terminar con esta introduccion matematica, es necesario hacer la siguiente consideracion muyimportante. Supongamos que estamos interesados en resolver el siguiente problema de optimizacion:

{mın f(x)

s.a x ∈ S

es decir, maximizar la funcion sujeto a que la variable vive en S, que es un conjunto de restriccionesdado. A modo de ejemplo, S puede representar restricciones presupuestarias, de capital, tecnologicas,etc. El punto es el siguiente: supongamos que hemos resuelto el problema anterior y hemos encontradouna solucion que denotamos xS . Luego, el valor de la funcion en dicho punto es f(xS), que por definicionde maximo satisface que

f(xS) ≥ f(x), ∀ x ∈ S.

¿Que sucede con el valor de la funcion si cambiamos la restriccion por T , de modo que T es masgrande que S ( es decir, S ⊆ T )? En tal caso, si denotamos por xT la nueva solucion, ya que xS ∈ Tnecesariamente se cumple que, f(xT ) ≥ f(xS). En otras palabras, al aumentar el tamano del conjunto,necesariamente el valor de la funcion aumenta: en el peor caso se mantiene igual, nunca empeora. Estaes una cuestion muy importante. Para ilustrar sus consecuencias en la vida cotidiana, imaginemos quepara ir de vacaciones tenemos restricciones de dinero, digamos, solo podemos gastar 100 (lo que definela restriccion). Con esos 100, podemos pasarlo bien haciendo lo que hagamos. Sin embargo, si fuera que

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ahora tenemos 150 (conjunto de restriccion mas grande, mas posibilidades), es claro que con la nuevarestriccion podemos, en particular, hacer exactamente lo mismo que con los 100. Pero ahora se agregannuevas posibilidades que antes no tenıamos, por lo tanto, en el peor caso lo pasaremos tan bien quecuando tenıamos 100. En consecuencia, en el optimo de pasarlo bien, claramente con 150 lo pasaremosmejor que con 100.

Para el caso de minimizar una funcion, la situacion es exactamente la contraria, ya que ahora elmınimo se escoge en un conjunto que es mas grande, lo que entrega mas posibilidades para encontraruno que otorge un valor mas pequeno. A modo de ejemplo, es claro que el individuo de mas baja estaturadel curso es al menos mas alto que el individuo mas bajo de la promocion, que a su vez en general esmas alto que el individuo mas bajo de la facultad, que a su vez, en general, sera mas alto que individuomas bajo de Santiago, etc. Los valores mınimos se hacen cada vez mas pequenos en la medida que elconjunto de restriccion se hace mas grande; caso contrario con los maximos.

2. Funciones Importantes

A continuacion vamos a estudiar algunas funciones que seran muy utiles al momento de estudiar elcomportamiento de los consumidores y de las firmas. Siendo funciones de utilidad en el primer caso, yfunciones de produccion en el segundo.

2.1. Homogeneas y Hometeticas

Definicion 2.1 Diremos que una funcion de f es homogenea de grado n si para todo t > 0 se cumpleque:

f(tx1, tx2) = tnf(x1, x2).

En particular, la funcion de es homogenea de grado 1 (de ahora en adelante, simplemente homogenea)si,

f(tx1, tx2) = t · f(x1, x2).

Derivando c.r. a t la funcion homogenea, se cumple que7:

df(tx1, tx2)

dt=

∂f(tx1, tx2)

∂x1· x1 +

∂f(tx1, tx2)

∂x2· x2 = f(x1, x2).

Luego, evaluando en t = 1 se obtiene la llamada identidad de Euler para funciones homogeneas:

∂f(x1, x2)

∂x1· x1 +

∂f(x1, x2)

∂x2· x2 = f(x1, x2),

es decir, la funcion es igual a la suma de las derivadas parciales (para cada una de las variables) por lacantidad de estas. A modo de ejemplo, las siguientes funciones son homogeneas del grado indicado:

1.- f(x1, x2) = a · x1 + b · x2: grado 1.

2.- f(x1, x2) = a · x1 · x2: grado 2.

3.- f(x1, x2) = a · xα1 + b · xα

2 : grado α.

4.- f(x1, x2) = a · xα1 + b · xβ

2 : no es homogenea de algun grado.

5.- f(x1, x2) = a · xα1 · xβ

2 : homogenea de grado (α+ β).

7Aplicar la regla de la cadena.

18


Finalmente, apliquemos el grado de homogeneidad de una funcion a la teorı de la firma, y veamoscomo se relaciona con el concepto de rendimientos de escala de ua funcion de produccion 8.

Proposicion 2.1 A partir de las definciones anteriores, se tiene que9,

i.- Si la funcion de produccion es homogenea de grado 1, entonces tiene rendimientos constantesde escala.

ii.- Si la funcion de produccion es homogenea de grado mayor que 1, entonces tiene rendimientoscrecientes de escala.

iii.- Si la funcion de produccion es homogenea de grado menor que 1, entonces tiene rendimientosdecrecientes de escala.

2.2. Cobb-Douglas

Definicion 2.2 La funcion Cobb - Douglas se define como:

f(x1, x2) = a · xα1 · xβ

2 ,

donde a, α, β son reales positivos. Note que esta funcion de produccion es homogenea de grado (α+β).

Por otro lado,

∂f(x1, x2)

∂x1= aαxα−1

1 · xβ2 ,

∂f(x1, x2)

∂x2= aβxα

1 · xβ−12 .10

Ademas, se tiene que,

f(x1, x2)

x1=

a · xα1 · xβ

2

x1= a · xα−1

1 · xβ2 ,

f(x1, x2)

x2= a · xα

1 · xβ−12 .11

Dado un nivel de satifaccion u0 o producto y, las correspondientes curvas de indiferencia e isocuantasestan definidas por los puntos (x1, x2) tales que,

x2 =u

1β

0

(a · xα1 )

1β

, x2 =y

1β

(a · xα1 )

1β

.

cuyos graficos son una curva decreciente como se muestra en la Figura (9):

8Esto se vera en la Seccion (6.3), en la Defincion (6.10).9Queda como ejercicio para el lector demostrar esta proposicion.

10Las cuales corresponderan a las Utilidades Marginales (ver Definicion (3.3) ) y a las Productividades Marginales (verDefinicion (6.4)), del factor o bien 1 y 2, respectivamente.

11En teorıa de la firma esto se le conoce como Productividad Media del factor (ver Definicion (6.5)).

19


Figura 9: Curvas de Nivel de una funcion Cobb-Douglas

x2

x1 x1

y0y1

y2

x2

u0

u1

u2

Note que a medida que van alejandose del origen, van aumentando el valor de la funcion. Es decir,va aumentando el nivel de satisfaccion y produccion, respectivamente.

Finalmente, notemos que,

−∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

= −aαxα−11 · xβ

2

aβxα1 · xβ−1

2

=α

β· x2

x1.12

Notar que es decreciente en x1, que las curvas no cortan los ejes y son convexas.

2.3. CES

Definicion 2.3 La funcion CES (del ingles, Constant Elasticity of Substitution) se define como,

f(x1, x2) = [c0 + c1xρ1 + c2x

ρ2]

1ρ ,

donde ρ ∈ R, no necesariamente positivo.

Notemos que,

∂f(x1, x2)

∂xi=

1

ρ· [c0 + c1x

ρ1 + c2x

ρ2]

1ρ−1 · ciρxρ−1

i = [c0 + c1xρ1 + c2x

ρ2]

1ρ−1 · cixρ−1

i , i = 1, 2.

A partir de lo anterior,

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

= −c1c2

(x1

x2

)ρ−1

.

Notemos ademas que, si c0 = 0 es homogenea de grado 1. Y, adicionalmente, f es funcion deproduccion, esta posee rendimientos constantes de escala.

12Lo que corresponde a la Relacion Marginal de Sustitucion (ver Definicion (3.4)) y a la Relacion Tecnica de Sustitucion

(ver Definicion (6.9)).

20


2.4. Lineal

Definicion 2.4 La funcion lineal se define como:

f(x1, x2) = αx1 + βx2.

La cual es homogenea de grado uno. Ademas, esta es la funcion asociada a perfectos sustitutos, yasea por el lado del consumo, para el caso de los individuos, como para el lado de la produccion, para elcaso de las firmas.

Por otro lado, ∂f(x1,x2)∂x1

= α y ∂f(x1,x2)∂x2

= β, las cuales son constantes a diferencia de los casos

anteriores. Ademas, f(x1,x2)x1

= α+ βx2

x1y f(x1,x2)

x2= β + αx1

x2. Finalmente, las curvas de nivel (curvas de

indiferencia e isocuantas) estan dadas por:

x2 =u0

β− αx1

β, x2 =

y

β− αx1

β.

La Figura 10 ilustran lo anterior:

Figura 10: Curvas de Nivel de una funcion Lineal

x2

x1 x1

y0

y1

y2

x2

u0

u1

u2

2.5. Leontiev o de Proporciones Fijas

Definicion 2.5 La funcion Leontiev se define como:

f(x1, x2) = mın{αx1;βx2},

con α, β > 0. Este tipo de funcion se llama de proporciones fijas, ya que para generar una nivel deutilidad determinado, o producir una determinada unidad de producto se requiere de una proporcionfija de bienes o factores, respectivamente. Esta funcion de produccion es homogenea de grado 1.

Los bienes o factores que participan en una funcion Leontiev se denominan perfectos complemen-tos.

Las derivadas parciales no estan bien definidas en todos los puntos. Sin embargo, cuando tengasentido, cuando cambia la cantidad de uso (ya sea en consumo o produccion), digamos de x1, el nivel

de satisfaccion o de producto, no necesariamente aumenta y luego, en tal caso, ∂f(x1,x2)∂x1

= 0Las curvas de nivel para el caso de una funcion Leontiev, son como las senaladas en la Figura 11

21


Figura 11: Curvas de Nivel de una funcion Leontiev

x2

x1 x1

y0

y1

y2

x2

u0

u1

u2

22


Parte II

Teorıa del Consumidor

3. El modelo del consumidor13

3.1. Introduccion

El objetivo de lo que sigue es plantear y estudiar un modelo sencillo de los consumidores. El enfoqueque seguiremos es tradicional en microeconomıa y parte del supuesto basico que los agentes economicosen estudio (digamos, personas, agentes, individuos, consumidores, etc.) son agentes racionales, cuyosobjetivos hedonistas son satisfechos a traves del consumo de bienes y servicios. Cuando hablamos deobjetivos hedonistas y de racionalidad, estamos suponiendo que el consumo de bienes se hace con elobjetivo de lograr placer y bienestar (hedonismo), y que la eleccion de los mismos es hecha de la mejorforma posible, en un sentido que precisaremos, pero que, anticipando, corresponde a utilizar de la mejorforma posible los recursos escasos que dicho agente podrıa disponer con el fin de cumplir sus objetivos.

Para precisar, en todo lo que sigue, salvo que se diga lo contrario, supondremos que en el universohay dos bienes de consumo14, digamos el 1 y el 2, cuyas cantidades genericas seran x1 y x2. En todolo que sigue, supondremos que las canastas de bienes son en cantidades positivas. Ası, en todo lo quesigue, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Definicion 3.1 Una canasta de consumo para un individuo cualquiera, sera simplemente un par orde-nado de la forma

(x1, x2) ∈ R2+.

¿Como se interpreta la canasta (x1, x2)? Es simplemente un paquete de consumo que consta de x1

cantidad del bien 1 y de x2 cantidad del bien 2.Dadas dos canastas de consumo (x1, x2) y (x′

1, x′2), supondremos que el consumidor siempre puede

manifestar preferencia por una u otra. No es objetivo nuestro estudiar como se llega a tales preferencias,ni la forma en que estas se construyen en el cerebro. Simplemente asumiremos su existencia. Esto motivala siguiente definicion:

Definicion 3.2 Dadas dos canastas de consumo (x1, x2) y (x′1, x

′2), denotaremos por (x1, x2) � (x′

1, x′2)

si el consumidor prefiere la canasta (x′1, x

′2) a la canasta (x1, x2).

Si fuera que (x1, x2) � (x′1, x

′2) y simultaneamente (x′

1, x′2) � (x1, x2), diremos que el consumidor es

indiferente entre ambas canastas y se denotara (x1, x2) ∼ (x′1, x

′2).

Por ultimo, si fuera que (x1, x2) � (x′1, x

′2) pero (x′

1, x′2) � (x1, x2), entonces denotaremos (x1, x2) ≺

(x′1, x

′2) y diremos que (x′

1, x′2) es estrictamente preferido a (x1, x2).

Para poder desarrollar el modelo, se requiere que las preferencias del consumidor tengan algunaspropiedades elementales15. Los supuestos que le pediremos a las relaciones de preferencia (�’s) son lossiguientes:

a.- Completitud. Supondremos que dadas dos canastas cualquiera, digamos (x1, x2) y (x′1, x

′2), siem-

pre se cumple que, o bien (x1, x2) � (x′1, x

′2), o bien (x′

1, x′2) � (x1, x2) o bien (x1, x2) ∼ (x′

1, x′2).

b.- Reflexividad. Siempre se cumple que (x1, x2) � (x1, x2).

13Comentes y ejercicios matematicos para esta seccion se encuentran en las secciones 1.1 y 3.1, respectivamente, delCompilado de Preguntas.

14Esto no es ninguna restriccion importante del modelo.15Para fijar estas hipotesis hay una delgada lınea entre generalidad y necesidad. Siempre la generalidad es deseable, pero

con mucha generalidad podemos quedar atados de manos en el sentido de poder sacar del modelo algun tipo de conclusiono implicancia practica o teorica. En rigor, no cualquier tipo de preferencia puede ser util para los efectos de modelacion.

23


c.- Transtividad. Dadas las canastas (x1, x2), (x′1, x

′2) y (x′′

1 , x′′2 ), si (x1, x2) � (x′

1, x′2) y (x′

1, x′2) �

(x′′1 , x

′′2 ) entonces (x1, x2) � (x′′

1 , x′′2 ).

d.- Monotonicidad estricta Dado δ > 0, entonces (x1, x2) ≺ (x1 + δ, x2) y (x1, x2) ≺ (x1, x2 + δ).

e.- Continuidad. Si (x1, x2) ≺ (x′1, x

′2), entonces existen cantidades ǫ1 > 0, ǫ2 > 0 tales que para

todo xi que cumple con |xi − xi| < ǫi se verifica que (x1, x2) ≺ (x1, x2). Analogo con puntos(x1, x2) cercanos a (x′

1, x′2) que cumplen la relacion (x1, x2) ≺ (x1, x2).

En palabras, lo siguiente:

a.- Se asume que el consumidor siempre puede decidir que prefiere ante dos alternativas que se lepresentan. No es un supuesto restrictivo.

b.- No es un supuesto restrictivo. Nos dice que algo es preferido (no estrictamente) a lo mismo.

c.- En general, la transitividad no es un supuesto restrictivo.

d.- Este es un supuesto tecnico y bastante general. La continuidad afirma que si una canasta Bes preferida estrıctamente a otra A, entonces canastas cercanas en cantidad a B son tambienpreferidas estrictamente a la inicial. Si bien es cierto resulta ser una hipotesis tecnica, no es engeneral muy restrictiva y es razonable de suponer.

Bajo los supuestos anteriores, se tiene el siguiente Teorema:

Teorema 3.1 Dada una relacion de preferencias, �, que verifica las hipotesis [a.-] hasta [e.-] anteriores,entonces existe una funcion u : R2 → R tal que,

(x1, x2) � (x′1, x

′2) ⇔ u(x1, x2) ≤ u(x′

1, x′2).

La demostracion de este resultado no es simple y escapa a los objetivos del curso.La funcion anterior recibe el nombre de funcion de utilidad (f.d.u.) del consumidor. Notemos que

de la definicion, se tiene que,

i.- (x1, x2) ≺ (x′1, x

′2) ⇔ u(x1, x2) < (x′

1, x′2).

ii.- (x1, x2) ∼ (x′1, x

′2) ⇔ u(x1, x2) = (x′

1, x′2).

Algunos comentarios sobre lo anterior.

a.- No todas las posibles preferencias pueden ser representadas por funciones de utilidad. Si, porejemplo, una relacion de preferencias no es monotona, entonces no necesariamente podra ser re-presentada por medio de una funcion de utilidad. Es solo una gama muy reducida de relacionesde preferencias la que puede ser representada por medio de una funcion de utilidad.

b.- Pasar de la relacion de preferencias a la funcion de utilidad implica pasar de un problema de deci-sion vectorial a un problema de decision escalar. Claramente, si conocieramos la funcion de utilidaddel consumidor, serıa muy sencillo poder determinar el orden de las preferencias del consumidorsobre las canastas de consumo: es solo cuestion de evaluar la f.d.u. en el vector correspondiente ycomparar los valores obtenidos.

c.- Notemos que la f.d.u. de una relacion de preferencias es una funcion que mantiene el orden delranking de las canastas. Lo relevante no es el valor en sı que ella toma; es mas bien la escalaordinal que se establece a traves de sus resultados. Para fijar ideas, que una funcion de utilidadtenga valor 35 en una cierta canasta no nos dice nada. La relevancia se tiene cuando sabemosque en otra canasta vale 39, en cuyo caso podemos afirmar que esta segunda canasta es preferidaestrictamente a la primera. Nada mas.

24


d.- Notemos que, bajo los supuestos indicados, una relacion de preferencias puede ser represntada pormuchas f.d.u. En efecto, supongamos que una f.d.u. de � es u(·). Entonces, dada una funciø’n f(·)creciente estricta, la funcion u = f ◦ u (composicion) es tambien una f.d.u. que representa a lapreferencia. En efecto, para que la funcion u represente a � se deben cumplir las condiciones dela definicion. Ahora, si fuera que u(x1, x2) ≤ u(x′

1, x′2), entonces, como f(·) es creciente, se tiene

que f [u(x1, x2)] ≤ f [u(x′1, x

′2)]. En consecuencia,

(x1, x2) � (x′1, x

′2) ⇔ f [u(x1, x2)] ≤ f [u(x′

1, x′2)]

por lo cual f ◦ u es tambien una f.d.u. del consumidor. En resumen, las funciones de utilidadde un individuo son unicas salvo transformaciones crecientes. Como consecuencia de loanterior, podemos asumir, sin perdida de generalidad, que las funciones de utilidad toman valorespositivos, pues en caso contrario, serıa cuestion de sumarles una constante suficientemente grandeque garantice la positividad16.

A modo de ejemplo, si u(x1, x2) es una f.d.u. del consumidor, entonces eu(x1,x2), ln(u(x1, x2)) y√u(x1, x2), son tambien funciones de utilidad para el consumidor.

Suponiendo que una relacion de preferencias verifica las hipotesis del Teorema anterior, se tieneentonces que una funcion de utilidad u(·) que la representa verifica las siguientes propiedades elementales.

Ejercicio 3.1 Suponga una preferencia racional, �. Muestre reflexividad para la relacion ∼ y transiti-vidad para ≻. Recordando que se definen como x ∼ y ⇔ x � y ∧ y � x y x ≻ y ⇔ x � y ∧ y � x.

Proposicion 3.1 Dada una funcion de utilidad, u(·), que representa a una relacion de preferencias, �,la cual satisface las condiciones del Teorema anterior, se tiene que es creciente en cada componente, esdecir, si x1 < x′

1 y x2 < x′2 entonces,

u(x1, x2) < u(x′1, x2) ∧ u(x1, x2) < u(x1, x

′2).

De esto se desprende que, si la f.d.u. es derivable17

∂u(x1, x2)

∂xi> 0, i = 1, 2.

La demostracion es directa a partir del supuesto de monotonicidad estricta de las preferencias y sedeja como ejercicio.

En todo lo que sigue, trabajaremos con funciones de utilidad para representar las pre-ferencias de nuestro agente. Se insiste que este supuesto de trabajo se basa en propiedades de larelacion de preferencias, de los cuales la monotonia es uno fundamental.

Algunas definiciones que seran utiles en lo que sigue se resumen en lo siguiente.

Definicion 3.3 Dada una funcion de utilidad, u(·), se tienen las siguientes definiciones:

a.- Utilidad marginal. Dada la canasta (x1, x2), la utilidad marginal del bien 1 correponde alincremento en utilidad dado un aumento en una unidad en el consumo del bien 1. Analogo parael bien 2. La utilidad marginal del bien i = 1, 2 se representara por UMgi(x1, x2). Luego,

UMg1(x1, x2) = u(x1 + 1, x2)− u(x1, x2), UMg2(x1, x2) = u(x1, x2 + 1)− u(x1, x2).

16Obviamente estamos suponiendo que la f.d.u. es acotada. De hecho, note que si las cantidades de los bienes son mayoreso iguales a cero, por el supuesto de monotonicidad estricta se tiene el menor valor que puede tomar la funcion de utilidades u(0, 0), que sin perdida de generalidad supondremos que es cero. De esta manera, podemos pensar que las f.d.u. sonsiempre positivas, ya que de lo contrario podemos sumar la constante indicada, o bien tomar exponenciales (por ejemplo).

17Que sera el caso en todo lo que sigue.

25


b.- Curva de indiferencia. Dado un nivel de satisfaccion α prefijado, la curva de indiferencia alnivel α se define como el conjunto de canastas (x1, x2) para las cuales,

u(x1, x2) = α.

De la definicion de curva de indiferencia, notemos que,

i.- Como la f.d.u. es derivable, sabemos que,

∂u(x1, x2)

∂x1≡ lım

h→0

u(x1 + h, x2)− u(x1, x2)

h.

Sin embargo, en el lado derecho, si h = 1 la expresion resultante es solo una aproximacion de laderivada, es decir,

∂u(x1, x2)

∂x1≃ u(x1 + 1, x2)− u(x1, x2)

1= u(x1 + 1, x2)− u(x1, x2).

En consecuencia, la utilidad marginal puede ser aproximada por la derivada parcial correspondientede la funcion de utilidad. En todo lo que sigue, supondremos que mas que una aproximacion setrata de una igualdad, de modo que, en forma alternativa y equivalente definiremos la utilidadmarginal como la derivada parcial. Ası,

UMgi(x1, x2) ≡∂u(x1, x2)

∂xi.

ii.- Dado el nivel de utilidad α, de la relacion u(x1, x2) = α, se tiene que existe una relacion implıcitaentre x1 y x2, digamos, x2 = x2(x1). Si graficamos dicha relacion en el sistema coordenado x1−x2

se obtiene una curva que llamaremos curva de indiferencia al nivel a. La siguiente Figura 12ilustra el concepto:

Figura 12: Curva de Indiferencia (1)

x∗2

x∗1

u(x1, x2) = a

Que el punto (x∗1, x

∗2) este en la curva de indiferencia de la figura significa que u(x∗

1, x∗2) = a.

Ahora, supongamos que estamos considerando dos niveles de utilidad a < b y las respectivascurvas de indiferencia. Primero, si u(x∗

1, x∗2) = a claramente u(x∗

1, x∗2) 6= b. Por otro lado, dado

26


que u(x∗1, x

∗2) = a, entonces existira un valor δ > 0 para el cual u(x∗

1 + δ, x∗2) = b, pues la f.d.u. es

creciente. Analogamente, existira un valor ǫ > 0 para el cual u(x∗1, x

∗2 + ǫ) = b.

Luego, la curva de indiferencia al nivel b esta por encima de la curva de indiferencia al nivel a. Detodo lo anterior, se puede concluir que las curvas de indiferencia de distinto nivel no se cortan yademas, en la medida que aumentamos el nivel de la curva, esta se desplaza hacia arriba y haciala derecha.

Finalmente otra cuestion importante. Si u(x1, x2) = a, entonces si x1 aumenta, digamos a x1 + δ,sea x∗

2 el nuevo valor para el cual u(x1 + δ, x∗2) = a. Notemos entonces que x∗

2 es necesariamentemenor que x2 pues, si fuera mayor, entonces el valor de u(x1 + δ, x∗

2) serıa mayor que a, ya que laf.d.u. es creciente. Luego, las curvas de indiferencia necesariamente son decrecientes en el sistemacoordenado x1 − x2. La Figura 13 ilustra todo lo anterior:

Figura 13: Curva de Indiferencia (2)

a

b

c

a < b < c

Mientras mayor es el nivel de utilidad, la curva se desplaza hacia arriba y la derecha; las curvasde indiferencia a distintos niveles de utilidad no se cortan; las curvas de indiferencia son

decrecientes.

iii.- Dada una curva de indiferencia al nivel α y dado un punto (x∗1, x

∗2) sobre la curva y otro (x1, x2)

bajo la curva, entonces es directo que,

u(x∗1, x

∗2) > α, u(x1, x2) < α.

Ejemplo 3.1 Dada la funcion de utilidad u1(x1, x2) = xa1 · xb

2, con a, b > 0, la ecuacion de la curva deindiferencia al nivel u0 es

x2 =u

1b

0

xab

1

.

Las utilidades marginales son

UMg1(x1, x2) = axa−11 · xb

2, UMg1(x1, x2) = bxa1 · xb−1

2 .

Note que en este caso, la derivada de UMg1 c.r. a x1 es ∂UMg1∂x1

= a · (a− 1) · xa−21 · xb

2, que es negativa,si y solo si, a < 1. En consecuencia, la utilidad marginal UMg1 es decreciente en el primer bien siemprey cuando a < 1. Analogo con UMg2 decreciente si b < 1. Luego, si la funcion de utilidad es concava,ambas utilidades marginales son decrecientes.

27


Ejemplo 3.2 Extendiendo el resultado anterior, se puede probar que una funcion de utilidad concavacualquiera tendra utilidades marginales decrecientes en cada bien; si esta es convexa, los utilidadesmarginales seran crecientes.

Ahora, dado un punto (x1, x2) en una curva de indiferencia al nivel α, calculemos la pendiente a latangente al grafo de la misma por el punto en cuestion. Veamos en primer lugar un argumento informal(usando la Figura 14):

Figura 14: Pendiente de una Curva de Indiferencia

x2

x2 − b

x1 x1 + a

Ası, supongamos que tenemos dos puntos cercanos (x1, x2), (x1+a, x2−b) en la curva de indiferencia.En tal caso, una aproximacion de la pendiente a la tangente al grafo de la curva en (x1, x2) es:

m =(x2 − b)− x2

(x1 + a)− x1= − b

a.

Por otro lado, del hecho que u(x1 + a, x2 − b) = u(x1, x2) = α, haciendo la aproximacion por laderivada se tiene que18:

u(x1 + a, x2 − b)− u(x1, x2) = 0 = a · ∂u(x1, x2)

∂x1− b · ∂u(x1, x2)

∂x2,

y luego,

m = − b

a≈ −

∂u(x1,x2)∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

= −UMg1(x1, x2)

UMg2(x1, x2).

Otra manera de ver lo anterior (y mas formal) es la siguiente: como u(x1, x2) = α, existe unarelacion implıcita entre x1 y x2 (ver Ejemplo 1.1). Luego, x2 es una funcion de x1, digamos x2(x1). Ası,u(x1, x2(x1)) = α. Derivando la expresion c.r. a x1 y aplicando la regla de la cadena, se tiene que:

∂u(x1, x2(x1))

∂x1=

∂α

∂x1= 0,

ya que α no depende de x1. Desarrollando la derivada, por la regla de la cadena se tiene que:

18En rigor, la siguiente relacion es solo una aproximacion, que asumimos como igualdad. Recuerde ademas que f(x1 +

δ, x2)− f(x1, x2) ∼ δ∂f(x1,x2)

∂x1y que f(x1, x2 − ǫ)− f(x1, x2) ∼ ǫ

∂f(x1,x2)∂x2

. Si se mueven ambas componentes, se tiene la

aproximacion indicada.

28


∂u(x1, x2)

∂x1+

∂u(x1, x2)

∂x2· ∂x2(x1)

∂x1= 0,

con lo cual se tiene que,

∂x2(x1)

∂x1= −

∂u(x1,x2)∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

= −UMg1(x1, x2)

UMg2(x1, x2),

que es analogo a lo ya mostrado.En consecuencia, la pendiente de la tangente a la curva de indiferencia en un punto cualquiera de

ella es simplemente, menos el cuociente de los respectivos productos marginales. Tal pendiente es unconcepto importante.

Definicion 3.4 Dada una funcion de utilidad, u(·), y dado un nivel de satifaccion α, se define larelacion marginal de sustitucion en el punto (x1, x2) de la curva de indiferencia respectiva, comola pendiente de la tangente a dicha curva en el punto indicado. Se denotara RMS1,2(x1, x2) y de estamanera

RMS1,2(x1, x2) = −∂u(x1,x2)

∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

= −UMg1(x1, x2)

UMg2(x1, x2).

La siguiente Figura 15 ilustra el concepto:

Figura 15: Relacion Marginal de Sustitucion

x2

x1

m = RMS1,2

¿Como se interpreta la RMS1,2? En primer lugar, supongamos que estamos en una canasta(x1, x2) tal que u(x1, x2) = α y que decidimos aumentar en una unidad la cantidad del bien 1, pasandode x1a x1 + 1. En tal caso, si x2 no se modifica, necesariamente el aumento en el bien de consumo1 implicara aumentos de beneficio; es decir, u(x1 + 1, x2) > α, que equivalentemente corresponde adecir que (x1 + 1, x2) no estara en la curva de indiferencia al nivel α. Para seguir en la curva deindiferencia, dado el aumento en el bien 1, necesariamente la cantidad del bien 2 debe disminuir.Esta disminucion es precisamente la RMS1,2(x1, x2):

δ = RMS1,2(x1, x2).

29


De esta manera, la RMS1,2 es indicativa de la sustitubilidad de bienes de consumo: dado un nivel deutilidad constante, un aumento unitario en el bien 1 implica una dismunicion en RMS1,2 para mantenerconstante el nivel de satisfaccion.

De todo lo anterior, es directo que:

a.- La RMS1,2 es siempre negativa19.

b.- La RMS2,120 es simplemente

RMS2,1 =1

RMS1,2(x1, x2).

Ejemplo 3.3 Dada la funcion de utilidad u1(x1, x2) = xa1 · xb

2, con a, b > 0, la RMS1,2 corresponde a,

RMS1,2(x1, x2) = −ax2

bx1.

Ejemplo 3.4 Supongamos que la funcion de utilidad es estrictamente concava21. En tal caso, sabemos(ver Parte I del Apunte) que la relacion funcional x2(x1) que define la curva de indiferencia es convexa,

pues la segunda derivada ∂2x2(x1)∂x2

1es negativa. De esta manera, a partir de funciones de utilidad

concavas, las curvas de indiferencia son convexas.Una forma equivalente de expresar la convexidad de las curvas de indiferencia es a partir del hecho

que su derivada es creciente. Pero en este caso, la derivada de la curva de indiferencia es la relcionmarginal de sustitucion. Como esta es simpre negativa, el hecho que sea creciente significa que cada vezes menos negativa en la medida que crece la cantidad del bien (del 1 en este caso). De esta manera, siconsideramos el valor absoluto de la RMS1,2, este sera decreciente. En resumen,

Las funciones de utilidad cuasiconcavas tienen curvas de indiferencia convexas. Por talrazon, la RMS1,2 es decreciente en valor absoluto.

Ahora bien, que la RMS1,2 sea decreciente, significa que la cantidad en que disminuye el consumodel bien 2 ante un aumento unitario de consumo del bien 1 es decreciente en la medida que aumentala cantidad del bien 1: bajo supuestos de concavidad de la funcion de utilidad, la sustitubilidad de losbienes de consumo es menor en la medida que aumenta la cantidad de uno de los bienes. De esta manera,los niveles de sustitucion dependen de la composicion relativa de los bienes en la canasta de consumo.

La Figura 16 ilustra esta importante propiedad de las funciones concavas:

19Esto del argumento de sustitubilidad anterior, pero tambien directamente de la definicion, ya que los productosmarginales son positivos y la RMS es menos el cuociente de los productos marginales.

20Que obviamente corresponde a la cantidad en que se debe modificar el consumo del bien 1 ante un cambio unitariodel bien 2 con el fin de mantener utilidad constante.

21Es decir, concava sin lados rectos, que son las usuales para lo que sigue de este curso. Ver la definicion matematica.La diferencia con la concavidad simple es que las desigualdades que la definen son ahora estrictas.

30


Figura 16: Curva de Indiferencia Convexa

x2

1◦cambio en x2

2◦cambio en x2

x1 x1 + 1 x1 + 2 x1

Dado (x1, x2) en la curva de indiferencia, al pasar de x1 a x1 + 1 debe haber una disminucion en elconsumo del bien 2 (primer cambio), la que es menor cuado pasamos de x1+1 a x1+2 (segundo cambioen 2).

En palabras: si la f.d.u es concava, entonces las utilidades marginales son todas decrecientes yademas, de la concavidad se tiene que las curvas de indiferencia son convexas. Finalmente, si las curvasde indiferencia son convexas, es equivalente a decir que las RMS es decreciente en valor absoluto. Conesta proposicion se cierra un cırculo muy importante de concavidad y propiedades marginales de lasfunciones de utilidad. Esto constituye ademas una muestra adicional de la importancia de la concavidady convexidad en economıa.

3.2. Eleccion del consumidor: conceptos basicos

En lo que sigue, vamos a modelar el problema de eleccion de bienes de consumo por parte delconsumidor, considerando que se desenvuelve en un contexto economico donde los bienes tienen precioy que nuestro agente tiene una cierta cantidad de recursos22 que puede gastar en el consumo.

Por lo indicado anteriormente, en el modelo hedonista y de busqueda de placer que estamos tratando,se asume que las elecciones del consumidor tienen el unico fin de lograr satisfaccion personal a travesdel consumo.

Para los efectos de eleccion, asumiremos que el consumo de los bienes tiene un costo y que de lasposibles canastas que puede elegir, solo puede acceder a aquellas que sus recursos pueden pagar:por el momento, en nuestro modelo no hay posibilidad de endeudamiento. De esta manera, si los preciosde los bienes son p1 y p2 y los recursos del consumidor son R, es claro entonces que puede escoger todasaquellas canastas (x1, x2) tales que,

p1x1 + p2x2 ≤ R,

lo que motiva la siguiente definicion:

Definicion 3.5 Dados los precios de los bienes p1, p2 y dado el ingreso R, el conjunto de las canastasfactibles de ser consumidas por el individuo, se define como:

B(p1, p2, R) = {(x1, x2) | p1x1 + p2x2 ≤ R.}Indistintamente, este conjunto recibe el nombre de conjunto de restriccion presupuestaria del

consumidor.22Digamos, dinero, sueldo, ingresos, rentas, riqueza, etc. Entenderemos que se trata de dinero que puede gastar en la

compra de bienes para consumir y lograr satisfaccion.

31


La Figura 17 representa un conjunto de restriccion presupuestaria cualquiera.

Figura 17: Restriccion Presupuestaria

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

x2

R/p2

R/p1 x1

B(p1, p2, R)

Note que la interseccion con los ejes se da en los puntos,

x1 = R/p1, x2 = R/p2.

como se indica en la figura. Note ademas que la recta frontera del conjunto indicado (llamada rectapresupuestaria) tiene por ecuacion

p1x1 + p2x2 = R ⇔ x2 =R

p2− p1

p2x1.

Finalmente, notemos que:

a.- Si los precios se mantienen constantes y el ingreso del consumidor sube de R a R′, entonces elconjunto factible se desplaza hacia arriba y hacia la derecha como se indica en la Figura 18,

Figura 18: Restriccion Presupuestaria y Aumento de Ingreso

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x2

R′/p2

R/p2

R/p1R′/p1 x1

El nuevo conjunto factible es mas grande que el original (es la union de los indicados).

32


Si fuera que R disminuye entonces la frontera se desplaza paralela hacia el origen, lo que resultaen un conjunto factible mas pequeno que el original.

Por ultimo, la rectas presupuestarias de ambos conjunto son paralelas (las pendientes no cambianpues los precios no cambian): cambios en R solo implican una traslacion de la recta presupuestaria.

b.- Si el precio p1 aumenta a p′1 (el bien 1 se hace mas caro), manteniendo constante p2 y R, entoncesel conjunto factible se modifica como se indica en la Figura 19,

Figura 19: Restriccion Presupuestaria y Aumento de Precio

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x2

R/p2

R/p′1 R/p1 x1

p′1 < p1

El nuevo conjunto factible es mas pequeno que el original.

c.- Si el precio p1 disminuye a p′1, manteniendo constante p2 y R, entonces el conjunto factible semodifica como se indica en la Figura 20

Figura 20: Restriccion Presupuestaria y Disminucion de Precio

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x2

R/p2

R/p′1 R/p1 x1

p′1 > p1

33


El nuevo conjunto factible es mas grande que el original.

d.- Es analogo con aumentos o disminuciones en p2, manteniendo constantes R y p1.

De lo anterior, notemos finalmente que cambios en un precio (resto constante) implican cambiosen la pendiente de la recta presupuestaria: modificacion de precios se traducen en rotaciones de larecta presupuestaria.

De esta manera, utilizando un lenguaje mas informal, aumentos en la riqueza a precios constanteshacen que el consumidor tenga mas opciones donde escoger sus canastas (conjunto de restriccion masgrande); analogo con disminuciones en alguno (o ambos) de los precios. Si al menos uno de los preciosaumenta, bajo R constante, el consumidor tendra menos opciones donde escoger (conjunto factible maspequeno).

3.3. Eleccion del consumidor: criterio de maximizacion

Lo anterior describe con algun detalle el conjunto factible, donde el consumidor puede hacer sus elec-cion de canastas de consumo. Obviamente nos entrega muchas posibilidades. El problema es determinarcual de aquellos puntos factibles es el mas razonable para nuestro personaje. Para el efecto puede habermuchos criterios de mas razonable, criterio que finalmente define la eleccion de consumo del individuo.Por ejemplo, nuestro personaje podrıa elegir dentro de aquellas canastas de bienes que tienen un por-centaje pre-fijado de uno y otro bien; entre aquellas que contienen necesariamente una cantidad x∗

1 delbien 1 a priori; entre aquellas que satisfacen una desigualdad de la forma x1 ≥ ξ1, x2 ≥ ξ2, donde ξ1, ξ2son dados a priori, etc.

Bajo esquemas generales, a partir del criterio de seleccion anterior que permite discriminar entrediversas canastas, el consumidor puede a su vez ser indiferente entre una y otra canasta factible, u optarpor aquella que tiene mayor cantidad de ambos bienes, cumpliendo las condiciones pre-fijadas, etc.

En resumen, no hay una unica forma de establecer criterios de eleccion de canastas deconsumo para los individuos: hay muchas posibilidades y no necesariamente algun criterio es mejorque otro, si es que tiene sentido de hablar normativamente en estas materias.

Sin embargo, hay un criterio ampliamente utilizado en economıa que, nuevamente, parte de la basedel supuesto hedonista que ya hemos indicado. En forma adicional a este supuesto, el criterio consideraademas una componente extra que llamaremos de racionalidad en las elecciones de los individuos.Esta racionalidad establece que las elecciones de los consumidores son hechas con el fin demaximizar la utilidad resultante de la eleccion y, por lo tanto, el criterio a utilizar en todo loque sigue simplemente establece que, al final de cuentas, las acciones de los individuos son hechas conel objetivo de maximizar su propia utilidad producto del consumo de bienes, considerandolas restricciones presupuestarias para el efecto.

En algun sentido, el criterio anterior muy amplio y, digamos, tautologico, en el siguiente sentido:muchas de las actividades que uno realiza siempre se pueden ver como resultados de un proceso demaximizacion; todo es cuestion de escoger la correcta funcion de utilidad para justificar algo que, enprincipio, no nos parece de manera obvia el producto de un proceso maximizador.

A pesar de lo anterior, en todo lo que sigue trabajaremos bajo el supuesto que los consumidores sonagentes cuyo objetivo es el indicado. De esta manera, y considerando las restricciones presupuestarias,tenemos la siguiente definicion para el problema del consumidor.

Definicion 3.6 Problema del consumidor: maximizacion de utilidad sujeto a restriccionpresupuestaria.

Dados los precios de los bienes p1 y p2 y dada la renta del individuo R, el problema del consumidorconsiste en encontrar aquella canasta factible de bienes que maximiza la utilidad. En otras palabras,consiste en resolver el siguiente problema de optimizacion:

{max u(x1, x2)

s.a (x1, x2) ∈ B(p1, p2, R)⇔

{max u(x1, x2)

s.a p1 · x1 + p2 · x2 ≤ R

34


A partir de lo anterior, notemos lo siguiente, que es muy importante: supongamos que la soluciondel problema del consumidor es x∗

1, x∗2 y que

p1x∗1 + p2x

∗2 < R (1)

Entonces, dos cuestiones. Primero, por definicion se tiene que para todo (x1, x2) ∈ B(p1, p2, R),u(x1, x2) ≤ u(x∗

1, x∗2). Segundo, puesto que se cumple la condicion (1), entonces para δ > 0 suficiente-

mente pequeno23 se tiene que,

p1(x∗1 + δ) + p2x

∗2 = R.

De lo anterior, (x∗1 + δ, x∗

2) ∈ B(p1, p2, R). Pero ademas, ya que la funcion de utilidad es estrictamentecreciente, se tiene que,

u(x∗1 + δ, x∗

2) > u(x∗1, x

∗2),

lo que contradice el hecho que (x∗1, x

∗2) maximiza la utilidad en el conjunto factible. Todo el problema

viene de suponer que p1x∗1 + p2x

∗2 < R, pues a partir de este hecho hemos podido encontrar otro punto

que nos entrega mas satisfaccion. En concreto, se tiene la siguiente proposicion:

Proposicion 3.2 Dada una funcion de utilidad estrictamente creciente en cada componente, si (x∗1, x

∗2)

es la solucion del problema de maximizacion de utilidad sujeto a restriccion presupuestaria, necesaria-mente se debe cumplir que,

p1x∗1 + p2x

∗2 = R.

Una consecuencia importante de la proposicion anterior es que el problema del consumidor se puedereplantear equivalentemente de la siguiente manera:

Formulacion equivalente del problema del consumidor

{max u(x1, x2)

s.a p1 · x1 + p2 · x2 = R,

que es un problema de optimizacion con una restriccion de igualdad24, lo que nos permite ocuparLagrange para resolverlo.

Definicion 3.7 La solucion del problema del consumidor se denotara por

xi(p1, p2, R), i = 1, 2

y se llamara demanda del consumidor por el biene 1 y 2 respectivamente. El maximo valor de lafuncion de utilidad dada la restriccion presupuestaria se denomina utilidad indirecta del individuo yse denota por

v(p1, p2, R) ≡ u(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)).

Para determinar las demandas, y con ello la funcion de utilidad indirecta, se procede, en primerlugar, definiendo el Lagrangeano del problema del consumidor:

L(x1, x2, λ) = u(x1, x2) + λ · [R− p1x1 − p2x2].

Con ello, las condiciones necesarias de optimalidad son las siguientes:

23Basta con δ =R−p1x

∗

1−p2x∗

2p1

.24Y no de desigualdad como era originalmente.

35


a.- ∂L(x1,x2,λ)∂x1

= 0 ⇔ ∂u(x1,x2)∂x1

− λp1 = 0 ⇔ ∂u(x1,x2)∂x1

= λp1.

b.- ∂L(x1,x2,λ)∂x2

= 0 ⇔ ∂u(x1,x2)∂x2

− λp2 = 0 ⇔ ∂u(x1,x2)∂x2

= λp2.

c.- ∂L(x1,x2,λ)∂λ = 0 ⇔ p1x1 + p2x2 = R.

De las condiciones a.− y b.− se tiene entonces que (cuociente),

∂u(x1,x2)∂x1

∂u(x1,x2)∂x2

=λp1λp2

=p1p2

⇔ RMS1,2(x1, x2) = −p1p2

.

En todo lo que sigue, trabajaremos bajo el supuesto que solo las condiciones necesariasde primer orden nos permiten resolver el problema, de modo que no se requerira de condicionesadicionales o de segundo orden para determinar las demandas. Como bien sabemos, un caso particularmuy importante para el cual se cumple el supuesto anterior es la concavidad de la funcion de utilidad.

Ejemplo 3.5 Dada la funcion de utilidad u(x1, x2) = xa1 · xb

2, y dados los precios p1, p2 y la renta R,determinemos las demandas por bienes y la funcion de utilidad indirecta. Para el caso, el Lagrangeanoes

L = xa1 · xb

2 + λ[R− p1x1 − p2x2].

De las condiciones de optimalidad, se tiene que,

a.- axa−11 xb

2 − λp1 = 0

b.- bxa1x

b−12 − λp2 = 0

c.- p1x1 + p2x2 = R.

Luego, de a.− y b.− se tiene que ax2

bx1= p1

p2, es decir, x2 = bp1x1

ap2. De esta manera, lo anterior en c.−

implica que,

x1(p1, p2, R) =aR

p1(a+ b), x2(p1, p2, R) =

bR

p2(a+ b)

y ası,

v(p1, p2, R) =

(aR

p1(a+ b)

)a

·(

bR

p2(a+ b)

)b

.

Ejemplo 3.6 Interpretacion grafica de las condiciones de optimalidadDada la restriccion presupuestaria y dadas las demandas x1(p1, p2, R) y x2(p1, p2, R), sea v =

v(p1, p2, R) (utilidad indirecta). Entonces la curva de indiferencia al nivel v anterior es tangente a la rectapresupuestaria. En efecto, es claro que la curva de indiferencia debe cortar a la recta presupuestaria, yaque de lo contrario cualquier punto de ella no serıa factible. En segundo lugar, si la curva de indiferenciacorta a la recta presupuestaria en mas de un punto, entonces habra otra curva de indiferencia de mayornivel de utilidad que tambien cortara a la recta presupuestaria, lo cual contradice la definicion demandapues no se estarıa maximizando en xi(p1, p2, R). La unica alternativa que queda es la de tangencia comose muestra en la Figura 21,

36


Figura 21: Maximizacion de Utilidad

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxR/p2

x2(p1, p2, R)

x1(p1, p2, R) R/p1

v

Note que, de la condicion de tangencia se debe cumplir que la pendiente de la recta presupuestaria(− p1

p2

)debe ser igual a la pendiente de la tangente de la curva de indiferencia en la demanda. Pero

dicha pendiente es simplemente la relacion marginal de sustitucion y, por lo tanto, se tiene que

RMS1,2(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)) = −p1p2

,

cuestion que ya sabıamos.

Ejemplo 3.7 Otra interpretacion de las condiciones de optimalidadDenotemos por x∗

1 = x1(p1, p2, R) y x∗2 = x2(p1, p2, R). Como estamos en el optimo, cualquier modi-

ficacion en dichas cantidades de consumo deberıa hacer disminuir el nivel de satisfaccion del individuo(las demandas maximizan utilidad, luego cualquier otra factible debe otorgar menos utilidad). De es-ta manera, si fuera que el consumo del bien 1 aumenta en una unidad, entonces la utilidad crecerıa∂u(x∗

1 ,x∗

2)∂x1

, pero, dado que existe una restriccion presupuestaria, el aumento anterior deberıa ser compen-sado por una disminucion en el consumo del bien 2. Digamos que tal disminucion es δ. Luego, en primerlugar, se debe cumplir que,

p1(x∗1 + 1) + p2(x

∗2 − δ) = R

de lo cual se tiene que δ = p1/p2. Ahora bien, en el punto factible (x∗1+1, x∗

2−δ) la utilidad del individuoes menor que en la demanda. Luego, el cambio neto en utilidad producto de las modificaciones anterioressera25,

∂u(x∗1, x

∗2)

∂x1− p1

p2· ∂u(x

∗1, x

∗2)

∂x2.

el cual necesariamente debe ser negativo, ya que si fuera positivo habrıamos encontrado otro punto conmayor utilidad. De anterior se tiene entonces que,

∂u(x∗1, x

∗2)

∂x1− p1

p2· ∂u(x

∗1, x

∗2)

∂x2≤ 0 ⇔

∂u(x∗

1,x∗

2)∂x1

∂u(x∗

1,x∗

2)∂x2

≤ p1p2

⇔ RMS1,2(x∗1, x

∗2) ≤ −p1

p2. (2)

25Recordemos que f(x1 + δ, x2 + ǫ)− f(x1, x2) ∼ δ∂f(x1,x2)

∂x1+ ǫ

∂f(x1,x2)∂x2

.

37


Si ahora disminuimos el consumo del bien 1 en una unidad, la utilidad cae en∂u(x∗

1 ,x∗

2)∂x1

. Para mantenerla restriccion presupuestaria, el bien 2 deberıa aumentar en (p1/p2) y con todo esto el cambio (positivo)

en utilidad serıa, p1

p2· ∂u(x∗

1,x∗

2)∂x2

. De esta manera, el cambio neto en utilidad serıa:

−∂u(x∗1, x

∗2)

∂x1+

p1p2

· ∂u(x∗1, x

∗2)

∂x2,

el cual debe ser positivo. Luego, se debe cumplir que,

− ∂u(x∗1, x

∗2)

∂x1+

p1p2

· ∂u(x∗1, x

∗2)

∂x2≤ 0 ⇔

∂u(x∗

1,x∗

2)∂x1

∂u(x∗

1,x∗

2)∂x2

≥ p1p2

⇔ RMS1,2(x∗1, x

∗2) ≥ −p1

p2. (3)

Mirando (2) y (3), se concluye que en el optimo se debe cumplir que, RMS1,2(x∗1, x

∗2) = − p1

p2,

condicion que ya tenıamos.

Ejemplo 3.8 Dada la funcion de utilidad u(x1, x2) = a ·x1+ b ·x2, y dados los precios p1, p2 y la rentaR, determinemos las demandas por bienes y la funcion de utilidad indirecta.

Para el caso, notemos que L = a · x1 + b ·x2 +λ · [R− p1x1 − p2x2] = [a− λp1]x1 + [b−λp2]x2 +λR.Si derivamos L c.r. a x1 y x2 quedara,

∂L

∂x1= [a− λp1];

∂L

∂x2= [b− λp2]

de lo cual se tiene que en el optimo se debe cumplir que, ab = p1

p2, ecuacion que no nos permite despejar

las demandas. Para determinar las demandas en este caso, procederemos por un analisis grafico. LaFigura 22 ilustra la situacion:

Figura 22: Maximizacion de Utilidad de Funcion Lineal

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

R/p2

R/p1

(1) : a′x1 + b′x2 = R

(2) : ax1 + bx2

Para determinar las demandas, se debe tener presente la relacion de las pendientes de la rectapresupuestaria y de las curvas de indiferencia. Una cuestion que esta clara a partir del analisis grafico esque la solucion del problema es extrema, en el sentido que las demandas son o solo del bien 1 o solo delbien 2 (salvo un caso extremo que veremos en seguida). Para curvas de indiferencia como las puntedas,la demanda sera x2 = R/p2 y x1 = 0; para la otra curva de indiferencia, la demanda sera x1 = R/p1 yx2 = 0. La respuesta depende, en definitiva, de las pendientes de la recta presupuestaria y de las curvasde indiferencia, como se ha mostrado en la figura anterior. En todo caso, la solucion es, en general,

38


extrema. El unico caso en que puede haber multiples soluciones es cuando las pendientes de ambasrectas coinciden: la solucion es entonces cualquier punto de la recta presupuestaria.

Ejemplo 3.9 Ejemplo importanteRecordemos que el problema del consumidor es

{max u(x1, x2)

s.ap1 · x1 + p2 · x2 = R.

Sea ahora f : R → R una funcion creciente estricta cualquiera. Como el objetivo es maximizaru(x1, x2) sujeto a la restriccion presupuestaria, claramente la solucion no cambiara si el problema esmaximizar f(u(x1, x2)) sujeto a la misma restriccion presupuestaria. La ventaja de lo anterior esta enhacer la correcta eleccion de f con el fin de simplificar el planteamiento del problema. Para fijar ideas,supongamos que deseamos determinar las demandas asociadas a la funcion de utilidad CES

u(x1, x2) = [c0 + c1xρ1 + c2x

ρ2]

1ρ .

En este caso, maximizar la utilidad anterior sujeta a restriccion presupuestaria es equivalente a maxi-mizar

uρ(x1, x2) = [c0 + c1xρ1 + c2x

ρ2]

con la misma restriccion. En este caso, f(x) = xρ. Mas aun, como la constante c0 no interviene en elresultado de la maximizacion, al maximizar

[c1xρ1 + c2x

ρ2]

se obtiene un resultado equivalente.Es claro que las transformaciones se justifican siempre y cuando el nuevo problema sea ma sencillo

de resolver que el original.

Ejemplo 3.10 Si la funcion de utilidad es concava sin lados rectos, sabemos que las curvas de indife-rencia seran convexas (sin lados rectos). Si este es el caso, la tangencia de las curvas de indiferencia conlas rectas presupuestarias se dara en un unico punto, el cual, como ya sabemos, define la demanda. Deesta manera, como dicha interseccion es unica, podemos concluir que la demanda esta bien definida yası, para cualquier par de precios p1 y p2 y para cada ingreso R, la demanda xi(p1, p2, R) esta unıvoca-mente definida y se puede determinar a partir de las condiciones necesarias de optimlidad del problema.Esta es otra justificacion para utilizar funciones de utilidad concavas. La siguiente figura ilustra curvasde indiferencia convexas y no convexas y las demandas que se tienen en ambos casos. Note que en elsegundo caso hay mas de una posibilidad para la demanda. El problema es entonces precisar cual de lassoluciones indicadas corresponde a la demanda. Problema serio, que, bajo supuestos de concavidad dela f.d.u. no tenemos afortundamente.

39


Figura 23: Curva de Indiferencia Convexa y No Convexa

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Demanda Unica Demanda Multiple

Curva de Indiferencia No ConvexaCurva de Indiferencia Convexa

Ejercicio 3.2 Suponga un individuo con la siguiente funcion de utilidad, U(x, y) = ln(xy4) que enfrentaprecios Px y Py, y posee un ingreso de I.

(a) ¿Cuales son las demandas marshallianas por x e y?

(b) Suponga que Py = 1 y I = 1000. Adicionalmente, el individuo posee la restriccion de x ≤ 30.Establezca las nuevas demandas marshallianas del individuo en cuestion. Entregue su resultadopara casos donde x < 30 y donde x = 30.

3.4. Analisis de sensibilidad

En lo que sigue, vamos a estudiar los impactos sobre la demanda y la utilidad indirecta ante variacio-nes en los precios y los ingresos. Esto es lo que tradicionalmente se conoce como analisis de sensibilidaddel problema considerado. Para el efecto, comencemos con un analisis intuitivo sobre el tema.

En primer lugar, sabemos que si uno de los precios sube (ceteris paribus), entonces el nuevoconjunto de restriccion presupuestario es mas pequeno que el original, por lo cual la nueva demandasera necesariamente tal que la utilidad indirecta obtenida es menor o igual (en general, menor estricta-mente) que en la original: esto es simplemente porque el nuevo set de posibilidades tiene menos opcionesdonde escoger que el original; luego la solucion resulta mas pobre que antes. Por lo tanto, sin mas analisishemos concluido que26,

∂v(p1, p2, R)

∂p1< 0 ,

∂v(p1, p2, R)

∂p2< 0. (4)

Por otro lado, si fuera que el ingreso aumenta (ceteris paribus), entonces el nuevo conjunto derestriccion presupuestario es mayor que el original. Luego, por el mismo razonamiento anterior, se tieneque la utilidad indirecta debe aumentar necesariamente pues en este nuevo escenario tenemos masopciones para escoger que en el anterior. En consecuencia, es directo que,

∂v(p1, p2, R)

∂R> 0. (5)

Con lo anterior solo hemos concluido sobre el impacto en la utilidad indirecta de cambios en losprecios y el ingreso. La pregunta obvia es que sucede con las demandas. La respuesta es algo mascompleja que lo anterior y se pueden dar multiples situaciones que pasamos a detallar.

26En forma analoga podemos deducir que si el precio disminuye, entonces el conjunto de restriccion presupuetario esmas grande que el original, por lo cual la utilidad indirecta aumenta. De todo esto, si el precio sube la utilidad indirectacae, si el precio cae, la utilidad indirecta aumenta; es decir, la derivada respectiva es negativa como se indica.

40


Analicemos en primer lugar los cambios de precios y supongamos que p1 aumenta, digamos a p′1. Enprimer lugar, sabemos que este cambio en precio puede afectar ambas demandas, pues tanto la demandadel bien 1 como del 2 dependen del precio p1. En segundo lugar, como sabemos, en esta circunstanciala utilidad indirecta disminuye, por lo cual necesariamente al menos una de las demandas debedismnuir ante este cambio de precios. En efecto, si fuera que ante una disminucion en el precio ambasdemandas aumentan, entonces no podrıa ser que la utilidad indirecta cayera respecto de su valor original.Es importante insistir que no necesariamente las dos demandas deben caer. Perfectamente puede sucederque un aumento en el precio p1 implique que la demanda del bien aumente. Esto motiva la siguientedefinicion.

Definicion 3.8 Diremos que un bien i = 1, 2 es de Giffen si un aumento en el precio pi implica unaumento en la demanda respectiva o, equivalentemente, si disminuciones en el precio implican disminu-ciones en la demanda.

En otras palabras, el bien i = 1, 2 es de Giffen si,

∂xi(p1, p2, R)

∂pi> 0.

Notemos que, de todas formas, lo usual es que,

∂xi(p1, p2, R)

∂pi< 0.

De la discusion anterior, es claro que si, por ejemplo, el bien 1 es de Giffen, entonces necesariamentese debe cumplir que,

∂x2(p1, p2, R)

∂p1< 0

pues de lo contrario, ante un aumento en el precio p1 ambos bienes aumentarıan la demanda, lo cualcontradice el hecho que la utilidad indirecta caiga.

La Figura 24 ilustra la definicion,

Figura 24: Bien Giffen

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxR/p2

b′′

b′

b

a′′ a′ a R/p1 R/p′1 R/p′′1

Notemos que, si el precio p1 disminuye (p1 > p′1 > p′′

1 ), la demanda respectiva del bien 1 tambiendisminuye (a > a′ > a

′′

), por lo cual, el bien 1 es de Giffen, es decir,

41


∂x1(p1, p2, R)

∂p1> 0.

Notemos finalmente que disminuciones en el precio p1 implican disminuciones en la demanda delbien dos:

p1 > p′1 > p′′

1 ⇒ b < b′ < b′′

.

Si dibujamos la demanda de un bien de Giffen en funcion del precio respectivo, se tiene que lapendiente de la curva es positiva, lo que obviamente es contrario a las situaciones usuales de demandade bienes. La Figura 25 ilustra la curva de demanda de un bien Giffen y de uno no Giffen.

Figura 25: Bien Giffen y No Giffen

x

x1

p1 p1No Giffen

x1

Giffen

Consideremos ahora variaciones en el ingreso. En primer lugar, ya sabemos que si el ingreso au-menta, la utilidad indirecta tambien lo hace. El problema, como antes, es determinar que sucede conlas demandas. En primer lugar, por lo antes indicado, si el ingreso aumenta necesariamente al menosuna de las demandas debe aumentar, pues si ambas disminuyen no podrıa ser que la utilidad indirectaaumente. El asunto es que no necesariamente ambas demandas aumentan ante subidas de ingreso. Estomotiva la siguiente definicion.

Definicion 3.9 Diremos que un bien i = 1, 2 normal si aumentos en el ingreso implican aumentos enla demanda. En caso contrario, es decir si aumentos en el ingreso implican disminuciones en la demandarespectiva, diremos que el bien es inferior.

De lo anterior, se tiene que el bien i = 1, 2 es normal si,

∂xi(p1, p2, R)

∂R> 0

y es inferior si,

∂xi(p1, p2, R)

∂R< 0.

La Figura 26 ilustra las definiciones anteriores.

42


Figura 26: Bien Normal y Bien Inferior

x2

Ambos bienes normales x1 1: Normal; 2: Inferior x1

x2

De lo anterior, sin ningun problema podemos dibujar una curva que represente solo las demandas delos bienes ante cambios en el ingreso. Esta curva de expansion recibe el nombre de Curva de Engel.

De la Figura 26 anterior, las respectivas curvas de Engel serıan (mas o menos) las siguientes:Note que si ambos bienes son normales, las curvas de Engel son crecientes. Por el contrario, si uno

de los bienes es inferior, la curva es decreciente.

Nota 3.1 ¿Como interpretar la curva de Engle? Recuerde que, por definicion, la curva de Engle nosentrega las demandas en diversos escenarios de ingreso. Un punto cualquiera de ella corresponde a lademanda de bienes que se tendrıa para algun valor de ingreso.

Finalmente, supongamos que los dos bienes son normales. Dada la curva de Engel, es perfectamenteposible que en la medida que el ingreso aumenta la demanda de uno de los bienes crece mas rapido quela demanda del otro. Esto se puede interpretar diciendo que cuando el ingreso aumenta, el individuoesta dispuesto a comprar mas de uno de ellos en relacion al otro. Graficamente, si por ejemplo la demandadel bien uno crece mas rapido que la del dos, entonces la curva de Engel tendera a ser mas plana, esdecir, con pendiente de tangente menor que uno en todo punto de la curva. Por el contrario, si fuera queante aumentos del ingreso la demanda del bien crece mas rapido que la demanda del bien uno, entoncesla curva de Engel sera mas empinada, es decir, con pendiente de tangente mayor que uno en todo punto.Graficamente la situacion serıa como sigue:

43


Figura 27: Bien de Lujo y Bien Necesario (1)

x2

x1

(2)

(1)

En la Figura 27, en la curva (1), la demanda del bien uno crece mas rapido que aquella del bien doscuando aumenta el ingreso; lo contrario en la curva (2).

Lo anterior motiva la siguiente definicion.

Definicion 3.10 Si ambos bienes son normales y en la medida que el ingreso aumenta se tiene que lademanda de uno de ellos crece mas que proporcionalmente que la del otro, diremos que dicho bien esun bien de lujo mientras que el otro se denomina bien necesario.

De todo lo anterior, se tiene que, por ejemplo, el bien uno es de lujo y el bien dos es necesario si secumple que:

∂x1(p1,p2,R)∂R

∂x2(p1,p2,R)∂R

> 1.

Ejemplo 3.11 Dada la f.d.u. u(x1, x2) = xα1 · xβ

2 , sabemos que

x1(p1, p2, R) =αR

p1(α+ β), x2(p1, p2, R) =

βR

p2(α+ β).

En este caso, ambos bienes no son de Giffen pues si el respectivo precio aumenta, la demandadisminuye:

∂x1(p1, p2, R)

∂p1= − αR

p21(α+ β)< 0;

∂x2(p1, p2, R)

∂p2= − βR

p22(α+ β)< 0.

Por otro lado, ambos bienes son normales pues aumentos del ingreso implican aumentos de la de-manda:

∂x1(p1, p2, R)

∂R=

α

p21(α+ β)> 0;

∂x2(p1, p2, R)

∂R=

β

p22(α+ β)> 0.

Para dibujar las curvas de Engel, notemos que

x1(p1, p2, R)

x2(p1, p2, R)=

αRp1(α+β)

βRp2(α+β)

=α

β.

44


Luego, x1(p1, p2, R) = αβ · x2(p1, p2, R), que es una recta en el plano x1 − x2. La pendiente de dicha

recta es αβ , que graficamente se ve en la Figura 28 es la siguiente:

x2

x1

(2)

(1)

Figura 28: Bien de Lujo y Bien Necesario (2)

En la Figura 28, para el caso (1) se tiene que α > β mientras que en el caso (2) se tiene que α < β.De esta manera, el bien uno sera de lujo y el dos necesario si α > β y contrario si α < β. Para ver estode otra forma, notemos que,

∂x1(p1,p2,R)∂R

∂x2(p1,p2,R)∂R

=

αp21(α+β)

βp22(α+β)

=α

β.

Luego, el bien uno es de lujo y el dos necesario siempre y cuando el cuociente anterior sea mayor queuno, es decir, cuando α > β, cuestion que ya sabıamos.

3.5. Conceptos relacionados y relaciones importantes

En lo que sigue, vamos a definir una serie de conceptos complementarios que seran de utilidad enlo que sigue. Estableceremos, ademas, algunas relaciones entre los mismos que seran muy importantesen el estudio del comportamiento de los agentes. Los resultados mas importante de la seccion seran laecuacion de Slutsky y el analisis del efecto sustitucion y el efecto ingreso.

Para comenzar algunas definiciones.

Definicion 3.11 Dado un nivel de utilidad u0 prefijado y dados los precios p1, p2, definimos la funcionde gasto como elmınimo ingreso necesario para garantizar el nivel de utilidad indicado. Dicha funcionse denotara por e(p1, p2, u0) y por definicion se obtiene de resolver el siguiente problema de optimizacion:

{mın p1x1 + p2x2

s.a u(x1, x2) = u0.

Al resolver el problema anterior, denotemos por hi(p1, p2, u0), i = 1, 2 su solucion. Dichos valoresreciben el nombre de funciones de demanda Hicksiana27.

27Note que este tipo de demanda es completamente distinta de las usuales xi(p1, p2, R): las demandas Hicksianasdependen de los precios y de un nivel de utilidad prefijado; las demandas usuales dependen de los precios y del ingreso.Usualmente en la literatura a las funciones xi(p1, p2, R) se les llama funciones de demanda Marshaliana.

45


De todo lo anterior, se tiene obviamente que,

e(p1, p2, u0) = p1 · h1(p1, p2, u0) + p2 · h2(p1, p2, u0).

Para determinar las demandas Hicksianas y con ello la funcion de gasto, debemos resolver el problemade optimizacion indicado. Para ello, el Lagrangeano es,

L = p1x1 + p2x2 + λ · [u0 − u(x1, x2)]

y luego las condiciones de optimalidad son:

a.- ∂L∂x1

= 0 ⇔ p1 − λ∂u(x1,x2)∂x1

= 0.

b.- ∂L∂x2

= 0 ⇔ p2 − λ∂u(x1,x2)∂x2

= 0.

c.- ∂L∂λ = 0 ⇔ u(x1, x2) = u0.

Combinando [a.−] con [b.−] para eliminar λ se tiene finalmente que las ecuaciones que nos permitenencontrar las demandas Hicksianas son,

i.-

RMS1,2(h1, h2) = −p1p2

⇔

(∂u(h1,h2)

∂x1

)

(∂u(h1,h2)

∂x2

) =p1p2

ii.-u(h1, h2) = u0.

La primera ecuacion es identica para las demandas Marshalianas y Hicksianas; la segunda ecuaciones completamente distinta: para las demandas Marshalianas es la restriccion presupuestaria, para lasdemandas Hicksianas es la del nivel de utilidad prefijado.

Ejemplo 3.12 Dada la funcion de utilidad CB u(x1, x2) = xα1 · xβ

2 , determinemos las funciones dedemanda Hicksiana y la funcion de gasto. Para ello, dado u0, el Lagrangeano es

L = p1x1 + p2x2 + λ · [u0 − xα1 · xβ

2 ].

Derivando c.r. a x1, x2 se tiene que,

p1 − λαxα−11 · xβ

2 = 0; p2 − λβxα1 · xβ−1

2 = 0 ⇔ p1p2

=αx2

βx1⇒ x2 =

βp1αp2

· x1.

Luego, reemplazando esta ultima relacion en la utilidad se tiene que,

xα1 · xβ

2 = u0 ⇔ xα1 ·(βp1αp2

· x1

)β

= u0

de lo cual se tiene finalmente que,

h1(p1, p2, u0) = u(1/(α+β))0

(αp2βp1

)β/(α+β)

.

Con esto, se tiene que,

h2(p1, p2, u0) = u(1/(α+β))0

(βp1αp2

)α/(α+β)

y ası,

e(p1, p2, u0) = p1 · u(1/(α+β))0

(αp2βp1

)β/(α+β)

+ p2 · u(1/(α+β))0

(βp1αp2

)α/(α+β)

46


Nota 3.2 ¿Como se interpretan los resultados anteriores? Dada la funcion de utilidad u(x1, x2) = xα1 ·xβ

2

y dados los precios p1, p2, para obtener un nivel de utilidad u0 un individuo deberıa disponer de uningreso igual a e(p1, p2, u0) anterior. En tal caso, sus demandas serıan h1(p1, p2, u0) y h2(p1, p2, u0),segun las expresiones del ejemplo.

En lo que sigue vamos a demostrar algunas propiedades basica y relaciones importantes entre losconceptos antes definidos. Esto se resume en la siguiente proposicion.

Proposicion 3.3 a.- La funcion de gasto es homogenea de grado uno en los precios, es decir,

e(tp1, tp2, u0) = t · e(p1, p2, u0), ∀t > 0.

b.- Para cada i = 1, 2

hi(p1, p2, u0) =∂e(p1, p2, u0)

∂pi.

Demostrando lo anterior, a modo de ejercicio,Demostracion.

a.- Por definicion, e(tp1, tp2, u0) viene de resolver el siguiente problema de optimizacion:

{mın (tp1)x1 + (tp2)x2

s.a u(x1, x2) = u0

problema es equivalente a resolver

{t ·mın p1x1 + p2x2

s.a u(x1, x2) = u0,

pues t es positivo. Luego, el gasto que se tiene con los precios tp1 y tp2 es igual al gasto que setiene con los precios p1 y p2, pero multiplicado por t, que es lo indicado.

b.- Derivando directamente la funcion de gasto c.r. a p1 y recordando que e(p1, p2, u0) = p1h1(p1, p2, u0)+p2h2(p1, p2, u0)

28, tenemos que:

∂e

∂p1= p1

∂h1

∂p1+ h1 + p2 ·

∂h2

∂p1= h1 +

[p1

∂h1

∂p1+ p2 ·

∂h2

∂p1

]

Ahora bien, sabemos que u(h1, h2) = u0 y luego, derivando c.r a p1 (aplicar regla de la cadena) setiene que29,

∂u

∂x1· ∂h1

∂p1+

∂u

∂x2· ∂h2

∂p1= 0. (6)

Ahora bien, de las condiciones de optimalidad, sabemos que,

(∂u∂x1

)

(∂u∂x2

) =p1p2

28En la medida de lo posible, omitiremos las variables de cada funcion para evitar notacion excesiva.29Recuerde que u0 es constante, luego su derivada c.r a p1 es cero.

47


y luego,

∂u

∂x1=

p1p2

· ∂u

∂x2

de lo cual, reemplzando en (6), se tiene que,

p1p2

· ∂u

∂x2· ∂h1

∂p1+

∂u

∂x2· ∂h2

∂p1= 0 ⇔ p1

p2· ∂h1

∂p1+

∂h2

∂p1= 0 ⇔ p1 ·

∂h1

∂p1+ p2 ·

∂h2

∂p1= 0.

Reemplazando esta ultima relacion en la derivada del gasto, se obtiene lo indicado pues el terminode la derecha vale cero. Analogo con la derivada respecto de p2.

Ejercicio 3.3 Dados los precios p1, p2 y la renta R entonces muestre que:

a.- e(p1, p2, v(p1, p2, R)) = R.

b.- v(p1, p2, e(p1, p2, u0)) = u0.

c.- xi(p1, p2, R) = hi(p1, p2, v(p1, p2, R)).

d.- hi(p1, p2, u0) = xi(p1, p2, e(p1, p2, u0)).

Ejercicio 3.4 Suponga la funcion de utilidad indirecta dada por, v(p1, p2, I) =I2

2p1p2. ¿Cuales son las

demandas Marshallianas? Luego, a traves de la funcion de gasto, e, encuentre las demandas Hicksianas?

3.6. Funciones de compensacion

Para fijar ideas, supongamos que inicialmente en la economıa hay precios (p1, p2) y que la rentade un cierto individuo es R. Por alguna razon30 los precios se ven modificados, digamos, cambiando a(q1, q2). En tal caso, es claro que de no mediar un cambio en la renta, el nivel de bienestar de nuestropersonaje se vera alterado por este cambio de precios. Inicialmente, su nivel de satisfaccion es v(p1, p2, R)y luego del cambio de precios sera v(q1, q2, R). En tal caso, de verse perjudicado31, una forma razonablede compensarlo serıa traves de aumentar su ingreso32. Si en algun sentido queremos ser justos, esteaumento de ingresos deberıa ser tal que el nivel de satisfaccion que obtenga con dicho ingreso a losnuevos precios sea el mismo que tenıa originalmente. Es decir, buscamos el menor valor de R∗ tal que,

v(q1, q2, R∗) = v(p1, p2, R),

lo que es equivalente a determinar la funcion de gastos a los precios q1, q2 y al nivel de utilidadu0 = v(p1, p2, R). Luego, de lo anterior, se tiene que,

R∗ = e(q1, q2, v(p1, p2, R)).

Este valor R∗ recibe un nombre y una denotacion especial: es la llamada funcion de compensaciondirecta y denota por,

µ(q1, q2, p1, p2, R) := e(q1, q2, v(p1, p2, R)).

Para ilustrar graficamente la definicion, supongamos que inicialmente los precios son p1, p2 y quela renta es R, con lo cual queda definida la recta presupuestaria (1) y la demanda (2) (ver Figura 29),ademas de un nivel de satisfaccion inicial u0. Si ahora el precio del bien uno aumenta (digamos, a q1 > p1con q2 = p2), si el ingreso no cambia, la nueva recta presupuestaria es (3), la nueva demanda es (4) y el

30Polıtica de gobierno, decisiones de la empresa, cambios tecnologicos, etc.31Por ejemplo, si alguno o ambos precios aumentan.32En forma analoga podemos imaginar la situacion contraria, es decir, bajas en los precios y y por ende bajas en los

ingresos para mantener nivel de satisfaccion constante.

48


nivel de utilidad es u1. Para compensar este aumento de precio, modificaremos el ingreso, digamos en(5), de tal forma que la nueva recta presupuestaria (6) sea tangente a la curva de indiferencia inicial,siendo el punto de tangencia (7), no necesariamente igual a (2). El aumento dado en (5) es precisamenteel valor de µ(q1, q2, p1, p2, R), en este caso con q2 = p2.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

u1: Nivel Nuevo

u0: Nivel Original

Figura 29: Funcion de Compensacion

Veamos el problema desde otra optica. Supongamos que los precios de los bienes son p1 y p2, y quenuestro agente observa que su vecino esta consumiendo una canasta (x∗

1, x∗2). Un problema simple serıa

determinar cual deberıa ser el ingreso necesario para que nuestro individuo consuma los mismos x∗1, x

∗2.

La respuesta obvia es R = p1x∗1 + p2x

∗2. Pero, imaginemos un problema algo mas interesante: nuestro

agente no necesariamente desea consumir lo de su vecino, sino mas bien lograr a traves del consumo debienes el mismo nivel de satisfaccion que lograrıa con x∗

1, x∗2, lo que se puede hacer consumiendo dicha

cantidad u otra: basta con que esta otra este en la curva de indiferencia al nivel u∗ = u(x∗1, x

∗2). El

problema es entonces determinar cual es el menor ingreso que hace posible que nuestro agente cumplasu “sueno”. La respuesta es directa: el menor ingreso es simplemente la funcion de gastos a los preciosp1, p2, dado el nivel de utilidad u∗ = u(x∗

1, x∗2). Este se representara como

m(p1, p2, x∗1, x

∗2) := e(p1, p2, u(x

∗1, x

∗2))

y se llamara funcion de compensacion directa.

Ejemplo 3.13 Supongamos que u(x1, x2) = xα1 · x1−α

2 y sea γ = αα · (1− α)1−α

. Entonces, por uncalculo simple se puede deducir que 33:

v(p1, p2, R) = γ · Rpα1 p1−α

2

e(p1, p2, u0) =1γ p

α1 p

1−α2 · u0

µ(q1, q2, p1, p2, R) = qα1 q1−α2 p−α

1 pα−12 ·R

m(p1, p2, x1, x2) =1γ · pα1 p1−α

2 xα1 x

1−α2 .

Ejercicio 3.5 Dados los precios iniciales p1, p2 y finales q1, q2 y dada la rentaR, definamos la variacionequivalente (V E) y la variacion compensatoria (V C) como,

V E(p, q, R) = e(p1, p2, v(q1, q2, R))− e(p1, p2, v(p1, p2, R)) = e(p1, p2, v(q1, q2, R))−R

V C(p, q, R) = e(q1, q2, v(q1, q2, R))− e(q1, q2, v(p1, p2, R)) = R− e(q1, q2, v(p1, p2, R)).

33La resolucion de los ejercicios queda como propuesto para el lector.

49


a.- Interprete las definiciones anteriores.

b.- Dada la funcion de utilidad u(x1, x2) = xα1 · xβ

2 , determine V E(p, q, R) y V C(p, q, R).

c.- ¿Bajo que condiciones seran iguales ambas variaciones?

d.- Muestre que,

v(p1, p2, R+ V E) = v(q1, q2, R), v(q1, q2, R− V C) = v(p1, p2, R).

3.7. Ecuacion de Slutzky: efecto sustitucion, efecto ingreso

Supongamos que inicialmente los precios son p1, p2 y que la renta de nuestro agente es R. Entonces,producto de un cambio en los precios (digamos, cambio de p1 a p′1 > p1) ocurren dos fenomenosque nos permitiran explicar el cambio en la demanda. En primer lugar, el cambio de precios implicaque el consumidor es ahora mas pobre pues no puede acceder a las mismas canastas originales y, ensegundo lugar, hay una modificacion en los terminos de sustitubilidad de bienes debido a que la razon deprecios ha sido alterada. El problema que surge, entonces, es determinar la magnitud de estos cambiosy ası determinar una descomposicion del cambio global de la demanda en los terminos indicados. Larelevancia de esta descomposicion esta en que habiendo hecha la descomposicion podremos identificarde mejor manera que efecto resulta mas relevante sobre el cambio en la demanda y con ello obtenerinformacion adicional sobre las preferencias de los individuos.

Para fijar ideas, realicemos en primer lugar un analisis grafico de la situacion planteada. La Figura 30nos ilustra al respecto:

Figura 30: Ecuacion de Slutzky

R/p2

R′/p2

R/p′1 R′/p1 R/p1

v1

v0

a

b

c

︸︷︷︸(2)

︸︷︷︸(1)

Con los precios p1, p2 y la renta R, el nivel de utilidad es v0 = v(p1, p2, R) y la demanda dada porel punto a de la figura. Dado el cambio de precio, el nuevo nivel de utilidad es v1 = v(p′1, p2, R) y larespectiva demanda es c. Ahora bien, para los precios originales, el nivel de renta requerido para obtenerutilidad v1 serıa e1 = e(p1, p2, v1), que corresponde a R

′ de la figura, con lo cual queda definida una nuevarecta presupuestaria, paralela a la original, pero por debajo de esta. Dada esta recta presupuestaria, lademanda serıa b. Con esto, el efecto ingreso quedara definido como el cambio en la demanda de pasarde a a b. Para el caso del bien 1, corresponde a (1) de la figura. Por otro lado, dado que los precios han

50


sido alterados, y dado que la demanda final resultante esta en c, se tiene entonces que el efecto preciocorresponde simplemente al cambio entre b y c de la figura, que para el caso del bien 1 esta dado por(2). Este valor es el efecto sustitucion que hemos mencionado. En resumen, el cambio en la demandadado el cambio en los precios es igual a la suma del efecto ingreso mas el efecto precio, que para el casodel bien 1 es la suma de (1) con (2).

Estimemos ahora los cambios anteriores.

[a.-] Efecto ingreso. Previo a estimar el efecto ingreso, necesitamos un resultado preliminar, conocidocomo identidad de Roy.

Lema 3.1 La funcion de utilidad indirecta y las funciones de demanda marshaliana verifican la siguien-te relacion:

[∂v(p1,p2,R)

∂pi

]

[∂v(p1,p2,R)

∂R

] = −xi(p1, p2, R) i = 1, 2.

Demostracion.En primer lugar, dadas las demandas x1(p1, p2, R) y x2(p1, p2, R) y dada la funcion de utilidad

indirecta v(p1, p2, R), sabemos que p1x1(p1, p2, R)+p2x2(p1, p2, R) = R. Luego, derivando directamentecon respecto a R se tiene que,

p1 ·∂x1(p1, p2, R)

∂R+ p2 ·

∂x2(p1, p2, R)

∂R= 1

mientras que al hacerlo c.r. a p1 se tiene que,

p1 ·∂x1(p1, p2, R)

∂p1+ x1(p1, p2, R) + p2 ·

∂x2(p1, p2, R)

∂p1= 0

de lo cual se tiene que, −x1(p1, p2, R) = p1 · ∂x1(p1,p2,R)∂p1

+ p2 · ∂x2(p1,p2,R)∂p1

.

Por otro lado, puesto que v(p1, p2, R) = u(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)), derivando directamente c.r. ap1 y R se tiene que, [

∂v∂p1

]

[∂v∂R

] =

∂u∂x1

· ∂x1

∂p1+ ∂u

∂x2· ∂x2

∂p1

∂u∂x1

· ∂x1

∂R + ∂u∂x2

· ∂x2

∂R

=

∂u∂x1∂u∂x2

· ∂x1

∂p1+ ∂x2

∂p1

∂u∂x1∂u∂x2

· ∂x1

∂R + ∂x2

∂R

.

Pero, por condicion de optimalidad,∂u∂x1∂u∂x2

= p1

p2y luego, reemplazando en lo anterior, se tiene que

[∂v∂p1

]

[∂v∂R

] =

p1

p2· ∂x1

∂p1+ ∂x2

∂p1

p1

p2· ∂x1

∂R + ∂x2

∂R

=p1 · ∂x1

∂p1+ p2

∂x2

∂p1

p1 · ∂x1

∂R + p2∂x2

∂R

.

Finalmente, de lo indicado inicialmente, haciendo los reemplazos correspondientes, se obtiene el resultadoindicado.

Utilizando lo anterior, hagamos la estimacion del efecto ingreso. Por definicion, sabemos que,

EI = xa1 − xb

1 = x1(p1, p2, R′)− x1(p1, p2, R) ≃ ∂x1(p1, p2, R)

∂R· (R′ −R).

Por otro lado, sabemos ademas que v(p1, p2, R′) = v(p′1, p2, R), es decir, v(p1, p2, R

′)− v(p′1, p2, R) =0. Aproximemos esta ultima expresion por las derivadas parciales:

v(p1, p2, R′)− v(p′1, p2, R) ≃ ∂v(p′1, p2, R)

∂R· (R′ −R) +

∂v(p′1, p2, R)

∂p1· (p1 − p′1) = 0.

51


Luego,

(R′ −R) ≃∂v(p′

1,p2,R)∂p1

∂v(p′

1,p2,R)∂R

· (p′1 − p1) = −x1(p′1, p1, R) · (p′1 − p1),

donde la ultima igualdad se tiene por Roy, y en consecuencia,

EI ≃ −∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p

′1, p1, R) · (p′1 − p1).

Finalmente, si p′1 es similar a p1, entonces podemos aproximar x1(p′1, p1, R) por x1(p1, p1, R), con lo

cual quedara

EI ≃ −∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p1, R) · (p′1 − p1).

Para estimar el efecto sustitucion, notemos que,

x1(p1, p2, R′) = h1(p1, p2, v(p1, p2, R

′)); x1(p′1, p2, R) = h1(p

′1, p2, v(p1, p2, R

′))

y luego el efecto sustitucion es:

ES = x1(p′1, p2, R)− x1(p1, p2, R

′) = h1(p′1, p2, v(p1, p2, R

′))− h1(p1, p2, v(p1, p2, R′))

que, aproximando por derivadas, implica que

ES ≃ ∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R′))

∂p1· (p′1 − p1)

.En consecuencia, en forma aproximada, hemos derivado la siguiente relacion que mide el cambio en

la demanda producto de un cambio en el precio:

x1(p′1, p2, R)− x1(p1, p2, R) ≃ −∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p1, R) · (p′1 − p1)

+∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R

′))

∂p1· (p′1 − p1)

de lo cual se tiene que,

x1(p′1, p2, R)− x1(p1, p2, R)

p′1 − p1≃ −∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p1, R) +

∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R′))

∂p1.

Aproximando el lado izquierdo por la respectiva derivada y aproximando R′ por R se tiene finalmenteque,

∂x1(p1, p2, R)

∂p1≃ ∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂p1− ∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p1, R),

relacion que es conocida como Ecuacion de Slutsky. Una demostracion mas formal y general de esteimportante resultado se tiene en el siguiente teorema.

Teorema 3.2 Para cada i, j = 1, 2 se tiene que:

∂xj(p1, p2, R)

∂pi=

∂hj(p1, p2, v(p1, p2, R)

∂pi− ∂xj(p1, p2, R)

∂R· xi(p1, p2, R).

52


Demostracion. En primer lugar, es claro que (ejercicio anterior)

hj(p1, p2, v(p1, p2, R)) = xj(p1, p2, R).

Luego, derivando la expresion anterior c.r. a pi y recordando que e(p1, p2, v(p1, p2, R)) = R se tiene que:

∂hj(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂pi=

∂xj(p1, p2, R)

∂pi+

∂xj(p1, p2, R)

∂R· ∂e(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂pi.

Pero, de la Proposicion (3.3) sabemos que,

∂e(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂pi= hi(p1, p2, v(p1, p2, R)) ≡ xi(p1, p2, R)

y luego, reemplazando en la expresion anterior y ordenando los terminos, se obtiene la conclusion indi-cada.

De todo lo anterior, podemos afirmar que el cambio en la demanda producto de un cambio en losprecios se puede explicar como la suma de dos variaciones: la primera, suponiendo que los precios nocambian y que el cambio en la demanda se debe solo a un efecto de cambio en la renta y la segunda,que el cambio en la demanda se debe a un cambio de precios relativos, manteniendo renta constante.

De la expresion general dada por el teorema, consideremos el caso particular cuando el precio p1aumenta y analicemos el efecto sobre la demanda del bien 1. En tal caso, ya sabemos que,

∂x1(p1, p2, R)

∂p1=

∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂p1− ∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p2, R),

de lo cual podemos extraer las siguientes conclusiones importantes:

a.- A priori, no es claro cual es el signo de cada uno de los efectos indicados: los efectos sustitucion eingreso pueder ser nagativos, positivos o de signos opuestos.

b.- Note que si el bien es Normal, entonces necesariamente el efecto ingreso debe ser negativo, puesla derivada respectiva es positiva. El efecto sustitucion no es claro que tenga signo positivo onegativo. Bajo este supuesto de inferioridad, para que el bien sea Giffen, una condicion suficientees que el efecto sustitucion sea, por ejemplo, negativo.

Ejercicio 3.6 Ya sabemos que h1(p1, p2, v(p1, p2, R)) = x1(p1, p2, R), por lo tanto,

∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))

∂p1=

∂x1(p1, p2, R)

∂p1.

Con lo anterior, de la ecuacion de Slustky, se tiene que,

∂x1(p1, p2, R)

∂p1=

∂x1(p1, p2, R)

∂p1− ∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p2, R),

y entonces,

∂x1(p1, p2, R)

∂R· x1(p1, p2, R) = 0.

Como la demanda no es cero, se concluye que, ∂x1(p1,p2,R)∂R = 0. En otras palabras, la ecuacion de Slutsky

nos permite concluir que la demanda no depende de la renta, lo que contradice todos los analisis hechosal respecto. Analice la afirmacion anterior, ¿es cierto o falso? Justifique.

Ejercicio 3.7 Dada la funcion de utilidad Cobb-Douglas homogenea de grado 1, u(x1, x2) = xα1 ·x1−α

2 ,se pide verificar la relacion de Slutsky, calculando todas las componentes respectivas y verificando laidentidad. Determinar ademas, los signos de cada efecto.

Realizar lo mismo cuando la funcion de utilidad es u(x1, x2) = xα1 · xβ

2 .

53


Ejercicio 3.8 Del Ejercicio 3.4, asuma que I = 100 y p1 = p2 = 1. Ademas, suponga que hay unaumento exogeno del precio del bien 1 en un 10% y que el gobierno pretende ayudar al individuo.Calcule el gasto que debera desembolsar34 el gobierno para (i) que el individuo vuelva a su nivel deutilidad original, y para (ii) que pueda adquirir lo que compraba originalmente.

4. Aplicaciones y complementos35

4.1. Demanda agregada

Supongamos que en la economıa hay n indiviudos, cada uno de los cuales tiene una funcion deutilidad uk(x1, x2), k = 1, 2, ..., n. Dados los precios p1, p2 de los bienes y dadas las rentas Rk de cadaagente, denotemos las respectivas demandas por el bien i = 1, 2 como,

xki (p1, p2, Rk).

En tal caso, la demanda agregada (o demanda de mercado) del bien i = 1, 2 se define como,

Xi(p1, p2, Rk) =

n∑

k=1

xki (p1, p2, Rk).

Dados los parametros, esta funcion es la que usualmente observamos en la practica.Supongamos entonces dada una curva de demanda de mercado para el bien 1 y que el precio del

mismo36 es p1. Suponiendo entonces que el precio del bien 2 esta fijo, hemos definido una funcionque asigna a cada precio p1 la cantidad que se demandarıa del respectivo bien. Se tiene entonces losiguiente:

a.- Si para cada individuo el bien 1 es usual, entonces la demanda agregada tiene pendiente negativay es de la siguiente forma:

Figura 31: Demanda Agregada

p1

x1

X1(p1)

Esta es la situacion que normalmente asumiremos en lo que sigue.

34La ayuda consiste, claramente, en aumentar el ingreso que le permita realizar alguna de las dos opciones.35Comentes y ejercicios matematicos para esta seccion se encuentran en las secciones 1.2 y 3.2, respectivamente, del

Compilado de Preguntas.36En lo que sigue, solo mostraremos las variables relevantes y no escribiremos todos los argumentos de las funciones.

54


b.- Supongamos ahora que esta definida una curva de oferta 37 por el bien 1, la que, por definicion,nos entrega la cantidad del mismo que se producirıa en funcion del precio p1. Representemos estacurva por O1(p1) y supongamos que a mayor precio, mayor es la oferta, es decir, supongamos queel grafo de la curva de oferta es creciente en el precio (al contrario de la demanda). Una figurarepresentativa es como sigue:

Figura 32: Oferta Agregada

p1

x1

O1(p1)

Ahora bien, dadas la curvas de oferta y demanda, diremos que un precio p∗1 es de equilibrio delmercado del bien 1 si38:

X1(p∗1) = O1(p

∗1).

En otras palabras, el precio de equilibrio del mercado del bien 1 (de existir) es aquel para el cuallas curvas de oferta y demanda de mercado del bien 1 se igualan. Dado este precio de equilibrio,quedan obviamente definidas cantidades de demanda de equilibrioX1(p

∗1), las que a su vez permiten

determinar las demandas individuales de cada agente de la economıa. Como hemos supuesto, elprecio del bien 2 esta fijo, digamos p2, las demandas de cada individuo por el bien 1 correspondensimplemente a:

xk(p∗1, p2, Rk), k = 1, ..., n.

c.- Dado un precio p1, definamos la funcion exceso de demanda del mercado del bien 1 como:

Z1(p1) = X1(p1)−O1(p1).

Notemos entonces que,

c.1. En el precio de equilibrio p∗1 se tiene que Z1(p∗1) = 0.

37Esta curva proviene en rigor de las decisiones de las firmas para producir el bien en funcion de los precios del mismo. Enlo que sigue, asumiremos que esta curva es conocida. Un detalle sobre el tema se vera en el proximo curso de microeconomıa.

38En rigor, como estamos suponiendo que el precio del bien 2 esta fijo, el analisis que sigue corresponde a uno deequilibrio parcial, pues solo estamos mirando lo que sucede en el mercado del bien 1 e ignoramos el mercado del bien 2.

55


c.2. Si para un precio p1 se tiene que Z1(p1) > 0 entonces estamos en una situacion dondeX1(p1) − O1(p1) > 0, es decir, X1(p1) > O1(p1): la demanda es mayor que la oferta, por locual se dice que al precio p1 hay un exceso de demanda en el mercado.

c.3. Si para un precio p1 se tiene que Z1(p1) < 0 entonces estamos en una situacion dondeX1(p1) − O1(p1) < 0, es decir, X1(p1) < O1(p1): la demanda es menor que la oferta, por locual se dice que al precio p1 hay un exceso de oferta en el mercado.

Graficamente la situacion anterior queda como sigue:

Figura 33: Demanda y Oferta Agregada

p1

c

b

a

DCOA DA OC x1

X1(p1)

O1(p1)

De la figura, el precio de equilibrio es p∗1 = b. Si p1 = a hay exceso de demanda (DA > 0A); si elprecio es p1 = c hay exceso de oferta (OC > DC). Solo en p1 = b ambas se igualan39.

4.2. El excedente del consumidor

En lo que sigue, trabajaremos en el mercado de un unico bien y supongamos que para un ciertoindividuo su curva de demanda es X(p). Sea entonces p1 tal que X(p1) = 1 y sea p2 tal que X(p2) = 2.Bajo el supuesto general y usual que la demanda es decreciente, entonces claramente p1 > p2.

Supongamos ahora que por alguna razon, el precio de equilibrio es p∗ = p2, entonces nuestro personajeharıa de comprar dos unidades del bien y pagar p2 por cada una de ellas, tanto por la primera comopor la segunda unidad. Por otro lado, si fuera que el precio de equilibrio hubiese sido p∗ = p1, nuestroagente solo habıa comprado una unidad del bien. Por lo tanto, debido a que el precio de equilibrio esp∗ = p2, ocurren dos cosas obvias. En primer lugar, nuestro personaje compra mas unidades que si elprecio fuera mayor y, en segundo lugar, por la primera unidad paga p2 y por la segunda unidad tambienpaga p2. Sin pronunciarnos sobre si comprar mas es mejor o no, hay claramente una situacion favorablea nuestro personaje cuando el precio es p2 y no p1: por una unidad que antes estaba dispuestoa pagar p1 > p2 ahora solo paga p2. Luego, podemos imaginar que si el precio de equilibrio es p2,nuestro individuo obtiene un beneficio no pecuniario40 de (p1 − p2) · 1: beneficio de pagar p2 por unaunidad que antes estaba dispuesto a pagar p1. Graficamente la situacion es como sigue:

39Se insiste que el analisis anterior es solo de equilibrio parcial pues hemos ignorado lo que sucede en el mercado delbien 2.

40No es pecuniario simplemente porque no ve aumentado su ingreso producto de la transaccion.

56


Figura 34: Excedente del Consumidor (1)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

p1

p2

y1 y2

X(p)

Beneficio

Supongamos ahora una situacion mas general, donde el precio de equilibrio es p∗ cualquiera. Por loindicado anteriormente, dada la cantidad de equilibrio q∗ = X(p∗), nuestro personaje paga el mismoprecio por cada unidad comprada al precio p∗, habiendo estado dispuesto a pagar mas que eso por cadaunidad q < q∗. Suponiendo que los bienes son discretos (es decir, se venden de uno en uno), el beneficioneto resultante queda representado en la Figura 35:



xxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx

xx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

p1

p2

p3

pk

p∗

q1 q2 q3 k q∗

X(p)

Beneficio

Es decir:

57


Beneficio = (p1 − p∗) · 1 + (p2 − p∗) · 1 + ...+ (pk − p∗) · 1 + ...+ (pq∗−1 − p∗) · 1.

Mas aun, si consideramos que existe perfecta divisibilidad de los bienes, entonces este beneficio nopecuniario corresponde simplemente al area marcada en la Figura 36:



xxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx

xx

xxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx

xxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxp∗

q∗ = X(p∗)

X(p)

Definicion 4.1 El excedente de los consumidores (EC) en un precio de mercado p∗ se se definecomo el area indicada en la figura anterior, es decir,

EC(p∗) =

∞∫

p∗

X(p) dp.

Precisamente, a traves de este concepto recuperamos la idea intuitiva de beneficio que habıamosdesarrollado.

Respecto del concepto, notemos lo siguiente:

a.- El Excedente del Consumidor depende obviamente del precio donde se evalua y de la funcion dedemanda considerada. De esta manera, podemos hablar de excedente del consumidor total (si setrata de demanda agregada) o de excedente individual (si se trata de demanda individual). Laforma de calcular es la misma.

b.- El EC no es un beneficio pecuniario. Se debe entender como una medida de bienestar.

c.- El EC proviene de las diferencias entre lo cobrado por los bienes y la dispocision a pagar quetienen los individuos.

d.- Si las firmas pudieran discriminar a los consumidores, cobrando por ejemplo precios diferenciadospor individuo o grupo de ellos, entonces el EC disminuirıa en relacion a un cobro uniforme.

Si las demandas son usuales (decrecientes en el precio), entonces un aumento del precio de mercado(digamos, de p∗ a p) implica una reduccion del excedente del consumidor, tal como como se muestra enla Figura 37:

58


Figura 37: Excedente del Consumidor y Perdida de Eficiencia

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx

xx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

p

p∗

q q∗

X(p)BA

De hecho, notemos que,

∆EC = A+B

donde,

a.- La cantidad A representa la perdida social debido al hecho que los bienes que antes se comprabana precio p∗ se transan ahora a un precio mas alto p.

b.- La cantidad B representa la perdida social debido a la reduccion en el consumo: antes se comprabaq∗ y ahora solo q < q∗.

Ejemplo 4.1 Suponga que la firma “El hilo de oro” fabrica pantuflas y calcetines y suponga ademasque la demanda por pantuflas que tiene un individuo es xpant(p) = 4− p mientras que su demanda porcalcetines es xcalc(p) = 6 − p

2 . El precio inicial de las pantuflas cobrado por El hilo de oro es ppant = 2mientras que el de los calcetines es pcalc = 4. Suponga que por razones de fuerza mayor la firma hadebido aumentar el precio de las pantuflas a 3. Como el cliente es fiel, para compensarlo por este aumentode precio la firma ha decidido bajar el precio de los calcetines. ¿Cuanto cree Ud. que ha de cobrar porlos calcetines para que nuestro personaje no se sienta perjudicado por el alza en las pantuflas? Analiceutilizando variaciones de excedente del consumidor.

Respuesta. A partir del enunciado, cuando los precios son ppant = 2 y pcalc = 4, el excedenteneto respectivo es ENCpant = 1/2 · 2 · 2 = 2 (area del triangulo 1 de la figura). Para los calcetines,ENCcalc = 1/2 · 2 · 4 = 4 (area del triangulo 2 de la figura). Por lo tanto, el excedente neto total es 6.Cuando el precio de las pantuflas sube a 3, el nuevo excedente neto es ENCpant = 1/2 · 1 · 1 = 1/2 yel problema es encontrar el precio de los calcetines de modo que la suma de los nuevos excedentes sea6. Supongamos que el precio buscado de los calcetines es p. Entonces, la demanda correspondiente esx = 2 · (6 − p) (esto viene de resolver la ecuacion x = 6 − p

2 ). Por lo tanto, el excedentes neto buscado

es ENCcalc = 1/2 · (6− p) · 2(6− p) = (6− p)2(ver triangulo 3 de la figura). Por lo tanto la condicion

es 1/2 + (6 − p)2= 6, es decir, p = 6−√

5,5 = 3,6547.

59


46 6

p_

24

2

4-p 6 - p/2 6-p/2

4 x_

(1) (2) (3)

Ejemplo 4.2 Muestre que,

∂EC(p∗)

∂p= X(p∗).

Respuesta. En primer lugar, note que dado un aumento en el precio de p∗ a p, el cambio (disminucion)del excedente esta dado por:

∆EC =

p∫

p∗

X(p)dp.

Por lo tanto, utilizando el Teorema del Valor medio para integrales, se tiene que existe un preciop ∈ [p∗, p] tal que:

∆EC = (p− p∗) ·X(p)

de lo cual se obtiene que,

∆EC

(p− p∗)= X(p).

De esta manera, tomando lımite cuando p → p∗ (lo cual implica que p → p∗) se concluye que,

∂EC(p∗)

∂p= X(p∗),

es decir, la variacion marginal del excedente del consumidor ante cambios en el preciocorresponde simplemente la demanda en el punto inicial, que es lo indicado.

4.3. Modelo de consumo intertemporal

La idea de este modelo es considerar que el individuo puede mover recursos en el tiempo, esto conel fin de garantizar mejores trayectorias de consumo segun sus objetivos individuales.

Una trayectoria de consumo (u otra variable economica) es simplemente el valor de dicha variableen el tiempo.

Al introducir la temporalidad en las decisiones de los agentes, se debe considerar la posibilidad deque los recursos sean movidos en el tiempo. Basicamente, hay dos formas de traspasar recursos en eltiempo: una es por medio de mercados financieros, segun el cual se pueden (i) mover recursos del pre-sente al futuro (ahorro) o (ii) del futuro al presente (deuda). Otra forma de proceder es vıa inversionesen sectores productivos. La idea es que parte de los recursos actuales no se consuman en el periodo encuestion, sino que se dejen para que a traves de un proceso productivo que se efectua en un periodoposterior rindan beneficios que son aprovechados en dicho periodo (u otro subsiguiente).

Si existe la posibilidad de ahorrar o endeudarse, se dice que hay un mercado financiero; si existela posibilidad de invertir en un proceso productivo, se dice que existe la posibilidad de inversion en

60


un sector productivo. Obviamente, se pueden dar ambas formas de traspasar recursos, o bien solouna de ellas, o bien ninguna.

Para fijar ideas, en lo que sigue supondremos que hay solo dos perıodos de tiempo a considerar, asaber, el presente (t = 0) y el futuro (t = 1). Un modelo con mas periodos de tiempo, no necesaria-mente representa una modelacion mas general de lo que aquı se exponga.

En este modelo se asume que el individuo decide traspasar recursos en el tiempo solo con el fin demodificar sus consumos en cada instante, obviamente tratando de maximizar su funcion de utilidad quedepende de la trayectoria (presente - futuro) de sus consumos.

Para fijar ideas, denotemos el consumo presente por C0 y el consumo futuro por C1. Supongamosademas que el individuo posee ingresos en cada instante, dados por Y0 e Y1 respectivamente. Estosingresos pueden provenir de su trabajo, de lo que renta(n) su(s) empresa(s), etc.

Todo el ingreso disponible en cada perıodo lo destina al consumo. En el periodo cero, el ingreso dis-ponible es el neto que tiene despues de ahorrar (o endeudarse) y de invertir en algun proceso productivo.Si denotamos por S el nivel de ahorro (deuda), y por I el nivel de inversion, entonces en el periodo cerosu ingreso disponible esta dado por,

Y0 − S − I.

El ahorro (deuda) anterior implica un retorno (pago) en el perıodo siguiente dado por,

S · (1 + r),

donde r > 0 es una tasa de interes que fija el mercado financiero. De hecho, la tasa de interes anteriores solo un precio de un activo en distintos momentos. Por otro lado, note que si, optimamente, se tieneque S > 0, entonces el individuo ahorro en el perıodo cero para luego recibir el pago en el periodo uno;caso contrario, si optimamente se tiene que S < 0, significa que el individuo se endeudo en el periodocero, para luego pagar la deuda en el perıodo uno.

Por otro lado, asumamos que si el individuo decide invertir I ≥ 0 en el presente, entonces en el futurotendra recursos iguales a f(I), donde f(·) es una funcion de produccion de la inversion. Con todo loanterior, dado S e I, el ingreso neto en el periodo uno sera,

Y1 + (1 + r) · S + f(I).

Si el precio del consumo en perıodo cero (uno) es p0 (p1), entonces la restriccion financiera en cadaperıodo es:

p0 · C0 = Y0 − S − I, p1 · C1 = Y1 + (1 + r) · S + f(I).

Con todo lo anterior, el problema del invidividuo, consiste en maximizar una funcion de utilidadque depende de la trayectoria de consumo, sujeto a las restricciones ya menciondas. Si denotamos porU(C0, C1) dicha funcion de utilidad, el problema es,

max{S,I}

U(C0, C1)

s.a p0 · C0 = Y0 − S − I (7)

p1 · C1 = Y1 + (1 + r) · S + f(I)

Notemos que las variables de optimizacion son S e I, pues la eleccion optima de estas implica conocerla trayectoria de consumo optima.

Como casos particulares del problema (7) se tiene aquel donde (i) no existen posibilidades de inversionpero sı mercados financieros, aquel donde (ii) no hay mercados financieros pero sı posibilidades de

61


inversion y aquel (iii) donde no hay ni posibilidades de inversion ni mercados financieros. El caso (i)corresponde a,

max{S}

U(C0, C1)

s.a p0 · C0 = Y0 − S, (8)

p1 · C1 = Y1 + (1 + r) · S

mientras que el caso (ii) al problema,

max{I}

U(C0, C1)

s.a p0 · C0 = Y0 − I (9)

p1 · C1 = Y1 + f(I)

Finalmente, en el caso (iii), la solucion es directa, pues al no haber forma de traspasar recursos enel tiempo, la solucion optima por el lado del consumo satisface que

pt · Ct = Yt ⇒ C∗t =

Yt

pt, t = 0, 1.

En los problemas (7) y (8) se entiende que si el valor optimo de S es positivo, entonces el individuoahorra, caso contrario se endeuda. Notemos que en este modelo estamos asumiendo que la tasa deinteres por deuda es igual a la tasa de interes por ahorro, cosa que no necesariamente es cierta en lapractica.

Consideremos ahora la version mas general del modelo (7). A partir de esta formulacion, se tieneque,

C0 =Y0 − S − I

p0, C1 =

Y1 + (1 + r) · S + f(I)

p1.

Luego, reemplazando lo anterior en la funcion de utilidad, se tiene que el problema (7) se puedereescribir como,

max{S,I}

U

(Y0 − S − I

p0,Y1 + (1 + r) · S + f(I)

p1

),

es decir, como un problema irrestricto. Derivando c.r. a cada variable e igualando a cero se tiene que:

∂U

∂S= 0 ⇔ ∂U

∂C0· −1

p0+

∂U

∂C1· 1 + r

p1= 0 ⇒

∂U∂C0

∂U∂C1

· p1p0

= 1 + r.

∂U

∂I= 0 ⇔ ∂U

∂C0· −1

p0+

∂U

∂C1· f

′(I)

p1= 0 ⇒

∂U∂C0

∂U∂C1

· p1p0

= f ′(I).

Por lo tanto, de las condiciones anteriores, se tiene que para I∗ optimo se satisface que,

f ′(I∗) = 1 + r,

es decir, que el nivel optimo de inversion depende solo de la tasa de interes y de la funcion de produccion,no dependiendo de la funcion de utilidad del individuo. Este resultado es conocido como elTeorema de Separacion de Fisher-Hirshleifer.

Notemos que el Teorema de separacion anterior solo es valido, en el modelo anterior, si existen merca-dos financieros, ya que de lo contrario las inversiones podrıan depender de las preferencias individuales.

62


En efecto, si solo existen posibilidades de inversion, sin mercados financieros, el problema del individuoes (9), que reescrito corresponde a,

max{S,I}

U

(Y0 − I

p0,Y1 + f(I)

p1

).

A partir de este, las condiciones de optimalidad implican que,

∂U

∂I= 0 ⇔ ∂U

∂C0· −1

p0+

∂U

∂C1· f

′(I)

p1= 0 ⇒

∂U∂C0

∂U∂C1

· p1p0

= f ′(I),

con lo cual, la inversion optima ahora depende de las preferencias individuales.

En presencia de mercados financieros, el proyecto de invertir consiste en uno donde en t = 0 el flujoes −I, mientras que en el periodo uno el flujo es f(I). Luego, el VAN de este proyecto es,

V AN(I) = −I +f(I)

1 + r.

Se utiliza la tasa de interes r como factor de descuento ya que este es el precio del capital en elperiodo correspondiente. Luego, al maximizar el V AN(I) c.r. a I se tiene que:

∂V AN(I)

∂I= 0 ⇔ −1 +

f ′(I)

1 + r= 0 ⇔ f ′(I) = 1 + r.

Por lo tanto, la condicion obtenida es simplemente una que refleja la maximizacion del V AN delproyecto de inversion.

Respecto de la funcion de utilidad, existen diversas formas de modelar las preferencias de un individuoen las circunstancias menciondas. La forma mas utilizada consiste en suponer que dicha funcion esseparable en el tiempo, de forma tal que existen funciones u0 y u1 tales que,

U(C0, C1) = u0(C0) + u1(C1).

De hecho, como caso particular de lo anterior, frecuentemente se asume una forma particular paralas funciones u0 y u1, de forma tal que u1(C1) = β ·u0(C1), es decir, que el individuo valora el futuro dela misma forma que valora el presente, salvo por una constante β que corresponde a la tasa de descuentointertemporal de este personaje. En lo que sigue, asumiremos que,

U(C0, C1) = u(C0) + β · u(C1)

donde 0 < β < 1 es la tasa de decuento ya menciodada, mientras que u(·) es una funcion de utilidadinstantanea de este individuo.

Normalmente, se tiene que u(C) = Cα, o bien u(C) = ln(C).

En el esquema anterior, β ∈ (0, 1) representa el nivel de impaciencia del individuo: mientras mascercano a uno, mayor es su valoracion por el futuro respecto del presente, es decir, es menos impaciente(o bien, mas paciente); caso contrario (mas impaciente) si β es cercano a cero. Por ultimo, notar que βno tiene nada que ver con r: β es una tasa de descuento intertemporal que mide impaciencia, en cambior es un precio, que fija valor de los activos puestos en distintos instantes del tiempo.

Ejemplo 4.3 Suponga queU(C0, C1) = ln(C0) + β · ln(C1).

Suponga ademas que p0 = p1 = 1 y que los ingresos son Y0, Y1 dados. Suponiendo que el individuotiene solo posibilidades de ahorro-deuda, determine el nivel optimo de esta. En el optimo, ¿el individuose endeuda o ahorra? Suponga tasa de interes, r > 0.Respuesta. En este caso, el problema del individuo es,

max{S}

ln(Y0 − S) + β · ln(Y1 + (1 + r) · S).

63


De las condiciones de optimalidad se tiene que,

−1

Y0 − S+

β · (1 + r)

Y1 + (1 + r)S= 0 ⇒ S∗ =

β · (1 + r) · Y0 − Y1

(1 + r) · (1 + β).

Por lo tanto, el individuo ahorra siempre y cuando S∗ ≥ 0, es decir, cuando,

β · (1 + r) · Y0 − Y1 > 0.

Caso contrario, el individuo se endeuda. Notemos ademas que si β aumenta (es decir, el individuoes mas impaciente), entonces el efecto sobre S∗ se obtiene de la derivada

∂S∗

∂β=

(1 + r)Y0 + Y1

(1 + r) · (1 + β)2 > 0.

Por lo tanto, un aumento en β implica un aumento en S∗, lo que parece completamente razonablepues, al valorar mas el futuro, el nivel de ahorro aumenta (caso en que S∗ sea positivo) o bien el nivelde deuda disminuye (caso en S∗ sea negativo). �

Ejemplo 4.4 ¿Como cambia el analisis anterior si adicionalmente existen posibilidades de inversiondadas por la funcion,

f(I) =√I?

Analice ademas el efecto sobre el consumo presente que tiene esta nueva posibilidad.Respuesta. En este caso, el nivel optimo de la inversion es tal que,

f ′(I) = 1 + r ⇒ 1

2√I= 1 + r ⇒ I =

1

4(1 + r)2.

Por lo tanto, el nuevo escenario es como el anterior, salvo que ahora el ingreso Y0 del problema anteriores Y0 = Y0 − I = Y0 − 1

4(1+r)2, mientras aquel para el periodo uno es Y1 = Y1 + f(I) = Y1 +

12(1+r) . Por

lo tanto, el nivel optimo de ahorro (o deuda) es,

S =β · (1 + r) · Y0 − Y1

(1 + r) · (1 + β)=

β · (1 + r) ·(Y0 − 1

4(1+r)2

)−(Y1 +

12(1+r)

)

(1 + r) · (1 + β)= S∗ − β + 2

4(1 + r)2(1 + β)

.

En principio, puesto que el nuevo valor de ahorro (o deuda) es menor que aquel que se tenıa en

el problema sin posibilidades de inversion (S < S∗), entonces el individuo consumirıa mas en periodopresente que en el futuro. Sin embargo, este analisis no es completo, ya que para analizar el efecto ensu totalidad, se debe restar el valor de la inversion y ver ası, en definitiva, si el ingreso neto del periodocero es mayor ahora que antes. Se deja propuesto seguir con el problema. �

Ejemplo 4.5 Supongamos que un individuo representativo consume en dos perıodos, el 1 y el 2. Sidenotamos por c1 y c2 los montos de consumo respectivo, la utilidad que obtiene nuestro agente esu(c1, c2) = c21 + β · c22, donde β es un parametro conocido. Supongamos ademas que inicialmente dichoindividuo dispone de una riqueza r0, la cual debe distribuir para el consumo actual o ahorrar paraconsumo futuro. Si por ejemplo en el primer perıodo decide gastar r pesos, el consumo correspondientees c1 = αr, donde α es un factor de proporcionalidad conocido, identico para ambos perıodos. El dineroahorrado se reajusta para el proximo perıodo a una tasa de interes de i%.

a.- Plantee el problema de maximizacion de utilidad del consumidor considerando que las variablesde decision del individuo son el consumo actual y el consumo futuro (c1 y c2).

Respuesta. En este problema, sea r el gasto del individuo en el primer perıodo, entonces c1 = α.El ahorro que el queda es (r0 − r) y por lo tanto el consumo en el segundo perıodo es c2 = α(r0 −

64


r)(1+i), es decir, c2 = α·r0(1+i)−α·r(1+i). Como c1 = αr se tiene que (1+i)c1+c2 = α·r0(1+i).Luego el problema del individuo es,

max{c1,c2}

c21 + βc22

s.a (1 + i)c1 + c2 = αr0(1 + i).

b.- Resuelva el problema anterior encontrando los consumos optimos para cada perıodo.

Respuesta. Imponiendo las condiciones de optimalidad se tiene que,2c1β2c2

= 1+i1 , es decir, c1 = β(1 + i)c2. Reemplazando en la restriccion presupuestaria se tiene que

β(1 + i)2c2 + c2 = αr0(1 + i). Luego, c2 = αr0(1+i)

(1+β(1+i)2). Por lo tanto, c1 = βαr0(1+i)2

(1+β(1+i)2).

c.- Concluya a partir de lo anterior que el individuo no gastara todo el dinero r0 en el primer perıodo.¿Que ocurre con el gasto del primer perıodo cuando β aumenta? Justifique calculando la derivadadel gasto en el primer perıodo c.r. a β.

Respuesta.Recordemos que c1 = α · r, donde r es el dinero gastado en el primer perıodo. Por lotanto, el dinero que gasta en 1 es r = c1/α, donde c1 ya se ha calculado. De esta manera, el dinero

que se gasta es r1 = β(1+i)2

(1+β(1+i)2)· r0. Claramente, esto es menor que r0 pues el factor es menor que

uno.

Finalmente, calculemos la derivada del gasto del primer periodo c/r a β. Para simplificar la no-

tacion, definamos a := (1 + i)2. Luego, ∂r1

∂β = r0 · (1+aβ)a−aβ(a)

(1+aβ)2= r0 · a

(1+aβ)2> 0. Luego si β,

aumenta sube el consumo en el primer perıodo.

Ejemplo 4.6 La empresa forestal Buenas PerasINC tiene una plantacion de 100 hectareas de PinoRadiata, donde por cada hectarea hay 400 arboles. Inicialmente (Perıodo 1) cada arbol entrega M1

kilogramos de madera mientras que en el perıodo siguiente (Perıodo 2) la cantidad de madera queentrega cada arbol es M2 > M1 (es mayor porque cada planta esta mas madura). Supongamos que elprecio de la madera es constante entre los dos perıodos e igual a p > 0. Denotemos por q1 la cantidad dearboles que la empresa decide cortar en el primer perıodo y supongamos que la utilidad de la empresadepende del ingreso que obtiene por la venta de la madera. Sean I1 e I2 los ingresos en los perıodos 1 y2 respectivamente y sea U(I1, I2) la funcion de utilidad de Buenas PerasINC.

a.- A partir de las definiciones anteriores, muestre que,

M2 · I1 +M1 · I2 = 40,000 ·M1 ·M2 · p

Con esto, plantee el problema de maximizacion de utilidad de la firma.

Respuesta. Sea q1 la cantidad de arboles que corta en el perıodo 1. Por lo tanto el ingreso obtenidoen dicho perıodo es I1 = q1 · M1 · p (∗). Para el perıodo 2 solo puede cortar q2 = (40,000 − q1)arboles, por lo cual su ingreso es I2 = (40,000− q1) ·M2 · p. Despejando q1 en funcion de I1 de (∗)y reemplazando en la relacion anterior se tiene que I2 = (40,000 − I1

M1p) ·M2 · p. Ordenando los

terminos llegamos a la expresion solicitada. De esta manera el problema de Buenas PerasINC es,

{max U(I1, I2)

s.a M2 · I1 +M1 · I2 = 40,000 ·M1 ·M2 · p.

b.- Suponiendo que la funcion de utilidad de Buenas PerasINC es

U(I1, I2) = Iα1 · Iα2 ,

65


muestre que la cantidad de arboles que la empresa corta en el primer perıodo es igual a aquellaque corta en el segundo perıodo.

Respuesta. Las condiciones de optimalidad del problema son,

• αα · Iα−1

1 Iα2

Iα1 Iα−1

2

= I2I1

= M2

M1,

• M2 · I1 +M1 · I2 = 40000 ·M1 ·M2 · p.Resolviendo el sistema queda I1 = 40000·M1·p

2 . Como I1 = q1 ·M1 · p se tiene que q1 = 40,0002 que

es lo solicitado.

Ejemplo 4.7 En lo que sigue, desarrollaremos un modelo simple de consumo en varios periodos. Supon-gamos entonces que nuestro individuo vive N periodos y que el consumo en cada instante t = 0, 1, 2, ...es ct y sea It su trayectoria de ingresos. La tasa de interes entre el periodo t y el t+ 1 es rt. La funcionde utilidad intertemporal es U(·) y la tasa de descuento intertemporal es 0 < β < 1. Denotando por At

el ahorro en el periodo t, se tiene entonces el siguiente problema de maximizacion para el individuo:

maxN∑t=0

βt · U(ct)

s.a ct +At = It

ct+1 = It+1 + (1 + rt)At.

Eliminando At de las ecuaciones anteriores se tiene finalmente la siguiente formulacion del problemade optimizacion:

max

N∑t=0

βt · U(ct)

s.a (1 + rt)ct + ct+1 = It+1 + (1 + rt)It.

Las condiciones de optimalidad se obtienen derivando la funcion objetivo c.r a la variable ct eigualando a cero. En este caso, notemos que ct esta presente en dos terminos de la utilidad: en eltermino t y en el termino t+1, pues ct+1 = It+1 +(1+ rt)It − (1+ rt)ct. Luego, al derivar (aplicar reglade la cadena) se tiene lo siguiente:

βt · ∂U(ct)

∂ct+ βt+1 · ∂U(ct+1)

∂ct+1· ∂ct+1

ct= 0

es decir,

∂U(ct)

∂ct− (1 + rt)β · ∂U(ct+1)

∂ct+1= 0 ⇔ ∂U(ct)

∂ct= β(1 + rt) ·

∂U(ct+1)

∂ct+1

Por lo tanto, la utilidad marginal del consumo en el periodo t debe ser igual a la utilidad marginaldel consumo en el periodo ponderada por la tasa de descuento intertemporal y el reajuste del ahorro.

Notemos ahora que si U(c) = cα, de lo anterior se tiene que,

α · cα−1t = β(1 + rt)α · cα−1

t+1

es decir, ct = γtct+1, donde γt = [(1 + rt)β]1

α−1 . Por lo tanto, si suponemos que rt = r:cte., se tiene que

ct = γ · ct+1, con γt = [(1 + r)β]1

α−1 .Finalmente, supongamos que en el ultimo periodo el individuo no ahorra41, de modo que

cN = IN . Luego, del hecho que ct = γ · ct+1 concluimos cN−1 = γIN . Luego, cN2 = γ · cN−1 = γ [γIN ] =γ2IN . Operando en forma recursiva (evaluar para diversos t y deducir), concluimos que,

ct = γN−tIN .

En otras palabras, el consumo crece exponencialmente hasta llegar a IN en el ultimo periodo.

41No tiene sentido ahorrar pues en el ultimo periodo se acaba el mundo.

66


Ejercicio 4.1 A partir de lo anterior, determine la trayectoria del ahorro en el tiempo. Determineademas la variacion del consumo optimo en funcion de la tasa de interes r y de la tasa de descuentointertemporal β.

Ejercicio 4.2 Suponga una funcion de utilidad del tipo U(c1, c2) = c1c1/22 .

4.4. Modelo de Ocio - Consumo

Este modelo es util para describir, entre otros, la oferta laboral de un individuo. En el modelo deocio-consumo (O-C), se presume que las preferencias de un individuo dependen de dos factores, a saber,el Consumo (C) y el Ocio (θ).

El consumo representa, en terminos genericos, aquellos bienes que nos entregan satisfaccion y quedeben ser comprados en el mercado.

El ocio es un variable que se mide en tiempo, y que representa aquella fraccion del tiempo disponibleque se dedica a actividades no laborales, que nos entregan satisfaccion. Por esta razon, dada una cantidadtotal de tiempo constante, el ocio rivaliza con el tiempo que se dedica al trabajo, tiempo que a su vezpermite generar ingresos que son usados para comprar el consumo.

De esta manera, si un individuo dispone de T horas diarias (digamos, 24 horas), si t ≥ 0 es el tiempoque dedica al trabajo, entonces el ocio remanente que dispone es θ = T − t ≥ 0. Con el tiempo dedicadoal trabajo, puede obtener un ingreso igual a,

t · w,siendo w > 0 el salario por hora que recibe. El ingreso anterior debe ser igual al valor del consumo alque finalmente decide acceder. De esta manera, si p > 0 es el precio del consumo, se debe cumplir que

p · C = t · w.

Con todo lo anterior, el problema de ocio - consumo es

max{C,θ}

U(C, θ)

s.a p · C = t · w, (10)

θ + t = T,

0 ≤ θ ≤ T , 0 ≤ t ≤ T

siendo U(C, θ) la funcion de utilidad del individuo que depende del consumo y el ocio.

Del problema (10), se tiene que t = T − θ. Luego, reemplazando en la primera restriccion, se tieneque p · C = w · [T − θ] ⇔ p · C + w · θ = w · T , con lo cual, el problema (10) se puede reescribir como,

max{C,θ}

U(C, θ)

s.a p · C + w · θ = w · T, (11)

0 ≤ θ ≤ T

De esta manera, el problema anterior corresponde a uno de consumo usual, donde los dos bienes sonx1 = C y x2 = θ, siendo los precios dados por p1 = p, p2 = w, con ingreso (que ahora depende de unode los precios) igual a I = w · T .Las condiciones de optimalidad del problema implican que,

∂U(C,θ)∂C

∂U(C,θ)∂C

=p

w,

67


que junto con la restriccion presupuestaria permiten encontrar el consumo optimo, C∗, y el corres-pondiente ocio optimo, θ∗. Con este ultimo valor se puede obtener el tiempo dedicado al trabajo, quecorresponde a la oferta laboral del individuo:

t∗ = T − θ∗.

En forma adicional, el modelo presentado por el problema de optimizacion (11) puede considerarla existencia de lo que en economıa se denomina ingreso no laboral, que son recursos que obtiene elindividuo independientemente de si trabaja o no. Si denotamos este ingreso no laboral por Y NL ≥ 0,entonces dado un tiempo dedicado al trabajo igual a t, el ingreso total que dispone para el consumo es

w · t+ Y NL,

con lo cual, la restriccion presupuestaria es ahora p ·C = w · t+YNL. Haciendo el reemplazo, t = T − θ,esta ultima ecuacion se convierte en,

p · C = w · T − w · θ + Y NL ⇔ p · C + w · θ = w · T + Y NL,

con lo que (11) se convierte en el siguiente problema de optimizacion:

max{C,θ} U(C, θ)s.a p · C + w · θ = w · T + Y NL,

0 ≤ θ ≤ T.(12)

Obviamente si Y NL = 0, entonces el problema (11) es equivalente al problema (12). En lo que sigue,hablaremos del problema (12) como el problema de ocio - consumo.

Ejemplo 4.8 Suponga que U(C, θ) = Cα · θβ , p = p, w = w, T = T y que Y NL > 0. Determine laoferta de trabajo del individuo.

Respuesta. Para una funcion CB como la indicada, sabemos que la demanda por bienes esta dada por,

C∗ =α · (w · T + Y NL)

p · (α+ β), θ∗ =

β · (w · T + Y NL)

w · (α+ β).

Con esto, se tiene que,

t∗ = T − θ∗ =α · T · w − β · Y NL

w · (α+ β).

Notemos que,

∂t∗

∂w=

β · Y NL

(α+ β) · w2> 0,

con lo cual, un aumento en el salario implica una mayor oferta laboral. Por lo demas, se tiene que,

lımw→+∞

t∗(w) =α

α+ β· T,

es decir, que si el salario aumenta desproporcionadamente, la oferta de trabajo nunca sobrepasara lafraccion α/(α+ β) del tiempo total disponible. Finalmente, notemos que si Y NL = 0, entonces,

t∗ =α

α+ β· T,

es decir, trabajarıa la cota maxima que tenıa en el escenario anterior.

68


Del ejemplo anterior, notemos que si Y NL > 0, entonces existe un salario positivo para el cual laoferta de trabajo es cero. En efecto, al imponer la condicion t∗ = 0, y despejar el respectivo salario setiene que,

wR =β · Y NL

α · T > 0.

Este salario se llama salario de reserva y corresponde a aquel precio (salario) por el trabajo para el cualel individuo esta indiferente entre trabajar (oferta positiva) y no trabajar. Obviamente a cualquier salariomenor que wR el invididuo no trabajara; a cualquier valor w > wR la oferta de trabajo sera positiva.

Ejemplo 4.9 Calcular el salario de reserva si U(C, θ) = [Cr + µθr]1/r, con r > 0. Asuma los parametroscomo en el ejemplo anterior.Respuesta. Para responder necesitamos calcular la oferta de trabajo en funcion de w y luego buscaraquel valor de salario para el cual dicha oferta es cero. En este caso, la condicion de optimalidad implicaque

[Cr + µθr]1/r−1 · r · Cr−1

[Cr + µθr]1/r−1 · µ · r · θr−1=

p

w⇔ C

θ=[µ · p

w

]1/(r−1)

⇔ C = θ ·[µ · p

w

]1/(r−1)

.

Luego, reemplazando lo anterior en la restriccion presupuestaria, p · C + w · θ = w · T + Y NL, setiene que,

p · θ ·[µ · p

w

]1/(r−1)

+ w · θ = w · T + Y NL,

con lo cual,

θ∗ =w · T + Y NL

p ·[µ·pw

]1/(r−1)+ w

⇒ t∗ = T − θ∗ =p ·[µ·pw

]1/(r−1) · T − Y NL

p ·[µ·pw

]1/(r−1)+ w

.

Por lo tanto, el salario de reserva es wR tal que p ·[µ·pw

]1/(r−1) · T − Y NL = 0, es decir,

wR = µ · pr ·[

T

Y NL

]r−1

.

Note que wR es creciente en Y NL si r < 1. Ademas, si p aumenta, entonces wR tambien lo hace.

Ejemplo 4.10 Suponga que en la economıa hay I individuos identicos, cuya funcion de utilidad esU(C, θ) = Cα · θβ . Asuma que p = p, w = w, T = T y que Y NL = 0 para todos.

Suponga ademas que hay N firmas identicas, que producen un producto con la siguiente funcion deproduccion:

f(K,L) = Kσ + η · Lρ, 0 < σ, ρ < 1.

El precio del capital es r > 0 y el salario es wS . Asuma que las firmas son tomadoras de precio enel mercado de los factores y del producto. En situacion de equilibrio, determine entonces el nivel deconsumo agregado de la economıa. Para esto, asuma que el precio de equilibrio en el mercado del bienfinal es P ∗. ¿Como incide la demanda por el bien final en el salario de equilibrio?Respuesta. La estrategia para resolver el problema es la siguiente: primero se determina la demandade las firmas por ambos factores; dado esto se equilibra la demanda por trabajo con la oferta por elmismo, para ası encontrar un salario de equilibrio. Con dicho salario, se puede determinar finalmente lacantidad de consumo del individuo y con ello la cantidad agregada. Para determinar la oferta de trabajo,ver el Ejemplo (4.8) anterior, donde se tiene que,

t∗ =α

α+ β· T.

69


Puesto que hay I individuos, la oferta total de trabajo es,

T · I · αα+ β

.

Por el lado de las firmas, si el precio del producto es P ∗, entonces el problema de las firmas es,

maxK,L

P ∗ · [Kσ + η · Lρ]− r ·K − wS · L.

De esta manera, se tiene que,

P ∗ · η · ρ · Lρ−1 = wS ⇒ L∗ =

[wS

P ∗ · η · ρ

] 1ρ−1

Por lo tanto, la demanda total por trabajo es,

N ·[

wS

P ∗ · η · ρ

] 1ρ−1

,

que equilibrada con la oferta total de trabajo,

T · I · αα+ β

permite encontrar el salario de equilibrio, digamos w∗. Con este salario, se determina el consumo optimoa partir del hecho que para cada individuo se cumple que,

p · C∗ = w∗ · t∗.Finalmente, el efecto de la demanda por producto altera el valor de P ∗, cuestion que puede incidir

en el precio por el trabajo, dado que la demanda por este depende del precio indicado.

5. Decisiones Bajo Incertidumbre 42

5.1. Introduccion

En lo que sigue vamos a estudiar un modelo simple de comportamieto de individuos enfrentados asituaciones de incertidumbre. La diferencia escencial entre este nuevo esquema y lo que hemos estudiadohasta el momento, es que en el caso usual la utilidad solo depende del bien de consumo en sı mismo, el cuales perfectamente conocido en terminos de su calidad, propiedades, etc., de modo que ex ante podemossaber cual sera el nivel de satisfaccion que nos depararıa su consumo. Ası, las acciones de los agentesse traducen en decidir sobre la combinacion de bienes, dados su precios, que les depararıa la maximautilidad. El problema es que ahora la calidad o caracterısticas de los bienes no son necesariamenteconocidas con exactitud antes de la toma de decisiones, ya sea, por ejemplo, debido a que no hayun perfecto conocimiento de las caracterısticas de los bienes o de la cantidad en que ellos estarandisponibles al momento de realizar el consumo, ambas situaciones muy frecuentes en la realidad.

A modo de ejemplo, cuando compramos un determinado producto en el comercio, no sabemos exacta-mente que es lo que recibiremos a cambio del pago que hacemos. Idealmente podemos tener una imagende una manzana y pensar que ese es el objeto por el cual realizamos la transaccion. Sin embargo, almomento de consumir, podemos perfectamente encontrarnos con un producto de mala u optima cali-dad, lo que obviamente modifica nuestro placer del consumo. Por lo tanto, estamos enfrentados a unasituacion riesgosa donde el pago el bien en cuestion es mas bien un pago por una posibilidad que elbien tenga tal o cual caracterıstica. En otras palabras, pagamos por loterıas de bienes y no por unaespecificacion concreta, perfectamente conocida a priori43. En este caso simple, podemos pensar que


43Aun cuando no son sinonimos, en lo que sigue utilizaremos indistintamente los conceptos riesgo e incertidumbre.

70


con cierta probabilidad 0 < p < 1 la manzana comprada es de optima calidad y que, por lo tanto, conprobabilidad (1 − p) es de inferior calidad. Imaginemos que el placer por las buenas manzanas se midecon un numero, digamos, mb, mientras que por las manzanas malas este valor es mm

44. Por lo tanto, detodo lo anterior, con probabilidad p nuestra ganancia serıa mb y con (1− p) serıa mm, lo que podemosresumir en el siguiente cuadro:

Probabilidad Valorp mb

(1− p) mm

Otro ejemplo es la compra de un seguro de accidentes de transito. A priori, no tenemos ninguncontrol del futuro y no sabemos que nos deparara el destino. Si tomamos o no el seguro, a posteriorisus consecuencias sobre nuestro nivel de ingreso pueden ser muy importantes, y por ende sobre nuestronivel de bienestar. Si denotamos por I el ingreso actual, por M el valor del seguro comprado, por Ael costo de un accidente y por S el valor que nos cubre el seguro, dada una probabilidad p de tener elaccidente, entonces el ingreso disponible final sera I −A−M +S mientras que con probabilidad (1− p)sera de I −M . El siguiente cuadro resumen la situacion:

Probabilidad Valorp I −A−M + S

(1 − p) I −M

En todo lo que sigue, para simplificar el analisis supondremos que

Las caracterısticas de calidad de los bienes son traspasadas a un unico numero que llamaremos valor oprecio del bien, de modo que las decisiones de los agentes son hechas sobre la base de la valoracion

monetaria que tal o cual calidad tiene asociada para ellos.

En otras palabras, en el modelo que sigue supondremos que los bienes son representados (diga-mos, resumidos, traducidos, etc) por medio de un unico numero que podemos entender como un valormonetario del mismo, valor real que interviene en las utilidades de los individuos. Mientras mayor esel valor, mayor es la utilidad obtenida.

Este esquema general, aun cuando es un supuesto simplificatorio muy util, de todas formas nospermite estudiar gran cantidad de situaciones economicas diversas, como por ejemplo problemas deconsumo de bienes usuales con incertidumbre, decisiones de inversion, de aseguramiento, de impuestos,etc. El mınimo comun es que ex ante una persona no tiene toda la informacion para saber cual sera lacalidad del bien de consumo que tendra, cual sera el retorno de la inversion, si sufrira o no un accidentede transito, si sera o no encontrado en fraude tributario, etc. Ası, a pesar que se presentan multiplesalternativas, el resultado final del proceso es incierto y en cada uno de los posibles estados de la naturalezael beneficio que obtiene el agente puede ser completamente distinto.

5.2. El modelo

Tal como se ha esbozado, para modelar los fenomenos anteriores necesitamos introducir un conceptomas amplio de bien. Imaginemos entonces que con una probablidad 0 < p < 1 el bien o resultadodel proceso se resumen en un valor (ingreso, ganancia, calidad, etc.) representada por x1 y que conprobabilidad (1 − p) este valor resultante es x2. Por ejemplo, en un supermercado se tiene que conprobabilidad 0,7 las manzanas compradas son de buena calidad, de modo que su valor es $100 la unidad,mientras que con probabilidad 0,3 son de mala calidad, siendo el valor de estas igual a $70. Tenemospor lo tanto una situacion resumida en la siguiente tabla:

44En lo que sigue este numero correspondera a un valor monetario de la manzana, que podemos imaginar como unadisposicion a pagar por la misma. Ası, habiendo comprado la manzana obtenemos una ganancia mb o mm segun sea elcaso.

71


Probabilidad Valorp = 0,7 $100

(1 − p) = 0,3 $70

El concepto ampliado de bien es aquel de loterıa, la cual es simplemente descrita por la tablaanterior.

Definicion 5.1 Una loterıa es una coleccion (p, 1− p, x1, x2) que nos resume el hecho que con proba-bilidad p el bien en cuestion tiene un valor x1 y con probabilidad (1− p) es x2.

Definicion 5.2 Dada la loterıa,

Probabilidad Valorp x1

(1− p) x2

el valor medio ponderado de la misma se define como,

x = p · x1 + (1 − p) · x2.

En otras palabras, el valor medio de una loterıa es simplemente un promedio ponderado por laprobabilidades de los valores posibles que tiene la loterıa45.

Tal como hemos indicado, supondremos que los bienes seran representados por un valor numericoque podemos entender como un ingreso o un valor, en definitiva por dinero, de modo que las loterıasseran combinaciones de probabilidades y dinero, tal como han sido definidas.

Nota 5.1 Note que los bienes usuales se pueden entender como loterıas de la forma (1, 0, x1, x2): conprobabilidad 1 tiene un valor x1 y con probabilidad 0 dicho valor es x2. Ası, tal como habıamos indicado,una loterıa es un concepto ampliado de bien, tal como los conocıamos.

El problema es ahora modelar las elecciones de loterıas, de la misma forma en que habıamosmodelado la eleccion de los bienes. En otras palabras, el problema es como definir una funcion deutilidad sobre las loterıas.

Para ello, necesitamos introducir un concepto de funcion de utilidad ampliado, que dependade las loterıas y no de los bienes usuales. Insisto, que la loterıa, tal como ha sido definida, no es unbien tangible: es un ideal que representa determinada situacion de incertidumbre en las calidades de losbienes; los individuos no consumen loterıas, sino que bienes de consumo usual.

Para diferenciar la funcion de utilidad que depende de las loterıas y aquella usual, denotemos poru(·) la f.d.u estandar y por U(·) aquella que depende de las loterıas: en otras palabras, U(·) se evalua enprobabilidades y dinero (p, (1− p), x1, x1) , mientras que u(·) solo se evalua solo en dinero (x1, x2):

U(p, (1− p), x1, x2), u(x1), u(x2).

Ejemplo 5.1 Dada la loterıa,


(1− p) x2

algunos ejemplos de funciones U(·) pueden ser:

45En otras palabras, el valor medio ponderado es simplemente una combinacion convexa de los valores extremos x1 yx2.

72


a.- U(p, (1− p), x1, x2) = px31 − p(1− p)x1x2 + p2 ln(x2

2 + 1).

b.- U(p, (1− p), x1, x2) = pxα1 + (1− p)xα

2 .

c.- U(p, (1− p), x1, x2) = p2x1 +x32

1−p2 .

PREGUNTA IMPORTANTE. ¿Que relacion existe entre U(·) y u(·)?Respuesta. A priori no hay ninguna relacion entre ambas. La funcion u(·) nos entrega informacionsobre las elecciones de bienes. En cambio, U(·) no solo entrega informacion sobre el consumo en sı mismo,sino que ademas nos entrega antecedentes sobre al forma en que cada individuo enfrenta las situacionesde incertidumbre, lo que a priori no tiene nada que ver con si prefiere la leche con chocolate a loskiwis. La forma en que cada individuo se aproxima al riesgo es una caracterıstica propia del mismo ypodrıa tener que ver con su edad, su genero, su condicion socioeconomica, si tiene o no hijos, su nivelde educacion, etc. Es decir, muchos factores que en principio no tienen relacion con sus preferencia porlos bienes.

A pesar de lo anterior, existe un caso particular muy importante bajo el cual se establece unaestrecha relacion entre una y otra funcion de utilidad. Este caso se tiene en la siguiente definicion.

Definicion 5.3 Dada la loterıa,


(1− p) x2

diremos que la funcion de utilidad U(·) verifica la propiedad de utilidad esperada si se cumple que,

U(p, (1− p), x1, x2) = p · u(x1) + (1− p) · u(x2).

En otras palabras, la funcion de utilidad U(·) verifica la propiedad de utilidad esperada si correspondeal valor promedio ponderado de las utilidades que nos entregan los extremos de la loterıa. Note que laexpresion anterior es lineal en las utilidades (ambas estan multiplicadas por constantes u(x1) y u(x2)).Note ademas que la expresion funcional (u(·)) que acompana las probabilidades debe ser la misma, auncuando es evaluada en puntos distintos.

Ejemplo 5.2 No todas las funciones de utilidad U(·) satisfacen la hipotesis de utilidad esperada. Amodo de ejemplo, las siguientes funciones de utilidad no cumplen con la propiedad:

a.- U(p, (1− p), x1, x2) = p2x21 + x1 + (1− p) · px3

2.

b.- U(p, (1− p), x1, x2) = px1 + (1− p)x22.

c.- U(p, (1− p), x1, x2) = p(1− p)x1

En el caso [a.], no se puede identificar una funcion de utilidad u(·) y la expresion no es lineal en lasprobabilidades; en el caso [b.] no hay una funcion u(·) unica: para p corresponderıa a u(x) = x, perosegun (1 − p) serıa u(x) = x2. En el caso [c.], no aparece x2 y luego no depende de u(x2) para algunu(·). Ademas en este caso no hay linealidad en las probabilidades.

Sin embargo, las siguientes funciones U(·) si la cumplen:

a.- U(p, (1− p), x1, x2) = px21 + (1− p) · x2

2.

b.- U(p, (1− p), x1, x2) = px1 + (1− p)x2.

c.- U(p, (1− p), x1, x2) = pxα1 + (1− p)xα

2 .

73


Definicion 5.4 Si la funcion de utilidad U(·) satisface la propiedad de utilidad esperada, se dice queu(·) es la funcion de utilidad de Von Newman - Morgenstein (VNM) de U(·). Notaremos en talcaso U ∼ u.

Una forma natural de construir funciones de utilidad U(·) que satisfagan la propiedad de utilidadesperada es partir a la inversa: dada una funcion de utilidad u(·), si definimos U(·) como,

U(p, (1− p), x1, x2) = p · u(x1) + (1− p) · u(x2)

entonces obviamente U(·) cumple con la hipotesis y ademas u(·) es la respectiva utilidad de VNM deU(·).

Para simplificar nuestro analisis, en todo lo que sigue supondremos que la funcion de utilidadde cada individuo siempre verifica la hipotesis de utilidad esperada.

5.3. ¿Cual es el comportamiento de los individuos?

Independientemente de que se cumpla o no el supuesto de utilidad esperada, obviamente el objetivode cada individuo es maximizar su utilidad U(·) bajo las restricciones del problema. Sin embargo, talcomo se ha dicho anteriormente, en todo lo que sigue trabajaremos bajo el supuesto que U ∼ u, lo cualsimplifica enormemente los analisis.

Tal vez la mayor dificultad en este tipo de problemas es la identificacion de la loterıa que representael fenomeno en analisis. Una vez hecho esto, el problema es relativamente simple ya que se deriva lafuncion objetivo (o el lagrangeano) respecto de la variable de decision y se resuelve el sistema o laecuacion resultante. Los siguientes ejemplos ilustran la tecnica requerida.

La forma de proceder sera ilustrada en una serie de ejemplos.

Ejemplo 5.3 Seguro de AutoSupongamos que un cierto individuo compra un auto que cuesta, por ejemplo, A. Por una serie de

razones, dicha persona esta propensa a que durante el ano sufra un accidente cuyo costo es de, digamos,$D (valor de los danos). Dado esto, ha decidido tomar un seguro. Si el monto por el cual se asegura esde $S el debe pagar el r% en prima (es decir, $r ·S). La probabilidad que el individuo sufra el accidentees p > 0 y por lo tanto, la probabilidad de no sufrir el accidente es (1− p). Luego se tiene que,

x1 = A−D − r · S + S,

es decir, el valor del auto, menos los danos, menos el costo de la prima mas el monto que cubre el seguro.Si por el contrario, si no sufre el accidente, su patrimonio al final del dıa sera de,

x2 = A− r · S.El problema es decidir por cuanto tomara el seguro. Para ello, supongamos que su funcion de utilidadverifica la propiedad de utilidad esperada y que u(x) = xα, α > 0. Entonces el problema del individuoes determinar S de modo que se maximice

maxS

[p · u(x1) + (1− p) · u(x2)] = maxS

p · (A−D − r · S + S)α + (1− p) · (A− r · S)α.

Derivando c.r. a S (variable de decision, pues el individuo decide por cuanto tomar el seguro), setiene que,

p · α · (1 − r)(A −D − r · S + S)α−1

+ (1− p) · α · (−r) · (A− r · S)α−1= 0

de lo cual se tiene que,

(A−D + (1− r) · S

A− r · S

)α−1

=(1− p)r

p(1− r)

74


de donde es posible obtener explıcitamente el valor de S optimo.

Ejercicio 5.1 Propuesto

a.- Encuentre S explıcitamente a partir de lo anterior.

b.- ¿Como varıa S∗ optimo con α? Es decir, determine el signo de ∂S∗

∂α y comente sus resultados.

c.- ¿Como varıa S∗ optimo con r? Idem a lo anterior.

d.- ¿Como varıa S∗ optimo con p? Idem a lo anterior.

Ejemplo 5.4 Decisiones de inversion.Supongamos que disponemos de una cierta cantidad de dinero d y que se nos presenta la opcion de

invertir en acciones o en pagares del Banco Central (PBC). El PBC depara como beneficio una tasade interes segura (porcentaje) r1 > 0, mientras que las acciones, que son mas riesgosas, en la mejorsituacion entregan una tasa de interes r2 > 0, con r2 > r1, pero que en un mala racha del sistema la tasaes r3, con r3 < r1. La probabilidad de que las acciones tengan un alto retorno es p > 0, mientras que laprobabilidad de que este sea bajo es (1− p). El problema consiste en decidir cuanto invertir en accionesy cuanto en un activo seguro (PBC). Si el dinero inicial es d, denotemos por da lo que destinamos alas acciones (y por lo tanto, d − da es la cantidad de dinero que ponemos en PBC). Luego, segun ladefiniciones anteriores, con probabilidad p el individuo obtiene la siguiente cantidad de dinero:

(d− da) · (1 + r1) + da · (1 + r2),

es decir, reajusta al r1 de la cantidad de dinero puesta en PBC y a una tasa r2 el dinero puesto enacciones. Analogamente, con probabilidad (1 − p) el dinero obtenido es,

(d− da) · (1 + r1) + da · (1− r3),

es decir, la ganancia segura menos la perdida en la bolsa (ganancia con tasa menor). Todo lo anteriores solo un balance economico producto de las decisiones del individuo ante el riesgo. Si suponemos quesu funcion de utilidad verifica la propiedad de utilidad esperada y que u(x) = xα, α > 0, entonces elproblema del individuo es determinar da de modo que se maximice,

maxda

p · u((d− da) · (1 + r1) + da · (1 + r2)) + (1− p) · u((d− da) · (1 + r1) + da · (1 − r3))

⇔ maxda

p · ((d− da) · (1 + r1) + da · (1 + r2))α+ (1− p) · ((d − da) · (1 + r1) + da · (1− r3))

α.

Ordenando los terminos se tiene que el problema es,

maxda

p · (d · (1 + r1) + da · (r2 − r1))α+ (1− p) · (d · (1 + r1)− da · (r3 + r2))

α.

Derivando con respecto a da (variable de decision, pues el individuo decide cuanto invertir), se tieneque,

p · α · (r2 − r1) · (d · (1 + r1) + da · (r2 − r1))α−1−

(1− p) · α · (r3 + r2) · (d · (1 + r1)− da · (r3 + r2))α−1

= 0

es decir,

(d · (1 + r1) + da · (r2 − r1)

d · (1 + r1)− da · (r3 + r2)

)α−1

=(1− p) · (r3 + r2)

p · (r2 − r1)

a partir de lo cual se puede obtener una expresion para da en funcion de los datos del problema.

75


Ejercicio 5.2 Propuesto

a.- Encuentre da explıcitamente a partir de lo anterior.

b.- ¿Como varıa d∗a optimo con α? Es decir, determine el signo de∂d∗

a

∂α y comente sus resultados.

c.- ¿Como varıa S∗ optimo con p? Idem a lo anterior.

Ejemplo 5.5 PlantacionesSupongamos que un individuo posee una plantacion de pinos de H hectareas, cada una de las cuales

tiene A arboles. El tipo debe decidir si cortar este ano (Primer Perıodo) o el proximo ano (SegundoPerıodo). Si corta hoy dıa, la cantidad de madera que obtiene de cada arbol es M1 Kg, mientras quesi corta el proximo perıodo existe incertidumbre de cual sera la cantidad de madera que contenga cadaarbol. En efecto, si el ano resulta bueno en cuanto a lluvia, la cantidad de madera de cada arbol sera M2

Kg, con M2 > M1, pero si el ano es seco, la cantidad de madera de cada arbol sera M3 < M1. Laprobabilidad de que el ano sea bueno es p, mientras que (1−p) es la probabilidad de que el ano sea seco.Bajo estas condiciones, denotemos por q la cantidad de arboles que el individuo decide cortar duranteel primer perıodo (que sera la variable para optimizar). Luego, con probabilidad p el ano es lluvioso ypor lo tanto la cantidad de madera que obtiene es

q ·M1 + (A ·H − q) ·M2,

mientras que con probabilidad (1− p) la cantidad de madera que obtiene es,

q ·M1 + (A ·H − q) ·M3.

Si la funcion de utilidad VNM es u(x) = ln(x), el problema de la persona es

maxq

p · ln(q ·M1 + (A ·H − q) ·M2) + (1− p) · ln(q ·M1 + (A ·H − q) ·M3).

Ejercicio 5.3 Propuesto.

a.- Determine la cantidad optima de madera que debe cortar.

b.- Realice un analisis de sensibilidad de la cantidad optima en funcion de las variables p, M1,M2,M3.

5.4. ¿Como se comportan diversos individuos frente al riesgo?

En terminos generales, ya sabemos que la respuesta depende de cada individuo: algunos prefierensituaciones arriegadas a situaciones seguras, solo por el placer que significa experimentar el riesgo o laincertidumbre. Ejemplo de ello son los apostadores. Otro ejemplo viene por el lado de escoger un seguropara el auto: las personas que son amantes del riesgo se aseguraran por montos pequenos (o cero) mien-tras que otros optaran por montos grandes. Un tipo que es mas osado frente al riesgo preferira invertirmas en acciones que en PBC respecto de un tipo que es mas conservador en estas materias.

El problema es modelar esta situacion de simpatıa o aversion hacia el riesgo. Para ello, supongamosnuevamente que con probabilidad p puedo obtener un ingreso x1 y con probabilidad (1 − p) obtenerx2. Utilizando un concepto ya definido, es claro que la situacion promedio que se puede obtener conesta loterıa es simplemente x = p · x1 + (1 − p) · x2: promedio, esperanza, valor esperado del ingreso.Graficamente la situacion es como sigue:

Figura 38: Valor Esperado del Ingreso

x1

px1 + (1− p)x2

x2

76


Si suponemos que p, x1 representan la situacion desfavorable en el sentido que x1 < x2, mientrasque (1− p), x2 corresponde a la situacion favorable, entonces x representa una situacion intermediaentre ambas, pero que podemos considerar como mas segura que ambas. De hecho, por las deficionesanteriores, es claro que, x1 ≤ x ≤ x2.

El problema es entonces comparar una situacion con riesgo (ganar x1 con probabilidad p o ganar x2

con probabilidad (1− p)) versus una situacion intermedia que podemos considerar segura (ganar x conprobabilidad uno). Para comparar las dos cosas utilizaremos la funcion de utilidad.

Bajo el supuesto de utilidad esperada, si U ∼ u, la situacion riesgosa tiene como utilidad p · u(x1) +(1 − p) · u(x2), mientras que la utilidad que depara la situacion segura es u(x). Con esto hay tresposibilidades:

Caso A. u(x) = p · u(x1) + (1− p) · u(x2),

Caso B. u(x) < p · u(x1) + (1− p) · u(x2),

Caso C. u(x) > p · u(x1) + (1− p) · u(x2).

En el Caso A. el individuo es indiferente entre una situacion riesgosa y una situacion segura (insisto,situacion segura que es representada como el promedio de la situacion riesgosa). En el Caso B. elindividuo prefiere la situacion riesgosa a la situacion segura, mientras que en el Caso C. el individuoprefiere la situacion segura a la situacion riesgosa. Para fijar ideas en terminos intuitivos, podemospensar en una situacion en que jugamos dinero al cara y sello. Si sale cara gano 100 y si sale sello pierdo100. La cantidad de dinero que jugarıa es 100. Por lo tanto, con probabilidad 1/2 obtengo 200 (gano 100mas los 100 que tenıa) y con probabilidad 1/2 quedo con nada (pierdo lo 100 que tenıa). En promediogano 1/2 · 200 + 1/2 · 0 = 100. En el Caso A. el individuo estarıa indiferente entre jugar o no jugar, enel Caso B. el individuo prefiere jugar mientras que en el Caso C. no jugarıa.

Para el Caso A. diremos que individuo es neutro al riesgo, el Caso B. representa un individuo quees propenso al riesgo mientras que el Caso C. representa un individuo que es averso al riesgo.

Claramente la neutralidad, propension o aversion al riesgo depende de como es la funcion deutilidad del individuo. Veamos geometricamente esta situacion, donde lo que hacemos es graficar launtilidad u(·) para diversos valores de ingreso:

Caso A. Aquı u(x) = p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Representemos por A = u(x1) y por C = u(x2). En laFigura 39, el punto C = u(x). Notemos que, por el hecho de que la utilidad es lineal, el punto Ccoincide ademas con p · u(x1) + (1− p) · u(x2). Por lo tanto, la situacion de neutralidad al riesgose refleja cuando la utilidad VNM es lineal.

Figura 39: Utilidad VNM Lineal

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

x1 x x2

C

B

A

77


Caso B. En este caso, u(x) < p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Representemos por A = u(x1) y por C = u(x2).En la Figura 40, el punto B = u(x) y sea D = p · u(x1) + (1− p) · u(x2). Para encontrar el puntoD, basta con prolongar la lınea punteada que pasa por B hasta cortar la recta que une A con C46. Por condicion B < D y la figura de la utilidad se ve como sigue,

Figura 40: Utilidad VNM Convexa

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xx

xxxxxx

xxxxxxxxx

x1 x x2

C

BA

D

Por lo tanto, la situacion de propension al riesgo se refleja cuando la utilidad VNM es convexa.

Caso C. En este caso, u(x) > p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Representemos por A = u(x1) y por C = u(x2).En la Figura 41, el punto B = u(x) y sea D = p · u(x1) + (1− p) · u(x2). Para encontrar el puntoD, basta intersectar la lınea punteada que pasa por B con la recta que une A con C (analogo alcaso anterior). Como por condicion B > D, la figura de la utilidad se ve como sigue:

Figura 41: Utilidad VNM Concava

x

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

x1 x x2

CB

A

D

Por lo tanto, la situacion de aversion al riesgo se refleja cuando la utilidad VNM es concava.

46Es importante que pueda justificarlo. Queda como ejercicio para el lector.

78


Nota 5.2 Recordemos que una funcion u(·) es concava si u′′

< 0: segunda derivada es negativa; y esconvexa si u

′′

> 0: segunda derivada positiva.

Para terminar con esta seccion, nos hacemos una pregunta complementaria relacionada con lo an-terior: si un individuo es, por ejemplo, propenso al riesgo, habra alguna medida que nosindique que tan propenso es? Es claro que esto nuevamente depende de la forma de la funcion deutilidad y, cosa nueva como veremos, del nivel de ingreso del individuo. En efecto, uno deberıa esperarrazonablemente que si una funcion de utilidad es, digamos, mas convexa que otra entonces dicho indivi-duo deberıa ser menos arriesgado que el otro. Por el lado del ingreso, nos podemos imaginar situacionesen que si nuestro ingreso es bajo, uno no necesariamente tendra el mismo comportamiento hacia el riesgoque si el ingreso es alto.

Para aproximar esta medida de aversion o propension al riesgo se introduce la Medida de aversional riesgo de Arrow - Pratt.

Definicion 5.5 Dada la funcion de utilidad VNM, u(·), y dado un cierto ingreso x∗, se define lamedidade aversion al riesgo de Arrow - Pratt en el valor x∗ como,

R(x∗) = −u′′

(x∗)

u′(x∗).

Este indicador nos da cuenta de que tan concava o tan convexa es la funcion de utilidad VNM, conlo cual tenemos una medida global de aversion o propension al riesgo. Relacionandolo con los conceptosanteriores se tiene que:

A.- Si R(x) < 0, entonces para el nivel de ingreso x el individuo es propenso al riesgo (f.d.u. conve-xa)47.

B.- Si R(x) > 0, entonces para el nivel de ingreso x el individuo es averso al riesgo (f.d.u. concava).

C.- Si R(x) = 0, entonces para el nivel de ingreso x el individuo es neutro al riesgo.

Nota 5.3 Recuerde que la utilidad simpre crece con el ingreso, de modo que la primera derivada espositiva.

Existe un concepto complementario a la Medida de Aversion al Riesgo de Arrow - Pratt que es laMedida de Aversion Relativa al Riesgo de Arrow - Pratt, que se define como r(x) donde:

r(x) = x · R(x).

Siguiendo en esta lınea, vamos a introducir un concepto importante que se denomina equivalentecierto para un individuo. Vamos por parte. Ya sabemos que en general u(x) = u(p · x1 + (1 − p) · x2)no tiene por que ser igual a p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). De hecho, para el caso de un individuo que esadverso al riesgo sabemos que:

u(x) > p · u(x1) + (1− p) · u(x2).

Sin embargo, supongamos que a dicho individuo averso al riesgo le decimos que su ingreso segurono sera x sino que sera disminuido en, digamos, ρ > 0. En la medida que ρ aumenta (le quitamos masingreso), la cantidad segura se hace cada vez menos atractiva respecto de la situacion riesgoza. De hecho,uno podrıa preguntarse por la cantidad que se le podrıa quitar al individuo para que sea bf indiferente

47Si R(x) < 0 significa que −u′′

(x)

u′(x)

< 0, es decir,u′′

(x)

u′(x)

> 0. Como u′(x) > 0 siempre, entonces u′′(x) > 0, es decir, u

es convexa, es decir, el individuo es propenso al riesgo.

79


entre la nueva situacion segura (ingreso disminuido) y la situacion riesgosa. En otras palabras, estamosinteresados en encontrar ρ tal que,

u(x− ρ) = p · u(x1) + (1− p) · u(x2).

Dicha cantidad ρ depende obviamente de la utilidad del individuo y del nivel de ingreso en que estamosparados (por lo tanto escribiremos usualmente ρ(x) para indicarla).

Intuitivamente, para un individuo que es mas averso al riesgo que otro, la cantidad que se ha dequitar, en igualdad de condiciones monetarias, ha de ser mayor. La cantidad ρ introducida se denominaequivalente cierto para un individuo (tambien llamada premio por riesgo en algunos libros). Enotras palabras, y en terminos generales, el equivalente cierto para un individuo cualquiera es aquelvalor ρ tal que,

u(x− ρ) = p · u(x1) + (1− p) · u(x2).

Note que,

a.- Si el individuo es propenso al riesgo, el equivalente cierto ha de ser negativo (recuerde que en ladefinicion, el ρ va con signo menos en la utilidad).

b.- Si el individuo es averso al riesgo, el equivalente cierto es positivo (le debo quitar dinero parahacerlo indiferente entre la situacion segura y la riesgoza).

c.- Por ultimo, si el individuo es neutro al riesgo, su equivalente cierto es cero.

La Figura 42 ilustra el equivalente cierto para un individuo que es averso al riesgo (el r de la figuraes ρ):

Figura 42: Equivalente Cierto

xx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

x1 x x2(x− r)

Para terminar con esta seccion, buscaremos una relacion simple entre equivalente cierto y la medida deaversion al riesgo, lo que sera de utilidad para interpretar los numeros y resultados. Para ello necesitamosintroducir (ultima definicion!) el concepto de varianza. Ası, supongamos que, como ya hemos hecho en

80


casi todo el documento, el ingreso x de que dispongo vale x1 con probabilidad p y con probabilidad(1− p) vale x2. Ademas de la media x = p · x1 + (1 − p) · x2, el otro concepto estadıstico fundamentales el de varianza, que se define como,

V (x) = p · (x1 − x)2+ (1− p) · (x2 − x)

2.

La varianza mide la dispersion de los datos en torno a la media. Si la varianza es baja (digamos,cercana a cero) significa que los datos estan concentrados en torno al promedio, si la varianza es altasignifica que los datos son muy dispersos en torno al promedio.

Ası, a partir de lo anterior se puede probar que la relacion que existe entre equivalente cierto ρ(x) yla medida de aversion al riesgo de Arrow - Pratt es simplemente:

ρ(x) = R(x) · V (x).

En otras palabras, si suponemos que la varianza es constante, el equivalente cierto es propor-cional a la medida de aversion al riesgo de Arrow - Pratt: mientras mayor en valor absoluto es la medidade aversion al riesgo, mayor es el equivalente cierto, mientras menor en valor absoluto es la aversion alriesgo, menor es el equivalente cierto (se utiliza valor absoluto pues, recuerde, que la R(x) tiene signopositivo o negativo).

Por ejemplo, para un individuo que es averso al riesgo, mientras mayor es la medida de aversion alriesgo, R(x), mayor es la cantidad de dinero que se le debe quitar para dejarlo indiferente con la situacionriesgosa. Por el contrario, si el individuo es propenso al riesgo, mientras mayor (en valor absoluto yaque es negativa) es la medida de aversion al riesgo, mas grande es la cantidad de dinero que se le debedar al sujeto para dejarlo indiferente entre la situacion riesgosa y la situacion segura. Todo lo anteriorparece bastante intuitivo.

Problemas Resueltos.

Problema 1. Supongamos que la funcion de utilidad VNM de un individuo es de la forma u(x) =a+ b · ln(x+ c). Determine R(x) y r(x) e interprete su significado.

Respuesta. La derivada de u(·) es u′(x) = bx+c y la segunda derivada es u

′′

(x) = −b(x+c)2

. Por lo tanto,

R(x) = −u′′(x)u′(x) = 1

x+c , y luego r(x) = xx+c . Por lo tanto, como R(x) > 0 el individuo siempre es averso

al riesgo. Como R′(x) = −1(x+c)2

< 0, significa que, en la medida que x aumenta, R(x) disminuye, por

lo tanto, cuando el individuo es mas rico (aumenta el ingreso x), se tiene que R(x) disminuye, es decir,cada vez es menos averso al riesgo.

Problema 2 Suponga que la funcion de utilidad VNM de un cierto individuo es u(x) = e−ax, con a > 0.Encuentre R(x) y comente.

Respuesta. En este caso, u′(x) = −a · e−ax y u′′(x) = a2 · e−ax. Por lo tanto, R(x) = −u′′(x)u′(x) =

a2·e−ax

−a·e−ax = −a: cte. Si a > 0 el individuo es averso al riesgo, si a < 0 el individuo es propenso al riesgo.

Problema 3. Problema de decision de consumo y ahorro en dos perıodos.Denotemos por c1 el consumo actual y por c2 el consumo futuro de un cierto individuo. Suponga

que la funcion de utilidad entre periodos es U(c1, c2) = U(c1) + β · U(c2), donde la funcion de utilidadU(·) verifica la propiedad de la utilidad esperada, siendo la utilidad VNM, u.

El ingreso que dicho individuo tiene en la actualidad es w mientras que para el futuro (proximoperıodo) existe incertidumbre de como van a funcionar las cosas. Si el proximo ano es malo, el ingresosera wm, en cambio, si el proximo ano es bueno, el ingreso que obtendra dicha persona serıa wb, dondewm < wb. Dicha persona tiene una estimacion probabilıstica de como sera el proximo periodo: el cree quecon probabilidad p sera un buen ano y que con probabilidad (1−p) sera malo. Ahora bien, independientede su apreciacion, el gasto que puede hacer en consumo es siempre proporcional a su ingreso (factor deproporcionalidad, λ > 0) y de hecho, dada la incertidumbre existente, este individuo solo puede ahorrar

81


del primer periodo para el segundo, con la finalidad de solventar un eventual ano malo. Suponga que latasa de interes entre ambos periodos es r%.

¿Cual es el problema de optimizacion que debe resolver este individuo? Plantee las condiciones deoptimalidad.

Respuesta. El ingreso seguro es el actual, w. El puede ahorrar una cierta cantidad ante la eventualidadde que el ano sea malo. Supongamos que el decide ahorrar a > 0. En tal caso, su ingreso disponible paraconsumo en el periodo actual sera w−a y, por lo tanto, el consumo al que puede acceder sera c1 = λ·(w−a). El dinero ahorrado vale en el proximo periodo a · (1 + r). Por lo tanto, en el ano malo dispondra dewm + a · (1 + r) pesos para consumo, mientras que en el ano bueno dicho ingreso sera wb + a · (1 + r).Por lo tanto, con probabilidad p (ano bueno) el consumira cp = λ(wb + a · (1 + r)) mientras que conprobabilidad (1− p) su consumo sera c1−p = λ(wm + a · (1+ r)). Por lo tanto, el problema del individuo

es maximizar la utilidad U(c1) + β · U(p, cp, c1−p), es decir,

maxa

u(λ · (w − a)) + β [p · u(λ(wb + a · (1 + r))) + (1− p) · u(λ(wm + a · (1 + r)))] .

Queda propuesto seguir con el problema encontrando las condiciones de optimalidad.

Ejercicio 5.4 Problema 1. Supongamos que la funcion de utilidad VNM de un individuo es u(x) =αx2+β, con α, β > 0. Con probabilidad p = 0,25 el ingreso de dicho individuo es 10 y con probabilidad1− p = 0,75 es 0. Determine,

a.- La medida de aversion al riesgo de Arrow-Pratt y concluya como cambia la aversion o propensionen la medida que el ingreso aumenta.

b.- Determine el equivalente cierto del individuo en las circunstancias mencionadas.

Problema 2. A un individuo cuyo ingreso es 100 se le propone un juego en el cual existe una alternativaen 10 de ganar. Cada boleto cuesta 10 y el premio que obtiene si gana es 50. Determine el porcentajedel ingreso que dedica al juego si su funcion de utilidad VNM es u(x) = x2. ¿Como cambia su respuesta(en terminos del ingreso) si la probabilidad de ganar aumenta al doble?

Problema 3. Supongamos que un individuo debe viajar en Septiembre a Argentina a traves del PasoLos Libertadores, el cual puede estar cerrado o abierto segun las condiciones climaticas. La probabilidadde que el paso este cerrado es p. La utilidad de quedarse en casa es u(x0) mientras que la utilidad deestar en Argentina es u(x1). Bajo que condicion el individuo hara el viaje? Muestre que si u(x) = x2

entonces el individuo hara el viaje siempre y cuando x0 < x1.

Problema 4. La firma productora de leche Vaquita Hechada Ltda. ha descubierto que un 2% de suproduccion esta contaminada por una bacteria que provoca un ligero trastorno. Supongamos que elprecio de la leche es $ 200 el litro y que un individuo representativo consume 2 litros diarios de leche.Supongamos que si la leche esta contaminada, la gente no consume leche y que si no lo esta dichoconsumo es como antes (2 litros). En este modelo sencillo, ¿cual es la compensacion monetaria que debeentregar la firma al individuo por el hecho que parte de su produccion este en malas condiciones? Planteela ecuacion para definir la compensacion y estımela cuando u(x) = x2, siendo x el gasto en leche quehace la persona.

Problema 5. La tasa de interes de los PBC es de 1,5%, mientras que las accciones de la firma devinos Santa Clota ha venido subiendo sistematicamente en los ultimos meses, siendo la rentabilidadpromedio de 2,5%. Sin embargo, por razones externas, se sospecha que las acciones caeran fuertemente,esperandose que la rentabilidad sea negativa para el proximo periodo. Supongamos que Ud. disponede $100.000 para invertir y se entera que la probabilidad de caıda de las acciones es de 5% con unarentabilidad negativa de -3%, ¿cual serıa su decision de inversion si su utilidad VNM es u(x) = x2?Como cambia su respuesta si la probabilidad sube a 10%? ¿Como cambia su respuesta si su ingreso esde $200.000? ¿Como cambia su respuesta si la caıda es solo de 1%?

82


Esquema de solucion.

Problema 1.

Aquı u(x) = αx2 + β y recordemos que R(x) = −u′′(x)u′x . Ademas, en este caso, ρ debe verificar que

u(x− ρ) = 0,25 · u(10) + 0,75 · u(0).

Problema 2.

En este problema p = 1/10 = 0,1 y u(x) = x2. Resuelva este problema como en el Ejemplo (5.3)

Problema 3.

Con probabilidad p se quedarıa en casa y con probabilidad (1 − p) estarıa en Argentina. El tipodecidira emprender la aventura si p ·u(x0) + (1− p) · u(x0) < u(x1): la utilidad de estar en Argentina esmayor que la utilidad esperada de iniciar el viaje. Si u(x) = x2, lo anterior queda: p ·x2

0+(1−p)·x21 < x2

1,es decir, p · x2

0 < p · x21 de lo cual se tiene lo solicitado.

Problema 4.

Cada individuo gasta $400 al dıa en leche. Con probabilidad p = 0,1 no consumira leche (esta mala)y por lo tanto su gasto sera 0, y con probabilidad 0,9 su consumo serıa de $400 (consume los dos litros).El tipo debe consumir dos litros diarios, luego el problema es estimar ρ tal que,

u(400 + ρ) = 0,1 · u(0) + 0,9 · u(400).Note que este problema es ligeramente distinto, en su formulacion, a estimar el equivalente cierto de

la persona. Si reemplzamos u(x) = x2 podemos encontrar el valor de ρ que es por cuanto la firma debecompensar.

Problema 5.

Considerar el modelo desarrollado en el Ejemplo (5.2) para contestar la pregunta. Las distintas partesde esta pregunta son solo variaciones de los parametros del problema (varıa la probabilidad, varıa elingreso, etc).

83


Parte III

Teorıa de la Firma

6. Conceptos Basicos48

Para los objetivos del curso, es fundamental definir lo que entenderemos por proceso productivo, yaque sera el concepto central que utilizaremos para analizar el comportamiento de las firmas dentro dela economıa.

Definicion 6.1 Se entendera por produccion cualquier proceso o dinamica destinada a transformarciertos bienes en otros diferentes de los originales.

En tal sentido, cuando se habla de bienes diferentes no solo se hace referencia a cuestiones fısicasque muestren un cambio evidente de las cualidades de los originales a los finales, sino que tambien seconsidera el hecho que los bienes tienen asociadas caracterısticas espaciales y temporales que los puedendiferenciar. A modo de ejemplo, una naranja colocada en Santiago, el 13 de febrero de 1999, a las 13:45hrs., es un bien distinto de la misma naranja49 colocado en Arica, el 14 de febrero a las 12:00.

A partir de lo anterior, se infiere que dado un proceso productivo, existen dos tipos de bienes que loconforman: aquellos que seran transformados y aquellos que resultan de la transformacion. Los primerosseran llamados materias primas, inputs o factores del proceso productivo, mientras que los segundosseran los productos o bienes finales. Para la produccion de jugo de naranja, algunos de los factorespodrıan ser las naranjas, el agua, el edulcorante, el colorante, la mano de obra involucrada, etc; mientrasque el producto final de esta etapa es el jugo de naranja. Siguiendo con este ejemplo, el mismo jugo denaranja podrıa perfectamente ser un factor para otro proceso productivo, por ejemplo, una pastelerıaque lo ocupe para fabricar queques de naranja.

En el modelo economico, las unidades basicas que llevan a cabo los procesos productivos son lasfirmas o empresas. Estas son las unidades mınimas que desempenan tal labor, mientras que unaagrupacion de ellas que producen un bien identico se denominara industria del bien considerado.

Es necesario destacar que una firma, dados ciertos factores de produccion, puede elaborar simultanea-mente varios productos. En este caso general hablaremos de una firma multiproducto mientras que, cuan-do la firma produce un solo bien, se dira que es monoproducto. En este curso solo estudiaremos firmasmonoproductoras. La justificacion viene del hecho que, una firma multiproducto puede ser entendida,bajo ciertos supuestos generales, como varias firmas monoproductoras trabajando en conjunto. Como laidea es estudiar el comportamiento de una determinada firma, trabajar con alguna de las componentesde esta firma multiproducto no hace la diferencia.

Como veremos pronto, cada firma esta caracterizada por lo que llamaremos su tecnologıa de produc-cion. Esta simplemente define la manera que dicha empresa tiene para combinar los factores con el finde elaborar su producto final. En todo lo que sigue, salvo que se diga expresamente, asumiremos quepara una determinada firma, dicha tecnologıa esta dada, que es fija. Este supuesto es muy fuertey corresponde solo a una aproximacion a la realidad por cuanto deja de lado todos aquellos aspectosrelativos a innovacion tecnologica e investigacion y desarrollo (I + D), materias que para muchas firmasson de gran importancia en sus labores. Una forma de justificar este supuesto es partir de la base queel analisis que se realiza se efectua en un horizonte de tiempo lo suficientemente corto, de tal maneraque la firma no puede realizar innovaciones en sus procesos, manteniendo de esta menara su tecnologıaconstante.

Con el fin de caracterizar el comportamiento de una firma, dos son los problemas centrales queestudiaremos, los que a posteriori resultan estar estrechamente relacionados. En primer lugar vamos aconsiderar el problema de maximizacion de beneficios para luego analizar el problema de minimizacionde costos. Con esto, colocada la firma en un contexto de mercado, podremos estudiar su oferta y demanda


49Es decir, del mismo bien desde el punto de vista de sus propiedades fısicas.

84


de bienes, para lo cual consideraremos en primer lugar una economıa competitiva, donde cada firma enparticular no tiene injerencia en el precio de los bienes que ofrece. Dado esto, relajaremos el modelocompetitivo permitiendo que las firmas puedan tener injerencia en los precios de venta de los productos.Esto se hara, en primer lugar, considerando un mercado monopolico para luego estudiar una situacionintermedia, denominada oligopolio.

El estudio del oligopolio nos forzara a introducir conceptos de teorıa de juegos para analizar elproblema, esto debido a que las decisiones de cada firma afectan a las otras y viceversa. En los otros casos,el resultado del proceso solo proviene de decisiones individuales de cada firma (agentes maximizadores),pues las interacciones entre ellas solo se reducen a cuestiones de equilibrio de mercado (oferta = demanda)y no consideran efectos cruzados producto de interacciones especıficas entre las mismas.

En lo que sigue se entrega un detalle de cada punto antes mencionado, definiendo una serie deconceptos auxiliares y estableciendo relaciones entre los mismos, todo con el fin de plantear y estudiarun modelo razonable de comportamiento de la firma en el mercado.

6.1. La firma y sus objetivos

Comencemos con una pregunta: ¿cual es el fundamento para que existan las firmas50 tal como lasobservamos en la realidad? La respuesta pasa, en primer lugar, por comprender que en cada accion quese ejecuta dentro de un proceso productivo, existen costos provenientes de, por ejemplo, el pago porinsumos, salarios, impuestos, patentes, transporte de productos, etc. La razon para que el proceso seallevado a cabo en alguna escala (que da origen a las firmas no individuales) viene del hecho que estetipo de organizacion puede reducir los costos de produccion debido a que, por un lado, existe un efectode escala en la produccion dada una concentracion adecuada de factores y, por otro lado, por el hechoque algunos de los costos mencionados no dependen de la cantidad de producto que se elabore (costosfijos), lo que motiva la organizacion del proceso pues, de esta manera, resulta mas eficiente desde elpunto de vista de los beneficios obtenidos. Obviamente, la organizacion de una firma no individual tienesentido siempre y cuando el esfuerzo cooperativo de un grupo resulte en una situacion mas beneficiosaque aquella obtenida de la suma de los productos de los esfuerzos individuales. La diferencia de ingresosentre ambas situaciones, claro esta, debe ser por lo menos igual al costo de organizar, supervisar, mediry hacer cumplir los contratos con los empleados, menos los costos de transaccion asociados con laalternativa de subcontratacion.

Tacito en la mencion hecha sobre la necesidad de supervision, esta el hecho que el empresario es elsupervisor final del proceso, ya que recibe el beneficio (ingresos menos pago de insumos) del proceso y,por ende, percibe un impacto inmediato en su pecunio personal producto del desempeno de la empresa.De esta manera, tras la idea del empresario como supervisor final y eficiente, se encuentra el supuesto demaximizacion de beneficio neto como objetivo de la firma, lo que en el fondo define su comportamientodentro de la economıa. Una justificacion adicional para esto se encuentra en la necesidad de obtenerfinanciamiento por parte de las empresas con el fin de crecer o entregar dividendos. En este sentido, labusqueda de ganancias por parte de los inversionistas o el interes de no afrontar perdidas significativas,obliga a las empresas a tener capacidad de generar altos retornos.

Para terminar con este breve analisis, debemos mencionar que pueden existir firmas que no necesa-riamente tengan como objetivo la maximizacion del beneficio monetario. A modo de ejemplo, podemospensar en firmas con objetivos altruistas, en aquellas que tienen por objetivo optimizar su imagencorporativa, el tamano en el mercado, etc.

6.2. La tecnologıa de una firma

Con la finalidad de modelar nuestro problema en forma sencilla, supondremos dada una firma mo-noproductora que ocupa solo dos factores de produccion51. Denotaremos por x1 cierta cantidad delfactor 1 y por x2 aquella del factor 252. La cantidad de producto que la firma elabora sera denotadagenericamente por y.

50Entendidas estas como unidades colectivas; no necesariamente individuales.51El analisis que sigue es perfectamente aplicable si en el proceso productivo existen mas de dos factores.52Para fijar ideas, el factor 1 puede ser trabajo mientras que el factor 2 corresponder a capital.

85


Es claro que para realizar un determinado proceso productivo, para cada firma, en determinadomomento, solo existen algunas formas viables de combinar los factores para obtener el producto. Talcomo hemos mencionado, estas formas viables estaran definidas por una serie de condicionantes, amodo de ejemplo: caracterısticas fısicas y/o quımicas de los factores y productos, restricciones de lanaturaleza a la manera en que se pueden mezclar los factores, caracterısticas del equipo de trabajo(tecnicos, profesionales), de los equipos o maquinas disponibles en ese momento, etc. Precisamente estascondicionantes son las que implıcitamente definen la tecnologıa de produccion de una firma, pues ellasdeterminan en ultima instancia las cantidades de producto a partir de los insumos.

Definicion 6.2 La tecnologıa de una firma esta definida por la manera en que la misma puede com-binar los factores con el fin de producir y que se refleja en la cantidad de producto que puede obtenerdadas las cantidades de factores que ocupa con ese fin.

Tal como hemos mencionado, un supuesto fundamental que haremos en este curso, salvo quese diga expresamente lo contrario, es que la tecnologıa de una firma es constante. Esto implica quecuestiones de desarrollo tecnologico e innovacion no seran variables a considerar en el analisis que sigue.

Ası las cosas, y simplificando nuestro analisis al suponer que nuestra firma produce ocupando solo dosfactores, cuyas cantidades son x1 y x2 respectivamente, definamos los puntos factibles de ser elaboradospor la firma como el conjunto formado por todas aquellas cantidades de producto que se pueden elaborara partir de los factores anteriores. Notemos este conjunto como:

P(x1, x2) = {y | y se puede elaborar con x1, x2}

Es claro que el conjunto anterior tiene una cota superior, es decir, existe una cantidad de productomaxima que es posible elaborar a partir de la cantidad dada de factores. Obviamente esta cantidadmaxima dependera de las caracterısticas de cada firma dentro de la industria, no siendo necesariamentela misma para cada una de ellas. Sin embargo, para cada firma esta cantidad de producto es unicay esta completamente determinada por la cantidad de factores que utiliza.

Definicion 6.3 La funcion de produccion de la firma se define como aquella funcion que asocia alos factores dados la cantidad maxima de producto que se puede elaborar a partir de los mismos.

Si denotamos por f(·) la funcion de produccion de la firma, entonces, segun la definicion, f(x1, x2)representa la mayor cantidad de producto que la firma puede elaborar a partir de los inputs dados. Deesta manera, si fuera dado cualquier otro nivel de produccion y factible de ser producido a partir deesta cantidad de factores, entonces, necesariamente, y ≤ f(x1, x2): cualquier otra cantidad de productomenor que esta cota tambien sera factible de ser elaborada con esa cantidad de factores.

En el siguiente ejemplo se ilustran las ideas anteriores.

Ejemplo 6.1 Supongamos que el proceso productivo considera solo un factor, siendo la Figura 43 unailustracion del mismo:

86


Figura 43: Funcion de Produccion

Producto

d

b

a c Factor

f

En este caso, si la cantidad de factor es a, entonces la cota de produccion es b, mientras que, si lacantidad es c, la cota es d. Luego, si la funcion de produccion es f , se tiene que f(a) = b y f(c) = d.Notemos ademas que dado a, cualquier cantidad de producto y ≤ b es factible de ser producida con estacantidad de factor. Por el contrario, con a cantidad de factor, la cantidad de producto d es infactible deser producida, ya que supera la cota de maxima produccion posible.

En todo lo que sigue, cuando hablemos de produccion de la firmas, nos referiremos a la cota maximaque se puede producir dada la cantidad de factores, es decir, a los valores de la funcion de produccion(fdp) de la firma. Finalmente, abusando del lenguaje y considerando todo lo anterior, hablaremosindistintamente de funcion de produccion o tecnologıa de la firma.

Nota 6.1 En todo lo que sigue, la funcion de produccion representara la tecnologıa de produccion dela firma. Con esto se pretenden resumir todas las consideraciones que hemos hecho sobre la tecnologıa.Claramente esta es una forma muy simplificada de modelar el problema, en forma analoga a suponer quela funcion de utilidad podıa resumir el comportamiento de los individuos. Por otro lado, asumiremos quepara cualquier firma, dada una eleccion de factores53, lo que ella produce finalmente esta dado por elvalor de la funcion de produccion en dichos puntos: cualquier otra situacion sera considerada ineficiente.Finalmente, en lo que sigue trabajaremos con firmas que solo ocupan dos factores de produccion, lo queen rigor no es restrictivo pues todos los analisis que siguen son perfectamente validos cuando hay masfactores y la forma de extender los resultados de dos a mas factores es directo.

6.3. Complementos y propiedades de la tecnologıa

Supongamos dadas las cantidades de factores x1 y x2, y sea f(·) la funcion de produccion. Notemos,en primer lugar, que si aumentamos la cantidad de, digamos, el factor 1 en δ > 0, entonces, en elpeor caso, la firma producira lo mismo que hacıa previo al cambio, ya que puede desechar factoresmanteniendo los niveles originales de produccion. Esto es igualmente valido con aumentos en el factor 2.De esta manera, necesariamente la funcion de produccion debe ser creciente en los factores.

Esta es una propiedad fundamental de las funciones de produccion.

Proposicion 6.1 Las funciones de produccion son crecientes en cada una de sus componentes (factores).

53Eleccion que dependera de los objetivos de la firma y que de hecho es el contenido de este curso.

87


Lo anterior se traduce en para una funcion de produccion f(·), necesariamente se debe cumplir que:

• ∂f(x1,x2)∂x1

≥ 0

• ∂f(x1,x2)∂x2

≥ 0

Finalmente, para un proceso productivo es obvio que

f(0) = 0: De la nada, nada sale.

Esta propiedad, junto con la anterior, son las grandes restricciones para que una funcion cualquierapueda ser una funcion de produccion: crecimiento en cada componente y evaluada en cero vale cero. Enel siguiente ejemplo ilustramos estas ideas.

Ejemplo 6.2 En la Figura 44 se ilustran 6 funciones. De ellas, solo (c), (d) y (f) pueden representarfunciones de produccion.

Figura 44: Funciones de Produccion

a b c

d e f

En lo que sigue, la idea es analizar con detalle algunas propiedades de sensibilidad de las funcionesde produccion cuando varıan las cantidades de los factores involucrados54. Los conceptos y propiedadesque se introducen seran relevantes en todo lo que sigue del curso, pues a traves de ellos se estableceran,e interpretaran, las condiciones de optimalidad de los problemas centrales de la firma: maximizacion debeneficio y minimizacion de costo.

En primer lugar, supongamos que el factor 1 pasa de x1 a x1 + δ, con δ pequeno. En este caso,recordando de la definicion de derivada, se tiene que,

∂f(x1, x2)

∂x1= lım

δ→0

f(x1 + δ, x2)− f(x1, x2)

δ.

Luego, para δ suficientemente pequeno,

54Esta idea de modificar algunos parametros y medir el efecto resultante es muy frecuente en economıa. Genericamentese habla de analisis de sensibilidad para referirse a este tipo de analisis. Para nuestros efectos, la idea es disponer dealgunos indicadores que nos permitan dar cuenta del impacto sobre la produccion debido a cambios en los factores.

88


∂f(x1, x2)

∂x1≃ f(x1 + δ, x2)− f(x1, x2)

δ,

a partir de lo cual,

f(x1 + δ, x2)− f(x1, x2) ≃ δ · ∂f(x1, x2)

∂x1.

De esta manera, cuando δ = 1 se deduce que,

f(x1 + 1, x2)− f(x1, x2) ≃∂f(x1, x2)

∂x1.

Esto motiva la siguiente definicion:

Definicion 6.4 Se entendera por Producto Marginal del Factor55 el cambio en la cantidad pro-ducida del bien final (output), motivada por el cambio en una unidad del insumo en cuestion. Para elfactor i = 1, 2, se denotara por PMgxi

(x1, x2).

De esta manera, a partir de lo anterior, se tiene que la productividad marginal puede ser aproximadapor la derivada parcial de la funcion de produccion c.r. a la variable. De hecho, abusando del lenguaje, yde las aproximaciones, la productividad marginal la vamos a calcular como la derivada parcial c.r.al factor respectivo. Insisto, en rigor ambas son solo aproximaciones, pero, para efectos practicos, serantratadas como iguales. De esta manera, la productividad marginal del proceso c.r. al factor i = 1, 2,evaluada en el punto (x1, x2), sera calculada como:

PMgxi(x1, x2) =

∂f(x1, x2)

∂xi, i = 1, 2.

Note que la productividad marginal de un factor depende del nivel del mismo donde se evalua.Note ademas que por la condicion de crecimiento de la funcion de produccion, la productividad marginalde cada factor siempre debe ser positiva. Finalmente, notemos que mientras mayor es la producti-vidad marginal, mayor es el producto extra que se obtiene de incrementar el factor en cuestion en unaunidad.

Otro concepto importante es el productividad media, que pasamos a definir.

Definicion 6.5 Se entendera por Producto Medio de un Factor 56 al producto total divido por lacantidad utilizada del factor productivo en cuestion. Dados x1, x2, el producto medio del factor i = 1, 2se denotara por PMex1(x1, x2).

En otras palabras, la productividad media del factor i = 1, 2 corresponde a:

PMexi(x1, x2) =

f(x1, x2)

xi.

Ejemplo 6.3 La Figura 45 ilustra ambos conceptos:

55Tambien llamada productividad marginal del factor.56Tambien la llamaremos productividad media.

89


Figura 45: Producto Medio y Marginal

Producto

f(a)

a b

(1)

x1

(2)

La productividad marginal en a es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva (recta (1)),

mientras que la productividad media es f(a)a . Note ademas que PMgx1(a) > PMgx1(b), mientras que

PMx1(a) < PMex1(b)57 (por que?)

Una funcion de produccion puede tener diversos comportamientos respecto de sus productividadesmarginales y medias. Por ejemplo, se puede dar el caso que una determinada tecnologıa tenga producti-vidades marginales crecientes, otra que tenga productividades marginales decrecientes, etc. La siguienteFigura 46 ilustra esta idea:

Figura 46: Comportamientos Funciones de Produccion

(1) (2) (3)

La funcion de produccion (1) tiene productividad marginal y media creciente, la (2) decrecientesmientras que la (3) constante58.

Finalmente, existen tecnologıas donde, para ciertos niveles de factor, las productividades marginales(y/o medias) son crecientes, mientras que para otro niveles de factor, son decrecientes. La Figura 47ilustra estos casos:

57La justificacion de esto curvas queda como ejercicio propuesto para el lector.58 Idem

90


Figura 47: Distintos Comportamientos en una Funcion de Produccion

y

x1 x2 x

y = f(x)

Cuando el factor esta entre 0 y x1, el producto marginal y medio es creciente; cuando esta entre x1

y x2, el producto marginal y el medio es decreciente. Finalmente, para x > x2, el producto marginal escero y el medio decreciente.

Ejemplo 6.4 Funciones de produccion concavas y convexas : producto marginal decrecientey creciente.

Formalmente, una funcion f : R → R se dice concava si para todo x1, x′1 ∈ R y para todo λ ∈ [0, 1]

se cumple que,

f(λx1 + (1− λ)x′1) ≥ λf(x1) + (1 − λ)f(x′

1).

La cantidad [λx1 + (1− λ)x′1] se denomina combinacion convexa de x1 y x′

1. A modo de ejemplo, siλ = 1/2 tenemos el promedio. En general, la combinacion convexa de dos numeros (valores) correspondea un valor intermedio cualquiera entre x1 y x′

1. Si λ = 0 o 1 se tiene cualquiera de los valores extremos.A partir de la definicion anterior, se puede demostrar que la funcion concava verifica que la primeraderivada es decreciente y, por lo tanto, que la segunda derivada debe necesariamente ser negativa59. Dehecho, esta es una caracterizacion de la concavidad. Geometricamente una funcion concava es como lomuestra la Figura 48

Figura 48: Funcion Concava

B

C

x1 A x′1

f

59Ver la siguiente figura: la pendiente de la tangente decrece en la medida que avanzamos en la recta real.

91


En la figura, A = λx1 + (1 − λ)x′1 representa una combinacion convexa cualquiera entre x1 y x′

1,mientras que B = f(λx1+(1−λ)x′

1). Finalmente, C = λf(x1)+ (1−λ)f(x′1) (probarlo como ejercicio).

En este caso, para cualquier punto entre x1 y x′1 se cumple que B esta por encima de C, que es la

definicion de concavidad. En consecuencia, geometricamente la concavidad se tiene cuando la recta unepuntos de una curva que esta siempre por debajo de la curva (B mas grande que C).

De esta manera, si una funcion de produccion fuese concava, entonces, por la caracterizacion conderivadas, necesariamente se debe cumplir que la productividad marginal es decreciente. Esta es una clasemuy importante de funciones de produccion que utilizaremos ampliamente en este curso. La propiedadde productividad marginal decreciente es un supuesto frecuente en economıa.

Finalmente, como contrapartida a la concavidad existe el concepto de convexidad: una funcionf : R → R se dice convexa si para todo x1, x

′1 ∈ R y para todo λ ∈ [0, 1] se cumple que,

f(λx1 + (1− λ)x′1) ≤ λf(x1) + (1 − λ)f(x′

1).

En otras palabras, la funcion f es convexa si la funcion −f es concava. En terminos geometricos, larecta anterior esta siempre por encima de la curva.

En terminos de productividades, las funciones de produccion convexas presentaran producto marginalcreciente.

La forma de caracterizar una funcion convexa es que la segunda derivada debe ser positiva en todoslos puntos60.

La Figura 49 ilustra funciones de produccion convexas y concavas61:

Figura 49: Funcion de Produccion Convexa y Concava

Convexa Concava

f f

En resumen, las funciones de produccion concavas se caracterizan por el hecho que el productomarginal es decreciente mientras que para las convexas este es creciente. �

Siguiendo con esta idea de construir indicadores para medir impactos sobre la produccion de cambiosen los factores, otro concepto importante a considerar es la elasticidad producto de un factor.

Definicion 6.6 La elasticidad producto del factor i=1,2 se define como la variacion porcentualen el producto dada un cambio de 1% en la cantidad del factor respectivo.

En otras palabras, si el cambio porcentual del factor 1 esta dado por δ, entonces, la elasticidadcorresponde a:

60Esto para el caso de funciones de una variable. Para funciones de varias variables, dicha condicion es que la matrizHessiana sea definida positiva. Para ello, si la funcion de produccion considera solo dos factores, bastara que los valorespropios del Hessiano sean positivos en todos los puntos.

61Recuerde que las funciones de produccion deben ser crecientes y valer cero en el origen.

92


ǫy,x1 =

f(x1+δ,x2)−f(x1,x2)f(x1,x2)

x1+δ−x1

x1

=f(x1 + δ, x2)− f(x1, x2)

δ· x1

f(x1, x2).

Considerando que δ es pequeno, se tiene finalmente la siguiente expresion para la elasticidad62:

ǫy,xi=

∂f(x1, x2)

∂xi· xi

f(x1, x2).

A partir de lo anterior, notemos en primer lugar que la elasticidad debe ser positiva ya que el productomarginal siempre es positivo.

¿Que relacion existe entre los conceptos anteriores? Las propiedades mas relevantes se resumen enla siguiente proposicion:

Proposicion 6.2 Dados x1, x2 y dada la funcion de produccion f(·), se tiene que:

a.-

ǫy,xi=

PMgxi(x1, x2)

PMexi(x1, x2)

.

b.- La productividad media del factor i = 1, 2 alcanza su maximo valor cuando es igual a la produc-tividad marginal del factor i = 1, 2.

c.- Si PMex1(x1, x2) < PMgx1(x1, x2) entonces PMex1(x1, x2) es creciente. Si PMex1(x1, x2) >PMgx1(x1, x2) entonces PMex1(x1, x2) es decreciente.

Demostracion.

a.- Directo evaluando la expresion de la derecha y comparando.

b.- Supongamos i = 1 y derivemos PMex1(x1, x2) c.r. a x1:

∂PMex1(x1, x2)

∂x1=

∂[f(x1,x2)

x1

]

∂x1=

x1 · ∂f(x1,x2)∂x1

− f(x1, x2)

x21

.

La condicion de maximizacion se tiene cuando la derivada anterior es cero. Para ello se requiereque el numerador de la expresion sea cero, es decir,

x1 ·∂f(x1, x2)

∂x1− f(x1, x2) = 0,

de lo cual se tiene que ∂f(x1,x2)∂x1

= f(x1,x2)x1

, correspondiente a lo mencionado.

c.- Del calculo de la derivada anterior, como la productividad media es creciente si su derivada es

positiva, se tiene que x1 · ∂f(x1,x2)∂x1

− f(x1, x2) > 0, es decir, ∂f(x1,x2)∂x1

> f(x1,x2)x1

que es lo indicado.Analogo con la otra parte, considerando que la funcion es decreciente si la derivada es negativa.

Definicion 6.7 Diremos que el producto es inelastico al factor i = 1, 2 si ǫy,xi< 1. Diremos que el

producto es elastico al factor i = 1, 2, si ǫy,xi> 1.

Nota 6.2 En estricto rigor, los conceptos elastico e inelastico se definen con el valor absoluto de laelasticidad. En este caso no se requiere pues la elasticidad factor del producto es siempre positiva.Finalmente, estos conceptos aplican para cualquiera sea la elasticidad considerada.

62Aproximamos el cuociente con δ por la derivada parcial respectiva.

93


Un concepto muy importante para analizar las propiedades de la firma es aquel de isocuanta deproduccion63, que pasamos a definir y analizar.

Definicion 6.8 La isocuanta de produccion al nivel de producto “y” se define como el conjunto decombinaciones posibles de insumos que son suficientes para obtener una cantidad dada de produccion.

En otras palabras, dada la funcion de produccion f(·) y dado el nivel de producto y, la isocuantarespectiva corresponde al conjunto:

Iy = {(x1, x2) | f(x1, x2) = y}.La interpretacion de las isocuantas es muy similar a aquella de las curvas de indiferencia en la teorıa

del consumidor. La Figura 50 ilustra el concepto:

Figura 50: Isocuanta de Produccion

x2

x1

f(x1, x2) = y

Proposicion 6.3 Suponiendo que la funcion de produccion f(·) es estrictamente creciente en cadacomponente, entonces se tiene que:

a.- En el plano x1 − x2 las isocuantas de produccion son curvas decrecientes.

b.- Isocuantas de produccion de distintos niveles de producto nunca se cortan. Es mas, si y1 < y2entonces la isouanta de produccion Iy1 esta por debajo de la isocuanta Iy2 .

c.- Dada la isocuanta Iy1 , la pendiente de la curva en un punto (x1, x2) de ella corresponde a:

m = −∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

.

d.- Si la funcion de produccion es concava, entonces la isocuanta de produccion es una curva convexaen el plano x1 − x2

64.

Demostracion.

63Concepto analogo al de curva de indiferencia en la teorıa del consumidor.64En rigor, la clase mas amplia de funciones de produccion que tienen isocuanta convexa es aquella de las denominadas

cuasi - concavas, de las cuales las concavas son un caso particular.

94


a.- Dado y, si f(x1, x2) = y entonces al aumentar x1, digamos a x1 + δ, necesariamente x2 debedisminuir ya que de mantenerse o aumentar, entonces la produccion tambien deberıa aumentarpues la funcion es creciente (aumentamos ambas componentes y luego el resultado debe crecer).Luego, para estar en la curva, un aumento de x1 debe implicar una disminucion de x2, es decir, lacurva es decreciente. La Figura 51 ilustra esta idea:

Figura 51: Isocuanta son curvas decrecientes

x2

x2 − b

x1 x1 + a

Iy

Si x1 aumenta en a, entonces x2 debe bajar (digamos en b).

b.- En efecto, si las curvas se cortasen, entonces existirıan niveles de factores (x∗1, x∗

2) tales quef(x∗

1, x∗2) = y1 (esta en la primera isocuanta) y ademas f(x∗

1, x∗2) = y2 (esta en la segunda iso-

cuanta), lo que no puede ser ya que y1 6= y2. Por otro lado, si y1 < y2 y (x1, x2) ∈ Iy1 , mientrasque (x1, x

∗2) ∈ Iy2 , entonces, dado que la funcion de produccion es creciente, se tiene que x2 < x∗

2,por lo cual, el punto (x1, x

∗2) esta por encima del punto (x1, x2), es decir, la isocuanta Iy2 esta por

arriba de Iy1 . La Figura 52 ilustra la proposicion:

Figura 52: Isocuantas no se cortan

x∗2

x2

x1

Iy1

Iy2

95


c.- Veamos en primer lugar un argumento informal. Supongamos que tenemos dos puntos cercanos(x1, x2), (x1 + a, x2 − b) ∈ Iy como ilustra la Figura 53:

Figura 53: Pendiente de Isocuantas

x2

x2 − b

x1 x1 + a

Iy

En tal caso, la pendiente de la isocuanta en (x1, x2) es aproximadamente:

m =(x2 − b)− x2

(x1 + a)− x1= − b

a.

Por otro lado, del hecho que f(x1 + a, x2 − b) = f(x1, x2) = y, haciendo la aproximacion por laderivada se tiene que65:

f(x1 + a, x2 − b)− f(x1, x2) = 0 = a · ∂f(x1, x2)

∂x1+ b · ∂f(x1, x2)

∂x2,

y luego,

m = − b

a≈ −

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

.

Otra manera de ver lo anterior (y mas formal) es la siguiente: como f(x1, x2) = y, existe unarelacion implıcita entre x1 y x2 (que de hecho define la isocuanta de produccion). Luego, x2 es unafuncion de x1, digamos x2(x1). Ası, f(x1, x2(x1)) = y. Derivando la expresion c.r a x1 y aplicandola regla de la cadena, se tiene que:

∂f(x1, x2(x1))

∂x1=

∂y

∂x1= 0,

ya que y no depende de x1. Desarrollando la derivada, por la regla de la cadena, se tiene que:

∂f(x1, x2)

∂x1+

∂f(x1, x2)

∂x2· ∂x2(x1)

∂x1= 0,

65En rigor, la siguiente relacion es solo una aproximacion, que asumimos como igualdad.

96


con lo cual se tiene que,

∂x2(x1)

∂x1= −

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

,

que es analogo a lo ya mostrado.

d.- Si tomamos dos puntos de la isocuanta y evaluamos la funcion de produccion en una combinacionconvexa de estos, por definicion dicho valor es mayor o igual que la combinacion convexa de losvalores de la funcion en dicho punto. Pero en cada uno de ellos la funcion vale el nivel de productoconsiderado y luego dicha combinacion es igual al nivel de producto. En consecuencia, la rectaesta por encima de la curva y, por lo tanto, es convexa. �

Nota 6.3 A partir de lo anterior, dada una isocuanta de produccion Iy, el plano respectivo quedadividido en tres regiones, a saber, aquellos puntos que estan en la curva, aquellos que estan por sobrela curva y, finalmente, aquellos que estan por debajo de la curva. Cada uno de estos puntos tiene lasiguiente particularidad respecto del nivel de produccion asociado:

a.- Los puntos en la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) = y.

b.- Los puntos sobre la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) > y.

c.- Los puntos bajo la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) < y.

La Figura 54 ilustra lo anterior:

Figura 54: Arriba, bajo y sobre una Isocuanta

x2

x1

f(x) < y

f(x) = y

f(x) > y

Iy

Volviendo sobre la proposicion anterior, se demostro que la pendiente de la isocuanta de produccion

en el punto (x1, x2) corresponde a −∂f(x1,x2)

∂x1∂f(x1,x2)

∂x2

. Esta cantidad es importante en el analisis de la funcion

de produccion, por lo cual se tiene la siguiente definicion:

Definicion 6.9 La relacion tecnica de sustitucion del factor 1 por el factor 2, evaluada en x1, x2,se define como

RTS1,2(x1, x2) = −∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

,

97


es decir,

RTS1,2(x1, x2) = −PMgx1(x1, x2)

PMgx2(x1, x2).

Notemos que RTS siempre debe ser negativa pues los productos marginales son positivos. Comola RTS es el cuociente de las derivadas parciales con signo menos, se tiene lo indicado. Otra forma de veresto es considerar que si aumentamos el factor 1 en una unidad, para mantener el producto constante,el factor 2 debe disminuir ya que, en caso contrario, el nivel final de producto aumentarıa (funcioncreciente). Como la RTS mide este cambio en el factor 2, se tiene su negatividad.

Respecto de lo anterior, en general las tecnologıas pueden tener dos tipos de comportamiento extre-mos respecto de uno de los factores, digamos x1:

a.- Aquellas en que la RTS12 es decreciente.

b.- Aquellas en que la RTS12 es creciente.

La Figura 55 ilustra los anterior:

Figura 55: Relacion Tecnica de Sustitucion (1)

x2

x∗1 x∗∗

1 x1

Iy

En la figura, entre el origen y x∗1 la RTS es creciente (cada vez es menos negativa), mientras que

entre x∗1 y x∗∗

1 es decreciente (cada vez mas negativa). En valor absoluto (es decir, obviando el signo),las conclusiones son contrarias: hasta x∗

1 se tiene que |RTS| es decreciente, mientras que entre x∗1 y x∗∗

1

es creciente.En general, el tipo de tecnologıa que vamos a considerar tendra RTS decreciente en modulo, es

decir, creciente si se considera el signo. Esto implica, en particular, que las isocuantas que vamos aconsiderar deben ser convexas, y por lo tanto no tener puntos de inflexion66.

¿Cual es la interpretacion y relevancia de la RTS? Considerando el desarrollo de la proposicionanterior, la RTS1,2 evaluada en un cierto nivel de factores, corresponde a la cantidad de factor 2 quehabrıa que disminuir para mantener la produccion constante, esto dado un aumento del otro factor en

66La RTS corresponde a la derivada de curva que define la isocuanta. Si dicha derivada es decreciente entonces la curvaes convexa. Si la curva es convexa, la funcion de produccion es concava. Si la funcion es concava, el producto marginales decreciente. Con todo esto se cierra un cırculo de supuestos y encadenamientos. Note la relevancia del supuesto deconcavidad y las interrelaciones que se dan entre los diversos conceptos que hemos definido.

98


una unidad (aumento marginal). En otras palabras, es indicativa de la sustitubilidad de factoresen un determinado proceso productivo.

Para el caso de una isocuanta convexa (funcion de produccion concava, por ejemplo), se tiene unaconsecuencia interesante de la sustitubilidad en terminos de la RTS. Supongamos que f(x1, x2) = y, yque decidimos aumentar la cantidad del factor 1 en una unidad (x1 → x1 + 1). Es claro que x2 debecambiar para seguir en la curva Iy. Este cambio esta dado por la RTS1,2(x1, x2).

Si ahora nuevamente decidimos aumentar (x1 + 1) en una unidad, la nueva cantidad del factor 2(digamos x∗

2) debe disminuir en RTS1,2(x1 + 1, x∗2). Por el supuesto de convexidad de la isocuanta, se

tiene que,

|RTS1,2(x1, x2)| > |RTS1,2(x1 + 1, x∗2)|,

es decir, un cambio en el factor 1 se sustituye con cada vez menos factor 2 en la medida que la cantidaddel factor 1 aumenta. La Figura 56 ilustra esta idea:

Figura 56: Relacion Tecnica de Sustitucion (2)

x2

1◦cambio en x1

2◦cambio en x2

x1 x1 + 1 x1 + 2 x1

Iy

Esta es una propiedad fundamental de las tecnologıas que tienen isocuantas convexas, que sera elcaso usual que vamos en considerar en este apunte.

Para terminar esta seccion, notemos que cuando analizamos la productividad marginal y/o la pro-ductividad media, modificamos un factor de produccion y mantenemos el otro constante, a partir de locual tratamos de ver el efecto sobre el resultado del proceso. Un poco mas de generalidad en el analisisse tiene cuando movemos simultaneamente todos los factores involucrados y miramos el efecto sobre laproduccion. Sin embargo, pretender cambiar todos los factores en forma discrecional e independiente eluno del otro, no tiene mucho sentido por cuanto la informacion que de ello se puede obtener es muyvaga, dada la generalidad del analisis. Lo que sı puede resultar interesante es modificar todos los factoresen la misma proporcion y ver como esto altera el resultado del proceso. De esta manera, supongamosque y = f(x1, x2), y dupliquemos la cantidad de factores en el proceso. En tal caso, las tres opcionesque se tienen son las siguientes:

a.- La produccion crece justo el doble, es decir,

f(2x1, 2x2) = 2 · f(x1, x2).

b.- La produccion crece mas que el doble, es decir,

f(2x1, 2x2) > 2 · f(x1, x2).

99


c.- La produccion crece menos que el doble, es decir,

f(2x1, 2x2) < 2 · f(x1, x2).

Con mas generalidad, supongamos que en vez de duplicar la cantidad de factores, multiplicamos poruna cantidad t > 1 todas las cantidades involucradas. En tal caso, las tres posibilidades son:

a.- La produccion crece proporcionalmente (linealmente) con el aumento de los factores, es decir,

f(tx1, tx2) = t · f(x1, x2).

b.- La produccion crece mas que proporcionalmente (mas que linealmente) que el aumento defactores, es decir,

f(tx1, tx2) > t · f(x1, x2).

c.- La produccion crece menos que proporcionalmente (menos que linealmente) que el aumentode factores, es decir,

f(tx1, tx2) < t · f(x1, x2).

Esto motiva la siguiente definicion.

Definicion 6.10 Diremos que la funcion de produccion o tecnologıa presenta rendimientos constan-tes de escala si se tiene el caso [a.−] dado antes. Por otro lado, diremos que la funcion de producciontiene rendimientos crecientes de escala si se verifica el caso [b.−] anterior. Finalmente, la funcion deproduccion se dira que tiene rendimientos decrecientes de escala si se tiene el caso [c.−] anterior.

Proposicion 6.4 Si la funcion de produccion es convexa entonces tiene rendimientos crecientes deescala. Por el contrario, si la funcion de produccion es concava, tiene rendimientos decrecientes deescala.

Demostracion. Para simplificar, supongamos que el proceso productivo tiene solo un factor y que lafuncion de produccion es convexa, es decir, verifica que,

f(tx1 + (1− t)x∗1) < t · f(x1) + (1− t)f(x∗

1),

para todo t ∈ [0, 1]. Considerando x∗1 = 0 y del hecho que f(0) = 0, se concluye,

f(tx1) < tf(x1),

con t ∈ [0, 1]. Supongamos ahora que t > 1 y sea x1 dado. En primer lugar, notemos que f(x1) =f(1t · tx1). Como t > 1, 1

t < 1 y, por la propiedad anterior, se concluye que:

f(x1) = f(1

t· tx1) <

1

t· f(tx1),

de lo cual, reordenando terminos, se concluye que f(tx1) > t·f(x1), con t > 1, es decir, tiene rendimientoscrecientes de escala en la produccion. El caso funcion de produccion concava es analogo y queda comoejercicio. �

Ejemplo 6.5 Supongamos que f(x1, x2) = xα1 · xβ

2 . En este caso, dado t > 1, se tiene que,

f(tx1, tx2) = (tx1)α · (tx2)

β= tα+β · f(x1, x2).

Dependiendo de los valores de α y β se tienen los distintos casos de rendimientos de escala anteriores.Ası:

100


a.- Si (α + β) > 1 entonces t(α+β) > t cuando t > 1 y, por lo tanto,

f(tx1, tx2) > tf(x1, x2),

es decir, existen rendimientos de escala crecientes en la produccion.

b.- Si (α + β) < 1 entonces tα+β < t y luego,

f(tx1, tx2) < tf(x1, x2),

es decir, existen rendimientos decrecientes de escala en la produccion.

c.- Si (α + β) = 1 entonces t(α+β) = t cuando t > 167 y, por lo tanto,

f(tx1, tx2) = tf(x1, x2),

es decir, existen rendimientos de escala constantes en la produccion.

Nota 6.4 ¿Una funcion de produccion necesariamente debe tener alguno de los tres tipos de rendimien-tos de escala anteriores? No necesariamente. Podemos tener funciones de produccion que en algun rangode factores tengan rendimientos de escala crecientes, en otros decrecientes y en otros constantes. Estasituacion es analoga a la que se tenıa con las productividades marginales crecientes y decrecientes: paraalgunos niveles de factores se tenıa una u otra propiedad.

A partir de lo anterior, surge de manera natural un concepto que nos ayudara a dar cuenta de laescala en la produccion: la elasticidad de escala.

Definicion 6.11 Dada una funcion de produccion f(·) y dados los factores x1, x2, la elasticidad deescala de la produccion en el punto (x1, x2) se define como:

ǫesc(x1, x2) =

[df(tx1, tx2)

dt· t

f(x1, x2)

]∣∣∣∣t=1

,

es decir, se calcula la expresion anterior y se evalua el resultado en t = 1.

Ejemplo 6.6 Supongamos dada la funcion de produccion f(x1, x2) = xα1 · xβ

2 . Entonces se tiene que:

ǫesc(x1, x2) =

[df(tx1, tx2)

dt· t

f(x1, x2)

]∣∣∣∣t=1

=

[d(tx1)

α(tx2)

β

dt· t

xα1 · xβ

2

]∣∣∣∣∣t=1

=

[dtα+β

dt· t · x

α1 · xβ

2

xα1 · xβ

2

]∣∣∣∣∣t=1

.

Simplificando y calculando la derivada, se tiene que:

ǫesc(x1, x2) =[(α+ β) · tα+β−1 · t

]∣∣t=1

= α+ β.

¿Como interpretar el valor de la elasticidad de escala? Se tiene lo siguiente:

a.- Cuando ǫesc(x1, x2) < 1, entonces localmente68 la funcion de produccion tiene rendimientosdecrecientes de escala.

b.- Cuando ǫesc(x1, x2) > 1, entonces localmente la funcion de produccion tiene rendimientos cre-cientes de escala.

67De hecho, para todo t > 0.68Es decir, en torno a (x1, x2).

101


c.- Cuando ǫesc(x1, x2) = 1, entonces localmente la funcion de produccion tiene rendimientos cons-tantes de escala.

El concepto de escala de la produccion es global: se refiere a todo el proceso. A partir de la elasticidadde escala se tiene un concepto local: una funcion de produccion puede no tener ningun tipo de rendi-miento de escala (global), pero si en algunas regiones presentar rendimientos crecientes, decrecientes oconstantes. La Figura 57 ilustra esta importante idea:

Figura 57: Elasticidad de Escala

a b

Entre 0 y a, la tecnologıa tiene rendimientos crecientes de escala; entre a y b son decrecientes y parax1 > b son constantes. Globalmente, la tecnologıa no tiene ningun tipo de rendimiento de escala.

Finalmente, si fuera que para todo punto se cumple una propiedad local similar de rendimiento deescala, eventualmente es posible inferir algo desde el punto de vista global. La siguiente proposicion nosrelaciona ambos conceptos:

Proposicion 6.5 A partir de los conceptos anteriores, se tiene que:

a.- Si para todo (x1, x2) se tiene que ǫesc(x1, x2) < c, con c < 1 constante independiente del puntoconsiderado, entonces la funcion de produccion tiene rendimientos decrecientes de escala (global).

b.- Si para todo (x1, x2) se tiene que ǫesc(x1, x2) > c, con c > 1 constante independiente del puntoconsiderado, entonces la funcion de produccion tiene rendimientos crecientes de escala (global).

c.- Si para todo (x1, x2) se tiene que ǫesc(x1, x2) = 1, entonces la funcion de produccion tiene rendi-mientos constantes de escala.

Demostracion. Ejercicio propuesto.

6.4. Elasticidad de sustitucion

La elasticidad de sustitucion que vamos a definir corresponde a una medida de la sustitubilidad de unfactor por otro dentro de un proceso productivo. Ex post, esta medida correspondera a la curvatura de laisocuanta en el punto correspondiente. Para fijar ideas, consideremos, dado un cierto nivel de producciony0, de tal forma que dada una funcion de produccion f : R2 → R queda definida una isocuanta al nively0,

{(x1, x2) ∈ R2 | f(x1, x2) = y0}.

102


Dados los precios de los factores w1 y w2, es claro que un punto cualquiera de la isocuanta (x∗1, x

∗2)

cuesta entonces,C∗ = w1x

∗1 + w2x

∗2.

Consideremos ahora el conjunto de todas las combinaciones de factores (que pueden o no estar en laisocuanta) que tienen exactamente el mismo valor que el punto anterior (C∗). La condicion menciodadadefine entonces una recta de la forma,

w1x1 + w2x2 = C∗.

Suponga ahora, que por alguna razon (lo que se discutira con detalle mas adelante en el curso)ocurre que la recta anterior es tangente a la isocuanta en el punto (x∗

1, x∗2), cuestion que es ilustrada en

la Figura 58,

Figura 58: Elasticidad de Sustitucion (1)

m = −(w1/w2)

f(x1, x2) = y0

(x∗1, x

∗2)

Note que, como se indica en la figura, la pendiente de la recta de costos mencionada es,

−w1

w2.

Ahora bien, partiendo de la situacion inicial anterior, si modificasemos ligeramente la razon deprecios, geometricamente, ocurrira que la recta de costos mencionda cambia de pendiente, razon por lacual, la tangencia con la isocuanta se dara en otro punto, tal como se muestra en la Figura 59 (rectapunteada representa la nueva recta donde se ha modificado la pendiente, es decir, la razon de precios),

103


Figura 59: Elasticidad de Sustitucion (2)

(x′1, x

′2)

f(x1, x2) = y0

(x∗1, x

∗2)

Por lo tanto, si llamamos w′1 y w′

2 los nuevos precios, la pendiente de la recta (razon de preciosnegativa) cambia de,

−w1

w2→ −w′

1

w′2

lo que a su vez tiene un efecto sobre el punto de tangencia entre la recta y la curva, pasando la razonde los factores de,

x∗1

x∗2

a la razon,

x′1

x′2

.

Por lo tanto, una medida del cambio que se tiene en los insumos es dada por el cociente entre lasrazones de insumos y las razones de precios (precios relativos), es decir,

(x′

1

x′

2− x∗

1

x∗

2

)

(w′

1

w′

2− w1

w2

)

que, aproximado por derivadas, corresponde a

∂(

x1

x2

)

∂(

w1

w2

) .

Finalmente, convirtiendo la expresion anterior en una elasticidad, queda que una medida del efectocambio de razon de precios sobre razon de factores es definida por la llamada elasticidad de sustitucion

σ =∂(

x1

x2

)

∂(

w1

w2

) ·w1

w2

x1

x2

.

Dada una funcion de produccion y dados los precios de factoresw1 y w2, ¿como se calcula entoncesla elasticidad de sustitucion anterior? Vamos por partes. En primer lugar, de la condicion de

104


tangencia impuesta al punto en cuestion, se deduce que la pendiente de la isocuanta en dicho puntodebe ser igual a la pendiente de la recta de costos mencionada. Por lo tanto, como la pendiente de laisocuanta es la razon de productos marginales, se tiene que en el punto tangente se cumple que,

−∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

= −w1

w2⇔

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

=w1

w2(13)

Por otro lado, el punto en cuestion es parte de la isocuanta al nivel y0, por lo cual se cumple que,

f(x1, x2) = y0. (14)

En tercer lugar, con las ecuaciones (13) y (14) anteriores es posible, entonces, encontrar el punto detangencia que hemos mencionado (dos ecuaciones, dos incognitas).

Dado esto, se tiene entonces que podemos calcular la expresion de σ con las cantidades antes deter-minadas.

Ejemplo 6.7 Calculemos la elasticidad de sustitucion para la Cobb-Douglas f(x1, x2) = xα1 x

β2 . En este

caso, dados los precios w1, w2, y dado un nivel de produccion y0, el punto de tangencia correspondienteviene dado por las ecuaciones [1] y [2] anteriores, es decir, por,

αxα−11 xβ

2

βxα1 x

β−12

=w1

w2⇔ αx2

βx1=

w1

w2.

Por lo tanto, ocurre que,

x1

x2=

α

β

w2

w1=

α

β

(w1

w2

)−1

,

por lo cual,

∂(

x1

x2

)

∂(

w1

w2

) = −α

β

(w1

w2

)−2

.

Finalmente, como sabıamos,

x1

x2=

α

β

w2

w1⇒

w1

w2

x1

x2

=w1

w2

αβ

w2

w1

=β

α

(w1

w2

)2

lo que finalmente implica que,

σ = −α

β

(w1

w2

)−2

· βα

(w1

w2

)2

= −1.

En resumen, la elasticidad de sustitucion en una Cobb-Duoglas es siempre igual, a menos uno.¿Como se interpreta este resultado? Un aumento porcentual en la razon de precios (uno por ciento)tiene que hacer disminuir la razon de factores en un uno porciento, siendo estos factores aquellos de laisocuanta que son de tangencia entre la isocuanta y aquellos definidos por la recta de pendiente razonde precios antes detallada. Ex post, estos puntos corresponderan a la demanda por factores que tiene lafirma a los precios w1 y w2.

Ejemplo 6.8 Calculemos la elasticidad de sustitucion para una CES de la forma,

f(x1, x2) = [xρ1 + xρ

2]1/ρ

.

En este caso, dados los precios w1, w2, consideremos entonces,

105


∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

=w1

w2⇔ (1/ρ) [xρ

1 + xρ2]

1/ρ−1ρxρ−1

1

(1/ρ) [xρ1 + xρ

2]1/ρ−1

ρxρ−12

=xρ−11

xρ−12

=

(x1

x2

)1/(ρ−1)

=w1

w2

con lo cual,

x1

x2=

(w1

w2

) 1ρ−1

⇒ ∂(x1/x2)

∂(w1/w2)=

1

ρ− 1

(w1

w2

) 1ρ−1−1

.

Por lo tanto, haciendo el calculo correspondiente, queda que,

σ =1

ρ− 1

(w1

w2

) 2−ρρ−1

·(w1

w2

)(w1

w2

)− 1ρ−1

=1

ρ− 1.

De esta manera, la elasticidad de sustitucion resulta ser constante e igual a la expresion anterior.Esto se interpreta diciendo que un aumento porcentual en la razon de precios implica que la razon deinsumos en el punto tangente mencionado, se modifica en 1

ρ−1 %.

6.5. El corto y el largo plazo.

Para efectos de nuestro analisis, se entendera que existe una situacion de corto plazo en la pro-duccion cuando alguno de los factores de produccion esta fijo de modo que no puede ser modificadoa eleccion por la firma (es decir, ahora es un parametro o dato para la firma)69. A diferencia de esto,en una situacion de largo plazo asumiremos que todos los factores son variables y que pueden serescogidos por la firma segun su conveniencia. ¿Como se traduce esto en el modelo que estamosestudiando? La respuesta es simple: hablaremos de tecnologıas de corto plazo y de tecnologıasde largo plazo. En otras palabras, si el proceso productivo consta de dos factores, en una situacionde corto plazo se asume que uno de ellos (digamos, el 2) esta fijo en cantidad, digamos x2. Con esto, elespectro de elecciones de la firma se ve reducido y puede ser considerada como una firma que ocupa soloun factor de produccion. Pero no solo el espectro de elecciones de factores se ve reducido: su tecnologıatambien cambia. En efecto, si en el largo plazo su funcion de produccion es f(·, ·)70, en el corto plazoesta es f(·, x2), es decir, una funcion que depende de solo una variable (x1). La tecnologıa de corto plazopuede ser completamente distinta de aquella de largo plazo. En efecto, se pueden dar situaciones en que,por ejemplo, la tecnologıa de largo plazo tenga rendimientos crecientes de escala pero que aquella decorto plazo tenga rendimientos decrecientes de escala. El siguiente ejemplo ilustra este caso:

Ejemplo 6.9 Supongamos que en el largo plazo la tecnologıa de una firma es

f(x1, x2) = x121 · x3

2.

Es claro que dicha tecnologıa tiene rendimientos crecientes de escala en el largo plazo, pues eshomogenea de grado 3, 5 > 1. Sin embargo, en cualquier situacion donde el factor 2 este fijo, digamos,en x2, la tecnologıa de corto plazo resultante es,

fcp(x1) = x121 · x3

2,

la que tiene rendimientos decrecientes de escala. Note que en este caso x32 es una constante para

el proceso de produccion.

69Ciertamente, el corto plazo puede ser considerado mas ampliamente como el hecho de que existen restricciones enlas decisiones que puede tomar la firma, tales como la cantidad de utilizacion de un factor.

70Funcion que depende de dos variables: x1 y x2.

106


6.6. Problemas Propuestos

Pregunta 1.1. Comente las siguientes afirmaciones, indicando si es verdadera, falsa o incierta. Justifiquebrevemente su respuesta.

1.1 Dados los factores de produccion (x1, ...xn), las funciones de produccion deberıan ser siemprelineales por cuanto el resultado del proceso industrial, cualquiera que el sea, es simplemente unacombinacion ponderada de los factores.

1.2 Las isocuantas de produccion son convexas porque de otra manera estarıamos en presencia debienes que no estan relacionados en el proceso productivo.

1.3 Dado el modelo y los supuestos que hemos visto en clases, es perfectamente posible que la relaciontecnica de sustitucion (RTS) entre dos bienes sea positiva.

1.4 Si para una cierta firma el producto marginal de un factor A es siempre mayor que la de otrofactor B, entonces para dicha firma siempre sera preferible utilizar mas de A que de B en elproceso productivo.

1.5 Supongamos que dos firmas distintas tienen funciones de produccion f1(x1, x2) y f2(x1, x2) res-pectivamente. Si para todo x1, x2 se tiene que

f1(x1, x2) ≤ f2(x1, x2),

entonces podemos decir que la firma 2 es mas eficientes que la 1.

1.6 Para producir 6 litros de mote con huesillos, una firma puede ocupar 2 unidades de mote y 4 dehuesillos o 4 unidades de mote y 2 de huesillos. Entonces con 3 unidades de mote y 3 de huesillospuede producir 7 litros de mote con huesillos.

1.7 Sabiendo que para producir una determinada cantidad de cigarrillos la firma ocupa mucho tabacoy poco papel, ¿cual cree Ud. que es la combinacion de parametros α y β que mejor representarıala funcion de produccion de la firma?

1.8 En un proceso productivo, ¿es posible tener un producto marginal decreciente en un factor y, aunası, rendimientos crecientes de escala? Justifique su respuesta.

1.9 En un proceso productivo, ¿es posible que existan rendimientos constantes de escala pero que losproductos marginales sean decrecientes? Justifique su respuesta.

1.10 Suponga que f(·) representa la tecnologıa de una cierta firma y sea g(·) una funcion crecien-te. Entonces, f ◦ g (composicion de f con g) representa la misma tecnologıa anterior, es decir,transformaciones crecientes de la tecnologıa no alteran su naturaleza.

1.11 Si para producir una cantidad y1 de un cierto producto se requieren insumos en cantidades x11, x

12,

mientras que para producir y2 se requieren x21, x2

2. Entonces, si y1 > y2, necesariamente se debecumplir x1

1 > x21 y x1

2 > x22.

1.12 Que las productividades marginales sean positivas se relaciona estrechamente con el hecho que conmas inputs necesariamente se producen mas outputs.

Pregunta 1.2.Una firma utiliza dos factores de produccion en su proceso para fabricar tornillos: capital K y trabajo

L. Se sabe que la funcion de produccion de la firma tiene la forma:

f(K,L) = Kα · Lβ.

107


a.- Sabiendo que la elasticidad capital de la produccion es constante e igual a 13 y que la funcion de

produccion es homogenea de grado 1, determine los parametros de la produccion (es decir, α y β).

b.- La firma ha decidido producir con niveles K = 8 y L = 4. Sin embargo, ha surgido por algunarazon la opcion de cambiar los niveles de factores. De hecho, la alternativa que maneja la firma esocupar un 50% mas de trabajo que en el caso anterior. ¿Que nivel de capital mınimo necesitarıala firma para estar indecisa entre ambas alternativas de produccion?

Pregunta 1.3.Determine el tipo de rendimiento de escala de las siguientes funciones de produccion

a. f(x1, x2) =√αx2

1 + x22

b. f(x1, x2) =n√αx2

1 + βx22

c. f(x1, x2) = xα1 · xβ

2 (Respuesta en funcion de α y β).

d. f(x1, x2) = xα1 · xβ

2 + 3.

e. f(x1, x2) = x41 + x6

1.

Pregunta 1.4.Para la funcion de produccion CES

f(x1, x2) = (axρ1 + bxρ

2)1ρ

determine el valor de los rendimientos locales de escala y el valor de la RTS entre x2 y x1. Determineademas la RTS entre x1 y x2.

Problema 1.5.Determine explıcitamente la expresion de la isocuanta de produccion para las siguientes tecnologıas:

a.- f(x1, x2) = xα1 · xβ

2

b.- f(x1, x2) = xα1 + xβ

2

c.- f(x1, x2) =

√xα1 + xβ

2

d.- f(x1, x2) = max{2x1, 3x2}

Para los casos a - c, determine el valor de la RTS derivando directamente el despeje de x2 enfuncion de x1 obtenido. Compare el resultado con la expresion de RTS que Ud. ya conoce (cuocientesde productividades marginales).

Pregunta 1.6.La relacion tecnica de sustitucion entre los factores x1 y x2 es −4. Si deseamos producir la misma

cantidad, pero reduciendo el uso de x1 en tres unidades, ¿cuantas unidades adicionales de x2 necesitamos?Misma pregunta respecto de x1 si ahora reducimos x2 en tres unidades.

Problema 1.7.Suponga que una firma tiene dos plantas para producir un determinado producto, para lo cual emplea

solo un factor. Si la funcion de produccion de la Planta 1 es f1(x1) = αx1 y aquella de la Planta 2 esf2(x1) = βx2

1, con α > 0 y β > 0.¿Cual es la funcion de produccion de la firma?

108


Problema 1.8.Para las firmas productoras de zapatos, se ha considerado, para efectos de analisis, que solo utilizan

cuero (C) y goma (G) para fabricar sus productos. Se ha estimado, econometricamente, que la funcionde produccion que tienen las firmas del rubro es de la forma f(C,G) = λCα · Gβ , donde α, β y λdependen de cada firma en particular. Para el caso de la zapaterıa El Botın de Oro, se sabe que con unaunidad de cuero y una unidad de goma se produce un par de zapatos. Se sabe ademas que la elasticidadcuero de la produccion es constante e igual a 2/3 y que la funcion de produccion es homogenea de grado1:

a.- Determine la funcion de produccion de la zapaterıa.

b.- Despues de mucho meditarlo, el dueno de la firma, Sr. Valenzuela, ha llegado a la conclusion quesemanalmente debe ocupar ocho unidades de goma y cuatro de cuero para hacer sus entregas.En determinado momento, el proveedor de las gomas le ha informado que llegara solo con seisunidades, y nada mas. En primer lugar, determine utilizando RTS, cual es la cantidad de cueroextra que necesita el Sr. Valenzuela para producir lo que ya se habıa comprometido. En segundolugar, haga el mismo calculo utilizando directamente la funcion de produccion y las igualdadespertinentes. Compare los resultados obtenidos y comente las eventuales diferencias.

7. Maximizacion de Beneficios 71

7.1. Introduccion

Una vez hecha la caracterizacion de la tecnologıa, es necesario explicar de que manera la firma elige lacantidad de producto que elabora. Siguiendo un argumento de racionalidad e incentivos, supondremosque el objetivo de cada empresa es maximizar el beneficio a partir de sus decisiones de produccion.Tal como se ha mencionado, este objetivo puede provenir de incentivos a crecer o desarrollarse comoempresa, o directamente del interes pecuniario que tienen los duenos de la misma para los fines quepersonalmente estimen convenientes.

Para la definicion de los beneficios, necesariamente se deben introducir los precios de los factores yel producto. Este valor resume las apreciaciones y valoraciones que tenemos, y que los otros tienen, delbien o factor en cuestion. El valor del precio se asumira como un dato exogeno para la firma: no existecontrol sobre el mismo, de modo que es un parametro prefijado para las decisiones de cada empresaen particular. Sobre la base de esta idea, toda vez que se deseen cuantificar beneficios de una firma,necesariamente debemos pasar por la valoracion del ingreso y el costo a partir del set de precios dado. Apartir de esta idea, es posible colocar en este esquema utilitarista otros objetivos eventuales de la firma,obviamente siempre y cuando sea posible asignar precios a los factores y productos involucrados.

7.2. Los Beneficios de una firma

Los beneficios economicos de una firma son entendidos como la diferencia entre los ingresos ytodos los costos asociados al proceso. Es relevante notar que deben ser todos los costos del proceso. Amodo de ejemplo, si Ud. tiene su propia empresa, su trabajo es parte de los insumos y, por lo tanto, debeser incluıdo en los costos a partir de su valoracion de mercado, es decir, el valor alternativo de vendersu tiempo a otra firma. Justamente este hecho es el que obliga, al hablar de beneficios economicos, avalorar todos los insumos y productos a su coste de oportunidad. Siguiendo con esta idea, lo mismo esaplicable a la tierra, alquileres, etc., es decir, a todos los factores utilizados en el proceso productivo.

La idea de costos anterior puede diferir de aquella utilizada en terminos contables, pues en ese casoel valor historico (el costo cuando se llevo a cabo la venta) y no el economico (cuanto valdrıa hoy en elmercado) es el utilizado. En lo que sigue, trabajaremos con la definicion economica de costo.

Tal como hemos mencionado, la valoracion de mercado de los insumos se hara a traves de los preciosde mercado de los mismos. A modo de ejemplo, si el factor de produccion 1 corresponde a trabajo,


109


su valoracion unitaria correspondera al salario de mercado por el tipo de trabajador considerado. Estomismo sigue siendo valido para los productos de la firma.

De esta manera, suponiendo que nuestro proceso productivo consta de dos factores y solo un pro-ducto, designemos el precio unitario de mercado del output como p y de cada factor por w1 y w2

respectivamente. Con esto se tiene la siguiente definicion.

Definicion 7.1 Si la firma decide ocupar x1 del factor 1 y x2 del factor 2, entonces el ingreso obtenidosera I = p ·f(x1, x2) mientras que el costo asociado es C(x1, x2) = w1x1+w2x2. Con esto, el beneficiorespectivo sera:

π(x1, x2) = I(x1, x2)− C(x1, x2) = p · f(x1, x2)− (w1x1 + w2x2).

7.3. Maximizacion de beneficio

A partir de lo anterior, dando cuerpo al principio de maximizacion de beneficio de cada firma, setiene la siguiente definicion:

Definicion 7.2 El problema de maximizacion de beneficio de una firma es, dados los precios de productoe insumos, escoger aquella combinacion de factores (x1, x2) de modo que se maximice el beneficio

π(x1, x2) = p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2,

lo cual se representa por

maxx1,x2

π(x1, x2) = maxx1,x2

{p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2}.

Nota 7.1 En este modelo, la firma decide sobre la cantidad de factores que ocupara, con lo cual quedadeterminado el producto que elaborara y con ello el beneficio que podrıa obtener. Esto se resume diciendoque las variables de decision de la firma son los niveles de factores que escoge, de modo que el productoes un dato endogeno a esta decision.

Ası, el problema de maximizacion de beneficio es uno de optimizacion sin restricciones, que bajosupuestos de regularidad de la funcion de produccion72, se puede resolver a partir de las condicionesnecesarias de optimalidad de primer orden, es decir, igualando a cero cada una de las derivadas delbeneficio c.r. a cada una de las variables (factores) y resolviendo el sistema de ecuaciones que se genera.De esta manera, las condiciones de optimalidad que permiten encontrar la soluciones del problemason:

∂π(x1,x2)∂x1

= 0 ⇔ p · PMgx1(x1, x2) = w1

∂π(x1,x2)∂x2

= 0 ⇔ p · PMgx2(x1, x2) = w2,

es decir, el valor del producto marginal de cada unidad de factor debe ser igual a su costo73.Visto de otra forma, como el beneficio se puede descomponer en Ingresos - Costos:

π(x1, x2) = I(x1, x2)− C(x1, x2),

al derivar c.r. a xi, i = 1, 2, e igualar a cero, se tiene que,

72Por ejemplo, que la funcion de produccion tenga rendimientos decrecientes de escala, que como caso particular se tienecuando es concava.

73Esto viene directamente de la derivacion del beneficio: ∂π(x1,x2)∂x1

= 0 ↔ p · ∂f(x1,x2)∂x1

−w1 = 0 ↔ p ·PMgx1(x1, x2) =

w1. Analogo con el factor 2.

110


∂I(x1, x2)

∂xi=

∂C(x1, x2)

∂xi,

es decir, en forma equivalente a la anterior, en el optimo se debe cumplir que el ingreso marginal decada factor es igual al costo marginal del mismo.

Esta relacion fundamental para la maximizacion de beneficios puede ejemplificarse a partir de ladecision de contratacion de un trabajador adicional. ¿Hasta cuando debe la firma contratar un trabajadoradicional? A partir de las condiciones de optimalidad, debe hacerlo hasta que el ingreso marginal porsu labor en la organizacion sea igual al costo (marginal) de su inclusion, es decir, hasta que el beneficioextra que aporta su contratacion sea igual al costo extra que dicha contratacion trae asociado. De locontrario, si fuera que el beneficio de contratar un trabajador adicional sigue siendo positivo, entoncesla firma tiene incentivos a seguir contratando y, por el contrario, si el beneficio extra fuese negativo,la firma no debio haber hecho la contratacion, pues incurre en perdidas, con lo cual tiene incentivo adespedir y no contratar mas mano de obra. Expresado lo anterior en terminos matematicos, si fueraque p · PMgx1(x1, x2) > w1, entonces la firma obtiene ganancia con el uso de una unidad adicionalde factor 1, ya que su costo unitario es menor que el valor del producto extra que obtiene. De estamanera, tiene incentivo a aumentar la cantidad de factor a utilizar en el proceso productivo. Si fueraque p · PMgx1(x1, x2) < w1, entonces la firma puede obtener mas beneficio si disminuye la cantidad defactor 1 en una unidad, ya que ya que su costo unitario (w1) es mayor que el valor del producto extraque obtiene de mantenerlo. Si fuese que p · PMgx1(x1, x2) = w1, entonces la firma esta en equilibriorespecto del uso de factores, de tal forma que no tiene incentivos a modificar (subir o bajar) el uso delos mismos.

Geometricamente la interpretacion de la condicion de optimalidad es analoga a aquella de maximi-zacion de utilidad para el caso de consumidores. En este caso, la recta presupuestaria es reemplazadapor la denominada recta de isobeneficio.

Definicion 7.3 Dada una cantidad π > 074, definimos la recta de isobeneficio como el conjunto depuntos x1, x2 e y (insumos y producto) tales que al ser valorados por la firma, dan como beneficio elvalor π. Es decir, x1, x2 e y tales que:

π = p · y − w1x1 − w2x2.

Ordenando terminos, la recta de isobeneficio tiene la forma:

y =π

p+

w1

px1 +

w2

px2,

donde, como tenıamos, el valor de π representa el parametro de beneficio considerado.Si hubiera solo un factor de produccion, la recta de isobeneficio serıa:

y =π

p+

w1

px1.

En lo que sigue vamos a ilustrar la condicion de optimalidad del problema de maximizacion debeneficio por medio de la recta de isobeneficio. Para ello, supongamos que el proceso productivo tienesolo un factor de produccion. En tal caso, dibujemos (Figura 60) la funcion de produccion junto conrectas de isobeneficio (distintos parametros de beneficio):

74Para el caso es un parametro.

111


Figura 60: Isobeneficio

y

b1

y∗

b2

b3x∗1 x1

f

(3)

(2)(3)

En la figura, para la recta (1) no existe plan de produccion que nos pueda dar el beneficio b1. En elcaso de la recta (3), existen puntos factibles de ser elaborados que pueden entregar un beneficio mayorque b3 (cualquiera que este en la curva por sobre la recta). Por ultimo, la recta (2) esta definida por elnivel maximo de beneficio que puede alcanzar la firma: en el punto x∗

1 la firma maximiza beneficio y elvalor de este beneficio maximo es b2. Notemos que en el optimo, la recta de isobeneficio es tangente a lafuncion de produccion. Ası, en x∗

1 la pendiente de la recta y la pendiente de la curva en el punto debenser iguales, es decir:

w1

p=

∂f(x∗1)

∂x1= Pmgx1(x

∗1) ⇔ p · PMgx1(x

∗1) = w1,

cuestion que ya tenıamos.

Siguiendo con la interpretacion de las condiciones de optimalidad, del hecho que p· ∂f(x1,x2)∂xi

= wi, i =

1, 2, se obtiene 75:

p · ∂f(x1,x2)∂x1

p · ∂f(x1,x2)∂x2

=w1

w2,

es decir,

∂f(x1,x2)∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

=w1

w2⇔ −RTS1,2(x1, x2) =

w1

w2⇔ RTS1,2(x1, x2) = −w1

w2.

Ası, en el optimo, la relacion tecnica de sustitucion es igual a menos el coeficiente de losprecios de insumos. Este resultado es equivalente a todo lo anterior. Sin embargo, tiene riquezainterpretativa propia y es la siguiente: supongamos que por alguna razon hemos escogido el nivel deproducto y∗, de modo que el ingreso esta fijo en I∗ = p · y∗. Para maximizar el beneficio, claramentedebemos buscar en la isocuanta respectiva aquella combinacion de factores que tenga el menor costo.Para esto, definamos las rectas de isocosto al nivel c, como el conjunto de puntos x1, x2 tales que,

w1x1 + w2x2 = c.

75Diviendo el caso para i = 1 por el de i = 2.

112


Graficamente la situacion es como sigue:

Figura 61: Maximizacion de Beneficios

x2

x∗2

x∗1 x1

y∗

(1)(2)(3)

En la Figura 61 se han dibujado tres rectas de isocosto, digamos con parametros c3 < c2 < c1para cada recta (1), (2) y (3) respectivamente. Los puntos de la recta (3) no permiten elaborar y∗ puesestan por debajo de la isocuanta al nivel y∗. Los puntos de interseccion de la recta (1) con la isocuantapermiten elaborar exactamente y∗, pero tienen un costo muy elevado de modo que no maximizanbeneficio. El punto de interseccion (tangencia) entre la recta de isocosto (2) y la isocuanta es compatiblecon la produccion de y∗ y es, ademas, aquel de menor costo, de modo que resuelve el problema demaximizacion de beneficio. De la tangencia entre la recta y la isocuanta se tiene la igualdad de laspendientes. Para el caso de la recta es −w1

w2

76, es decir:

−w1

w2= RTS1,2(x

∗1, x

∗2),

que es la condicion que ya se tenıa.Otra interpretacion del resultado anterior es la siguiente: supongamos dado un punto x∗

1, x∗2 que no

maximiza beneficio, de modo que |RTS|1,2(x∗1, x

∗2) 6= w1

w2. En tal caso, dado que el beneficio es:

π(x∗1, x

∗2) = p · f(x∗

1, x∗2)− w1x

∗1 − w2x

∗2,

si aumentamos x∗1 es una unidad, para mantener producto constante (y luego, ingreso constante), debe-

mos bajar x∗2 en RTS1,2(x

∗1, x

∗2). Con estas modificaciones, por el lado del primer factor, el costo sube

en w1 y, por el lado del segundo factor, baja en |RTS1,2| · w2. Luego, el cambio en el costo (y por endeen el beneficio, ya que el ingreso no cambia) es,

∆C = w1 − |RTS|1,2 · w2.

Como |RTS|1,2 6= w1

w2, existen dos posibilidades: o bien |RTS|1,2 > w1

w2o bien |RTS|1,2 < w1

w2.

Para el primer caso, ∆C < 0 (bajan los costos), razon por la cual la firma puede incrementar susbeneficios cambiando el uso de factores al aumentar x∗

1 es una unidad y bajando el uso del factor 2 en|RTS|1,2(x∗

1, x∗2). En el segundo caso, la firma tambien puede incrementar su beneficio disminuyendo

el uso del factor 1 en una unidad y aumentando el uso del factor 2 en |RTS|1,2(x∗1, x

∗2)

77. Luego, apartir del hecho que la relacion tecnica de sustitucion es distinta del cuociente de precios, la firma puede

76Viene de despejar x2 en funcion de x1 de la ecuacion w1x1 +w2x2 = c.77Recuerde que −|RTS| representa la disminucion en el uso del factor 2 cuando el factor 1 aumenta en una unidad. En

forma equivalente, |RTS| nos da el valor de aumento en el uso del factor 2 cuando el factor 1 disminuye en una unidad.

113


obtener mas beneficio modificando el plan de produccion que tenıa, de modo que el punto en cuestionno puede ser optimo.

7.4. Demanda, oferta y temas relacionados

A partir del problema de maximizacion de beneficio de una firma, se tiene la siguiente definicion:

Definicion 7.4 Dados los precios (w1, w2) y p de factores y producto, respectivamente, y dada lafuncion de produccion f(·), a partir del problema de maximizacion de beneficio,

maxx1,x2

{p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2},

denotaremos por x1(p, w1, w2) y x2(p, w1, w2)78 la solucion del problema. Estas funciones de los precios

seran llamadas demandas de factores de la firma. Por otro lado, la funcion,

y(p, w1, w2) = f(x1(p, w1, w2), x2(p, w1, w2))

sera llamada funcion de oferta de la firma, mientras que la funcion,

π(p, w1, w2) = p · y(p, w1, w2)− w1x1(p, w1, w2)− w2x2(p, w1, w2)

es la funcion de beneficio de la firma. �

De esta manera, a partir de todo lo anterior, se tiene que, por definicion:

π(p, w) ≥ π(x1, x2), ∀x1, x2.

La siguiente proposicion relaciona todos los conceptos anteriores:

Proposicion 7.1 Lema de Hotelling.A partir de las definiciones anteriores, se tiene que

a.-∂π(p, w1, w2)

∂p= y(p, w1, w2).

b.-∂π(p, w1, w2)

∂wi= xi(p, w1, w2), i = 1, 2.

Demostracion.

a.- Derivemos directamente la funcion de beneficios c.r a p:

∂π(p, w)

∂p=

∂[p · f(x1(p, w), x2(p, w))]

∂p− w1 ·

∂x1(p, w)

∂p− w2 ·

∂x2(p, w)

∂p.

Pero como, ∂[p·y(p,w)]∂p = p· ∂f(x1(p,w),x2(p,w))

∂p +y(p, w). Aplicando regla de la cadena, y simplificandola notacion, se tiene que,

p · ∂f(x1(p, w), x2(p, w))

∂p= p · ∂f

∂x1· ∂x1(p, w)

∂p+ p · ∂f

∂x2· ∂x2(p, w)

∂p.

Por otro lado, de la condicion de optimalidad, sabemos que p · ∂f∂xi

= wi, i = 1, 2. Luego, reempla-zando en la expresion original, se concluye que:

78En forma abreviada, x1(p,w) y x2(p,w).

114


∂π(p, w)

∂p=

[w1 ·

∂x1(p, w)

∂p+ w2 ·

∂x2(p, w)

∂p+ y(p, w)

]− w1 ·

∂x1(p, w)

∂p− w2 ·

∂x2(p, w)

∂p.

Simplificando terminos, se tiene lo indicado.

b.- Derivando directamente c.r. a w1 (analogo c.r. a w2), y simplificando la notacion, se tiene que:

∂π(p, w)

∂w1= p ·

[∂f

∂x1

]· ∂x1

∂w1+ p ·

[∂f

∂x2

]· ∂x2

∂w1− w1

∂x1

∂w1− w2

∂x2

∂w1+ x1.

De las condiciones de optimalidad, se tiene que p ·[

∂f∂xi

]= wi, i = 1, 2. Luego, reemplazando esto

en la expresion anterior se obtiene el resultado. �

Nota 7.2 En terminos practicos, la utilidad del Lema de Hotteling es que permite encontrar la funcionde produccion a partir de la funcion de beneficio de la firma.

En lo que sigue haremos un estudio de estatica comparativa de las funciones de oferta y demanda,ante variaciones de los precios de los factores y el precio de venta del producto, obteniendo un resultadogeneral que resume las principales propiedades sobre el tema. Para ello, supongamos que inicialmentese dispone de un set de precios (p, w1, w2) (situacion inicial) y que estos son modificados en una etapasiguiente, siendo los nuevos valores (p∗, w∗

1 , w∗2). Con el primer set de precios, la oferta y demanda

de factores sera y, x1, x2 mientras que con el segundo estas seran y∗, x∗1, x∗

2. Definamos ademas loscambios como ∆y = y∗ − y, ∆x1 = x∗

1 − x1, ∆w1 = w∗1 − w1, etc.

De esta manera, de la definicion de maximo beneficio, se tiene que:

py − w1x1 − w2x2 ≥ py∗ − w1x∗1 − w2x

∗2

es decir,

p(y − y∗)− w1(x1 − x∗1)− w2(x2 − x∗

2) ≥ 0.

En forma analoga, a partir de,

p∗y∗ − w∗1x

∗1 − w∗

2x∗2 ≥ p∗y − w∗

1x1 − w∗2x2

se tiene que,

p∗(y∗ − y)− w∗1(x

∗1 − x1)− w∗

2(x∗2 − x2) ≥ 0.

Sumando ambas inecuaciones, se deduce que,

[p∗(y∗ − y)− w∗1(x

∗1 − x1)− w∗

2(x∗2 − x2)] + [p(y − y∗)− w1(x1 − x∗

1)− w2(x2 − x∗2)] ≥ 0.

Finalmente, ordenando terminos, se concluye,

(y∗ − y)(p∗ − p)− (x∗1 − x1)(w

∗1 − w1)− (x∗

2 − x2)(w∗2 − w2) ≥ 0,

es decir:

∆y ·∆p−∆x1 ·∆w1 −∆x2 ·∆w2 ≥ 0.

A partir de esta relacion fundamental se puede concluir lo siguiente:

a.- Si ∆w1 = ∆w2 = 0 (no hay cambios en los precios de los factores) y ∆p > 0 (sube el precio delproducto), entonces necesariamente ∆y ≥ 0 (sube la oferta de la firma).

115


b.- Si ∆w2 = ∆p = 0 (no hay cambios en el precio del factor 2 y en el producto), si ∆w1 > 0 (subeel precio del factor 1), entonces necesariamente ∆x1 ≤ 0 (disminuye la demanda del factor 1).

c.- Si ∆w1 = ∆p = 0 (no hay cambios en el precio del factor 1 y en el producto), si ∆w2 > 0 (subeel precio del factor 2), entonces necesariamente ∆x2 ≤ 0 (disminuye la demanda del factor 2).

7.5. Problema de corto y largo plazo

Recordemos que a diferencia del largo plazo, en el corto plazo existen factores que estan fijos. Parafijar ideas, supongamos que en el corto plazo esta fijo el factor 2 en una cantidad x2. En tal caso, lafuncion de produccion de corto plazo es fcp(x1) = f(x1, x2), funcion que depende de solo un factor. Deesta manera, en el corto plazo existe solo una variable de decision79. Dado x2, el beneficio de cortoplazo es entonces:

πcp(x1) = π(x1, x2) = p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2,

y luego el problema de maximizacion de beneficios de corto plazo es,

maxx1

πcp(x1) = maxx1

{p · f(x1, x2)− w1x1 − w2x2}.

Las condiciones de optimalidad son analogas a las anteriores, solo que ahora dicha condicion es solosobre x1, dado que el factor 2 esta fijo. Luego, la condicion de optimalidad es:

p · ∂f(x1, x2)

∂x1= w1.

Con esto queda definida una funcion de demanda de corto plazo por el factor 1, funcion quedenotaremos x1(p, w, x2)

80. Ası, podemos definir tambien la funcion de oferta de corto plazo y lafuncion de beneficio de corto plazo, respectivamente, como:

ycp(p, w, x2) = p · f(x1(p, w, x2), x2),

πcp(p, w, x2) = p · f(x1(p, w, x2), x2)− w1x1(p, w, x2)− w2x2.

Con todo lo anterior, se tienen directamente las siguientes relaciones (cuya demostracion quedancomo ejercicio):

a.- Para todo x2,πcp(p, w, x2) ≤ π(p, w).

b.- Si x2 = x2(p, w), entonces,

πcp(p, w, x2) = π(p, w).

7.6. Los beneficios y los rendimientos de escala

Supongamos que la funcion de produccion presenta algun tipo de rendimiento de escala. Si fuesecreciente, entonces al duplicar la cantidad de factores el ingreso que se obtiene crece mas del doblepues p·f(2x1, 2x2) > 2p·f(x1, x2), mientras que los costos crecen linealmente con el factor de los insumos.De esta manera, al maximizar beneficio ante rendimientos crecientes de escala, la firma tiene incentivo aocupar la mayor cantidad de insumo posible pues el ingreso crece mas rapidamente que el costo. Luego,en este caso, el problema no es acotado y la solucion (demanda) tiende a infinito. Por otro lado, si lafuncion de produccion tiene rendimientos constantes de escala, entonces un incremento proporcional de

79Esto en el caso que el proceso productivo tenga solo dos factores. Si los factores fuesen n y esta fijo uno de ellos porrazones de corto plazo, entonces las variables de decision de la firma serıan (n− 1).

80Hacemos explıcita la dependencia de la demanda de corto plazo del factor 1 en la cantidad del factor fijo x2.

116


los factores implica un aumento en la misma proporcion tanto del ingreso como de los costos. De hecho,en este caso, por la relacion de Euler se tiene que f(x1, x2) = PMgx1(x1, x2) · x1 + PMgx2(x1, x2) · x2

y luego,

π(p, w) = p · [PMgx1x1(p, w) + PMgx2x2(p, w)] − w1x1(p, w)− w2x2(p, w),

es decir,

π(p, w) = x1(p, w) · [PMgx1(x1, x2)− w1] + x2(p, w) · [PMgx2(x1, x2)− w2]

Luego de la condicion de optimalidad, precio del factor = valor de producto marginal, se tiene queπ(p, w) = 0. Con todo lo anterior, cuando la firma tiene rendimientos constantes de escala,el maximo beneficio es cero y ademas la demanda esta indeterminada, por cuanto incrementosproporcionales de la misma entregan el mismo beneficio, es decir, tenemos multiples soluciones.

Finalmente, si la funcion de produccion tiene rendimientos decrecientes de escala, el problema ya fueanalizado en secciones previas, pues en este caso la funcion de produccion es concava, y de esta manerason validas todas las conclusiones que ya tenıamos.

7.7. Ejemplos y problemas propuestos

Ejemplo 7.1 Comente las siguientes afirmaciones, indicando si es verdadera, falsa o incierta. Justifiquesu respuesta.

a.- Cuando el precio de venta de un producto aumenta, entonces la demanda de todos los factores dela firma tambien aumenta.

Respuesta. Verdadero. Si aumenta el precio, aumenta la oferta y por lo tanto aumenta elconsumo de factores. Si uno de ellos no aumentara, la RTS deberıa ser cero y por lo tanto elproducto marginal de ese factor serıa cero, lo que nos es posible.

b.- Supongamos que dos firmas distintas tienen funciones de produccion f1(x1, x2) y f2(x1, x2) res-pectivamente. Si para todo x1, x2 se tiene que,

f1(x1, x2) ≤ f2(x1, x2),

entonces podemos decir que la firma 2 es mas eficientes que la 1.

Respuesta. Falso. Se pueden eventualmente producir productos distintos en, por ejemplo, cali-dad. Podemos estar hablando de firmas completamente diferentes.

c.- Para producir 6 litros de mote con huesillos, una firma puede ocupar 2 unidades de mote y 4 dehuesillos o 4 unidades de mote y 2 de huesillos. Entonces con 3 unidades de mote y 3 de huesillospuede producir 7 litros de mote con huesillos.

Respuesta. Incierto. Lo que si sabemos es que se produce mas, pero no necesariamente siete.

d.- Una firma no puede tener beneficio negativo en el corto plazo.

Respuesta. Falso.

e.- Una firma puede tener beneficio negativo en el largo plazo.

Respuesta. Falso. En el peor caso puede tener beneficio cero.

f.- Si la cantidad de producto de una determinada firma esta dado, entonces al maximizar beneficiodicha firma esta minimizando los costos de producir tal cantidad de producto.

Respuesta. Verdadero. Es el problema de costos.

117


g.- Cuando una firma maximiza beneficio, si disminuye el precio de un cierto factor entonces lademanda del otro factor debe necesariamente disminuir ya que se ocupara mas del primero.

Respuesta. Falso. Por ejemplo, basta con que la funcion de produccion sea separable, es decir,de la forma f(x1, x2) = f1(x1) + f2(x2). Ejemplo, ver Problema (??).

Ejemplo 7.2 La empresa Fumarola Ltda. produce cigarrillos, para lo cual utiliza tabaco (T) y papel(P). La funcion de produccion de la misma es de la forma:

f(T, P ) = Tα · P β

a.- Sabiendo que para producir una determinada cantidad de cigarrillos la firma ocupa mucho tabacoy poco papel, ¿cual cree Ud. que es la combinacion de parametros α y β que mejor representarıala funcion de produccion de la firma?

a.1.- α > β

a.2.- α < β

Justifiue su respuesta.

Respuesta. Note que la RTS de papel por tabaco es αβ

pT , luego, como cambios grandes de tabaco

implican cambios moderados en papel, es razonable pensar que αβ debe ser chico (solo considerando

las alternativas mencionadas). Luego, lo mas razonable es suponer a.2.

b.- En lo que sigue, para evitar discusion, suponga α = β = 14 y suponga ademas que wT = 1 y que

wP = 16. Suponga ademas que el precio de venta de los cigarrillos es 32. Encuentre entonces lademanda de factores de la firma que maximizan el beneficio.

Respuesta. En este problema, f(T, P ) = T 1/4P 1/4 y luego el problema de maximizacion debeneficio es

maxT,P

32T 1/4P 1/4 − T − 16P.

Estableciendo las condiciones de optimalidad se tiene que 32 · 1/4 · T−3/4P 1/4 = 1 y 32 · 1/4 ·T 1/4P−3/4 = 16. Luego, de lo anterior, T = 16P y por lo tanto, reemplazando en la primeraecuacion se concluye que T = 16 y P = 1.

c.- ¿Como cambiarıa dicha demanda si se impone la condicion adicional que la suma de tabaco ypapel debe ser constante e igual a 17?

Respuesta. De lo anterior, como T + P = 17, esta condicion no altera la solucion del problema:la demanda no cambia debido a esta restriccion.

Ejemplo 7.3 Suponga que una firma tiene dos plantas para producir un determinado producto, paralo cual emplea solo un factor. Si la funcion de produccion de la Planta 1 es f1(x1) = αx1 y aquella dela Planta 2 es f2(x1) = βx2

1, con α > 0 y β > 0.¿Cual es la funcion de produccion de la firma?

Respuesta. En este caso, veamos un grafico:

118


x

ax

bx2

En este caso, x = a/b. Luego, la funcion de produccion es:

f(x1) =

{αx si x < xβx2 si x ≥ x

Ejemplo 7.4 Un determinada firma ocupa capital K y trabajo L para llevar a cabo su proceso produc-tivo. En el corto plazo dicha firma esta restringida a ocupar una unidad de capital, siendo el trabajo uninsumo variable. La funcion de produccion de la firma es f(K,L) = K1/4 · L1/2 y el precio del trabajoes wL = 1/2. A partir de lo anterior, y sabiendo que el precio de venta del producto es p = 1, determinela condicion sobre el precio del capital (wK) para que en el Largo Plazo la firma ocupe mas mano deobra que aquella que ocupaba en el corto plazo.

Respuesta. En el C.P: K = 1, luego el problema de maximo beneficio es maxL L1/2 −wK · 1−wLL(recuerde que p = 1). Derivando lo anterior c.r. a L se tiene que (1/2)L−1/2 = wL = (1/2). Luego,L = 1.

En el L.P: el problema de maximo beneficio es maxL,K K1/4L1/2 − wK ·K − wLL. Derivando setiene que (1/2)L−1/2K1/4 = (1/2) y (1/4)L1/2K−3/4 = wK . Luego, se tiene que K = L

4wKy luego, en

la primera ecuacion se tiene que L−1/2(

L4wK

)1/4= 1, es decir, L−1/4 = (4wK)

1/4. Luego, L = 1/(4wK).

La condicion es que L > 1 lo que se tiene cuando 1/(4wK) > 1, es decir, cuando wk < 1/4.

Ejemplo 7.5 Supongamos que la funcion de produccion de una firma es f(K,L) = K12 +L

12 , donde K

es el capital y L el trabajo. Denotemos por wK y wL el precio del capital y del trabajo respectivamente.Supongamos ademas que el precio de venta del producto es p > 0,

a.- Pruebe que si el precio del capital es α% mayor que el precio del trabajo, entonces se tiene que lademanda de trabajo es (1 + α)

2veces mayor que la de capital.

b.- Suponiendo ahora que, wK = wL = 12 , muestre que si el precio de venta del producto se duplica

entonces el beneficio de la firma se cuadruplica.

Respuesta a.−. El problema del productor es max p · [k1/2+L1/2]−wKK−wLL. De las condiciones de

optimalidad sigue que p(1/2)L−1/2 = wL y p(1/2)K−1/2 = wK . Luego, L(p, w) =(

p2wL

)2y K(p, w) =

(p

2wL

)2. Cuando wK = (1+α)wL, es decir, wL = wK

(1+α) , se tiene que, L(p, w) =

(p

2·wK

(1+α)

)2

. Ordenando

los terminos de la expresion anterior se tiene que L(p, w) =(

p2·wK

)2· (1 + α)

2= K(p, w) · (1 + α)

2, que

es lo solicitado.

Respuesta b.−. En este caso, utilizando lo anterior para deducir las demandas, se tiene que L(p, w) =(p

2( 12 )

)2

= p2 y, analogamente, K(p, w) =

(p

2( 12 )

)2

= p2. Luego el beneficio es:

119


π = p ·[(p2)

12 + (p2)

12

]− 1

2(p2)− 1

2(p2) = 2p2 − p2 = p2.

Luego, cuando el precio se duplica el beneficio se cuadruplica como se afirmaba.

Ejercicio 7.1 Propuesto Dadas las siguientes funciones de produccion, determine las demandas defactores, la oferta de la firma, la funcion de beneficios y verifique el Lema de Hotelling:

a.- f(x1, x2) = xα1 · xβ

2 , con (α+ β) < 1.

b.- f(x1, x2) = x121 + x

122 .

c.- f(x1, x2) =√x1 + x2.

Responda la pregunta anterior para una situacion de corto plazo donde x2 = 1. Compruebe ademaslas relaciones de Seccion 2.5.

Ejercicio 7.2 Propuesto Suponga que en el proceso productivo hay un factor y que la funcion deproduccion es f(x1) = x2

1. Suponga que el precio del factor es w1 = 1 y que el precio de venta delproducto es p = 2. Determine la demanda, la oferta y la funcion de beneficio de la firma. ¿Que puedeconcluir de lo anterior?

Misma pregunta para la funcion de produccion, f(x1, x2) = x21 · x3

2.

Ejercicio 7.3 Propuesto Comente las siguientes afirmaciones, indicando si son verdades, falsas oinciertas. Justifique brevemente su respuesta.

a. En el corto plazo es perfectamente posible que el maximo beneficio de una firma sea negativo.

b. Una firma utiliza 10 unidades de trabajo y 20 unidades de capital para producir 10 de producto.Se sabe que el producto marginal del trabajo es 0,5. Entonces, si existen retornos constantes deescala en la produccion, el producto marginal del capital debe ser 0,25.

c. Para fabricar una determinada cantidad de producto, una firma que tiene muchas plantas deproduccion escogera la mas eficiente en el sentido de los costos y toda la produccion se llevara acabo en dicha planta.

d. Supongamos que una empresa (que utiliza dos factores) esta maximizando el beneficio de cortoplazo. Dado esto, si el precio del factor fijo aumenta entonces la firma demandara mas unidadesdel factor variable.

e. Supongamos que los precios de los factores aumentan en un 85% y que el precio del producto lohace solo en un 3%. Si esto es ası, la firma necesariamente disminuira sus beneficios.

Ejercicio 7.4 Propuesto Supongamos que una firma tiene una funcion de produccion de la forma

f(x1, x2) = xα1 + log(x2) + x1 + x2

2.

a. Determine la elasticidad precio del producto (p) de la demanda del factor 1.

b. Si p = 1 y w1 = 2, determine las condiciones sobre α para que la demanda del factor 1 sea inelasticarespecto del precio de venta del producto.

120


8. Costos 81

8.1. Definiciones basicas

En lo que sigue, para plantear el problema general, trabajaremos con un proceso productivo queocupa n factores. Sin embargo, la mayorıa de las aplicaciones se haran solo con dos factores: es solo unacuestion de presentacion. De esta manera, sean w1, . . . , wn los precios de los inputs en la economıa, quenotaremos por x1, ..., xn

82, y sea y un cierto nivel de produccion dado a priori. La funcion de produccionsera f : Rn → R. En tal caso, el mınimo costo al cual se pueden producir las y unidades del outputesta dado por aquella combinacion de factores que resuelven el siguiente problema de optimizacion:

{mın {w1 · x1 + ...+ wn · xn}s.a f(x1, ..., xn) = y.

Definicion 8.1 La solucion del problema anterior sera denotada por xi(w1, ..., wn, y), i = 1, ..., n,83,que recibe el nombre de demanda restringida de factores dado el nivel de producto y y los preciosde factores wi, i = 1, ..., n. La funcion de costos de la firma sera denotada por C(w, y), donde:

C(w1, ..., wn, y) := C(w, y) =

n∑

i=1

wi · xi(w, y),

es decir, el valor de la canasta de demandas restringidas.

Note que los argumentos de la funcion de costos son los precios de los factores (wi) y la cantidad deproducto (y). A partir de lo anterior, se tiene la siguiente definicion.

Definicion 8.2 Las funciones de costo medio y costo marginal, que notaremos CMe(·) y CMg(·)respectivamente, se definen como:

CMe(w, y) :=C(w, y)

y,

CMg(w, y) =∂C(w, y)

∂y.

Nota 8.1

i.- En lo que sigue, toda vez que se hable costos se hara referencia al valor de la canasta de bienes queha sido asignada de manera eficiente para la produccion del nivel de output dado: la forma masbarata de producir a los precios de factor dados. De esta manera, bajo supuestos de unicidad en lasolucion, que seran asumidos en todo lo que sigue, si el objetivo de producir y unidades de outputse hace por otras combinaciones de input, digamos xi de modo que f(x1, ..., xn) = y, entoncesnecesariamente,

n∑

i=1

wi · xi ≥ C(w, y).


82De todas maneras, en la mayor parte de lo que sigue trabajaremos con solo dos factores: n = 2.83Que en forma resumida sera escrita como xi(w, y).

121


ii.- La funcion de costo medio es solo una medida indicativa de costo por unidad de producto: es unvalor promedio que no necesariamente da cuenta de una situacion puntual, como si lo hace el costomarginal. De hecho, recordemos que, por definicion, el costo marginal corresponde al costo extraque significa producir una unidad adicional de output, suponiendo que los precios de los factoresse mantienen constantes:


∂y≈ C(w, y + 1)− C(w, y).

La siguiente Figura 62 ilustra los conceptos anteriores:

Figura 62: Costo Medio y Costo Marginal

C(y)

y

A

CMg

C

CMe

En la figura, el costo marginal en y es igual a la pendiente de la tangente a la curva de costos en elpunto A, mientras que el costo medio corresponde a la pendiente de la recta que parte del origeny termina en A.

A partir de las definiciones anteriores, una propiedad basica que relaciona los conceptos ya introdu-cidos es la siguiente84:

Proposicion 8.1C(w, y) = y · CMe(w, y).

C(w, y) =

y∫

0

CMg(w, y)dy + C(w, 0)85.

8.2. Condiciones de optimalidad

Como sabemos, el problema de optimizacion que define la funcion de costos es el siguiente:

{mın {w1 · x1 + ...+ wn · xn}s.a f(x1, ..., xn) = y.

84La demostracion de esta queda como ejercicio para el lector.85Usualmente C(w, 0) = 0. Sin embargo, tal como veremos mas adelante, esta cantidad corresponde a lo que llamaremos

costo fijo, el cual en situaciones de corto plazo no es cero.

122


De esta manera, en este caso general (con n inputs o factores) el Lagrangeano es:

L(x1, ..., xn, λ) = w1 · x1 + ...+ wn · xn + λ · (f(x1, ..., xn)− y).

Ası, al escribir las condiciones necesarias de optimalidad, se tiene la solucion del problema que verificael siguiente sistema de ecuaciones:

∂L(x1,x2,...,xn,λ)∂xi

= wi + λ∂f(x1,x2,...xn)∂xi

= 0, i = 1, ..., n,

∂L(x1,x2,...,xn,λ)∂λ = f(x1, x2, ..., xn)− y = 0.

Este sistema es de n + 1 ecuaciones (las anteriores, cada una de las derivadas parciales) con n + 1incognitas (los xi que son n y λ).

En lo que sigue, para fijar ideas e ilustrar la situacion, supongamos que n = 2. En tal caso, lascondiciones anteriores son:

∂L(x1,x2,λ)∂x1

= w1 + λ∂f(x1,x2)∂x1

= 0,∂L(x1,x2,λ)

∂x2= w2 + λ∂f(x1,x2)

∂x2= 0,

∂L(x1,x2,λ)∂λ = f(x1, ..., xn)− y = 0.

Al despejar λ de las dos primeras ecuaciones e igualar, se tiene que:

−w1

∂f(x1,x2)∂x1

=−w2

∂f(x1,x2)∂x2

,

es decir,∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

=w1

w2.

Pero,

RTS1,2(x1, x2) = −∂f(x1,x2)

∂x1

∂f(x1,x2)∂x2

,

y en consecuencia, en el optimo se verifica que:

RTS1,2(x1, x2) = −w1

w2,

es decir, la relacion tecnica de sustitucion es igual a menos el cuociente de los precios delos factores.

Resumiendo, cuando hay dos factores involucrados el sistema de ecuaciones que define la demandarestringida de factores es el siguiente:

a.- RTS1,2(x1, x2) = −w1

w2,

b.- f(x1, x2) = y.

Con lo anterior, es directo el calculo de la funcion de costos.

Ejemplo 8.1 Considere la funcion de produccion f(x1, x2) = Axα1 · xβ

2 , con A,α, β > 0 (dos inputs).Dado un cierto nivel produccion y y precios de los factores w1 y w2 respectivamente, el problema deminimizacion de costos corresponde a:

{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = A · xα

1 · xβ2 = y.

123


En este caso, el problema se resuelve utilizando la tecnica de mulitplicadores de Lagrange. Paraello, se define el Lagrangeano del problema y se calculan las derivadas parciales respecto de cada unade las variables y multiplicadores (las xi-es y los λ’s, respectivamente). Ası, en este caso particular, elLagrangeano del problema es:

L(x1, x2, λ) = w1 · x1 + w2 · x2 + λ(A · xα1 · xβ

2 − y),

luego, las condiciones necesarias de optimalidad son:

{∂L(x,λ)

∂xi= 0, i = 1, ..., n

∂L(x,λ)∂λ = 0.

En nuestro problema n = 2, de modo que, reemplazando los valores de la funcion, se tiene:

∂L(x,λ)∂x1

= w1 + λAαxα−11 xβ

2 = 0,∂L(x,λ)

∂x2= w2 + λAβxα

1 xβ−12 = 0,

∂L(x,λ)∂λ = xα

1 · xβ2 − y = 0.

Resolviendo el sistema anterior, se obtiene como resultado:

x1(w, y) =

(1

A

) 1α+β

·(αw2

βw1

) βα+β

· y 1α+β ,

x2(w, y) =

(1

A

) 1α+β

·(βw1

αw2

) αα+β

· y 1α+β ,

de lo cual se deduce que la funcion de costos corresponde a:

C(w, y) = w1 ·(1

A

) 1α+β

·(αw2

βw1

) βα+β

· y 1α+β + w2 ·

(1

A

) 1α+β

·(βw1

αw2

) αα+β

· y 1α+β ,

es decir,

C(w, y) = γ · y 1α+β ,

donde,

γ := w1 ·(1

A

) 1α+β

·(αw2

βw1

) βα+β

+ w2 ·(1

A

) 1α+β

·(βw1

αw2

) αα+β

.

De esta manera,

CMe(w, y) =C(w, y)

y=

γ · y 1α+β

y= γ · y

1−α−βα+β ,

mientras que,


∂y=

∂γ · y 1α+β

∂y= γ · 1

α+ β· y

1−α−βα+β .

Note que CMg(w, y) > CMe(w, y) siempre y cuando 1α+β > 1, es decir, α+ β < 1. �

124


8.3. Un analisis grafico de las condiciones de optimalidad

Para realizar una interpretacion grafica adecuada, necesitamos introducir un nuevo concepto: curvasde isocosto. Estas curvas (en realidad lıneas rectas) estan formadas por todas aquellas combinaciones deinputs que reportan el mismo costo. Ası, dado un nivel de costos C > 0 (un parametro), la curva (lınea)de isocosto corresponde al conjunto L(C) definido como:

L(C) = {x = (x1, ..., xn) | w1 · x1 + ...+ wn · xn = C}.La Figura 63 ilustra el concepto anterior:

Figura 63: Isocosto

L(C1) L(C2) L(C3)

C1 < C2 < C3

Isocosto:m = −(w1/w2)

En el caso de dos inputs, corresponde a una lınea recta con pendiente −w1

w2y coeficiente de posicion

Cw2

86.Ahora bien, dado un nivel de output y y una funcion de produccion f , notemos la isucuanta de

produccion respectiva como If (y)87 , es decir,

If (y) = {(x1, ..., xn) ∈ Rn | f(x1, ..., xn) = y}.

Para el caso n = 2 (simplemente por que se puede tener una clara vision grafica del asunto)88, pormedio de la curva de isocosto y de la isocuanta de produccion, a partir del ultimo resultado de la seccionanterior, tenemos que la curva de isocosto tiene la misma pendiente que la isocuanta de produccion en elpunto de demanda de factores. De esta manera, la solucion optima de nuestro problema de minimizacionde costos se encuentra en el punto de tangencia de la curva de isocosto con la isocuanta de produccion.

86En efecto, la recta en este caso tiene ecuacion w1 · x1 + w2 · x2 = C. Luego,

x2 =C

w2−

w1

w2· x1.

87Dada esta definicion, notar que ∀x = (x1, ..., xn) ∈ If (y)

n∑

i=1

wi · xi ≥n∑

i=1

wi · xi(w, y) = C(w, y),

donde xi(w, y) es la demanda por el factor i-esimo. Recordar que x(w, y) := (x1(w, y), ...., xn(w, y)) ∈ If (y).88En el caso de mas inputs, la representacion geometrica se nos complica por cuanto debemos trabajar en espacios de

mas dimensiones. La intuicion funciona de manera adecuada con dos inputs.

125


Mas aun, la curva de isocosto que corta tangencialmente a la isocuanta es L(C(w, y)). En otras palabras,a partir de lo anterior,

L(C(w, y))⋂

If (y) = {(x1(w, y), x2(w, y))},

y la pendiente de la isocuanta (y de la recta de isocosto) en dicho punto es igual a −w1

w2.

La Figura ?? que ilustra lo anterior:

Figura 64: Analisis Grafico de las Condiciones de Optimalidad

x2(w, y)

x1(w, y)

Isocosto

Isocuanta nivel y

Optimo

8.4. Corto y largo plazo

El corto plazo se caracteriza por la existencia de factores de produccion fijos (en cantidad), mientrasque en el largo plazo no los hay, es decir, todos son variables. En lo que sigue notaremos los factores fijoscon una barra. De esta manera, supongamos dada una firma en cuyo proceso productivo hay n inputs,de los cuales los primeros k < n son factores variables mientras que los factores fijos van de (k + 1) an. En este caso, dado un nivel de produccion y, el problema de mimizacion de costos de corto plazocorresponde a:

{mın {w1 · x1 + ...+ wk · xk + wk+1 · xk+1 + ....wn · xn}s.a f(x1, ..., xk, xk+1, ..., xn) = y.

Nota 8.2

En el problema de corto plazo anterior, las unicas variables de decision de la firma son x1 hastaxk. El resto (xk+1 hasta xn) estan fijas.

Los precios son un dato, aun para los factores fijos.

Supongamos que resolvemos nuestro problema y encontramos las soluciones xi(w, y, x), i = 1, ..., k.89.En tal caso, la funcion de costos de corto plazo corresponde a:

Ccp(w, y) =

k∑

i=1

wi · xi(w, y) +

n∑

i=k+1

wi · xi.

89Se hace presente que la solucion encontrada depende, ademas de los precios de los factores y la cantidad que se produce,de los factores fijos, que hemos notado por simplicidad como x haciendo referencia a xk+1, ..., xn.

126


La primera parte de la suma da cuenta de los costos variables de la firma, mientras que lasegunda de los costos fijos de la misma. Notaremos los costos variables como CV (·) mientras que loscostos fijos por CF (·). De esta manera, se tiene que Ccp(w, y, x) = CV (w, y, x) + CF (w, x),90 donde sehace explıcita la dependencia de los costos de aquellos factores que estan fijos.

A partir de lo anterior, se definen los costos marginales y costos medios de corto plazo como CMecp(·)y CMgcp(·) respectivamente, donde:

CMecp(w, y, x) =Ccp(w, y, x)

y,

CMgcp =∂Ccp(w, y, x)

∂y

Puesto que los costos fijos no dependen del nivel de produccion se tiene que ∂CF (w,)x∂y = 0 y luego:

CMgcp =∂CV (w, y, x)

∂y.

Nota 8.3

En las definiciones anteriores no hemos hablado de costo variable de largo plazo: esto simplementeporque en el largo plazo el costo variable coincide con el costo. En lo que sigue, siempre costovariable hace referencia a una situacion de corto plazo. Note ademas que en el largo plazo el costofijo es cero.

Es importante notar que Ccp(w, y, x) es siempre menor o igual a C(w, y). En efecto, matematica-mente es claro puesto que el problema de costos de corto plazo es un problema de optimizaciondonde el conjunto factible esta incluido en aquel de costos de largo plazo, donde no existen res-tricciones a priori sobre las variables. Economicamente, tambien es claro pues esta afirmacion soloestablece que la empresa al tener libertades para escoger los insumos puede hacerlo de maneramas eficiente (es decir, mas barata) que cuando existen restricciones que fijan a priori ciertascantidades que se deben utilizar. �

8.5. Costos y rendimientos de escala

Cuando la firma tiene rendimientos de escala constantes91, los costos de la firma aumentan en formaproporcional con las cantidades de output requeridas, es decir, C(w, t · y) = t · C(w, y), o, en formaequivalente, C(w, y) = y · C(w, 1). En efecto, hay dos razones para lo anterior. Matematicamente, sedesprende de las propiedades del problema de optimizacion que define los costos. Ası, sea t > 0, entoncespara calcular C(w, t · y) se debe resolver el problema (ilustramos con dos inputs):

{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = t · y.

Ahora bien, f(x1, x2) = t · y es equivalente a f(x1

t ,x2

t

)= y. Si definimos xi =

xi

t , con i = 1, 2, setiene que xi = t · xi y luego el problema anterior se puede reescribir como:

{mın {w1 · t · x1 + w2 · t · x2}s.a f(x1, x2) = y,

es decir,

90Note que los costos fijos no dependen del nivel de produccion y91Recordemos que una tecnologıa f tiene rendimientos de escala constantes, crecientes o decrecientes si f(tx) es igual,

mayor o menor que t · f(x) respectivamente, con t > 1.

127


{t ·mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a f(x1, x2) = y,

lo que equivale a decir que C(w, t · y) = t · C(w, y).

Economicamente, se tiene que al aumentar en forma proporcional los factores (digamos por un factor2 para ilustrar), la produccion aumenta en la misma proporcion. Luego, si en el proceso inicial tenıamoscostos C(w, y), al duplicar los inputs puedo replicar exactamente lo que antes estaba haciendo, luegolos costos deben aumentar al doble, es decir, C(w, 2 · y) = 2 · C(w, y) como ya se habıa visto.

Si ahora hay rendimientos crecientes de escala en la produccion, al duplicar los inputs mas que seduplica la produccion. Luego, para producir el doble de producto se requiere menos del doble de inputsy por lo tanto, los costos de producir el doble son menores que el doble de los costos de producir lacantidad inicial, es decir: C(w, 2 · y) ≤ 2 · C(w, y). En terminos generales, en este caso se tiene que loscostos verifican la siguiente propiedad:

C(w, t · y) ≤ t · C(w, y), ∀t > 1.

En forma analoga podemos deducir que cuando existen rendimientos decrecientes de escala en laproduccion se tiene que:

C(w, t · y) ≥ t · C(w, y), ∀t > 1.

La siguiente Figura 65 ilustra lo anterior:

Figura 65: Costos y Rendimientos de Escala

C

y

Decrecientes

Constantes

Crecientes

En resumen, si la tecnologıa de produccion tiene rendimientos constantes de escala, los costos sonlineales en el producto; si hay rendimientos crecientes en la produccion, los costos tienen rendimientosdecrecientes de escala en el producto; si hay rendimientos decrecientes en la produccion, los costos tienerendimientos crecientes en el producto.

8.6. Costos y precios de los factores

Para realizar nuestro analisis, supongamos en primer lugar que todos los precios de los factoresaumentan en una proporcion fija, digamos t > 0, de modo que los precios finales de los factores es t ·wi

128


para el factor xi. De esta manera, el nuevo costo es C(t · w, y), que se construye a partir de la soluciondel problema:

{mın {(t · w1) · x1 + (t · w2) · x2}s.a f(x1, x2) = y,

es decir, {t ·mın {·w1 · x1 + ·w2 · x2}s.a f(x1, x2) = y,

que es equivalente a t · C(w, y). De esta manera, concluimos que:

C(t · w, y) = t · C(w, y), ∀t > 0.

Esta ultima propiedad nos dice que la funcion de costos es homogenea de grado 1 en los precios delos factores92.

Por otro lado, si aumentamos los precios de los factores, no necesariamente en la misma proporcioncomo en el caso anterior, entonces veremos que los costos deben aumentar, es decir, si wi ≤ wi, ∀i =1, ..., n, entonces C(w, y) ≤ C(w, y). En efecto, sean x(w, y) y x(w, y) las demandas de factores asociadas

a los respectivos precios de factores w = (wi) y w = (wi) respectivamente. Entonces, C(w, y) =n∑

i=1

wi ·

xi(w, y) ≤n∑

i=1

wi · xi(w, y) (esto por minimizacion de costos); por otro lado, puesto que wi ≤ wi, se

tiene quen∑

i=1

wi · xi(w, y) ≤n∑

i=1

wi · xi(w, y) = C(w, y). En consecuencia, mirando los extremos de

las desigualdades anteriores, se tiene que C(w, y) ≤ C(w, y). En otras palabras, los costos deben sercrecientes en los precios de los inputs.

Para seguir con este analisis, en lo que sigue vamos a probar que las funciones de costos son concavasen los precios de los factores, es decir, que dados precios w = (wi) y w = (wi), y dado λ ∈ [0, 1], entonces

C(λ · w + (1 − λ) · w, y) ≥ λ · C(w, y) + (1− λ) · C(w, y).

En efecto, dados w y w como antes, notemos por wλ = λ·w+(1−λ)·w, es decir, wλi = λ·wi+(1−λ)·wi.

EntoncesC(wλ, y) =

∑

i

wλi · xi(w

λ, y) =∑

i

(λ · wi + (1 − λ) · wi) · xi(wλ, y).

Luego,

C(wλ, y) = λ ·∑

i

wi · xi(wλ, y) + (1− λ) ·

∑

i

wi · xi(wλ, y).

Pero, por definicion de funcion de costos,∑i

wi · xi(wλ, y) ≥ C(w, y) y

∑i

wi · xi(wλ, y) ≥ C(w, y) y en

consecuencia, reemplazando estas desigualdades en la expresion anterior, se tiene que,

C(λ · w + (1 − λ) · w, y) ≥ λ · C(w, y) + (1− λ) · C(w, y),

que es lo indicado. �

Para finalizar este analisis del costo respecto del precio de los factores, veamos ahora las derivadas delcosto respecto de dichos parametros. La propiedad que se deduce es conocida como el Lema de Shephard,la cual establece que, bajo supuestos generales, la demanda por factores corresponde al cambio marginalde los costos ante variaciones en el precio del factor respectivo, es decir, dado un nivel de precios defactores w∗ = (w∗

i ), entonces,

xi(w∗, y) =

∂C(w∗, y)

∂wi.

92Recordemos que una funcion g : Rn → R es homogenea de grado k > 0 si para todo t > 0 se tiene que g(t ·x) = tk ·g(x)

129


En efecto, dado w∗ ∈ Rn, consideremos la funcion g : Rn → R tal que, g(w) = C(w, y) −∑i

wi ·

xi(w∗, y). Notar que g(w) ≤ 0, ∀w ∈ Rn93 y que g(w∗) = 0. Luego, g(·) tiene un maximo en w =

w∗ y por lo tanto, utilizando las condiciones de primer orden se deduce que ∂g(w∗,y)∂wi

= 0, es decir,∂C(w∗,y)

∂wi− xi(w

∗, y) = 0, con lo cual se obtiene el resultado.

Veamos otra demostracion del lema de Shephard94. Para ello derivemos directamente la funcion decostos c.r. a wi. De esta manera, dado j ∈ {1, ..., n}, puesto que,

C(w, y) =∑i

wi · xi(w, y) =n∑

i6=j

wi · xi(w, y) + wj · xj(w, y), luego, derivando con respecto a wj se

tiene que,

∂C(w, y)

∂wj= +xj(w, y) + wj ·

∂xj(w, y)

∂wj

n∑

i6=j

wi ·∂xi(w, y)

∂wj,

es decir,

∂C(w, y)

∂wj=∑

i

wi ·∂xi(w, y)

∂wi+ xj(w, y) (15)

Por otro lado, de las condiciones de optimalidad del problema de costos sabemos que para todoi ∈ {1, ..., n} se verifica que:

wi + λ · ∂f(x(w, y))∂xi

= 0 =⇒ ∂f(x(w, y))

∂xi=

−wi

λ(16)

Finalmente, dado que f(x(w, y)) = y se tiene que ∂f(x(w,y))∂wj

= 0, es decir,∑i

∂f(x(w,y))∂xi

· ∂xi(w,y)∂wj

= 0.

En consecuencia, reemplazando el resultado de (16) en lo anterior se obtiene que∑i

−wi

λ · ∂xi(w,y)∂wj

= 0,

es decir,

∑

i

wi ·∂xi(w, y)

∂wj= 0.

Aplicando esto en la ecuacion (15) se concluye ∂C(w,y)wj

= xj(w, y). �

Veamos finalmente otra demostracion que es directa. Puesto que la funcion de costos es homogenea

de grado 1 en los precios de los factores95 se tiene que, C(w, y) =∑i

wi · ∂C(w,y)wi

96 y por lo tanto, ya

que C(w, y) =∑i

wi · xi(w, y), se concluye directamente que ∂C(w,y)wi

= xi(w, y). �

En resumen, se tiene que las funciones de costos verifican las siguientes propiedades:

Proposicion 8.1 Con respecto a los precios de los factores, las funciones de costos son homogeneasde grado 1, crecientes y concavas. Ademas se cumple el Lema de Shephard, es decir,

∂C(w∗, y)

∂wi= xi(w

∗, y).

93La justificacion de aquella como ejercicio para el lector94Esta es un poco mas tecnica, pero menos rebuscada (astuta) que la anterior. Es util para recordar algo de calculo y

las condiciones de optimalidad95Es decir, C(t · w, y) = t · C(w, y), ∀t > 0.96Recordemos que si f : Rn → R es homogenea de grado 1 entonces

f(x) =∑

i

xi ·∂f(x)

∂xi

.

130


8.7. Costos y cantidades de producto.

En primer lugar, ya sabemos que los costos deben ser crecientes en las cantidades de producto:producir mas cuesta mas, pues de lo contrario estamos siendo ineficientes. Esto se resume en la siguienteproposicion 97:

Proposicion 8.2 La funcion de costos es creciente en y, es decir,

∂C(w, y)

∂y≥ 0

(costo marginal positivo.)

Ahora bien, en forma complementaria a lo anterior, la idea es analizar la relacion que existe entre loscostos medios y marginales ante variaciones en el producto. De hecho, no es claro que los costos medioso marginales deben ser siempre crecientes con las cantidades producidas.

En el caso particular en que existen rendimientos crecientes de escala el costo medio es decreciente98, mientras que es constante constantes cuando hay rendimientos constantes de escala en la produccion99. Para un analisis mas general de la situacion, consideremos la siguiente derivada del costo medio conrespecto al output y:

∂CMe(w, y)

∂y=

∂(

C(w,y)y

)

∂y=

CMg(w, y) · y − C(w, y)

y2.

De esto se deduce que, ∂CMe(w,y)∂y > 0 siempre y cuando CMg(w, y)·y−C(w, y) > 0, es decir, cuando

CMg(w, y) > CMe(w, y). Ası, los costos medios son crecientes en el producto toda vez que los costosmarginales son mayores que los costos medios100. En forma analoga, los costos medios son decrecientesen el producto toda vez que los costos marginales son menores que los costos medios.

De hecho, en el nivel de produccion que lleva al mınimo costo medio, digamos y∗, se tiene que loscostos marginales son iguales a los costos medios, es decir, CMe(w, y∗) = CMg(w, y∗).


97Donde su demostracion queda como ejercicio para el lector.98 Idem.99 Idem.

100Recordemos que una condicion para que una funcion sea creciente en un intervalo es que su primera derivada debe serpositiva en el mismo.

131


Figura 66: Costo Medio Mınimo

y∗: punto de CMe mınimo

CMe

CMg

8.8. Geometrıa de costos

El analisis grafico en que estamos empenados consiste en estudiar las curvas de costos en funcion delos niveles de produccion, con el fin de estudiar la oferta de la firma en competencia.

En primera instancia debemos notar que, dados los precios de los factores, los costos de largo plazosiempre estan por debajo de los costos de corto plazo. En efecto, esto viene directamente del problemade optimizacion que define la funcion de costos, ya que en el problema de corto plazo la firma tienemenos variables de decision que le permitan mejorar su solucion, por lo cual el conjunto de restriccioneses mas pequeno y por ende la solucion es peor101.

En otras palabras:

C(w, y) ≤ Ccp(w, y, x),

donde Ccp denota el costo de corto plazo de producir y, considerando obviamente que alguno de losfactores esta fijo (lo que denotamos por x). Note que el costo de corto plazo depende de la cantidad defactor fijo que estamos considerando.

Ejemplo 8.2 Supongamos que la funcion de produccion es,

f(x1, x2) = xa1 · x

(1−a)2 .

En este caso, el costo de producir y, dados los precios de factores w1 y w2, es102:

C(w, y) = a−a(1− a)a−1

wa1w

a2y,

101Recordemos que, dado un problema de optimizacion, digamos{

opt f(x)

s.a x ∈ A,

en la medida que el conjunto factible (A en nuestro caso) es mas grande, entonces la solucion es mejor. A modo deejemplo, si opt = min entonces, sea xA la solucion del problema anterior con el conjunto factible A. Si este conjunto esreemplazado por otro, digamos B, de modo que A ⊆ B, entonces f(xB) ≤ f(xA). En caso de considerar opt = max,entonces la conclusion es la contraria. A modo de ejemplo, recordar el problema de buscar al individuo mas alto del cursoy compararlo con aquel de la escuela (caso de maximizacion) o considerar el problema de buscar el individuo mas chicodel curso y compararlo con aquel de la escuela (caso minimizacion)102Queda propuesto para el lector hacer la deduccion.

132


mientras que las demandas de factores son x1(w, y) =(

aw2

(1−a)w1

)(1−a)

y y x2(w, y) =(

aw2

(1−a)w1

)−a

y.

Sin embargo, en el corto plazo, si fijamos x2 = x2 se tiene que el problema de costos es,

{mın {w1 · x1 + w2 · x2}s.a xa

1(x2)(1−a)

= y,

de lo cual se tiene que x1(w1, w2, x2, y) =y

1a

(x2)(1−a)

a

. De esta manera, el costo de corto plazo es:

Ccp(w, y) =w1

(x2)(1−a)

a

· y 1a + w2x2.

Con esto queda definida una familia de curvas de costos de corto plazo, siendo el parametro que lasdefine el valor de la cantidad fija del factor considerado (x2). Graficamente la situacion es como sigue:

Figura 67: Costos en el Corto Plazo

CF3

CF2

CF1

(1)

(2)

(3)

CCP

y

En la Figura 67, cada una de las curvas de costos de corto plazo esta definida por cantidadesdistintas de factor fijo: para la curva (1) se tiene un valor x2 = x2,1, para la curva (2) dicho valorsera x2 = x2,2, x2,2 > x2,1, etc. Con esto queda ademas definido un valor de costo fijo (CF1, CF2, CF3)que nos da la partida de la curva de costo de corto plazo en cero. �

De esta manera, la afirmacion de que los costos de largo plazo estan por debajo de aquellos de cortoplazo corresponde a afirmar que para cualquiera que sea el nivel de factor fijo que define elcosto de corto plazo, la curva correspondiente esta por encima de aquella de largo plazo.Sin embargo, note que dado x2, entonces existira algun nivel de produccion y tal que para dicho valordel producto se tiene que la cantidad optima que la firma demandarıa en el largo plazo sera igual aaquella que tiene prefijada en el corto plazo. Es decir, para algun y se cumplira que:

x1(w, y) = x1(w, x2, y), x2(w, y) = x2,

de tal forma que en dicho valor de producto se igualan los costos de largo y corto plazo.

Ejemplo 8.3 En el ejemplo anterior, como x1(w, y) = y(

aw2

(1−a)w1

)(1−a)

, mientras que x2(w, y) =

y(

aw2

(1−a)w1

)−a

, la cantidad de producto y que iguala los costos de largo y corto plazo esta definidapor:

133


Demanda de largo plazo en y = Demanda de corto plazo en y,

es decir,

x2(w, y) =

(aw2

(1− a)w1

)−a

y = x2.

Con esto se obtiene que,

y =x2(

aw2

(1−a)w1

)−a .

Graficamente, la situacion para este problema es como sigue103:

Figura 68: Costos en el Corto y Largo Plazo

C

CF = w2x2

y y

C

CCP

En y se igualan los costos de corto y largo plazo. De hecho, como la curva de costo de largo plazoesta siempre por encima de aquella de corto plazo, en este punto y donde se igualan, ambas curvasdeben ser tangentes. �

El punto de interseccion y del ejemplo anterior obviamente depende de la cantidad de factor fijoque hemos considerado (en el caso anterior, x2). Para otra curva de corto plazo, la interseccion con lacurva de largo plazo se dara en otro punto. De esta manera, los costos de largo y corto plazo sontangentes en al menos un punto y la curva de costos de largo plazo esta por debajo detodas ellas. La Figura 69 ilustra esta idea:

103Recuerde que el costo de largo plazo es lineal mientras que aquel de corto plazo es una exponencial.

134


Figura 69: Costos de Largo Plazo como la envolvente de Costos de Corto Plazo

C CLP

C4CPC3

CPC2CPC1

CP

y

Lo anterior nos lleva a decir que la curva de costos de largo plazo es la envolvente de las curvasde costos de corto plazo.

En forma analoga se tiene la misma propiedad en los costos medios de corto y largo plazo. En efecto,si dado el nivel de produccion y, ya sabemos que C(y) ≤ Ccp(y), luego,

C(y)

y≤ Ccp(y)

y⇔ CMe(y) ≤ CMecp(y).

Por otro lado, como existe un nivel y tal que C(y) = Ccp(y), se tiene que para ese nivel de produccionCMe(y) = CMecp(y). En resumen, los costos medios de largo plazo estan por debajo de los costos mediosde corto plazo y son tangentes en un punto104. Graficamente la situacion es como sigue:

104Se puede dar el caso de tangencia en mas de un punto. Pero, bajo los supuestos de concavidad con que estamostrabajando, esta situacion no es posible.

135


Figura 70: Costos Medios de Corto y Largo Plazo

C

y

CMe1CP

CMe2CP

CMe3CP

CMe4CP

CMe5CP

CMeLP

Cada curva de costos medios de corto plazo vende una curva de costos de corto plazo, la cual, comohemos mencionado, depende del nivel de factor fijo.

Nota 8.4 En la figura anterior hemos supuesto que las curvas de costos medios de corto y largo plazotienen forma de U , es decir, son convexas con una rama creciente (derecha, altas cantidades de producto)y otra decreciente (izquierda, bajas cantidades de producto). En rigor este supuesto no es necesariopara el analisis que viene: es solo un supuesto simplificatorio que nos ayudara a ilustrar algunas ideas.Este supuesto se puede interpretar diciendo que para niveles bajos de produccion, la firma presentarendimientos crecientes de escala en la produccion, mientras que para niveles altos de producto, la firmatiene rendimientos decrecientes de escala (corto y largo plazo).

Para terminar con este analisis grafico, consideremos ahora los costos marginales. Ya sabemos que,tanto en el corto como en el largo plazo, los costos marginales cruzan a los costos medios porsu mınimo. De esta manera, graficamente se tiene lo siguiente:

136


Figura 71: Costos Marginales de Corto y Largo Plazo

C

y

CMg1CP

CMg2CP CMg3CP

CMg4CP

CMg5CPCMgLP

En la Figura 71, los costos marginales de corto plazo se han ilustrado con lıneas punteadas y el costomarginal de largo plazo con lınea mas gruesa.

A partir de todo lo anterior, note que,

a.- La curva de costos medios de largo plazo no corta necesariamente a la curva de costos medios decorto plazo en su mınimo.

b.- La curva de costos marginales de largo plazo no tiene a priori alguna relacion con aquellas de cortoplazo, en el sentido de estar por abajo o por arriba de estas.

9. Oferta de la firma y la industria en competencia perfecta 105

9.1. Introduccion

El objetivo de este capıtulo es analizar el comportamiento de una firma en un contexto de mercado,es decir, donde existen interacciones con otras firmas que producen el mismo producto y, en formacomplementaria, con demandantes (consumidores) de los mismos.

Hasta el momento, solo nos hemos preocupado de analizar el comportamiento de una firma autore-ferencialmente, es decir, en funcion de sus propias caracterısticas (tecnologıa), que se ha traducido enestudiar su funcion de produccion y costos. Con este enfoque se ha hecho abstraccion de que, en general,el desempeno de las mismas es funcional a un contexto donde existen otras firmas, que ademas de tenerobjetivos similares (maximizacion de beneficio), entran en competencia en un mercado de consumido-res del producto. Este contexto de interdependencia, donde existen dos tipos de agentes economicos(oferentes y demandantes de producto), define lo que llamaremos el mercado del producto.

Por el lado de los consumidores, en lo que sigue asumiremos que todos ellos seran representados(digamos, resumidos) por una curva de demanda dada exogenamente. Esta curva relaciona el precio delproducto con la cantidad del mismo, cantidad que dichos agentes estarıan dispuestos a comprar al precio


137


indicado. Asumiremos que tal curva tiene pendiente negativa, es decir, que mientras mayor es el preciodel bien ofrecido, menor es la demanda que se tiene106.

Ahora bien, independientemente del contexto de mercado que hemos definido, el paradigma queestamos asumiendo es que la firma siempre tiene como objetivo la maximizacion del beneficio. Elproblema es, entonces, analizar como dicho contexto de mercado se traduce en las decisiones de cadauna de ellas, pues obviamente las interdependencias implican nuevas restricciones a la toma de decisiones:no es un problema de objetivos, sino mas bien de como estos objetivos se adecuan a larealidad concreta que vive cada empresa.

El como actuan las firmas en este nuevo marco es un problema central, y muy complejo, en economıa.La forma de modelar tal situacion, y su nivel de complejidad y realismo, dependeran de muchos factores.Por un lado, la forma de abordar el enfoque en una situacion de corto o largo plazo es completamentedistinto. Por otro lado, dependiendo del grado de poder que cada firma tenga en el mercado, la situacionpuede cambiar radicalmente. Si por ejemplo, existiera solo una firma en el mercado (alto poder demercado), la demanda que enfrenta estarıa simplemente definida por la curva de demanda del bien encuestion. A partir de ella, la firma decidirıa los niveles de produccion y el precio final cobrado porel producto. Si, por el contrario, existiesen un gran numero de firmas dentro del mercado (digamos,poco poder de mercado), su comportamiento podrıa ser completamente distinto al anterior, ya que susdecisiones dependen, ademas del comportamiento de los consumidores y de sus propias caracterısticas,de las decisiones de las otras firmas.

Encontrar la oferta final de una firma ante distintas situaciones de estructura de mercado no es unproblema facil. Surgen en este sentido variadas alternativas de competencia que derivan en distintas(y a veces complejas) soluciones. Casos como competencia monopolıstica, oligopolios, monopolios, entreotros, son ejemplos de estas situaciones.

Sin embargo, existe un modelo de mercado bastante simple y que, bajo ciertos supuestos sobre laeconomıa, aproxima en forma razonable la realidad. Este es el modelo de competencia perfecta quepasamos a analizar.

9.2. Competencia perfecta

Diremos que un mercado es de competencia perfecta, o competitivo, si ningun oferente (firma) nidemandante (consumidor) tiene, individualmente, influencia sobre el precio del bien: los precios finalesde los productos son obtenidos de la interaccion conjunta de todos los agentes economicos (productoresy consumidores), sin que exista una influencia singular de alguno de ellos sobre el valor resultante. Espor esto que, tanto las firmas como los consumidores, son llamados agentes precio-aceptantes.

Bajo el supuesto que la demanda de mercado tiene pendiente negativa, la Figura 72 ilustra una curvade demanda tıpica:

106En otras palabras, estamos asumiendo que el bien ofrecido por la firmas no es un bien de Giffen.

138


Figura 72: Curva de Demanda de Mercado

p

p∗

y∗ y

En la figura anterior, dado un precio final del producto107 p∗, la demanda de mercado es y∗ = X(p∗).Como sabemos, esta cantidad de producto es la que estarıan dispuestos a comprar los consumidores siel precio fuera p∗.

Ahora bien, partiendo de la base que para cada firma el precio anterior es exogeno y que maximizanbeneficio, su problema consiste entonces en encontrar la combinacion de factores x1 y x2 tales que seresuelva

maxx1,x2

{p∗f(x1, x2)− w1x1 − w2x2},

el cual es un problema de maximizacion de beneficio que ha sido expresado en terminos de la funcion deproduccion. Sin embargo, esta forma muchas veces resulta poco practica, por cuanto conocer la funcionde produccion de una determinada firma puede resultar muy complejo. Por el contrario, disponer de lafuncion de costos puede ser mas simple desde el punto de vista practico. De esta manera, si para unafirma dada, fuera conocida la funcion de costos C(·), el problema de maximizacion de beneficio anteriorse traduce en forma equivalente como:

maxy

{p∗y − C(y)},

Nota 9.1 ¿Que relacion existe entre las dos formulaciones anteriores de maximizacion de beneficio?Ambas formulaciones son equivalentes. El primer enfoque asume conocida la funcion de produccion.Si este es el caso, al resolver el problema encontraremos la demandas optimas de factores x1(p

∗, w),x2(p

∗, w) de tal forma que la oferta de la firma serıa y(p∗, w) = f(x1(p∗, w), x2(p

∗, w)). Por el contrario,si no disponemos de la funcion de produccion, pero de los costos, al maximizar p∗y−C(y) encontraremosy∗. En tal caso se tiene que y∗ = y(p∗, w): las soluciones coinciden. Mas aun, si dado C(·) fuera posibleobtener la funcion de produccion f(·) (lema de Shephard), entonces necesariamente se debe cumplir que,

∂C(y∗)

∂wi= xi(p

∗, w), i = 1, 2 :

Utilizar una forma u otra dependera de la informacion de que se disponga. Si conocemos la funcionde produccion, encontraremos la oferta segun la primera forma, si conocemos aquella de costos sera dela segunda forma. �

107Precio que pronto veremos como se obtiene.

139


Anteriormente, hemos definido una curva de demanda de mercado. Sin embargo, en un mercadocompetitivo, esta curva de demanda no es la que realmente enfrenta la firma considerada, es decir, noes la demanda que cada productor percibe en particular. ¿Como se entiende esto? Veamos un ejemplo.Supongamos que la demanda de mercado de panqueques esta dado por una curva como la anterior ysupongamos que el precio de mercado de los panqueques es p∗. Si una firma determinada cobrase unprecio p > p∗ por los panqueques, dicha firma vende cero panqueques: ¿por que los consumidores van apagar mas? Luego, la demanda de la firma es cero para precios mayores que el precio de mercado108:y(p) = 0 si p > p∗. Por otro lado, si la firma cobrase p = p∗, la demanda de la firma es cualquieraentre cero y algun valor que dependera de la cantidad de firmas que existan para cubrir la demanda demercado. Si hay solo una firma, la demanda que enfrenta nuestra firma es X(p∗), si hay dos identicas,sera la mitad de lo anterior, etc. Por ultimo, si la firma cobrara un precio p < p∗, entonces se quedarıacon toda la demanda de mercado: nuevamente el argumento de que los consumidores compran dondemas les conviene. Graficamente la situacion es como sigue:

Figura 73: Curva de Demanda de la Firma

p

p′

p∗

p′′′

y∗ Y

p′′

X(p)

Si la firma cobrara p′ > p∗ no vende. Si cobra p′′

= p∗ vende segun las decisiones de las otras firmas.Lo que mas puede vender es y∗: esta sola en el mercado. Si cobrase p

′′′

< p∗ se quedarıa con toda lademanda de mercado.

Volvamos al problema de oferta de una firma. Visto desde el punto de vista de los costos, dado p∗,sabemos que se debe maximizar p∗y − C(y): en otras palabras, maximizar el beneficio corresponde amaximizar la diferencia que existe entre el ingreso de la firma: I = p∗y, con el costo de producir y: C(y).De esta manera, derivando c.r. al producto se tiene que la condicion de optimalidad es:

∂(p∗y − C(y))

∂y= 0 ⇔ p∗ − ∂C(y)

∂y= 0 ⇔ p∗ = CMg(y) :

es decir, en el optimo se debe cumplir que el precio es igual al costo marginal. En forma masgeneral, y equivalente para este caso, considerando la definicion de ingresos y costos, la condicionde optimalidad anterior corresponde a decir que en el optimo se debe cumplir que:

∂I

∂y=

∂C(y)

∂y,

108Volveremos sobre esto mas adelante. Donde la idea de precio de mercado que se indica correspondera a precio deequilibrio.

140


es decir, la firma debe producir en aquel punto donde el ingreso marginal es igual al costo margi-nal109.

De esta forma, cualquiera sea el nivel de precios de equilibrio de mercado (p∗), la empresa eligira elnivel de produccion y∗ en el que CMg(y∗) = p∗110.

Pero lo anterior no es todo: corresponde solo a la condicion necesaria de optimalidad de primer orden.En efecto, supongamos que el precio de mercado es p∗ y que, segun la regla anterior, la firma decideproducir y∗ tal que CMg(y∗) = p∗. En tal caso, el beneficio que la firma obtiene es π = p∗y∗ − C(y∗).

Considerando que CMe(y∗) = C(y∗)y∗

tenemos que C(y∗) = y∗ · CMe(y∗). Luego, re-escribiendo elbeneficio se tiene que:

π = p∗y∗ − y∗CM(y∗) ⇔ π = y∗ · [p∗ − CM(y∗)].

De esta manera, la firma obtendra beneficio positivo si el precio de mercado es mayor que el costomedio correspondiente; el beneficio sera cero si coinciden y negativo en caso que el precio sea menor quedicho costo medio.

Para una firma en situacion de largo plazo, sabemos que el menor beneficio que puede obtener escero: hacer nada, es decir, cerrar. De esta manera, si bien la primera condicion de maximizacion debeneficio (precio igual costo marginal) siempre puede cumplirse, es necesario ademas que el beneficioque se obtenga sea positivo. Todo lo anterior se traduce en que:

la curva de oferta de la firma en el largo plazo esta dada por la curva de costos marginalesque esta por encima de la curva de costos medios y que dicha oferta es cero si el preciocorrespondiente es menor que el mınimo valor del costo medio.

Si denotamos por CMmin el valor de mınimo costo medio y por CMg−1(p∗) la funcion inversa delcosto marginal, definamos la curva de oferta de una firma competitiva como O(p∗), donde,

O(p∗) =

{y∗|CMg−1(p∗) si p∗ ≥ CMemin

0 si p∗ < CMemin

Graficamente la situacion es como sigue:

109Esta forma de ver la condicion de optimalidad es util, por ejemplo, para el caso del monopolio, donde no es cierto queel precio es igual al costo marginal, pero si el ingreso marginal igual al costo marginal. En el caso competitivo, el ingresomarginal es igual al precio.110En forma equivalente, se tiene que,

y∗ = CMg−1(p∗)

la cantidad es la inversa del costo marginal evaluada en el precio del producto.

141


Figura 74: Oferta de la Firma en el Largo Plazo

p∗∗

CMeMIN

y y∗∗

CMeCMg

p∗

En la Figura 74, si el precio de mercado es p∗∗, la oferta de la firma sera y∗∗ tal que CMg(y∗∗) = p∗∗,es decir, y∗∗ = CMg−1(p∗∗). Por el contrario, si el precio de mercado es p∗ la oferta de la firma sera cero.Finalmente, si el precio del producto es igual al valor del mınimo costo medio, la firma esta indecisa enproducir cero o la cantidad de producto donde se minimiza el costo medio.

Note que en este caso existen solo dos posibilidades en cuanto a los beneficios: que sean cero oque sean positivos. De esta manera, existe un precio umbral sobre el cual los beneficios son positivosy bajo el cual el beneficio es cero. Este precio umbral, digamos p, se calcula de la siguiente forma: aligualar el costo marginal con el costo medio obtenemos un nivel de produccion y (que corresponde alque determina el mınimo del costo medio). Luego, dado este y se tiene que el precio umbral correspondea

p = CMg(y).

En otras palabras, el precio umbral (p) es aquel asociado al nivel de produccion que logra mınimo costomedio. La Figura 75 ilustra lo anterior:

142


Figura 75: Oferta de la Firma

Precio Umbral

p

y

Costo Medio Mınimo

CMeCMg

¿Que pasa en el corto plazo? A diferencia del largo plazo, si la firma no produce no obtiene beneficiocero pues existen costos fijos. De hecho, si la firma no produce, el beneficio que tiene es negativo e iguala menos el costo fijo CF . Luego, dado un precio de mercado p∗, la oferta de la firma en el corto plazodebe considerar lo siguiente:

a.- El precio debe ser igual al costo marginal (de corto plazo) al igual que el en caso anterior (condicionde maximizacion de beneficio).

b.- Si la firma produce cero, el beneficio que obtiene es −CF . Luego, dado p∗ decidira producir positivo(digamos y∗) siempre y cuando el beneficio que obtenga en ese caso sea mayor que el beneficio deno producir, es decir:

p∗y∗ − Ccp(y∗) ≥ −CF ⇔ p∗y∗ − CV (y∗)− CF ≥ −CF ⇔ p∗y∗ ≥ CV (y∗),

es decir, si y solo si,

p∗ ≥ CV (y∗)

y∗⇔ p∗ ≥ CVMe(y∗).

En resumen, la oferta de la firma en el corto plazo esta dado por todos aquellos puntos quede la curva de costo marginal de corto plazo que estan por encima de los costos variablesmedios de corto plazo y cero en caso contrario. La diferencia con el largo plazo es que ahora seconsideran los costos medios variables y antes era solo el costo medio.


143


Figura 76: Oferta de la Firma en el Corto Plazo (1)

p∗

p

p∗∗

y y∗

CVMe

CMeCP

CMgCP

Si el precio de mercado fuera p∗, la oferta de la firma serıa y∗ de tal forma que p∗ = CMgcp(y∗). Si

el precio fuera p∗∗, la oferta de la firma serıa cero. Note que en este problema existe un precio umbral,digamos p, bajo el cual la oferta es cero y sobre el cual la oferta es positiva. Este precio umbral se calculasobre la base de una cantidad de producto umbral y, que satisface:

CMgcp(y) = CVMe(y).

Con y se tiene que p = CMgcp(y).A diferencia del largo plazo, donde los beneficios son positivos o cero, en el corto plazo es perfec-

tamente posible que una firma pueda tener beneficio negativos. En efecto, basta con que el precio demercado sea tal que este por debajo del mınimo costo medio111, pero por encima del punto de inter-seccion entre el costo marginal de corto plazo y el costo variable medio. La Figura 77 ilustra estasposibilidades:

111Notar que aquel asociado al corto plazo.

144


Figura 77: Oferta de la Firma en el Corto Plazo (2)

p∗1

p∗2

p∗3

p∗4

y∗3

CVMe

CMeCP

CMgCP

y∗2 y∗1

De la figura anterior, si el precio de mercado fuera p∗1, la oferta serıa y∗1 y el beneficio positivo. Si elprecio fuera p∗2, la oferta serıa y∗2 y el beneficio cero. Si el precio fuera p∗3, la oferta serıa y∗3 y el beneficionegativo. Si el precio fuera p∗4, la oferta serıa cero (y∗4 = 0) y el beneficio −CF .

Nota 9.2 En todo lo anterior hemos supuesto que los costos marginales son siempre crecientes, con locual garantizamos que la interseccion del costo marginal con los costos medios se da en solo un punto.Sin embargo, si fuera el caso que los costos marginales tuvieran una parte creciente y otra decreciente,el analisis anterior se restringe a considerar solo la rama creciente de los mismos. En efecto, como laidea es maximizar el beneficio de la firma, la condicion de segundo orden de maximizacion implica quela segunda derivada del beneficio debe ser negativa, es decir,

∂2π

∂y2≤ 0 ⇔ ∂2(p∗y − C(y))

∂y2≤ 0,

pero, ∂2(p∗y−C(y))∂y2 = −∂CMg(y)

∂y . Luego, la condicion de segundo orden implica que, ∂CMg(y)∂y debe ser

positivo, es decir, el costo marginal creciente: solo nos quedamos con la rama creciente de los costosmarginales. En general, en la mayorıa de los problemas que se consideran, los costos marginales soncrecientes en el nivel de produccion.

Nota 9.3 Si en el mercado existen n firmas, el procedimiento para calcular la oferta de las mismas esidentico al desarrollado anteriormente: se procede a calcular la oferta para cada una en forma individual,independientemente de las otras112. Sin embargo, dadas estas ofertas individuales se puede construir laoferta la industria (u oferta total) como la suma de las ofertas individuales (ver Ejemplo (9.2) ).Matematicamente, si para una firma i = 1, ..., n cualquiera, su curva de oferta es Oi(p), la oferta de laindustria sera:

O(p) =n∑

i=1

Oi(p).

112Es solo una curva de oferta.

145


Ejemplo 9.1 Oferta de una firma. Consideremos la siguiente funcion de produccion:

f(x1, x2) = a · xα1 · xβ

2 ,

donde 0 < α, β < 1 y a > 0. Supongamos que el input 2 esta fijo y vale x. En tal caso, la funcion decostos se obtiene de resolver el siguiente problema de optimizacion:

{mın {w1 · x1 + w2 · x}s.a a · xα

1 · xβ = y.

En este caso, el asunto es facil por cuanto x1 (variable del problema) tiene solo un grado de libertad.Ası, de las restricciones se tiene que,

x1(w, y) =

(1

axβ

) 1α

· y 1α ,

y luego la funcion de costos de la firma es:

C(w, y) = C = w1 ·(

1

axβ

) 1α

· y 1α + w2 · x.

Dado esto, se tiene lo siguiente:

(a.) Costos variables: CV = w1 ·(

1axβ

) 1α · y 1

α .

(b.) Costos fijos: CF = w2 · x.

(c.) Costos marginales: CMg = w1 ·(

1axβ

) 1α · 1

α · y 1−αα .

(d.) Costo medio: CMe = Cy = w1 ·

(1

axβ

) 1α · y 1−α

α + w2·xy .

(e.) Costo variable medio : CVMe = w1 ·(

1axβ

) 1α · y 1−α

α .

Para determinar el precio y la cantidad umbral que nos permite definir la curva de oferta, debemosresolver la siguiente ecuacion:

CVMe(y) = CMg(y),

la cual se debe considerar en la parte creciente de la curva de costos marginales113. Para determinar dondelos costos marginales son crecientes (respecto del nivel de produccion obviamente) debemos considerarla derivada del mismo y ver donde es positiva. En nuestro problema,

∂CMg

∂y= w1 ·

(1

axβ

) 1α

· 1α· 1− α

α· y 1−α

α−1,

y, puesto que 0 < α < 1, se tiene que ∂CMg∂y es siempre positiva, es decir, los costos marginales son

siempre crecientes. Notar que CMg(y = 0) = 0. Ahora bien, al igualar CVMe y CMg se tiene que,

w1 ·(

1

axβ

) 1α

· y 1−αα = w1 ·

(1

axβ

) 1α

· 1α· y 1−α

α .

Ası, ordenando los terminos y resolviendo la ecuacion se deduce que y = 0 de lo cual se tiene quep = CMg(y = 0) = 0. De esta manera, la curva de oferta de la firma en el corto plazo se obtiene deresolver la ecuacion:

113Eventualmente podrıan haber mas de una solucion a dicho problema. Es necesario, antes de hacer los calculos, deter-minar los rangos en los cuales el costo marginal es creciente.

146


p = CMg(y) ⇔ p = w1 ·(

1

axβ

) 1α

· 1α· y 1−α

α .

Despejando y en funcion de p, se tiene que la curva de oferta de corto plazo es:

y =

(α

w1

) α1−α

· (axβ)1α · p α

1−α .

Ejemplo 9.2 Oferta de varias firmas: industria.Supongamos que existen n firmas en el mercado que producen un bien identico. En tal caso, deno-

temos por yi(p∗) la oferta de la firma i = 1, ..., n a dicho nivel precios. Se define la oferta del mercado

como la suma de cada de una las ofertas parciales de las firmas, es decir, y(p∗) tal que:

y(p∗) =

n∑

i=1

yi(p∗).

A modo de ejemplo, supongamos que las n firmas tienen la misma funcion de costos C(y) = y2 + 1.En tal caso, los costos marginales de cada una de ellas es igual a CMg(y) = 2 · y mientras que elcosto medio variable es CVMe = y. Ya que el costo marginal es creciente y siempre mayor que el costomedio variable, se tiene que la curva de oferta de cada una de las firmas se deduce de la expresionp = CMg(y)114 Es decir, p = 2 · y de donde se tiene que la curva de oferta de cada una de las firmases yi(p) = p

2 , i = 1, ..., n. Por lo tanto, la oferta total de las n firmas esta dada por la expresion

y(p) =n∑

i=1

yi(p) = n · p2 . De esta manera, la funcion de oferta inversa de la industria esta dada por

p = 2·y(p)n . �

9.3. Analisis de equilibrio parcial: ¿como se determina el precio de mercado?

En todo el analisis anterior, hemos supuesto que el precio de mercado es dado exogenamente y conello obtendremos la oferta de la industria y la demanda total del bien. Sin embargo, dentro de todaslas posibilidades de precios, habra uno donde se verifica la igualdad entre la oferta de la industria y lademanda del bien en cuestion. Este precio es muy importante en economıa y recibe el nombre de preciode equilibrio en el mercado considerado.

Es importante insistir que a un precio dado, la oferta de la industria se obtiene de sumar las ofertasde cada una de las firmas al nivel del precio dado, las que suponemos estan maximizando el beneficioa dicho nivel de precios. Por otro lado, la demanda de mercado se obtiene a partir de la maximizacionde utilidad de cada uno de los individuos (compradores) dado dicho nivel de precios, que obviamenteimplica una restriccion en el presupuesto de los mismos. Ası, surge el problema de buscar un preciopara los bienes que sea compatible con los intereses contrapuestos de las firmas y de los consumidores.Por un lado, las firmas buscan maximizar sus beneficios que, como ya sabemos, son crecientes con elprecio del producto, mientras que a los consumidores les conviene (en principio) que los precios seanmenores por cuanto sus demandas se pueden verse disminuidas ante alzas en los precios de los productos.Encontrar estos precios que permiten la maximizacion de ambos tipos de agentes es el problema de lateorıa del equilibrio y es parte fundamental de la teorıa economica. Como hemos definido, este precio essimplemente aquel de equilibrio.

Para determinar el precio de equilibrio, existe una diferencia fundamental si el problema consideradoes de corto o largo plazo. En el corto plazo, ademas de existir factores que estan fijos, la cantidad defirmas que participan en el mercado es constante. En el largo plazo, ademas de no existir factoresfijos, la cantidad de firmas que existen en el mercado es variable: el numero de empresas que sobrevivenen el largo plazo es una cantidad que se debe obtener de las condiciones del mercado, no es exogenocomo en el corto plazo.

114Esta funcion se denomina funcion de oferta inversa.

147


Dado lo anterior, el precio de equilibrio en el corto plazo puede ser completamente distinto que aquelde largo plazo. Veamos esto con detalle.

En primer lugar consideremos una situacion de corto plazo y supongamos que la cantidad de firmases n. Supongamos ademas que la oferta de cada una de ellas es Oi(p), con i = 1, ..., n y que la demandade mercado es X(p). En tal caso, la oferta de mercado es,

O(p) =

n∑

i=1

Oi(p).

Luego, el precio de equilibrio es p∗ tal que,

X(p∗) = O(p∗).

Con esto encontramos el precio de equilibrio y, por ende, la oferta de cada firma en particular.

En el largo plazo, como existe libertad de entrada - salida de firmas en el mercado, la cantidadde ellas se determinara endogenamente en el modelo, para lo cual debemos considerar lo siguiente:

a.- En el largo plazo las firmas no pueden tener beneficio positivo: si fuera el caso, existira unincentivo para que otra firma entre a la competencia y con ello haga que los beneficios de las queya estaban sean menores. De esta manera, entraran tantas firmas como sea necesario hasta que elbeneficio de cada una de ellas sea nulo, situacion a partir de la cual ya no es atractiva la entrada.

b.- En el largo plazo sobrevivira aquella firma (o tipo de firma) que sea la mas eficienteen el sentido de sus costos: en efecto, si hay dos tipos de firmas en el mercado, digamostipo 1 y tipo 2, de tal forma que los costos de produccion de las firmas de tipo 1 son menoresque las del tipo 2, entonces en la medida que entran firmas a la competencia se dara que lasfirmas de tipo 2 prontamente llegaran a un nivel de produccion incompatible con sus costos115,pero, eventualmente, a esos mismos niveles de produccion, las firmas de tipo 1 podrıan sobrevivir(produccion positiva), quedandose con todo el mercado. Luego, sobreviven solo las mas eficientes.Pero eso no es todo. En el largo plazo, debemos tener presente que las firmas pueden copiar sustecnologıas de produccion, de tal forma que es razonable pensar que en este caso todas las firmasson similares. La empresa modelo sobre la cual se define la estructura productiva es aquella maseficiente (es decir, para cualquier nivel de produccion tiene menores costos de produccion), el restode las firmas que tiene tecnologıa menos eficientes puede copiar a la mas eficiente.

En resumen, en el largo plazo podemos suponer que todas las firmas que sobreviven son similares yque el beneficio de todas ellas es cero. Con esto queda implıcitamente definido el numero de firmas en elmercado en la situacion de largo plazo. Ademas queda automaticamente definido el precio de equilibriode largo plazo: si el tipo de firmas que sobrevive tiene costos medios CMe, el precio de equilibrio demercado es tal que el beneficio de largo plazo es cero, es decir, el precio de equilibrio de largo plazoesta dado por el valor del mınimo costo medio.

Ejemplo 9.3 Un analisis de largo plazo.Supongamos que en el mercado hay dos tipos de firmas que producen barquillos. Un tipo de firmas

produce ocupando una tecnologıa que tiene costos C1(y) = y3 − 2y2 + 2y, mientras que el otro tipo defirmas produce con costos C2(y) = y3−y2+3y. Suponiendo que la demanda de mercado esX(p) = 15−p,la idea es determinar el numero de firmas que habra en el mercado en una situacion de largo plazo yencontrar la oferta total de la industria de barquillos.

Para ello, en primer lugar notemos que para todo y, C2(y) > C1(y). En efecto, C2(y) − C1(y) =y3− y2 +3y− [y3− 2y2+2y] = y2+ y > 0. En segundo lugar, sobreviven solo las firmas del primer tipo.En este caso, el costo medio es CM1 = y2 − 2y + 2 y el valor del mınimo costo medio se tiene cuando2y− 2 = 0, es decir, y = 1. El valor del mınimo costo medio es por lo tanto CM(y = 1) = 1− 2+2 = 1:

115Es decir, produccion nula: sabemos que esto depende del valor del mınimo costo medio.

148


este es el precio de equilibrio de largo plazo, p∗ = 1. La oferta de cada firma en ese nivel de precios esy∗ = 1 y la demanda de mercado es X(1) = 15 − 1 = 14. Por lo tanto, en el largo plazo deben habern = 14 firmas, pues n · y∗ = X(p∗). �

9.4. Ejemplos varios

Ejemplo 9.4 Consideremos la siguiente funcion de produccion de una firma:

f(x1, x2) = a · xα1 · xβ

2 ,

donde 0 < α, β < 1 y a > 0. Supongamos que el input 2 esta fijo y vale x. Determine la oferta de lafirma que hace maximo su beneficio en el corto plazo.

SolucionLas funciones de costos, costos medios, etc., ya fueron determinadas en un ejemplo anterior. Con

esto, Dado un precio de mercado p para el producto, la firma maximiza su beneficio cuando:

p = CMg(y) ⇔ p = w1 ·(

1

axβ

) 1α

· 1α· y 1−α

α .

Despejando y en funcion de p, se tiene que la oferta de la firma en el corto plazo es:

y =

(α

w1

) α1−α

· (axβ)1α · p α

1−α .

Ejemplo 9.5 Supongamos que los precios de los factores son w1 = 1 y w2 = 2 y supongamos que lafuncion de produccion de una firma es de la forma f(x1, x2) = xα

1 + xβ2 . El precio de venta del producto

es p∗ = 2.

(a) Supongamos que f(4, 4) = 4 y que ∂f(1,1)∂x1

= 12 . Determine en tal caso la funcion de produccion

de la firma y determine la oferta de la misma en una situacion de corto plazo donde se tiene quex2 = 1.

Respuesta. Aquı, f(4, 4) = 4α +4β = 4 y α · 1α−1 = 1/2. Luego α = 1/2 y por lo tanto β = 1/2.

En consecuencia f(x1, x2) = x1/21 + x

1/22 . Cuando x2 = 1 y p∗ = 2, para determinar la oferta de

corto plazo debemos encontrar la funcion de costos. Al resolver el problema mınx1

1 · x1 + 2 · 1

sujeto a x1/21 + 11/2 = y se tiene que el costo de corto plazo es C(y) = (y − 1)

2+ 2 = y2 − 2y + 3.

En este caso CMg = 2y− 2 y CVMe = y− 2. Como CMg es creciente y CMg > CVMe se tieneque la oferta esta dada por p = CMg. Cuando p∗ = 2, la oferta es 2y∗ − 2 = 2, es decir, y∗ = 2.

(b) Supongamos ahora que todos los factores son variables. Determine entonces, para el nivel de preciosindicado, ¿cual es la oferta de la firma en el largo plazo.

Respuesta. Al resolver el problema de costos (mınx1,x2

x1+2x2, sujeto a, x1/21 +x

1/22 = y) se tiene

que x1 = 4/9 · y2 y x2 = (1/9) · y2, por lo tanto C(y) = 4/9 · y2 + 2 · 1/9 · y2 = 6/9 · y2 = 2/3 · y2.Luego, CMg = 4/3 · y y por lo tanto la oferta para el largo plazo cuando p∗ = 2 es y∗ tal que2 = 4/3 · y∗, es decir, y∗ = 3/2.

(c) Para el nivel de precios p∗ = 2 y el respectivo nivel de oferta de largo plazo ya encontrado, ¿cualdeberıa ser el nivel del factor variable que se habrıa de ocupar en el corto plazo para lograr elmismo nivel de produccion ya encontrado para el largo plazo?

Respuesta. Es necesario resolver la siguiente ecuacion: x1/21 + x

1/22 = 3/2, considerando que

x2 = 1. Luego, x1/21 = 3/2− 1, e.d, x1 = 1/4.

Ejemplo 9.6 Se sabe que la funcion de costos medios de una firma es de la forma CMe(w, y) = wα1 ·wβ

2 .

149


a. Determine la funcion de costos de la firma y cual debe ser la relacion entre α y β.

Respuesta. Dado los costos medios, la funcion de costos es C(w, y) = y · wα1 · wβ

2 (recordar queCMe = C

y ). Como la funcion de costos es homogenea de grado 1 en w se debe cumplir que

C(λ · w, y) = λC(w, y) ⇔ tα+β · y · wα1 · wβ

2 = t · y · wα1 · wβ

2 .

Luego, α+ β = 1 y por lo tanto β = 1− α. De esta manera, la funcion de costos queda:

C(w, y) = y · wα1 · w1−α

2 .

b. Determine las funciones de demanda de la firma.

Respuesta. Usando Shephard sabemos que ∂C(w,y)∂wi

= xi(w, y), i = 1, 2. Estas son las funciones dedemanda restringida. Nos piden las funciones de demanda. Para ello debemos obtener, en primerlugar, la funcion de produccion y con ella maximizar beneficio. De esta manera, nuestro problemadebemos resolverlo en dos etapas.

Para determinar la funcion de produccion, usemos Shephard. El sistema de ecuaciones que resultaes,

∂C(w, y)

∂w1= y · α · wα−1

1 w1−α2 = x1(w, y). (17)

∂C(w, y)

∂w2= y · (1− α) · wα

1w−α2 = x2(w, y).

Haciendo el cuociente entre ambas ecuaciones queda:

α

1− α· w2

w1=

x1(w, y)

x2(w, y).

La idea es despejar y en funcion de (x1(w,w), x2(w, y)). Esto nos entrega la funcion de produccion.En nuestro problema, de la ecuacion anterior obtenemos w2 en funcion de w1:

w2 =1− α

α· x1

x2· w1.

Reemplazando esta relacion en (17) queda,

y · α · wα−11 ·

(x1

x2

)1−α

·(1− α

α

)1−α

· w1−α1 = x1,

es decir,

y =1

α·(

α

1− α

)α

· xα1 · x1−α

2 ,

que es la funcion de produccion buscada. Con esta funcion de produccion podemos encontrar lasdemandas solicitadas al resolver el problema

maxx1,x2

p

(· 1α·(

α

1− α

)α

· xα1 · x1−α

2

)− w1x1 − w2x2.

150


Ejemplo 9.7 Considere una firma tomadora de precios y maximizadora de beneficio cuya funcion decostos es,

C(w, y) = w121 w

122 · y2.

Demuestre que un aumento en 1% en el precio del producto final implica un aumento en un 1% enla cantidad ofertada y de un 2% en el beneficio de la firma. ¿Que puede concluir al respecto ?

Solucion.De la condicion precio igual costo marginal se tiene que p = w121 w

122 ·2y, luego y(p, w) = p

2w121 w

122

.

El beneficio es, por lo tanto,

π(p, w) = p · p

2w121 w

122

− w121 w

122 ·(

p

2w121 w

122

)2

,

es decir, π(w, y) = γ · p2, con γ a partir de lo anterior. De esta manera, al calcular las elasticidades setiene que,

ǫy,p =

∂y(p,w)∂p

y(p,w)p

= 1,

mientras que,

ǫπ,p =

∂π(p,w)∂p

π(p,w)p

= 2.

Por lo tanto, a partir de lo anterior, se tienen los cambios porcentuales indicados en el enunciado. A esterespecto, el comentario es abierto a indicar cuestiones como que el aumento en el precio del productotiene implicancias mayores en el ingreso que en el costo pues el beneficio crece mas que la oferta de lafirma.

Nota. A modo de ejemplo,∂y(p,w)

∂p

y(p,w)p

=

1

2w

121

w

122

1

2w

121 w

122

= 1. Es analogo con π(p, w).

Ejercicio 9.1 PropuestoSuponga que en el mercado de un bien existen N firmas identicas, cuyos costos son: C(q) = F + αq2.La demanda de mercado es X(p) = Ap−δ, donde A, δ > 0.

(a) Determine el precio de equilibrio competitivo de la economıa anterior y la oferta agregada en elequilibrio.

(b) Muestre que las firmas produciran solo si, p > 2√Fα.

Suponga ahora que ingresa M firmas al mercado, cuyos costos son C(q) = F + γq2.

(c) Encuentre una expresion para que en el largo plazo solo operen M firmas que ingresaron ahora almercado.

Asuma finalmente que un magnate compra toda la industria, conformando un monopolio en el producto.

(d) Muestre que el problema del monopolista ahora es, max p ·X(p)−(N+M)F −(

Nγ+MαN+M

)(X(p))

2.

(e) Determine el precio cobrado por el monopolio y analice que sucede si aumenta el numero de plantasque tiene el monopolio.

Ejercicio 9.2 PropuestoConteste las siguientes preguntas:

151


(a) El precio de equilibrio determinado en competencia perfecta esta dado por la igualacion de lademanda total en el mercado a la oferta de este.

(b)

Ejercicio 9.3 PropuestoSuponga una industria de competencia perfecta donde, en t = 1, hay T1 firmas que poseen costos dela forma C1(y) = (C1/2)y

2. ¿Cual es el precio de equilibrio en t = 1? Luego, sabe que en t = 2 entranT2 firmas con una estructura de costos de la forma C2(y) = (C2/2)y

2. ¿Cual es el precio en t = 2?Finalmente, ¿Cual sera el precio en el perıodo N , asumiendo que en cada perıodo adicional s entran Ts

firmas mas con una estructura de la forma, Cs(y) = (Cs/2)y2?

10. Competencia Imperfecta: Monopolio y Monopsonio 116

10.1. Introduccion

Existe un monopolio en el mercado cuando una firma tiene el control exclusivo de un producto endicho mercado. El principio que existe en tal caso es que la cantidad de producto que esta firma puedevender responde de manera continua al precio que cobra, a diferencia de una firma competitiva quevenderıa cero si el precio que cobra es mayor que el precio de mercado o se llevarıa toda la demanda sisu precio es menor (situacion claramente discontinua).

Podemos entender esta situacion diciendo que la firma competitiva es tomadora de precios y que elmonopolio es hacedor de precios en el mercado.

Las razones para que existan monopolios en un determinado mercado pueden ser varias. Por un lado,razones de tipo legal o por decretos: el Estado (la autoridad pertinente) confiere el exclusivo derechode produccion de cierto producto a una determinada firma. A modo de ejemplo, recordar el estancodel tabaco que Diego Portales tuvo a mediados del siglo XIX. Otra razon por la cual podrıan existirmonopolios es debido a la existencia de patentes (mas generalmente, reglas sobre propiedad intelectual)que delimitan la produccion a determinadas firmas (o la firma) que cumplen con el requisito (por ejemplo,las innovadoras o las que hicieron la inscripcion en primer lugar). Un caso tıpico de esto es la industriafarmaceutica, donde por un periodo de no menos de 10 anos, la firma que patenta determinada droga,tiene el exclusivo derecho a producirla y comercializarla.

Una tercera posibilidad para la existencia de monopolios es que una determinada firma posea costosmarginales decrecientes, es decir, retornos crecientes de escala en la produccion. Ejemplo de ello son lasfirmas productoras de servicios como agua potable, electricidad o gas natural. Este tipo de monopoliosse denomina natural.

En rigor, para que exista un monopolio deben necesariamente existir barreras a la entrada de firmaspues, en caso contrario, dado que las firmas monopolicas tienen beneficio positivo en el largo plazo(tal como veremos), habrıa un incentivo para que nuevas firmas entraran al mercado, con lo cual, laestructura de monopolio deja de tener sentido.

Estas barreras pueden ser legales (como las hemos visto), producto de la tecnologıa de produccion(monopolio natural), por la existencia de altos costos fijos, u otras.

10.2. Maximizacion del beneficio

Es claro que, como cualquier firma, el monopolio tiene como objetivo la maximizacion del beneficio.Sin embargo, en este caso, para plantear el problema correspondiente debemos considerar que enfrentados tipos de restricciones. Por un lado las tecnologicas (igual que cualquier empresa) que se reflejan ensu funcion de costos y, por otro lado, aquellas derivadas de las preferencias de los consumidores queestan dispuestos a comprar diferentes cantidades de productos a diferentes precios. Para fijar ideas, en


152


lo que sigue supondremos que los consumidores estan resumidos (representados) a traves de una funcionde demanda de mercado X(p)117.

Una diferencia fundamental con el caso competitivo, es que la demanda que enfrenta el mono-polio es continua y, de hecho, igual a la demanda de mercado por el bien respectivo: el monopolio esel unico proveedor del bien, por lo cual siempre podra producir la cantidad de producto que demande elmercado.

Como el monopolio es el unico que puede producir, en particular tiene la facultad de decidir sobreel precio de venta que puede cobrar por el producto. Para fijar ideas, en lo que sigue supondremosque el precio que cobra es el mismo por cada unidad que vende. Mas adelante, cuando veamosdiscriminacion, consideraremos casos mas generales de tarificacion. En este caso sencillo, se dice que elmonopolio es debil.

Definicion 10.1 Monopolio debilDiremos que un monopolio es debil si el precio cobrado por unidad es el mismo para todas las

unidades que ofrece. �

En este caso, el precio es ahora una variable de decision de la firma, a diferencia del modelocompetitivo donde el precio era un dato para las firmas118.

Notemos ahora lo siguiente: como el monopolio es la unica firma que produce el producto, al tenerel control del precio, en forma equivalente tiene el control de la cantidad que se produce, debido a larelacion precio - cantidad que esta dada en la funcion de demanda de mercado, X(p). De esta manera,la variable de decision de la firma monopolica puede ser el precio que cobra o, equivalentemente, lacantidad que produce.

Si por ejemplo tomara como variable de decision el precio de venta del producto, entonces quedafijada la demanda (igual a la oferta de la firma), X(p). Si la variable de decision fuera la oferta y de lafirma, entonces el precio que puede cobrar es,

p = X−1(y)

es decir, funcion de demanda inversa de la cantidad. Luego, si la funcion de costos del monopolioes C(y), el problema de maximizacion del beneficio del monopolio se puede plantear de dos manerasequivalentes: por un lado buscar la cantidad de producto que maximice su beneficio o, considerando quesiempre cubre toda la demanda, elegir el precio del bien que lo lleve a la situacion de maximo beneficio.

En terminos matematicos, de lo anterior se tiene que el monopolio debe resolver el siguiente problemade optimizacion:

maxy

p · y − C(y).

donde p = X−1(y). Es decir,

maxy

X−1(y) · y − C(y).

Ya que y = X(p), el problema anterior se puede replantear como,

maxp

p ·X(p)− C(X(p)),

donde hemos traspasado el problema de decidir sobre la cantidad a decidir sobre el precio que debecobrar para obtener maximo beneficio.Se insiste en que las dos formulaciones anteriores del problema del monopolio son equivalentes, de talforma que trabajaremos indistintamente con cualquiera de ellas.

117Mas adelante volveremos sobre el punto, considerando mas detalladamente el supuesto de que todos los individuosson representados por una unica funcion de demanda de mercado. La idea es relajar este supuesto y considerar que elmonopolio puede acceder a mayores detalles de conocimiento del mercado, lo que en principio le permitira discriminarprecios.118De esta manera podemos decir que las firmas competitivas son tomadoras de precios y que el monopolio es hacedorde precios. Esta es la diferencia esencial entre unas y otras.

153


El hecho que el monopolio sea debil, significa que un vez obtenido el precio optimo pm y la cantidadoptima ym, lo que cobra por cada unidad es pm, independiente del individuo al cual haga la venta. Enotras palabras, si en la economıa hay n individuos, cuyas demandas al precio pm son Xi(pm), entoncesel ingreso que obtiene con cada uno de ellos es

Ii = pm ·Xi(pm),

con ym =n∑

i=1

Xi(pm): el monopolio bf debil cobra el mismo precio unitario a cada consumidor 119.

Para obtener el punto que maximiza la funcion de beneficio es necesario derivar la funcion e igualarel resultado a cero (condicion de primer orden), es decir:

∂π

∂y= 0.

Si definimos la funcion de ingreso del monopolio como I = X−1(y) · y (o equivalentemente como I =p ·X(p)), la condicion de primer orden se puede escribir como,

∂π

∂y= 0 ⇔ ∂I

∂y− ∂C

∂y= 0 ⇔ ∂I

∂y=

∂C

∂y,

es decir, en el optimo se tiene que el ingreso marginal es igual al costo marginal.Con lo anterior podemos determinar el precio cobrado, digamos pm, en funcion de los parametros

del problema. Con esto podemos obtener la cantidad optima ofrecida (total), simplemente a partir dela relacion,

y∗ = X(p∗).

Ejemplo 10.1 Supongamos que un monopolio enfrenta una demanda X(p) = a − bp y que sus costosson C(y) = 1/2y2. Entonces, en funcion de la cantidad el beneficio de la firma es

π(y) = (a/b− y/b) · y − 1/2y2.

Luego, la cantidad optima ofrecida viene de resolver π′(y) = 0, de lo cual ym = a2+b . El precio al

cual ofrecera dicha cantidad es,

pm =a(1 + b)

b(2 + b).

De esta manera, como el monopolio es debil, cobra el mismo precio por cada unidad vendida. Ası,el ingreso obtenido es

I = pm · ym =a(1 + b)

b(2 + b)· a

2 + b=

a2(1 + b)

b(2 + b)2,

mientras que el beneficio resultante es,

π =a2(1 + b/2)

b(2 + b)2 .

Interpretemos la condicion de optimlidad anterior. Dado que I = p(y) · y, donde p(y) = X−1(y),entonces ∂I

∂y = p(y) + p′(y) · y (regla del producto, la prima denota derivada c.r. a y). Por lo tanto,

p(y) + p′(y) · y = C′(y) = CMg(y),

119Es decir, no puede discriminar.

154


Ası, supongamos una situacion en que el precio del bien es p y que monopolio produce y. Si decideaumentar la produccion en una unidad, el costo adicional es C′(y). Por otro lado, el beneficio extra queobtiene es,

p(y + 1) · (y + 1)− p(y) · y = y · (p(y + 1)− p(y)) + p(y + 1),

haciendo las aproximaciones del caso, p(y + 1) − p(y) ∼ p′(y) y p(y + 1) ∼ p se tiene que el beneficioextra es p′(y) · y+ p, el cual, por condicion debe ser igual al costo de la unidad extra, que es la relacionque ya tenıamos.

Analicemos ahora la condicion de optimalidad en terminos de la elasticidad precio de la demanda:εX,p = ∂X

∂p · pX .

Como, y = X(p), la elasticidad podemos expresarla equivalentemente como,

εX,p = εy,p =∂y

∂p· py.

Note que dicha elasticidad es obviamente negativa, pues un aumento en el precio induce que lademanda baje (interpretacion de la elasticidad). De esta manera, de la condicion de optimalidad, alfactorizar por el precio queda:

p(y) ·(1 +

p′(y) · yp(y)

)= p(y) ·

(1 +

∂p(y)

∂y· y

p(y)

)= p(y) ·

(1 +

1

εy,p

),

y por lo tanto la condicion de maximizacion de beneficio se puede reescribir como,

p(y) ·(1 +

1

εy,p

)= CMg(y).

Una implicancia importante de lo anterior es que, asumiendo que el costo marginal no puede ser nega-

tivo (hipotesis bastante razonable), se deduce que(1 + 1

εy,p

)debe ser positivo, por lo cual, considerando

que la elasticidad debe ser negativa 120, obtenemos que εy,p < −1121.Luego el monopolista siempre escogera su oferta en la parte de la demanda donde la

respuesta a cambios en los precios es alta: es decir, en la parte elastica de la curva de demanda122.Esta es una condicion necesaria de optimalidad.

Aprovechemos la formula anterior (con elasticidades) para determinar el precio que cobra el mono-polio. De esa expresion se deriva directamente que:

p(y) =CMg(y)(1 + 1

εy,p

) .

Ası, si por ejemplo la elasticidad εy,p es constante, el denominador de la expresion anterior tambienes es una constante y, por lo tanto, lo que cobra el monopolio es una proporcion constante de su costomarginal (solo bajo la hipotesis de elasticidad constante). El factor de proporcionalidad es 1

(

1+ 1εy,p

) .

Note que este factor es mayor que uno123 y por lo tanto el precio que cobra el monopolio es mayorque el costo marginal, lo que marca otra diferencia con las empresas competitivas, donde el preciodebıa ser igual al costo marginal (oferta de la firma competitiva).

Por otro lado, puesto que el precio cobrado por el monopolio es mayor que el costo marginal, lacantidad que ofrece al mercado debe necesariamente ser menor que aquella cantidad dadaen una situacion competitiva. En efecto, como el precio cobrado por el monopolio es mas altoque el precio competitivo, si la empresa (vista ahora como una firma competitiva) cobrase ese precio

120Lo cual ya se comento.121Queda para el lector resolver aquella inecuacion como ejercicio122Recordemos que la demanda es elastica respecto del precio si la elasticidad precio de la demanda es, en valor absoluto,mayor que 1. En caso que dicha elasticidad sea, en valor absoluto, menor que uno, se dice que la curva es inelastica.123Esto viene del hecho que la elasticidad debe ser menor que menos uno (mayor que uno en valor abosluto), tal comoya se ha mencionado.

155


monopolico su oferta necesariamente serıa mayor, por lo tanto, en una situacion monopolica se producemenos que en una situacion competitiva y se cobra mas.

Todo lo anterior nos lleva a decir que un mercado donde existe un monopolio es ineficiente. LaFigura 78 ilustra lo anterior:

Figura 78: Cantidad producida y precio en Monopolio

pM

pC

yM yC

IMg

X(p)

CMg

En la figura, pc e yc denotan el precio y cantidades de producto resultantes de un intercambiocompetitivo, donde solo hay una firma: el precio de equilibrio esta en la curva de costo marginal yademas se cubre toda la demanda a ese nivel de precios.

Sin embargo, vista la curva de ingreso marginal en funcion del precio, se tiene que IMg(p) =p ·X ′(p)+X(p). Luego, como X ′(p) es negativo (la demanda es decreciente en el precio), necesariamenteIM(p) < X(p): la curva de ingreso marginal esta por debajo de la curva de demanda. Luego,la interseccion con el costo marginal se debe dar en un nivel de producto menor que aquel competitivo:ym. En consecuencia, en el optimo, el monopolio produce menos que si fuera considerado como unafirma competitiva. ¿Cuanto cobra? En este caso, el precio (pm) es tal que la demanda debe ser ym, esdecir, X(pm) = ym, de lo cual se tiene que,

ym > yc.

¿Por que el monopolio no produce yc y cobra pc? La razon es la siguiente: si cobrara pc yprodujera yc, el beneficio que obtendrıa no es el maximo que puede alcanzar. Por el contrario, si cobrapm y produce ym, su beneficio es el maximo que puede lograr. La Figura ?? ilustra este hecho:

156


Figura 79: Beneficios del Monopolio

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

pM

π

yM

CMe

IMg

X(p)

CMg

A partir de lo anterior, podemos plantear la siguiente interrogante: ya que el monopolio cobra masy produce menos que aquello que se tendrıa en una situacion competitiva equivalente, implica estoque el sistema total (la economıa, entendida esta como el conjunto de consumidores y productores) esperjudicado. La respuesta no es trivial por lo siguiente: si el monopolio tiene rentas, estas claramentepasan a sus duenos, quienes ademas son consumidores. Ası, la existencia del monopolio tiene asociadauna redistribucion de rentas entre oferentes y demandantes. Esto por sı mismo no implica ineficienciaen el sentido del bienestar. El problema que existe es otro: debido al sobreprecio, existen potencialesconsumidores que ahora no puede comprar a los nuevos valores, cuestion que implica una perdidade bienestar social, que no es ganancia para el monopolista: la ganancia del monopolista viene de laperdida del excedente del consumidor que tienen las personas que si pueden comprar al nuevo precio (losque estan dispuestos a pagar mas). Como se ha dicho, este traspaso no implica perdida de bienestar delsistema, pues es solo un traspaso. Solo la componente de limitacion de la demanda implica la perdidade bienestar indicada.

Para ilustrar geometricamente la perdida de bienestar que hemos discutido, consideremos la Figura 80(hemos supuesto todo lineal por simplicidad):

157


Figura 80: Perdida de Eficiencia

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxxxxx

pM

pC

yM yC

X(p)

CMg

IMg

b

c

a

Si el precio cobrado fuera algo menor que pm (digamos, marginalmente menor), entonces la demandaaumentarıa: mas gente puede acceder a los bienes. Para el monopolio, esta disminucion en el precioimplicarıa una perdida de ganancia (beneficio), pues en el punto (ym, pm) esta maximizando beneficio.El valor de esta perdida es, aproximadamente, el area del pequeno rectangulo de la figura: (precio- costo marginal) * cambio en la demanda124. Si nuevamente consideramos otra pequena bajaen el precio, el monopolio tendra una perdida similar. Si continuamos bajando el precio hasta el valorpc, la suma de todas estas pequenas perdidas sera el area del triangulo abc de la figura. Esta perdidadel monopolio es la ganancia que tendrıan los individuos producto de una baja en el precio. Como enrealidad el monopolio cobra pm y vende ym, todo lo anterior es ficticio y, por ende, el area del triangulorepresenta la perdida de bienestar que buscabamos.

10.3. Discriminacion

Lo analizado en la seccion anterior considera que el problema del monopolio consiste en determinar unprecio optimo (y con ello una cantidad optima) que cobra (y ofrece) en el mercado, precio y cantidad queno depende de cada individuo en particular, sino mas bien de la demanda global de la economıa. Ademas,en el analisis anterior hemos supuesto que una vez obtenido el precio optimo, cada unidad ofrecida secobraba al mismo precio ya obtenido. En resumen, el monopolio debil no puede diferenciar a losindividuos y, por otro lado, cobra linealmente la cantidad que vende a cada uno de ellos125.

124Formalmente, la perdida del monopolio es igual a la diferencia de ingresos y costos que tiene en el nuevo escenariode precio - cantidad respecto de la situacion original. Si el precio es ahora ligeramente inferior a pm (digamos, p′), yla nueva oferta es y′ en vez de ym, entonces el nuevo beneficio es p′y′ − C(y′). Por lo tanto, el cambio en beneficio es∆π = [p′y′−C(y′)]− [pmym−C(ym)] = p′y′−pmym− [C(y′)−C(ym)]. Pero pm ∼ p′, luego, aproximado el costo se tieneque C(y′) − C(ym) ∼ CMg(ym) · (y′ − ym). De esta manera, considerando las aproximaciones anteriores (reemplacemosp′ por pm en la primera componente), se tiene que,

∆π ∼ pm · (y′ − ym)− CMg(ym) · (y′ − ym) = (pm − CMg(ym) · (y′ − ym)

que corresponde al area de la figura.125Cobro lineal significa que si el precio optimo es pm entonces por vender y unidades cobra pm ·y. En este caso, cualquieraque sea la cantidad vendida, el precio unitario es el mismo.

158


La forma natural de generalizar el modelo anterior va por dos lados. En primer lugar, suponer quepuede discriminar por cada individuo (o grupos de individuos), a los cuales podra ofrecer el producto adistinto precio segun sus caracterısticas. En segundo lugar, aplicar una regla de precios no necesariamentelineal como en el caso anterior, es decir, que no necesariamente una determinada cantidad del productodebe tener el mismo precio unitario que otra cantidad de producto que se trance.

Ejemplo 10.2

a.- Cuando un profesional (abogado, medico, ingeniero) cobra por sus servicios, eventualmente dis-crimina por tipo de persona (o institucion), cobrando un precio segun una serie de parametrosque caracterizan la demanda (nivel de urgencia, nivel de ingreso, simpatıa, etc). Ademas, el preciounitario cobrado no depende en forma lineal de la cantidad de tiempo asignado al caso: se podrıadar que al comienzo cobrase mas barato que al final del trabajo. Luego, su precio unitario porhora no es necesariamente lineal.

b.- Un segundo caso de discriminacion se tiene cuando el monopolio puede cobrar no linealmenteen funcion de la cantidad que se compre, pero no puede discriminar segun el tipo de compradorasociado. Por ejemplo, los descuentos por volumen que ofrece una tienda obedecen a este tipo decomportamiento, ya que el precio unitario cambia segun la cantidad de producto que se compra,pero este precio es identico para cada individuo.

c.- Un cine que ofrece precios baratos a estudiantes y tercera edad y precios mas caros en casocontrario, esta haciendo una discriminacion de la demanda ya que la segmenta en tres categorıas.La regla de precios en este caso es lineal, pues cobra lo mismo por cada ticket en cada sub - grupode demanda (precio unitario intra - grupo constante).

Cuando un monopolio tiene la facultad de discriminar la oferta, ya sea en precio o cantidad, diremosque, a diferencia del caso anterior, se trata de un monopolio fuerte. Con esto, se tiene la siguientedefinicion:

Definicion 10.2 Diremos que un monopolio fuerte realiza discriminacion

a.- de primer grado si puede cargar precios unitarios distintos segun la cantidad vendida y segunel tipo de persona que compra (reglas de precios no lineales para cada individuo o grupos deindividuos);

b.- de segundo grado si puede aplicar distintas reglas de precios unitarios segun la cantidad vendida,pero que dicha regla es la misma para cada individuo (reglas de precios no lineales identicas paratodos los individuos);

c.- de tercer grado si para ciertos grupos de individuos puede aplicar diversas reglas de precioslineales, es decir, con valor unitario constante (reglas de precios lineales para cada individuo ogrupo de individuos).

El ejemplo del profesional y la manera en que asigna precios y cantidades ofrecidas refleja un com-portamiento discriminador de primer grado; el caso de la tienda que hace descuentos por volumen sinidentificar al tipo que hace la compra es un ejemplo de discriminacion de segundo grado. Finalmente, elejemplo del cine que puede aplicar reglas de precios distintas a cada estrato de individuos, pero que unavez fijada la regla, el precio unitario cobrado a cada miembro del sub-grupo es el mismo, es un ejemplode discriminacion de tercer grado.

Claramente, cuando el monopolio puede conocer perfectamente nuestras preferencias (individual-mente) y ofrecernos su producto en concordancia con este grado de conocimiento, cobrando lo queestamos dispuestos a pagar por el mismo, esta en una situacion donde puede obtener la mayor gananciaposible que podrıa obtener en su ejercicio, pues en este caso la cantidad de restricciones que tiene para

159


ejercer su actividad solo vienen de cuestiones tecnologicas y no de mercado (discriminacion de primergrado). Si fuera que puede cobrar segun la cantidad vendida sin poder discriminar por individuo (dis-criminacion de segundo grado), sus restricciones son mayores que en el caso anterior, y por lo tanto elmaximo beneficio que puede obtener es menor que en el caso anterior. Finalmente, bajo el supuesto dediscriminacion de tercer grado, la cantidad de restricciones que enfrenta el monopolio son mayores queen los casos anteriores, por lo cual su maximo beneficio necesariamente sera menor. Note, ademas, quesi el monopolio no puede discriminar (monopolio debil, caso analizado en seccion anterior), la firma seencuentra en una situacion mucho mas restrictiva que cualquiera de las tres ya mencionadas, razon porla cual el maximo beneficio que podrıa obtener bajo ese esquema es claramente menor.

Note finalmente que el monopolio debil es un caso particular de discriminacion de tercer grado, dondela demanda solo puede ser segmentada en una unica componente (X(p): demanda total).

Ejemplo 10.3 Mas ejemplos de discriminacion.

a.- Primer grado: contratos especiales de firmas electricas con empresas, donde ademas de discriminarpor tipo de empresa, se cobra distinto por unidad consumida: sobre ciertos umbrales la electricidades mas cara unitariamente que bajo dichos umbrales.

b.- Segundo grado: productos que son vendidos en paquetes de distintos tamanos, donde, por ejemplo,el gramo cuesta mas caro en paquetes mas pequenos que en aquellos mas grandes.

c.- Tercer grado: happy hour en pubs; descuentos para las madres en el dıa de la madre.

Matematicamente, la discriminacion se trata segun la naturaleza del problema. En terminos genera-les, la idea es considerar a cada individuo (o grupo de individuos) como un unico mercado, y resolver elproblema para cada uno de ellos. La restriccion es que finalmente el costo de la firma es igual al costo deproducir la suma de las ofertas individuales de cada sub-grupo. El caso mas frecuente (y simple) anali-zado en la literatura es aquel de tercer grado, que pasamos a detallar. Para el efecto, supongamos que lademanda de mercado X(p) se puede segmentar en n categorıas (sub-demandas) X1(p), X2(p), ..., Xn(p),de modo que,

X(p) =

n∑

i=1

Xi(p).

Como en el caso discriminacion de tercer grado, la regla de precios es lineal, el problema del monopolioconsiste en buscar los precios pi que debera cobrar en cada sub-mercado con el fin de maximizar elbeneficio que obtiene de vender en cada uno de ellos, es decir, con el fin de resolver el siguiente problema:

maxp1,p2,...,pn

pi ·Xi(pi)− C

(n∑

i=1

Xi(pi)

),

donde C(·) es el costo de la firma. Al derivar c.r. a cada pi se obtiene un sistema de ecuaciones que nospermite encontrar el valor del precio y cantidad en cada sub-mercado.

Ejemplo 10.4 Supongamos que un monopolista enfrenta dos mercados cuyas curvas de demanda sonX1(p) = 100 − p y X2(p) = 100 − 2p (en otras palabras, pudo segmentar el mercado en dos tipos deconsumidores: aquellos definidos por el tipo de demanda anterior). Supongamos que el costo marginaldel monopolio es 20 (constante). En tal caso, determinar la oferta del monopolio considerando que puedediscriminar y considerando que no puede discriminar entre ambos mercados.

Solucion. Veamos cuando no puede discriminar: en tal caso el precio que cobra es el mismo paraambas mercados. Luego, si el precio fuera p, la demanda total que tiene es X(p) = X1(p) + X2(p) =100− p+100− 2p = 200− 3p. Como CMg(y) = 20, el costo es C(y) = 20y+ cte., donde cte es un valorindeterminado que no afectara el analisis que sigue. De esta manera, la demanda inversa es p = 200

3 − y3

y de la igualdad ingreso marginal = costo marginal se tiene que 2003 − 2

3y = 20126. Con esto queda y = 70y p = 130

3 .

126Recuerde que Ingreso =[

2003

− y3

]

· y, luego Ingreso Marginal = 2003

− 23y.

160


En caso de haber discriminacion se tiene que el problema de la firma es:

maxp1,p2

p1X1(p1) + p2X2(p2)− C(X1(p1) +X2(p2)),

donde ahora las variables de decision son los precios que puede cobrar en ambos mercados. Antes solotenıa una variable de decision (p), ahora son dos: p1 y p2 (o equivalentemente, las cantidades quedecide ofrecer en ambos mercados). Derivando la expresion a anterior c.r. a p1 y p2, igualando a cero yresolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene que, p1 = 60, p2 = 35, y1 = 40 e y2 = 30.

Queda propuesto determinar el beneficio que tiene la firma cuando puede discriminar y cuando nopuede hacerlo. A priori, sin hacer ningun calculo, ¿cual deberıa ser mayor? Justifique su respuesta.

Ejemplo 10.5 Supongamos que en un mercado existen 50 firmas tomadoras de precio, cuya funcion de

costos es C(y) = y2

2 y ademas existe un monopolio cuyos costos marginales son cero. Si la demanda demercado es de la forma X(p) = 1000− 50p, determinar:

a. Para el monopolio la cantidad producida y el precio cobrado que hacen maximo su beneficio,considerando que no participan las firmas competitivas.

b. ¿Cual es la cantidad de producto ofrecida por la industria no monopolica si el precio cobrado fueseaquel para el cual el monopolio obtiene su maximo beneficio y considerando ademas que dichafirma no participa en el mercado?

c. Explicar, brevemente y en palabras, que sucederıa en este mercado si actuaran de manera conjuntalas firmas competitivas y el monopolio. Determinar ademas el precio de venta del producto y losniveles de oferta del monopolio y las firmas competitivas.

d. Supongamos ahora que el costo marginal del monopolio es α > 0. Muestre en tal caso que elprecio cobrado por el monopolio varıa en forma lineal con el costo marginal, y encuentre el valorde α que hace maximo el beneficio de dicha empresa, esto considerando que no hay otras firmascompitiendo en el mercado.

Solucion.

a. Puesto que el costo marginal es 0, los costos son constantes, digamos c > 0, En tal caso el problemadel monopolio es maximizar su beneficio, considerando que y = X(p), es decir,

maxp

Π = maxp

{p · (1000− 50p)− c}.

Las condiciones de optimalidad son ∂Π∂p = 1000− 2 · 50p= 0, de lo cual se tiene que p = 10. Luego,

el monopolio produce y = X(p = 10) = 1000− 50 · 10 = 500.

b. En esta parte suponemos que p = 10. Luego, como la oferta viene de la condicion precio igual

costo marginal, tenemos que cada firma ofrece y tal que ∂C(y)∂y = 10 ⇔ 2y

2 = 10, es decir, y = 10.Como hay 50 firmas, la oferta total es 50 · 10 = 500.

c. A cualquier nivel de precios las firmas competitivas ofrecen una cantidad positiva de modo queel monopolio no se quedara con todo el mercado en esta situacion: solo se queda con la demandaremanente. Es incorrecto decir que, por ejemplo, el monopolio se quedara con todo el mercado oque las firmas competitivas lo haran. El asunto es que la oferta se reparte entre ambos tipos deempresas. Note que el monopolio debe considerar este hecho en su maximizacion. En este caso,supongamos que el precio que fija el monopolio es p > 0. En tal caso, la oferta de cada firmacompetitiva esta por aquel nivel de producto que hace precio igual costo marginal, es decir, ytal que p = CMg(y) = 1

22y. Luego, y = p y con esto la oferta de la industria competitiva es50 · p. De esta manera, la demanda remanente que enfrenta el monopolio es X(p)− 50p, es decir,X(p) = 1000− 50p− 50p = 1000− 100p. De esta manera, el problema del monopolio es,

161


maxp

Π = maxp

{p · (1000− 100p)− c},

de lo cual se tiene que 1000 − 200p = 0. De esta manera, p = 5 y luego la oferta de las firmascompetitivas es yc = 5 (luego, aquella de la industria es 50 · 5 = 250). La oferta del monopolio es1000− 100 · 5 = 500.

d. Si el costo marginal es α > 0, el beneficio del monopolio es Π(α, p) = p · (1000− 50p)− α(1000−50p) = (p − α) · (1000 − 50p). Notar que, para cualquier nivel de precios p, si α1 < α2 entoncesΠ(α1, p) > Π(α2, p). Luego, al monopolista le conviene que los costos marginales sean cada vezmenores. Como el mınimo valor posible es α = 0, en este valor el monopolista obtiene el maximobeneficio posible, lo cual resulta natural considerando que α representa el costo de una unidadadicional de producto.

Problema Propuesto 1. Suponga una firma monopolica y monopsonica que posee una funcion deproduccion f(L) = L2 y que enfrenta una demanda, por el bien que produce, X(p) = a−p, y una ofertade trabajo w(L) = bL. ¿Cual es la cantidad de trabajo contratada por la firma? ¿Que salario paga yque precio recibe por lo que produce?Problema Propuesto 2. Conteste las siguientes preguntas:

(a) Un economista senala que los monopolios no generan importante de eficiencia, puesto que susduenos, al ser consumidores tambien, gastan esos mayores recursos en otros mercados, de estamanera, solo existe una transferencia de recursos. Comente.

(b)

10.4. Monopsonio

11. Oligopolio 127

11.1. Introduccion

El modelo competitivo y el modelo monopolico son casos extremos de lo que podemos llamar competi-tividad en el mercado. En el primer caso, las firmas no tienen injerencia en los precios (son tomadoras deprecio), mientras que en el segundo, la unica firma que produce controla todo el mercado y es hacedorade precios. En el primer caso, las decisiones individuales de la firma se toman de manera independientea las demas, siendo la unica relacion entre ambas aquella dada por la condicion de equilibrio (ofertaigual demanda). En el caso monopolico, existe un unico controlador128 que define precios y cantidadesde producto.

Una situacion intermedia ocurre, por ejemplo, cuando en un mercado existen varias firmas que,intuitivamente, tienen algun poder de mercado. Para los efectos de nuestro analisis, este poder demercado se asociara con el hecho que las decisiones de una firma pueden afectar el beneficio de las otrasy viceversa, y que esto es sabido por las firmas. Esto se traduce en que las mismas tienen un controlparcial de los precios (y por ende de las cantidades ofrecidas), lo que claramente es intermedio entre notener control sobre el precio (competitivo) o tener control absoluto del mismo (monopolio). Esta es lasituacion de un mercado oligopolico, donde las firmas con las caracterısticas anteriores se denominanoligopolios.

127Comentes y ejercicios matematicos para esta seccion se encuentran en las secciones 2.5 y 4.5, respectivamente, delCompilado de Preguntas.128Aun en el caso en que exista un monopolio compitiendo con firmas tomadoras de precio, donde este actua como lıdery las otras como seguidoras, caso que ya hemos analizado.

162


11.2. Cournot-Nash

Para fijar ideas, en lo que sigue vamos a suponer que en el mercado existen 2 firmas que producenun producto similar en un determinado mercado. El analisis que sigue se puede facilmente extrapolaral caso en que existen muchas firmas (digamos, n). Supongamos ademas que es conocida una demandade mercado X(·) y que la funcion de costos de la firma i = 1, 2 es Ci(y). En tal caso, si la firma i = 1, 2decide producir yi, de la igualdad oferta demanda el precio de venta del producto sera p tal que,

X(p) = y1 + y2,

es decir,

p = X−1(y1 + y2)

que es la demanda inversa en y1 + y2. Ası, dadas las decisiones de produccion anteriores, el beneficioque obtiene cada firma es:

Π1 = X−1(y1 + y2) · y1 − C1(y1).

Π2 = X−1(y1 + y2) · y2 − C2(y2).

Notemos que el beneficio de la firma 1 depende de la decision de produccion y2 de la firma 2 y viceversa.Para hacer esto mas explıcito, denotemos el beneficio de la siguiente forma:

Π1(y1, y2) = X−1(y1 + y2) · y1 − C1(y1).

Π2(y1, y2) = X−1(y1 + y2) · y2 − C2(y2).


Figura 81: Oligopolio Cournot-Nash

p

p∗

y∗1 + y∗2 y

A partir de lo anterior, el problema obviamente consiste en especificar que haran las firmas eneste contexto, es decir, cuales serıan las decisiones de produccion que las han de satisfacer en formasimultanea, lo que finalmente define un acuerdo entre ambas. Este problema, dado el contexto en que lashemos colocado, no es un problema sencillo. En efecto, por su naturaleza las firmas son maximizadoras

163


de beneficio y dado que cada una puede afectar a las otras, si por alguna razon ellas se pusieran deacuerdo en algun nivel de produccion, entonces pueden existir incentivos a cambiar el acuerdo de modoque se logre un mayor beneficio en desmedro de la otra.

A modo de ejemplo, supongamos que se ha acordado que el nivel de produccion es y1, y2, de modoque el beneficio que obtiene 1 es Π1(y1, y2) y el beneficio de la segunda es Π2(y1, y2). Notemos ahora quedado y2, la primera firma no necesariamente maximiza su beneficio en y1. De hecho, si denotamos pory∗1 el nivel de produccion de la firma 1 que implica maximo beneficio, se tiene que si y1 < y∗1 entoncesla firma 1 tiene incentivos a cambiar su acuerdo, aumentando la produccion de y1 a y∗1 . Con esto,obviamente, modificarıa los precios de venta del producto, bajando de X−1(y1 + y2) a X−1(y∗1 + y2).Si bien es cierto que en el nuevo escenario de produccion, la primera firma aumentarıa sus beneficios (apesar que los precios bajan), la segunda firma necesariamente los disminuirıa si mantiene su nivel deproduccion y2. Con esto se generara un incentivo a no mantener el acuerdo de produccion, entrando deesta manera en una situacion de conflicto que puede derivar en cambios de oferta y precios sucesivos,donde finalmente ambas pueden salir perjudicadas al derivar en un nuevo acuerdo que tal vez sea menosbeneficioso.

A partir de lo anterior, la pregunta natural es si existira algun nivel de produccion donde las firmasno tengan incentivos a modificar su acuerdo. Veamos, en lo que sigue, como deberıa ser tal punto, si esque existe.

Para el efecto, el concepto que se introduce es aquel de equilibrio de Nash para el oligopolio.Para definirlo, y llegar a nuestra respuesta, supongamos que la firma 2 decide producir y2. En tal caso,la firma 1 decidira producir aquella cantidad de producto que le entregue maximo beneficio, es decir,resolvera el problema:

maxy1

Π1(y1, y2) = maxy1

X−1(y1 + y2) · y1 − C1(y1).

Denotemos por y1 la solucion del problema anterior. En tal caso, se tiene que:

Π1(y1, y2) ≥ Π1(y1, y2), ∀ y1.Notemos ademas que y1 depende de y2. De hecho, esta dependencia define una curva, denominada

curva de reaccion o de mejor respuesta de la firma 1 en relacion a las decisiones de la firma 2.La Figura 82 ilustra una curva de reaccion de la firma 1:

Figura 82: Curva de Reaccion de la Firma 1

y2

b

a y1

¿Que significa que el punto (a, b) este en la curva de reaccion de la firma 1? Significa que, si la

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empresa 2 decide producir y2 = b, entonces la mejor respuesta de la firma 1 es y1 = a, donde mejorrespuesta significa aquel nivel de produccion que maximiza el beneficio de la firma 1, dado el nivel deproduccion de la firma 2.

En forma analoga, si la firma 1 decidiera producir, por ejemplo, y1, la firma 2 buscara aquel nivel deproduccion que maximice su beneficio, con lo cual queda definida la curva de reaccion de la firma 2. LaFigura 83 ilustra esta curva:

Figura 83: Curva de Reaccion de la Firma 2

y2

d

c y1

Dibujemos ahora las dos curvas de reaccion en un solo grafico:

Figura 84: Ambas Curvas de Reaccion

y2

y2

y1 y1

y1(y2)

y2(y1)

En este caso, existe un punto (y1, y2) que esta en ambas curvas simultaneamente. En dicho punto,por definicion, se verifica que dado y1 la mejor respuesta para la firma 2 es y2 y, por otro lado, dado y2,la mejor respuesta de la firma 1 es precisamente y1. Este punto es un equilibrio de Nash de las firmas:

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dados estos niveles de produccion, ninguna de las dos tiene incentivos a cambiar, ya que de lo contrariose pueden perjudicar.

En general, dependiendo de como sean las curvas de reaccion, es posible que exista solo un punto encomun entre ambas, que no existan puntos en comun o que existan muchos. En otras palabras, para unproblema de competencia general, puede existir solo un equilibrio de Nash, no existir o existir muchos.La Figura 85 ilustra estos casos:

Figura 85: Existencia y Unicidad de Equilibrio de Nash

Nash Unico No existe Nash Multiples Nash

(1)

(2)

(1)

(2)

(1)

(2)

Ejemplo 11.1 Supongamos que la demanda de mercado es X(p) = a − bp y que la funcion de costo

de la firma 1 es C1(y) = y2 mientras que aquel de la firma 2 es C2(y) = y2

2 . Determinar la curva dereaccion de la firma 1 y encontrar, si existen, el o los equilibrios de Nash en este problema.Solucion.

Dado y2, el problema de la firma 1 es encontrar y1 que resuelva maxy1

X−1(y1 + y2)y1 − C1(y1), es

decir:

maxy1

(a− y1 − y2

b· y1 − y21

).

Derivando c.r. a y1 e igualando a cero se tiene que:

a− y1 − y2b

+

(−1

b

)y1 − 2y1 = 0 ⇔ y1(y2) =

a− y22 + 2b

.

Para encontrar el(los) equilibrio(s) de Nash, debemos encontrar la otra curva de reaccion, que vienede resolver el problema de optimizacion:

maxy2

(a− y1 − y2

b· y2 −

y222

).

En tal caso, dado y1 se tiene que,

a− y1 − y2b

+−1

by2 − y2 = 0 ⇔ y2(y1) =

a− y12 + b

.

Luego, graficamente se tiene que:

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a

a/(2 + 2b)

Nash

(1)(2)

En este caso, el equilibrio de Nash viene de resolver el sistema de ecuaciones:

y1 =a− y22 + 2b

.

y2 =a− y12 + b

,

cuya solucion es y1 = a(1+b)(2+b)(2+2b)−1 e y2 = a

2+b −a(1+b)

(2+b)2(2+2b)−(2+b).

¿Que sucede si las firmas acuerdan producir una cantidad que no es su equilibrio de Nash? Comohemos visto, existiran incentivos para que las firmas rompan el acuerdo, llegando, eventualmente despuesde alguna batalla de precios o cantidades, a algun punto que sea equilibrio de Nash (en tal caso noexistirıan incentivos para romper el acuerdo) o seguir perpetuamente en una dinamica que no converge.

Un punto importante que es necesario destacar, es que en un equilibrio de Nash, las firmas nonecesariamente maximizan su beneficio ante cualquier evento: la maximizacion es condicional a lo quela otra firma realiza. Si actuara monopolicamente, lo mas probable es que el beneficio que obtendrıaserıa mayor que aquel del escenario oligopolico. De esta manera, una idea que esta detras del concepto,es que el acuerdo de produccion Nash estarıa asociado a un problema de temor que las firmas tienen enrelacion al dano que el otro nos podrıa producir, dados sus incentivos a modificar los pactos realizados.

Un ejemplo clasico que ilustra esta situacion de incentivos y temores, y de como estos nos puedenllevar a situaciones que resultan menos convenientes para ambos tipos, se tiene en el conocido dilemadel prisionero.

Ejemplo 11.2 Dilema del Prisionero.Dos individuos son arrestados por un supuesto delito y encerrados en celdas separadas. Si ambos

confiesan el delito, recibiran una pena de 5 meses. Si ambos no confiesan, la pena sera de 2 meses paracada uno. Si uno de ellos confiesa y el otro no, aquel que confeso recibira una pena de 1 mes y el otro,por ademas mentir, recibira 10 meses. Vice versa, para el caso en que confiese el otro y el primero siganegando la culpa. La siguiente tabla, llamada matriz de pagos, resume lo anterior:

Tipo 2C NC

Tipo 1C (-5,-5) (-1,-10)NC (-1,-10) (-2,-2)

En tal caso, el equilibrio de Nash en este problema es que ambos tipos confiesen, obteniendo comocastigo 5 meses de prision cada uno. En efecto, si por ejemplo el individuo 2 decide NC, entonces parael individuo 1 lo mejor que puede hacer es confesar (C) ya que obtiene solo 1 mes. Si por el contrarioel individuo 2 decide C, entonces para el individuo 1 lo mejor tambien es C, ya que dado y2 = C,

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en y1 = C obtiene el maximo de beneficio. Recıprocamente, para el individuo 2 lo mejor es y2 = C(mismo razonamiento). Luego, ambos decidiran y1 = y2 = C, con lo cual obtienen 5 meses de prision.En este caso el equilibrio de Nash anterior no es lo mejor que ellos podrıan haber logrado, ya que estoqueda definido por la estrategia NC para ambos. Sin embargo, como acabamos de ver, esta estrategiaes inestable en el sentido que cada uno de ellos tiene incentivos a cambiar su decision para mejorar. �

La solucion anterior se logra toda vez que se impone la condicion de que ambos individuos nocooperan entre sı: se ha supuesto que estan aislados. Es claro que si ellos son colocados en celda conjunta,la solucion razonable serıa no confesar por lo cual logran solo 2 meses de carcel y no 5 meses. En talcaso surge de manera natural la idea de coludirse para tomar una decision conjunta. Volviendo al temade las firmas, si este es el caso, lo mas probable es que ambas logren mas beneficio coludiendose que nohaciendolo.

Cuando existe colusion, el problema de optimizacion que se resuelve es:

maxy1,y2

X−1(y1 + y2)(y1 + y2)− C1(y1)− C2(y2)

es decir, un problema de maximizacion de beneficio conjunto. La solucion de este viene de derivar c.r. ay1 e y2, y resolver el sistema de ecuaciones que se genera. Esta solucion no necesariamente coincide conaquella obtenida del equilibrio de Nash, ya que los problemas son distintos. Lo que sı es claro es queambas firmas han de obtener un beneficio mayor que aquel que obtendrıan del equilibrio de Nash.

Sin embargo, en este caso, nuevamente, existe el problema de incentivos que hacen que la solucionencontrada sea inestable por la razones antes mencionadas: es por esto que en los carteles (grupos defirmas coludidas) existen problemas de inestabilidad que implican ruptura de acuerdos en el tiempo.

Ejemplo 11.3 Volvamos sobre el Ejemplo 5.2.1 y calculemos la solucion cuando la firmas se coluden.En tal caso, el problema de optimizacion es

maxy1,y2

(a− y1 − y2

b

)· (y1 + y2)− y21 −

1

2y22 .


(a/b)− (2/b)(y1 + y2)− 2y1 = 0.


(a/b)− (2/b)(y1 + y2)− y2 = 0

es decir,

a = (2 + 2b)y1 + 2y2, a = 2y1 + (2 + b)y2.

Resolviendo el sistema anterior, queda y1 = a6+2b e y2 = a

3+b .Queda propuesto comparar los beneficios de ambas firmas en el escenario de colusion versus aquel

del equilibrio de Nash ya encontrado. Para fijar ideas, suponga que a = 12 y b = 1. �

Problema Propuesto 1. En el problema anterior, comparar el beneficio anterior con aquel que ob-tendrıa cada firma si actuara monopolicamente en el mercado. �

Problema Propuesto 2. Suponga que en el mercado existen tres firmas cuyos costos son C1(y) = y2,

C2(y) =y2

2 y C3(y) = y. Suponga que la demanda de mercado es X(p) = a− bp. Encuentre el equilibriode Nash en este problema. Suponga ahora que la firma 3 desaparece. Encuentre el nuevo equilibriode Nash. ¿Que pasa con los beneficios en el caso en que existen 3 firmas y en aquel donde existen 2firmas? ¿Que pasa con los precios cobrados y con las cantidades producidas? Comente sin hacer calculosy verifique su afirmacion haciendo el computo de los precios, cantidades, etc. para ambos casos.

Problema Propuesto 3. Suponga que en el mercado existen dos firmas cuyos costos son C1(y) =αy2+β y C2(y) = γy2. ¿Bajo que condiciones sobre los parametros anteriores existira un unico equilibrio

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de Nash? ¿Bajo que condiciones no existira el equilibrio de Nash? ¿Bajo que condiciones habra muchosequilibrios de Nash?Problema Propuesto 4. Conteste las siguientes preguntas:

(a) La cantidad producida por la colusion nunca sobrepasara el maximo monopolico que puede pro-ducir la firma mas eficiente perteneciente a la colusion.

(b)

Problema Propuesto 5. Suponga que el costo de producir es cero y que la demanda esta dada porP (X) = 100D−aX . Muestre que, en presencia de N firmas, las curvas de reaccion no poseen pendiente.¿Que interpretacion economica posee aquel resultado?

11.3. Stackelberg

En el modelo de oligopolio anterior, cada firma asume que las acciones de la otra son dadas. Poresta razon recibe el nombre de modelo de Cournot - Nash del oligopolio. Sin embargo, se podrıa dar lasituacion en que una firma no asume las acciones de la otra como dadas, sino mas bien las reaccionescomo el dato relevante. En tal caso, se dice que el modelo de Stackelberg del oligopolio. Este simplesupuesto introduce complicaciones extras al analisis, y permite modelar otras relaciones potenciales delos mercados.

Veamos que la diferencia conceptual de analisis, que parece muy sutıl, tiene importantes implicanciaspracticas.

En primer lugar, establezcamos el modelo de Stackelberg suponiendo que la firma 2 conoce la curvade reaccion de la firma 1, es decir, conoce y1(y2), y sobre la base de esto determinar la cantidad optimaque debe producir. En tal caso, la firma 2 debe resolver el siguiente problema de optimizacion:

maxy2

X−1(y1(y2) + y2) · y2 − C2(y2),

cuya solucion nos entrega el valor de la cantidad de producto que la firma 2 ofrecerıa en funcion delas reacciones de la firma 1. En otras palabras, en este esquema la firma 2 actua como lıder al fijarsu nivel optimo de produccion, mientras que la firma 1 actua como seguidora al determinar su nivelde produccion en funcion de las decisiones maximizadoras de la segunda. En efecto, supongamos quela firma 2 resuelve el problema anterior encontrando una solucion y∗∗2 . En tal caso, la produccion dela firma 1 queda automaticamente determinada al evaluar su curva de reaccion en el valor anterior:y∗∗1 = y1(y

∗∗2 ).

Sin embargo, la forma anterior no es la unica manera en que ambas firmas podrıan definir susrelaciones de produccion. Por lo pronto, los roles podrıan cambiar y ahora la firma 1 ser la lıder mientrasque la firma 2 la seguidora. El problema que en tal caso resuelve la firma 1 es similar al ya mencionado.Otra alternativa es que ambas firmas decidan ser seguidoras o que ambas decidan ser lıderes. Si ambasdeciden ser seguidoras, asumiendo cada una su rol, el problema que entonces se plantea es simplementeel de Cournot - Nash ya estudiado, razon por la cual podemos asumir que existe solucion (equilibriode Nash) al problema129. Sin embargo, si ambas deciden ser lıderes, la situacion es algo mas compleja,quedando la solucion final (es decir, la cantidad de producto ofrecida por cada una) indeterminada.

La solucion al primer (y segundo) caso, cuando una firma es lıder y la otra seguidora, se denominaequilibrio de Stackelberg del problema del oligopolio. En el caso que ambas decidan ser seguidoras,la solucion se llama, como sabıamos, equilibrio de Nash (o Cournot segun los autores)130. Ambosproblemas pueden ser resueltos, encontrando de esta manera las cantidades de producto que una y otrafirma deciden producir: en el primer caso se resuelve el sistema de ecuaciones que definen el equilibriode Cournot - Nash mientras que en el segundo caso la firma lıder resuelve su problema de optimizacion

129Esto justifica la afirmacion de que el modelo de Cournot - Nash ya estudiado es un caso particular del modelo deStackelberg.130Recordemos que si ambas firmas toman como dato las acciones de la otra (y no sus reacciones), entonces la situacion escomo ya habıa sido analizada: el problema es entonces buscar el equilibrio de Cournot - Nash para la situacion planteada

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obteniendo su nivel de produccion, con lo cual queda definido el nivel de producto de la firma seguidoraal evaluar la curva de reaccion.

A partir de todo lo anterior, la pregunta fundamental que se plantea es determinar por que es-quema lıder - seguidor optaran las firmas con el fin lograr un acuerdo de produccion. Una vezdado el esquema, queda definido el nivel de producto de cada una de ellas en este mercado, y por endeel precio final resultante. La respuesta a la interrogante dependera finalmente del beneficio que puedelograr cada firma en los distintos escenarios lıder - seguidos posibles: si ambas deciden ser seguidoraso una de ellas lıder y la otra seguidora, el problema en general se puede resolver; si ambas deciden serlıderes podrıan haber indeterminaciones, desde el punto de vista matematico, para encontrar la solucional problema .

Finalmente, notemos que las decisiones de optar por ser lıder o seguidor dependen ademas, enterminos practicos, de una serie de condiciones del mercado y del comportamiento de cada una deellas: por ejemplo, el tamano relativo de las firmas, que tan creıbles son las amenazas de una u otra, lacapacidad financiera de las firmas, etc., son condicionantes adicionales para optar por una u otra formaen este esquema de liderazgo.

Problema Propuesto 1. Analice el problema 5.2.1 desde el punto de vista anterior. Suponga todaslas combinaciones lıder - seguidor y concluya sobre el acuerdo mas razonable para las firmas.Problema Propuesto 2. Conteste las siguientes preguntas:

(a) Ası como la firma mas eficiente posee mayores beneficios que la menos eficiente, en un contextode Cournot-Nash. Lo mismo sucede bajo un escenario Stackelberg, incluso si la menos eficiente eslıder.

(b)

Problema Propuesto 3.

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APUNTE_MICRO_I_V2013

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