Apuntes Anal Num

7/25/2019 Apuntes Anal Num

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TEMARIO

I.- INTRODUCCINImportancia de los mtodos numricosTipos de Errores

II.- SOLUCIONES DE ECUACIONES ALGEBRAICASRaz de una ecuacin

Mtodos de intervalo: biseccin, falsa posicinMtodos de punto fijo: aproximaciones sucesivas, secante,e!ton"Rap#son

III.- SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONESEliminacin $aussianaMatriz Inversa$auss"%ordanRe&la de 'rammer%acobi$auss"(eidel

IV.- AJUSTE DE FUNCIONES)undamentos de estadsticaInterpolacinRe&resin de mnimos cuadrados

V.- DIFERENCIACIN E INTEGRACIN NUMRICA*erivacin umricaInte&racin umrica, trapecio, (impson"Romber&

VI.- SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALESMtodos de + paso: Euler, Euler Mejorado, Run&e"uttaMtodos de pasos m-ltiples

VII.- ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES'lasificacin de las ecuaciones

Mtodos de diferencias finitas.


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MTODOS NUMRICOS

1.1 Problemas matemticos y sus soluciones.

/n modelo matem0tico puede definirse como una formulacino una ecuacin 1ue expresa las caractersticas, esenciales de un

sistema fsico o proceso en trminos matem0ticos.

Vd = f (vi, p , f ) (1)

Vd = variable dependiente 1ue refleja el comportamiento oestado del sistema.

Vi = variables independientes como tiempo o espacio a travsde las cuales el comportamiento del sistema ser0 determinado.

P = par0metros , son reflejos de las propiedades o lacomposicin del sistema.

f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre elsistema.

*e la se&unda 2e3 de e!ton:

) 4 ma 5 reordenando

fa 4 666666 7 8 9

m


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'aractersticas de este modelo matem0tico.

+." *escribe un proceso o sistema natural en trminosmatem0ticos.8." Representa una simplificacin de la realidad.." 'onduce a resultados predecibles.

;tros modelos matem0ticos de fenmenos fsicos pueden sermuc#o m0s complejos.

*e nuevo si usamos la se&unda 2e3 de e!ton paradeterminar la velocidad final o terminal de un cuerpo, tenemosun expresin de aceleracin como la razn de cambio de lavelocidad con respecto al tiempo:

f dv = _____ 7 9 dt m


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'omo la fuerza total , es la diferencia entre las fuerzas #aciaabajo 3 las fuerzas #acia arriba, tenemos:

dv = m' * cu 7 = 9 dt m

dv = ' + cm (v) 7 > 9 dt

Esta ecuacin es un modelo matem0tico 1ue relaciona laaceleracin de un cuerpo 1ue cae con las fuerzas 1ue act-ansobre l.

(e trata de una ecuacin diferencial o ecuacionesdiferenciales.

(i las ecuaciones son m0s complejas, se re1uiere de tcnicasavanzadas para obtener una solucin analtica exacta o

aproximada.(i el objeto est0 en reposo, v4 o 3 t4 ? , 3 usando las

teoras de c0lculo, obtenemos:

v(t) = 'mc ( 1 + e*(cm)t) ( - )

@ue es la solucin analtica o exacta,

v(t) =variable dependiente t = es la variable independiente

c,m = par0metros' 4 funcin de la fuerza


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Ej. +.+/n paracaidista , con una masa de A>.+ B&s salta de un &lobo

aerost0tico fijo. 'on la a3uda de la ecuacin 7 C 9, calcule lavelocidad antes de abrir el paracadas, coeficiente de resistencia 4+8 B&Dse&.

*atos:

m 4 A>.+c 4 +8.& 4 C.> mDs

v(t) = 'mc ( 1 + e*(cm)t)

.C + F e F7?.+>9t

t,s v, m/s

0 0

2 16.42

4 27.766 35.63

8 41.05

10 44.87

12 47.48

53.390

10

20

30

40

50

60

0 5 10

t,s

v,m

/s

Serie1


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'uando los mtodos numricos F modelos matem0ticos F nopueden resolverse con exactitud, se re1uiere de una solucinnumrica 1ue se aproxima a la solucin exacta.

2os mtodos numricos son a1uellos en los 1ue se formula elproblema matem0tico para 1ue se pueda resolver medianteoperaciones aritmticas.


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sustitu3endo la ec. 7 +? 9 en la ec. 7 > 9:

v ( ti 1 ) + v ( ti) = ' + cm v ( ti) ti 1 + ti

Reordenando:

V ( ti 1 ) = v ( ti) ' + cm v( ti) ( ti 1 + ti) 7 ++ 9

G cual1uier tiempo

uevo valor 4 viejo valor H pendiente x tamao del paso.

Ejemplo +.8

Resolver el ejemplo anterior mediante una solucin numrica paracalcular la velocidad. Emplear un tamao del paso de 8 se&undos.

*atos:

m 4 A>.+ B&c 4 +8. B&Ds& 4 C.> mDs

V ( ti 1 ) = v ( ti) ' + cm v( ti) ( ti 1 + ti)

J+4 J?H & F cDm J? ( ti 1 + ti) / t1= 0 se'

J+4 ? H C.> F +8.DA>.+ 7?9 78"?9 4 1-. ms


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t8 4 Ks, v84 L

J84 +C.A H C.> F +8.DA>.+ 7+C.A9 7K"89 4 20 ms

3ustituyendo

J4 J8H & F cDm J8 7tF t8)

J4 8 H C .> F +8.DA>.+ 789 789 4 2-.45 ms

ntonces J4 C.> mDs

(ustitu3endo:

JK = C.> H C .> F +8.DA>.+ 7C.>9 789 4 !!.40 ms

J = KK.>8 H C .> F +8.DA>.+ 7KK.>89 789 4 !6.- ms

JA= K=.CA H C .> F +8.DA>.+ 7K=.CA9 789 4 !-.-5 ms

t,s SN SA

0 0 0

2 19.6 16.424 32 27.76

6 39.85 35.63

8 44.82 41.05

10 48.01 44.87

12 49.05 47.48

53.39 53.39


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1.0. 7mportancia de los mtodos numricos

2os mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es posibleformular problemas matem0ticos de tal forma 1ue puedan resolverseusando operaciones aritmticas.

El an0lisis numrico trata de disear mtodos para aproximarN deuna manera eficiente las soluciones de problemas expresadosmatem0ticamente.

El objetivo principal del an0lisis numrico es encontrar solucionesaproximadasN a problemas complejos utilizando slo las operacionesm0s simples de la aritmtica. (e re1uiere de una secuencia deoperaciones al&ebraicas 3 l&icas 1ue producen la aproximacin alproblema matem0tico.

Comparativo entre solucin numrica y

solucin analtica

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10 12 a

t,s

V,m/s

Solucin Numrica Solucin Analtica


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2os mtodos numricos pueden ser aplicados para resolver

procedimientos matem0ticos en:

'0lculo de derivadas

Inte&rales

Ecuaciones diferenciales

;peraciones con matrices

Interpolaciones

Gjuste de curvas


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'ifras si&nificativas." Es el conjunto de d&itos confiables o

necesarios 1ue representan el valor de una ma&nitudindependientemente de las unidades de medidas utilizadas.

'onfiables." cm 7 flexmetro 9 ." 8> cm8." 8=. cm 7 re&la 9 K." 8> cm

2a lon&itud de un l0piz:

Re&la: +K. cm Tornillo: +K.8= cm


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Jernier: +K.8 cm

2a velocidad de un automvil:

*i&ital: >C. BmD#

'ar0tula: C? BmD#

O 'u0ntas cifras si&nificativas 7 1ue tan preciso debe ser 9 sonnecesarias L

+." El total de cifras si&nificativas es independiente de laposicin del punto decimal.

Ejemplo:

El medir una mujer se re&istr 1ue su estatura es de +.A= m 4+A. = dm 4 +A= cm , 7tenindose cifras si&nificativas 9.

8." 2os ceros a la iz1uierda de d&itos no nulos, nunca ser0ncifras si&nificativas.

Ejemplo:

/n balero tiene un di0metro de 8A mm 4 ?.?8A m 4 ?.????8ABm 7 8 cifras si&nificativas 9.

." 2os ceros intermedios de d&itos no nulos, siempre ser0nsi&nificativos:

Ejemplo:

K??=8 7 c.s. 9

.??+ 7 K c.s. 9 ?.???8? 7 . c.s. 9

2os errores." Es la discrepancia 1ue existe entre la ma&nitud verdaderaN 3 la ma&nitud obtenida.


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Error absoluto." Es i&ual a la diferencia entre el valor verdadero3 el valor aproximado:

EG4 Jv " Ja 7 +8 9

Error Relativo." Es el cociente del error absoluto respecto alvalor verdadero:

ER4 EG = Jv " JaJv Jv

Error Relativo


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Ejemplo:

(upon&a 1ue el valor para un c0lculo debera serJv 4 ?.+? x +?8pero se obtuvo el resultado de Ja4 ?.?> x +?8.*etermine el error absoluto 3 el error relativo porcentual:

EG4 ?.+? x +?8 F ?.?> x +?8

EG4 8 4 ?.8 x +?+

ER


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'onclu3endo , cuando se manejen cantidades mu3 &randes omu3 pe1ueas el EG puede ser en&aoso, mientras 1ue el errorrelativo es m0s si&nificativo en estos casos.

Determinaci#n del error en ausencia del valor verdadero

'uando no se conoce la respuesta verdadera, es necesarioestimar el valor en ausencia de los valores verdaderos. 'iertosmtodos numricos usan un mtodo iterativo para calcular resultados,tales casos se #ace una aproximacin con base en la aproximacinanterior. Es decir, el error se calcula como la diferencia ente laaproximacin actual 3 la aproximacin previa.

Ea4 aproximacin actual F aproximacin anterior x +?? 7+K9 aproximacin actual

Ea


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Mientras m0s trminos se le a&re&uen a la serie, laaproximacin se acercar0 cada vez m0s al valor de ex. Estmese elvalor de e 0.5 , calculando los valores del ER=8+, a&r&uese trminos a la serie #asta 1ue Ea=8+

er trmino

ex4 + H x H x88Q

ex4 +. H 7?.98 4 +.A8


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8Q

ER=8+ F +.A8 x +??4 +.K> P +.AK>=8+

Ea4 +.A8 F +. x +?? 4 =.AC8P +.A8

Kto trmino

ex4 +.A8 H 7?.94 +.AK> Q

ER=8+ F +.AK> x +??4 ?.+= P +.AK>=8+

Ea4 +.AK> F +.A8 x +?? 4 +.8AP +.AK>

to trmino

ex4 +.AK> H 7?.9K4 +.AK>K= KQ

ER=8+ F +.AK>K= x +??4 ?.?+=8 P +.AK>=8+

Ea4 +.AK>K= F +.AK> x +?? 4 ?.+>P

+.AK>K=

Ato trmino

ex4 +.AK>K=H 7?.94 +.AK>AC= Q


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ERAC= F +.AK>K= x +?? 4 ?.?+>P +.AK>AC=

Ea AC= ?.??+K8 ?.?+> Ea


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*iH + > di4 diH+*iH + K 4 K8.>b9 >8.+K 4 >8.8c9 K.8+ 4 K.8

Ejemplo:

Error de redondeo, al restar dos n-meros i&uales.

'onsidere las ecuaciones:

+.AC x H +K.+ 3 4 K.??+.? x H .>C 3 4 +>.

*etermine los valores aproximados de x e 3 usando redondeoa dos cifras decimales, obten&a el error absoluto 3 el errorrelativo porcentual para cada variable si sus valores verdaderosson:

4 +.8? 4 +.8?K=?KAS 4 ?.=8= 4 ?.=8=8


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EG4 +.8? F +.8?K=?KAEG4 ?.?????8CK

EG4 ?.=8= F ?.=8=8EG4 ?.?????8

ER+.?


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rrores de 8runcamiento

Ej. A. KC+ A. K

(on a1uellos 1ue resultan al usar una aproximacin en lu&arde un procedimiento matem0tico.


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n4 8do orden

f7x+H+9 H f7xi9 Hf7xi9# HfN 7xi9#8

8Q

f7x+H+9 4 +.8"?.8H7"+.8x8"?.C?x"+9 7+98

8Q

f7x+H+9 4 ?.C F?.f7x+H+9 4 ?.K

n 4 er orden

f7x+H+9 H f7xi9 Hf7xi9# HfN 7xi9#8H fNU7xi9#

8Q Q

f7x+H+9 4 ?.KH 7 "8.Kx"?.C? 9 7+9

A f7x+H+9 4 .K F ?.+ f7x+H+9 4 ?.

n 4 Kto orden

f7x+H+9 4 ?. H fK 7xi9 #K

KQf7x+H+9 4 ?. H 7"8.K9 7+9K

8K f7x+H+9 4 ?.8


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rror numrico total

Es la suma de los errores de truncamiento 3 redondeo.


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II. Solucion! " Ecu#cion! No Lin#l!.

0.1 9a:ces de ecuaciones

2a frmula cuadr0tica "b H" b8

FKac 78.+9

8a

(e usa para resolver ecuaciones del tipo Gx8H bx H c

Ej. 4 f7x9 4 ax8F bx H c 7 8.8 9

G los valores calculados en la ec. 78.+9 se les llama races de laecuacin 7 8.8 9. (on valores de x 1ue #acen a la ecuacin i&ual acero.

(e puede definir a la raz de una ecuacin como el valor de x1ue #ace a f7x9 4 ?.


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)undamentos Matem0ticos

2as funciones al&ebraicas como los polinomios se representan&eneralmente como:

fn7x9 4 a?H a+H a8x8H .......... anxn

Ejemplos:

f87x9 4 +"8.=xH =.x8

fA7x9 4 x8FxH =xA

f7x9 4 8 F >x H xH Kx

2as funciones trascendentalesN contienen trminostri&onomtricos , exponenciales o lo&artmicos.

Ejemplos:

f7x9 4 lnx8F+f7x9 4 exsen x H ln x H x

f7x9 4 e"?.8xsen7x"?.9

2as races de las ecuaciones pueden ser reales o complejas.

(i f7x9 es un polinomio factorizable, como:

f7x9 4 7 x" x+ 9 7 x F x89 7 x F x9 ....... 7 x F xn9

(e tiene 1ue xnes la n F sima raz de f 7x9 4 ?

Ejemplo:

f7x94 xF=x8FKx H 8> 4 ?7 x8 " K9 7 x F = 9 4 ?x+4 8, x84 "8, x4 =


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0.0 ;todos de intervalo

8.8.+ Mtodo de Viseccin


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Ej. *etermine el coeficiente de rozamiento c 4L ecesario para

1ue un paracaidista de masa 4 A>.+ B& ten&a una velocidad de K?mDs, despus de una cada libre de t 4 +? se&. 2a aceleracin de la&ravedad es de C.> mDs8. 2a ecuacin a utilizar es:

f7c9 4 &mDc 7 + F e"7cDm9 t9 F v 4 ?

(olucin analtica:

Gproximacin &r0fica:

f7c9 4 C.> 7A>.+9Dc 7 +" e F7cDA>.+99 FK? 4 AA=.>Dc 7 +"e7"?.+KA>K99 F K?

c f ( c )

4 34.115

8 17.653

12 6.067

16 -2.269

20 -8.401

Aproximacin grfica

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25

c

f(c)

Serie1


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b9 biseccin

xi4 +8, xs4 +Axr4 7+8H+A9D8 4 +K, xr4 xs

f7xi9 4 f7+89 4 A.?A=f7xr9 4 f7+K9 4 +.A>=

f7xi9 f7xr9 4 7A.?A=97 +.A>=9 >?, la raz se encuentra en elsubintervalo superior, xi4 xr

n 4 8xi4 +K, xs4 +A , xr4 +f7xi9 4 f7+K9 4 +.A>=f7xr9 4 f7+9 4 "?.K8K>

f7xi9 f7xr9 4 7+.A>=97 "?.K8K>9 P


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n 4 K

xi4 +K., xs4 + , , xr4 +K.=f7xi9 4 f7+K.9 4 ?.8f7xi9 4f7+K.=94 ?.?>CA

f7xi9 f7xi9 >?, xi4 xr

Ea4 W+K.="+K.D+K.=X x +?? 4 +.AC P

n 4

xi4 +K.=, xs4 + , , xr4 +K.>=f7xi9 4 f7+K.=9 4 ?.>CAf7xi9 4f7+K.>=94 "?.+>K+f7xi9 f7xi9 ="+K.=D+K.>=X x +??4 ?.>K? P

n 4 Axi4 +K.=, xs4 +K.>= , , xr4 +K.>+8

Ea4 W+K.>+8"+K.>=D+K.>+8AX x +??4 ?.K8+C P

Ea +K + +K. +.ACK +K. + +K.= ?.K>? +K.= + +K.>= ?.K88A +K.= +K.>= +K.>+8


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0.0.0 ;todo de la Falsa posici#n

Este , mtodo utiliza una interpolacin lineal ajustada a dospuntos extremos para encontrar una aproximacin a la raz. *eacuerdo a la si&uiente fi&ura:

2a interseccin de la lnea recta con el eje de la x puedeestimarse:

f7xi) = f7xs9 78.K9xr" xi xr F xs

Rea&rupando trminos 3 reordenando

f7xi9 7xr F xs9 4 f7xs9 7xr F xi9


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xrW f7xi9 " f7xs9 X 4 xsf7xi9 " xif7xs9

dividiendo entref7xi9 " xif7xs9 4

xr4 xsf7xi9 " xif7xs9 78.9 f7xi9 " f7xs9

(eparando trminos:

xr4 xs H xsf7xi9 " xif7xs9 f7xi9 " f7xs9 f7xi9 " f7xs9

(umando 3 restando xsen el lado derec#o

xr4 xs H xsf7xi9 " xs xif7xs9 f7xi9 " f7xs9 f7xi9 " f7xs9

G&rupando trminos se obtiene:

xr4 xs H xsf7xs9 " xif7xs9 f7xi9 " f7xs9 f7xi9 " f7xs9

xr4 xs " f7xs9 7xi"xs9 78.A9 f7xi9 " f7xs9


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El al&oritmo es idntico al de biseccin, excepto 1ue la ec.

78.A9, se usa en el paso 8.

Ejemplo

/se el mtodo de la falsa posicin, para determinar la raz de

la ec. analizada en el ejemplo 8.+

f 7 c 9 4 AA=.>Dc W 7+"e"?.+KA>K c9 X FK?

n 4 +

xi4 +8 f7xi9 4 A.?A=xs4 +A f7xs9 4 "8.8A>=

xr4 +A" 7"8.8A>=9 7+8 "+A9 4 +K.C++A.?A= F 7"8.8A>=9

f7xr9 4 "?.8K8Af7xi9 f7xr9 4 A.?A= 7"?.8K8A 9


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xr4 +K.C++" 7"?.8K8A9 7+8 F+K.C++9 4 +K.=CK8A.?A= F 7"?.8K8A9

f7xr9 4 "?.?.8=8A

f7xi9 f7xr9 +AA.?A= F 7"?.?8=8A9

xr4 +K.=>+AEa4 W7+K.=>+A"+K.=CK89D+K.=>+AX x +??P 4 ?.?>= P

Ea=


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4 & 7x 9 78.=9

Ejemplo:

f7x9 4 x8

F8x H 4 ?

reordenando : x 4 x8 H 8

f7x9 4 sen x 4 o

reordenando: x 4 sen x H x

Re1uerimos de un valor inicial xi, 1ue se puede usar paraobtener una aproximacin de xi H +, expres0ndolo por laforma iterativa:

xi H + 4 & 7xi9 7 8.> 9

El error de aproximacin:Ea4 xi H + " xi x +??

xi H +

Es1uema &r0fico de la conver&encia de la iteracin del puntofijo:


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/se el mtodo de aproximaciones sucesivas 7 iteracin delpunto fijo para localizar la raz de f 7x9 4 e"xF x, x?4 ?, Ea4 ?.P 9

4 e"x4 & 7 x 9

+H + 4 e"xi

?4 ?, x+4 e"?4 + 5 x+4 +84 e"x+4 e"+4 ?.A=>=C4 e"x84 e"?.A=>=C4 ?.AC88??K4 e"x4 e"?.AC88??4 ?.??K=4 e"xK4 e"?.??K=4 ?.A?A8KA4 e"x4 e"?.A?A8K4 ?.KCA=4 e"xA4 e"?.KCA4 ?.=CA+8


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7 + ?.A=>=C KA.C8 ?.AC88?? >. ?.??K= +=.KK ?.A?A8K YY ?.=CA+8 Y+8 ?.AAK?? ?.

0.2.0 ;todo de >e?ton + 9ap$son

Este mtodo se puede obtener mediante el si&uiente &r0fico:


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(i el valor inicial de la raz es x i, podemos trazar una tan&entedesde el punto W xi, f7xi9 X.

El punto donde est0 tan&ente cruza el eje x, representa unaaproximacin de la raz.

*e la fi&ura la primera derivada es x , es e1uivalente a lapendiente.

f7x9 4 f7xi9 F ?

xi" xiH +

Reordenando:

iH+ 4 xi" f7xi9 )rmula de e!ton"Rap#son 7 8.C 9 f7 xi9

Esta ecuacin tambin puede obtenerse mediante la serie deTa3lor.

f7x+H+9 H f7xi9 Hf7xi9# HfN 7xi9#8H fNU7xi9#H .....fn7xi9#n

8Q Q nQ

Truncando la serie de Ta3lor #asta la primera derivada:


38/87

f7x+H+9 4 f7xi9 Hf7xi9 7x+H+ " xi9

en el 1ue se intersecta con el eje x, f7x+H+9 4 ?

? 4 f7xi9 Hf7xi9 7x+H+ " xi9

iH+ 4 xi" f7xi9 1ue es la ec. 7 8.C 9 f7 xi9

Ejemplo 8.K

Encuentre la raz de t&x"x 4 ?, en


39/87

cos8.

x+4 .K=AK88 4 .KA>A

Ea4 .K=AK88 F . x +?? P 4 ?.A=>88A .K=AK88

x84 x+F f7x+9 f7 x+9

(ustitu3endo:

.K=AK88 F tan .K=AK88 F ?.+ 7.K=AK889 + " ?.+cos8.K=AK88

x84 .K=A+K?

Ea4 .K=A+K? F .K=AK88 x +?? P 4 ?.??>P .K=A+K?

Ea P


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V 4 anc#o del vertedor en piesZ 4 car&a sobre la cresta del vertedor

(i V 4 3 @ 4 +8 , calcule los valores con el mtodo dee!ton" Rap#son.

(e re1uiere utilizar como valor inicial Z?4VD8

(olucin :

f7x9 4 @ F .7V"?.8H+97Z9+D84 ?f7x9 4@ F+?ZD8 H?.AAAZD8

4 @".VZD8H?.AAAZD8

4 ".7D89Z+D8H?.AAA7D89ZD8

4 "VZ+D8H +.AAZD8

4 "+Z+D8H +.AA ZD8

Z?4 x?4 D8 4 +.

x+4 ? " f7x9f7 x9

Z+4 Z?F f7Z9 f7Z9

f7Z9 4 +8"+?7+.9D8+ ?.AAA 7+.9D84 "K.C

f7Z9 4 "+7+.9+D8H +.AA 7+.9D84 "+.+8

Z+4 +. F K.C 4 +.8?= +.+8

f7Z9 4 +8"+?7+.8?=9D8H ?.AAAA 7+.8?=9D8

f7Z9 4 "+7+.8?=9+D8 H +.AA7+.8?=9D8


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Z84 +.8?= F "+?.+K=>K"+K.8>+

Z84 +.+CZ4 +.+C

0.2.2 ;todo de la 3ecante

'onsiste en aproximar la derivada f7x+) , mediante unadiferencia dividida finita re&resiva, como se muestra en la si&uientefi&ura:

f7x+9 4 f7x+9 " f7x+"+9xi" x+"+

(ustitu3endo esta aproximacin en la ecuacin 78.C9,obtenemos la si&uiente ecuacin iterativa:

x+H+ 4 xi " f7x+9 " 7x+"+9 7 8.+? 9


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f7x+9 " f7x+"+9

(e re1uiere de dos valores iniciales, xo ,x+

84 x+" f7x+9 " 7x+" xo9

f7x+9"f7 xo9

4 x8" f7x89 " 7x8F x+9f7x89"f7 x+9

#asta 1ue se cumpla la tolerancia Ea +9 4 +.K x +?"v+." +.+ x +?"v84 ? +???

f7v9 4 ?.+CA8"+.K x +?"v+." +.+ x +?"v84 ?

+era iteracin:


43/87

Jo 4 ?, J+ 4 ?.+

J8= J+F f7J+97 J+" Jo9 f7J+9" f7J?9

f7J?9 4 ?.+CA8"+.K x +?"7?9+." +.+ x +?"7?98= A.CAC x+?"

f7J+9 4 ?.+CA8"+.K x +?"7?.+9+." +.+ x +?"7?.+98

= A.>>>C x+?"

J8= ?.+ F A.>>>C x+?" 7?.+"?9 4 >.AK=?

A.>>>C x+?" " A.CAC x+?"

Ea 4 >.AK=? F ?.+ x +?? 4 88.+P >.AK=?

8da iteracin

J+ 4 ?.+, J8= >.AK=?f7J+94 A.>>>Cx+?"

f7J894 "C.+=?8K+?"K

J= =.AK?KEa 4 8.A=P

era iteracin

J8= >.AK=? , J= =.AK?Kf7J894 "C.+=?8K x+?"K

f7J94 C.=8A+= x+?"

JK= =.=Ea 4 ?.8KP


44/87

Kta iteracin

J= =.AK?K, JK= =.=f7J94 C.=8A+= x+?"

f7JK9 4 +.?K=AA x +?"A

J 4=.=KA 4 J

Ea4 ?.??8=> P,


45/87

+ 4 K lo&+?7+? x f 9 H?.Kf

Re4 +??,???

+er iteracin

f7f?9 4 + " K lo&+?7+? x?.??KC 9 H?.K ?.??KC

f7f?9 4 "?.ACKA

f7f+9 4 + " K lo&+?7+? x?.??? 9 H?.K ?.???

f7f+9 4 "?.>>

f84 f+" f7f+97 f+" f?9 f7f+9" 7f?9

f84 ?.??? F 7"?.>>97?.???"?.??KC9 7"?.>>9H7 ?.ACKA 9

f84 ?.??KKAC

Ea 4 ?.??KKAC F ?.??? x +?? 4 ++.>>P ?.??KKAC


46/87

8da iteracin

f7f89 4 + " K lo&+?7+? xK.KACx+?"9 H?.K K.KACx+?"

f7f89 4 ?.?>+

f7f9 4 + " K lo&+?7+? xK.?Ax+?"9 H?.K ?.??K?A

f7f9 4 "?.?+?

er iteracin

f4 f8" f7f89 7f8F f+9 f7f89 F f7f+9

f4 K.KACx+?"F 7?.?>+97 K.KACx+?" F ?.???9 ?.?> H ?.???f4 ?.??KC>+

Ea 4 ?.??K?8 F ?.??KKAC x +?? 4 ?.=P ?.??K?8

777. 3oluci#n de sistemas de cuaciones lineales y no lienales

.+ Mtodos de soluciones de Ecuaciones lineales.+.+ Mtodo &r0fico


47/87

2as ecuaciones &enerales

a++x+ H a+8x8 4 b+a+8x+ H a88x8 4 b8

7G9" x+H 8x84 8 7 V9

(olucin:

*espejar :

*e ec. 7G9 : x84 " x+ H C 8*e ec. 7V9 : x8 4 + x+H +


48/87

8

2.1.0 ;todo de @rammer

/n sistema de ecuaciones al&ebraicas lineales se representancomo:

a++x+ H a+8x8H YYYY a+nxn 4 b+a+8x8 H a8+x8 H YYYY a8nxn 4 b8

Y Y am+x+ H am8x8 H YYYY annxn 4 bn

*onde: a 4 coeficientes b 4 constantes

cu3a matriz de coeficientes, para un sistema de ecuaciones,es:


49/87

a++ a+8 a+G 4 a8+ a88 a8

a+ a8 a

S de donde el determinante *, de tercer es :

a++ a+8 a+* 4 a8+ a88 a8

a+ a8 a

1ue se resuelve como: a88 a8 a8+ a8 a8+ a88* 4 a++ " a+8 + a+ a a a+a a+ a8donde los determinantes de 8 x 8 se les llama menores.

2a re&la de rammer, se expresa como una fraccin de dosdeterminantes con denominador * 3 con el numerador obtenido apartir de * al reemplazar la columna de coeficientes de la inc&nitax+por las constantes b+YYYYY b8 YYYYYY bn

b+ a+8 a+ +4 b8 a88 a8

b8 a8 a

*

a++ a+8 a+84 a8+ a88 a8

a+ a8 a

*


50/87

a++ a+8 a+ 4 a8+ a88 a8

a+ a88 a

*

Ejemplo .8

/se la re&la de rammer para resolver:

?. +H ?.8 8H 4 "?.?+?. +H 8H +.C4 ?.A=?.+ +H ?. 8H ?.4 "?.?+

?. +H ?.8 8H ?.? ?.8G 4 ?. +H 8H +.C ?. +

?.+ +H ?. 8H ?. ?.+ ?.

7?.+9H7?.?C>>9H7?.+9"7?.+9"7?+=+9"7?.+9 4 "?.??88

det G 4 "?.??88

"?.?+ +H?.8 8H+ "?.?+ ?.8V 4 ?.A= +H + 8H +.C ?.A= +

"?.KK +H?. 8H?. "?.KK ?.

"7?.??9"7?.KK=89H7?.8?+9H7?.KK9H7?.??=9"7?.+=K894det V 4 ?.?8=>

det V 4 ?.?8=> 4 "+K.Cdet G 4 "?.??88


51/87

?.?+ "?.?+ 8H+ ?. F?.?+' 4 ?. + H ?.A= 8H+.C ?.? ?.A=

?.+ + F?.KK 8H?. ?.+ "?.KK

7?.+??9"7?.??+C9"7?.889"7?.A=9H7?.8?>9H7?.??894det ' 4 ?.?AKC

det ' 4 ?.?AKC 4 "8C.det G 4 "?.??88

?. +H ?.8 8 "?.?+ ?.? ?.8* 4 ?. +H 8H?.A= ?. +

?.+ +H ?. 8 " ?.KK ?.+ ?.

"7?.+89H7?.?K>K9"7?.??+9H7?.??+9"7?.?A?9H7?.++KK9 4 "?.?KAdet * 4 "?.?KA

det * 4 "?.?KA 4 +C.>det G 4 "?.??88

x+4 "+K.C, x84 "8C. , x4 +C.>

2.2 liminaci#n Aaussiana y sustituci#n $acia atrs


52/87

2a matriz aumentada G es :

a++ a+8 YYYYY a+n b+G 4 a8+ a88 YYYYY a8n b8a+ a8 YYYYY an bn


53/87

+ ? ? E+? + ? E8? ? + E

? ? ? EK


54/87

+." Reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema trian&ularsuperior por eliminacin #acia delante:

Matrices especiales:

Ejemplo .K. /se la eliminacin de $auss para resolver:

Efectuando los c0lculos con A cifras si&nificativas

(olucin:


55/87

2a matriz aumentada es:


56/87

Ej. ., use la eliminacin de $auss para resolver :

2.1.! ;todo de Aauss* Bordan

El mtodo consiste en eliminar elementos arriba 3 debajo delelemento pivote, para &enerar una matriz dia&onal o unitaria enlu&ar de una trian&ular.

Ej. /se la tcnica de $auss" %ordan para resolver


57/87

Resolver por $auss" %ordan:


58/87

/sando K cifras si&nificativas:


59/87

2.1.5 ;atri& 7nversa

El producto de una matriz cuadrada , [G\ 3 su inversa [G\ "+dacomo resultado la matriz identidad [I\:

[G\ [G\"+4 [G\"+[G\ 4 [I\

2a matriz inversa se puede calcular en forma numrica pararesolver n sistemas lineales, de donde la inversa es la solucin delsistema lineal.

Ej. .>. resolver los tres sistemas lineales:


60/87


61/87

2a solucin de los tres sistemas son:

2.1. ;todos iterativos

Matrices bandeadas

/n &ran n-mero de sus componentes son cero:


62/87

El sistema de ecuaciones representados matricialmente paraencontrar su solucin es

Gx 4 b 7 . 9

Reordenando se tiene

Gx F b 4 ?

/na ecuacin vectorial de f7x9 4 ? 7.A9

Gplicando el mtodo iterativo de punto fijo , la ec.7.A9 puedearre&larse de tal forma 1ue:

4 &7x9

4 Vx H '

V 4 matriz 7.=9

' 4 vector de las constantes

(e re1uiere de un vector inicial x7?9como primera aproximacinal vector solucin x


63/87

*ado el sistema:

'on a++, a88, a88, diferentes de cero

(e despeja +de la Ec. +(e despeja 8de la Ec. 8(e despeja de la Ec.

@ue en notacin matricial 1ueda:


64/87


65/87

Resuelva el si&uiente sistema por el mtodo de %acobi:

(e despeja +de la Ec. +(e despeja 8de la Ec. 8(e despeja de la Ec. (e despeja Kde la Ec. K


66/87

Jalores iniciales , B 4 ?

7?94 [ ?,?,?,?,\,

'alcular xBH+4 x+

'alcular x8


67/87

'alcular x

2os resultados de las iteraciones son:

+B 8B B B

? ? ? ? ?+ ?.8?? ?.8?? ?.8?? ?.8??

8 ?.+8 ?.=? ?.=? ?.+8 ?.K> ?.K8+C ?.K8+C ?.K>K ?. ?.KK+K ?.KK+K ?. ?.A?K ?.KKC8 ?.KKC8 ?.A?KA ?.A8 ?.K8K ?.K8K ?.A8= ?.A+ ?.K= ?.K= ?.A+> ?.AK ?.KK8 ?.KK8 ?.AKC ?.A ?.KKK ?.KKK ?.A+? ?.AA ?.KK ?.KK ?.AA

Ejemplo .+?

Resolver el si&uiente sistema:


68/87

*espejando:

'on E 4 ?.??+ P

(i x7?9[?,?.?\T


69/87

+B 8B B

? ? ? ?+ "?.??? ?.+??? ?.8???8 "?.KC?? ?.8A?? ?.?? "?.K? ?.8C=? ?.8C?

K "?.KK?K ?.8=C ?.8==+ "?.KKC ?.8=+8 ?.8=A8A "?.KKA ?.8=+A ?.8=>C= "?.KKAK ?.8=8C ?.8=CA> "?.KKA+ ?.8=8 ?.8=C

C) Aauss*3eidel

Es similar al mtodo de %acobi, los valores 1ue se vancalculando en la 7 B H + 9 F sima iteracin se emplean para calcularlos valores faltantes de esa misma iteracin, es decir, con x7B9, secalcula x7B H +9.


70/87

3 para un sistema de n ecuaciones:

Ej. .++. Resuelva el sistema del ejemplo .C, por el mtodo de$auss"(eidel:


71/87

'on x7?94 [?,?,?,?\

+B 8B B KB

? ?.???? ?.???? ?.???? ?.????+ ?.8?? ?.+8 ?.8>+ ?.8?8 ?.8>+ ?.K+K+ ?.KA ?.C+ ?. ?.KK= ?.K+= ?.A8CK ?.A8C ?.KK ?.KK+ ?.A ?.A ?.KKK ?.KK ?.AAA ?.AA ?.KK ?.KK ?.AA


72/87

Ej. .+8 /se el sistema del ejemplo .A por el mtodo de$auss" (eidel:

(olucin:

*espejando:

(i con x7?94 [?,?,?\


73/87

S as debemos se&uir iterando #asta cumplir con el errorestipulado.

'riterios de conver&encia:

Ejemplo .+K aplicacin en In&. Elctrica:

/n problema com-n dentro de la In&. Elctrica, involucra ladeterminacin de corrientes 3 voltajes en varios puntos en circuitosde resistores. Estos problemas se resuelven usando las le3es paracorrientes de voltajes de irc#off.

'onsidere el circuito mostrado en la fi&ura si&uiente:


74/87

2as corrientes asociadas con este circuito son desconocidastanto en ma&nitudes como en direccin.

(uponiendo las direcciones de las corrientes:

*etermine las corrientes del circuito:

(olucin:

2a re&la de la corriente de Birc#off aplicada a cada nodo es

i4 ?


75/87

2a re&la del voltaje en cada una de las mallas es :

v"iR 4 ?

(ustitu3endo los valores de las R:


76/87

'onsideraciones fsicas.'onsideraciones &eomtricas.

2.0.1 ;todo de punto fi%o multivariable

f7x9 4 ?x 4 &7x9x7?94 ?+."8."."


77/87

Ejemplo .+. Encuentre una solucin del sistema deecuaciones no lineales:

f+4 7x,39 4 x8F+?x H 38H > 4 ? E+

f84 7x,39 4 x38

H x F+?3 H > 4 ? E8

mediante el mtodo del punto fijo multivariable usandodesplazamientos simult0neos 7 %acobi9, con valores iniciales x?4 ?,3?4 ?.

(olucin :

*espejar x del trmino 7 "+?x9 de E+*espejar 3 del trmino 7 "+?39 de E8

4 ?.+x8H?.+38H ?.>S4 ?.+x38H?.+x H ?.>

Expres0ndolos iterativamente:

BH+4 ?.+x7xB98H?.+73B98H?.>SBH+4 ?.+xB73B98H?.+ xBH?.>

'on valores inciales x? 4 ?, 3? 4 ?, se inicia el procesoiterativo:

+er iteracin 8da iteracin er iteracinx+4 ?.> x84 ?.C8>?? x4 ?.C=8>314 ?.> 384 ?.C+8 34 ?.C=


78/87

2os resultados obtenidos del proceso iterativo son:

B 3B

? ?.???? ?.????+ ?.>??? ?.>???

8 ?.C8>? ?.C+8 ?.C>= ?.C>CKK Y Y ?.CC= ?.CC=Y Y Y+8 ?.CCCC ?.CCCC+ +.???? +.????

'riterios de conver&encia:

4 ? E+f84 7x,39 4 x38H x F+?3 H > 4 ? E8


79/87

(olucin:

BH+4 ?.+7xB98H?.+73B98H?.>SBH+4 ?.+xBH+73B98H?.+ xBH+H?.>

Gplicando los criterios de conver&encia se re1uiere derivarparcialmente:

Evaluando para x?

4 ?, 3?

4 ?

+er iteracin:x+4 ?.>

314 ?.+7?.>9H?.>4?.>>

8da iteracin:


80/87

x84 ?.+7?.>98H?.+7?.>>98H ?.> 4 ?.CK+K384 ?.+7?.CK+K97?.>>98H?.+7?.CK+K9H?.> 4 ?.CA=?

er iteracin:

x4 ?.+7?.CK+K98H?.+7?.CA=?98H ?.> 4?.C>8+34 ?.+7?.C>8+97?.CA=?98H?.+7?.C>8+9H?.> 4?.CC??

2os resultados del proceso iterativo son:

B 3B

? ?.???? ?.????

+ ?.>??? ?.>>??8 ?.CK+K ?.CA=? ?.C>8+ ?.CC??K ?.CCKK ?.CCACY Y Y++ +.???? +.????

2.0.0 ;todo >e?ton*9apson multivariable

(upn&ase 1ue se est0 resolviendo el sistema:

f+4 7x,394 ?f84 7x,39 4?

donde ambas funciones son contnuas 3 diferenciables, demodo 1ue puedan expanderse en serie de Ta3lor alrededor del punto7a,b9:

Expandiendo fi alrededor de :


81/87

de manera similar puede expresarse f8 donde todas lasderivadas parciales est0n evaluadas en 7xB,3B9.

'onsiderando 1ue la diferencia entre la aproximacin actual 3anterior es cero, obtenemos:

(i definimos 1ue

BH+F xB= # 7.889

S

BH+

F3

B

4 j

Reordenando

BH+4 xBH#

SBH+4 3xHj 7.89

(ustitu3endo la ec.7 .889 en la ec.7.8+9


82/87

Esto representa un sistema de ec. lineales con inc&nitas # 3j.

El sistema lineal tiene solucin si el determinante de la matrizde coeficientes o matriz %acobiana % es diferente de cero.

Ej. .+= /se el mtodo de e!ton"Rap#son para encontrar unasolucin aproximada al sistema:

f+4 7x,39 4 x8F+?x H 38H > 4 ? E+f84 7x,39 4 x38H x F+?3 H > 4 ? E8

con el vector inicial [x?, 3?\, [?,?\r

(olucin:


83/87

+ "+? ">

de donde # 4 ?.> 3 j 4 ?.>>

BH+4 x?H # 4 ? H ?.> 4 ?.> 4 x+


84/87

SBH+4 3? H j 4 ? H ?.>> 4 ?.>> 4 3+

8da iteracin

87?.>9 F+? 87?.>>97?">>98H+ 87?.>97?.>>9"+?

con los valores x+, 3+

">.K +.=A "+.K+KK+.==KK ">.C8 "?.A+C

por eliminacin $aussiana:

de donde #4 ?.+C+=C , j4 ?.+++=+

(ustitu3endo en ec. 7.89

x84 x+H # 4 ?.> H ?.+C+=C 4 ?.CC+=C x8

384 3+H j 4 ?.>> H ?.+++=+ 4 ?.CC+=+ 38

B 3B

? ?.???? ?.????

+ ?.>??? ?.>>??8 ?.CC+= ?.CC+= ?.CCC> ?.CCCCK +.???? +.????

7V.* %uste de funciones

K.+ )undamentos de estadstica

2a media aritmtica 739 de una muestra, se define como lasuma de los datos individuales 73i9 dividida entre el n-mero depuntos 7 n 9.


85/87

2a desviacin est0ndar 7 s 9 es una medida del espaciamientode los datos individuales, respecto, a la media:

(t 4 4 7 3 iF 3 984 es la suma total de los cuadrados de losresiduos entre los datos 3 la media.

2a varianza 7(8 ) es la desviacin est0ndar al cuadrado:

(84 7 3iF 3 98 4 (t 7K.9 n"+ n"+

otra manera de calcular la desviacin est0ndar es:(8= 3i " 73i98 D n 7K.K9

n F+

coeficiente de variacin 7c.v.9 es la razn de la desviacinest0ndar a la media:

c.v. 4 (D3 7+??9P


86/87

1ue es similar al ER


87/87

i yi (yi-y) frecuencia lmite inferior lmite superior

1 6.395 0.042025 1 6.36 6.4

2 6.435 0.027225 1 6.4 6.44

3 6.485 0.013225

4 6.495 0.010025 4 6.48 6.52

5 6.505 0.009025

6 6.515 0.007225

7 6.555 0.002025 2 6.52 6.56

8 6.555 0.002025

9 6.565 0.001225

10 6.757 0.000025 3 6.56 6.6

11 6.595 0.000225

12 6.605 0.000625

13 6.615 0.000625

14 6.625 0.001225 5 6.6 6.69

15 6.625 0.003025

16 6.635 0.003025

17 6.655 0.003025

18 6.655 0.007225 3 6.64 6.68

19 6.655 0.003025

20 6.685 0.013225 3 6.68 6.72

21 6.715 0.013225

22 6.715 0.013225

23 6.755 0.024025 1 6.72 6.76

24 6.775 0.003625 1 6.76 6.8

Apuntes Anal Num

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