GEOMETRÍA DESCRIPTIVALigia Amórtegui – Marzo 23 de 2008

TEORÍA DE LA REPRESENTACIÓN DE LA FORMAEl ser humano siempre ha tenido la inquietud de cómo representar los objetos tridimensionales sobre superficies, es decir, sobre elementos bidimensionales, dando una idea lo más exacta posible del objeto real.Por este motivo ha intentado varias opciones a lo largo de la historia y dependiendo su interés principal, si mostrarla tal cual se ve o si mostrarla tal cual es. Para la primera opción se desarrollaron técnicas como la perspectiva y mucho más reciente, la fotografía; estas técnicas se han utilizado principalmente en el área artística.Para la segunda opción, es decir, representar los objetos tal cual son, se han intentado posibilidades como la proyección en vistas múltiples y una auxiliar a esta, los dibujos axonométricos (isométricos, dimétricos y trimétricos). Esta técnica, la proyección en vistas múltiples, tiene la ventaja de poder mostrar las dimensiones reales para poderla fabricar.El sistema que permite mostrar la mayor cantidad de detalles en su dimensión real es la proyección ortogonal, que quiere decir proyección perpendicular. Este sistema proyección exige colocar un plano de proyección, sobre el cual se va a ubicar la imagen, paralelo al elemento que se quiere ver en su dimensión real y para que esto sea posible es absolutamente necesario que las líneas de proyección, proyectantes o paralelas para algunos autores, sean perpendiculares a dicho plano de proyección y además que los puntos de vista sucesivos deben ser perpendiculares entre sí, lo que va a permitir conservar las referencias de ubicación espacial.Para poder reglamentar esta teoría se han planteado dos sistemas de proyección que se basan en la abstracción de un cubo de proyección dentro del cual se ubica el elemento que se va a estudiar tridimensionalmente a partir de vistas múltiples. Cada plano de proyección va a contener la información de dos dimensiones y al ser el otro perpendicular a este, va a permitir tener una dimensión en común y la otra complementaria. Así en dos vistas adyacentes (contiguas) se va a obtener la información tridimensional completa.Hay dos sistemas de proyección el ISO A y el ISO E.

SISTEMAS DE PROYECCIÓNLos sistemas de proyección mencionados cumplen la misma reglamentación de la proyección ortogonal variando únicamente la ubicación de los elementos que son necesarios para tener una proyección como son: Observador, objeto y plano de proyección relacionados entre sí por los rayos proyectantes a partir del objeto y de manera perpendicular hasta al plano de proyección.

ISO-A

Sistema de proyección americano por haberse reglamentado en Estados Unidos por la norma ASA. La ubicación de los elementos de una proyección es la siguiente:Observador, plano de proyección, objeto.Se considera el cubo de proyección como un cubo transparente, estando el observador fuera del cubo.Se conoce también como proyección desde el tercer cuadrante por la ubicación del objeto con respecto a los planos ubicados espacialmente.

ISO-E

Sistema de proyección europeo por haber sido reglamentado por la norma alemana DIN. La ubicación de los elementos de proyección es la siguiente:Observador, objeto, plano de proyección.Se considera el cubo de proyección opaco, estando el observador dentro del mismo.Se conoce también como proyección desde el primer cuadrante por la ubicación del objeto con respecto a los planos ubicados espacialmente.

Al cambiar esta ubicación, la ubicación de las vistas también cambia con respecto a la vista frontal así para el ISO E:

Y llevado a planos quedaría:

Sistema de proyección ISO-E

Y para el ISO A:

Y llevada a planos quedaría:

Sistema de proyección ISO-A

En estos gráficos el plano posterior se ha ubicado al lado derecho sin importar si a este lado está la vista lateral derecha o la lateral izquierda.Si realizamos una abstracción de la información previa y dibujamos únicamente lo que necesitamos, vamos a obtener que los puntos de quiebre que me permiten un nuevo punto de vista perpendicular al anterior (vistas adyacentes) se van a representar con una línea de intensidad media representada por trazos, un trazo largo y dos cortos iniciando y terminando en trazo largo, denominada línea de referencia.Los rayos visuales se van a convertir en las líneas de proyección, las cuales se van a trazar con líneas continuas muy suaves y finas. No deben sobrepasar de la ubicación del punto que se está proyectando.Al obtener los dibujos de los objetos a partir de la proyección ortogonal se están cumpliendo las siguientes normas referenciadas por el señor Leighton Wellman en su Geometría Descriptiva:1. Regla de la perpendicularidad: Las líneas de proyección o rayos visuales para dos vistas

adyacentes deben ser perpendiculares.2. Regla de alineación: cualquier punto de un objeto, en una proyección, debe estar alineado por

una línea de proyección, con el punto correspondiente en una proyección adyacente.3. Regla de la similaridad: En todas las proyecciones adyacentes a un mismo plano común, las

distancias de los puntos a dicho plano debe ser la misma.Estas normas pueden observarse en la maqueta del cubo de proyección del primer taller:

UBICACIÓN ESPACIAL POR MEDIO DE COORDENADASPara poder plantear problemas espaciales, es decir tridimensionales, es necesario ubicarse en los planos por medio de coordenadas, teniendo en cuenta que en cada uno de los planos no se pueden tener más de dos dimensiones, exigiendo por tanto, un planteamiento en dos planos complementarios (perpendiculares entre sí), es decir en dos vistas adyacentes. No es posible plantear la ubicación completa de un punto si no se tienen al menos dos vistas, perpendiculares entre si, del punto. Es importante tener en cuenta que un punto es una ubicación en el espacio por lo que en esta ubicación vamos a tener tres dimensiones.

Las coordenadas que se pueden utilizar son:

1. Coordenadas rectangulares (x,y,z)

Este sistema de coordenadas es muy utilizado en muchas disciplinas y desde muy temprana edad, conociéndose como plano cartesiano, en cual se ubican puntos a partir de un punto de referencia conocido como el punto 0,0,0 (punto de referencia).En el plano cartesiano se van a tener dos coordenadas, x e y que se relacionan con dos dimensiones anchura y profundidad respectivamente, siendo un plano horizontal.A la información que se plantee en un tipo de plano como el mencionado anteriormente le falta la dimensión de altura por lo cual es necesario complementarla con un plano vertical, normalmente se utiliza el plano frontal. En este plano se van a observar las coordenadas x y z siendo la z la dimensión de altura y teniendo como dimensión común la anchura o coordenada x.Se pueden tener otras combinaciones de planos, pero estos, al ser perpendiculares entre sí, siempre se van a complementar y también siempre tendrán una coordenada común la cual se va a trasladar a la vista adyacente por medio de las líneas de proyección quedando así alineadas las vistas, por esto algunos autores hablan de la regla de la alineación.Las coordenadas rectangulares se pueden expresar de varias maneras, por ejemplo es muy normal hablar de arriba-abajo; adelante-atrás; derecha-izquierda que relacionadas con la presentación simbólica quedaría: z (alturas): arriba - abajo; y (profundidades): adelante-atrás; x (anchos): derecha-izquierda, siendo muy importante ubicarse espacialmente en el cubo de proyección para poder plasmar en forma correcta dicha información en las diferentes vistas.

2. Coordenadas polaresSe representan a partir de una distancia y un ángulo.Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensionales que generalmente se representan en un plano horizontal, por lo que le haría falta la dimensión de altura y dependiendo de la forma como se exprese esta tercera dimensión pueden ser cilíndricas, si se indica con una distancia, o esféricas, si la altura se indica con un ángulo.Para poder medir el ángulo entre dos rectas es necesario que en una misma vista aparezcan las dos rectas en su verdadera longitud (VL) al mismo tiempo. Si el ángulo me está determinando la altura, entonces debo ver las dos rectas, una de ellas horizontal, en su dimensión real en una vista vertical, es decir, en una vista auxiliar a la horizontal o techo. Este es el caso de la ubicación de rectas por medio del rumbo y la pendiente de la misma.

RUMBO Y PENDIENTE DE UNA RECTAUna recta se puede ubicar fácilmente suministrando: la ubicación de dos puntos que la determinan por medio de coordenadas rectangulares (x,y,z), cilíndricas (distancia, ángulo, distancia), esféricas (distancia, ángulo, ángulo).Un tipo de coordenadas esféricas muy utilizado para ubicar líneas en el espacio por medio del rumbo y la pendiente.El rumbo es el ángulo de desviación con respecto a la línea Norte – Sur. El rumbo se mide en la proyección horizontal.La pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con la horizontal y se puede medir en una vista vertical donde la recta aparezca en su verdadera magnitud. La horizontal es la línea paralela al plano horizontal.

El declive de una recta también se puede medir en tanto por ciento. La tangente del ángulo de pendiente multiplicada por 100 es ese tanto por ciento indicado.El ángulo de pendiente únicamente se puede medir en su verdadera amplitud en una proyección vertical dónde la recta aparezca en su dimensión real pero si se mide en tanto por ciento se puede medir empleado la proyección horizontal y la frontal. Se miden 100 unidades en la vista horizontal, se proyecta esta distancia a la vista frontal donde se mide el cambio de altura entre los puntos, este será el tanto por ciento.

En el ejemplo de la misma recta se puede decir que tiene un ángulo de pendiente de 22º, pero también que tiene una inclinación de 40%.

CUATRO PROCESOS FUNDAMENTALES

1. Verdadera magnitud de una recta (V.L.)

La magnitud de una recta es la longitud por eso si hablamos de verdadera longitud seguramente nos estamos refiriendo a la magnitud real de una línea.Para hallar la verdadera longitud de una recta debemos hacer una proyección paralela a la recta. Si partimos de dos vistas conocidas (H y V) se realiza una vista auxiliar (A) paralela a una de las vistas de la línea y cumpliendo las normas obtendremos la magnitud real de la misma.

2. Vista de una recta como punto

Para lograr esta vista debemos partir del proceso anterior y realizar una vista auxiliar (B) perpendicular a la vista de la recta en verdadera longitud para así estar perpendicular a la recta real y poder visualizarla como un punto.Como comentario adicional puedo decir que: cualquier vista auxiliar a una línea vista como punto mostrará dicha línea en su dimensión real.

3. Vista de un plano como filo o de perfil

Antes de dar las indicaciones para hallar esta vista es necesario plantear cómo se determina una superficie plana.Un plano se puede determinar de cuatro formas: con tres puntos no alineados, una recta y un punto exterior a ella, dos líneas paralelas y dos rectas que se cortan.

Teniendo en cuenta lo anterior vamos a determinar un plano, por ejemplo, con tres puntos no alineados (a) y hallar su vista de filo o perfil. Como lo hemos comentado en diferentes oportunidades la geometría descriptiva es un proceso que va a tomar los pasos anteriores para lograr algo más complejo, así que tomaremos lo visto para las rectas para lograr nuestro objetivo.

Primero vamos a unir los puntos para visualizar el plano (b).Para visualizar un plano como filo debemos ver como punto por lo menos una de las rectas que lo conforman, y ya conocemos el proceso para ver una recta como punto, entonces:

Hacemos una proyección paralela a una de las rectas del plano, en este caso a BC, llevando a esta vista toda la información del mismo y luego hacemos una proyección perpendicular a esta recta que visualizamos en verdadera magnitud (BC) llevando toda la información para determinar el plano, allí veremos el plano como filo porque es una proyección perpendicular al plano.

4. Verdadera magnitud de un plano

Este es uno de los procesos donde se utilizan todos los procesos básicos anteriores, así que para ver un plano en verdadera magnitud es necesario visualizarlo primero como filo y ya conocemos este proceso.Para ver un plano en su dimensión real es necesario trazar una vista paralela al plano así que después de tener el plano de perfil, se traza una proyección paralela al filo y allí encontramos la verdadera magnitud del plano por ser una vista paralela la plano real.Cuando aparece el plano en su dimensión real todas sus líneas, todos sus ángulos y todo le se encuentre siendo parte de él se encuentran en V.M.Cualquier vista auxiliar a una vista del plano en su V.M. mostrará el plano como filo.Con estos cuatro procesos que realmente son dos (VL y vista de una línea como punto) podemos averiguar casi toda la información que queramos en geometría descriptiva.

RELACIÓN DE RECTAS EN EL ESPACIO

Las rectas se pueden relacionar en el espacio apareciendo:1. Intersecadas (Intersectadas)2. Cruzadas3. Paralelas4. Perpendiculares

Estas situaciones se pueden identificar en planos como se explica a continuación.

RECTAS QUE SE INTERSECAN Y QUE SE CRUZANDos rectas se intersecan si tienen un punto común, se identifican en planos si al proyectar el punto de intersección aparente en una de las vistas coincide como punto común a las dos rectas en todas las proyecciones, de lo contrario se estarían cruzando.En caso que las vistas de una o de las dos rectas aparezcan perpendiculares a la línea de referencia común es necesario verificar su relación espacial con ayuda de una vista auxiliar.

RECTAS PARALELASDos rectas son paralelas si conservan la misma distancia en todo su recorrido, tienen la misma orientación y sentido de pendiente.Se reconocen en planos si en dos vistas perpendiculares o adyacentes (que tienen línea de referencia común), aparecen como paralelas, coincidentes o como puntos.Cuando las paralelas parecen como puntos es posible medir la distancia real entre ellas, información que puede ser de gran importancia.Existe una excepción para la presentación de rectas paralelas, no porque se incumplan las características anteriormente descritas, sino porque es necesario comprobar el paralelismo con una vista auxiliar, la excepción es cuando las rectas aparecen como paralelas perpendiculares a la línea de referencia común, en este caso debemos verificar si son o no paralelas.

LÍNEAS RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares cuando forman entre sí 90º, directamente o al prolongarse.Se reconocen en planos si en la vista donde se observa el ángulo recto entre las dos rectas por lo menos una de las dos se encuentra en verdadera magnitud. No olviden que la única magnitud que tiene una recta es la longitud.

En el primer ejemplo la rectas no son perpendiculares porque aun que en la vista horizontal aparecen formando 90º, ninguna de las dos aparece en su dimensión real, cosa que si ocurre en el

segundo ejemplo, porque la recta CD está paralela a la línea de referencia HV, es decir, en la vista horizontal, donde se ve el ángulo de 90º entre ellas, la recta CD aparece en su verdadera longitud.

DESARROLLO DE PRISMA OBLICUO

Para realizar el desarrollo de un prisma oblicuo se debe tener la siguiente información:

1. Verdadera longitud de las aristas, las aristas de un prisma son paralelas entre sí.

2. Distancia real entre aristas. Estas se encuentran cuando vemos las aristas como punto.

3. Verdadera magnitud de las bases.

4. Una línea de desarrollo que se traza en la vista donde las aristas aparecen en su magnitud real y perpendicular a ellas (no es una línea de referencia pero queda paralela a la línea de referencia que permite ver las aristas como punto). Esta línea nos va a garantizar los ángulos de los planos y el de éstos con la base.

Para hallar el desarrollo, en un dibujo diferente a la secuencia de vistas auxiliares, se traza una línea que será la línea de desarrollo y sobre ellas se ubica las distancia real entre aristas, por estas medidas se trazan perpendiculares a la línea de desarrollo y allí se toman las distancias de los puntos de las aristas a la línea de desarrollo, esta distancia se toma el vista de las aristas en su dimensión real. Para tomar las distancias sobre la línea de desarrollo se debe conservar un orden en el sentido del desarrollo, se debe empezar y terminar en la misma arista.

Se unen los puntos y se procede a ubicar las bases en su posición adecuada. Se copia el dibujo del desarrollo a otra hoja o material para poder cortar, plegar y observar el modelo.