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APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTALTEMAS:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. Expresin algebraica Trmino Parte de un trmino Trminos semejantes Monomio, Binomio, Trinomio Polinomios Parntesis para agrupamiento de expresiones Eliminacin de parntesis Reduccin de trminos semejantes Productos notables Descomposicin de factores (factorizacin) Fracciones algebraicas Reglas para el clculo de fracciones algebraicas Simplificar una fraccin Signos asociados a una fraccin Suma y resta de fracciones Multiplicacin de fracciones Divisin de fracciones Fracciones compuestas Potencias y races Potencia con base positiva Potencia con base negativa Propiedades de las potencias Propiedades que no tienen las potencias Notacin cientfica Races Propiedades de las races Racionalizacin Ecuacin de primer grado con una incgnita Resolucin de una ecuacin Clasificacin de ecuaciones lineales Sistema de ecuacin lineal con dos incgnitas Mtodos de resolucin

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APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL1 EXPRESIN ALGEBRAICAEjemplos

Es una combinacin de nmeros y letras relacionados con operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin y a veces tambin por medio de potencias, radicacin, exponenciacin y logaritmacin.

1. (5x 10)22.

3. xy + 4x2yz 4z3

2 TRMINO

Ejemplos

El trmino es la unidad fundamental operativa en lgebra. Se separan por medio de suma y resta. El trmino contiene multiplicaciones y divisiones.

a) . 7x

b). c) .

3 PARTE DE UN TRMINOConsta de una parte literal y otra numrica

-7 Representa el coeficiente numrico.

Representa el coeficiente literal.

El coeficiente literal se ordena en forma alfabtica

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4 TRMINOS SEMEJANTES

Ejemplos 6a2b es semejante con -8 a2b

-2x Son aquellos que poseen la misma parte

es semejante con 5x es semejante con 3x

literal.

x

4xyz no es semejante con

5 MULTINOMIO (Ms de un trmino)Monomio (1 trmino) 5x xyz3 Segn el nmero de trminos que posee una expresin algebraica se denomina MONOMIO, BINOMIO, TRINOMIO Y MULTINOMIO. Binomio (2 trminos) 2x + 3y a2 2b2 Trinomio (3 trminos) 3x + 5y 7 a+bc

+5 8+y

+ 2x 5 27 + x y

IMPORTANTE: Los trminos se separan por los signos + y/o

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APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL6 POLINOMIOSLos polinomios estn formados por trminos cuyos coeficientes literales contienen exclusivamente exponentes enteros positivos.

Forma general de un polinomio de una variable (P(x)) P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ....... anxn 1) a0 , a1 , a2 , a3 , ....... an (constante x 2) n (exponente) IN {0}. IR)

Ejemplos de polinomios y no polinomios.

Son polinomios

No son polinomios

a) x2 + 2x 1 b) x + 3 c) x3 2x + 1 Presencia de exponentes enteros positivos

a) b) c)

+ 2x 1 +5 +1

Presencia de exponentes fraccionarios.

7 PARNTESIS PARA AGRUPAMIENTO DE EXPRESIONES.Tipos Redondo Corchete Llaves Simbologa ( ) [ ] { } Ejemplos (3x 1) [2x 1] {5x 3}Pgina 4

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8 ELIMINACIN DE PARENTESIS CASO 1: Cuando el signo (+) antecede el parntesis no interviene en la operacin. + (a 2b) = a 2b

CASO 2: Cuando el signo () antecede el parntesis si interviene en la operacin.

CASO 3: Presencia de parntesis dentro del parntesis. Estas expresiones se resuelven de adentro hacia fuera. Ejemplo: {8x [x 4(3 x) + 1]} = {8x [x 12+ 4x + 1]} = {8x [ 11+ 5x]} = {8x + 11 5x} = 8x - 11 + 5x = -3x - 11

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APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL9 REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES

Consiste en sumar y/o restar los coeficientes numricos conservando el factor literal comn. Ejemplo 1: Reducir a) (3x 1) + (x + 1) (2x 3) + 4

Eliminando los parntesis resulta: 3x 1 + x + 1 2x + 3 + 4 Ordenando: (3x + x 2x) + (1 + 3 + 4 + 1) Reduciendo, se obtiene finalmente: 2x + 7 Ejemplo2: Reducir b) [2(a b) (a + b + 3)] (2a - 5b + 4)

Eliminando parntesis: 2a 2b a b 3 2a + 5b 4 Ordenando: (2a a 2a) + (2b b + 5b) + (3 4) Reduciendo, se obtiene finalmente: a + 2b 7

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APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL10 PRODUCTOS NOTABLESRepresentan casos de inters de multiplicacin de polinomios.

1) Monomio por monomio 2) Monomio por polinomio 3) Polinomio por polinomio

ab = ab a(c + d) = ac + ad (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

4) Binomio cuadrado (a b)2 = a2 2ab + b2 5) Suma por diferencia (a + b)(a b) = a2 b2

Ejemplos:

1) Monomio por monomio

ab = ab

a) (4x3y)( 2xy2) = (4)( 2)( x3x )( yy2 ) = 8x4y3 b) (ab)(4a2b2)( 5a3b4) = 4(5)( aa2a3 )( bb2b4 ) = 20a6b7

2) Monomio por polinomio

a(c + d) = ac + ad

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a) 3x(5 x) = 3x(5) 3x(x) = 15x 3x2 b) 2(a b) = 2a + (2)( b) = 2a + 2b

3) Polinomio por polinomio

(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd

Ejemplos: a) (x 1)(x + 5) = x2 + 5x x 5 = x2 + 4x 5 b) (2a + b)(3a b) = 6a2 2ab + 3ab b2 = 6a2 + ab b2 c) (p + 2)(3p + 4) = 3p2 + 4p + 6p + 8 = 3p2 + 10p + 8

4) Binomio cuadrado

(a + b)2 , (a b)2

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(a b)2 = a2 ab ab + b2 = a2 2ab + b2

Ejemplos: a) (x + 3)2 = x2 + 2(3x) + 32 = x2 + 6x + 9 b) (x 3)2 = x2 2(3x) + 32 = x2 6x + 9 c) (2a + b)2 = (2a)2 + 2(2a)b + b2 = 4a2 + 4ab + b2 d) (3a 5b)2 = (3a)2 2(3a)(5b) + (5b)2 = 9a2 30ab + 25b2

5) Suma por diferencia

(a + b)(a b) = a2 b2

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Ejemplos: a) (x 2)(x + 2) = x2 22 = x2 4 b) (2a 1)(2a + 1) = (2a)2 (1)2 = 4a2 1 c) (3x 2y)(3x + 2y) = (3x)2 (2y)2 = 9x2 4y2

11 DESCOMPOSICIN DE FACTORES (Factorizacin)1) Factor comn monomio ac + ad = a(c + d)

2) Trinomio cuadrado perfecto

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 2ab + b2 = (a b)2

3) Forma an

bn

a2 b2 = (a + b)(a b) a2 + b2 = Irreductible en IR

4) Trinomio cuadrado perfecto

x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ejemplos:1) Factor comn monomio ac + ad = a(c + d)

Factorizar las siguientes expresiones: a) 6x 3y = 2(3)x (3)y = 3(2x y) b) 4xy + 8x = (4x)y + 2(4x) = 4x(y + 2) c) 9a2 + 27ab = (9a)a + (9a)3b = 9a(a + 3b)Pgina 10

APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTALd) 5x3y 10x2y2 + 15xy3 = (5xy)x2 (5xy)2xy + (5xy)3y2 = 5xy(x2 2xy + 3y2)

2) Trinomio cuadrado perfecto

a2

2ab + b2 = (a b)2

Ejemplos: a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2(3x) +(3)2 = (x + 3)2 b) x2 + 8x + 16 = x2 + 2(4x) + (4)2 = (x + 4)2 c) x2 6x + 9 = x2 2(3x) +(3)2 = (x 3)2 d) x2 8x + 16 = x2 2(4x) + (4)2 = (x 4)2

3) Forma an

bn

Ejemplos:

TIPO a2 b2 a) x2 1 = x2 12 = (x 1)(x + 1) b) 4x2 16 = (2x)2 42 = (2x 4)(2x + 4)

TIPO a2 + b2 a) x2 + 1 b) x2 + 25 No se puede factorizar en IR No se puede factorizar en IR

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APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTALTIPO a3 b3 a) x3 27 = x3 33 = (x 3)(x2 + 3x + 9) b) x3 8 = x3 23 = (x 2)(x2 + 2x + 4) TIPO a3 + b3 a) x3 + 1 = x3 + 13 = (x +1)(x2 x + 1) b) x3 + 125 = x3 + 53 = (x + 5)(x2 5x + 25)

4) Trinomio cuadrado perfecto

x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ejercicios: Factorizar las siguientes expresiones:

Estos ejercicios se desarrollan por Tanteo. a) x2 7x + 6 = x2 + (1 6) x + (1)( 6) = (x 1)(x 6) b) x2 + 9x + 20 = x2 + (5 + 4)x + (5)(4) = (x + 5)(x + 4) c) x2 x 2 = x2 + (1 2)x + (1)( 2) = (x + 1)(x 2) d) x2 6x + 8 = x2 + (2 4)x + (2)( 4) = (x 2)(x 4)

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APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL12 FRACCIONES ALGEBRAICASLas fracciones a estudiar en este captulo son las fracciones racionales, es decir, fracciones que no tienen exponente fraccionario tanto en el numerador como en el denominador.

13 REGLAS PARA EL CLCULO DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Son las mismas que las fracciones aritmticas. Destaca la regla, que el valor de una fraccin NO se altera si se multiplican o dividen, el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinto de cero.

Ejemplo: Si

se multiplica por x + 2 numerador y denominador resulta: (x 2)

14 SIMPLIFICAR UNA FRACCIN (Reduccin) Consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible.

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Observacin: Es fundamental expresar la condicin (x 2) para simplificar la fraccin.

No es correcto simplificar , o dejar abierta esta posibilidad, producto de NO haber establecido las restricciones en una expresin algebraica a simplificar.

15 SIGNOS ASOCIADOS A UNA FRACCIN

Ejemplo:

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16 SUMA Y RESTA DE FRACCIONESCaso 1: Mismo denominador

Caso 2 : Distinto denominador

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A travs de mnimo comn mltiplo (M.C.M.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes de denominador comn. Ejemplo: Expresar en una fraccin comn Solucin: (Caso 1)

Solucin: (Caso 2) Encontrado el M.C.M. (15a2b2), se multiplica cada fraccin (tanto numerador como denominador) por los trminos que falta por completar el

M.C.D.

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APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL17 MULTIPLICACIN DE FRACCIONES

Sea

una fraccin algebraica cualquiera que est multiplicada por otra

,

entonces:

Ejemplos:

a)

b)

c)

18 DIVISIN DE FRACCIONESSea una fraccin algebraica cualquiera que est dividida por otra , entonces:

b, d

0

Ejemplos:

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En los ejercicios b) y c) se ilustra la importancia de tener bien definido la lnea divisoria.

d)

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APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL19 FRACCIONES COMPUESTASUna fraccin compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador. La operacin de reduccin de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.

Ejemplos:

Condicin: x, y

0

x

y

(x + y)

0Pgina 19

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20 POTENCIAUn nmero multiplicado muchas veces, por s mismo, es una potencia. 333333 = 36

GENERALIZANDO

Potencia es el producto de varios factores iguales

bn = b b b b b ........ b

b

IR, n Z

Ejemplo: a) 23 = 222 = 8 b) 52 = 55 = 25 c) (2)3 = (2) (2) (2) = 8 d) (5)2 = (5) (5) = 25 e) 23 = (222) = 8 f) 52 = (55) = 25 g) x3 = x x x = x3 h) x2 = x x = x2

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21 POTENCIA CON BASE POSITIVA ES SIEMPRE POSITIVA

bn > 0Donde b n Z IR+

No importa el signo del exponente, si la base (b) es positiva, el resultado de la potencia (bn) es siempre positivo. Ejemplo: 32 = 9 ; 3-2 =

22 POTENCIA CON BASE NEGATIVA PUEDE SER + (b)K = +bKSi el exponente es par K = 2n |n| Z Ejemplo: (5)2 = (5)( 5) = 25 Si la base es negativa y el exponente par la potencia resultante es positiva.

(b)K = bKEjemplo: Si el exponente es impar K = 2n + 1 |n| Z (5)3 = (5)( 5)( 5) = 125 Si la base es negativa y el exponente impar la potencia resultante es negativa.

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23 PROPIEDADES DE LAS POTENCIASMultiplicacin Divisin Potencia de un producto an am = an + m a3a2 = (aaa)(aa) = a5 an : am = an m (ab)n = anbn a 0

Potencia de un cociente

Potencia de una potencia Potencia de exponente cero a0 = 1

a

0

Potencia negativa

a-n =

a

0

Exponentes racionales

n

IN

Toda potencia de exponente racional puede expresarse con el smbolo , denominado raz.

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APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL24 PROPIEDADES QUE NO TIENEN LAS POTENCIASNo son conmutativas an na 32 23

No son asociativas No son distributivas respecto a la suma y resta

(a b)n

an bn

(3 4)2

32 42

25 NOTACIN CIENTFICAPara expresar en forma abreviada cantidades muy grandes o muy pequeas se recurre a un tipo de notacin tal como se expone a continuacin: FORMA GENERAL x 10n (x R, n Z) Restriccin de x 1 x < 10

CIFRA CONVENCIONAL

PASO INTERMEDIO ILUSTRATIVO

NOTACIN CIENTFICA 9 106 6,8 109 3,421 1012

9.000.000 6.800.000.000 3.421.000.000.000

0,000009 0,0000000086 0,0000000001243

9 10-6 8,6 19-9 1,243 10-10

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APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL1.- RAICES

Raz, es una notacin desarrollada para representar exponentes racionales.

n

IN , a

Q

Se lee: "Raz ensima de a"

Ejemplos: (Si x > 0)

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ARRIBA 2.- PROPIEDADES DE LAS RACES a, b > 0Multiplicacin

Divisin

PRODUCTOS DE INTERES a, b, c > 0= Ejemplo: = a b (Suma por diferencia)

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APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTALEjemplo:

= Ejemplo:

Nota: (a, b > 0)

ARRIBA 3.- RACIONALIZACINLa racionalizacin permite eliminar las races en el denominador.

Una raz en el denominador (a > 0)

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Dos races en el denominador (a, b > 0)

ARRIBA

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1.- ECUACIN DE PRIMER GRADO UNA INCGNITA (Ecuaciones lineales)

Forma general de una ecuacin de primer grado (o lineal)

ax + b = 0

a, b

IR y a

0

Una ecuacin es una igualdad en la que existen cantidades conocidas y una cantidad desconocida que se acostumbra llamar incgnita.

ARRIBA 2.- RESOLUCIN DE UNA ECUACIN

El proceso de resolucin (1) consiste en someter la ecuacin a sucesivos pasos algebraicos, consistentes en aislar en uno de sus miembros todos los trminos que contiene la incgnita y al otro lado de la ecuacin todos los nmeros. El despeje final de la ecuacin da como unresultado (2) que para ser considerado verdaderamente solucin debe satisfacer la ecuacin. (3)

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ESTRUCTURA DE UNA ECUACIN

Los rectngulos simbolizan las expresiones matemticas ubicadas al lado izquierdo y derecho.

La igualdad (=) es un smbolo de orden (o un comparador) que si fuera mayor que... ( , ) se llamara inecuacin.

Ejemplo 1: Encontrar la solucin de la siguiente ecuacin:6x 16 = 2x + 6 / +16 6x 16 + 16 = 2x + 6 + 16 6x = 2x + 22 / 2x 6x 2x = 2x + 22 2x 4x = 22 / 4

Resultado

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APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTALObtenido el resultado se verifica a continuacin si es solucin.

Reemplazando

en la ecuacin , resulta:

6

16 = 2

+6 17 = 17

33 16 = 11 + 6

Luego,

satisface la ecuacin, por lo tanto, es solucin.

Ejemplo 2: Encontrar la solucin de la siguiente ecuacin.

Arreglando la fraccin de cada miembro resulta:

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Luego: 2x = Simplificando resulta: 2x = 6

x = 3 es el resultado. A continuacin se verifica si x =3 es solucin. Reemplazando x = 3 en la ecuacin original se obtiene:

De aqu se obtiene:

Por lo tanto, se deduce que x = 3 es slo un resultado, pero no es solucin de la ecuacin.

La ecuacin no tiene solucin.

ARRIBA

3.- CLASIFICACIN DE ECUACIONES LINEALES

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a) Ecuaciones lineales En este tipo de ecuacin el denominador de todos las expresiones algebraicas son igual a 1.

Para proceder a la resolucin se debe:

Eliminar parntesis.

Dejar todos los trminos que contengan a "x" en un miembro y los nmeros en el otro.

Luego despejar "x" reduciendo trminos semejantes.

Ejemplo:Pgina 32

APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTAL4x 2(6x 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x 12x 3x 24x = 192 10 35x = 182

b) Ecuaciones fraccionarias En este tipo de ecuacin el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1. Para proceder a la resolucin se debe:

Llevar a ecuacin lineal multiplicando la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores. (M.C.M.)

Ejemplo:

18x 9x + 4x = 24 3 13x = 27Pgina 33

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x=

c) Ecuaciones literales Pueden ser lineales o fraccionarias, si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir trminos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.

Ejemplo:

ARRIBA

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1.- SISTEMA DE ECUACIN LINEAL CON DOS INCGNITAS

Forma general a, b, c, d, e, f IR

ARRIBA 2.- MTODOS DE RESOLUCIN Son varios los mtodos de resolucin existentes. A continuacin

estudiaremos:

Sistemas de ecuaciones:

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MTODO DE REDUCCIN En este mtodo se debe multiplicar las ecuaciones por constantes numricas que permitan que los coeficientes de una de las incgnitas, (en ambas ecuaciones), sean inversos aditivos, de tal forma que al sumar las ecuaciones se logre tener una ecuacin con una sola incgnita.

Ejemplo:

Encontrar la solucin del siguiente sistema aplicando el mtodo de reduccin.

Resolucin:

Acondicionando ambas ecuaciones de forma de sumarlas para que una de las variables x y se eliminen resulta:

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APUNTES DE ALGEBRA ELEMENTALSumando ambas ecuaciones (c y d) resulta:

(2x + 4y) + (2x 3y) = 7 + (6) 3y + 4y = 1 y=1

Para calcular x se utiliza cualquier ecuacin original para reemplazar y = 1.

De la ecuacin a) se tiene: x 2(1) = 3 x=5 Resumen: x = 5 e y = 1 es el nico par de soluciones que satisface el sistema de ecuacin:

MTODO DE SUSTITUCIN El mtodo consiste en despejar una incgnita de una de las ecuaciones y se reemplaza en la otra

Ejemplo:Pgina 37

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Resolver:

Resolucin:

Despejando en la ecuacin a) la incgnita x resulta: a) x = 3 + 2y

Reemplazando en la ecuacin b) se tiene: b) 2(3 + 2y) 3y = 7 De aqu: y=1

Para calcular x se utiliza cualquier ecuacin original. En ella se reemplaza y = 1. Calculo de x: En la ecuacin a) se reemplaza y = 1 x 2y = 3 x 2(1) = 3 x=5 ARRIBAPgina 38

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