Apuntes Aritmetica y Algebra-Grado Superior CyL

ÍNDICE

Tema 1 ‐ ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA ................................................................................................................4

1.‐Números Reales. Valor absoluto. Desigualdades. Distancias en la Recta real. Intervalos y Entornos. ................. 4 1.1.‐Números Reales ................................................................................................................................................................ 4

1.1.1.‐Números Naturales .................................................................................................................................................. 4 1.1.2.‐Números Enteros ..................................................................................................................................................... 5 1.1.3.‐Números Racionales................................................................................................................................................. 6 1.1.4.‐Números Iracionales ................................................................................................................................................ 6 1.1.5.‐Números Reales: Resumen ...................................................................................................................................... 7

1.2.‐Valor absoluto................................................................................................................................................................... 8 1.3.‐Desigualdades ................................................................................................................................................................... 9 1.4.‐Distancias........................................................................................................................................................................ 11 1.5.‐Intervalos y entornos ...................................................................................................................................................... 12

2.‐Resolución algebráica e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones. ................................................. 15 2.1.‐Ecuaciones. ..................................................................................................................................................................... 15 2.2.‐Inecuaciones. .................................................................................................................................................................. 17

3.‐Operaciones con Potencias y Radicales. Logaritmos. ......................................................................................... 23 3.1.‐Potencias ........................................................................................................................................................................ 23 3.2.‐Radicales ......................................................................................................................................................................... 25 3.3.‐Logaritmos ...................................................................................................................................................................... 26

4.‐Ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. Aplicaciones. .................................................. 29 4.1.‐Ecuaciones lineales ......................................................................................................................................................... 29 4.2.‐Ecuaciones cuadráticas ................................................................................................................................................... 30 4.3.‐Ecuaciones logarítmicas y exponenciales........................................................................................................................ 33

5.‐Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Sistemas con tres incógnitas: Método de Gauss. ..... 35 5.1.‐Sistemas con dos ecuaciones lineales y dos incógnitas................................................................................................... 35 5.3.‐Sistemas con tres incógnitas: Método Gauss .................................................................................................................. 38

6.‐Matrices. Representación matricial de sistemas de ecuaciones. ....................................................................... 41 6.1.‐Matrices .......................................................................................................................................................................... 41 6.2.‐Representación matricial de sistemas de ecuaciones. .................................................................................................... 44

7.‐Gauss en matrices. Cálculo del rango de una matriz y de la matriz inversa. Resolución de sistemas mediante matrices. ................................................................................................................................................................. 45

7.1.‐Gauss en matrices. Transformaciones elementales. ....................................................................................................... 45 7.2.‐Gauss en matrices. Rango de una matriz. ....................................................................................................................... 46 7.3.‐Gauss en matrices. Inversa de una matriz....................................................................................................................... 48

8.‐Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Cálculo de determinantes. Rango de una matriz con determinantes. ..................................................................................................................................... 50

8.1.‐Determinantes. Cálculo y propiedades. .......................................................................................................................... 50 8.2.‐Rango de una matriz con determinantes. ....................................................................................................................... 53

9.‐Metodología y ejemplos. .................................................................................................................................... 56 9.1.‐Metodología. .................................................................................................................................................................. 56 9.2.‐Ejemplos prácticos. ......................................................................................................................................................... 58

Actividades de aplicación........................................................................................................................................ 62

Daniel San José Olmedo Matemáticas - Grado Superior Castilla y León Academia Sigma

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Tema 1 ‐ ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

1.‐Números Reales. Valor absoluto. Desigualdades. Distancias

en la Recta real. Intervalos y Entornos.

1.1.‐Números Reales

Definición: Los números reales es el conjunto de todos los números. Al conjunto de los números

reales se le representa por √ y engloba a los números naturales, , los números enteros, , los

números racionales, , y los irracionales, .

La forma más usual de representar el conjunto de los números reales es la RECTA REAL. En ella, cada número es un punto de la recta.

1.1.1.‐Números Naturales

Definición: Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número

cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

El conjunto de los números naturales está formado por: N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Nótese que el 0 no es un número natural

En la Recta Real, los números naturales son puntos aislados y equidistantes unos de otros. Es

el único conjunto que tiene un primer elemento del conjunto, el 1.

La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural. La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre

cuando el minuendo es mayor que sustraendo.

5 − 3 œ

3 − 5 –

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El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la división es exacta.

6 : 2 œ

2 : 6 –

Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es

exacta.

1.1.2.‐Números Enteros Definición: Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las

profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

El conjunto de los números enteros está formado por: = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

...} Al igual que los números naturales, los enteros se representan en la Recta Real, como puntos

aislados y equidistantes unos de otros. En este caso ya no hay un “primer elemento”, pues hay infinitos términos tanto hacia la izquierda como hacia la derecha. La distancia entre puntos es la misma que en el caso de número naturales.

La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero. El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo ocurre cuando la

división es exacta.

6 : 2 œ

2 : 6 –

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural. La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la raíz es

exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.

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1.1.3.‐Números Racionales Definición: Se llama número racional a todo número que puede expresarse como el cociente de

dos números enteros, con denominador distinto de cero.

0;,/ bZba

b

aQ

Ejemplos claros son: 75

17,

9

3,

3

1

En la Recta real, ocupan posiciones entre los números enteros: Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números

racionales; pero los números decimales ilimitados (como las raíces no exactas o el número pí) no lo son.

La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números racionales es otro número

racional.

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.

La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.

1.1.4.‐Números Iracionales Definición: Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto

no se pueden expresar en forma de fracción. El conjunto se representa por .

El número irracional más conocido es π , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

= 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

El número áureo, F , utilizado por artistas de todas las épocas Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

Las raíces cuadradas, cúbicas, etc, no exactas.

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1.1.5.‐Números Reales: Resumen Resumen: Como se dijo al inicio del tema, el conjunto formado por los números racionales e

irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por √.

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones matemáticas que existen, a excepción de las raíces pares de números negativos y la división por cero.

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1.2.‐Valor absoluto Definición: Una definición poco acertada pero válida, sería la de que es el número sin el signo.

Pero si queremos ser precisos deberíamos decir que es el propio número, si éste es positivo, o el opuesto del número, si éste es negativo.

Así, tendríamos que: .x ,0x0 xsi x

0 xsi xx

Otra definición alternativa sería 2xx , tomando solo el signo positivo de la raíz.

Propiedades del valor absoluto:

x ,xx , en otras palabras, el valor absoluto de un número siempre es

mayor o igual que el propio número, ya que:

33 , en éste caso es igual al propio número.

55 , en éste caso es mayor que el número, ya que 5 > –5.

x ,0x0x , en otras palabras, si el valor absoluto de un número es

cero, lo es porque el propio número es cero.

yx, ,yxyx , en otras palabras, el valor absoluto de la suma de

dos números siempre es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos, se conoce como desigualdad triangular.

8353535223535

yx, ,yxyx , en otras palabras, el valor absoluto del producto de

dos números siempre es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

yx, ,xyyx , en otras palabras, el valor absoluto de la diferencia

de dos números es indiferente del orden en que realicemos dicha resta. Ya que de la definición alternativa tendríamos que:

c.q.d. ,xyxyxyx2yyxy2xyxyx 222222

7522257

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1.3.‐Desigualdades Definición: La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra.

Para ello utilizamos los siguientes símbolos:

Mayor que: >

Menor que: <

Mayor o igual que: ¥

Menor o igual que: § Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números, a y b, utilizando los

símbolos de desigualdad arriba descritos.

Propiedades de las desigualdades Sean a, b y c tres números reales cualesquiera. Entonces se cumple:

Si a > b y b > c, entonces a > c (Transitiva) Si a < b y b < c, entonces a < c

Si a > b, entonces (a ≤ c) > (b ≤ c) Si a < b, entonces (a ≤ c) < (b ≤ c)

Si a > b y c > 0, entonces ac > bc Si a > b y c < 0, entonces ac < bc

Si a > b y c > 0, entonces c

b

c

a

Si a > b y c < 0, entonces c

b

c

a

Si a > b y c > d, entonces a+c > b+d (Aditiva)

Si a > b y c > d, entonces ac > bd

Si a > b y a > 0 y b>0, entonces an > bn

Si a > b, entonces ba

11

0,0

0,0,0

ba

basiba

0,0

0,0,0

ba

basiba

Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.

Ejemplo: 3 < 6, 6 > 3 Las desigualdades se pueden dividir en dos grupos: absolutas y condicionales.

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Desigualdades absolutas o incondicionales. Son semejantes a las identidades y son satisfechas por todos los números Reales.

Ejemplo: abba

ab

2

La validez de estas desigualdades se establece por medio de una demostración analítica. Es decir, utilizando las propiedades de las desigualdades y los números reales.

Desigualdades condicionales. Son llamadas Inecuaciones. Sólo son satisfechas por algunos números Reales. Son desigualdades que poseen términos desconocidos.

Ejemplo: 062 x

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1.4.‐Distancias Definición: Se define la distancia entre dos puntos, A y B, de la recta real, y se denota por

ABd , como el valor absoluto de la diferencia entre los valores de los mismos, en otras

palabras, BAABd

1717107107ABd10B , 7A Puntos

Propiedades:

0BAABd siempre, como consecuencia de la definición de valor absoluto

de un número.

BA0ABd .

BAdABBAABd , es decir, da igual el sentido en el que

midamos, la distancia entre dos puntos fijos siempre es la misma.

Si CBdACdABdBCA , es decir, la distancia entre dos puntos se

puede calcular sumando las distancias que hay entre puntos intermedios a los dados.

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1.5.‐Intervalos y entornos Definición: se llama intervalo en la Recta Real, a todo subconjunto de la misma comprendido

entre dos puntos fijos llamados extremos.

Ejemplo de Intervalo: b,aI , donde a es el extremo inferior del intervalo y b es el

extremo superior del mismo, además ba .

OBSERVACIONES que conviene recordar:

ba se lee “a menor que b”, es una desigualdad estricta.

ab se lee “b mayor que a”, es una desigualdad estricta.

Como puedes observar, lo mismo se puede leer de dos formas distintas, ya que si a es menor que b entonces es que b es mayor que a, lo cual nos recuerda que toda desigualdad, a < b, al igual que toda igualdad, en matemáticas se puede leer en dos sentidos, de izquierda a derecha, “a < b, a menor que b” o de derecha a izquierda, “b > a, b mayor que a”. En cualquier caso el vértice del ángulo siempre apunta al menor de los números.

ba se lee “a menor o igual que b” y si cambiamos el sentido de la lectura leeríamos

ab , “b mayor o igual que a”, son desigualdades no estrictas. Como puedes obser‐var, el vértice del ángulo sigue apuntando al menor de los números.

Si ab y , entonces no queda más remedio que concluir que a = b. ba

Cuando a y b no son iguales ponemos ba .

Propiedad transitiva, si ba y cb , entonces ca , dicho lo mismo de otro

modo, cba ademásb y ba si y,cac

dbca entonces d,cy ba Si .

Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número,

positivo, la desigualdad no varía cbca0cy ba si

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, cambia el sentido de la desigualdad, así, si

cbca0cy ba .

Si dos números, cualesquiera, cumplen una determinada desigualdad, sus inversos

cumplen la desigualdad contraria, así, si b

1

a

1ba .

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Clases de intervalos:

Abierto: es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos.

En otras palabras bxa/xb,aI , observa que se trata de

desigualdades estrictas.

a b

Gráficamente:

Cerrado: es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los

puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo.

En otras palabras bxa/xb,aI , observa que ahora no se trata

de desigualdades estrictas.

a b

Gráficamente:

Semiabierto: es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es decir,

todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de éstos, forman parte del intervalo.

Semiabierto por la derecha, o semicerrado por la izquierda, el extremo superior no forma parte del intervalo, pero el inferior si, en otras palabras

bx a/xb,aI , observa que el extremo que queda fuera del

intervalo va asociado a una desigualdad estricta.

Semiabierto por la izquierda, o semicerrado por la derecha, el extremo inferior no forma parte del intervalo, pero el superior si, en otras palabras

bxa/xb,aI , observa que el extremo que queda fuera del

intervalo va asociado a una desigualdad estricta.

a b Semiabierto por la izquierda

a b Semiabierto por la derecha

Gráficamente: Semirrectas reales:

Semirrecta de los números positivos ,0I , es decir, desde cero hasta infinito.

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Semirrecta de los números negativos 0,I , es decir, desde el menos infinito,

el infinito negativo, hasta cero.

Con lo que toda la recta de los números reales sería ,I .

Entornos. Definición: Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er(a) o E(a,r), al

intervalo abierto (a‐r, a+r). Er(a) = (a‐r, a+r)

Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto.

Er(0) = (‐r, r) se expresa también |x|<0, o bien, ‐r < x < r.

Er(a) = (a‐r, a+r) se expresa también |x‐a|<0, o bien, a a‐r < x < a+r.

Entornos laterales

Por la izquierda: Er(a‐) = (a‐r, a)

Por la derecha: Er(a+) = (a, a+r)

Entornos reducidos: Se emplean cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto, sin que interese lo que ocurre en dicho punto.

E r*(a) = { x (a‐r, a+r), x ≠ a}

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2.‐Resolución algebráica e interpretación gráfica de ecuaciones

e inecuaciones.

2.1.‐Ecuaciones. Ecuaciones de primer y segundo grado

Las ecuaciones de primer y segundo grado son igualdades con una incógnita, habitualmente

denominada “x”, cuyo valor es desconocido en principio y que hemos de averiguar. En función de si es de primer o de segundo grado, seguiremos un método u otro.

Existen ecuaciones de grados superiores. Su resolución consiste en ir hallando soluciones

mediante métodos más avanzados hasta que reducimos la ecuación a una de 2º grado, donde ya procederíamos como aquí se describe.

Tipos de expresiones matemáticas Antes de proceder a cómo resolver las ecuaciones, haremos una distinción entre los distintos

tipos de expresiones posibles. IGUALDAD

Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.

2x + 3 = 5x − 2

Una igualdad puede ser:

Falsa:

2x + 1 = 2 ∙ (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1≠2.

Cierta:

2x + 2 = 2 ∙ (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

IDENTIDAD

Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.

2x + 2 = 2 ∙ (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.

x + 1 = 2 x = 1

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Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.

Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

2x − 3 = 3x + 2

Solución:

x = −5

Comprobación (sustituimos el valor de la “x” en la ecuación):

2 ∙ (−5) − 3 = 3 ∙ (−5) + 2 − 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13

Tipos de ecuaciones según su grado

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Ecuación de primer grado:

5x + 3 = 2x

Ecuación de segundo grado.

5x+ 3 = 2x +x2

Ecuación de tercer grado.

5x3+ 3 = 2x2+1

Etc, etc

Criterios de equivalencia de ecuaciones

Para la resolución de ecuaciones de cualquier grado, existen una serie de operaciones o

equivalencias que al realizarse, mantienen inalterada la ecuación o ayudan a su resolución.

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

x + 3 = −2 x + 3 − 3 = −2 − 3 x = −5

Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma

cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

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5x + 10 = 15 (5x + 10) : 5 = 15 : 5 x + 2 = 3 x + 2 −2= 3 −2 x = 1

2.2.‐Inecuaciones. Desigualdad: Toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los

cuatro signos de desigualdad, , , , Por ejemplo:

841 ; 02x1x ; 1064 , etc. ...

Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, así, en los ejemplos:

la primera es falsa, la segunda depende del valor que le demos a x, y la tercera es verdadera.

Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan inecuaciones.

Propiedades de las desigualdades:

Se denominan también transformaciones de equivalencia.

Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma expresión o cantidad, la desigualdad no varía:

cbcaba

Transposición: consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una misma cantidad, pero de modo que uno de los términos de uno de los miembros desaparezca del mismo y aparezca en el otro miembro:

iónTransposicOrigen

bcabcbbacba

Producto: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por una cantidad

positiva, la desigualdad no varia, pero si la cantidad es negativa, entonces cambia el sentido de la desigualdad:

baba , al multiplicar por una cantidad negativa cambia el sentido de la desigualdad.

cbca0c ,ba , si la cantidad es positiva se conserva el sentido

original de la desigualdad.

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Simplificación: si se dividen los dos miembros de una desigualdad por una cantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no varía:

bac

cb

c

ca0cy ,cbca

ba7

b7

7

a7b7a7ba

3232 que ya , baba, si el divisor es

negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.

Inecuaciones: son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cualquiera de los miembros, o en ambos, una o más variables, o incógnitas. Una inecuación se verifica solo para algunos valores de las variables.

Los valores numéricos para los cuales se verifica la desigualdad son las soluciones de la misma.

Resolver una inecuación consiste en hallar los valores numéricos para los cuales la desigualdad es verdadera.

Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas soluciones.

Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios de equivalencia:

Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuación una misma cantidad o expresión algebraica, la inecuación que resulta es equivalente a la dada.

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por una misma cantidad positiva y no nula, la inecuación que resulta es equivalente a la dada.

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por una misma cantidad negativa, la inecuación que resulta es de sentido contrario a la dada.

Ejemplos:

x235x5x35x2x5x32x , es una inecuación equivalente a la primera.

3

4x261x

2

36

3

4x21x

2

3, operando nos

queda, 8x126x9 , que es equivalente a la dada, y por último

68x9x12x9 8x126 , y de ahí pasaríamos a otras inecuaciones equivalentes hasta llegar a la solución, en este

caso 3

14x14x3 , que es la solución, es decir, todos los

valores de la variable menores que catorce tercios.

Inecuaciones de primer grado: son aquellas en las que las variables que intervienen están

elevadas a un exponente igual a la unidad.

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Inecuaciones de primer grado con una incógnita, tienen por expresión general 0bax , y todas sus equivalentes.

0bax ; 0bax ; 0bax .

Ejemplos:

E1.‐

109

99,x

99

10x0109x99 , es decir, se cumple

para todo valor de la variable x menor o igual al valor hallado.

E2.‐

,17

15x

17

15x015x17 , es decir, se cumple para

todo valor de la variable estrictamente mayor que el valor hallado.

Luego para resolver una inecuación se sigue un proceso similar al de resolver ecuaciones.

Método analítico: Para resolver una inecuación de primer grado, lo primero que hay que hacer es llegar a

obtener la expresión general de una inecuación de 1er grado del apartado anterior aplicando los principios de equivalencia y los fundamentos del cálculo en general:

Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos miembros a común

denominador. Reducir términos semejantes en ambos miembros. Pasar a un miembro los términos que contengan la variable y al otro los que no la

contengan, y volver a reducir términos. (Aplicar los principios de equivalencia de inecuaciones)

Despejar la variable. (Volver a aplicar los principios de equivalencia de modo que la

variable quede aislada en el 1er miembro y con coeficiente la unidad, 1)

IMPORTANTE: si al aplicar los principios de equivalencia debemos dividir o multiplicar

por una cantidad negativa tener presente que cambia el sentido de la desigualdad, así:

351x42431536x378x46315x378x4636 ya que hemos tenido que multiplicar por –1 ambos miembros por ser éstos negativos, luego proseguiríamos de modo normal.

Ejemplos:

E1.‐ 3,x3x9x372xx42x7x4 , la

solución son todos los valores de la variable menores estrictamente que 3.

E2.‐ 68x12x96

8x12

6

6x9

3

4x21x

2

3

, como nos

queda la variable negativa debemos multiplicar ambos miembros por –1, así

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-∞ 3

-∞ 14/3

14,

3x

3

14x14x314x3 , la solución son todos los

valores de la variable estrictamente menores que catorce tercios. Modo de dar las soluciones:

Por intervalos, como en los ejemplos anteriores.

Gráficamente, por su representación en la recta real.

En los casos anteriores sería:

E1.‐

E2.‐

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita: son aquellos en los que la única variable que interviene en todas las ecuaciones está elevada a un exponente igual a la unidad. Sistemas de dos ecuaciones, tienen por expresión general:

22

11

bxa

bxa, y todas sus equivalentes , , etc. ...

22

11

bxa

bxa

22

11

bxa

bxa

Técnicas de resolución: no existe más que un modo de resolverlos, independientemente del

número de inecuaciones que compongan el sistema, se resuelve cada inecuación por separado, y al final se busca la solución en la intersección de todas ellas, es decir, el intervalo de solución común a todas.

Ejemplos:

E1.‐ , los intervalos de solución son

para la primera y

x 2 1 x 1

2x 5 x 4 x 9

1,

,9 para la segunda. Luego la solución común a ambas

está en la intersección de ambos, es decir, en 1,9 , gráficamente tal vez se

vea mejor.

9

1

E2.‐ Sea x el largo de un rectángulo de 3 cm. de ancho, el lado de un triángulo equilátero y el lado de un cuadrado. Determinar su valor para que el perímetro de rectángulo sea superior al del triángulo e inferior al del cuadrado.

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El planteamiento nos lleva a 3x 2x 6 4x

2x 6 x

6 4x x

. Esta es una inecuación de primer grado que no podemos resolver directamente.

Debemos pasar al sistema 3x 6

2x 3

, la primera

tiene por solución el intervalo ,6 , y la segunda 3, , luego

la solución común es la intersección de ambos, es decir 3,6 . Ver la

solución gráfica.

6

3 Inecuaciones en valor absoluto: son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella,

viene afectada por el valor absoluto de la misma.

Expresión general: ax b c , o todas sus equivalentes ax b c , o ax b c , etc.

Método de resolución: aplicamos la definición de valor absoluto de una cantidad y pasamos a

un sistema de dos ecuaciones cuya solución es la solución de la inecuación.

ax b c por definición

ax b c ax b c

ax b c ax b c

, recuerda que al

multiplicar los dos miembros de una desigualdad por una cantidad, negativa, cambia el sentido de la desigualdad.

Ejemplos:

E1.‐

3x

2x 1 2 2x 3 22x 1 22x 1 2 2x 1 2 1

x2

, para

la primera la solución es el intervalo 3, 2 y para la segunda 1 ,2 ,

la solución de la inecuación inicial será la intersección de ambos, es decir, el

intervalo 1 3

, . 2 2

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E2.‐

2x 1 115 x2x 1 5x 10x 22x 1 352x 1 5x 10 92x 1x 2 x5

7x 2

, la solución de la

primera es 11, 3 y la de la segunda 9, 7

, la solución de la inecuación inicial es la

intersección de ambas, ten en cuenta que 9 11

7 3 , luego es

9,7

.

Página 22


3.‐Operaciones con Potencias y Radicales. Logaritmos.

3.1.‐Potencias

Definición: La notación na determina la potencia de base a y exponente n, significa que hemos

de multiplicar a por si mismo n veces.

an

Potencia

Exponente El exponente, n, indica las veces que se repite la base en el producto de ésta por si misma.

Base

La base, a, es el factor que se repite en el producto.

Ejemplo: 12555553

Operaciones con potencias.

Las operaciones con potencias son sencillas. Hay que tener en cuenta siempre el signo de la base y del exponente para no cometer errores. Todo lo aquí explicado sería igual de válido para operaciones con notación científica.

Propiedades:

Producto de potencias de igual base: qpqp aaa

Es otra potencia que tiene por base la común y por exponente la suma de los exponentes, ya que:

23523 33333333333333 , hemos apli‐

cado la definición de potencia y la propiedad asociativa del producto de números naturales.

De modo inverso, 235 3333333333333

c.q.d.

Potencia de un producto: ppp baba

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor,

ya que:

333 3233322232323232 , hemos

aplicado la definición de potencia y las propiedades conmutativa y asociativa del producto.

De otro modo:

3333 32323232666632 .

Al igual que en el apartado anterior, las propiedades son de ida y vuelta, así:

Página 23


5555 535315

3333 225259259

Potencia de una potencia: qqa ppa

La potencia de una potencia es igual a otra potencia que tiene por base la que había y por exponente el producto de los exponentes, ya que:

32622222222232 2222222222 ,

hemos aplicado la definición de potencia y la propiedad asociativa del producto.

De otro modo:

6222222332 2222244442

Al igual que en los apartados anteriores, las propiedades son de ida y vuelta, así:

6329923618 22222 , adoptaremos la notación que

más convenga a nuestros propósitos de cálculo.

Potencia de un cociente: p

pp

b

a

b

a

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del numerador y denominador, ya que:

3

33

3

2

333

222

3

2

3

2

3

2

3

2

, hemos aplicado la definición de

potencia y la propiedad del producto de fracciones.


33

2

233

3

3

3

2

32

32

92

34

18

12

18

12

, hemos aplicado

además la propiedad de la simplificación de factores comunes en la fracción, es un método práctico y muy útil para realizar cálculos complejos, recuerda la regla de oro del cálculo, antes de operar, descomponer y simplificar.

Cociente de potencias: qp

q

p

aa

a

El cociente de potencias de igual base es igual a otra potencia que tiene por base la común y por exponente la diferencia de los exponentes del numerador menos el del denominador, ya que:

Página 24


3523

5

22222

2

2 222

2222

, hemos aplicado la definición

de potencia y la propiedad de la simplificación de factores comunes en la fracción.

De otro modo:

22332

3

3

3

23

3

5

221411

4

2

2

1

2

2

2

2

22

2

2

, ya que

el uno es el elemento neutro del producto, es decir, cualquier número, expresado éste en cualquier forma (decimal, fraccionaria, potencia, etc. ...), multiplicado por uno es igual a sí mismo, y además

11111 .


82222

222

2

2

2

2

64

51228 33

33

2

3

6

93

Una potencia con exponente negativo implica la base está en el denominador:

5325

3

2222

1

22222

222

2

2

, hemos aplicado la

definición de potencia y la propiedad de la simplificación de factores comunes en la fracción.

3.2.‐Radicales

Definición: La operación “radical” es la operación inversa a la potencial. Un radical es una

expresión de la forma , en la que n y a . Significa que hemos de encontrar un número tal que elevado a la potencia “n” del radicando obtengamos el valor “a”. Es fácil darse cuenta de que, si “a” es negativo y “n” par, como por ejemplo la raíz cuadrada ‐1, no existe solución dentro del conjunto de los números reales.

conveniente en según qué casos.

Potencias y radicales: También podemos expresar un radical con una expresión potencial.

La notación más usual es la descrita en la imagen de la

izquierda. Pero existe otra que puede ser más

Así, podemos utilizar las propiedades de las potencias ya estudiadas para trabajar con radicales de una manera más familiar.

Página 25


Radicales equivalentes: Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificar radicales: Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los

exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Racionalizar radicales: Racionalizar una fracción con radicales en el denominador, es encontrar

una fracción equivalente que no tenga raíces en el denominador.

5

53

55

53

5

3

9

92

99

92

9

2 7 6

7 67

7 6

7

4

42

44

42

4

2 5 2

5 25 3

5 2

5 3

3.3.‐Logaritmos

Definición: El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar

la base para obtener el número.

Siendo a la base, x el número e y el logarítmo.

Ejemplos:

Página 26


Según la base, hay logaritmos de uso “más común” que otros. Estos son:

Logaritmos decimales: Los logaritmos decimales o vulgares son los que tienen base 10. Se representan por log (x).

Logaritmos neperianos: O logaritmos neperianos son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).

Los logaritmos neperianios deben su nombre a su descubridor John Neper y fueron los primeros en ser utilizados.

Propiedades de los logaritmos:

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Página 27


Operaciones básicas con logaritmos:

Página 28


4.‐Ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y

logarítmicas. Aplicaciones.

4.1.‐Ecuaciones lineales

Definición: Las ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo ax + b = 0, con a ≠ 0, ó

cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.

En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita. Ejemplos de ecuaciones lineales

Despejamos la incógnita:

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:


Página 29


Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:


4.2.‐Ecuaciones cuadráticas

Definición: Una ecuación cuadrática también llamada de segundo grado es aquella en la que el

mayor exponente de la incógnita es el número 2. Ejemplo:

Las ecuaciones cuadráticas se dividen en dos grandes grupos: las ecuaciones cuadráticas

completas y las incompletas.

Ecuaciones cuadráticas completas. Son aquellas que tienen tres términos: término cuadrático, termino lineal y término independiente. Al término cuadrático también se le llama “término de 2° grado”, al término lineal también se la llama “término de primer grado”.

Ecuaciones cuadráticas incompletas. Son aquellas a las que les hace falta un término. En ocasiones les falta el término lineal o el independiente, pero nunca el cuadrático ya que dejarían de ser ecuaciones cuadráticas.

Las ecuaciones incompletas se dividen también en dos grupos: las ecuaciones incompletas mixtas y las ecuaciones incompletas puras.

Página 30


Ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas. Solo tienen término cuadrático y término lineal.

Ecuaciones cuadráticas incompletas puras. Solo tienen término cuadrático y término independiente

Solución de ecuaciones cuadráticas.

Resolver una ecuación significa encontrar el número o los números que hacen verdadera la igualdad. Las ecuaciones cuadráticas tienen dos soluciones llamadas “raíces de la ecuación”.

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas puras.

Primero despejamos la variable de tal manera que se quede sola en el lado izquierdo de la igualdad. Como la variable queda elevada al cuadrado, se aplica la definición de raíz cuadrada, encontrando así las dos soluciones de la ecuación.

Ejemplo: Resolvamos la siguiente ecuación, 4x2 – 16 = 0.

Es importante aclarar que las ecuaciones pueden presentarse de diversas formas: en ocasiones igualadas con cero, desordenadas con respecto al exponente, con los términos en los dos lados de la igualdad, etc.

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas.

Para resolver ecuaciones de este tipo, necesitamos que la ecuación esté igualada con cero, factorizamos la ecuación por factor común y aplicamos el criterio del producto cero.

El criterio del producto cero dice: “Si el producto de dos cantidades es cero, entonces una de las dos cantidades o las dos valen cero”.

Página 31


Ejemplo: Resolver la ecuación x2 – 3x = 0

Solución de ecuaciones cuadráticas completas por factorización.

Para resolver una ecuación cuadrática por este método debemos:

Igualar a cero la ecuación.

Factorizar el trinomio que compone la ecuación.

Igualar a cero cada uno de los dos factores.

Resolver las ecuaciones lineales resultantes.

Comprobar los resultados en la ecuación original.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación x2 + 5x + 6 = 0

Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el trinomio cuadrado

perfecto.

Para resolver una ecuación cuadrática por este método debemos:

Despejar el término independiente.

Agregar un término numérico en los dos lados de la igualdad para completar del lado izquierdo un trinomio cuadrado perfecto. Dicho término se calcula dividiendo entre 2 el coeficiente del término lineal y elevando el resultado al cuadrado.

Factorizar el trinomio cuadrado perfecto.

Despejar la variable.

Encontrar las soluciones.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación x2 + 6x – 7 = 0

Página 32


Solución de ecuaciones cuadráticas por fórmula general.

Hay una fórmula que nos permite resolver cualquier ecuación de 2° grado con una incógnita, dicha fórmula es:

a

acbbx

2

42 donde:

a = coeficiente del término cuadrático.

b = coeficiente del término lineal.

C = término independiente.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación 2x2 – 5x + 2 = 0

4.3.‐Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Ecuaciones logarítmicas: En las ecuaciones exponenciales alguna de las incógnitas aparece expresada bajo un

logaritmo. Para que las incógnitas estén libres, aplicaremos las propiedades de los logaritmos de forma conveniente.

El juego que se sigue suele ser el siguiente: los números que aparecen en la ecuación

logarítmica se expresan como logaritmos y luego se eliminan los logaritmos de la ecuación, quedando las incógnitas libres para ser despejadas.

Página 33


Ejemplo:

Solución:

Ecuaciones exponenciales:

En las ecuaciones exponenciales alguna de las incógnitas es el exponente en una potencia. Para quitar la incógnita de un exponente se usan a veces las propiedades logarítmicas. En otras ocasiones es útil expresar todos los términos en forma de potencia con la misma base.

Puede ser útil, en ocasiones recurrir a un cambio de variable para poder simplificar la

ecuación a resolver. Hay ecuaciones en las que tendremos que aplicar todos estos recursos.

Ejemplo:

Solución:

Página 34


5.‐Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Sistemas con tres incógnitas: Método de Gauss.

5.1.‐Sistemas con dos ecuaciones lineales y dos incógnitas Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una expresión de la forma:

ax + by = c donde a, b, y c son números (coeficientes) y las incógnitas son x e y.

Gráficamente representa una recta en el plano. Un ejemplo: representar la recta 2x + y = 1

Para representar una recta en el plano

1º Despejamos y. y = ‐2x + 1

2º Hacemos una tabla de valores dando los valores que queramos a la x.

3º Representamos los puntos en el plano y los unimos.

Atención !! Las soluciones de la ecuación anterior son los puntos por los que

pasa la recta, por lo tanto tiene infinitas soluciones, que hemos ido encontrando dando valores a la x.

Algunas de estas soluciones son: (‐2, 5), (‐1,3), (0, 1), (1,‐1), (2,‐3), (3,‐5)

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas será de la forma:

Página 35


Nuestro objetivo es resolver dicho sistema, es decir, encontrar los valores de x e y que

cumplen las dos ecuaciones a la vez. ¿Habrá siempre solución? ¿Habrá una única solución o infinitas? Podemos resolver gráficamente. Lo que tenemos son dos rectas en el mismo plano y se pueden dar tres situaciones:

Las rectas se cortan en un punto. Hay una solución, que es el punto de corte.

2º Las rectas son paralelas. No hay solución, pues las rectas no se cortan.

3º Las rectas son coincidentes. Hay infinitas soluciones, los puntos de una de las rectas.

Página 36


Para resolver un sistema analíticamente se pueden seguir tres métodos. Dependiendo de cómo venga expresado el sistema un método puede ser más fácil de aplicar que otro.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.

1.‐Se despeja una incógnita de una ecuación (la que te parezca más fácil de despejar)

2.‐Se sustituye en la otra ecuación, quedando una ecuación de primer grado.

3.‐Se resuelve la ecuación.

4.‐El valor obtenido para la incógnita lo sustituyes en una de las ecuaciones y operando obtenemos la otra.

¡¡Atención!!

En el paso 3 pueden suceder tres situaciones: * Si llegas a 0 = 0 entonces hay infinitas soluciones * Si llegas a 0 = k ( k distinto de cero) no hay

solución * Si llegas a un valor entonces hay una solución

única y haces el paso 4.

Este método resulta fácil de aplicar cuando una de las incógnitas tiene coeficiente igual a uno o cuando una de las incógnitas te la dan ya despejada.

MÉTODO DE IGUALACIÓN.

1. Se despeja la misma incógnita de las dos ecuaciones (la que te parezca más fácil de despejar)

2. Se igualan las expresiones quedando una ecuación con una incógnita

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido para la incógnita lo sustituyes en una de las ecuaciones y operando obtienes la otra. También se puede sustituir en una de las dos ecuaciones obtenidas en el punto 1.

¡¡Atención!!

En el paso 3 pueden suceder las tres situaciones descritas anteriormente. Este método es útil cuando la misma incógnita aparece ya despejada de las dos ecuaciones, en otro caso es más conveniente emplear cualquiera de los otros métodos pues son más cortos.

MÉTODO DE REDUCCIÓN

Antes de desarrollar este método recuerda que dada una ecuación ax + by = c, otra equivalente (con las mismas soluciones) se puede obtener multiplicando toda la ecuación por un número distinto de cero. Así las siguientes ecuaciones tienen las mismas soluciones

2x + y = 1 10x + 5y = 5 4x +2y = 2

Página 37


Para aplicar el método de reducción se multiplicarán las dos ecuaciones o una de ellas por un número conveniente de manera que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente cambiado de signo en las dos ecuaciones.

1. Se elige la incógnita (la que te parezca más fácil)

2. Se hace que los coeficientes de dicha incógnita en las dos ecuaciones sean opuestos.

3. Se suman las dos ecuaciones quedando una ecuación con una incógnita que se resuelve.

4. Se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones.

¡¡Atención!!

En el paso 3 pueden suceder las tres situaciones descritas anteriormente. Este método es útil cuando los sistemas no están preparados para resolverlos por los otros dos métodos vistos.

5.3.‐Sistemas con tres incógnitas: Método Gauss

Definición: Al igual que un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, podemos encontrarnos

sistemas más complejos, tales como tres ecuaciones y dos incógnitas, tres ecuaciones y tres incógnitas, cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, etc. En este caso, estudiaremos los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Así mismo, estudiaremos uno de los métodos más comunes para su resolución.

La forma de los sistemas que vamos a estudiar es la siguiente.

Método Gauss: El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro

equivalente de forma que éste sea escalonado. Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos filas son iguales.

Una fila es proporcional a otra.

Una fila es combinación lineal de otras. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

Página 38


3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada

ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó ‐1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

Página 39


5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado

6º Encontrar las soluciones.

z = 1

− y + 4 ∙ 1 = −2 y = 6

x + 6 −1 = 1 x = −4

Página 40


6.‐Matrices. Representación matricial de sistemas de

ecuaciones.

6.1.‐Matrices Definición: Una matriz A de orden “m x n” es un conjunto de m por n elementos pertenecientes

a un conjunto, dispuesto en m filas y n columnas.

Los elementos a11, a12, etc. Pueden ser números de cualquier clase (enteros, fraccionarios,

reales, etc). Los subíndices corresponden al número de fila y de columna respectivamente. Dependiendo del número de filas o de columnas de la matriz, hay ciertas matrices que

reciben un nombre en concreto:

Si m = 1, se llama matriz fila.

Si n = 1, se llama matriz columna.

Si m ∫ n, se llama matriz rectangular.

Si m = n, se llama matriz cuadrada.

Si todos los elementos de la matriz son 0, se llama matriz nula.

Operaciones y propiedades con matrices Igualdad: Dos matrices A y B del mismo orden o dimensión, “m x n” (es decir, mismo número

de filas y columnas) son iguales si lo son todos los elementos correspondientes de cada una. Suma: Dadas dos matrices A y B del mismo orden o dimensión, “m x n” (es decir, mismo

número de filas y columnas), se define la matriz suma C = A+B como la matriz de orden o dimensión “m x n” (es decir, el mismo orden o dimensión que A y B) tal que:

La suma de matrices tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa: A+B = B+A

Página 41


Asociativa: (A+B)+C = A+(B+C)

Elemento neutro A + 0 = A (“0” es la matriz nula del mismo orden o dimensión de A).

Elemento opuesto: A + (‐A) = 0 (“0” es la matriz nula del mismo orden o dimensión de A).

Sólo se pueden sumar matrices semejantes. Es decir, que tengan el mismo orden o dimensión.

La resta de matrices es análoga a la suma. Producto por un número: Dada una matriz A de orden “m x n” y un elemento lœ√ (un

número real cualquiera), la matriz B = lA (producto de la matriz A por el número l) es una matriz del mismo orden de A, “m x n”, cuyos elementos son los de la matriz A multiplicados por l.

Propiedades del producto por escalares:

D

k(A+B) = kA + kB

(k1 + k2)A = k1A + k2A

(k1k2)A = k1A + k2A

0A = 0 (en este caso, 0 es el número real 0) Producto de matrices: Dadas dos matrices, A de orden “m x n” y B de orden “n x p”, su matriz

producto, C = AB, es una matriz de orden “m x p” (número de filas de la primera por número de columnas de la segunda). Para multiplicar matrices se toman los elementos de la primera matriz como vectores fila y los elementos de la segunda matriz como vectores columnas. De esta forma, la matriz producto estará formada por los productos escalares de los vectores fila de la primera matriz por los vectores columna de la segunda.

Página 42


de filas de la 2ª matriz. Si no, no se podría realizar el producto como está descrito.

A diferencia de lo visto hasta ahora, no todas las matrices se pueden multiplicar entre sí. Es necesario para poder multiplicar dos matrices que el número de columnas de la 1ª matriz sea igual al número

El producto de matrices no es en general conmutativo. De manera general, AB ∫ BA (en algunos casos ni puede realizarse uno de los dos productos). Aunque hay dos

A I = I A = A (donde I es la matriz identidad de mismo orden de A)

Propiedades del producto de matrices:

K(AB)= (kA)B = A (kB), con “k” un número real cualquiera.

columnas de la matriz At y las columnas de la matriz A, las filas de la matriz At. Por ejemplo:

excepciones:

A A‐1 = A‐1 A (donde A‐1 es la matriz inversa de A)

Asociativa: A(BC) = (AB)C

Distributiva por la izquierda: A(B+C) = AB + BC

Distributiva por la derecha (B+C)A = BA + CA

Trasposición de matrices: Dada una matriz A de orden “m x n” se define su matriz traspuesta,

que se denota como tA, A’ ó At, como a la matriz que se obtiene al intercambiar las filas y las columnas de la matriz A. De este modo, las filas de la matriz A, serán las

Las incipales propiedades de la trasposición de matrices son:

Bt

(kA)t = k At con k un número real cualquiera

lar o regular. En dicho caso, a la matriz B se le denomina inversa de A y se denota como A‐1.

, basta que su determinante sea distinto de 0. (Ver

cuadradas que tienen inversa, las propiedades generales de las matrices inversas son:

oducto es el producto de las inversas

pr

(At)t = A

(A+B)t = At +

(AB)t = At Bt

Matriz inversa: Sea una matriz A cuadrada de orden “n”. Si existe una matriz B del mismo

orden, tal que AB = I, donde I es la matriz identidad de orden “n”, se dice que A es una matriz inversible, no singu

Sólo las matrices cuadradas pueden tener inversa según la definición de arriba.

Aún siendo cuadradas, no todas las matrices tienen inversa. Para asegurar que una matriz cuadrada tiene inversaDeterminantes más adelante).

Suponiendo que A, A1 y A2 son matrices

La inversa de una matriz inversa es la propia matriz: (A‐1)‐1 = A

Si dos matrices admiten inversa, y suponiendo que se pueda realizar el producto de ambas, la inversa del prcambiadas de orden: (A1A2)

‐1 = A2‐1A1

‐1

Página 43


La inversa de la traspuesta es igual a la traspuesta de la inversa: (At)‐1 = (A‐1)t

6.2.‐Representación matricial de sistemas de ecuaciones. Es posible aprovechar las matrices y sus propiedades para resolver sistemas de ecuaciones de

ualquier tamaño.

Cualquier sistema puede expresarse o m de multiplicación de matrices. Por ejemplo:

c

en f r a

6

4

3

581

121

111

y

y

x

La ventaja de trabajar con matrices frente a los métodos tradicionales, es que nos permitirá

saber si el sistema tiene solución o no, y en caso de tener solución, cuántas soluciones tiene. [Ver “” del tema]

segunda incluye la columna de soluciones del sistema. Siguiendo con el ejemplo anterior:

Para simplificar, suelen estudiarse 2 matrices del sistema. La matriz de incógnitas, A, y la

matriz ampliada A*. La diferencia entre ambas es que la

581

121

111

A

6

4

3

581

121

111

*A

cuál serían los elementos correspondientes a las incógnitas y cuales a los resultados.

Muchas veces incluso ni siquiera se plantea la matriz A, si no directamente la matriz A*. La notación empleada para describir A* ya deja claro

Página 44


7.‐Gauss en matrices. Cálculo del rango de una matriz y de la

matriz inversa. Resolución de sistemas mediante matrices.

7.1.‐Gauss en matrices. Transformaciones elementales.

Introducción: Ya hemos visto cómo resolver sistemas de ecuaciones mediante Gauss. Vamos a

ver cómo aplicarlo a matrices y su utilidad para el cálculo del rango de una matriz, el cálculo de la inversa y la resolución de sistemas con matrices. Para explicar Gauss, primero explicaremos cómo podemos trabajar con matrices. Para ello,

tomamos de ejemplo la matriz A* del apartado anterior. La idea será ir aplicando transformaciones sencillas por filas de manera que obtengamos matrices equivalentes (igual que cuando aplicábamos Gauss a un sistema de ecuaciones lineales).

6

4

3

581

121

111

Supongamos que en la última fila, queremos “deshacernos” del elemento 1. Podemos restarle a la 3ª fila la 2º fila para tal propósito.

10

4

3

6100

121

111

6

4

3

581

121

11123 FF

La matriz obtenida es equivalente a la anterior, conservando las propiedades y la información de la anterior.

Podemos hacer varios pasos a la vez, siempre que no interfieran entre sí. Por ejemplo:

9

1

3

470

230

111

6

4

3

581

121

1111312

FFFF

Incluso podemos utilizar más de una fila para hacer una transformación o multiplicar una fila para la transformación:

0

4

3

002

121

111

6

4

3

581

121

11112233 FFF

Nunca pueden hacerse transformaciones por columnas. Para el método de Gauss sólo están permitidas las transformaciones por filas. Las transformaciones permitidas son las siguientes:

Multiplicar una o varias filas por un número.

Página 45


6

4

6

581

121

222

6

4

3

581

121

11112 F

12

16

3

10162

484

111

6

4

3

581

121

1113224

FF

Sumar o restar una o varias filas a otra.

10

4

3

6100

121

111

6

4

3

581

121

11123 FF

0

4

3

002

121

111

6

4

3

581

121

11112233 FFF

Pueden hacerse cambios en más de una fila a la vez.

Nunca se pueden transforma en el mismo paso las filas utilizadas para transformar otras.

No se pueden multiplicar filas entre sí.

7.2.‐Gauss en matrices. Rango de una matriz.

Definición: El rango de una matriz es el número de filas o columnas independientes de una

matriz dada. Nos define cuántas filas o columnas (la cantidad es la misma) no se pueden hacer de ceros. En algunos casos, nos es posible determinar el rango de una matriz a simple vista.

El rango de una matriz A se escribe Ran (A). Por ejemplo

0012

023

111

El rango de esta matriz es tres, Ran (A) = 3. No hay ninguna transformación posible que nos permita hacer ceros en todos los elementos de una fila o columna.

000

020

111

Página 46


En este caso, el rango es dos, Ran (A) = 2. Vemos que sólo hay dos filas con elementos distintos de 0.

En ocasiones nos es imposible saber a simple vista el rango de una matriz. En estos casos,

primero haremos transformaciones elementales hasta conseguir una matriz lo más simplificada posible.

Las transformaciones permitidas son las mismas que las descritas arriba.

003

021

204

4011

225

204

041

225

021123

12223

21FF

FFFF

FF

En este caso, inicialmente no podíamos saber el rango, pero mediante transformaciones llegamos a una matriz en la que no se puede hacer toda una fila o columna de ceros. Por lo tanto, Ran (A) = 3.

000

001

121

243

001

121

243

002

121

243

241

1211223

22

132 FFF

FFF

En este otro caso, tampoco podíamos saber el rango inicialmente. Mediante algunas transformaciones, conseguimos hacer una fila llena de ceros. En este caso, Ran (A) = 2.

Siguiendo con los ejemplos de arriba y tras haber hecho tantas filas de ceros como nos es

posible, podemos hacer algunas definiciones:

Las filas que no se pueden hacer ceros se llaman filas o columnas independientes.

El número de filas y columnas independientes en cualquier matriz es siempre igual. Es decir, una matriz tiene tantas filas como columnas independientes.

Las filas de ceros se llaman filas o columnas dependientes. Lo que significa es que mediante transformaciones elementales (también llamadas combinaciones lineales) podemos eliminar una fila o columna.

Si la matriz fuera resultado de ecuaciones lineales, significaría que una de las ecuaciones “nos sobra”. Es decir, que es redundante y no aporta nada al sistema y, por lo tanto, la podemos desechar.

Algunas propiedades a tener en cuenta en cuanto al rango de las matrices:

El rango máximo posible de una matriz es la menor de sus dimensiones.

Si la matriz es 3x5, el rango máximo es 3.

11111

00293

24342

Esto es porque al ser el rango el número máximo de filas y columnas independientes de una matriz, no puede ocurrir que halla 4 columnas independientes, puesto que el máximo de filas de la matriz es 3.

Página 47


Si una fila o columna es igual o proporcional a otra, directamente la podemos hacer de ceros.

00000

00293

24342

00293

00293

24342

La tercera fila es igual a la segunda

010

034

001

012

310

934

001

312

La tercera columna es proporcional a la segunda (es tres por la segunda). Este método para hallar el rango de una matriz no es el más adecuado en todas las ocasiones.

Es mucho más sencillo y útil el método mediante determinantes, que veremos en apartados posteriores.

7.3.‐Gauss en matrices. Inversa de una matriz.

Introducción: Mediante transformaciones elementales podemos hallar el inverso de una matriz.

No es el único método, pero sí es más global y cómodo en general. El método se basa en hacer transformar una matriz dada en diagonal mediante las

transformaciones elementales. Veamos un ejemplo:

Tenemos la siguiente matriz en la que es posible hallar su inversa (ver Determinantes más adelante).

013

140

211

Escribimos la matriz de nuevo y al lado otra matriz (separada para distinguirlas) diagonal.

100

010

001

013

140

211

Ahora, mediante transformaciones, intentamos hacer que nuestra matriz original se convierta en la de al lado. Mientras aplicamos las mismas transformaciones a la matriz identidad diagonal.

Página 48


3

5

123133

113

010

001

500

140

211

103

010

001

640

140

211

100

010

001

013

140

211F

FFFF

24

132

321

515153

515653

525251

100

040

011

515153

010

001

100

140

211F

FFFF

515153

201206203

207202201

100

010

001

515153

201206203

525251

100

010

01121 FF

Tras realizar el proceso, la matriz de la derecha es la inversa de la original.

013

140

211

A ;

515153

201206203

5252511A

Podríamos comprobarlo sin más que multiplicar una por la otra y ver que nos da la matriz identidad de orden 3.

100

010

001

515153

201206203

525251

013

140

2111AA

Página 49


8.‐Determinantes. Propiedades elementales de los

determinantes. Cálculo de determinantes. Rango de una matriz

con determinantes.

8.1.‐Determinantes. Cálculo y propiedades.

Definición: Los determinantes son un número real, característico de las matrices cuadradas de

cualquier orden. Sólo las matrices cuadradas tienen determinante. El resto de matrices no. El valor del

determinante puede ser positivo, negativo o cero.

A través de los determinantes y sus propiedades podremos extraer cierta información de manera más rápida y sencilla, en general, de las matrices.

Se utiliza la siguiente notación para designar el determinante de una matriz cualquiera, A. Ambas son análogas. No son las únicas, pero sí las más utilizadas.

Det (A) = |A| Aunque se puede hallar el determinante de cualquier matriz cuadrada, sin importar su orden,

nos vamos a centrar en hallar los determinantes de orden 2 y 3.

Determinante de matriz de orden 2:

Sea la matriz A genérica de orden 2:

Su determinante es:

Ejemplo numérico:

Determinantes de matriz de orden 3. Para este tipo de matriz, se utiliza la Regla de Sarrus. Este método es válido sólo para determinantes de orden 3:

Sea la matriz, A, genérica de orden 3:

Página 50


Su determinante es:

Para ello, hemos seguido la Regla de Sarrus.

El primer corchete corresponde al producto siguiendo el esquema de la izquierda. El segundo corchete, corresponde al producto siguiendo el esquema de la derecha. Vemos que al primero se le resta el segundo.

Ejemplo numérico:

Propiedades de los determinantes: El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: |A| = |At|

Si un determinante tiene una línea (fila o columna) de ceros, entonces su determinante es

cero.

Página 51


Si permutamos (intercambiamos) dos filas (o dos columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo.

Si una matriz tiene dos filas (o dos columnas) iguales, su determinante es cero.

Si multiplicamos cada elemento de una fila (o de una columna) de una matriz por un número, el determinante de esa matriz queda multiplicado por ese número.

Si una matriz tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es cero.

Si una fila (o columna) de una matriz es suma de dos, su determinante puede descomponerse en suma de los determinantes de dos matrices, del siguiente modo:

Si a una fila (o una columna) de una matriz se le suma una combinación lineal de líneas paralelas, el determinante no varía.

Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero (y recíprocamente).

Página 52


El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes:

El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal.

Si el determinante de una matriz es cero, dicha matriz no tiene inversa.

8.2.‐Rango de una matriz con determinantes.

Introducción: Ya hemos visto lo que es el rango de una matriz y como hallarlo mediante el

método de Gauss. El método con determinantes es más general y nos permite saber no sólo el rango de la matriz, si no información de la misma (si es que proviene de un sistema de ecuaciones lineales. Antes de explicar el método para hallar el rango de una matriz con determinantes, definiremos

lo que es el menor de una matriz.

Menor de una matriz: Dada una matriz cualquiera, A, se define su menor como otra matriz resultado de eliminar una o varias filas (o columnas) de la matriz original, A.

Ejemplo:

Página 53


Para hallar el rango de una matriz cualquiera, A, basta hallar los determinantes de sus menores. El mayor orden del determinante del menor de la matriz nos da el rango de la misma.

Vamos a ver los pasos a seguir con un ejemplo práctico. Tomemos la matriz B siguiente (fijémonos en que la matriz no tiene que ser cuadrada necesarioamente):

Primero vemos si podemos descartar una fila. Recordemos, podemos descartar una

línea si: Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos líneas iguales. Una línea es proporcional a otra. Una línea es combinación lineal de otras.

Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2

Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un menor d

orden 1 de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.

|2|=2≠0

Tendrá rango 2 si existe algún menor cuadrado de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

Tendrá rango 3 si existe algún menor cuadrado de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

Página 54


Como todos los determinantes los menores cuadrados de orden 3 son nulos, no tiene rango 3, por tanto Ran (B) = 2.

Si tuviera rango 3 y existiese algún menor de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4.

Página 55


9.‐Metodología y ejemplos.

9.1.‐Metodología.

Resolver ecuaciones en valor absoluto:

Sólo es necesario tener en cuenta que la expresión encerrada dentro del valor absoluto puede

ser positiva o negativa, con lo que habrá que tomar ésta una vez en valor positivo y una segunda vez con valor negativo, y resolver ambas por separado. Así:

Cómo resolver ecuaciones de 1er grado En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:

1º.‐Quitar paréntesis.

2º.‐Quitar denominadores.

3º.‐Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.

4º.‐Reducir los términos semejantes. 5º.‐Despejar la incógnita.

Cómo resolver ecuaciones de 2º grado Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax2+ bx +c = 0 con a ≠ 0.

Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Lo cual nos da dos soluciones posibles. Una para la suma de la raíz y otra para la resta de la raíz.

TODA ECUACIÓN DE 2º GRADO TIENE DOS SOLUCIONES. Puede ocurrir que ambas soluciones coincidan.

Cualquier ecuación de segundo grado se puede transformar en una como la descrita arriba, de manera que podamos aplicar la fórmula descrita.

Si b=0, entonces la ecuación es más sencilla de resolver.

Página 56


Que tiene solución si el radicando es positivo y siguen siendo dos soluciones, pero en este caso sólo difieren en el signo.

Cómo resolver inecuaciones de cualquier grado En general para resolver una inecuación de cualquier grado debemos seguir los siguientes

pasos:

1º.‐Quitar paréntesis.

2º.‐Quitar denominadores.

3º.‐Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.

4º.‐Reducir los términos semejantes. 5º.‐Despejar la incógnita siguiendo el método que corresponda, ya sea para primer o

segundo grado

A diferencia de las ecuaciones, hay que tener en cuenta que si multiplicamos por menos uno toda la ecuación, el signo de la inecuación cambia.

Página 57


9.2.‐Ejemplos prácticos.

E1.‐ Sea el intervalo I= (2, 5), representarlo gráficamente, como una desigualdad en línea y como una desigualdad en valor absoluto: Desigualdad en línea: 5 < x < 2

Desigualdad en valor absoluto: 2

3

2

7x

Gráficamente:

Es un intervalo abierto, luego no hay ni máximo, ni mínimo.

E2.‐ Sea el intervalo I = [‐1, 3]. Representarlo gráficamente, como una desigualdad en línea y como

una desigualdad en valor absoluto:

Desigualdad en línea: ‐1 < x 3

Desigualdad en valor absoluto: 21 x

Gráficamente:

Es un intervalo cerrado, luego el máximo es el 3 y el mínimo es el ‐1.

E3.‐ Resolver la siguiente ecuación en valor absoluto: 62 xx

Por definición de valor absoluto:

6)(

6)(6

2

22

xx

xxxx

Debemos resolver cada una por separado, la solución será el conjunto de valores reales que

satisface la ecuación inicial.

De la primera: 3; 2066 2122 xxxxxx

De la segunda: 06 , no hay solución real 6)( 22 xxxx

NOTA: Para resolver las ecuaciones de 2º grado hemos utilizado la fórmula:

E4.‐ Transformar la siguiente desigualdad en valor absoluto en una desigualdad en línea y en un

intervalo: 34 x

Página 58


711

7

3)4(

3)4(34

xx

x

x

xx

I = [1, 7].

E5.‐ Resuelve la siguiente ecuación de primer grado: xx

x

1)3

21(

3

2

Primero deshacemos el paréntesis interno: xx

x

13

21

3

2

Después el segundo paréntesis (el corchete): xx

x

133

)2(2

3

2

3

2

Operamos para simplificar, dejando denominador común:

xxxxxx

xx

x 9942669

9

9

9

9

42

9

6

9

61

9

42

3

2

3

2

Pasamos los términos con “x” a un lado y el resto a otro:

946926994266 xxxxxx

Simplificamos y despejamos:

11 xx

E6.‐ Resolver la siguiente ecuación de segundo grado directa: 0 652 xx Aplicamos la fórmula general directamente:

22

4

32

6

2

15

2

24255

12

61455065

22

x

xxxxxx

E7.‐ Resolver la siguiente ecuación de segundo grado: 18)13(6 xxx

En este caso, primero tenemos que operar para transformarla en una ecuación en la que

aplicar la fórmula general. Operamos siguiendo las normas básicas:

01871813618)13(6 22 xxxxxxxx

Una vez conseguido, aplicamos la fórmula sin más:

Página 59


2

1217

2

72497

12

)18(14770187

22

xxxx

2

2

4

92

18

2

117

x

xx

E8.‐ Resuelve la siguiente inecuación, dando el resultado como inecuación, intervalo y

gráficamente.

Intervalo: (1, ∞)

E9.‐ Resuelve la siguiente inecuación, dando el resultado como inecuación e intervalo.

Intervalo:

Página 60


E10.‐ Define los siguientes entornos y represéntalos gráficamente:

1) A = E(‐2 , 3) E(a, r) = (a ‐ r, a + r) A = E(‐2 , 8) = (‐2 ‐ 3 , ‐2 + 3) = (‐5 , 1) A = {‐5 < x < 1}

2) B = E*(‐5, 4) E*(a, r) = E(a, r) ‐ {a} = (a ‐ r, a) » (a, a + r) B = E*(‐5, 4) = E(−5, 4) ‐ {−5} =

= ((−5) ‐ 4, −5) » (−5, (−5) + 4) = = (−9, −5) » (−5, −1)

B = {−9<x<−5, −5<x<−1 }

3) C = E+(4, 3) E+(a, r) = (a, a + r) C = E+(4, 3) = (4, 4+3) = (4 , 7) C = {4<x<7}

4) D = E−(0, 6) E+(a, r) = (a ‐ r, a) D = E−(0, 6) = (0−6, 0) = (−6 , 0) D = {4<x<7}

Página 61


Actividades de aplicación.

1.‐Valor absoluto

E1.‐ Resolver las siguientes ecuaciones en valor absoluto:

a) 73x b) 95x2 c) 114x3

d) 82

5x

e)

3

2

5

19x2

f) 6

3x

5x3

g) 7

5

4x

3x4

h) 6x5x 2 i) 6x5x 2

j) 91x2 2 k) 5

7

1x

3x2

l) 225x12

E2.‐ Resolver las siguientes ecuaciones en valor absoluto:

2.‐Intervalos y entornos

E3.‐ Escribir las siguientes desigualdades mediante intervalos abiertos, cerrados o semiabiertos

a) 2

3x b) 6x

3

7 c) 11x11

d) 8

3x

4

3 e)

2

5x

5

2 f)

7

2x4

g) x 15x57 h) i) 7

9x

7

1

j) 9

8x

5

4 k)

3

1x2 l)

6

5x

3

2

m) 5

4x

4

1 n)

5

2x

3

1

Página 62


E4.‐

1) A = E(‐2 , 3) 2) B = E*(‐5, 4) 3) C = E+(4, 3) 4) D = E−(0, 6) 5) F = E (0, 7)

Define los siguientes entornos y represéntalos gráficamente:

3.‐Potencias y radicales

E5.‐ Efectúa las siguientes operaciones con potencias dando el resultado en forma de producto o cociente de potencias de b imo y exponente positivo:ase un número pr

a) 33 53 b) 5232 2523 532532 223

c) d) 3333 6547 2232 52527

e)

5

334

213

2173 f) 54 g) 3 32

h)

a3

3

52

23

723 i) 2233 a33a j)

3

5

4

4

3

3

2

E6.‐ Efectúa las siguientes operaciones con potencias dando el resultado en forma de potencia de base y expo s los creas s adecuados en

nente que má cada caso:

a) b) 323 44 223 55 c)

247

d) e) 134 2,42,4

253 77 f) 339

g) 232 h) 99

3

3

1 i) 32

9

j) 2 k) 242 97

429 l) 3227

m) n) 232 48

252 39 o) 433 816

p) q) 322 927 252 33 r)

375 1,51,5

s) t) 353 55

134 2,32,3 u) 243 77

v) w) 273 99 46 103109

E7 Efectúa las siguientes o ciones dando el re com na sola potencia:.‐ pera sultado o u

a) 222 753 b) 3465 44 4 c) 542 333

d) 2311 22 e)

232 84 f) 332 48

g) h) 433 42

4323 816 i) 322 255

j) 442 279 k) l) 5312 82

123 366

Página 63


E8 Calcula en cad onente a, para qu lan igualdades:

a) b)

.‐ a caso el valor del exp e se cump las

1425a 333 62a5 222

c) 102a5 66

d) 2025ae) 555

2a23

2

1

2

1

2

1

2

1

f) 4a2

5

1

5

1

g) 49

a

1

2

h) 723 2a2

j) k)i) 2163 8a8 824 11a 1154 3a3

E9.‐ Realiza las siguientes operaciones simplificando al máximo los resultados y dando este en forma de potencia:

a)

3

34

12

62 b)

673

8

3

4

9

4

3 c) 233 221

d) 422 ca

e)

32

5

5

32

5

32 2

2

2

1

23

33

b

bca f) 342 212

g) 442 c42

4c2

33

h)

53

2

2

53

2

53 2

2

2

1

23

i)

53

2

2

53

2

53 2

2

2

1

23

j) 51624 2233

23232 66825

k)

43

4

23

5

32 l) 2326 333

E10.‐ ¿Cuántas raíces tienen los siguientes radicales? ¿Cuáles son?

E11.‐ Simplifica los siguientes radicales:

E12.‐ Extrae todos los factores posibles de la raíz correspondiente:

Página 64


E13.‐ Realiza las siguientes operaciones:

E14.‐ Realiza las siguientes operaciones y simplifica si es posible:

E15.‐ Resuelve las siguientes operaciones simplificando tanto como sea posible:

5.‐Logaritmos

E16.‐ Calcula el valor de los siguientes logaritmos:

E17.‐ Hallar la base de los logaritmos en las siguientes igualdades:

E18.‐ Resuelve los siguientes igualdades aplicando la definición de logaritmo:

Página 65


E19.‐ Sabiendo que log 2 = 0,3010, calcula el logaritmo de los siguientes números:

6.‐Ecuaciones lineales e inecuaciones

E20.‐ Resuelve las ecuaciones

a) x2−25=0 b) x211=0 c) 2x 2−6=0

d) x 2−5x =0 e) 3x

2−24 =0 f) −2x

2x=0

g) x2 x−6=0 h) 2x 2−8x −10=0 i) x 22x 1=0

j) 2x 2−5x 3 =0 k) x 3 x−2=24 l) x4 x−4 15=x5

E21.‐ Resuelve las siguientes inecuaciones:

E22.‐ Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado:

a) b) x52x3 x32x1 c) 63x32

Página 66


d) x32x233 e) 221332 xxx

f)

x34

x

2

8x4

5

3x3 g)

3

x8x32

h)

43

x51x3

2

1x i)

21x

3x2

j)

31534

1423

3113 xx

x

k)

3

21

2

5x3

x

2

13

3

x3

l) 32

2

32

2

3

4

23

xx

xx

xx

E23.‐ Escribir como una desigualdad en valor absoluto los siguientes intervalos:

a) 7x3 b) 12,2I c) 6x0

d) e) 2,4I 5x3 f) 5,2I

g) h) 12x3 1x12 i) 12,4I

E24.‐ Resolver las siguientes desigualdades. Represente las soluciones en notación de intervalos y geométricamente.

E25.‐ Resuelve las siguientes inecuaciones con dos incógnitas:

E26.‐ Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de 6 € el litro y la segunda de 7,2 € el litro. ¿Cuántos litros hay que utilizar de cada clase de aceite para obtener 60 litros de mezcla a 7 € el litro?

E27.‐ Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51.

E28.‐ Tres hermanos se reparten 1300 €. El mayor recibe el doble que el mediano, y éste el cuádruple que el pequeño. ¿Cuánto recibe cada uno?

E29.‐ Un padre tiene 47 años y su hijo 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea el triple que la del hijo?

Página 67


E30.‐ Dos ciclistas avanzan uno hacia otro por una misma carretera. Sus velocidades son de 20 Km/h y 15 Km/h. Si les separa una distancia de 78 Km, ¿Cuánto tardarán en encontrarse?

E31.‐ Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 60 Km/h. Dos horas más tarde sale en su persecución un coche a 100 Km/h. ¿Cuánto tardarán en encontrarse?

E32.‐ En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura y el perímetro mide 76 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

E33.‐ Hallar la edad de una persona sabiendo que si al cuadrado se le resta el triple de la edad resulta 9 veces esta.

E34.‐ Dividir 10 en dos partes cuya suma de cuadrados sea 52.

E35.‐ Un rectángulo tiene 24 m de perímetro y 35 m 2

de área. Halla sus dimensiones.

E36.‐ Si a un lado de un cuadrado se le alarga en 2 m y al lado contiguo en 7 m, obtenemos un

rectángulo cuya área es 22m2 más que el doble del área del cuadrado. Calcula el lado del

cuadrado.

E37.‐ Calcula los lados de un rectángulo, sabiendo que la base excede en 2 m el triple de la altura, y

que el área del rectángulo es de 320m 2.

7.‐Ecuaciones cuadráticas

E38.‐ Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas.

1) x2 – 9 = 0 2) x2 – 36 = 0 3) 4x2 = 4

4) 3x2 = 27 5) 6x2 – 24 = 0 6) 7x2 = 112

7) x2 – 6x = 0 8) x2 + 2x = 0 9) x2 = 7x

10) 3x2 + 7x = 0 11) 5x2 + 3x = 0 12) 3x2 = 6x.

E39.‐ Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completas por factorización.

13) x2 + 7x + 10 = 0 14) x2 – 4x = 21 15) x2 + 3x = 4

16) x2 + 8x + 15 = 0 17) x2 + x = 6 18) x2 + x = 20

19) x2 + 13x + 36 = 0 20) x2 + 7x – 18 = 0 21) x2 – 21x + 20 = 0.

E40.‐ Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completando los trinomios cuadrados perfectos

22) x2 + 8x – 9 = 0 23) x2 + 10x + 16 = 0 24) x2 + 2x = 3

25) x2 + 6x + 5 = 0 26) x2 – 4x = 5 27) x2 + 11 = 12x

28) x2 + 21 = 10x 29) x2 + 12x + 32 = 0 30) x2 + 6x = 16

E41.‐ Resuelve las siguiente ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general.

31) 3x2 – 12x – 15 = 0 32) 2x2 + 14x + 20 = 0 33) 3x2 – 3x = 36

34) 2x2 + 2x = 12 35) 5x2 – 10x – 15 = 0 36) 2x2 + 6x = 8

37) 3x2 – 3x = 18 38) 2x2 + 18x + 40 = 0 39) 6x2 + 24x + 18 = 0

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40) 10x2 – 50x + 60 = 0 41) 3x2 + 12x = 63 42) 6x2 – 24 x = 30.

E42.‐ Mateo es dos años mayor que Patricia y la suma de los cuadrados de sus edades es de 514 años, ¿cuáles son sus edades?

E43.‐ El área de un rectángulo es de 88 m2. Si su largo es 3 m mayor que su ancho, ¿cuáles son sus dimensiones?

E44.‐ El producto de dos números impares consecutivos es 143, ¿cuáles son los números?

E45.‐ Entre cierto número de jóvenes compran una bicicleta de $1645.00. El dinero que paga cada uno excede en 228 al número de jóvenes. ¿Cuántos jóvenes compraron la bicicleta?

E46.‐ Andrés tiene 3 años mas que Beto y el cuadrado de la edad de Andrés aumentado en el cuadrado de la edad de Beto equivale a 317 años. Hallar ambas edades.

E47.‐ Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800, ¿cuáles son esos números?

E48.‐ Hallar dos números consecutivos tales que el cuadrado del mayor exceda en 57 al triple del menor.

E49.‐ La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el número menor es 184. Hallar los números.

E50.‐ La suma de las edades de Pepe y Luis es de 23 años y su producto 102. ¿Cuáles son sus edades?

E51.‐ Una compañía de 180 soldados está colocada en filas. El número de soldados de cada fila es 8 mas que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas hay y cuantos soldados en cada una?

8.‐Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

E52.‐ Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:

E53.‐ Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales monómicas:

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E54.‐ Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales trinómicas:

E55.‐ Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales polinómicas:

9.‐Sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

E56.‐ Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método más apropiado.

E57.‐ Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones propuestos.

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E58.‐ Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas:


E60.‐ Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales con dos incógnitas:

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10.‐Sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: Método Gauss

E62.‐ Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el Método Gauss:

E63.‐ Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el Método Gauss


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E67.‐ Discute y resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas de ecuaciones que dependen de un parámetro:

E68.‐ Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C. ¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?

E69.‐ Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento.

E70.‐ Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de cada uno de estos tipos necesitó la utilización de ciertas unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla siguiente. La compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio. Si la compañía utilizó todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó?

E71.‐ En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla.

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a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada sabor se compran a la semana.

b) Resuelve, mediante el método de Gauss, el sistema planteado en el apartado anterior.

E72.‐ En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres.

a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay?

b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay?

11.‐Matrices

E73.‐ Dada la matriz A, comprueba que A2 = 2A ‐ I, siendo l la matriz identidad. Tras comprobar la igualdad, utilízala para calcular A4.

E74.‐ Si la matriz A satisface la igualdad A2 + xA + yI = 0, halla los valores numéricos de x e y. (I representa la matriz identidad de orden 2 y x e y son números reales cualesquiera).

E75.‐ Si I es la matriz identidad de orden 2, halla el valor que deben tener “x” e “y” para que A2 ‐ xA ‐ yI =0, siendo A:

E76.‐ Dada la matriz A:

a) Calcula AtA y AAt, donde At denota la matriz traspuesta de A

b) Encuentra las matrices X, tales que: AAtX = X

c) Encuentra todas las matrices Y, tales que AtAY = Y

E77.‐ Los consumos anuales de agua mineral, pan y leche de tres familias vienen expresados en la matriz A. La evolución de los precios de los años 1997 a 2000 viene reflejada en la matriz B.

a. Hallar, si es posible, A ∙ B y B ∙ A e indicar que información proporciona el producto matricial.

b. ¿Qué información nos da el elemento C34 de la matriz producto?

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E78.‐ En una acería se fabrican tres tipos de productos que llamaremos A, B, y C, que se obtienen a partir de chatarra, carbón mineral y ciertas aleaciones metálicas, según la tabla adjunta, que representa las unidades de cada material necesaria para fabricar una unidad de producto:

Obtener una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones necesarias para la producción de 6 unidades de A, 4 de B y 3 de C.

E79.‐ En una compañía se utilizan tres tipos de materiales (madera, plástico y aluminio) para fabricar tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás, según la tabla:

Obtén, matricialmente, las unidades de madera, de plástico y de aluminio que se han utilizado para fabricar 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.

E80.‐ Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1; 1,5 y 2 cm con los precios respectivos siguientes:

Clavos A: 0,20 0,30 0,40 céntimos de euro Clavos Q: 0,30 0,45 0,60 céntimos de euro Clavos H: 0,40 0,60 0,80 céntimos de euro

Sabiendo que en un minuto se producen:

De 1 cm de longitud: 100A 50Q 700H De 1,5 cm de longitud: 200A 20Q 600H De 2 cm de longitud: 500A 30Q 400H

Se pide:

a) Resume la información anterior en dos matrices: M y N. M que recoja la producción por minuto, y N que recoja los precios. b) Calcula el elemento a11 de la matriz M ∙ N y da su significado. c) Calcula el elemento a11 de la matriz N ∙ M y da su significado.

E81.‐ Calcula, si es posible, la inversa de las siguientes matrices:

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E82.‐ Se considera la siguiente matriz:

Donde a, b y c son tres números reales arbitrarios.

a) Encuentra An para todo n natural.

b) Calcula (A35 ‐ A)2

E83.‐ Dadas las matrices siguientes:

a) Comprueba que

b) Halla una matriz X, tal que AX = B

E84.‐ Halla la matriz X que verifica BX = A, siendo A y B las siguientes matrices:

E85.‐ Resuelve la ecuación matricial XA = B, siendo A y B las siguientes matrices:

E86.‐ Halla la matriz X que verifica AX + B = 0, siendo las matrices A, B y 0 las siguientes:

E87.‐ Resuelve el siguiente sistema matricial:

E88.‐ Halla la matriz resultado de X2 + Y2, donde X e Y son las matrices que verifican el siguiente sistema matricial a resolver:

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12.‐Determinantes

E89.‐ Halla los determinantes de las siguientes matrices:

E90.‐ Calcula mediante determinantes el rango de las siguientes matrices:

E91.‐ Sabiendo que A y B son matrices de orden 3 tales que A=5 y B=‐6, calcular:

a) AB b) B t c) AB At d) ( AB)t e) A‐1 f) 2B g) A2

E92.‐ Calcular, mediante menores, el rango de las siguientes matrices según los valores reales del parámetro a.

E93.‐ Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

E94.‐ Si el valor del determinante A=25, calcular el valor del determinante B.

E95.‐ Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

E96.‐ Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

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E97.‐ ¿Para qué valores de x y m las matrices siguientes no admiten inversa no admite matriz inversa?

Apuntes Aritmetica y Algebra-Grado Superior CyL

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