apuntes de calculo II

7/26/2019 apuntes de calculo II

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CAPITULO I

LA INTEGRAL INDEFINIDA

1.

ANTIDERIVADA DE UNA FUNCINUna funcin F(x) se llama Antiderivadade otra funcin f(x) continua sobre un

intervalo I si se verifica que: F(x) = f(x), x I.

F(x) = x4es una Antiderivada de f(x) = 4x3 x , pues:

F(x) = f(x) => 4x3= 4x3

Sin embargo la funcin G(x) = x4+ C es tambin una Antiderivada de

f(x) = 4x3pues se verifica:

]Cx[dx

d[G(x)]

dx

d 44x3= f(x) , x ,

OBSERVACIONES:

1. Si F(x) es una Antiderivada particular de f(x) en I entonces la

Antiderivada Generalde f(x) en I esta dada por la funcin G(x) = F(x)+C

f(x) = 4x3tiene su Antiderivada general en G(x) = x4+ C pues:

G(x) = 4x3= f(x) x I.

2. De (1) se deduce que si F(x) es una Antiderivada de f(x) en I cualquier

otra Antiderivada de f en I es una curva paralela al grfico de y = F(x)

F(x) = x4 G(x) = x4+ 1 H(x) = x41

y

x

1xG(x)4

4

xF(x)

1xH(x)4


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2. DEFINICIN (INTEGRAL INDEFINIDA)

Si F(x) es una Antiderivada de f(x) en I. La I ntegral I ndefi nidade f(x) es el

conjunto de las Antiderivadas de f(x) en dicho intervalo y es denotado por:

CF(x)dxf(x) Donde:

- C R y es llamado constante de integracin

- f(x) es llamado integrando

- f(x) dx es llamado elemento de integracin

- x es la variable de integracin

- es el smbolo de la integralOBSERVACIONES:

De la definicin anterior se deduce:

1. f(x)(x)F'C}{F(x)dx

d}dxf(x){

dx

d

Por lo cual se dice que la integracin es la operacin inversa de ladiferenciacin.

2. dxf(x)dx(x)F'dxC}'{F(x)dx}'dxf(x){}dxf(x)d{ 3. Si f es derivable en I entonces una primitiva o antiderivada de f es f

entonces:

Cf(x)dx(x)'f

4. dx(x)'fd{f(x)} de (3) se deduce:

Cf(x)d{f(x)} Ejemplos:

- 1n,C1n

xdxx

1nn


3/360

Pues:n

n1n

x1n

x1)(nC)

1n

x(

dx

d

- Cx3

1C

12

xdxx

312

2

Pues:2

23

x3

x(3)C)

3

x(

dx

d

- Csen xdxxcos

Pues: xcosC)(sen xdx

d

- Cxcosdxsen x

- Cxctgdxxcsc2 NOTA: Todas estas integrales son llamadas integrales inmediatas pues se

verifica que Cf(x)dx(x)'f

PROBLEMAS

1. Hallar una antiderivada de c/u de las siguientes funciones

a) f(x) = 3x + 2 => C2xx2

3F(x)

2

b) f(x) = 3 cos 4x => C4xsen4

3F(x)

c) f(x) =sec x tg x => CxsecF(x)

2. Encontrar las funciones F(x) tal que

a) F(x) = 3x2 , F(1) = 2

dx3xdx(x)'F2

)d(xd{F(x)} 3


4/360

F(x) = x3+ C Antiderivada general

F(1) = (1)3+ C = 2 => C = 1

1xF(x)3

Antiderivada particular

b)

F(x) = sen 2x , F(/3) = 1

dx2xsendx(x)'F

)2

2xcosd(d{F(x)}

C2xcos

2

1F(x) Antiderivada general

1C)3

2(cos

2

1)3/F( =>

4

3C

4

32xcos

2

1F(x) Antiderivada particular

3. La pendiente de una curva en cualquier punto ( x , y ) de ella es igual a

4x + 6. Si la curva pasa por el punto ( 1 , 1 ) de una ecuacin de ella.Sea: F(x) = 4x + 6

dx)64x(dx(x)'F

C6x2xF(x)2

C6x2xF(x)y2

Ecuacin general de la curva

Como F(x) pasa por ( 1 , 1 ) satisface su ecuacin

C6(1)2(1)12

=> C =7

76x2xF(x)2

Ecuacin particular de la curva

4. En cada punto de una curva cuya ecuacin es y = F(x); yD2x = 6x2 y en

el punto ( 1 , 2 ) la pendiente de la curva es 8. Halle una ecuacin de la

curva.


5/360

Sea: F(x) = 6x 2

dx)26x(dx(x)''F

C2x3x(x)'F2

Para x = 1 , y = F(1) =8

C2(1)3(1)82

=> C = 7

72x3x(x)'F2

dx)72x3x(dx(x)'F2

C7xxxF(x)y 23 Ecuacin general de la curva

Como pasa por ( 1 , 2 ) satisface su ecuacin

C7(1)(1)(1)223

=> C =5

57xxxF(x)23

Ecuacin particular de la curva

5. Hallar una antiderivada de c/u de las siguientes funciones

a) f(x) = x2+ 2x3 => Cx2

1x

3

1F(x)

43

b) f(x) = 3 sec4x => Cxtgxtg3F(x)3

c)bax

1f(x)

=> Cbax

a

2F(x)

6.

Encontrar la funcin tal que:

a)x

2(x)'F , F(1) = 4

x

dx2dx(x)'F

)xd(4d{F(x)}

Cx4F(x) Antiderivada general


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4C14F(1) => C = 0

x4F(x) Antiderivada particular

b)

2

sen xx(x)'F , 2

1)2/F(

dxsen xxdx(x)'F2

)xcos21

d(d{F(x)}2

Cxcos

2

1F(x)

2 Antiderivada general

2

1C)2/(cos

2

1)2/F(

2 =>

2

1C

2

1xcos

2

1F(x)

2 Antiderivada particular

c) 2x9x(x)'F , 1)5F(

dxx9xdx(x)'F2

})x9(31

d{d{F(x)}3/22

C)x9(3

1F(x)

3/22 Antiderivada general

1C])5(9[31)5F( 3/22 => 3

11C

3

11)x9(

3

1F(x)

3/22 Antiderivada particular

7. La pendiente de una curva en un punto cualquiera ( x , y ) de ella es igual

a cos x. Encontrar una ecuacin si esta pasa por el punto ( /2 , 2 )

Sea: F(x) = cos x

dxxcosdx(x)'F


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Csen xF(x)y Ecuacin general de la curva

Como pasa por ( /2 , 2 ) satisface su ecuacin

C

2

sen2 => C = 1

1sen xF(x) Ecuacin particular de la curva

2.1.PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

Proposicin: Si f y g son funciones que admiten Antiderivadas en I

entonces lo mismo sucede con f g; Kf donde K es constante

a) dxg(x)dxf(x)dx]g(x)f(x)[

b) dxf(x)Kdxf(x)K2.2.FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACIN

1. Cudu

2. CuLndu

u

3. 1n,C1n

uduu

1nn

4. Cedue uu

5. 0a,CaLn

adua

uu

6. Cucosduusen

7. Cusenduucos

8. CucosLnCusecLnduutg

9.

CusenLnduuctg


8/360

10. CutgusecLnduusec

11. CuctgucscLnduucsc

12.

Cutgduusec2

13. Cuctgduucsc2

14. Cusecduuu tgsec

15. Cucscduuctgucsc

16. Cucoshduusenh

17. Cusenhduucosh

18. CucoshLnduutgh

19. CusenhLnduuctgh

20. Cutghduusech 2

21. Cuctghduucsch 2

22. Cusechduuu tghsech

23.

Cucschduuctghucsch

24. 0a,C)

a

u(tgarc

a

1

ua

du22

25. 0a,Cau

auLn

2a

1

au

du22

26.

0a,Cau

au

Ln2a

1

ua

du

22


9/360

27. 0a,C)a

u(senarc

ua

du

22

28.

CauuLnau

du 22

22

29. 0a,Ca

usecarc

a

1

auu

du

22

30. 0a,C])a

u(senarcauau[

2

1duua

22222

31. C]auuLnaauu[2

1duau 22

22222

PROBLEMAS

1. Evaluar:

dx

x6

4

2

C)6

x

(senarc4x)6(

dx

4I 22

2. Evaluar:

dxe52x

Ce2

1)dx2(e

2

1I

52x52x

3. Evaluar:

dx)73x(sen

C)73x(cos3

1)dx3()73x(sen

3

1I

4. Evaluar:

dx5

322x

1xx

C)

5

6(Ln

)

5

6(

25

3dx)5

6(25

3dx

5

6

25

3dx

5

32

25

3I

x

x

x

x

x

xx


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3. MTODOS DE INTEGRACIN

3.1.INTEGRACIN POR SUSTITUCIN O CAMBIO DE VARIABLE

Si en la integral dxf(x) se sustituye:

(u)x

du(u)'dx

Entonces:

du(u)'(u)][fdxf(x) OBSERVACIONES:

1.

Despus de la integracin la variable u ser reemplazada por su

expresin en funcin de x teniendo en cuenta que (u)x . La

eleccin de (u)x debe hacerse de modo que se pueda calcular la

integral du(u)'(u)][f 2. En ciertos casos es preferible hallar la sustitucin de la variable en la

forma:

(x)u

dx(x)'du

PROBLEMAS

1. dx)34x(3

Hacemos: u = 4x + 3

du = 4 dx

Cu16

1duu

4

1)dx4()34x(

4

1I

433

C)34x(16

1I

4

2.

dxe 57x


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Hacemos: u = 7x + 5

du = 7 dx

Ce7

1due

7

1)dx7(e

7

1I

uu57x

Ce7

1I

57x

3.

dx54xx

8x3x23

2

Hacemos: u = x3+ 4x2+ 5

du = ( 3x2+ 8x ) dx

CuLnu

dudx

54xx

8x3xI

23

2

C54xxLnI 23

4. dx2xcos212xsen

Hacemos: u = 1 + 2 cos 2xdu =4 sen 2x dx

Cu6

1duu

4

1dx2xcos212xsen4

4

1I

3/2

C)2xcos21(6

1I

3/2

5. 2x8

dxx

Hacemos: u = 8 + x2

du = 2x dx

Cuu

du

2

1

x8

dx2x

2

1I

2

Cx8I 2


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6. dx)4x(x33/2

Hacemos: 4xu3/2

dxx23du

Cu6

1duu

3

2dx)4x(x

2

3

3

2I

4333/2

C)4x(6

1I

43/2

7.

dxx

xtg2

Hacemos: xu

x2

dxdu

C2uutg2du)1usec(2duutg2dx

x2

xtg2I

222

Cx2xtg2I

8. dx)cosh x1(senh x

3

Hacemos: u = 1 + cosh x

du = senh x dx

C2u

1

u

dudx

)cosh x1(

senh xI

233

C)cosh x1(2

1I

2

3.2.MTODO DE INTEGRACIN POR PARTES

Dadas las funciones u = u (x) y v = v (x) diferenciables en I entonces se

tiene que:


13/360

d (uv) = u dv + v du

Aplicando integral a ambos miembros se tiene:

duvdvu(uv)d

duvdvuuv

duvuvdvu Frmula de I ntegracin por PartesOBSERVACIN:

1. En la prctica se sigue los siguientes pasos:

Identificar:

dx(x)'g(x)f Normalmente se hace:

(x)fu dx(x)'gdv

dx(x)'fdu (x)gv

La frmula de integracin por partes indica que:

dx(x)'f(x)g(x)g(x)fdx(x)'g(x)f NOTA:

Para descomponer el elemento de integracin dados en dos factores u y dv

normalmente se elige como u aquellos que se simplifican con la

derivacin xn(n N), arc tg x, arc senx, arc sec x, etc.

Pri oridad para la variable u:Estableceremos un orden de prioridad parala variable u

1. Ln x

2. xn , n N

3. ekx

Es decir:

Si uno de los factores es una funcin logartmica tal funcin tendrque tomarse como u.


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Si no existe funcin logartmica pero si una potencia de x esta se

convierte entonces en la variable u.

Si no existe funcin logartmica ni potencia de x se toma entonces

como u la funcin exponencial. Si se tiene en cuenta este orden de prioridad se evitaran muchos

intentos fallidos al elegir u y dv.

PROBLEMAS

1. dxxsecx2

Hacemos: xu dxxsecdv 2

dxdu xtgv

CxsecLnxx tgdxxtgxx tgdxxsecxI2

CxcosLnxx tgI

2. dxx

Ln x3

Hacemos: Ln xu 3x

dxdv

x

dxdu

22x

1v

32323x

dx

2

1

2x

Ln x

2x

dx

2x

Ln xdx

x

Ln xI

C4x

)1Ln x2(C

4x

1

2x

Ln xI

222

3. dxxxtgarc

2

Hacemos: xtgarcu 2x

dxdv

2x1

dxdu

x

1v


15/360

)x1(xdx

x

xtgarcdx

x

xtgarcI

22

dx)x1(x

x)x1(

x

xtgarc

)x1(x

dx

x

xtgarcI

2

22

2

dxx1x

x

dx

x

xtgarcI

2

dxx12x

2

1

x

dx

x

xtgarcI

2

Cx1Ln2

1xLn

x

xtgarcI 2

Cx1

xLn

x

xtgarcI

2

4. dx)Ln x(sen2

Hacemos: z = Ln x

x = ez

dx = ez

dz

dzzsenedx)Ln x(senI2z2

Hacemos: zeu dz2

2zcos1dzzsendv

2

dzeduz

4

2zsen

2

zv

dz)42zsen

2

z(e)

4

2zsen

2

z(eI

zz

dz2zsene41

dzez2

1)

4

2zsen

2

z(eI

zzz (1)

dzezIz

1

Hacemos: u = z dv = ezdz

du = dz v = ez


16/360

1

zzzzz

1 CeezdzeezdzezI (2)

dz2zseneIz

2

Hacemos: zeu dz2zsendv

dzeduz

2zcos2

1v

dz2zcose21

2zcose2

1dz2zseneI

zzz

2

dz2zcose

2

12zcose

2

1I

zz

2

Hacemos: zeu dz2zcosdv

dzeduz

2zsen2

1v

]dz2zsene2

12zsene

2

1[

2

12zcose

2

1I zzz2

]dz2zsene2

12zsene

2

1[

2

12zcose

2

1I zzz2

dz2zsene41

2zsene4

12zcose

2

1I

zzz

2

2

zz

2 I4

12zsene

4

12zcose

2

1I

2zsene412zcose

21I

41I zz22

2zsene4

12zcose

2

1I

4

5 zz2

2

zz

2 C2zsene5

12zcose

5

2I (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1):


17/360

)C2zsene5

1

2zcose5

2(

4

1)Ceez(

2

1)

4

2zsen

2

z(eI

2

z

z1

zzz

2

z

z

1

zzzz

C4

12zsene

20

1

2zcose10

1C

2

1e

2

1ez

2

12zsene

4

1ez

2

1I

21

zzzC

4

1C

2

12zcose

10

12zsene

5

1e

2

1I

C2zcose10

12zsene5

1e2

1Izzz

C)Ln x2(cosx10

1)Ln x2(senx

5

1x

2

1I

3.3.INTEGRACIN POR SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA

Si el integrando contiene una expresin de la forma 22 ua , 22 ua ,

22 au donde ( a > 0 ) a menudo es posible realizar la integracin

haciendo una sustitucin trigonomtrica lo cual nos da una integral que

tiene funciones trigonomtricas.

1 CASO:Si la integral contiene el radical 22 ua ( a > 0 ) mediante

la sustitucin:

senau

Se elimina el radical pues:

cosacosasen1asenaaua 2222222

Para regresar a la variable original u se emplea el tringulo:

22 ua

ua

a

usen


18/360

2 CASO: Si la integral contiene el radical 22 ua ( a > 0 ) mediante

la sustitucin:

tgau


secasecatg1atgaaua 2222222


3 CASO:Si la integral contiene el radical 22 au ( a > 0 ) mediante

la sustitucin:

secau


tgatga1secaasecaau 2222222


NOTA:

En ciertos casos en lugar de las sustituciones trigonomtricas es preferible

emplear las sustituciones hiperblicas

Para 22 ua la sustitucin es: tghau => sechaua 22

Para 22 ua la sustitucin es: senhau => coshaua 22

Para 22 au la sustitucin es: coshau => senhaau 22

22 ua u

a

22 au u

a

a

utg

a

usec


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PROBLEMAS

1. dxx4x 22

Hacemos: sen2x

dcos2dx

)dcos2()sen2(4)sen2(dxx4xI 2222

)dcos2()sen1(4)sen4(I 22

dcossen16dcossen1sen16I2222

dsen16dsen16d)sen1(sen16I4222

d)2

2cos1(16d

2

2cos116I

2

d)2cos1(4d)2cos1(8I2

d)2cos2cos21(4d)2cos1(8I

2

d2cos4d2cos8d4d2cos8d8I2

d2cos4d4d2cos4d4I22

d)4cos1(2d4d2

4cos14d4I

d4cos2d2d4cos2d2d4I

C4sen2

12)d4(4cos

2

12I

C4sen2

12)d4(4cos

2

12I

C2coscossen22C2cos2sen2I

C]sencos[cossen22I 22 (1)


20/360

Volviendo a la variable original

Sustituyendo en (1):

C])2

x()

2

x4([)

2

x4()

2

x(2

2

xsenarc2I

2222

C]

4

x

4

x4[)

2

x4()

2

x(2

2

xsenarc2I

222

C)2

x2()

2

x4()

2

x(2

2

xsenarc2I

22

Cx4)x2(x4

1

2

xsenarc2I 2

2

2.

dx

1x4cosxcos

sen x

2

Hacemos: u = cos x

du =sen x dx

14uu

dudx

1x4cosxcos

sen xI

22

3)2u(

duI

2

Hacemos: sec32u

dtgsec3du

d3)sec3(

tgsec3

3)2u(

duI

22

d

tgtgsecd

1sectgsecd

3sec3tgsec3I

22

2x4

x2

2

xsen


21/360

1CtgsecLndsecI (1)Volviendo a la variable original


1

2

C3

14uu

3

2uLnI

1

2

C3

14uu2uLnI

12 C3Ln14uu2uLnI

C14uu2uLnI 2

Como: u = cos x

C1xcos4xcos2xcosLnI 2

3. 3xx

dx

24

Hacemos. senh3x

dcosh3dx

d3)senh3()senh3(

cosh3

3xx

dxI

2424

d1senhsenh

cosh

9

1d

3senh3senh9

cosh3I

2424

dcsch91

senh

d

9

1d

coshsenh

cosh

9

1I

4

44

3

14uu2

2u

3

2usec


22/360

dcsch)1ctgh(91

dcschcsch9

1I

2222

Hacemos: u = ctgh

du =csch d

du)1u(91

)dcsch()1ctgh(9

1I

222

Cu9

1u

27

1C)uu

3

1(

9

1I

33

Como: u = ctgh

Cctgh9

1ctgh27

1I

3


3

xsenh

3

3xcosh

2

x

3xctgh

2

C)x

3x(

9

1)

x

3x(

27

1I

23

2

C]1)x

3x(

3

1[)

x

3x(

9

1I

222

C]13x

3x[)

x

3x(

9

1I

2

22

C)3x

3x2()

x

3x(

9

1C)

3x

3x3x()

x

3x(

9

1I

2

22

2

222

C3x)27x

32x(I

2

3

2


23/360

Identidad

senhcoshe

senhcoshLneLn

senhcoshLn

OBSERVACIONES:

1. Si una integral es de la forma

dx)xa,x(f 22n dx)ax,x(f 22

n

Donde:

-

n es un nmero entero impar positivo

Es preferible usar la sustitucin:

222xaz

222axz

2. Para calcular la integral

n22 )ku(duI

Se puede usar la sustitucin trigonomtrica:

u = k tg

Tambin la frmula de reduccin dada por:

1n2221n222

)ku(

du

1)(n2k

32n

)ku()1n(2k

uI , n 2

PROBLEMAS

1.

dxx4

x

2

3

Hacemos: 22 x4z

dxx2dz2z => dxxdzz


24/360

)dzz(z

z4)dzz(

z

z4)dxx(

x4

xI

2

2

2

2

2

Cz

3

14zdz)z4(I

32 Cx4)8x(

3

1C)x4(

3

1x44I 2

23/222

2. dx)1x(2x

42

3

Hacemos: 1xz2

dx2xdz

dz)z

1

z

1(dz

z

1z)dx2x(

)1x(

xI

43442

2

C)1x(3

1

)1x(2

1C

3z

1

2z

1I

322232

3.

32 )52xx(

dx

32 ]4)1x([dx

I

Donde: k = 2

n = 3

13221322 ]4)1x([

dx

1)(3(2)2

32(3)

]4)1x([1)(32(2)

1x

I

2222 ]4)1x([

dx

16

3

]4)1x([16

1xI (1)

221 ]4)1x([dx

I

Donde: k = 2

n = 2


25/360

122212221 ]4)1x([

dx

1)(2(2)2

32(2)

]4)1x([1)(22(2)

1xI

4)1x(

dx

8

1

]4)1x([8

1xI 221

121C)

2

1x(tgarc

16

1

]4)1x([8

1xI

(2)

Reemplazando (2) en (1):

}C)2

1x(tgarc

16

1

]4)1x([8

1x{

16

3

]4)1x([16

1xI 1222

C)2

1x(tgarc

256

3

)52xx(128

)1x(3

)52xx(16

1xI

222

3.4.INTEGRALES DE ALGUNAS FUNCIONES QUE CONTIENEN

UN TRINOMIO CUADRADO

Se presentan 4 casos que son:

1

CASO: rqxpxdx

2

2 CASO: rqxpx

dx

2

3 CASO:

dxrqxpx

bax2

4 CASO: dx

rqxpx

bax2

En los casos 1 y 2 basta completar cuadrados en el trinomio y aplicar las

frmulas elementales: 23, 24, 25 26. En los casos 3 y 4 se usa el

siguiente artificio:

b2p

aq)q2px(

2p

abax

La expresin ( 2px + q ) es la derivada del trinomio cuadrado entonces:


26/360

3 CASO:

dx

rqxpx

]b2p

aq)q2px(

2p

a[

dxrqxpx

baxI

22

rqxpx

dx)

2p

aqb(dx

rqxpx

q2px

2p

aI

22

rqxpxdx

)2p

aqb(rqxpxLn

2p

aI

2

2 (1)

rqxpx

dxM

2 (2)


M)2p

aqb(rqxpxLn

2p

aI 2

4 CASO:

dxrqxpx

]b

2p

aq)q2px(

2p

a[

dxrqxpx

baxI22

rqxpx

dx)

2p

aqb(dx

rqxpx

q2px

2p

aI

22

rqxpx

dx)

2p

aqb(rqxpx

p

aI

2

2 (1)

rqxpx

dxN

2 (2)


N)2p

aqb(rqxpx

p

aI 2

NOTA:

Las integrales M y N son de los CASOS 1 y 2 respectivamente


27/360

PROBLEMAS

1.

dx

82xx

7x4

2

Donde:p = 1 q = 2

a =7 b = 4

4)1(2

)2()7(]2)x12([

)1(2

747x

11)22x(

2

747x

dx

82xx

]11)22x(2

7[

dx82xx

7x4I

22

82xx

dx11dx

82xx

22x

2

7I

22

9)1x(dx1182xx7I

22

Hacemos: sec31x

dtgsec3dx

d9)sec3(

tgsec31182xx7I

2

2

d1sec

tgsec1182xx7I

2

2

dtgtgsec

1182xx7I2

1

2CtgsecLn1182xx7I (1)



28/360


1

22

C3

82xx

3

1xLn1182xx7I

122 C3Ln1182xx1xLn1182xx7I

C82xx1xLn1182xx7I 22

3.5.INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS E

HIPERBLICAS

Daremos una tabla de identidades que son importantes para resolver

ciertos tipos de integrales de funciones trigonomtricas e hiperblicas.

NOTA:

1. 1ucosusen 22 1. 1usenhucosh 22

2. 1utgusec 22 2. 1utghusech 22

3. 1uctgucsc22

3. 1ucschuctgh 22

4.2

2ucos1usen

2 4.2

12ucoshusenh

2

5.2

2ucos1ucos

2 5.2

12ucoshucosh

2

6. ucosusen22usen 6. ucoshusenh22usenh

7. usenucos2ucos 22 7. usenhucosh2ucosh 22

I. INTEGRALES DE LA FORMA

dxxcosxsen

nm

y dxxcoshxsenh

nm

Se consideran dos casos:

3

82xx2

1x

3

1xsec


29/360

1 CASO:Uno de los exponentes m n es un entero impar positivo

Si m es impar positivo se factoriza sen x dx ( senh x dx ) y se

expresa los senos (senos hiperblicos) restantes en funcin de

cosenos (cosenos hiperblicos) usando la identidad:xcos1xsen

22 1xcoshxsenh 22

PROBLEMAS

1. dxxsenh3

)dxsenh x(xsenhdxxsenhI23

)dxsenh x()1xcosh(I 2

Hacemos: u = cosh x

du = senh x dx

Cuu3

1du)1u(I

32

Como: u = cosh x

Ccosh xxcosh3

1I

3

Si n es impar positivo se factoriza cos x dx ( cosh x dx ) y se

expresa los cosenos (cosenos hiperblicos) restantes en funcin

de senos (senos hiperblicos) usando la identidad:

xsen1xcos22

xsenh1xcosh 22

PROBLEMAS

1. dxxcosh3

)dxcosh x(xcoshdxxcoshI23

)dxcosh x()xsenh1(I2

Hacemos: u = senh x

du = cosh x dx


30/360

Cu3

1udu)u1(I

32

Como: u = senh x

Cxsenh31senh xI 3

2 CASO: Ambos exponentes m y n son enteros pares y mayores o

iguales que cero. En este caso se usan las identidades:

2

2xcos1xsen

2

2

12xcoshxsenh

2

2

2xcos1xcos

2 2

12xcoshxcosh

2

NOTA:

Al efectuar las operaciones se obtienen trminos que contienen

potencias pares e impares de cos 2x. Los trminos que tienen las

potencias impares se integran teniendo en cuenta el 1 CASO. Los

trminos que tienen las potencias pares se reducen de nuevo usando

sucesivamente las frmulas indicadas.

PROBLEMAS

1. dx3xcos3xsen42

dx)3xcos(3xsendx3xcos3xsenI22242

dx]2

6xcos1[)2

6xcos1(I

2

dx)6xcos1()6xcos1(81

I2

dx)6xcos6xcos21()6xcos1(81

I2

dx)6xcos6xcos6xcos1(

8

1I

32


31/360

dx)6xcos2

12xcos16xcos1(

8

1I

3

dx)6xcos12xcos21

6xcos2

1(

8

1I

3

dx)6xcos6xcos12xcos21

6xcos2

1(

8

1I

2

dx]6xcos)6xsen1(12xcos21

6xcos2

1[

8

1I

2

dx)6xcos6xsen6xcos12xcos21

6xcos2

1(

8

1I

2

dx)6xcos6xsen12xcos21

2

1(

8

1I

2

dx6xcos6xsen81

dx12xcos16

1dx

16

1I

2

dx6xcos6xsen81

12xsen192

1x

16

1I

2

Hacemos: u = sen 6x

du = 6 cos 6x dx

)dx6xcos6(6xsen481

12xsen192

1x

16

1I

2

duu481

12xsen192

1x

16

1I

2

Cu144

112xsen

192

1x

16

1I

3

Como: u = sen 6x

C6xsen144

112xsen

192

1x

16

1I

3

II. INTEGRALES DE LA FORMA

dxxsecxtg nm ;

dxxcscxctg nm


32/360

dxxsechxtghnm ; dxxcschxctgh

nm

Se consideran dos casos:

1

CASO: Si m es un entero impar positivo se factoriza tg x sec x

( ctg x csc x dx ) tgh x sech x dx ( ctgh x csch x dx ) y se expresa

las tangentes (cotangentes) tangentes hiperblicas (cotangentes

hiperblicas) restantes en trminos de secantes (cosecantes) secante

hiperblico (cosecante hiperblico) mediante la identidad:

1xsecxtg22

xsech1xtgh22

1xcscxctg

22

xcsch1xctgh22

PROBLEMAS

1. dxxsenxcos

4

3

dxxcscxctgdxsen x1

.xsen

xcosdx

xsen

xcosI

3

3

3

4

3

)dxxctgxcsc()1xcsc()dxxcscxctg(xctgI22

Hacemos: u = csc x

du =csc x ctg x dx

)dxxctgxcsc()xcsc1(I2

Cu3

1

udu)u1(I

32

Como: u = csc x

Cxcsc3

1xcscI

3

2

CASO:Si n es un entero par positivo se factoriza secx dx

( cscx dx ) sechx dx ( cschx dx ) y el resto de los secantes

(cosecantes) secantes hiperblicos (cosecantes hiperblicos) se


33/360

transforman en trminos de tangente (cotangente) tangente

hiperblico (cotangente hiperblico) usando la identidad:

xtg1xsec22

xtgh1xsech 22

xctg1xcsc 22 1xctghxcsch 22

PROBLEMAS

1. dxxtgxsec

4

4

)dxxsec(xtg

xtg1)dxxsec(

xtg

xsecdx

xtg

xsecI

2

4

22

4

2

4

4

)dxxsec()xtg1

xtg

1(I

2

24

Hacemos: u = tg x

du = secx dx

C

u

1

3u

1du)

u

1

u

1(I

324

Como: u = tg x

Cxctgxctg3

1C

xtg

1

xtg3

1I

3

3

2. xcosxsen

dx

53

dxxsecxcscxcosxsendx

xcosxsen

dxI

5/23/2

5/23/253

)dxxsec(xsecxcscI21/23/2

)dxxsec(xsecxsecxcscI 22/233/2

)dxxsec(xsecxtg)dxxsec(xsec

xsec

xcscI

223/222

3/2

3/2


34/360

)dxxsec()xtg1(xtgI223/2

)dxxsec()xtgxtg(I21/23/2

Hacemos: u = tg x

du = secx dx

Cu3

2

u

2du)uu(I

3/2

1/2

1/23/2

Como: u = tg x

Cxtg3

2xctg2Cxtg

3

2

xtg

2I 3

3/2

1/2

III. INTEGRALES DE LA FORMA

dxnxcosmxsen ; dxnxcoshmxsenh

dxnxsenmxsen ; dxnxsenhmxsenh

dxnxcosmxcos ; dxnxcoshmxcoshPara calcular estas integrales se usan las frmulas:

]n)x(msenn)x(msen[2

1nxcosmxsen

]n)x(mcosn)x(mcos[2

1nxsenmxsen

]n)x(mcosn)x(mcos[2

1

nxcosmxcos

]n)x(msenhn)x(msenh[2

1nxcoshmxsenh

]n)x(mcoshn)x(mcosh[2

1nxsenhmxsenh

]n)x(mcoshn)x(mcosh[

2

1nxcoshmxcosh


35/360

PROBLEMAS

1. dx5xcoshxsenh2

dx5xcosh)2

12xcosh

(dx5xcoshxsenhI

2

dx5xcosh21

dx2xcosh5xcosh2

1I

dx5xcosh21

dx]2)x(5cosh2)x(5cosh[2

1

2

1I

dx5xcosh

2

1dx)3xcosh7xcosh(

4

1I

dx5xcosh21

dx3xcosh4

1dx7xcosh

4

1I

C5xsenh10

13xsenh

12

17xsenh

28

1I

3.6.INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES POR

FRACCIONES PARCIALESSea la funcin racional

Q(x)

P(x)(x)f ; Df = { x R / Q(x) 0 }

P(x), Q(x) son polinomios de grados m y n (m, n N) respectivamente.

Funcin Racional Propia

Q(x)P(x)(x)f es propia si se verifica esta condicin m < n

Funcin Racional I mpropia

Q(x)

P(x)(x)f es impropia si se verifica esta condicin m n

PROBLEMAS

1.3xx

12xxf(x)

3

24

=> f(x) es una funcin racional impropia


36/360

2.2x

1xf(x)

3

3

=> f(x) es una funcin racional impropia

3.

2x

xf(x)

2

=> f(x) es una funcin racional propia

NOTA:

Toda fraccin impropia puede ser expresada como la suma de un

polinomio y de una fraccin propia es decir:

Q(x)

R(x)(x)C

Q(x)

P(x)(x)f , Donde: Gr [R(x)] < Gr [Q(x)]

Por lo tanto:

Q(x)

R(x)(x)C

Q(x)

P(x) => dxQ(x)

R(x)dxC(x)dx

Q(x)

P(x)

Donde: dxC(x) es elementalPROBLEMAS

1. 1x

23xxf(x)

3

6

44x

24x

xx

23xx

4xxxx

1 x23xx

2

2

223

3

1x

6)4xx(

1x

23xxf(x)

23

Donde:

4xxC(x)2

6R(x)


37/360

1xQ(x)

OBSERVACIN:

1. Veremos el mtodo de integracin para fracciones propias el cual se

basa en que Toda fraccin racional propia puede ser descompuestaen la suma de fracciones simples.

TEOREMA

Cualquier polinomio Q(x) de grado n 1 con coeficientes reales puede ser

expresado como un producto de factores lineales y cuadrticos siendo

estos irreducibles en el sistema de los nmeros reales.

CASOS1 CASO:Los factores de Q(x) son todos lineales y ninguno se repite es

decir: Q(x) = ( xa1) ( xa2) ( xa3) ( x an), donde no hay

dos aiidnticas en este caso escribimos a la fraccin propia:

n

n

3

3

2

2

1

1

ax

A.. .

ax

A

ax

A

ax

A

Q(x)

P(x)

Donde: A1, A2, A3, , Anson constantes que van a ser determinadosPROBLEMAS

1.

dx82xx

14x4xx2

24

64x18

64x168x

x28x

16x4x2x

14x4x2x

8x2xx8x2x

8x2xx14x4 x

2

2

23

23

2

234

224

dx)

82xx

6418x82xx(dx

82xx

14x4xxI

2

2

2

24


38/360

dx82xx

6418xdx)82xx(I

2

2

dx

82xx

6418x8xxx

3

1I

2

23 (1)

dx

)2x()4x(

6418xdx

82xx

6418xI

21

2x

B

4x

A

)2x()4x(

6418x

)4xB()2xA(6418x

4BBx2AAx6418x 4B)2A(B)xA(6418x

3

14B,

3

68A

644B2A

18BA

dx)

2x

14/3

4x

68/3(dx

)2x()4x(

6418xI1

2xdx

3

14

4x

dx

3

68I1

C2xLn3

144xLn

3

68I1 (2)


C2xLn3

144xLn3

688xxx3

1I

23

2 CASO: Los factores de Q(x) son todos lineales y algunos estn

repetidos por lo que si ( x ai ) es un factor que se repite p veces

entonces correspondientes a este factor habr la suma de p fracciones

parciales es decir:

i

p

2pi

3

1pi

2pi

1pi ax

A

...)ax(

A

)ax(

A

)ax(

A

)ax(

P(x)


39/360

Donde: A1, A2, A3, , Apson constantes que van a ser determinados

PROBLEMAS

1.

dx

1xxx

1xx23

2

dx

)1x(1)x(

1xxdx

1xxx

1xxI

2

2

23

2

1x

C

)1x(

B

1x

A

)1x(1)x(

1xx22

2

)1x()1xC()1xB()1xA(1xx22

)1xC()1xB()12xxA(1xx222

CCxBBxA2AxAx1xx222

)CBA()xB2A()xCA(1xx22

4

5C,

2

1B,

4

1A

1CBA

1B2A

1CA

dx]

1x

5/4

)1x(

1/2

1x

1/4[dx

)1x(1)x(

1xxI

22

2

1xdx

4

5

)1x(

dx

2

1

1x

dx

4

1I

2

C1xLn4

5

)1x(2

11xLn

4

1I

3 CASO:Los factores de Q(x) son lineales y cuadrticos y ninguno de

los factores cuadrticos se repite correspondiente al factor cuadrtico

x2+ px + q en el denominador. Esta fraccin parcial es de la forma:

qpxx

BAx

2

Ejemplo:


40/360

22xx

CBx

3x

A

)22xx()3x(

1x22

2

ms conveniente:

22xx

C2)B(2x

3x

A

)22xx()3x(

1x22

2

PROBLEMAS

1. dx1xx3

5

dx

1x

xdxxdx)

1x

xx(dx

1x

xI

3

22

3

22

3

5

dx)1xx()1x(x

x3

1dx

1x

xx

3

1I

2

23

3

23 (1)

dx)1xx()1x(x

I2

2

1

1xx

C)12xB(

1x

A

)1xx()1x(

x22

2

)1xC()1x)(12xB()1xxA(x22

)1xC()1x2xB()1xxA(x222

CCxBBx2BxAAxAxx222

)CBA()xCBA()x2BA(x

22

0C,3

1B,

3

1A

0CBA

0CBA

1B2A

dx

1xx

12x

3

1

1x

dx

3

1dx]

1xx

1)(2x3

1

1x

3

1

[I221


41/360

C1xxLn3

11xLn

3

1I 21 (2)


C1xxLn311xLn

31x

31I 23

C1xLn3

1x

3

1I 3

3

4 CASO:Los factores de Q(x) son lineales y cuadrticos y algunos de

los factores cuadrticos se repiten si x2+ px + q es un factor que se

repite n veces entonces correspondiente a este factor habr la suma de

n fracciones parciales es decir:

qpxx

BxA..

q)px(x

BxA

q)px(x

BxA

q)px(x

BAx2

nn1n2

22n2

11n2

Ejemplo:

92xx

F2)E(2x

9)2x(x

D2)C(2x

9)2x(x

B2)A(2x

9)2x(x

1x2223232

2

PROBLEMAS

1.

dx)2x(

1xx22

3

2x

DC(2x)

)2x(

BA(2x)

)2x(

1xx22222

3

)2xD()2x(C(2x)BA(2x)1xx223

2DDx4Cx2CxB2Ax1xx233

2D)(B4C)x2A(Dx2Cx1xx233

0D,

2

1C,1B,

2

1A

12DB

1C42A

0D

1C2


42/360

dx]

2x

(2x)2

1

)2x(

1(2x)2

1

[dx)2x(

1xxI

22222

3

dx

2x

2x

2

1

)2x(

dxdx

)2x(

2x

2

1I 22222

22222 )2x(dx

dx2x

2x

2

1dx

)2x(

2x

2

1I

222

2 )2x(

dx)2x(Ln

2

1

2)(x2

1I (1)

221 )2x(dxI

Hacemos: tg2x

dsec2dx2

d)1tg(sec

4

2d

]2)tg2([

sec2I

22

2

22

2

1

dcos42

sec

d

4

2d

sec

sec

4

2I

2

24

2

1

d2cos8

2d

8

2d

2

2cos1

4

2I1

Ccossen8

2

8

2C2sen

16

2

8

2I1

(*)


Sustituyendo en (*):

2

x2x2

2

xtg


43/360

C)2x

2()

2x

x(

8

2)

2

x(tgarc

8

2I

221

C2)(x4

x)

2

x(tgarc

8

2I

21

(2)


C2)4(x

x)

2

x(tgarc

8

2)2x(Ln

2

1

2)(x2

1I

2

2

2

C)2

x(tgarc

8

2)2x(Ln

2

1

)2x(4

2xI

2

2

3.7.

INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES

TRIGONOMTRICAS

En general las funciones que contienen combinaciones de funciones

trigonomtricas no son integrables por medio de procedimientos

elementales. Veremos algunos casos en los que la expresin a integrarse

puede ser racionalizada.

INTEGRALES DE LA FORMA

dx)sen x,xcosR( Un integrando que contiene una funcin racional de sen x y cos x se puede

reducir a una funcin racional en la variable z por medio de la sustitucin

z = tg (x/2). Obtenindose de esta una integral que va a quedar de la

siguiente forma:

222

2

z1

dz2)

z1

2z,

z1

z1R(dx)sen x,xcosR(

Luego la integral del segundo miembro es la integral de una funcin

racional en la variable z.

OBSERVACIN:

Para obtener:


44/360

2

2

z1

z1xcos

2z1

z2sen x

2z1

dz2dx

Nos valemos de la sustitucin:

)2x(tgz

1

z)

2

x(tg

)z1

1()

z1

z(2)

2

x(cos)

2

x(sen2)

2

x(2sensen x

22

2z1z2sen x

2

2

2

2

22)

z1

z()

z1

1()

2

x(sen)

2

x(cos)

2

x(2cosxcos

2

2

z1

z1xcos

)2x(tgz =>

2xztgarc => ztgarc2x

2z1

dz2dx

PROBLEMAS

1. xcos3sen x2

dx

Hacemos: )2

x(tgz

2z1

z2sen x

2

2

z1

z1xcos

2z1

dz2dx

)z1

z13(

z1

2z2

z1

dz2

xcos3sen x2

dx

I

2

2

2

2

1

z2z1

x/2


45/360

2222 z332zz22dz

2)z3(12z)z2(1

dz2I

6)1z(

dz2

52zz

dz2

52zz

dz2I

222

)61z()61z(dz

2I

61z

B

61z

A

)61z()61z(

1

)61B(z)61A(z1

)61B(z)61A(z1

])B16()A16([)zBA(1

62

1B,

62

1A

11)B6(1)A6(

0BA

dz]61z

62

1

61z

62

1

[2I

61zdz

6

1

61z

dz

6

1I

C61zLn

6

161zLn

6

1I

C61z

61zLn

6

1I

Como: )2

x(tgz

C61)

2

x(tg

61)2

x(tg

Ln6

1

I


46/360

OBSERVACIN:

1. La sustitucin z = tg (x/2) ofrece la posibilidad de integrar cualquier

funcin racional de sen x y cos x sin embargo en la prctica conduce

a menudo a funciones racionales demasiado complicadas por estarazn en algunos casos es preferible usar la sustitucin:

xtgt

1

txtg

2

t1

tsen x

2t1

1xcos

ttgarcx =>2

t1

dtdx

Esta sustitucin debe ser usada cuando la funcin racional

trigonomtrica tiene la forma:

dx)xsen,xcosR(

kn ; k, n son nmeros enteros pares

dx)xtgR( PROBLEMAS

1.

dxxcos3

xcos2xsen

2

22

Hacemos: xtgt

2t1

tsen x

2t1

1xcos

2t1

dtdx

22

2

2

2

2

2

2

22

t1

dt

.)

t1

1(3

)t1

1(2)

t1

t(

dxxcos3

xcos2xsen

I

1

t2t1

x


47/360

22

2

2

2

22

2

t1

dt.

1)t3(1

2t

t1

dt.

t1

13

t1

2

t1

t

I

dt

)t1()3t2(

2t

t1

dt.

1t33

2tI

22

2

22

2

2222

2

t1

DC(2t)

3t2

BA(6t)

)t1()3t2(

2t

)3tD(2)3tC(2t)(2)tB(1)tA(6t)(12t22222

23232 3Dt2D6Ct4CtBtB6At6At2t

2D)(B4C)t(6A3D)t(B6C)t(6A2t232

3D,0C,8B,0A

22DB

0C46A

13DB

06C6A

2222 t1

dt3

3t2

dt8dt]

t1

3

3t2

8[I

C])

3

2

t(tgarc

3

2

1[

3

8ttgarc3

t3

2

dt

3

8

t1

dt3I

22

C)2

t3(tgarc

23

38ttgarc3I

Como: t = tg x

C)2

xtg3(tgarc

23

38)xtg(tgarc3I

C)2

xtg3

(tgarc3

64

3xI


48/360

3.8.INTEGRALES DE FUNCIONES IRRACIONALES

En la seccin anterior hemos visto que las funciones racionales poseen

integrales que se expresan como combinaciones lineales finitas de

funciones elementales esto no sucede con las funciones irracionales salvoen casos particulares.

Ahora vamos a estudiar ciertas funciones irracionales cuya integral puede

ser expresada como una suma finita de funciones elementales para esto es

necesario un adecuado cambio de variable de manera que el integrando de

la nueva integral sea una funcin racional.

I. INTEGRALES DE LA FORMA

dx])

dxc

bxa(,...,)

dxc

bxa(,xR[ k

n

km

in

im

Donde:

- R es una funcin irracional en la variable x

-

k

n

km

i

n

im

)dxc

bxa(,...,)dxc

bxa(

mi, , mk ; ni, , nk Z

i

i

n

m ; i = 1, 2, , k es nmero racional

Para que:

])dxc

bxa(,...,)

dxc

bxa(,xR[ k

n

km

in

im

Se transforme en una funcin racional en la variable t se hace el

cambio de variable:

dxc

bxat

n

Donde:- n es el M.C.M. [ n1, n2, , nk]


49/360

n

n

tdb

atcx

dt

)tdb(

n t)dacb(dx

2n

1n

PROBLEMAS

1. 3 xxdx

1/31/23 xxdx

xx

dxI

n = M.C.M. [ 2 , 3 ] = 6Hacemos: x = t6

dx = 6t5dt

dtttt

6dt)(t)(t

6t

xx

dxI

23

5

1/361/26

5

1/31/2

dt1t

t

6dt)1t(t

t

6I

3

2

5

1

1t

t

tt

t

1tttt

1 t t

2

2

223

3

1tdt

6dt)1tt(6dt)1t

11tt(6I

22

C1tLn6t3t2tI23

Como: t = x1/6

C1)(xLn6x)3(x)2(xI 1/61/621/631/6


50/360

C1xLn6x3x2xI 1/61/61/31/2

C1xLn6xx3x2I663

2. 128x32x)52x(

dx

)32x(432x)832x(dx

I

n = M.C.M. [ 1 , 2 ] = 2

Hacemos: 2x3 = t

dx = t dt

4t8t

dt

4tt)8t(

dtt

4tt)8t(

dttI

222222

4)2t(dt

84tt

dtI

22

Por Frmula Elemental: ( por sustitucin t + 2 = 2 tg )

C)2

2t(tgarc

2

1I

Como: 32xt

C)2

232x(tgarc

2

1I

II. INTEGRALES DE LA FORMA

rqxpx)ax(

dx

2n , n N

Para evaluar este tipo de integrales se emplea la sustitucin:

t

1ax

2tdtdx


51/360

PROBLEMAS

1. 2x3x)1x(

dx

2

Hacemos:t11x

2t

dtdx

2)t

1t(3)t

1t(t

1

t

dt

2x3x)1x(

dxI

2

2

2

22

2

2

2t1)(t3t1)(tt

1

t

dt

I

22

2t1)(t3t1)(t

dtI

t1

dt

t1

dt

2t3t3t12tt

dtI

222

Ct12I

Como:1x

1t

C1x

2x2C1x

112I

2. 4x2xx

dx

22

Hacemos:t

1x

2t

dtdx


52/360

4)t

1(2)

t

1()

t

1(

t

dt

4x2xx

dxI

22

2

22

12t4t

dtt

4t2t1

dtt

4t

2

t

1

t

1

t

dt

I22

22

2

Hacemos:4

1)28t(

8

1t

dt

12t4t

4

1)28t(

8

1

I2

12t4t

dt

4

1dt

12t4t

28t

8

1I

22

12t4t

dt

4

112t4t

4

1I

2

2

4

1t

2

1t

dt

8

112t4t

4

1I

2

2

16

3)

4

1t(

dt

8

112t4t

4

1I

2

2

Por Frmula Elemental: ( por sustitucin tg4

3

4

1t )

C4

1t

2

1t

4

1tLn

8

112t4t

4

1I 2

2

C4

12t4t14t

Ln8

1

12t4t4

1

I

22


53/360

C12t4t14tLn8

112t4t

4

1I 2

2

Como:x

1t

C1x

2

x

41

x

4Ln

8

11

x

2

x

4

4

1I

22

Cx

42xx1

x

4Ln

8

1

4x

42xxI

22

Cx

42xxx4Ln81

4x42xxI

22

III.INTEGRALES DE LA FORMA

dx)cbxax,xR(2

Donde:

-

)cbxax,xR(

2

es una funcin racional de las

variables x , cbxax 2

Esta integral puede ser reducida mediante las sustituciones de Euler,

las que permiten el integrando en una funcin racional en una sola

variable t se presentan tres casos:

1 CASO:( c 0 ) Se hace el cambio de variable:

ctxcbxax2

Donde los signos se eligen de forma tal que los clculos se

simplifiquen. Sin embargo de cualquiera de las elecciones siempre se

obtiene una funcin racional en la variable t.

PROBLEMAS

1.

dxxx1xxx112

2


54/360

dx

1xxx

1xx1dx

xx1x

xx11I

2

2

2

2

Hacemos: 1tx1xx2

222)1tx()1xx(

12t xxt1xx222

2t xxtxx222

)2txt(x)1x(x2

2txt1x2

2t1xxt2

2t1)1t(x2

1t

2t1x

2

dt)1t(

2t)(2t)(11)2(tdx 22

2

dt)1t(

1)t(t2dx

22

2

dt)1t(

)1tt(2.

]1)1t

2t1

(t[)1t

2t1

(

]1)1t

2t1(t[1

I22

2

22

2

dt)1t(

)1tt(.

]1)1t

2t1(t[)

1t

2t1(

)1t

2t1(t

2I22

2

22

2

dt

)1t(

)1tt(.

]1)1t

2t1(t[

t2I

22

2

2


55/360

dt

)1t(

)1tt(.

]1t

1t)2t1(t[

t2I

22

2

2

2

dt

)1t()1tt(.

)1t

1t2tt(

t2I22

2

2

22

dt

)1t(

)1tt(.

)1t

1tt(

t2I

22

2

2

2

dt1t

2tdt

1t

t2dt

)1t(

)1tt(.

)1t

1tt(

t2I 2222

2

2

2

C1tLnI 2

Como:x

11xxt

2

2

222

x

11xx21xxt

C1x

11xx21xxLnI

2

22

Cx

1xx22xLnI

2

2

2 CASO:( a 0 ) Se hace el cambio de variable:

txacbxax2

Donde la seleccin de los signos es arbitraria y se eligen

fundamentalmente de manera que se simplifique los clculos.

PROBLEMAS

1. dx2x2xx2


56/360

Hacemos: tx12x2x2

222)xt()22xx(

222

x2t xt22xx 2t xt22x

2

2t2x2t x2

2t)22t(x2

)1t(2

2tx

2

dt)1t(2

22ttdx

2

2

dt

)1t(2

22tt.]t

)1t(2

2t[]

)1t(2

2t[I

2

222

dt

)1t(

22tt.])1t(2t)2t([]

)1t(

2t[

8

1I

2

22

2

2

dt

)1t(

22tt.)2t2t2t(]

)1t(

2t[

8

1I

2

222

2

2

dt

)1t(

22tt.)22tt(]

)1t(

2t[

8

1I

2

22

2

2

dt)1t(

)22tt()2t(

8

1I 4

222

dt14t6t4tt

816t12t6t4tt

8

1I

234

2456

816t13t4t

ttt46t4tt

14t6t4t t816t12t6t4t t

23

223456

2342456

__________________


57/360

dt)14t6t4tt

816t13t4tt(

8

1I

234

232

dt

14t6t4tt

44tt)412t12t4t(

8

1dtt

8

1I

234

2232

dt

)1t(

44tt

8

1dt

14t6t4tt

412t12t4t

8

1t

24

1I

4

2

234

233

dt)1t(

44tt

8

114t6t4ttLn

8

1t

24

1I

4

22343

dt)1t(

44tt

8

1

)1t(Ln8

1

t24

1

I 4

243

dt)1t(

44tt

8

11tLn

2

1t

24

1I

4

23 (1)

dt)1t(

44ttI

4

2

1

1tD

)1t(C

)1t(B

)1t(A

)1t(44tt

2344

2

3221)D(t1)C(t1)B(tA44tt

1)3t3tD(t1)2tC(t1)B(tA44tt2322

D3Dt3DtDtC2CtCtBBtA44tt2322

D)CB(At3D)2CB(t3D)C(Dt44tt232

0D,1C,2B,1A

4DCBA

43DC2B

13DC

0D

dt])1t(

1)1t(

2)1t(

1[dt)1t(

44ttI 2344

2

1


58/360

2341 )1t(dt

)1t(

dt2

)1t(

dtI

1231C

1t

1

)1t(

1

)1t3(

1I

(2)


C)1t(8

1

)1t(8

1

)1t(24

11tLn

2

1t

24

1I

23

3

C)1t(24

)1t(3)1t(311tLn

2

1t

24

1I

3

23

C)1t(24

36t3t33t11tLn

2

1t

24

1I

3

23

C)1t(24

79t3t1tLn

2

1t

24

1I

3

23

Como: 22xxxt 2

C)22xx1x(24

22xx)96x()1315x6x(

22xx1xLn2

1

24

)22xxx(I

32

22

232

3 CASO: Cuando las raices del trinomio ax + bx + c son reales es

decir: )xx()xx(acbxax 212

; se hace el cambio de

variable:

)xx(t)xx()xx(acbxax 1212

, x1< x2

PROBLEMAS

1.

dx

6x5xx

6x5xx

2

2

Hacemos: )2x(t)3x()2x(6x5x2


59/360

222 )2x(t])3x()2x([

22)2x(t)3x()2x(

)2x(t3x2

22t2x t3x

22t23x tx

22t23)t1(x

2

2

t1

t23x

dt)t1(

2tdx

22

dt)t1(

2t.

t)2t1

2t3(

t1

2t3

t)2t1

2t3(

t1

2t3

I22

2

2

2

2

2

2

2

2

dt)t1(

2t.

)t1(2t)2t3(t2t3

)t1(2t)2t3(t2t3I

22222

222

dt)t1(

2t.

t22t2t3t2t3

t22t2t3t2t3I

22332

332

dt

)t1(

t.

3t2t

3t2t2dt

)t1(

2t.

3t2t

3t2tI

222

2

222

2

dt

)1t(

t.

)1t()32t(

)1t()32t(2dt

)1t(

t.

3t2t

3t2t2I

22222

2

dt)1t()1t(

t.

)1t()32t(

)1t()32t(2I

22

dt)1t()1t()32t(

6t4t

I 3

2


60/360

1t

E

)1t(

D

)1t(

C

1t

B

32t

A

)1t()1t()32t(

6t4t233

2

1)(t1)3)(tE(2t1)1)(t3)(tD(2t

1)3)(tC(2t1)3)(tB(2t1)(t1)A(t6t4t

2

332

3E)3D3C3BA(

tE)2D5C7B2A(t5E)3D2C3B(

tE)2D3B(2At2E)2B(A6t4t

2

342

500

49E,

50

19D

5

1C,4

5B,125

288A

0E3D3C3B3A

6ED2C5B7A2

45E3D2CB3

0E2D3B2A

02E2BA

1tdt

500

49

)1(t

dt

50

19

)1(t

dt

5

1

1t

dt

4

5

32t

dt

125

288I

23

C1tLn500

49

1)(t50

19

1)(t10

11tLn

4

532tLn

125

144I

2

Como:2x

65xxt

2

C12x

65xxLn500

49

1)2x

65xx(50

19

1)2x

65xx(10

1

12x

65xxLn

4

53

2x

65xx2Ln

125

144I

2

22

2

22


61/360

3.9.INTEGRALES DE LA FORMA

dx)bxa(xpnm

Donde: m, n y p son nmeros racionales (se entiende que a y b son

constantes reales no nulos). A una expresin de la forma

dx)bxa(xpnm

se le llama Binomio Diferencial. El destacado

matemtico ruso ms eminente del siglo XIX: Pafnuty Lvovich

Chevyshev, demostr que la integral de los binomios diferenciales, con

exponentes racionales puede expresarse mediante funciones elementales

solamente en los casos siguientes, (siempre que a 0 y b 0):

CASO I: p es un nmero entero

CASO II:n

1m es un nmero entero

CASO III: pn

1m

es un nmero entero

Si ninguno de los nmeros p, n

1m , pn

1m

es entero, la integral no

puede ser expresada por funciones elementales.

En los 3 casos, mediante sustituciones adecuadas, la integral del binomio

diferencial puede reducirse a la integral de una funcin racional.

CASO III:Si p es un nmero entero, la sustitucin ser:

rzx

Donde:

- r es el M.C.M. de los denominadores de las

fracciones m y n.

CASO III:Sin

1m es un nmero entero, la sustitucin ser:

snzbxa

Donde:


62/360

- s es el denominador de la fraccin p (por ser p un

nmero racionals

rp , r y s son nmeros enteros

coprimos).

CASO III:Si pn

1m

es un nmero entero, la sustitucin ser:

nsnxzbxa sn zbax

Donde:

- s es el denominador de la fraccin p.

PROBLEMAS1.

dx)x1(x

21/31/2

En la integral2

1m ,

3

1n y 2p (p es un nmero entero)

r = M.C.M. [ 2 , 3 ] = 6

Hacemos: 6zx

dzz6dx5

)dz6z(])(z1[)(zdx)x1(xI521/361/2621/31/2

dz)z1(

z6)dz6z()z1(zI

22

85223

dz]

)z1(

34z32zz[6dz

1z2z

z6I 22

2

2424

8

dz)z1(

34z6dz)32zz(6I

22

224

dz)z1(

34z618z4zz

5

6I

22

235 (1)

dz

)z1(

34zI

22

2

1


63/360

Hacemos: z = tg

dz = sec2 d

)dsec(

sec

3tg4)dsec(

])tg(1[

3)tg(4I

2

4

22

22

2

1

d)cos3sen4(dsec

3tg4I

22

2

2

1

d]2

2cos33)2cos1(2[I1

d)2cos2

1

2

7(d)2cos

2

3

2

32cos22(I1

111 Ccossen2

1

2

7C2sen

4

1

2

7I (*)

Volviendo a la variable z


1221C)

1z

1()

1z

z(

2

1ztgarc

2

7I

121C

)1z(2

zztgarc

2

7I

(2)


]C)1z(2

zztgarc

2

7[618z4zz

5

6I 12

35

C1z

3zztgarc2118z4zz

5

6I

2

35

Como:1/6

xz

1

z1z2

ztg


64/360

C1x

x3xtgarc21x18x4x

5

6I

3

6665/6

2. dx)x2(x1/42/31/3

En la integral3

1m ,

3

2n y

4

1p => 2

n

1m

Hacemos: 42/3 zx2 => 2zx 42/3

dzz4dxx3

2 31/3

=> dzzx6dx 31/3

)dzz6x()z(xdx)x2(xI

31/31/441/31/42/31/3

dz)2zz(6dzz)2z(6dzzx6I484442/3

Cz5

12z

3

2I

59

Como: 1/42/3 )x2(z

C)x2(5

12)x2(

3

2I

5/42/39/42/3

3. 1/666 )x65(xdx

dx)x65(xI1/666

En la integral 6m , 6n y 61p => 1pn

1m

Hacemos: 666 xzx65 => 66 z165x

dzz6dx)6x(6557

=> dzzx65

1dx

57

dzzxzx

65

1)dzzx

65

1()xz(xI

5717571/6666

Cz325

1dzz

65

1I

54


65/360

Como:x

)x65(z

1/66

C

x325

)x65(I

5

5/66

4.

INTEGRALES DE LAS FORMAS

1. C(x)Qdxe(x)P axnax

n e

01

2n

2n

1n

1n

n

nn bxb...xbxbxb(x)Q

2. C]...

a

(x)'''P

a

(x)''P

a

(x)'PP(x)[

a

edxeP(x)

32

axax

3. ].. .a(x)P

a

(x)''PP(x)[

a

axcosdxaxsenP(x)

4

(4)

2

C]...a

(x)P

a

(x)'''P

a

(x)'P[

a

axsen5

(5)

3

4.

].. .

a

(x)P

a

(x)''PP(x)[

a

axsendxaxcosP(x)

4

(4)

2

C]...a

(x)P

a

(x)'''P

a

(x)'P[

a

axcos

5

(5)

3

5.

cbxax

dxcbxax.(x)Qdx

cbxax

(x)P

2

2

1n2

n

Qn1(x) se escribe con coeficientes indeterminados. Se deriva ambos miembros

y encontramos los valores de estos coeficientes indeterminados de Qn1(x) y elvalor de

6. Ccosh xbsenh xaLnBAxdxcosh xbsenh xa

cosh xdsenh xc

Derivando ambos miembros se determina los valores de A y B

7. Cxcosbsen xaLnBAxdxxcosbsen xa

xcosdsen xc

Derivando ambos miembros se determina los valores de A y B


66/360

PROBLEMAS

1. dxe)52x6x8x(4x23

Ce)bxbxbxb(dxe)52x6x8x(4x

01

2

2

3

3

4x23

Derivando ambos miembros

]e)bxbxbxb([dx

de)52x6x8x(

4x

01

2

2

3

3

4x23

4x

10

21

2

32

3

3

4x23

e])bb4(

x)b2b4(x)3bb4(x4b[e)52x6x8x(

8

9b,

2

1b,0b,2b

5b4b

22b4b

63b4b

84b

0123

10

21

32

3

Ce)

8

9x

2

12x(dxe)52x6x8x(I

4x34x23

2. dxe)3xx(6x3

C]...a

(x)'''P

a

(x)''P

a

(x)'PP(x)[

a

edxeP(x)

32

axax

x3xP(x)3

3x3(x)'P2

x6(x)''P

6(x)'''P

C])6(

6

)6(

6x

6

33x3xx[

6

eI

32

23

6x

C]361

6x

21x3xx[

6eI

23

6x


67/360

C]16x1818x108x36x[216

eI

236x

C]17102x18x36x[216eI 23

6x

C)17102x18x36x(216

1I

6x23 e

3. dx2xsen)12x2x(4

].. .a

(x)P

a

(x)''P

P(x)[a

axcos

dxaxsenP(x) 4

(4)

2

C]...a

(x)P

a

(x)'''P

a

(x)'P[

a

axsen5

(5)

3

1x2x2P(x)4

2x8(x)'P3

2x24(x)''P

x48(x)'''P

48(x)P(4)

])2(48

)2(

24x12x2x[

2

2xcosdx2xsen)12x2x(I

42

244

C])2(

48x

2

28x[

2

2xsen3

3

C]6x14x[2

2xsen]36x12x2x[

2

2xcosI

324

C2xcos)1x3xx(2xsen)2

13x2x(I

243

4. dxxcosx4


68/360

].. .a(x)P

a

(x)''PP(x)[

a

axsendxaxcosP(x)

4

(4)

2

C]...

a

(x)P

a

(x)'''P

a

(x)'P[

a

axcos

5

(5)

3

4

xP(x)

3x4(x)'P

2x12(x)''P

x24(x)'''P

24(x)P (4)

C])1(

24x

1

4x[

1

xcos]

)1(

24

)1(

12xx[

1

sen xdxxcosxI

3

3

42

244

Csen x)2412xx(xcos)24x4x(I243

5.

dx

54xx

3x

2

3

cbxax

dxcbxax.(x)Qdx

cbxax

(x)P

2

2

1n2

n

54xx

dx54xx.)CBxAx(dx

54xx

3x

2

22

2

3

Derivando ambos miembros e igualando los coeficientes del numerador

)2x()CBxAx()54xx()B2Ax(3x223

)2C5B(x)C6B10A(x)2B10A(3A x3x233

15,20C,5B,1A

02C5B

0C6B10A

02B10A

33A


69/360

54xx

dx1554xx.)20x5x(dx

54xx

3xI

2

22

2

3

1)2x(

dx1554xx)20x5x(I

2

22 (1)

1)2x(

dxI

21

Hacemos: x + 2 = tg

dx = sec2 d

dsecdsec

sec

d1tg

sec

1)2x(

dx

I

2

2

2

21

11 CtgsecLnI (*)



12

12

1 C54xx2xLnC2x54xxLnI (2)


]C54xx2xLn[1554xx)20x5x(I1

222

C54xx2xLn1554xx)20x5x(I 222

6. dxcosh x2senh xcosh x

Ccosh x2senh xLnBAxdxcosh x2senh x

cosh x


1

2x 54xx2

2xtg


70/360

)senh x2cosh x(B)cosh x2senh x(Acosh x

cosh x)B2A(senh x)2BA(cosh x

3

1

B,3

2

A1B2A

02BA

Ccosh x2senh xLn3

1x

3

2dx

cosh x2senh x

cosh x

7.

dxxcos3sen x2

xcossen x5

Cxcos3sen x2LnBAxdxxcos3sen x2

xcossen x5


)sen x3xcos2(B)xcos3sen x2(Axcossen x5

xcos)2B3A(sen x)3B2A(xcossen x5

1B,1A

1B23A

53B2A

Cxcos3sen x2Lnxdxxcos3sen x2

xcossen x5

5. FRMULAS RECURSIVAS

Cuando una integral Independe de un parmetro real n, generalmente un valor

entero, se trata de hallar una frmula que relacione In con In1 y ciertas

funciones conocidas, o sino una frmula que relacione In con In1 , In2 yciertas funciones conocidas.

PROBLEMAS

1. Probar que dxexIxn

n satisface la frmula de recurrencia

(reduccin): 1nxn

n I

nex

1I

Hacemos: nxu dxedv x


71/360

dxnxdu 1n xe

1v

dxex

nex

1I

x1nxn

n

1n

xn

n I

nex

1I

2. Evaluar dxexI5x2

2

Esta integral corresponde a nI para n = 2 y = 5; entonces

1nxn

n Inex

1I

)I

1nex

1(

nex

1I 2n

x1nxn

n

2n2

x1n

2

xn

n I

)1n(nex

nex

1I

Donde:

Ce

1dxedxexII

xxx0

02n ( n = 2 )

Ce

1.

)1n(nex

nex

1I

x

2

x1n

2

xn

n

Ce

)1n(nex

nex

1I

x

3

x1n

2

xn

n

Ce]

)1n(nx

nx

1[I

x

3

1n

2

n

n

Para n = 2 y = 5

Ce])5(

)12(2x

)5(

2x

5

1[I

5x

3

12

2

2

2

Ce)125

2x

25

2x

5

1(I

5x2

2


72/360

CAPITULO II

LA INTEGRAL DEFINIDA

1.

SUMATORIASDados m y n Z tales que m n y f una funcin definida para cada i Z con i

variando entre m y n; m i n el smbolo

n

mi

)i(f => Representa la suma de los trminos f (m), f (m+1), , f (n)

Es decir:

(n)f.. .2)(mf1)(mf(m)f)i(f

n

mi

Donde:

(sigma) = Smbolo de la sumatoria

i = ndice o variable ya que se puede usar otra letra

m = Limite inferior

n = Limite superior

Ejemplos:

1. 54325

2i

i5

2i

eeeee)i(f

2. xtg.. .xtgxtgxtgxtgxtg(k)f 3n12963n

1k

3kn

1k

OBSERVACIN:

1.

En la sumatoria

n

mi

)i(f existen ( nm + 1 ) sumandos y son f (m),

f (m+1), , f (n)

Particularmente si m = 1 , n 1

n

1i

)i(f existen n sumandos

1.1.PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS

1. C)1mn(Cn

mi

, C es constante


73/360

2.

n

mi

n

mi

n

mi

)i(g)i(f])i(g)i(f[

Propiedades Telescpicas

3.

1)(mf(n)f])1i(f)i(f[

n

mi

4. 1)(mf(m)f(n)f1)(nf])1i(f)1i(f[n

mi

Si m = 1 y n 1 => Las propiedades anteriores tienen la forma

1. CnCn

1i

, C es constante

2.

n1i

n

1i

n

1i

)i(g)i(f])i(g)i(f[

3. (0)f(n)f])1i(f)i(f[n

1i

4. (0)f(1)f(n)f1)(nf])1i(f)1i(f[n

1i

1.2.FRMULAS IMPORTANTES DE LA SUMATORIA

1.2

)1n(ni

n

1i

2.6

)12n()1n(ni

n

1i

2

3.4

)1n(ni

22n

1i

3

4.30

)1n9n6n()1n(ni

23n

1i

4

PROBLEMAS

1. Determinar una frmula para

n

2k2 1k

1

n

2k

n

2k

n

2k2 ]1k

B

1k

A

[)1k()1k(

1

1k

1


74/360

1k

B

1k

A

)1k()1k(

1

)1k(B)1k(A1

)BA(k)BA(1

2

1B,

2

1A

1BA

0BA

n

2k

n

2k

n

2k2

]1k

1

1k

1[

2

1]

1k

1/2

1k

1/2[

1k

1

Sabemos:

1)(mf(m)f(n)f1)(nf])1k(f)1k(f[n

mk

Adems:

1k

11)(kf

;

k

1(k)f ;

1k

11)(kf

](1)f(2)f(n)f1)(nf[2

1

1k

1

n

2k 2

]2

3

n

1

1n

1[

2

1]1

2

1

n

1

1n

1[

2

1

1k

1

n

2k2

])1n(2n

)1n(3n)1n(22n[

2

1

1k

1

n

2k2

])1n(2n

2n3n[

2

1]

)1n(2n

3n3n22n2n[

2

1

1k

1

22n

2k 2

)1n(4n

2n3n

1k

1

2n

2k2

)1n(4n

)23n()1n(

1k

1

n

2k2

2.

100

1k

2k

2xsen

Sabemos:


75/360

(0)f(n)f])1k(f)k(f[n

1k

Adems:

2xsen(k)f

2k

; 2xsen1)(kf)1k(2

2xsen2xsen]2xsen2xsen[02n

n

1k

22k2k

12xsen]2xsen

2xsen2xsen[

2nn

1k2

2k2k

12xsen]

2xsen

11[2xsen

2nn

1k

2

2k

12xsen2xsen)2xsen

12xsen(

2nn

1k

2k

2

2

)12xsen

2xsen()12xsen(2xsen

2

22n

n

1k

2k

Si n = 100

)12xsen

2xsen()12xsen(2xsen2

2200100

1k

2k

)2xsen1

2xsen()12xsen(2xsen

2

2200

100

1k

2k

)2xcos

2xsen()2xsen1(2xsen

2

2200

100

1k

2k

)2xsen1(2xtg2xsen 2002100

1k

2k

3. Determinar la frmula de

n

1kk

kk

6

32

n

1kkk

n

1kkk

k

kk

kn

1kkk

kkn

1kk

kk

]2

1

3

1[]

32

3

32

2[

32

32

6

32

n

1kk

n

1kk

n

1kk

kk

21

31

632 (1)


76/360

Sabemos:

(0)f(n)f])1k(f)k(f[n

1k

Adems:

k3

1(k)f ;

1k3

11)(kf

0n

n

1k1kk

3

1

3

1]

3

1

3

1[

13

1]

3

3

3

1[

n

n

1kkk

13

1]31[

3

1

n

n

1kk

13

1

3

1)2(

n

n

1kk

)3(2

1

2

1

3

1

n

n

1k

k

(2)

Adems:

k2

1(k)f ;

1k2

11)(kf

0n

n

1k1kk

2

1

2

1]

2

1

2

1[

12

1]

2

2

2

1[

n

n

1kkk

12

1]21[

2

1

n

n

1kk

12

1

2

1)1(

n

n

1kk

n

n

1kk

2

11

2

1

(3)


77/360

Reemplazando (2) y (3) en (1):

nn

n

1kk

kk

2

11

)3(2

1

2

1

6

32

nn

n

1kk

kk

2

1

)3(2

1

2

3

6

32

nn

n1n1n1nn

1kk

kk

32

3232

6

32

n

n1n1n1nn

1kk

kk

6

3232

6

32

2. CLCULO DEL REA DE UNA REGIN PLANA POR

SUMATORIAS

2.1.PARTICIN DE UN INTERVALO CERRADO

DEFINICIN:Sea [ a , b ] un intervalo cerrado una particin de [ a , b ]

es toda coleccin P de puntos x0, x1, , xntales que:

a = x0< x1< x2< < xn= b

NOTACIN

P = { x0, x1, , xn}

OBSERVACIONES:

1.

Toda particin P del intervalo [ a , b ] divide en n subintervalos alintervalo cerrado [ a , b ].

2. La longitud de cada subintervalo [ xi1, xi]para i = { 1, 2 , , n } se

denota con ix = xixi1 se verifica que:

abxn

1ki

3.

Se llama norma de la particin P al nmero:}n,...2,1,i;x{MaxP i

0x 1x 2x nx

1ix ixa b

...................


78/360

Dado por el mximo del incremento de todos los subintervalos.

4. Cuando el intervalo [ a , b ] se divide en n subintervalos que tiene la

misma longitud. La longitud de cada subintervalo es:

nabx

En este caso los extremos de cada subintervalo son:

x0= a, x1= a + x , x2= a + 2 x , , xi= a + i x , , xn= b

2.2.APROXIMACIN DEL REA DE UNA REGIN POR REAS DE

RECTNGULOS INSCRITOS

Sea f: [ a , b ] R una funcin continua y no negativa ( f (x) 0 ) en el

intervalo cerrado [ a , b ]. Sea la regin plana limitada por las graficas

y = f (x), x = a , x = b; dividimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos

de igual longitud.

Como f es continua en el intervalo [ a , b ] => es continua en cada

subintervalo cerrado. Por el teorema del valor extremo existe un nmero

en cada subintervalo para el cual f tiene un valor mnimo absoluto. Sea ci

este nmero en el i-esimo intervalo [ xi1, xi]

ax0 bxn

1x 2x

x x

x

y

(x)fy

.....

x x x xa b

0x 1x 2x nx

x2

x

..........


79/360

Entonces f (ci ) es el valor mnimo absoluto de f en el i-esimo intervalo.

Construimos n rectngulos cada uno con base x y altura f (ci )

Las sumas de las reas de estos n rectngulos es:

x)(cf.. .x)(cfx)(cfx)(cfSn n321

n

1ii x)(cfSn

Sn es una aproximacin al rea de la regin . Si el rea de la regin es

A Sn.

Si n crece el nmero de rectngulos crece y la regin sombreada tiende a

aproximarse a la regin . Por lo tanto si n crece sin lmite entonces Sn

se aproxima a un lmite el cual es A (medida del rea de la regin ).

1i

x ixic

)(cf i

a b

(x)fy

y

x

x

ic

)(cf i

a b

(x)fy

y

x

x1c ..

)(cf1


80/360

DEFINICIN:Si f es continua en el intervalo [ a , b ] con f (x) 0 ,

x [ a , b ] y es la regin acotada por la curva y = f (x) , Eje x ,

x = a , x = b. Dividimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos cada uno

de longitud: nabx

y denotamos el i-esimo subintervalo por

[ xi1 , xi ] entonces si f (ci ) es valor mnimo absoluto de f en este

intervalo. La medida del rea de la regin esta dada por:

b

a

n

1i

in

dx(x)fx)(cfLimA

2.3.APROXIMACIN DEL REA DE UNA REGIN POR REAS DE

RECTNGULOS CIRCUNSCRITOS

El procedimiento es similar al anterior solo que en este caso tomamos

como altura de los rectngulos el valor mximo de f en cada subintervalo

por lo tanto:

_b

a

n

1i

in

dx(x)fx)(dfLimA

A = rea de la regin

f (di) = valor mximo absoluto de f

NOTA: En conclusin la medida del rea de la regin es la misma si se

calcula tomando los rectngulos inscritos o circunscritos es decir:

_

b

a

b

a dx(x)fdx(x)fA

y

x

)(df i

)(df 1

a b1d idx

....

(x)fy ASn:Donde


81/360

PROBLEMAS

1. Encontrar el rea de la regin acotada por la curva y = x , el eje x

y la recta x = 2, tomando rectngulos inscritos y circunscritos.

Por rectngulos inscritos

Particin de [ 0 , 2 ]

x0= 0 , x1= 0 + x , x2= 0 + 2x , , xi1= 0 + (i1)x ,

xi= 0 + i x , , xn= 2

n

1i

1in

x)(xfLimA (1)

f representa el mnimo absoluto en xi1y seria f (xi1 )

xi1= (i1)x

f (x) = x

f (xi1 ) = [ (i1)x ]

n

1i

32n

1i

2n

1i

1i x)1i(x]x)1i([x)(xf

n

1i

2

3

n

1i

32n

1i

1i )1i(n

8)

n

2()1i(x)(xf

n

1i3

n

1i3

n

1i

2

3

n

1i

2

3

n

1i

1i 1n

8i

n

16i

n

8)1i2i(

n

8x)(xf

(n)n

8]

2

1)(nn[

n

16]

6

1)(2n1)(nn[

n

8x)(xf

333

n

1i

1i

1ix ix 20x

y

2xy


82/360

222

n

1i

1in

8]

n

1)(n[8]

n

1)(2n1)(n[

3

4x)(xf

22

n

1i

1in

8)

n

1

n

1(8)

n

12()

n

11(

3

4x)(xf

)n

1(8)

n

12()

n

11(

3

4x)(xf

n

1i

1i

(2)


])0(8)2()1(3

4[])

n

1(8)

n

12()

n

11(

3

4[LimA

n

3

8

A u

Por rectngulos circunscr itos

n

1i

in

x)(xfLimA (1*)

f representa un valor mximo absoluto en xiy es f (xi)

xi= i x

f (x) = x

f (xi ) = [ i x ]

n

1i

2

3

n

1i

32n

1i

32n

1i

2n

1i

i in

8)

n

2(ixix]xi[x)(xf

)n

12()

n

11(

3

4]

6

1)(2n1)(nn[

n

8x)(xf

3

n

1i

i

(2*)

Reemplazando (2*) en (1*):

1ix ix 20x

y

2xy


83/360

)2()1(3

4])

n

12()

n

11(

3

4[LimA

n

3

8A u

2. Encontrar el rea de la regin sobre el eje x y a la izquierda de x = 1,

acotada por la curva y = 4x , el eje x y x = 1

Particin de [2 , 1 ] => [2 , 0 ] , [ 0 , 1 ]

Por rectngulos inscritos

En [2 , 0 ] la particin es: x0=2 , x1=2 + x , x2=2 + 2x , , xi1=2 + (i1) x , xi=2 + i x , , xn= 0

n

1i

1in

1 x)(xfLimA (1)

En [ 0 , 1 ] la particin es: x0= 0 , x1= 0 + x , x2= 0 + 2x ,

, xi1= 0 + (i1) x , xi= 0 + i x , , xn= 1

n

1i

in

2 x)(xfLimA (2)

A = A1+ A2 (3)

En [2 , 0 ] :

xi1=2 + (i1)x

f (x) = 4x

f (xi1 ) = 4[2 + (i1)x ] f (xi1 ) = 4[ 44 (i1)x + (i1) x ]

y

x22 10

2x4y

4


84/360

f (xi1 ) = [ 4 (i1)x(i1) x ]

n

1i

22n

1i

1i x]x)1i(x)1i(4[x)(xf

n

1i

322n

1i

1i ]x)1i(x)1i(4[x)(xf

n

1i

32n

1i

2n

1i

1i x)1i(x)1i(4x)(xf

n

1i

32n

1i

2n

1i

1i )n

2()1i()

n

2()1i(4x)(xf

n

1i

23

n

1i2

n

1i

1i )1i(n

8)1i(

n

16x)(xf

n

1i

2

3

n

1i2

n

1i

1i )1i2i(n

8)1i(

n

16x)(xf

n

1i3

n

1i3

n

1i

2

3

n

1i2

n

1i2

n

1i

1i 1n

8i

n

16i

n

81

n

16i

n

16x)(xf

(n)n

8]

2

1)(nn[

n

16

]6

1)(2n1)(nn

[n

8

(n)n

16

]2

1)(nn

[n

16

x)(xf

33

322

n

1i1i

)

n

1(8

)n

1

n

1(8)

n

1(2)

n

1(1

3

4)

n

1(16)

n

1(18x)(xf

2

2

n

1i

1i

)n

1(8)

n

12()

n

11(

3

4)

n

1(18x)(xf

n

1i

1i

(4)


])n

1(8)

n

12()

n

11(

3

4)

n

1(18[LimA

n1

388)0(8)2()1(

34)1(8A1


85/360

3

16A1 u (1*)

En [ 0 , 1 ] :

xi= i x

f (x) = 4x

f (xi ) = 4[ i x ]

f (xi ) = [ 4i x ]

n

1i

32n

1i

22n

1i

i ]xix4[x]xi4[x)(xf

n

1i

32n

1i

n

1i

32n

1i

n

1i

i )n1(i)

n1(4xix4x)(xf

]6

1)(2n1)(nn[

n

1)n(

n

4i

n

11

n

4x)(xf

3

n

1i

2

3

n

1i

n

1i

i

)n

12()

n

11(

6

14x)(xf

n

1i

i

(5)


3

14)2()1(

6

14])

n

12()

n

11(

6

14[LimA

n2

3

11A2 u (2*)

Reemplazando (1*) y (2*) en (3):

3

27

3

11

3

16

A

9A u

3. LA INTEGRAL DEFINIDA (INTEGRAL DE RIEMANN)

DEFINICIN:Si f es continua sobre el intervalo cerrado [ a , b ] y si P dada

por P = { x0, x1, x2, , xn} es una particin del intervalo [ a , b ] entonces:

n

1iii

0p

x)_x(fLimdx(x)f

b

a

Si el lmite existe y es finito donde:


86/360

n

1iii x)

_x(f es llamada Suma de Riemann

}n,.. .2,1,i/xxx{MaxP 1iii

i

_

x = Es un nmero arbitrario en el i-esimo intervalo [ xi1, xi]

NOTA:

La ventaja de la aproximacin dad por la Suma de Riemann cuando f es

continua, esta en la libertad de elegir los i_x que pertenecen al i-esimo

intervalo [ xi1 , xi] tal es as que puede elegirse a i_x como el promedio del

subintervalo [ xi1, xi] es decir:

2

xxx 1iii_

OBSERVACIONES:

1. Si la P 0 entonces el nmero de rectngulos tiende al infinito

n + , de esto se deduce:

n

1iii

nx)

_x(fLimdx(x)f

b

a

Donde:

a = Lmite inferior

b = Lmite superior

2.

Al valor comn de las integrales superior e inferior se da el nombre de

Integral Definida (Riemann)y se denota por:

_b

a

b

a

b

a dx(x)fdx(x)fdx(x)f

3. ...du(u)fdt(t)fdx(x)fb

a

b

a

b

a

4.

Sea f (x) continua sobre el intervalo cerrado [ a , b ]


87/360

Si f (x) 0 , x [ a , b ] => b

adx(x)f)A(

Si f (x) 0 , x [ a , b ] =>

b

adx(x)f)A(

DEFINICIN: Si f es una funcin definida en el punto a se define la

integral: 0dx(x)fa

a

PROPOSICIN: Si f es una funcin continua en el intervalo I = [ a , b ]

entonces f es integrable en I.

3.1.PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Si f es integrable en [ a , b ] y k es constante entonces

b

a

b

a dx(x)fkdx(x)fk

b

adx(x)f)A(

x

y

(x)fy

a b

b

adx(x)f)A(

x

y

(x)fy

a b

(x)fy


88/360

2. Si k es constante; f (x) = k , x [ a , b ]

)ab(kdxkdx(x)fb

a

b

a

3. Si c [ a , b ] , f es integrable sobre [ a , c ] y [ c , b ] f es

integrable sobre [ a , b ] y se tiene

b

c

c

a

b

a dx(x)fdx(x)fdx(x)f

4. Si f y g son integrables en el intervalo [ a , b ] entonces

b

a

b

a

b

a dx(x)gdx(x)fdx](x)g(x)f[

5.

Si f es integrable en el intervalo [ a , b ] y f (x) 0 , x [ a , b ]

entonces:

0dx(x)fb

a

6. Si f y g son integrables en el intervalo [ a , b ] y f (x) g (x)

g (x) f (x) , x [ a , b ] entonces:

b

a

b

a dx(x)gdx(x)f

b

a

b

a dx(x)fdx(x)g

respectivamente

7. Si f es integrable sobre el intervalo [ A , B ] y si a, b [ A , B ] tal que

b < a

a

b

b

a dx(x)fdx(x)f

8. Si f es integrable en el intervalo [ a , b ] => f es integrable sobre

[ a , b ] y se tiene:

b

a

b

adx(x)fdx(x)f

9. Si f es continua en el intervalo [ a , b ] , m y M son respectivamente

los valores mnimo absoluto y mximo absoluto de f en el

intervalo [ a , b ] tal que m f (x) M , x [ a , b ]


89/360

)ab(Mdx(x)f)ab(mb

a

10.

TEOREMA:Si f esta definida sobre [ a , b ] , si g es integrable sobre[ a , b ] y f (x) = g (x) para todo excepto un nmero finito de puntos

en x [ a , b ] => f (x) es integrable sobre el intervalo [ a , b ]

b

a

b

a dx(x)gdx(x)f

11. INVARIANCIA FRENTE A UNA TRASLACIN: Si f es

integrable sobre [ a , b ] => cualquier c R, se tiene:

cb

ca

b

a dxc)(xfdx(x)f

cb

ca

b

a dxc)(xfdx(x)f

12. DILATACIN O CONTRACCIN DEL INTERVALO DE

INTEGRACIN: Si f es integrable sobre [ a , b ] entonces para

cualquier nmero real c 0, se tiene que:

cb

ca

b

a dx)

c

x(f

c

1dx(x)f

b/c

a/c

b

a dx(cx)fcdx(x)f

13. Si f es seccionalmente continua sobre [ a , b ] entonces f es integrable

sobre [ a , b ]

m

M

(x)fy

y

xa b

)ab(m )ab(M


90/360

b

x

x

x

x

a

b

a 23

2

12

1

1

dx(x)fdx(x)fdx(x)fdx(x)f

4. T

apuntes de calculo II

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