Apuntes Cuantica Relativista(Traduccion Por Yo)

INTRODUCCIÓN A LA MECANICA CUÁNTICA RELATIVISTA

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS

ESCUELA PROFESIONAL DE FISICA

APUNTES DE:


PROFESOR:

Dr. RAFAEL E. CARLOS REYES

2011

INTRODUCCION A LA MECANICA CUANTICA RELATIVISTA

1.-INTRODUCCION

De la mecánica cuántica no relativista, es decir la ec. de Schrödinger, tenemos:

Prof. Dr. Rafael E. Carlos Reyes 1


E= p2

2 m+V

E → iℏ ∂∂t

, p →−iℏ∇ ,

iℏ ∂∂ t

Ψ= ℏ2

2m∇2Ψ +V Ψ (1)

Ahora nos interesa extender la mecánica cuántica al dominio relativista. Lo que primero que haremos será buscar una ecuación de onda relativistica, para una sola partícula, para reemplazar la ecuación de Schrödinger. Esto producirá que la forma de la ecuación relativistica dependa del spin de la partícula

Spin 0 ecuación Klein- Gordon

Spin12

ecuación de Dirac

Spin 1 ecuación de Proca

etc.

Es útil estudiar estas ecuaciones de una partícula y sus soluciones para ciertos problemas. Sin embargo, en cierto punto esta teoría cuántica relativistica de una partícula encuentra inconsistencias fatales y se viene abajo.

Esencialmente, esto es debido a que en relatividad especial la energía es conservada, mientras la masa no. Partículas con masa pueden ser creadas y destruidas en procesos físicos reales. Por

ejemplo, la aniquilación de pares e+¿e−¿→ 2γ ,¿¿ el decaimiento del muón μ−¿ →e−¿ νeνμ.¿ ¿ Ellos no

pueden ser descritos por la teoría de una sola partícula.

En ese punto nos vemos forzados a abandonar la ecuación de onda relativista para una sola partícula e ir a una teoría de muchas partículas, en la cual las partículas pueden ser creadas y destruidas, esta es, la teoría del campo cuántico, lo cual es el tema del curso.

2.- RESUMEN DE RELATIVIDAD ESPECIAL

Un evento ocurre en un solo punto en el espacio tiempo y está definido por sus coordenadas

xμ , μ=0,1,2,3 ,

x0=ct , x1=x , x2= y , x3=z (2)

en cualquier sistema dado.

El intervalo entre dos eventos xμ y xμ es llamado s,

s2=c2 ( t−t )2−( x−x )2−( y− y )2−( z−z )2



¿(x0−x0)2−(x1−x1)2−(x2−x2)2−( x3−x3)2 (3)

Definimos la métrica

gμν=(1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 1

) (4)

entonces podemos escribir

s2=∑μ , ν

gμν ( x μ−xμ ) ( xν−x ν)=gμν Δ xμ Δ xν

¿¿ (5)

donde hemos usado la convención de Einstein: índices repetidos (1 superior + 1 inferior) son sumados excepto cuando se indique lo contrario.

TRANSFORMACIONES DE LORENTZ

Los postulados de la Relatividad Especial nos dicen que la velocidad de la luz es la misma en

cualquier sistema de referencia inercial. s2 es invariante bajo transformaciones de un sistema de

referencia inercial a cualquier otro. Tales trasformaciones son llamadas transformaciones de Lorentz. Solo necesitaremos discutir aquí las transformaciones homogéneas de Lorentz (bajo las cuales el origen no está corrido);

x ' μ=Λνμ xν (6)

gμν xμ xν=gμν x ' μ x ' ν

¿ gμν Λρμ x ρ Λσ

ν xσ=gρσ x ρ xσ (7)

⇒ gρσ=gμν Λ ¿ ρμ Λσ

ν

Es conveniente usar una notación matricial,

xμ :( x0

x1

x2

x3)=x (8)

s2 ¿ xT g x



x '=Λ x

⟹ g=ΛT g Λ (9)

Tomando el determinante,

det g=det ΛT . det g . det Λ(10)

así que det Λ=± 1 (+1: transformaciones de Lorentz propias, -1: transformaciones de Lorentz impropias)

Ejemplo: Rotaciones (propias)

x ' 0=x0

x ' 1=x1cosθ+x2 senθ

x ' 2=−x1 senθ+ x2 co sθ

x ' 3=x3 (11)

Λ=(1 0 0 00 cosθ senθ 00 −senθ cosθ 00 0 0 1

) (12)

Ejemplo: Boosts (propias)

t '=γ (t− v

c2 x1) o también x ' 0=γ x0−γβ x1

x ' 1=γ ( x1−vt )=γ x1−γβ x0

x ' 2=x2

x ' 3=x3 (13)

donde β= vc

γ=1

√1−β2 (14)

Es conveniente definir una cantidad “rapidity” η tal que cosh η=γ , senhη=γβ, entonces

Λ=(coshη −senhη 0 0

−senhη cosh η 0 00 0 1 00 0 0 1

)Prof. Dr. Rafael E. Carlos Reyes 4


Uno puede fácilmente verificar que det Λ=cosh2 η−senh2 η=1

CUADRI-VECTORES, TENSORES

Un vector contravariante es un conjunto de 4 cantidades las cuales se transforman como xμ

bajo una transformación de Lorentz.

V μ=(V 0

V 1

V 2

V 3) , V ' μ=Λ νμV ν

(16)

Un vector covariante es un conjunto de 4 cantidades las cuales se transforman como

A ' μ=Aν ( Λ−1 )μν, Λ−1=g ΛT g (17)

Un índice superior es llamado un índice contravariante y un índice inferior es llamado un índice

covariante. Los índices pueden ser subidos o bajados con el tensor métrico gμν y su inversa

gμν=diag (1 ,−1 ,−1 ,−1), gμλ gλν=δ νμ. El producto escalar de un vector contravariante y un

vector covariante V μ Aμ es invariante bajo transformaciones de Lorentz.

Ejemplos: Energía y momentum forman un 4-vector contravariante,

pμ=( Ec

, px , p y , pz) (18)

4- gradiente ∂

∂ χμ=(1

c∂

∂ t,

∂∂ x

,∂

∂ y,

∂∂ z )≡ ∂μ

(19)

es un vector covariante,

∂∂ x ' μ =

∂ x ν

∂ x ' μ

∂∂ xν =( Λ−1)μ

ν ∂∂ xν (20)

Uno puede generalizar el concepto a tensores,

T ' ρ ' σ ' …μ ' ν ' …=Λμ

μ ' Λ νν ' …( Λ−1)ρ '

ρ ( Λ−1)σ 'σ …T ρσ …

μν … (21)

Ecuaciones de Maxwell en forma covariante de Lorentz (convención Heaviside-Lorentz)



∇ . E=ρ (22)

∇ . B=0 (23)

∇× E+ 1c

∂ B∂ t

=0 (24)

∇× B−1c

∂ E∂t

=1c

J (25)

De la segunda ecuación se puede definir un vector potencial Atal que

B=∇× A (26)

Sustituyéndolo en la tercera ecuación, tenemos

∇×(E+1c

∂ A∂t

)=0 (27)

entonces podemos definir un potencial ϕ, tal que:

E=−∇ ϕ−1c

∂ A∂t

(28)

La invariancia de Gauge: E , B no cambian bajo la siguiente transformación:

A → A−∇ χ

π → ϕ+ 1c

∂∂ t

χ (29)

(cρ , J ) forman un 4-vector Jµ. La conservación de la carga puede ser escrita en la forma

covariante de Lorentz, ❑μ J μ=0,

(ϕ,A ¿ forma un 4-vector Aμ ( Aμ=(ϕ ,−A )) , del cual uno puede derivar un tensor de campo

electromagnético anti-simétrico,

Fμν=∂μ Aν−∂ν Aμ (nota: ∂i=−∂i=

−∂

∂ x i,i=1,2,3 ….) (30)

Fμν=(0 −Ex −Ey −E z

Ex 0 −B z By

Ey B z 0 −Bx

E z −B y Bx 0), Fμν=(

0 Ex E y E z

−Ex 0 −Bz B y

−Ey B z 0 −Bx

−E z −B y Bx 0)(31)

Ecuaciones de MAXWELL en forma covariante:

∂μ Fμν=1c

J ν (32)



∂μ~Fμν=∂μ Fλν+∂λ Fνμ+∂ν Fμλ=0 (33)

donde ~Fμν ≡

12

ϵ μνλρ F λρ (34)

ϵ 0123 y sus permutaciones par = +1, sus permutaciones impar = -1.

Invariancia de Gauge: Aμ→ Aμ+∂μ χ . Se puede verificar que Fμν es invariante bajo esta

transformación.

3. ECUACIÓN DE KLEIN-GORDON

En mecánica cuántica no relativista, la energía para una partícula libre es

E= p2

2 m(35)

En mecánica cuántica hacemos las siguientes sustituciones:

E → iℏ ∂∂t

, p →iℏ∇ (36)

Y la ecuación de Schrödinger para una partícula libre es:

−ℏ2

2 m∇2Ψ =iℏ ∂ Ψ

∂ t (37)

En mecánica relativista, la energía de una partícula libre es:

E=√ p2c2+m2c4 (38)

Haciendo la misma sustitución obtenemos:

√−ℏ2 c2∇2+m2c4 Ψ =iℏ ∂ Ψ∂ t

(39)

Es difícil interpretar el operador del lado izquierdo, en su lugar hacemos

E2=p2c2+m2 c4 (40)

⟹(iℏ ∂∂t )

2

Ψ=(−ℏ2c2∇2+m2 c4 ) Ψ (41)

o 1

C2 ( ∂∂t )

2

Ψ−∇2 Ψ ≡ □ Ψ=−m2 c2

ℏ2 Ψ (42)

Donde:

□= 1c2 ( ∂

∂t )2

−∇2=∂μ ∂μ (43)



Las Soluciones de ondas planas son fácilmente encontradas por inspección,

Ψ = 1

√Vexp ( i

ℏp . x)exp(−i

ℏE t) (44)

donde E2=p2c2+m2 c4 y así E=±√ p2 c2+m2 c4. Note que existe una solución de energía

negativa así como una solución de energía positiva para cada valor de p. Ciertamente se debería descartar la solución de energía negativa. Para una partícula libre en un estado de energía positiva, no existe mecanismo para que esta haga una transición a un estado de energía negativa. Sin embargo, si existe algún potencial externo, la Ec. de Klein-Gordon es entonces alterada por los reemplazos usuales,

E → E−eϕ , p → p− ec

A (45)

(iℏ∂t−eϕ )2Ψ =c2(−iℏ∇− ec

A)2

Ψ +m2 c4 Ψ (46)

La soluciónΨ puede siempre ser expresada como una superposición de soluciones de partícula libre, tal que forman un conjunto completo. Ellos forman un conjunto completo solo si las componentes de energía negativa son mantenidas, así que no pueden ser simplemente descartadas.

Recordemos la densidad de probabilidad y corriente de probabilidad en la ecuación de Schrödinger. Si multiplicamos la ecuación de Schrödinger por Ψ ¿ por el lado izquierdo y

multiplicamos la conjugada de la ecuación de Schrödinger por Ψ y luego tomamos la diferencia, obtenemos.

−ℏ2

2m(Ψ ¿∇2 Ψ−Ψ ∇2 Ψ ¿)=iℏ (Ψ ¿ Ψ +Ψ Ψ ¿)

entonces −ℏ2

2 m∇ (Ψ ¿∇Ψ −Ψ ∇Ψ ¿)=iℏ ∂

∂ t(Ψ ¿Ψ )

(47)

Usando: ρ s=Ψ ¿Ψ , j s=ℏ2

2mi(Ψ ¿∇Ψ−Ψ ∇Ψ ¿), obtenemos la ecuación de continuidad,

∂ ρs

∂ t+∇ . j s=0 (48)

Ahora realicemos el mismo procedimiento para la Ec. de la partícula libre de Klein Gordon

Ψ ¿ □ Ψ =−m2 c2

ℏΨ ¿Ψ

Ψ □ Ψ ¿=−m2 c2

ℏΨ Ψ ¿ (49)



Tomando la diferencia, tenemos

Ψ ¿ □ Ψ −Ψ □ Ψ ¿=∂μ (Ψ ¿∂μΨ −Ψ ∂μΨ ¿)=0 (50)

Esto sugiere que podemos definir una 4-corriente de probabilidad,

j μ=α (Ψ ¿∂μΨ −Ψ ∂μΨ ¿ ), donde α es una constante (51)

, y j μes conservada, ∂μ jμ=0, j μ=( j0 , j ). Para hacer que j este de acuerdo con j s , α es elegido

como α= −ℏ2 mi

. Tal que

ρ= j0

C= iℏ

2 m c2 (Ψ ¿ ∂ Ψ∂ t

−Ψ∂Ψ∂ t

¿

) (52)

ρ se reduce a ρ s=Ψ ¿Ψ en limite no relativista. Sin embargo, ρ no esta definido como positivo

y por eso no puede describir una densidad de probabilidad para una sola partícula. Pauli y Weisskopf en 1934 mostraron que la ecuación de Klein-Gordon describe un campo (escalar) de spin-0. ρ y j son interpretados como densidad de carga y densidad de corriente de las partículas en el campo.

4. ECUACION DE DIRAC

Para resolver el problema de la densidad de probabilidad negativa de la ecuación de Klein- Gordon se busco una ecuación la cual sea de primer orden en∂ /∂t . Tal ecuación fue encontrada por Dirac.

Es difícil tomar la raíz cuadrada de −ℏ2 c2∇2+m2 c4 para una sola función de onda. La

inspiración viene del Electromagnetismo: las ecuaciones de Maxwell son de primer orden pero combinándolas dan ecuaciones de onda de segundo orden.

Imaginemos que ψconsiste de N componentes ψ l ,

1c

∂ψ l

∂ t+∑

k=1

3

∑n=1

N

α lnk ∂ ψn

∂ xk + imcℏ ∑

n=1

N

β ln ψn=0 (53)

donde: l= 1,2,3,..,N, y xk = x,y,z , k =1,2,3

ψ=(ψ1

ψ2

.

.

.ψ N

) (54)



y α k , βson matrices N×N. Usando la notación de matrices, podemos escribir las ecuaciones

como:

1c

∂ψ∂ t

+α .∇ψ+ imcℏ

βψ=0 (55)

donde: α=α1 x+α 2 y+α3 z .N componentes de ψdescriben un nuevo grado de libertad justo

como las componentes del campo de Maxwell describen la polarización de la luz. En este caso, el nuevo grado de libertad es el spin de la partícula y ψ es llamado un spinor.

Nos gustaría tener una probabilidad definida como positiva y conservada, ρ=ψ† ψ, donde ψ† es

el conjugado hermitiano deψ (y así es una matriz fila). Tomando el conjugado Hermitiano de la ecuación (55),

1c

∂ψ†

∂ t+∇ψ† . α− imc

ℏψ† β†=0 (56)

Multiplicando esta ecuación por ψ y entonces sumándola aψ† ×(55), obtenemos:

1c (ψ† ∂ ψ

∂ t+ ∂ ψ†

∂ tψ)+∇ψ† . α† ψ+ψ† α .∇ψ+ imc

ℏ(ψ† βψ−ψ† β† ψ )=0 (57)

La ecuación de continuidad ∂∂ t

( ψ† ψ )+∇ . j=0 (58)

puede ser obtenida si:α †=α , β†=β, entonces

1c

∂∂t

(ψ† ψ)+∇ .(ψ¿¿† α ψ )=0¿ (59)

con j=(cψ¿¿† α ψ)¿

(60)

De la ecuación (55) podemos obtener el Hamiltoniano,

Hψ=iℏ ∂ ψ∂t

=(cα .ℏi∇+βm c2)ψ (61)

Uno puede ver que H es hermitiano siα ,β son hermitianos.

Para derivar propiedades deα ,β , multiplicamos la ecuación (55) por el operador conjugado,

( 1c

∂∂ t

−α .∇−imcℏ

β)(1c

∂∂ t

+α .∇+ imcℏ

β)ψ=0

⟹[ 1c2

∂2

∂t 2 −αi α j ∂i ∂ j+m2c2

ℏ2 β2− imcℏ

(β α i+αi β)∂i]ψ=0 (62)



Podemos re-escribir (α i α j∂i ∂ j) como12(α¿¿ i α j+α j αi)∂i∂ j ¿. Ya que este es un sistema

relativista, la ecuación de segundo orden deberá coincidir con la ecuación de Klein-Gordon. Por lo tanto debemos tener

α i α j+α j αi=2 δ ij I (63)

βα i+αi β=0 (64)

β2=I (65)

como βα i=−α i β=(−I )α i β (66)

si tomamos el determinante de la ecuación de arriba,

det β det αi=(−1)N det α i det β (67)

encontramos que N debe ser par. Seguidamente, podemos reescribir la relación como

(α i )−1β α i=−β (sin suma) (68)

Tomando la traza,

Tr [ (α i )−1β α i ]=Tr [ ( αi α i )−1

β ]=Tr [ β ]=Tr [−β ] (69)

obtenemos Tr [ β ]=0. En forma similar, se puede derivar Tr [α i ]=0.

FORMA COVARIANTE DE LA ECUACION DE DIRAC

Se define:

γ 0=β

γ j=β α j , j=1,2,3

γ μ=(γ 0 , γ1 , γ 2, γ 3 ) , γ μ=gμν γ ν

…(70)

Multiplicando la ecuación (55) por iβ,

iβ ×(1c

∂∂ t

+α .∇+ imcℏ

β)ψ=0⟹

⟹(i γ0 ∂

∂ x0 +i γj ∂

∂ x j −mcℏ )ψ=(i γ

μ∂μ−

mcℏ

)ψ=0 (71)



Usando la notación corta:γ μ ∂μ≡ ∂ , γ μ Aμ ≡ A ,

(i ∂−mcℏ )ψ=0 (72)

De las propiedades de las matricesα i y β, podemos derivar:

γ 0†=γ 0 (Hermitiana) (73)

γ j †=( β α j )†=α j † β†=α j β=−βα j=−γ j (Antihermitiana) (74)

γ μ†=γ0 γ μ γ 0 (75)

γ μ γ ν+γν γ μ=2 gμν I (Álgebra de Clifford) (76)

El conjugado de la ecuación de Dirac está dado por:

−i ∂μ ψ† γ μ †−mcℏ

ψ†=0

⟹−i∂μψ† γ0 γ μ γ 0−mcℏ

ψ†=0 (77)

Definimos el spinor adjunto de Dirac ψpor: ψ ≡ψ† γ 0, entonces:

i ∂μ ψ γ μ+ mcℏ

ψ=0 (78)

La cuadricorriente:jμ

c=ψ γ

μ

ψ=(ρ ,jc ) , ∂μ jμ=0

PROPIEDADES DE LAS MATRICES γ μ

Podemos formar nuevas matrices multiplicando matrices γ juntas. Ya que las distintas matrices

γanticonmutan, solo necesitamos considerar productos de diferentesγ s’ y el orden no es

importante. Podemos combinarlos en 24-1 formas. Mas la identidad tenemos 16 matrices diferentes,

I

γ 0 ,iγ1 , iγ2 , iγ3

γ 0 γ 1, γ 0 γ2 , γ 0 γ3 , iγ2γ 3 ,iγ3 γ 1 , i γ1 γ 2

iγ0 γ 2γ 3 ,i γ 0 γ3 γ 1 , iγ0 γ1 γ 2 , γ1 γ 2γ 3

iγ0 γ 1γ 2 γ3 ≡ γ5 (¿ γ5 ) (80)



Denotándolas por Γ l , l=1,2 …… ..16 , podemos derivar las siguientes relaciones.

a) Γ l Γm=alm Γn , alm=± 1 o ±i

b) Γ l Γm=I , si y solo si l=m

c) Γ l Γm=± Γ m Γ l

d) SiΓ l ≠ I,siempre existe unΓ k, tal que Γ k Γ l Γ k=−Γ l

e) Tr (Γ ¿¿ l)=0¿para Γ l ≠ I

Prueba:

Tr (−Γ ¿¿ l)=Tr (Γ¿¿k Γ¿¿l Γk )=Tr (Γ l Γ k Γ k )=Tr (Γ l)¿¿¿

f) Γ lson linealmente independientes: ∑k =1

16

xk Γk=0 sólo si xk=0 , k=1,2 , …,16.

Prueba:

¿

Tomando la traza, xmTr ( I )=−∑k≠ m

xk αkm Tr (Γ¿¿n)=0⟹ xm=0¿ para cualquier

‘m’. Esto implica que Γ k' s no se puede representar por matrices más pequeñas que 4x4.

De hecho la más pequeña de las representaciones de Γ k' s son 4x4 matrices. (Notar que

este 4 no es la dimensión de espacio tiempo, la igualdad es accidental)

g) Corolario: Cualquier matriz 4x4 puede escribirse únicamente como una combinación

lineal de losΓ k' s.

X=∑k=1

16

xk Γ k

Tr ( X Γm )=xmTr ( Γ m Γ m )+∑k ≠m

xk Tr ( Γ k Γm )=xm Tr ( I )=4 xm

xm=14

Tr (x Γm)

h) Corolario más fuerte:Γ l Γm=alm Γn donde Γn es un Γn diferente para cada m, dado un

l fijo.

Prueba.



Si no fuera cierto y se puede encontrar dos diferentes Γm , Γm' de tal manera que

Γ l Γm=alm Γn , Γ l Γ m'=alm ' Γ n, entonces tenemos

Γm=alm Γ l Γn , Γ m'=alm ' Γ l Γ n⟹ Γm=a lm

alm '

Γ m' ,

Lo que contradice que γ k' s son linealmente independientes.

i) Cualquier matriz X que conmuta con γ μ (para todo μ) es un múltiplo de la identidad

Prueba:

Asumir X no es múltiplo de la identidad. Si X conmuta con todo los γ μ entonces

conmuta con todos los Γ l' s X=Γ l X Γ l . Podemos expresar X en términos de las

matrices Ga.

X=xm Γ m+∑k ≠m

xk Γk , Γm ≠ I

Existe una Γ i de tal manera que Γ i Γm Γ i=−Γm. .Por la hipótesis de que X conmuta

con este Γ i, tenemos

X=xm Γ m+∑k ≠m

xk Γk=Γ i X Γ i

¿ xm Γ i Γ m Γ i+∑k ≠m

xk Γ i Γ k Γ i

¿−xm Γ m+∑k ≠ m

± xk Γk

Ya que la expansión es única, debemos tener xm=−xm . Γm fue arbitraria salvo que

Γm ≠ I .Esto implica que todos los xm=0 para Γm ≠ I y por lo tanto X=aI

j) Teorema fundamental de Pauli : Dado dos conjuntos de matrices 4x4 , γ μ y γ ' μ las

cuales satisfacen:

{γ μ , γν }=2 gμν I

. Existe una matriz S no singular tal que

γ ' μ=S γ μ S−1

Prueba:

F es una matriz arbitraria de 4x4, un conjunto Γ i se contruye de γ μ y Γ i' se contruye de γ ' μ

, sea:

S=∑i=1

16

Γ i' F Γ i



Γ i Γ j=a ij Γk

Γ i Γ j Γ i Γ j=a ij2 Γk

2=aij2

Γ i Γ i Γ j Γ i Γ j Γ j=Γ j Γ i=aij2 Γ i Γ j=a ij

3 Γk

Γ i' Γ j

' =a ij Γk'

Para cualquier i,

Γ i' S Γ i=∑

j

Γ i' Γ j

' F Γ j Γ i=∑j

aij4 Γ k

' F Γk' =∑

j

Γk' F Γk

' =S ,(aij4=1 ) ,

Esto queda solo para probar que S es no singular

S'=∑i=1

16

Γ iG Γ i ' , paraG arbitrario

Por el mismo argumento, tenemos S'=Γ i S ' Γ i '

S' S=Γ i S' Γ i ' Γ i ' S Γ i=Γ i S

' S Γ i ,

S' S Conmuta con Γ i, para cualquier i entonces S' S=aI .Podemos escoger a ≠ 0 ya que F, G

son arbitrarios, luego S es no singular. También, S es única hasta una constante. Por otro lado si

teníamos S1 γ μ S1−1=S2 γ μ S2

−1, luego S2−1 S1 γ μ=γ μ S2

−1 S1⟹S2−1 S1=aI

REPRESENTACIONES ESPECÍFICAS DE LAS MATRICES γμ

Recordando

H=(−c α ( iℏ )∇+βm c2)

En el límite no relativista, el término m c2domina la energía total, así que es conveniente

representar β=γ0 por una matriz diagonal.

Recordando que,Trβ=0 y β2=I , elegimos β=(I 00 −I ),

Donde I=(1 00 1) (81)

Los α k anti-conmutan con β y son hermitianos.

α k=( 0 Ak

( Ak)† 0 ) (82)



Ak: Matrices 2x2, anti-conmutan con cada una de la otra. Estas propiedades son satisfechas

por las matrices de Pauli, tal que tenemos,

α k=( 0 σ k

σ k 0 ) σ 1=(0 11 0) σ 2(0 −i

i 0 ) σ 3=(1 00 −1) (83)

A partir de eso obtenemos:

γ 0=β=(I 00 −I )γ i=β αi=( 0 σ i

−σ i 0 )γ 5=iγ0 γ1 γ 2 γ3=(0 II 0) (84)

Esta es la representación Pauli -Dirac de las matrices γμ. Este es más útil para sistemas con

energía cinética pequeña.

Ejemplo:

Consideremos el problema más simple:

La partícula en reposo:

ψes una función de onda de 4 – componentes con cada componente satisfaciendo la

ecuación de Klein – Gordon, ψ= χ eiℏ

( p . x−Et ) (85)

Donde χ es un espinor de 4 componentes y.E2=p2c2+m2 c4

Partícula libre en reposo: p = 0, ψ es independiente de x,

Hψ=(−i cℏ α .∇+m c2 γ0 ) ψ=mc2 γ0 ψ=Eψ (86)

En la representación de Pauli-Dirac,γ 0=diag (1,1,−1 ,−1) , las cuatro soluciones

fundamentales son

χ1=(1000) , E=m c2 ,

χ2=(0100) , E=mc2 ,

χ3=(0010) , E=−mc2 ,



χ 4=(0001) ,E=−m c2,

Como veremos, la función de onda de Dirac describe una partícula de spin -1/2, χ1,χ2

representando el spin arriba y el spin abajo respectivamente cuya E=m c2 . Como en la

ecuación de Klein Gordon, tenemos soluciones negativas y ellas nos deben ser descartadas.

Para problemas ultra-relativistas, la representación de “Weyl” más conveniente.

ψPD=(ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

)=(ψ A

ψ B) ,ψ A=(ψ1

ψ2) ,ψ B=(ψ3

ψ4) (87)

En términos de ψ A yψB, la ecuación de Dirac es;

i∂

∂ x0ψ A+i σ .∇ψB=

mcℏ

ψ A ,

−i∂

∂ x0ψB−i σ .∇ψ A=

mcℏ

ψB ,(88)

Luego definimos ψ A=1

√2( ϕ1+ϕ2) , ψB=

1

√2( ϕ2−ϕ1 ) (89)

Y reescribiendo la ecuación de Dirac en términos de ϕ1 yϕ2,

i∂

∂ x0ϕ1−i σ .∇ϕ1=

mcℏ

ϕ2

i∂

∂ x0ϕ2+i σ .∇ϕ2=

mcℏ

ϕ1 (90)

Uno pude ver que ϕ1 yϕ2 están acopladas solo vía el termino de masa. En el límite ultra-

relativista (o para neutrinos), la masa en reposo es despreciable, entonces ϕ1 yϕ2están

desacoplados,

i∂

∂ x0ϕ1−i σ .∇ϕ1=0

i∂

∂ x0ϕ2+i σ .∇ϕ2=0 (91)



La función de onda de 4-componentes en la representación de Weyl es escrita como:

ψWeyl=(ϕ1

ϕ2) (92)

Imaginemos que un neutrino de spin 1 ∕ 2 sin masa es descrito porϕ1, un estado de onda plana

de momentum definido p con energía E=|p|c ,

ϕ1∝ eiℏ

( p . x−Et ) (93)

i∂

∂ x0ϕ1=i

1c

∂∂ t

ϕ1=Ecℏ

ϕ1

i σ .∇ϕ1=−1ℏ

σ . pϕ1

⟹ E ϕ1=|p|c ϕ1=−c σ . p ϕ1 oσ . p|p|

ϕ1=−ϕ1 (94)

El operador h=σ . p|p| es llamado helicidad. Físicamente esto se refiere a la componente de spin

en la dirección e movimiento. ϕ1Describe un neutrino con helicidad -1. Similarmente,

σ . p|p|

ϕ2=ϕ2 (95)

Los γ μ en la representación de Weyl son:

γ 0=(I 00 −I )γ i=( 0 σ i

−σ i 0 ) γ5=(−I 00 I ) (96)

5. COVARIANCIA DE LORENTZ DE LA ECUACION DE DIRAC

Definimos ℏ=c=1 de aquí en adelante. En electromagnetismo escribiremos las cuatro ecuaciones de Maxwell en un sistema inercial dado, x, t, con los campos eléctricos y magnéticos E, B. Las ecuaciones de Maxwell son covariantes con respecto a la transformación de Lorente,

es decir, en un nuevo sistema de Lorente, x ', t’, es decir, las ecuaciones tienen la misma forma,

pero los camposE' ( x ' , t' ) , B' ( x ' , t ' ) son diferentes.

Similarmente, la ecuación de Dirac es covariante de Lorentz, pero función de onda cambia cuando hacemos una transformación de Lorentz. Considerando un sistema F con un observador

Οy coordenadas xμ. Ο describe una partícula por la función de onda ψ (xμ) la cual obedece:

(i γμ ∂

∂ xμ −m)ψ ( xμ ) (97)



En otro sistema inercia F’ con observador O’ y coordenadas x ' νdadas por: x ' ν=Λμν x μ (98)

O’ describe la misma partícula por ψ ' ( x ' ν ) y satisface (i γν ∂

∂ x ' ν−m)ψ ' ( x ' ν)¿99)

La Covariancia de Lorentz de la ecuación de Dirac significa que las matrices γ son las mismas en ambos sistemas.

¿Cuál es la matriz de transformación S la cual lleva de ψ aψ ' bajo la transformación de

Lorentz?

ψ ' ( Λ x )=Sψ ( x ) (100)

Aplicando S a la ecuación (97),

iS γ μ S−1 ∂

∂ xμSψ ( xμ )−mSψ ( xμ )=0

⟹ iS γ μ S−1 ∂

∂ xμψ ' ( x' ν )−mψ ' ( x' ν )=0 (101)

Usando: ∂

∂ xμ =∂

∂ x ' ν

∂ x ' ν

∂ xμ =Λμν ∂∂ x ' ν (102)

Obtenemos: iS γ μ S−1 Λμν ∂

∂ x ' ν ψ'

( x' ν )−mψ ' ( x' ν )=0 (103)

Comparándola con la ecuación (99), necesitamos:

S γ μ S−1 Λμν=γ μ

ó equivalentemente: S γ μ S−1 ¿ ( Λ−1 )ν

μγ ν (104)

Para una transformación de Lorentz infinitesimal: Λ νμ=δν

μ+ϵ νμ

Multiplicando por gνλ esto puede ser escrito como

Λμλ=gμλ+ϵ μλ (105)

Donde ϵ μλ es antisimétrico en μ y λ .Luego la correspondiente transformación de Lorentz para

la función de onda spinorial es dada por

S (ϵ μν )=I − i4

σμν ϵ μν (106)

Donde σ μν=i2

(γ μ γ ν−γ ν γμ )= i2

[γ μ , γ ν ] (107)

Para transformación Lorentz finita,



S=exp (−i4

σ μν ϵ μν) (108)

Note que se puede utilizar la transformación activa (que transforma el objeto) o una transformación pasiva (que transforma las coordenadas), pero se debe tener cuidado para mantener la consistencia. Mayormente se utilizan transformaciones pasivas a menos que explícitamente se indique lo contrario.

Ejemplo: rotación alrededor del eje –z por un ángulo θ (pasiva)

−ϵ 12=+ϵ 21=θ , (109)

σ 12=i2

[ γ1 , γ 2 ]=i γ1 γ2

¿ i(−iσ 3

00

−iσ 3)¿(σ3

00σ3)≡ ∑3(110 )

S=exp(+i2

θ(σ3

00σ3))=Icos

θ2+i(σ3

00σ3)sen

θ2(111)

Podemos ver que ψ se transforma bajo rotaciones como un objeto de spin -1/2. Para una rotación alrededor de una dirección general n,

S=Icosθ2+i n .Σ sen

θ2(112)

Ejemplo: Boost en la dirección x (pasivo).

ϵ 01=−ϵ10=η(113)

σ 01=i2

[γ 0, γ 1 ]=i γ0 γ 1(114 )

S=exp(−i4

σ μν ϵ μν)=exp (−i2

ηi γ0 γ 1)

¿exp( η2

γ 0 γ1)=exp (−η2

α1)

¿ Icos hη2−α1 senh

η2(115)

Para una partícula moviéndose en la dirección de n en el nuevo sistema de referencia, necesitamos para el boost en la dirección -n ,



S=Icos hη2+α . n senh

η2(116)

SOLUCIONES DE LA PARTICULA LIBRE A LA ECUACION DE DIRAC.

Las soluciones a la ecuación de Dirac para una partícula libre en reposo son:

ψ1=√ 2mV (

1000)e−imt , E=+m ,

ψ2=√ 2mV (

0100)e−imt , E=+m ,

ψ3=√ 2mV (

0010)e imt , E=−m,

ψ4=√ 2mV (

0001)e imt ,E=−m(117 )

Donde hemos definido ℏ=c=1 y V es el volumen total. Note que se ha elegido una normalización particular para una partícula en reposo.

∫ d3 xψ† ψ=2 m(118)

Esto es más conveniente cuando se ve teoría de campos, debido a que ψ† ψ no es invariante

bajo “boost” .Este es la componente cero de un 4-vector, similar a E.

Las soluciones para una partícula libre que se mueve a velocidad constante puede ser obtenida por un “boost” de Lorentz.

S=Icos hη2+α . n senh

η2(119)

Usando la representación de Pauli-Dirac.

α i=( o σ i

σ i 0 ),



S=( coshη2

σ . n senhη2

σ . n senhη2

cos hη2

)(120)

Y las siguientes relaciones:

cos hη2=γ '= E'

m, sen h η=γ ' β' ,

cos hη2=√ 1+cosh η

2=√ 1+γ '

2=√ m+E '

2m,

senhη2=√ coshη−1

2=√ E '−m

2 m

−pμ' x ' μ=p+¿' . x '−E' t'=−pμ xμ=−mt (121)¿

Donde p+¿'=¿¿ es el 3-momentum del estado de energía positiva, obtenemos:

ψ1' ( x' )=S ψ1 ( x )=√ 2m

V ( coshη2 (1

0)σ . n sen h

η2 (10))e−imt

¿ 1√V

√m+E '( (10)

√ E'−mE'+m

σ . n(10))ei ¿¿

¿ 1

√V√m+E '¿

Donde se ha usado:

√ E '−mE' +m

=√E '2−m2

E '−m=¿¿

en la última línea.

ψ2' ( x' )tiene la misma forma excepto que (10) es reemplazado por(01).

Para las soluciones de energía negativa:

E−¿'=−E '=−√|p|2+m2¿ Y p−¿ '=vn E−¿ '=−vE ' n=−p

+¿ '¿¿ ¿ .Así que tenemos



ψ3' ( x' )= 1

√V√m+E' (−σ .

p−¿'

E'+m (10)¿ (10))e i ¿¿

Y ψ4' ( x ' ) es obtenido remplazando (10)espinores

→

(01)

SOLUCIONES PARA UNA PARTÍCULA LIBRE QUE SE MUEVE A VELOCIDAD CONSTANTE

ψ1,2=1

√V√ E+m ¿

ψ3,4=1

√V√E+m¿

Donde χ+¿=(10)¿,

χ−¿=(01 )¿ ( V : es el volumen propio en el sistema donde la partícula esta en

reposo).

Propiedades de Spinores u1 , …. ,u4

ur+¿ us=0 , parar ≠ s(127)¿

u1+¿ u1=( E+m )¿ ¿

Usando la siguiente identidad:

(σ . a ) (σ . b )=σ i ai σ j b j=(δ ij+i ϵ ijk σk ) a ib j=a .b+iσ . (a× b )(129)

Tenemos:

u1† u1=( E+m ) χ

+¿†(1+|p|2

(E+m )2)χ+¿¿ ¿

¿ ( E+m ) χ+¿†( E2+2 Em+m2+|p|2

( E+m)2 ) χ+¿¿ ¿=χ

+¿2 E2+ 2 Em

E+mχ+¿=2 E χ

+¿† χ +¿=2E (130 )¿ ¿¿ ¿

Similarmente para otro ur tenemos: ur+¿ us=δrs 2 E¿ el cual refleja que ρ=ψ+¿ψ¿ es la componente

cero de un 4-vector.



Uno puede también verificar que: ur us=± 2 mδ rs (131 ) donde: + para r=1,2 y – parar=3,4

u1 u1=u1

+¿ γ0 u1 , donde: γ 0=( I 00 −I )¿

u1 u1=u1

+¿ γ0 u1=( E+m ) χ+¿†(1−

|p|2

(E+m )2)χ+ ¿¿ ¿¿

¿ ( E+m ) χ+¿†( E2+2 Em+m2+|p|2

( E+m)2 ) χ+¿¿ ¿

¿ χ+¿

2m2+2 EmE+m

χ+¿=2 m χ+¿†

χ+¿=2m (132)¿ ¿¿¿

Es invariante bajo una transformación de Lorentz.

MOMENTO ÁNGULAR ORBITAL Y DE SPIN

Momento Angular: se define como

L=r × p ó Li=ϵ ijk r j pk (133 )

No distinguimos entre índices superiores e inferiores cuando trabajamos solo con dimensiones espaciales.

d Li

dt=i [H , Li ]

¿ i [ cα . p+βm c2 , Li ]=ic αn [ pn ,ϵ ijk r j pk ]=ic αn ϵ ijk [ pn , r j ] pk=ic α n ϵijk (−i δ nj ) pk

=cϵ ijk α j pk=c (α × p )i≠ 0(134)

Se encuentra que el momento angular orbital de una partícula libre no es una constante de movimiento.

Spin Consideremos el Spin 12∑

i

¿ 12 (σ i 0

0 σ i)

d Σi

dt=i [H , Σi ]=i [c α j p j+ βmc2 , Σi ]=ic [ α j , Σi ] p j=i [γ 5 Σ j , Σi ] p j=i γ5 [ Σ j , Σ i ] p j

¿ ic γ 5 (−2i ϵ ijk Σ k ) p j=2c γ5 ϵ ijk Σk p j=2 c ϵ ijk αk p j=−2 c (α × p)i

Donde se ha usado [Σ i γ5=(σ i 00 σ i

)(0 II 0)=( 0 σ i

σ i 0 )=α i=γ 5 Σi]Comparando con la ec. (134), encontramos:



d (Li+12

Σi)

dt=0(135)

Tal que el momento angular total es conservado.

J=L+ 12

Σ

7. INTERACCIONES DE UN ELECTRON RELATIVISTA CON UN CAMPO ELECTRICO EXTERNO.

Hacemos el reemplazo usual en la presencia de un potencial externo:

E → E−eϕ=iℏ ∂∂ t

−eϕ , e<0 Para el electrón

p → p− ec

A=−iℏ∇− ec

A (137)

En forma covariante

∂μ→ ∂μ+iecℏ

Aμ⟶∂μ+ie Aμ(138)

Haciendo ℏ=c=1

La Ec. Dirac en un potencial externo:

i γ μ ( ∂μ+ie Aμ )ψ−mψ=0(139)

1c

∂ψ∂ t

+α .∇ψ+ imcℏ

βψ=0

iℏc

∂ ψ∂ t

=−iℏα .∇ψ+mc2 βψ=α . (−iℏ∇ )ψ+mc2 βψ

iℏc

∂ ψ∂ t

=α . p ψ+mc2 βψ

Reemplazando β αi=−αi β=γ i se tiene:

( iℏc

∂∂t

− ec

ϕ)ψ=α .(−iℏc

∇− e2

c2 A )ψ+mcβψ

Multiplicando por iβiℏ

se tiene:

( iβc

∂∂ t

− iβei cℏ

ϕ)ψ=α .(−iβc

∇− iβ e2

i cℏ 2 A )ψ+ imc β2

iℏψ



(i γ 0 ∂∂ x0−

γ0 ecℏ

ϕ)ψ= i γ j

c∂ ψ∂ x j +

γ j e2

cℏ 2 A j ψ+mcβψ

Nota: i γ μ ∂μ=iγ 0 ∂

∂ x0+i γ j ∂

∂ x jy Aμ=( ϕ, A j ) luego tenemos:

i γ μ ( ∂μ+ie Aμ )ψ−mψ=0

ECUACION DE DIRAC EN POTENCIAL EXTERNO

i γ μ ( ∂μ+ie Aμ )ψ−mψ=0

(I 00 −I ) ( E−eϕ )(ψ A

ψ B)−( 0 σ

−σ 0) ( p−eϕ )(ψ A

ψB)−m(ψ A

ψB)=0

[( i γ0 ∂0−γ 0e A0 )+( iγ 1 ∂1−γ 1e A1 )+(i γ 2 ∂2−γ 2e A2 )+( iγ 3 ∂3−γ 3 e A3 )−m ]ψ=0

β (i ∂∂ t

−eϕ)ψ=i (γi ∂i )ψ−e (γ i A i)ψ−mψ=0

(I 00 −I ) ( E−eϕ )ψ+γi (i ∂i−e A i )ψ−mψ=0

(I 00 −I ) ( E−eϕ )ψ+βα i (i ∂i−e Ai ) ψ−mψ=0

(I 00 −I ) ( E−eϕ )ψ+( 0 σ i

−σ i 0 )(i ∂i−e A i)ψ−mψ=0

( ( E−eϕ )ψ A

−( E−eϕ ) ψB)−( σ . ( p−e A )ψ A

−σ . ( p−e A ) ψB)−(mψA

mψB)=0

( E−eϕ )ψ A−σ . ( p−e A ) ψB−mψA=0 (140 )

−( E−eϕ )ψ B+σ . ( p−e A ) ψ A−mψB=0(141)

Donde: E y p representan los operadores i ∂iy −i∇ respectivamente.

Definimos: W =E−m, π=p−e A ,entonces tenemos:

(W −eϕ )ψ A=σ . π ψB (142 )

(W −eϕ+2m )ψB=σ . π ψ A (143 )

De (143):

ψB=(W −eϕ+2m)−1σ . πψ A (144)



Reemplazando en (142) se tiene:

(σ . π ) (σ . π )W−eϕ+2 m

ψ A=(W −eϕ )ψ A (145)

En el límite no relativista: W −eϕ≪m

12m+W −eϕ

= 12m (1−W −eϕ

2m+…)(146)

⟹ 12 m+W −eϕ

≈1

2m

En la aproximación más baja, solo conservamos el término 1

2m

12m

(σ . π ) (σ . π )ψ A≃¿

Usando (129):

(σ . a ) (σ . b )=σ i ai σ j b j=(δ ij+i ϵ ijk σk ) a ib j=a .b+iσ . (a× b )(129)

(σ . π ) (σ . π ) ψ A=[π . π+iσ . ( π × π ) ]ψ A (148)

( π × π )ψ A=(−i∇−e A)×(−i∇−e A)ψ A

( π × π )ψ A=(−i∇−e A)×(−i∇ψ A−e A ψ A)

( π × π )ψ A=(−i∇ )× (−i∇ψ A )+(−i∇ )× (−e A ψ A )+ (−e A )× (−i∇ψ A )+(−e A ) × (−e A ψ A )

Ojo: ∇× ( A ψ A )=(∇× A ) ψ A−A ×∇ψ A

⟹ (π × π )ψ A=ie (∇× A )ψ A=ieBψ A (149)

Luego reemplazando en la ec. se tiene:

12m

[ π2+i σ . (π × π ) ]ψ A=Weϕψ A

12m [ ( p−e A )2− e

2 mσ .B]ψ A=¿

12m

( p−e A )2ψ A−e

2 mσ . Bψ A +eϕ ψ A=W ψ A (150)

Restaurando ℏy c, tenemos:



12m ( p− e

cA)

2

ψ A−eℏ

2mcσ . B ψ A+eϕ ψ A=W ψ A (151)

Esta es la ecuación de Pauli-Schrödinger para una partícula con el momento spin-

magnético μ=eℏ

2 mcσ=2

e2mc

S(152)

En comparación; la relación entre el momento angular y el momento magnético de un objeto cargado clásico está dada por:

μ= Iπ r2

c=e

ω2 π

π r2

c= eωr2

2 c= e

2 mcmω r2= e

2 mcL(153)

Se puede escribir:

μ=gse

2 mcS (154)

En general. En la teoría de Dirac gs=2 .Experimentalmente

gs ¿

La desviación de 2 es debido a corrección radiativa en QED,(g−2)/2= α2 π

+… , el valor

predicho para gs−2 usando α del Efecto Hall es:

(g¿¿ s−2)qH /2=0.0011596521564± 229 ×10−13(156)¿

Esta en acuerdo hasta el nivel10−11.

Hay también partículas de Spin ½ con momentos magnéticos anómalos, ejm:

μprotón=2.79|e|

2m p c μneutrón=−1.91

|e|2 mn c

(157)

Este puede ser escrito adicionando el término momento de Pauli a la ecuación de Dirac.

i γ μ ( ∂μ+iq A μ )ψ−mψ+k σμν Fμν ψ=0 (158)

Recordando:

σ μν=i2

(γ μ γ ν−γ ν γμ ) ,

σ 0 i=i γ0 γ i=i(I 00 −I )( 0 −σ i

σ i 0 )=i( 0 −σ i

−σ i 0 )=−i αi ,



σ ij=i γ i γ j=ϵ ijk Σk=ϵijk (σ k 00 σ k) ,

F0 i=−Ei ,

F ij=−ϵ ijk Bk (159)

Luego, el término momento de Pauli puede ser escrito como:

i γ μ ( ∂μ+iq A μ )ψ−mψ−2ik α . E ψ−2 k Σ . B ψ=0(160)

La reducción a dos componentes da:

( E−qϕ )ψ A−σ . π ψ B−mψ A+2 ik σ . E ψB−2k σ . B ψ A=0 (161 )

−( E−qϕ )ψ B+σ .π ψ A−mψ B+2 ik σ . E ψ A−2k σ . B ψB=0 (162 )

(σ . π−2 ik σ . E ) ψB=¿

(σ . π+2ik σ . E ) ψA=¿

Nuevamente tomando el límite no relativista,

ψB≃1

2m(σ . π+2 ik σ . E )ψ A(165)

Obtenido al desarrollar en serie el factor de ψB al despejarψB, considerando que en el limite no

relativista la masa predomina en la expresión.

Reemplazando en la ecuación (163) se obtiene

¿

Considerando dos casos especiales:

(a ) ϕ=0 , E=0

¿

⟹W ψ A=1

2 mπ2ψ A−

q2m

σ . B ψ A+2 k σ . B ψ A

⟹ μ= q2 m

−2 k (167 )

(b ) B=0 , E ≠ 0 Para el neutrón (q=0)

W ψ A=1

2 mσ . ( p+i μn E ) σ . ( p−i μn E ) ψ A

¿ 12m [ ( p+i μn E ) . ( p+i μn E )+i σ . ( p+i μn E ) × ( p−i μn E ) ] ψ A



¿ 12m [ p2+μn

2 E2+i μn E . p−i μn p . E+i σ . (i μn p × E−i μn E × p ) ] ψ A

¿ 12m

[ p2+μn2 E2−μn (∇ . E )+2 μnσ . ( E × p )+i μn σ . (∇× E ) ]ψ A

¿ 12m

[ p2+μn2 E2−μn ρ+2 μn σ . ( E × p ) ] ψ A (168 )

El ultimo termino es la interacción spin –orbita

σ . ( E × p )=−1r

dϕdr

σ . (r × p )=−1r

dϕdr

σ .L(169)

Del segundo al último término da un potencial efectivo para un neutrón lento moviéndose en el campo eléctrico de un electrón,

V=−μn ρ

2 m=

μn

2 m(−e )δ 3 (r )(170)

Es conocido como el potencial de foldy y existe experimentalmente.

TRANSFORMACION DE FOLDY-WOUTHUYSEN



Ahora tememos la ecuación de Dirac con interacciones. Para un problema dado podemos resolver para el espectro y funciones de onda, por ejemplo el átomo de hidrogeno. Podemos comparar las soluciones con las de la ecuación de Schrödinger y encontrar las correcciones relativistas al espectro y a las funciones de onda.

En efecto, el problema de átomo de hidrogeno puede ser resuelto de forma exacta. Sin embargo, las soluciones exactas son problemas específicos e involucran funciones especiales no familiares. En su lugar, desarrollaremos un método de aproximación sistemático para resolver

un sistema en el régimen no relativista (E−m≪m). Esto corresponde a tomar la

aproximación discutida en la sección previa hasta órdenes más altos de una forma sistemática. Esto permite una interpretación física para cada término en la aproximación y nos dice la importancia relativa de varios efectos.

Tal método tiene aplicaciones más generales para diferentes problemas.

En la transformación Foldy-Wouthuysen, buscamos una transformación unitaria U F que

remueve los operadores que acoplan las componentes grandes a las pequeñas.

Operadores impares (fuera de la diagonal en la base de Pauli- Dirac)

Ejemplo: α i , γi , γ5 …

Operadores pares (diagonal en la base de Pauli- Dirac)

Ejemplo: 1 , β , Σ ,…

ψ '=U F ψ=e iSψ , S=hermitiano(171)

Primero consideramos el caso de una partícula libre independiente del tiempo,

H=α . p+ βm

Entonces,

i∂ ψ '

∂ t=eiS Hψ=eiS H e−iSψ '=H ' ψ ' (172)

Queremos encontrar s tal que H´ no contenga operadores impares.

Podemos hacer e±iS=e± β α. p θ=cosθ± β α . p senθ

Donde: p=p /|p|….(173)

Como: H '=e iS H e−iS

H '=(cosθ+β α . p senθ ) (α . p+βm ) (cosθ−β α . p senθ )

¿ (α . p+βm ) (cosθ−β α . p senθ )2

¿ (α . p+βm ) exp (−2β α . p θ )



¿ (α . p )(cos2θ−m|p|sen2 θ)+β (mcos 2 θ+|p|sen2θ )(174 )

Para eliminar el término (α . p ) se elige tan2 θ=|p| ∕ m, entonces tenemos:

H '=β √m2+|p|2(175)

Este es el mismo como el primer Hamiltoniano obtenido, excepto por el factor β, el cual también da lugar a soluciones de energía negativa.

En la práctica, necesitamos expandir el Hamiltoniano para |p|≪m. Caso no relativista:

Caso general:

H=α . ( p−e A )+βm+eΦ

¿ βm+O+ E (176 )

O=α . ( p−e A ) , E=eΦ ,β O=−O β , β E=E β (177)

Si Hes dependiente del tiempo, entonces Stambién se dependiente del tiempo.

Podemos solo construir S con una expansión no relativista del HamiltonianoH ' transformado en

serie de potencia en 1/m .

Expandiremos hasta p4

m3 y p ×(E , B)

m2

Hψ=i ∂(e−iS ψ¿¿ ')

∂t=e−iS i

∂ ψ '

∂ t+(i ∂

∂ te−iS)ψ '¿

⟹ i∂ ψ '

∂ t=[eiS(H−i

∂∂ t )e−iS ]ψ '=H ' ψ ' (178)

S Es expandiéndose potencias de 1/my es pequeño en el limite no relativista.

e iS H e−iS=H +i [ S , H ]+ i2

2![S , [ S , H ] ]+…+ in

n ![ S , [S , … [ S , H ] ] ](179)

S=O( 1m)Hasta el orden deseado de precisión.

H '=H +i [ S , H ]−12

[ S , [ S , H ] ]− i6

[S , [ S , [ S ,H ] ] ]+ 124

[S , [S , [ S , [ S , βm ] ] ] ]− S− i2

[ S , S ]+ 16

[S , [ S , S ] ](180)

Eliminaremos los operadores impares, orden por orden, en 1/m y repetimos hasta que el orden deseado es alcanzado.

Primer orden [O (1 ) ]:



H '=βm+O+E+i [ S , β ] m (181 )

Para cancelar O, se elige S=−iβ O

2 m

Luego se obtiene las siguientes relaciones:

i [ S , H ]=−O+ β2 m

[O , E ]+ 1m

β O2 (182 )

i2

2![S , [ S , H ] ]=−β O2

2 m− 1

8 m2 [O , [ O ,E ] ]− 12 m2 O3 (183 )

i3

3![ S , [S , [ S , H ] ] ]= O3

6 m2−1

6 m3 β O 4 (184 )

i4

4 ![ S , [S , [S , [ S , βm ] ] ] ]= β O4

24 m3(185 )

− S=iβ O2 m

(186 )

−i2

[ S , S ]= −i

8 m2[ O ,O ](187)

Juntando todo

H '=β (m+ O2

2 m− O 4

8 m3 )+E− 18 m2 [O , [O , E ] ]− i

8m2 [O , O ]+ β2 m

[ O ,E ]− 13m2 O3+ iβ O

2 m(188 )

H '=βm+O'+E ' (189)

Ahora O'es O( 1m ), podemos transformar H 'por S ' para cancelar O'

S'=−iβ O'

2 m=−iβ

2m ( β2 m

[O , E ]− 13 m2 O3+ iβ O

2m )(190)

Después la transformación con S';

H ' '=e i S' (H '−i∂

∂ t )e−i S'

=βm+E '+ β2m

[O' , E' ]+ iβ O'

2m(191 )

H ' '=βm+O' '+E' (192)

Donde O' 'es O( 1

m2 ) , el cual puede ser cancelado por una tercera transformación,



S' '=−iβ O' '

2 m

H ' ' '=ei S ' '(H ' '−i∂

∂ t )e−i S ' '

=βm+E ' (193 )

¿ β (m+ O2

2m− O 4

8m3 )+ E− 18 m2 [O , [ O , E ] ]− i

8 m2 [O , O ] (194)

Evaluando los productos de operador hasta el orden deseado de precisión

O2

2m=

(α . ( p−e A ) )2

2m=

( p−e A )2

2 m− e

2 mΣ .B(195)

1

8 m2 ( [O , E ]+i O )= e

8 m2(−i α .∇Φ−i α . A )= ie

8 m2α . E (196 )

[O ,ie

8 m2α . E]= ie

8 m2[ α . p , α . E ]

¿ ie8 m2∑

i , j

αi α j(−i∂ E j

∂ x i )+ e4 m2 Σ . E × p(197)

¿ e

8 m2(∇ . E )+ ie

8 m2Σ . (∇× E )+ e

4 m2Σ . E × p

Tal que el Hamiltoniano efectivo hasta el orden deseado es:

H ' ' '=β (m+( p−e A )2

2 m−

p4

8 m3 )+eΦ−e

2mβ Σ. B−

ie

8 m2 Σ. (∇× E )− e

4 m2 Σ. E × p−e

8 m2(∇ . E )(198)

Los términos individuales tienen una interpretación física directa. (Ver Ec.198)

El primer término en el paréntesis es la expresión de:

√¿¿

Y −p4

8 m3 son las correcciones relativistas para la energía.

Los dos términos juntos:

−ie

8 m2Σ . (∇× E )− e

4 m2Σ . E × p(200)

Son la energía Spin-Orbita .En un potencial estático simétricamente esférico, ellos toman una forma muy familiar. En este caso ∇× E=0 .



Σ . E × p=−1r

∂Φ∂ r

Σ . r× p=−1r

∂Φ∂ r

Σ . L(201)

Y este término se reduce a:

H spin−órbita=e

4 m2

1r

∂ Φ∂ r

Σ . L(202)

El ultimo es conocido con el terminó Darwin. En un potencial de Coulomb de un núcleo con

cargaZ|e|, este toma la forma

−e8 m2

(∇ . E )= −e8 m2 Z|e|δ 3 (r )= Z e2

8 m2 δ3 (r )=Zαπ2 m2 δ 3 (r )(203)

Así que esto solo puede afectar los estados S ( l=0 )cuyas funciones de onda son diferentes de

cero en el origen.

Para un átomo hidrogenoide (un solo electrón)

eΦ=−Z e2

4 πr, A=0(204)

Los corrimientos en energía de varios estados debidos a estos términos de corrección pueden ser calculados tomando los valores esperados de estos términos con las correspondientes funciones de onda.

Termino de Darwin (solo para estados S ( l=0 ))

⟨ψns|Zαπ

2 m2 δ3 (r )|ψns⟩=Zαπ

2m2|ψns(0)|2=

Z4 α 4 m

2 n3 (205)

Termino Spin-Orbita (diferente de cero solo para ( l ≠0 ))

⟨ Zα

4 m2σ . r × p⟩=Z 4 α4 m

4 n3

[ j ( j+1 )−l (l+1 )−s ( s+1 ) ]

l ( l+1 )(l+12 )

(206)

Correcciones relativistas:

⟨−p4

8 m3 ⟩=Z4 α 4 m2n4 ( 3

4− n

l+ 12 )(207)

Encontramos:

∆ E ( l=0 )=Z 4 α4 m2 n4 ( 3

4−n) (208 )



¿∆ E (l=1 , j=12 ) (209 )

Así 2 S1 ∕ 2y 2 P1 ∕ 2 permanecen degenerados en este nivel. Ellos son desdoblados por el

corrimiento de Lamb (2S1 ∕ 2>2P1 ∕ 2 )el cual puede ser calculado después de que se vea las

correcciones radiactivas en Electrodinámica Cuántica (QED). Los 2 P1 ∕ 2 y 2 P3 ∕ 2 son

desdoblados por la interacción Spin-Orbita (estructura fina) el cual debería haber estudiado en un curso anterior de cuántica.

∆ E (l=1 , j=32 )−∆ E( l=1 , j=1

2 )=Z 4 α4 m4 n3 (210)

PARADOJA DE KLEIN Y LA TEORÍA DEL AGUJERO

Hasta ahora hemos ignorado las soluciones negativas, sin embargo, las soluciones de energía negativa son requeridas junto con las soluciones de energía positiva para formar un conjunto completo. Si intentamos localizar un electrón formando un paquete de ondas, las funciones de onda estarán compuestas de algunas componentes de energía negativa si el electrón esta mas localizadas, por la relación de incerteza ∆ x ∆ p h . Las componentes de energía negativa no pueden ser ignoradas si el electrón está localizado a distancias comparables a su longitud de onda de Compton h /mcpor lo que encontraremos muchas paradojas y dilemas. Un ejemplo es la paradoja de Klein descrita a seguir.

A fin de localizar electrones, debemos introducir fuerzas extremas que los confinen a la región deseada. Consideremos una situación simplificada, en la que queremos confinar un electrón libre de energía E a la región z<0para un potencial escalón unidimensional de altura V , cómo se muestra en la figura.

Potencial electrostático idealizado con un contorno definido, con una onda incidente (electrón libre) moviéndose a la derecha en la región I.



Ahora en la mitad del espacio z<0existe una onda plana incidente de energía positiva, de momentum k>0 a lo largo del ejez .

ψ inc ( z )=e ikz(10k

E+m0

); (spin arriba )(211)

La onda reflejada en la región z<0tiene la forma

ψref ( z)=ae−ikz(10

−kE+m

0)+be−ikz(

010k

E+m)(212)

Y la onda transmitida en la región z>0(en la presencia del potencial constante V ) tiene una forma similar.

ψ trans (z )=c eiqz (10q

E−V +m0

)+d eiqz (010

−qE−V +m

)(213)

Con un momentum efectivo q de

q=√ ( E−V )2−m2(214)

La función de onda total es

ψ ( z )=θ (−z ) [ψ inc ( z )+ψref ( z ) ]+θ ( z )ψ trans ( z )(215)

Requiriendo la continuidad de ψ ( z )en z=0,ψ inc (0 )+ψref (0 )=ψ trans (0 ) , obtenemos

1+a=c (216 )

b=d (217 )

(1−a ) kE+m

=cq

E−V +m(218 )

bk

E+m=d

−qE−V +m

(219)

De estas ecuaciones podemos ver:

b=d=0 (no hay inversion de spin ) (220 )



1+a=c (221 )

1−a=rc donder=qk

E+mE−V +m

(222 )

⟹c= 21+r

, a=1−r1+r

,(223)

Mientras |E−V|<m, q es imaginario y la onda transmitida decae exponencialmente. Sin

embargo, cuando V ≥ E+m la onda transmitida se torna oscilatoria nuevamente.

Las corrientes de probabilidad j=ψ† α ψ=ψ† α3 ψ z , para las ondas incidentes, transmitida y

reflejada son:

jinc=2k

E+M

jtrans=2 c2 qE−V +m

jref =2 a2 kE+M

(224)

Encontramos: jtrans

jinc

=c2r= 4 r(1+r )2 (¿0 paraV ≥ E+m )

jref

jinc

=a2=( 1−r1+r

)2

(¿1 paraV ≥ E+m )(225)

Aunque la conservación de las probabilidades parece satisfecha:

jinc= jtrans+ jref

Obtenemos la paradoja de que ¡el flujo reflejado es mayor que el incidente! (Björken)

Existe también un problema de violación de causalidad de la teoría de una sola partícula.

TEORÍA DEL AGUJERO

A pesar del éxito de la ecuación de Dirac, debemos enfrentar las dificultades de las soluciones de energía negativa. Por su existencia, se requiere una reinterpretación masiva de la teoría de Dirac, a fin de prevenir que los electrones atómicos hagan transiciones radiactivas a estados de energía negativa. La tasa de transición para un electrón en el estado fundamental de un átomo de hidrogeno caiga en un estado de energía negativa puede ser calculado aplicando la teoría de radiación semiclasica. La tasa para que un electrón haga una transición dentro del

intervalo de energía −m c2 a −2 m c2es

∽2α6

πm c2

ℏ≈108 seg−1 (226)



Y esto ‘crece cataclismicamente’ si todos los estados de energía negativa son incluidos lo cual ciertamente no tiene sentido.

Una solución fue propuesta por Dirac a inicios de 1930 en términos de una teoría de muchas partículas.

El supuso que todos los niveles de energía negativa están llenos en el estado vacio . De acuerdo al principio de exclusión de Pauli, esto evita que cualquier electrón caiga en estos estados de energía negativa y por lo tanto asegure la estabilidad de estados físicos de energía positiva. En cambio, un electrón del mar de energía negativa puede ser excitado a un estado de energía positiva. Éste entonces, deja un agujero en el mar. Este agujero en el estado de energía negativa, negativamente cargado, aparece como una partícula cargada positivamente, de energía

positiva - el positrón. Aparte de las propiedades del positrón, su carga |e|=−e>0 y su masa

en reposo me, esta teoría también predice nuevos fenómenos observables:

La aniquilación de un par electrón – positrón. Un electrón de energía positiva cae en un agujero en el mar de energía negativa con la emisión de radiación. De la conservación de energía y momento al menos dos fotones son emitidos, a menos que un núcleo este presente para absorber energía y momento.

A la inversa, un par electrón – positrón puede ser creado desde el vacio por un haz de fotones incidente en la presencia de un ‘blanco’ (objeto) para balance de energía y momento. Este es el proceso mencionado arriba:

Un agujero es creado mientras el electrón excitado adquiere una energía positiva.

Así la teoría predice la existencia de positrones los cuales fueron en efecto observados en 1932. Debido a que los electrones y positrones pueden aniquilarse, debemos abandonar la interpretación de la ecuación de Dirac como una ecuación de onda. También, la razón para descartar la ecuación de Klein – Gordon no se mantiene y en realidad ésta describe partículas de spin 0, tales como piones. Sin embargo, la interpretación del agujero no es satisfactoria para bosones, debido a que no existe exclusión de Pauli para bosones.

Incluso para fermiones, el concepto de un mar no observable infinitamente cargado parece no práctico. En su lugar se ha construido una teoría de muchos cuerpos para acomodar las partículas y antipartículas en una forma consistente. Esto se consigue en teoría cuántica de campos.

LAS SOLUCIONES DE ENERGÍA NEGATIVA

Si se usan la interpretación estándar de la mecánica cuántica de las ecuaciones de onda de un cuerpo para las ecuaciones de Dirac y de Klein-Gordon se tiene como resultado un gran problema. La razón es la existencia de las soluciones de energía negativa. Debido a que el espectro no está limitado desde abajo, esto lleva a una inestabilidad de cualquier estado con uno o más electrones como por ejemplo un átomo. Nada evita que un electrón en un estado de energía positiva haga una transición a cualquiera del número infinitos de estados de energía negativa, por lo tanto emite fotones. En efecto, la tasa para un electrón en estado fundamental del átomo de hidrogeno para que haga una transición dentro del intervalo de energía

−2 m< E←m es del orden de 108 seg−1 . El tiempo de vida del átomo de hidrogeno se hace



cero cuando todos los estados de energía negativa están incluidos. Ciertamente esto no puede ser verdad.

A fin de evitar esta catástrofe debemos abandonar la interpretación de un cuerpo de la ecuación de Dirac. La primera solución presentada por Dirac en 1927 fue postular que todos los estados de energía negativa estaban llenos con electrones con un electrón en cada estado. Debido al principio de exclusión de Pauli que permite un solo electrón por estado, los estados de energía positiva son ahora estables. Esta idea es análoga a la estabilidad de la ultima orbita llena con electrones en un átomo, los cuales no pueden decaer debió a que todos los estados inferiores están llenos. Debido a la analogía con el mar de Fermi lleno, los estados de energía negativa llenos son llamados el Mar de Dirac.

Para no tener energía de carga infinita uno renormaliza estas cantidades en el vacío. En otras palabras la energía y la carga son medidas relativas al mar de Dirac lleno. Ahora llegamos a una teoría del electrón de muchos cuerpos. El vacio está lleno con electrones en el mar de Dirac, los cuales se tornan detectables solo si excitamos un electrón de energía negativa a un estado de energía positiva. Este proceso resulta en un estado vacio en el mar de Dirac lo que se conoce como un agujero. Relativo al mar de Dirac lleno el agujero lleva los números cuánticos opuestos del electrón original, es decir la carga es positiva. El agujero es interpretado así como una antipartícula. Basado en estas consideraciones Dirac postuló la existencia de antipartículas y en particular del positrón en 1930-31. El positrón fue encontrado en rayos cósmicos por Anderson en 1932.

La interpretación de Dirac fue revolucionaria. Hay que recordar que en ese tiempo el hizo su predicción sin que hubiera resultados experimentales que requieran la existencia de antipartícula. Sin embargo esto no es satisfactorio porque solo trabaja solo para fermiones pero no para bosones y requieren además que el vació este lleno con un mar de electrones inobservables e infinitamente cargado.

La interpretación aceptada actualmente de los estados de energía negativa es debida a Stuckelberg y Feynman. En su interpretación los estados de energía negativa tienen sentido cuando uno deja que ellos se propaguen hacia atrás en el tiempo. Una solución de energía negativa propagándose hacia atrás en el tiempo describe una antipartícula propagándose hacia delante en el tiempo como se muestra en la figura; así un electrón con energía negativa propagándose en el tiempo desde el punto 2 al punto 1 es equivalente a un positrón propagándose hacia delante en el tiempo desde el punto 1 al punto 2. Dentro de este cuadro el cual trabaja también para los bosones, uno puede describir todos los procesos la dispersión de partículas y antipartículas así como la aniquilación y destrucción de pares partícula y antipartícula. La interpretación de Stuckelberg y Feynman llevan los siguientes resultados:



1) La emisión de una antipartícula con 4-momento pμ es equivalente a la absorción de una

partícula con 4-momento−pμ .2) La absorción de una antipartícula con 4-momento pμes equivalente a la emisión de una

partícula con 4-momento−pμ.

Interpretación de un electrón moviéndose hacia atrás en el tiempo con energía negativa como un positrón con energía positiva.

Un ejemplo interesante para piones se hace en la lectura original (en inglés).


Apuntes Cuantica Relativista(Traduccion Por Yo)

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