Apuntes Columnas e Inestabilidad 2015

7/25/2019 Apuntes Columnas e Inestabilidad 2015

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COLUMNAS EINESTABILIDAD

Julio

Vergara

Aimone

ICM 2082


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J.Vergara ICM2082

En otras sesiones se ha visto que las cargas ex-ternas se traducen a la superficie e interior de uncomponente mecnico, configurando estados de

esfuerzos en elementos diferenciales de volumen.Han visto los tipos de carga elemental a las quepodra estar sometido un componente mecnico,lo que permite revisar sus puntos crticos.

Dentro del lmite elstico, se pueden superponerestas cargas (esfuerzos) y aplicarles algn con-centrador de esfuerzo en caso que se justificara.

INTRODUCCION


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J.Vergara ICM2082

En esta sesin veremos que ciertos elementos demquinas y estructuras pueden ser sometidos acargas de compresin aparentemente bajas, que

se tornan inestables y colapsan.Veremos este fenmeno y el efecto en el diseo.Esto es comn en soportes, cilindros y placasbajo cargas crticas, que experimentan cambios

notables de geometra (comba, arruga, flexin opandeo) y deflexiones, que conlleva al colapso,con un nivel de esfuerzo inferior al admisible. Deeste modo, tendremos otro mdulo para diseo.

INTRODUCCIN


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TEMARIO

COLUMNAS

INESTABILIDADPANDEO

CONCLUSIONES


5/57J.Vergara ICM2082

La columna fue una estructura arquitectnica delarga data, utilizada para soportar techos, lozasy monumentos sin requerir de paredes, dejandoadems vas de luz. Tambin se usaron aisladas.

Las primeras columnas sofisticadas datan de laEdad del Bronce (3000-1000 aC). Las columnasegipcias eran de piedra, las minoicas eran slo

troncos invertidos, que no eran tan durables.Evolucionaron hacia 3 grandes clases: Dricas,Jnicas y Corintias. Peor hay otras: Toscana,compuestas, etc.

COLUMNAS


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El edificio ms famoso fue el Partenn griego.

COLUMNAS

440 aC, Marmol blanco, columnas de 10.4 m de alto.


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Entablamiento

Columna

EquinoAbaco

Collarin

Nomenclatura de columnas:

COLUMNAS

Zcalo

Fuste

CapitelDrico Jnico Corintio


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Tambin son usadas en el presente:

COLUMNAS

1680 dC, Columnas toscanas, Plaza Oval de San Pedro


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Tambin en el interior de la Baslica de San Pedro.

COLUMNAS

Columnas salomnicas de bronce, de 20 m

Altar PapalBaldaquino


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Columnas modernas.

COLUMNAS

Columnas en el aeropuerto de Barajas, Madrid


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J.Vergara ICM2082

Descripcin de inestabilidad estructural

INESTABILIDAD

Ciertas estructuras y elementos de mquinas (i.e.soportes, cilindros, placas, etc. pueden ser some-

tidos a cargas de compresin que adquieren cier-to nivel crtico, y experimentan un cambio mayorde geometra (comba, arruga, flexin o pandeo) ynotables deflexiones que conlleva a un colapso, aun nivel de esfuerzo menor que el admisible.

Esta falla se define como inestabilidad o pandeo,la cual no depende de la resistencia del material,sino que de la geometra y del mdulo de Young.


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J.Vergara ICM2082


INESTABILIDAD

Esta falla impone un factor adicio-nal al diseo mecnico, pues un

acero de alta resistencia no estmejor calificado que uno de bajaresistencia de similar geometra.

El principio del pandeo se puede

representar por este mecanismoarticulado sujeto lateralmente porresortes que no actan cuando lacolumna est alineada.

A

C

D E

B

Pa


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INESTABILIDAD

Con Pa hay un desplazamiento (B) :Pa

d

A

C

D EB

A

C

B

Pa

Pa

L

L/2 cosa

Mom. (C) alterador: MAMom. (C) resistente: MR

C

Bd

PR= kdMA MR

L/2

tan = d

cos

2

L

Pa

Pa

Pa tan


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INESTABILIDAD

Mom :

Mom : MR = (kd) cosL

2Si MA > MR Pandeo

C

B

Pa

Pad

PR= kdMA MR

Pa tan

MA = (Pa tan)L

2cos + Pad =

L

2

Pa 2d

L coscos + Pad

2Pacd = (kd) cosL

2

Pac = coskL

4

Pac kL

4 es f (forma)tan =

d

cos

2

L


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Inestabilidad en columnas

INESTABILIDAD

Una columna tiene un comportamiento anlogoal mecanismo pivoteado en B. La diferencia es

que ac el momento resistente (MR) lo debe pro-veer la propia columna.

En este caso, la fallano es por compresin

sino por flexin, conuna deflexin lateralde modo inestable ypor debajo de sADM.


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Inestabilidad en columnas (cilndricas)

INESTABILIDAD

La industria del vino chileno,reemplaz, hace una dcada,

las tradicionales cubas demadera por acero inoxidable.

El cambio se realiz para

automatizar y replicar elproceso de fermentacin,aunque se perdiera algo dela artesana tradicional.
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Winery_with_fermentation_tanks.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Winery_with_fermentation_tanks.jpg


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J.Vergara ICM2082


INESTABILIDAD

Las cubas de acero ino-xidable sufrieron pandeo

en el pasado terremoto.Pandeo en so-portes de otrosestanques


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J.Vergara ICM2082


INESTABILIDAD

Casco de Presin

L= 1 a 2 D CubiertaTransiciones

Conos

Cabezal

o Domo

Los submarinos se disean para no sufrir inesta-bilidad.

d = 0.1 a 0.2 D

t = f( h, TT, D, s,...)

Mamparos

Cuadernas (refuerzo,

profunda, o tipo T)


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INESTABILIDAD

D

L

Deformacin (pliegues)entre cuadernas (n ~ 8):

Fluencia de Cascoentre cuadernas:

Inestabilidad o ColapsoGeneralizado (n ~ 3,4):

Modo preferible de falla

(predecible en Diseo).

Cuadernas algo espaciadas

y casco algo delgado

Cuadernas despreciables ycasco ms delgado

ModosdeFalla:


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INESTABILIDAD

Inestabilidad en columnas (estanques, F1)


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INESTABILIDAD

Inestabilidad en columnas (seccin de casco)


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INESTABILIDAD

Inestabilidad en columnas (rieles)


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Inestabilidad en columnas (ingeniera)

INESTABILIDAD

Este fenmeno puede ser usado positivamentepara absorber energa, en forma progresiva. Por

ejemplo, en el impacto en automviles.


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Inestabilidad en columnas

INESTABILIDAD

Ejemplo, qu deformacin toleraran 2 absorbe-dores de energa de un automvil de 1.2 ton a 15

km/h y un shock admisible de 3 g?

EA =1

2mv2 = 2 Fd

EA

=1

2=12004.22 2(120039.8)d

d = 15 cm

= 2 mad


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Descripcin de inestabilidad en columnas

PANDEO

Para una seccin elstica(y pequea) cualquiera :

L

P

P

P

P

P

y

d

e

y

P

e d

x

y

x

M

M = P [ e + (d - y) ]

M = EId2ydx2

d2y

dx2=

P

EI[ e + (d - y) ]

= k2 [ e + (d - y) ]y

=k2P

EI


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PANDEO

Una ecuacin diferencial describe este sistema:

P e

y

d

PM

= k2

(e +d

)y + k2

y

= A sen kx + B cos kx + Cy

= k2 (A sen kx + B cos kx)yDefinir A,B,C:

= k2 ( y - C )y

= k2 (e + d)k2 ( y - C ) + k2 y C = e + d

sol. homo. sol. part.


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PANDEO

Condiciones de borde del caso:

= - (e +d

) cos kx + (e +d

)yLuego:

y (x=0) = 0

P e

y

d

PM

y(x=0) = 0

= B + C0 B = - (e + d)

A = 0= A k0

= (e + d) [ 1 - cos kx ]y


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PANDEO

Mxima flecha yMAX = d, ocurre en x = L/2:

P e

y

d

PM

y = (e +d

) [ 1 - cos kx ]d

= (e + d) [ 1 - cos ]kL2

kL2

kL2

= e + d - e cos -dcos

d = e (1 - cos )kL2cos kL2

1

= e [ sec - 1 ]kL2

d = e [ sec - 1 ]L2

PEI =k

2 P

EI


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PANDEO

Es fcil notar que si P = 0, sec(0) = 1, y d = 0

P e

y

d

PM

d = e [ sec - 1 ]L2

PEI

e = 0PPCR

d

e > 0

sec kL2


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PANDEO

La flechad

aumenta sin lmite a medida queP PCR, el cual est determinado haciendo:

sec L2

PCREI

P e

y

d

PM

n = 1, 2, 3, L2

= np2

PCREI

El modo fundamental n = 1:

=p

2EIL2

PCR Carga crtica

9PCRPCR 4PCR


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PANDEO

El mismo resultado se obtiene para e = 0, ya quela flecha ser nula para kL/2 = p/2:

P e

y

d

PM

= P ( e + d )MMAX

El mximo M ocurre en L/2:

d

= e [ sec - 1 ]L2

PEICon:

MMAX = PesecL2

PEILuego:


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PANDEO

Por superposicin, se conoce el mximo esfuerzode compresin:

P e

y

d

PM

Se define Radio de Giro:

SE =L

k

=I

AI = Ak2

Se define adems laRazn de Esbeltez (SE):

Ejemplos: = D4 = h63

=MAX + PAMMAXc

I


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PANDEO

Por superposicin, se conoce el mximo esfuerzode compresin (cont):

P e

y

d

PM

=MAX + PAMMAXc

I

c

Ak2Pesec

L

2

P

EI=MAX+

P

A

eck

2sec

L

2

P

EI=MAX+

P

AP

A

Se define excentricidad:

eck

2


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PANDEO

Por superposicin, se conoce el mximo esfuerzode compresin (cont):

P e

y

d

PM

secL

2

P

EI=MAX

eck

2

P

A1 +

secL

2kP

EA=

eck

21 +P

AsMAX

-1

=MAX + PAMMAXc

I

Frmula dela secante:


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PANDEO

Si se establece un esfuerzo mximo, se acota elvalor de P a un valor crtico PCR:

PCR e

y

d

PCR

M

Ecuacin

de Euler:

PCR =p

2EIL2

=p

2EAk2

L2

=p

2E

(L/k

)2

=p

2EA(L/k)2

PCR

A

= sCR

Es la carga sobre la cual una columna rectacolapsara (es independiente del material).


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PANDEO

Graficando la ecuacin de Euler:

P/A

sy

L/kRazn de Esbeltez

=p

2E

(L/k)2PCRA

PandeoCedencia

A B

C

> E< E

Zona de Falla

Zona de Falla


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PANDEO

Experimentalmente:

P/A

sy

L/kRazn de Esbeltez

=p

2E

(L/k)2PCRA

PandeoCedencia

A B

C

Zona de Falla

Zona de Falla


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J.Vergara ICM2082


PANDEO

Similar utilidad tiene la frmula de la secante:

P e

y

d

PM

PCRA

secL

2kPCREA

= eck

21 +

sy

Esta expresin no es fcil de resolver, ya

que PCR est en ambos lados.En rigor, PCR/A no se debe tratar como unesfuerzo, debido a su carcter no lineal,aun cuando tiene las mismas unidades.


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P/A

syA B

C

L/kRazn de Esbeltez


PANDEO

Grficamente la frmula de la secante

Euler:

secL

2kPCREA

eck

21 +

sy

eck

2

1.0

0.60.30.1

Zona de Falla


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J.Vergara ICM2082


PANDEO

Los datos experimentales son dispersos, en es-pecial cerca del punto B. Esto se debe a que es

difcil construir un arreglo experimental en estacondicin (esfuerzo residual, defectos, carga nocentrada, etc.). Una forma de suplir este proble-ma es mediante la frmula parablica (Johnson).

FrmulaParablica:

=PCRA

L

k

a b2

a y b = constantes

de ajuste


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PANDEO

La forma parablica ms usada se logra igualan-do el intercepto con sy y haciendo que las curvas

de Euler y Johnson sean tangentes en P/A =s

y/2.PCRA

=p

2E

(L/k)2=sy

2

L

k

2

=2p2E

sy

= sy b 2p2Esy

s

y

2

sy2

4p2E=

PCRA

L

k

y2

b = sy24p2E


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J.Vergara ICM2082

P/A

syA B

C

L/kRazn de Esbeltez


PANDEO

Graficando la ecuacin Parablica:

B PCRA

=sy

2

4p2E

L

k

sy2

sy

2 p2E(L/k)2

Zona de Falla

Johnson

Columnas cortas

Columnasmedianas

Columnas largasEuler


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PANDEO

Hay otras relaciones empricas para ajustar estainformacin al diseo de columnas:

=PCRA L

k

1 + b2

a Frmula deGordon-Rankine

Los sistemas normativos adoptan las constantes,

pero podemos repetir el procedimiento anterior,con

sy cuando la razn de esbeltez es cero y unatangente de Euler y G-R en P/A = sy/2


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J.Vergara ICM2082


PANDEO

En forma anloga al caso parablico:

=PCRA =p

2

E(L/k)2s

y2 L

k

2

= 2p

2

Esy

b =sy

2

2p2E=y

2

1 + b

sy

2p2E

s

y

=PCRA L

k

1 +2

sy

sy2

2p2E


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J.Vergara ICM2082

P/A

syB

C

L/kRazn de Esbeltez


PANDEO

Graficando la ecuacin de Euler y Johnson:

Zona de Fallasy

2

4p2E

L

k

sy2

Euler

Johnson

Columnas largas

Columnas medianas

p

2E(L/k)2

sy

2

B

C

D

A

Columnas cortas


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J.Vergara ICM2082


PANDEO

Para diferentes materiales:

P/A

L/k

Zona de FallaA

CEuler

p

2E(L/k)2

sy1

sy2

sy3

Bsy

2

4p2E

L

k

y2A52-34

A42-27

A37-24

D1

Johnson

D2D3

115100

Razn de Esbeltez


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Efecto de los extremos en la inestabilidad

PANDEO

Tanto la frmula de la Secante cono la frmulade Euler se dedujeron con la hiptesis de mo-mento flector M nulo en los extremos.

Para considerar otras posibilidadesde apoyo en los extremos, la longitud(l) de la columna en estas ecuaciones

deber ser reemplazada por un largoefectivo (le).

PCRe

y

d

PCR

M

M


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J.Vergara ICM2082


PANDEO

Los casos de los extremos son los siguientes:

a) Ambos libres.

b) Ambos empotrados.c) Uno empotrado, otro articulado.d) Uno empotrado, otro con traslacin.e) Ambos articulados.

f) Uno empotrado, otro libre.g) Uno articulado, otro con traslacin.


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(g)(f)(e)(d)(c)(b)(a)


PANDEO

Le

Terico

Norma

1.0L

1.0L

0.5L

0.6L

0.7L

0.8L

1.0L

1.2L

1.0L

1.0L

2.0L

2.1L

2.0L

2.0L


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J.Vergara ICM2082


PANDEO

Uso de la longitud equivalente (extremos):

P/A

sy

L/k

Zona de FallaA B

C

sy2

4p2E

Lek

sy2

p

2E(L/k)2

sy

2Le=L

D

Le=0.8L

Le=2.0L

Razn de Esbeltez


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Ejemplo de inestabilidad en columnas

PANDEO

3 m

2 m

El pescante doble rebatiblesostiene el bote de la figura

Interesa evaluar la estabili-dad de las columnas (A-B)para soportar un bote de 1ton, con un factor de segu-

ridad 1.5. La seccin B delsistema es una gua.

A

B

C

PANDEO


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J.Vergara ICM2082


PANDEO

3 m

Las barras de acero A37-24disponibles, son:

kg/m A(cm2) W(cm3) k(cm)31.6 40.3 154 5.67

28.3 36.0 139 5.70

25.4 32.3 126 5.73

24.0 30.6 120 5.7422.3 28.4 112 5.76

20.8 26.4 105 5.77

20.1 25.7 102 5.78

A

B

C

A

B

P=500 kgM=1000 kgm

2 m

PANDEO


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J.Vergara ICM2082


PANDEO

Con n=1.5, PCR= 750 kg (7358 N).

Adems, Le = 2 L

A

B

P=500 kgM=1000 kgm

sy2

4p2E

Lek

sy2

s

CR < sADM

Relacin de esbeltez (mink

):

Lek

=2300

5.67= 105.8 < 115 (parbola de Johnson)

Criterio:

+F

A

Mc

I

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