APUNTES DE CLASE.pdf

7/26/2019 APUNTES DE CLASE.pdf

1/97

Universidad de Oriente Introduccin a la Ingeniera Sismo Resistente

Ncleo Bolvar IINNGGEENNIIEERRIIAACCIIVVIILL Prof. Rogelio Prez Solano

Pg. [email protected]

2

AAPPUUNNTTEESSDDEECCLLAASSEESS


2/97




3

UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDDDEEOORRIIEENNTTEEPrograma Sinpticos de Asignaturas

Ncleo: BOLIVAR ESCUELA: CIENCIAS DE LA TIERRA

Asignatura: INTRODUCCION A LA INGENIERASISMORRESISTENTE

HORASSEMANALES

CREDITOS SEMESTRE CODIGO PRERREQUISITOS VIGENCIA

T: 1 P: 3 2 VIII 070-4492 070-4773 2004SINTESIS DE CONOCIMIENTOS PREVIOS:

Anlisis estructural, Mtodo directo de las rigideces.Norma COVENIN 1753. Distribucin de Poisson(Estadstica). Ondas.

OBJETIVO GENERAL:

Analizar el comportamiento dinmico de estructurasaporticadas sometidas a acciones ssmicas, segnnormas COVENIN correspondientes.

CONTENIDOS (UNIDADES Y TEMAS)UNIDAD I: CARACTERIZACIN DE LOS MOVIMIENTOS SSMICOS: Origen de los terremotos,medidas de los terremotos. Descripcin probabilstica de la ocurrencia de terremotos. Mapas de Zonificacin.

Normas Ssmicas.UNIDAD II: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD SUJETOS A MOVIMIENTOS SSMICOS:

Anlisis y caracterstica de la respuesta dinmica de sistema elsticos. Espectros de Respuesta. Efectos del Tipode Suelos. Anlisis y caractersticas de la Respuesta dinmica de sistemas Inelsticos. Espectros Inelsticos.Factores de Reduccin. Normas Ssmicas.UNIDAD III: SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD SUJETOS A MOVIMIENTO

SSMICO:Anlisis de la Respuesta dinmica de sistemas elsticos, Influencia de las propiedades del sistema ensu Respuesta Dinmica. Criterios de Combinacin Modal. Caso de varias componentes ssmicas. Aplicaciones enEdificios. Anlisis de Sistemas Inelsticos y caracterizacin de la Respuesta Dinmica. Mtodos simplificados de

anlisis. Normas Ssmicas.

BIBLIOGRAFA

Alonso, Jos Luis. Vulnerabilidad Ssmica de Edificaciones. Sidetur, Caracas, 2007.Paz, Mario . Dinmica de Estructuras. Van Nostrand, NY, 1980.Meli Roberto . Diseo Ssmico de Edificios. Editorial LIMUSA, Mexico, 2001.

COVENIN MINDUR: Normas Venezolanas de Concreto Armado. 1753Normas Venezolanas de Edificaciones Sismorresistentes 1756-01


3/97




4

INDICE

CONTENIDO Pg.

Origen de los Sismos . 05Fallas . 07Tipos de Ondas Ssmicas . 08Sistemas de varios Grados de Libertad .


4/97


5/97




6


6/97




7

Fallas:

Se denomina falla geolgica al plano de fractura de la roca de la corteza terrestre, a travs del cual se han

producido desplazamientos relativos. Las Fallas geolgicas son una de las principales causas de la actividad

ssmica a nivel mundial y son asociadas a fallas activas existentes en la actualidad.

Los distintos tipos de falla pueden clasificarse en cuatro grupos principales, segn sea el tipo de movimiento

relativo:

Falla Transcurrente (Rumbo): El movimiento se produce en direccin horizontal dado que los dos bloques se

desplazan lateralmente con sentidos opuestos.

Falla Normal:Se produce cuando el plano de falla es oblicuo respecto a la horizontal y los bloques adyacentes

e4stn sometidos a tensin. En este caso el desplazamiento relativo es predominantemente vertical y las fuerzas

inducidas en la roca son perpendiculares a la falla.

Falla Inversa:Se produce cuando el plano de falla es oblicuo respecto al horizonte y los bloques adyacentes estn

sometidos a compresin:

Falla Vertical:Es un tipo particular de falla normal o inversa en el cual el plano de falla y el movimiento relativo

entre los bloques es predominantemente vertical.

Si la roca donde existe la falla es dbil y dctil, la energa ser liberada lentamente y no producir un sismo. Por el

contrario, si la roca es fuerte y frgil, la ruptura ocurrir de forma brusca y la energa se liberar explosivamente,

dando origen a los movimientos vibratorios en la corteza terrestre.

Foco o Hipocentro: Se define as al punto en el plano de falla donde se origina la ruptura y se da inicio a la

liberacin de la energa mediante la propagacin de ondas ssmicas. Su ubicacin se da en latitud, longitud y

profundidad.

Epicentro:Es el punto sobre la superficie de la tierra ubicado verticalmente encima del foco o hipocentro.

Distancia Epicentral:Es la distancia sobre la superficie de la tierra, medida desde el epicentro hasta el sitio de

ubicacin o referencia. (Donde es sentido el sismo)

Distancia Focal o Hipocentral:Es la distancia medida desde el Foco o Hipocentro hasta el sitio de ubicacin o

referencia. (Donde es sentido el sismo)


7/97




8

Tipos de Ondas Ssmicas

Las Ondas se basan en dos tipos principales:

Ondas Profundas o de Cuerpo:

Son aquellas que viajan por el interior de la tierra.

Ondas Primarias, Ondas de compresin, Ondas longitudinales u Ondas de choque (P):Son ondas quevibran en la misma direccin del desplazamiento, son las primeras en llegar, en otras palabras son las dems rpido desplazamiento y las primeras en ser detectadas.

Ondas Secundarias, Ondas Transversales u Ondas de corte (S): Las partculas de una onda S,transversal, oscila perpendicularmente a la direccin de propagacin de dicha onda. Tenemos las ondas Sv,

cuya vibracin es vertical, perpendicularmente al desplazamiento de la onda y las Sh, cuya vibracin eshorizontal y perpendicular al desplazamiento.

Ondas Superficiales:

Viajan a travs de la superficie de la tierra, y son las de mayor inters para el ingeniero civil, por ser las quemayormente afecta a la infraestructura.

Ondas superficiales: las ondas superficiales como su nombre la indica son aquellas que se desplazan atravs de la superficie y se generan por la interaccin de las Ondas P y S al salir a la superficie y sedividen en dos tipo principales:

Ondas Rayleigh (R):Estas ondas son parecidas a las ondas del mar sus partculas vibran verticalmente enforma elipsoidal.

Ondas Love (L): Son ondas de corte que oscilan solo en el plano horizontal.

Criterios generales de clculo

Las ondas ssmicas son similares a las ondas sonoras y, segn sus caractersticas de propagacin se clasifican en:

Ondas P o primarias:llamadas as por ser las mas rpidas y por lo tanto las primeras en ser registradas en lossismgrafos. Son ondas del tipo longitudinal, es decir, las partculas rocosas vibran en direccin del avance de laonda. Se producen a partir del hipocentro y se propagan a travs de medios slidos y/o lquidostridimensionalmente.

Odas S o secundarias: son algo mas lentas y del tipo transversal, o se que la vibracin de las partculas esperpendicular al avance la onda. Se propagan desde el hipocentro igualmente en forma tridimensional, pero soloatraviesan medios slidos.

Velocidad de Propagacin de las ondas ssmicas:La velocidades de propagacin de las ondas de mayor inters desde el punto de vista sismolgico se encuentrarepresentado en la Velocidad de las ondas de expansin o primarias (P) y las ondas de distorsin o secundarias (S),observndose que Vp > Vs y son dependientes de las propiedades elsticas (K, ) y de la densidad del medio (),independientemente de la forma de las ondas.


8/97




9

Velocidad de las Ondas P:

Velocidad de las Ondas S:

Donde, K = Mdulo de compresibilidad = Densidad

= Rigidez

El tiempo de llegada de cada tipo de onda es claramente identificable en algunos acelerogramas.


9/97




10

Como ves, en ambos casos la densidad se encuentra en el denominador y la rigidez en el numerador, lo que quiere

decir que cuando mas denso es el material que atraviesan las ondas ssmicas, estas sern mas lentas, pero cuanto

ms rgidas sern ms rpidas.

VELOCIDADES DE ONDAS EN DIFERENTES MEDIOS

Medio Velocidad Onda Pm/seg

Velocidad Oda Sm/seg

Granito 5.200 3.000

Basalto 6.400 3.200

Calizas 2.400 1.350

Areniscas 3.500 2.150

Las ondas S ms lentas que las ondas P, su velocidad es aproximadamente Vp / 3 , que es

conocida como condicin de poisson.

Resulta importante sealar que la velocidad de las ondas S a travs de material rocoso, como por ejemplo

el granito, es aproximadamente de 3 km por segundo. En general en cualquier material slido las ondas P viajan

1,7 veces ms de prisa que las ondas S, mientras que las ondas superficiales viajan al 90% de la velocidad de las

Ondas S.

La ondas superficiales se encuentra confinadas en una banda estrecha de la corteza terrestre, ya que no sepropagan por el interior de la tierra, lo que las conlleva a mantener durante ms tiempo su mxima amplitud,

Siendo el intervalo de tiempo entre sus crestas (perodo) ms largo, por lo que se les conoce adems como ondas

largas L.


10/97

Universidad de Oriente Introduccin a la Ingeniera SismorresistenteNcleo Bolvar INGENIERIA CIVIL Prof. Rogelio Prez Solano

Pg. N

[email protected]

TEORA SOBRE EL ORIGEN DE LOS SISMOS

Tectnica de placas:El corrimiento en la zona de contacto entre dosplacas, no ocurre de manera suave y continua;

la friccin entre los roces hacen que se puedagenerar en la superficie de contacto entre lasplacas esfuerzos considerables, hasta que sevence la resistencia mecnica, provocando undeslizamiento brusco y por ende la liberacinsbita de importante cantidad de energa.Mientras mayor es la longitud de deslizamientode la falla, mayor ser la cantidad de energaliberada.

Determinacin del Epicentro de un SismoLa determinacin del epicentro del sismo,requiere de la triangulacin de tres estacionesssmicas que lo hayan registrado.Como las ondas P viajan ms rpidas que lasondas S, cuando mas lejos se encuentre elfoco de un sismo, mas tiempo transcurrirentre la llegada de ellas. Esta diferencia detiempo es un dato fundamental para conocer ladistancia a la que se ha producido unterremoto.Utilizando la siguiente frmula:

R = (TS-TP)/ (1/VS 1/VP)TS : Tiempo de llagada Ondas SecundariasTP : Tiempo de llegada Ondas PrimariasVS : Velocidad de las Ondas Secundarias

VP : Velocidad de las Ondas Primarias

|De esta manera obtenemos un radio desde laestacin que ha detectado el sismo y elepicentro, por lo que es necesario obtenercomo mnimo los datos provenientes de tres (3)estaciones para realizar la triangulacin ypoder obtener una ubicacin aproximada delepicentro, as como de la profundidad deliberacin de energa.

Est 01

Est 02

Est 03


11/97


Pg. N

[email protected]

EL TAMAO DE UN TERREMOTO

Seguramente que todos los lectores han escuchado hablar

acerca de un lugar en Francia (Oficina Internacional dePesos y Medidas en Svres) donde se conservan lospatrones de medidas. En ese sitio existe, por ejemplo, una

barra metlica, fabricada con un material especial que noes muy sensible a las condiciones ambientales (aluminio),que tiene una longitud precisa de un metro y que es

conocida con el nombre de "Metro Patrn". Estos patronesdefinen los sistemas de medidas y sirven para que todo elmundo comprenda cuando alguien expresa el resultado de

una medicin realizada (si alguien dice que una ciertadistancia es de 720 metros, enseguida se entiende que setrata de 720 veces la longitud del metro patrn). En el ao

de 1.935, posiblemente inspirado por estos sistemaspatrones, Charles Richter pens en hacer algo similar para"medir" terremotos. Es decir, a Richter se le ocurri la idea

de definir un sistema patrn (sismo patrn) para calcular eltamao de un terremoto y le pareci que una maneraconveniente era usar las ondas ssmicas registradas en

una estacin sismogrfica como instrumento de medida.El problema que se planteaba no era muy sencillo ya queun patrn de un sistema de medida debe cumplir ciertos

requisitos (invariable, reproducible en algn laboratorio).Por ejemplo, la unidad de masa "el gramo" fue definidacomo la masa de un centmetro cbico de agua destilada

a 4 grados centgrados, definicin que permite quecualquiera pueda generar un patrn en su laboratorio (en1.879 se construy una barra de platino con una masa de

un kilogramo para la Oficina de Pesos y Medidas).Sin embargo, la idea de Richter no era descabellada y nosurgi de la nada. l haba trabajado mucho con registros

sismogrficos y su experiencia le condujo a descubriralgunas caractersticas interesantes de estos registros,llamados comnmente "sismogramas". En particular, noto

que si graficaba, en funcin de la distancia, los resultadosde calcular el logaritmo en base diez de la amplitudmxima de los sismogramas de varios sismos, los puntos

obtenidos se distribuan sobre una lnea recta. Es difcilsaber cuantos desvelos y cuantas horas observandosismogramas necesit Richter para llegar a su definicin

de la Magnitud de un sismo, pero leer esa definicinpuede ayudar a intuir la tremenda cantidad de tiempo ytrabajo escondido tras esas lneas: "la magnitud de un

sismo es el logaritmo en base diez de la mxima amplitudde la onda ssmica, expresada en milsimas de milmetro,registrada en un sismmetro estndar ubicado a cien

kilmetros del epicentro del evento". Richter tom en

cuenta en su definicin que los sismmetros podran estar

ubicados a distancias diferentes de cien kilmetros,aadiendo un factor especial en su ecuacin. De estaforma pareca que el problema de medir terremotos estaba

felizmente resuelto, aunque no se tuviera un "sismopatrn" almacenable en la Oficina de Pesos y Medidas.

Esta felicidad no dur mucho, la sismologa, al igual queotras ramas cientficas, continu avanzando y puso demanifiesto algunos detalles que no se haban tomado en

cuenta en la definicin del sistema patrn ideado porRichter. El primero de ellos fue que en un sismograma seregistran diferentes tipos de ondas y Richter no aclar de

cual de esos tipos se elegira la mxima amplitud. Enparticular, en un sismograma se distinguen dos gruposprincipales de ondas: las ondas de cuerpo, originadas en

el foco ssmico, y las ondas superficiales, que aparecencuando las ondas de cuerpo sufren mltiples reflexionesen el interior de la corteza terrestre. Bueno, dir el lector,

est bien, se elige la mxima amplitud entre todas lasondas registradas........no es tan sencillo. La amplitud delos diferentes tipos de ondas que aparecen en un

sismograma no solo depende del tamao del terremoto(que es lo que se desea medir) sino que est relacionadacon factores tales como la profundidad del foco ssmico,

su ubicacin con respecto a la estacin que hace elregistro y la clase de equipo usado para obtener elsismograma. Por ejemplo, un sismo de foco profundo

produce registros muy diferentes a los de un sismo defoco superficial, an cuando la cantidad de energaliberada (tamao) sea igual para ambos eventos. Las

ondas superficiales del primero de ellos suelen ser deamplitud despreciable, mientras que el de foco superficialgenera grandes trenes de ondas superficiales que

predominan en los sismogramas. Un ejemplo dramtico deesta situacin lo brind el Sismo de Cariaco (9/7/97): fueun evento ssmico con un foco extremadamente superficial

(apenas diez kilmetros) y su magnitud de ondassuperficiales da un valor de 6.7 grados (ms) mientras quesu magnitud de ondas de cuerpo (mb) apenas alcanza los

5.8 grados. Los daos de este evento se correspondencon un sismo de magnitud ligeramente superior a 6 gradosy otros mtodos arrojan valores tan dismiles como 7.2

grados, 6.4 grados y 5.4 grados. Para aquellos quetuvieron la desdicha de perder un ser querido, esteterremoto es tan grande como lo es su dolor, es de un

tamao infinito. Nada en el mundo puede justificar queotro terremoto tome a nuestra tierra venezolana tandesprevenida como lo hizo el Sismo de Cariaco: no ms

sismos infinitos.

Por otro lado, no existe realmente un sismmetro estndar(instrumento que detecta el movimiento del suelo) y el

planeta est "sembrado" con una infinidad de equiposdistintos, con respuestas diferentes (que suelen seralteradas por las dismiles condiciones de trabajo en que

operan estos equipos), que registran diferentes clases deondas, los cuales deberan ser calibrados peridicamente.

El problema de medir terremotos an no est resuelto yesto es notable en nuestro pas, donde solo existen

instrumentos que registran las ondas de cuerpo.


12/97


Pg. N

[email protected]

MEDIDAS DE INTENSIDAD

ESCALA DE MERCALLI

Creada en 1902 por el sismlogo italiano Giusseppe Mercalli, no se basa en los registros

sismogrficos, sino en el efecto o dao producido en las estructuras y en la sensacinpercibida por la gente. Para establecer la Intensidad se recurre a la revisin de registros

histricos, entrevistas a la gente, noticias de los diarios pblicos y personales. La Intensidad

es diferente en diferentes sitios donde es sentido un mismo terremoto y depende entre otras

de:

La energa del terremoto.

La distancia de la falla donde se produjo el terremoto.

La forma como las ondas llegan al sitio (Oblicuas, Perpendiculares, etc).

Las caractersticas geolgicas del material subyacente del sitio donde se registra la

intensidad.

Los grados no son equivalentes con la escala de richter y es proporcional. (IV es el

doble de II)

I. Casi nadie lo ha sentido

II. Muy Pocas personas lo han sentido

III. Temblor notado por mucha gente, sin embargo, no suele darse cuenta

que es un terremoto.

IV. Se siente en el interior de los edificios por mucha gente.

V. Casi todos lo sienten, Personas dormidas se despiertan.

VI. Sentido por todos, la gente corre fuera de los edificios, producen

pequeos daos.

VII. Todas las personas corren fuera del edificio, las edificaciones mal

construidas sufren graves daos.

VIII. Las obras especialmente diseadas sufren daas, las otras se

derrumban.

IX. Todos los edificios muy daados, desplazamiento de fundaciones,

grietas apreciables en el suelo.

X. Muchas Construcciones destruidas, suelo muy agrietado.

XI. Derrumbe de casi todas las construcciones, grietas muy amplias en elsuelo.

XII. Destruccin Total, se ven ondulaciones sobre la superficie del terreno.

De acuerdo a la escala de Mercalli (Intensidad) esta se puede establecer mediante una relacin

emprica respecto a la aceleracin del terreno en el sitio de observacin como:

IS= 1,5 + 3 . Log AS

Siendo: IS = Escala de Intensidad


13/97


Pg. N

[email protected]

AS = Aceleracin del terreno en el sitio, pudiendose obtener como intensidad

mxima en el caso de que AS = AR (Aceleracin del terreno en el

epicentro.)

Escala Modificada de Sieberg para intensidad de Tsunamis.

IMuy suave. La ola es tan dbil, que solo es perceptible en los registros de las estacionesde marea.

IISuave. La ola es percibida por aquellos que viven a lo largo de la costa y estnfamiliarizados con el mar. Normalmente se percibe en costas muy planas.

III

Bastante fuerte. Generalmente es percibido. Inundacin de costas de pendientessuaves. Las embarcaciones deportivas pequeas son arrastradas a la costa. Daos levesa estructuras de material ligero situadas en las cercanas a la costa. En estuarios seinvierten los flujos de los ros hacia arriba.

IV

Fuerte. Inundacin de la costa hasta determinada profundidad. Daos de erosin enrellenos construidos por el hombre. Embancamientos y diques daados. Las

estructuras de material ligero cercanas a la costa son daadas. Las estructurascosteras slidas sufren daos menores. Embarcaciones deportivas grandes y pequeosbuques son derivados tierra adentro o mar afuera. Las costas se encuentran sucias condesechos flotantes.

V

Muy fuerte. Inundacin general de la costa hasta determinada profundidad. Los murosde los embarcaderos y estructuras slidas cercanas al mar son daados. Lasestructuras de material ligero son destruidas. Severa erosin de tierras cultivadas y lacosta se encuentra sucia con desechos flotantes y animales marinos. Todo tipo deembarcaciones, a excepcin de los buques grandes, son llevadas tierra adentro o marafuera. Grandes subidas de agua en ros estuarinos. Las obras portuarias resultandaadas. Gente ahogada. La ola va acompaada de un fuerte rugido.

VIDesastroso. Destruccin parcial o completa de estructuras hechas por el hombre adeterminada distancia de la costa. Grandes inundaciones costeras. Buques grandes

severamente daados. rboles arrancados de raz o rotos. Muchas vctimas.


14/97


Pg. N

[email protected]


15/97


Pg. N

[email protected]

MEDIDA DE MAGNITUD

ESCALA DE RICHTER

Este sistema de medicin se debe a Charles F. Richter (1935), la cual consiste en asociar la magnitud

de un terremoto con la amplitud de la onda ssmica, lo que redunda en propagacin del movimiento enun rea determinada. El Anlisis de la onda denominada S en un tiempo aproximado de 20

segundos en un registro sismogrfico, sirve de referencia de calibracin (100 Km) de la escala

Energa Total liberada: Gutenberg/Richter

Log E = 11,8 + 1,5 Ms

En la cual se expresa en ergios y se deduce que por cada grado de incremento en la magnitud, la

energa liberada aumenta en 101,5 veces. La magnitud de un temblor es un valor nico, y es una

medida cuantitativa relacionada con la energa ssmica liberada, cada grado, equivale a un aumento

de 32 veces la cantidad de energa.

Un aumento de la escala de 2 a 4 representa 10 x 10 = 100 veces de incremento en la amplitud de la s

ondas ssmicas

2,5 En General no sentido pero registrado en los sismgrafos.

3,5 Sentido por mucha gente

4,0 Puede producir daos locales pequeos

6,0 Terremoto destructivo

7,0 Terremoto Importante

>8,0 Grandes terremotos.

Igualmente, la relacin entre la escala de Magnitud segn Richter, se puede establecer en relacina laaceleracin del terreno en el epicentro, de forma aproximada como:

MR= 2,2 + 1,8 . Log. AR,

Donde MR = Escala de Magnitud de Richter

AR = Aceleracin de la Tierra en el Epicentro.

ESCALAS DE MAGNITUD

Al momento de producirse un sismo, gran parte de la Energa Ssmica se libera en forma de calor y una

pequea parte mediante la propagacin de diversas tipos de ondas que hacen vibrar la corteza terrestre.

Dentro de estas ondas encontramos las de Cuerpo que viajan a grandes distancias a travs de la roca,

identificndose las ondas P, primarias o de compresin, que producen que las partculas experimenten

un movimiento paralelo a la direccin de propagacin y las ondas S, secundarias o de corte, inducen un

movimiento transversal. Otro tipo de onda son las Superficiales, las cuales se deben a reflexiones y

refracciones de las ondas de cuerpo cuando stas llegan a la superficie o a una interfase entre estratos,

se identifican dentro de stas ondas las Rayleigh con movimiento vertical y elptico, y las Love con

movimiento horizontal.


16/97


Pg. N

[email protected]

Con la finalidad de medir y analizar el movimiento producido por un sismo fue diseado a finales del

siglo pasado el sismgrafo; el registro obtenido se denomina sismograma que es un grfico de las ondas

ssmicas o una representacin amplificada del movimiento del terreno. La diferencia en el arribo de las

ondas P y S, permite la localizacin del epicentro del sismo. El tamao de los sismos puede ser

expresado en trminos de su Magnitud o de su Intensidad.

La Intensidad es un ndice de los efectos causados por un temblor y depende de las condiciones del

terreno, la vulnerabilidad de las edificaciones y la distancia epicentral. Para estandarizar los niveles de

intensidad se utilizan escalas tal como la Escala Mercalli Modificada (MM).

La Magnitud es un valor nico y es una medida cuantitativa del sismo relacionada con la energa

ssmica liberada. Tericamente la magnitud no tiene lmite superior, pero est limitada por la

resistencia de las rocas en la corteza terrestre y la longitud de ruptura probable en la falla. Para su

determinacin han sido creadas diferentes escalas, dependiendo del tipo de onda en que se basa la

medicin tenemos:

1. Magnitud Local ( ML ):

La idea de medir la magnitud de un sismo basado en un registro instrumental fue introducido en 1935

por Charles Richter, Sismlogo de California Technological Institute. Fue definida para sismos locales

en California para un radio de aproximadamente 600 km y se determina a partir de la mxima

amplitud registrada por un sismgrafo Wood Anderson con constantes especficas (perodo = 0.8

segundos, amplificacin esttica = 2800 y factor de amortiguamiento = 0.8) ubicado a 100 kilmetros

de la fuente ssmica. Para su determinacin se utiliza la siguiente expresin:

ML = 1og A log Ao

Donde A es la mxima amplitud de la traza registrada y Ao la amplitud mxima que sera producida por

un sismo patrn, siendo ste aquel que producira una deflexin de 0.001 mm en un sismgrafo

ubicado a 100 km del epicentro.

Ya que la escala de magnitud es logartmica, el incremento en una unidad de magnitud significa un

aumento en diez veces de la amplitud de las ondas en el sismograma, lo cual no debe confundirse con

lo que sucede con la energa ssmica liberada en donde un incremento en magnitud equivale a unaumento de aproximadamente 31.5 veces de energa.

2. Magnitud de Ondas Superficiales ( MS ):

Esta escala se basa en la amplitud mxima producida por las ondas superficiales Rayleigh con perodo

en el rango de 18 a 22 segundos. La expresin para determinar su valor es la siguiente:

MS = log10 (A/T) + 1.66 log10 D + 3.30

Donde A es la mxima amplitud horizontal del terreno medida en micrmetros, T es el perodo de laonda en segundos y D la distancia epicentral en grados.


17/97


Pg. N

[email protected]

3. Magnitud de Ondas de Cuerpo ( mb ):

La determinacin de la magnitud MS para los sismos con profundidad focal mayor a 50 kilmetros se

dificulta, debido a que no se generan ondas de superficie con suficiente amplitud; para compensar sto

se utiliz un factor de correccin de tal forma que se pudieran utilizar las ondas de cuerpo. Lamagnitud mb se basa en la amplitud de ondas de cuerpo con perodos cercanos a 1.0 segundos, para

su determinacin se utiliza la siguiente expresin:

mb = log (A/T) + Q(D,h)

donde A es la amplitud del terreno en micrmetros, T es el perodo en segundos y Q es un factor de

atenuacin que est en funcin de la distancia D en grados y la profundidad focal (h) en kilmetros.

Las escalas de magnitud MS y mb no reflejan adecuadamente el tamao de sismos muy grandes,

subestiman su valor y dan una estimacin poca exacta de la energa liberada, lo que se ha denominado

saturacin de las escalas de magnitud. Las mximas magnitudes mb se encuentran alrededor de 6.5 a

6.8, y la magnitud MS entre 8.3 a 8.7. As tambin la magnitud definida empricamente con base en la

amplitud de las ondas ssmicas no permite definir el tamao del sismo en trminos del proceso fsico de

ruptura y de las dimensiones de la zona de dislocacin.

4. Momento Ssmico (MO) y Magnitud Momento (MW)

La introduccin del concepto de Momento Ssmico en la sismologa, ha aportado una medida para

designar el tamao de un sismo que est en funcin directa de las propiedades fsicas de la roca y de

las dimensiones del rea que sufre la ruptura. Es a partir de este concepto que se ha desarrollado la

magnitud de momento.

Para grandes terremotoslas escalas de magnitud mb (magnitud obtenida a partir de las ondas de

cuerpo), como la MS(magnitud a partir de las ondas superficiales) no dan una real y exacta dimensin

del tamao de un terremoto, por tal razn los sismlogos modernos se inclinan al estudio de dos

parmetros diferentes para describir los efectos fsicos de un terremoto: el Momento Ssmico, que est

directamente relacionado con el proceso de ruptura de la falla, y la energa radiada.

La orientacin y la direccin de la falla, y el tamao del terremoto se pueden describir mediante

la geometra de la falla y el momento ssmico:

MO =m .S < d>

Donde m (mu) es la rigidez de la roca, S es el rea de la falla y < d > es el promedio del desplazamiento

de la falla. El Momento MO es una medida con mayor consistencia para medir el tamao de un

terremoto que la magnitud, y algo muy importante es que el momento no tiene intrnsecamente lmite

superior. Esto ha permitido el surgimiento de una nueva escala de magnitud basada en el momento

ssmico, y es la llamada Magnitud Momento MW

Magnitud Momento, (MW):

Resulta ms adecuado y consistente medir el tamao de un terremoto a partir de la Magnitud Momento

que a partir de la Magnitud MS.


18/97


Pg. N

[email protected]

La ecuacin de MW responde a:

MW =2/3 log MO 10.7

El Momento Ssmico de los dos mayores sismos reportados durante este siglo son:

Chile-Valparaso- (22-5-1960), con MO = 2,5 x 1030 dyn.cm (dyna x centmetros), con MS =

8,5 y MW = 9,5.

Alaska (27-3-1964), con MS = 8,3 y MW = 9,2, con un valor de MO comprendido entre 1028 y

1029 dyn . cm.

Las magnitudes de los sismos grandes fue recalculada usando esta nueva escala y para algunos de

ellos cambi notablemente, tal como sucedi con el sismo de Chile de 1960 que tena una magnitud MS

de 8.3 y que al calcularle la magnitud momento sta fue de 9.5 convirtindose as en el sismo de mayor

magnitud hasta hoy registrado.

5. Magnitud Energa ( Me ):

La cantidad de energa irradiada por un sismo es una medida del potencial de dao a las estructuras.

El clculo de esta magnitud requiere la suma del flujo de energa sobre un amplio rango de frecuencias

generadas por un sismo. Debido a limitantes instrumentales, la mayora de clculos de energa han

dependido histricamente de la relacin emprica desarrollada por Beno Gutenberg y Charles Richter.

Log10E = 11.4 + 1.5 Ms

Donde la energa E es expresada en Ergios. La magnitud basada en la energa irradiada por un sismo se

puede definir de la siguiente manera:

Me=2/3log10 E - 9.9

6. Magnitud de duracin, (Md):

Esta magnitud es una variacin del concepto de magnitud local que se emplea en algunas redes (Como

por ejemplo la utilizada por la Red Sismolgica de la Universidad de Oriente, con sede en la ciudad deCuman, estado Sucre). Su nombre proviene del hecho que es calculada con base a la duracin del

registro de la seal ssmica. Su expresin es la siguiente:

Md= a log(J) - b + c.DE

Donde J es la duracin del registro de la seal ssmica en segundos, (DE) la distancia epicentral y a,b,c

son coeficientes ajustados para que Md corresponda a ML .


19/97


Pg. N

[email protected]

ESCALAS DE INTENSIDAD

1. Escala de Mercalli Modificada (MM):

La escala de Mercalli toma su nombre del fsico italiano Giuseppe Mercalli, quien la desarroll en el

siglo XIX. Es una escala subjetiva, porque evala la percepcin humana del sismo. Sirve para recolectarinformacin en zonas donde no existen aparatos detectores, o instrumentos de medicin. Se basa en lo

que sintieron las personas que vivieron el sismo, o en los daos ocasionados. Cuando se utiliza esta

escala, se habla de grados de intensidad.

La escala de Mercalli se bas en la simple escala de diez grados formulada por Michele Stefano Conte de

Rossi y Franois-Alphonse Forel. La escala de Rossi-Forel era una de las primeras escalas ssmicas

para medir la intensidad de eventos ssmicos. Fue revisada por el vulcanlogo italiano Giuseppe

Mercalli en 1884 y 1906.

En 1902 el fsico italiano Adolfo Cancani ampli la escala de Mercalli de diez a doce grados. Ms tarde

la escala fue completamente reformulada por el geofsico alemn August Heinrich Sieberg y se conoca

como la escala de Mercalli-Cancani-Sieberg (MCS). La escala de Mercalli-Cancani-Sieberg fue

posteriormente modificada por Harry O. Wood y Frank Neumann en 1931 como la escala de Mercalli-

Wood-Neumann (MWN). Finalmente fue mejorada por Charles Richter, tambin conocido como el autor

de otra escala sismolgica, la escala de Richter, que mide la magnitud de la energa liberada durante un

sismo.

En la actualidad la escala se conoce como la Escala de Mercalli Modificada, comnmente

abreviado (MM).

2. Escala de Medvedev-Sponheuer-Karnik (MSK):

La escala Medvedev-Sponheuer-Karnik, tambin conocida como escala MSKo MSK-64, es una escala

de intensidad macrossmica usada para evaluar la fuerza de los movimientos de tierra basndose en los

efectos destructivos en las construcciones humanas y en el cambio de aspecto del terreno, as como en

el grado de afectacin entre la poblacin. Tiene doce grados de intensidad, siendo el ms bajo el nmero

uno, y expresados en nmeros romanos para evitar el uso de decimales.

Fue propuesta en 1964 por Sergei Medvedev (Antigua URSS), Wilhelm Sponheuer (Antigua Alemania

del Este, RDA) y Vt Krnk (Antigua Checoslovaquia). Est basada en los datos disponibles a

principios de los aos sesenta obtenidos mediante la aplicacin de la escala Mercalli Modificada y

tambin mediante la aplicacin de la versin de 1953 de la escala de Medvedev conocida como la

escala de intensidad ssmica de GEOFIAN.

La escala MSK pas a ser muy utilizada en Europa y en la URSS con pequeas modificaciones en la

dcada de los setenta y a principios de los ochenta. Al inicio de la dcada de los noventa, la Comisin

Sismolgica Europea us muchos de los principios postulados en la escala MSK para desarrollar

la Escala macrossmica europea (EMS-98), que es utilizada como estndar para la medicin de la


20/97


Pg. N

[email protected]

actividad ssmica y de su intensidad en los pases europeos. La escala MSK-64 se usa an

en India, Israel, Rusia y en la Commonwealth.

La escala MSK es parecida a la escala Mercalli Modificada, que se utiliza en Estados Unidos.

Principales Fallas Activas

En Venezuela

1 Grado I: no perceptible2 Grado II: difcilmente perceptible3 Grado III: dbil4 Grado IV: bastante notado5 Grado V: algo fuerte6 Grado VI: fuerte7 Grado VII: muy fuerte8 Grado VIII: bastante daino9 Grado IX: destructivo10 Grado X: devastador11 Grado XI: catastrfico12 Grado XII: extremadamente catastrfico


21/97


Pg. N

[email protected]


22/97


Pg. N

[email protected]

FUENTE: Funvisis


23/97


Pg. N

[email protected]

FUENTE: Funvisis


24/97


Pg. N

[email protected]

Mapa de Lneas Isossmicas de Venezuela

Fuente: Riesgo Ssmico del Ministerio de Interior y Justiciahttp://www.riesgos.gob.ve/


25/97


Pg. N

[email protected]

Las Normas, recogiendo esta informacin, permiten establecer en el pas cierta uniformidad en el riegossmico, lo que permite dividir al pas en 8 zonas:

Riego Ssmico

El historial de la actividad ssmica, conjuntamente con los estudios geolgicos, permite identificaraquellas zonas sismolgicamente activas, o sea, aquellas donde existen fallas cuyos desplazamientosgeneran sismos. Los sismos no se presentan solamente en estas zonas, ya que como vimosanteriormente, estos se propagan a mucha distancia mediante ondas a travs de la corteza terrestre.Por lo tanto el Peligro o riego ssmico se refiere al grado de exposicin que un sitio dado tiene a losmovimientos ssmicos, en los referente a las mximas intensidades que en el pueden manifestarse.

Lneas Isossmicas:

Aplicando tcnicas adecuadas es posible determinar respecto a suficientes sitios, aquellos quepresenta valores semejantes de aceleracin y velocidad mxima del terreno, u otra medida de laintensidad (No de magnitudes), que se correspondan con un perodo de ocurrencia dado, lo quepermite graficar las lneas con tendencias similares, conocidas como lneas isossmicas.

De este modo, el mapa de zonificacin de Venezuela se encuentra comprendido de 8 zonas: desde laZona 0, donde no se requiere la consideracin de las acciones ssmicas, hasta la Zona 7 donde elcoeficiente de aceleracin horizontal A, es igual a 0.40; el mapa correspondiente a la versin anteriorde la Norma tena 5 zonas, con un coeficiente de aceleracin horizontal mximo que alcanzaba 0.30.

Mapa Ssmico 1952


26/97


Pg. N

[email protected]

El mapa de zonificacin dado en la Figura 4.1 de este Artculo, as comolos valores establecidos en la Tabla 4.1 del Artculo 4.2, se consideranrepresentativos de probabilidades de excedencia de 10% para una vidatil de 50 aos, es decir periodos de retorno de 475 aos. Sefundamentan en una revisin de los mapas de zonificacin ssmica

conocidos (1898-1998), as como en aquellos incorporados en diversosdocumentos tcnicos, as como en estudios de amenaza ssmica hechosen el pas en los ltimos 15 aos (Beltrn, 1993; PDVSA, 1991;CADAFE, 1984; Consejo Nacional de Seguros, 1990; Lobo, 1987;Grases, 1997). Entre estos ltimos, destaca el mapa de zonificacinssmica propuesto en base a resultados de estudios realizados enINTEVEP (Quijada et al, 1993) en su versin ms reciente; este mapacontiene curvas de isoaceleracin de 50 en 50 gal, para perodos deretorno de 475 aos y ha sido tomado como base para la zonificacin de la Figura 4.1.

Tabla 4.1Valores de Ao

Zona Ssmica Ao7 0,40

6 0,355 0,304 0,253 0,202 0,151 0,100 --


27/97


Pg. N

[email protected]

Estudios de peligro ssmico para sitios especficos, solo se justifican para obras excepcionales de granimportancia, tales como presas o centrales termonucleares, etc. Para obras comunes puede recurrirsea estudios comunes como el caso de esta norma.

En regiones adyacentes a embalses de ms de 80 metros de altura, se requieren estudios especiales.Esto, debido a los eventuales efectos de sismicidad inducida por el peso del embalse sobre el terrenonatural.


28/97


Pg. N

[email protected]

Efecto del Tipo de Suelos:

La naturaleza del suelo donde se encuentra fundada una estructura, modifica la respuesta ssmica debidaprincipalmente a las siguientes causas:

a) La amplificacin local por la modificacin de las ondas ssmicas desde la roca subyacente hasta los

estratos de soporte de la estructura.b) La alteracin del movimiento del terreno por la presencia de la estructura, considerada un cuerpo rgido.c) La interaccin entre la vibracin de la estructura y la del suelo.

En general se ha determinado que la amplitud de los movimientos del suelo debajo de la estructura, son menoresque los que tiene fuera de ella.La interaccin suelo-estructura, ocasiona modificaciones en la respuesta, permitiendo que la deformacin delsuelo, reduzca la rigidez de la estructura, aumentando su perodo, lo que genera una ordenada espectraldiferente.Igualmente ocasiona que el desplazamiento total de la estructura sea mayor que considerando la cimentacinempotrada, influyendo en las separaciones mnimas que es necesario dejar entre edificaciones adyacentes.

.

El Terremoto de 1967, ocurrido en la ciudad de Caracas, sirvi de experiencia para ampliar los estudios

e influencia de los sismos sobre las estructuras dependiendo de los depsitos de aluvin y el espesor de este sobreel manto rocoso.Como conclusin se llega que durante este sismo en lugares como Catia, fueron afectadas mayormenteedificaciones de baja altitud (3 a 5 pisos), mientras que en la zona de los Palos Grandes mayormente fueronafectadas las edificaciones de gran altitud (10 a 14 pisos), estimados de forma proporcional. Esto se debi a que laprofundidad del aluvin en la zona de Catia es mucho menor que la profundidad del Aluvin en la zona de losPalos Grandes, en los edificios, cuyos perodos fundamentales se acercaban ms a los perodos caractersticos derespuesta de los depsitos de Aluviones.

Las alteraciones de las ondas son debido principalmente a efectorgeolgicos, topogrficos y a la rigidez del suelo, denominadosEfectos Locales, por lo que se ha generalizado el estudio dezonas como el ejemplo anterior que presentan caractersticas

especiales y la alta densidad demogrfica, as lo ameriten.La presencia de estratos blandos por los que transitan las ondasssmicas para llegar a la superficie, altera las caractersticas de lasondas, ya que son filtradas las ondas de perodos cortos mientrasque las de perodos largos son amplificadas (Bazn/Meli), ydebido a que los movimientos del suelo son amplificadossignificativamente en la estructura, de manera que lasaceleraciones que se presentan en la misma suelen ser varias vecesla aceleracin del terreno debido al grado de amortiguamiento y larelacin entre el perodo de vibracin de la estructura y el perodode la vibracin del suelo. En otras palabras los sismos bruscos deperodos cortos suelen afectar mucho ms a las estructuras rgidas,mientras que los sismos de perodos largos suelen afectar muchoms a las estructuras altas y flexibles donde se amplifican muchoms las vibraciones y las aceleraciones son ms elevadas y porende las fuerzas de inercia.


29/97


Pg. N

[email protected]

CONSIDERACIONES GENERALES

1.- Calcular la estructura considerando el comportamiento dinmico frente a un sismo.

Este procedimiento, intenta reproducir lo mas exacto posible lo que ocurre en realidad, por cuanto considera los efectosde las aceleraciones inducidas sobre una masa, como consecuencia del movimiento de la base de una estructura a travs

del sistema de fundacin de las misma.Se trata de un problema de elasticidad dinmica en el que se busca el perodo propio de vibracin y de sus armnicosen la estructura, para que estos se encuentren alejados de los del sismo, con el fin de evitar se produzcan fenmenos deresonancia que traeran como consecuencia la amplificacin infinita de las elongaciones.

2.- Mediante la simulacin de cargas esttica equivalentes.

El procedimiento esttico de clculo intenta, al igual que se hace para simular el efecto de otras acciones de carcterdinmico como el viento, sobrecargas de esta naturaleza o el impacto, sustituir la accin del sismo por un conjunto defuerzas estticas que actuando sobre la estructura induzcan el mismo estado tensional que pudiera originar un eventossmico considerado.

La ocurrencia del Terremoto de Caracas conduce al Ejecutivo Nacional a decretar la creacin en 1972 de la FundacinVenezolana de Investigaciones Sismolgicas (FUNVISIS), organismo especializado dedicado a la evaluacininstrumental, geolgica e ingeniera de la activacin ssmica generada en todo el territorio nacional.

Sismologa: Rama de la geofsica que se encarga del estudio de las caractersticas de los sismos, los cuales se basanprincipalmente en la teora denominada Tectnica de Placas.

La influencia de un sismo en una estructura civil (Presas, Edificios, Puentes, Silos, etc.), es variada y compleja, ya quedepende de la interaccin entre el movimiento ssmico, las propiedades del suelo de fundacin y la de la estructuramisma.

Ninguna zona puede considerarse a salvo de los efectos ssmicos, de manera que, aun donde no se tengan evidencias dela ocurrencia de sismos en pocas recientes, las estructuras importantes requieren de un diseo sismorresistente.

Por lo tanto, para realizar un diseo ssmico, es necesario hacer las siguientes consideraciones:

a) La definicin de la accin de diseo. Las normas especifican la intensidad ssmica que debe usarse en el diseode los diversos tipos de estructuras en distintas regiones del pas; sin embargo, en estructuras de particularimportancia es necesario realizar estudios para determinar la intensidad del sismo de diseo.

b) La seleccin de una estructura adecuada: Los efectos del sismo depende de los elementos estructurales, encuanto a estructuracin, dimensiones y materiales.

c) La respuesta estructural: El mtodo de anlisis ssmico vara grandemente en el nivel de refinamiento; desde laconsideracin del efecto de una serie de fuerzas estticas equivalentes, hasta el anlisis dinmico ante elmovimiento del suelo en la base de las estructuras experimentado durante el sismo.

El dimensionamiento y detallado de la estructura.

Efectos ssmicos sobre las estructuras

Como bien sabemos las estructuras en la ingeniera civil, son esqueletos que se encargan de transmitir las fuerzasgeneradas por una actividad determinada en un lugar determinado y transmitidas a la tierra a travs de elementos defundacin diseados para tal fin,

Por lo tanto cualquier movimiento que sufra el elemento de fundacin (Temblor de Tierra), cualquiera estructuraapoyada sobre l, tiende a seguir el movimiento del suelo, pero debido a la inercia del sistema, las masa que soporta laestructura se oponen a ser desplazadas dinmicamente, generndose fuerzas de inercia que pueden ser estudiadascomo un problema dinmico.

Los movimientos del suelo constan de vibraciones horizontales y verticales, siendo las horizontales las ms crticas.

La flexibilidad estructural ante un fenmeno ssmico, el cual hace que se generen fuerzas de inercia, ocasiona que estavibre en forma distinta a la del suelo, ya que dichas fuerza dependen de las propiedades de la estructura misma.


30/97

Universidad de Oriente Introduccin a la Ingeniera Sismorresistente

Ncleo Bolvar INGENIERIA CIVIL Prof. Rogelio Prez Solano


31

M

K

(M)asa

(K) Resorte

(C) Amortiguador

C

Columnas

Vigas

Anlisis Ssmico:

Los mtodos de anlisis ssmicos considerados en las normas de diseo empleadas en la prctica, recurren a idealizaciones

simplistas de la accin ssmica, mediante un sistema de fuerzas estticas equivalentes; sin embargo, no hay que olvidar que el

fenmeno ssmico tiene un carcter dinmico, por lo que es necesario conocer los principios bsicos de la dinmica estructural.

El Modelo Estructural en la Dinmica Estructural

La utilizacin de modelos en el anlisis estructural, es la manera mas simple para plasmar de una forma ideal el comportamiento

de las estructuras, de manera de facilitar el entendimiento de soluciones a problemas que matemticamente sern sumamente

complejo lograr (Modelos Matemticos). Estos modelos son simples, pero no por ello carecen de importancia, ya que son los ms

utilizados por las normativas y los ingenieros estructurales.


31/97




32

M

AMORTIGUADOR

RESORTE

DESPLAZAMIENTO EN LA BASE

Sistemas de Un Grado de Libertad:

Toda estructura responde ante una excitacin ssmica mediante Aceleraciones, velocidades y desplazamientos, que se generan en

el suelo donde se encuentra asentada una estructura, manifestndose como una vibracin a travs de la cual se disipa la energa

generada por dicho movimiento, esta informacin es llevada en un registro histrico por la red de sismografa de cada pas.

Espectro de Respuesta:

Se denomina Espectro de Respuesta de desplazamientos, velocidades y aceleraciones, para un determinado acelerograma, a los

mximos valores de las respuestas del sistema, formado por un oscilador de un grado de libertad.

Si definimos el desplazamiento como (Xt)

La velocidad es la primera derivada del desplazamiento respecto al tiempo dx (t) / dt

La aceleracin es la segunda derivada del desplazamiento respecto al tiempo d2x (t) / dt2

Por lo tanto los mximos valores de desplazamiento, velocidad y aceleracin, se denominarn valores espectrales:

Sd (Desplazamiento Espectral)

Sv (Velocidad Espectral)

Sa (Aceleracin Espectral)

Cuando ocurre un movimiento en la base (Desplazamiento), el Sistema conformado por una masa determinada (M)

entra en oscilacin, generando sobre la estructura tres (3) tipos de fuerzas.

Esta fuerza son las siguientes:

Si llamamos Sd =

Sv =

Sa =


32/97


33/97




34

CLASIFICACION DE LOS MTODOS DE ANLISIS

Anlisis Esttico

Anlisis Dinmico Plano Anlisis Dinmico Espacial

Anlisis Dinmico con Diagrama Flexible

Anlisis Inelstico

Para poder utilizar los mtodos ms simplificados se requiere que las estructuras satisfagan ciertas condiciones de regularidadque se encuentran implcitamente definidas por las hiptesis simplificadoras que sustentan cada mtodo en particular, como losrequisitos de uniformidad en la distribucin de las masas, rigideces, resistencia y capacidad dctil, tanto en planta como enelevacin para poder aplicar el Anlisis esttico. Para el Anlisis Dinmico Plano, pueden existir irregularidades moderadas en

planta y significativas en su elevacin. Todas las irregularidades, tanto en planta como en elevacin, son manejables mediante elAnlisis Dinmico Espacial. Estos mtodos descritos anteriormente, suponen una rigidez infinita del entrepiso en el planorespectivo, si esta hiptesis no es valedera, es necesario recurrir al mtodo de Anlisis Dinmico Espacial Con Diafragma Flexible.El Anlisis Inelstico es especialmente til en casos de estructuras cuyas irregularidades puedan dar cabida a la concentracin de

energa inelstica que puedan amenazar la estabilidad del sistema estructural, como el caso de muros discontinuos en sus plantasinferiores.

Anlisis Esttico: En este mtodo los desplazamientos y las fuerzas internas en los elementos estructurales se determinan de unanlisis de la estructura sujeta a la accin de cargas estticas (Fuerzas y Momentos Torsores), aplicadas en los centros de masas decada entrepiso. La Magnitud y sentido de estas cargas, se obtienen mediante la aplicacin de sencillas formulas, por o cual lasestructuras tienen que satisfacer algunas condiciones de regularidad

Anlisis Dinmico: En este mtodo el sistema posee un total de N modos de vibracin, siendo N el nmero de pisos o niveles de laestructura,. El procedimiento de anlisis consiste en determinar los perodos y formas de vibracin de los modos mas importantes,calcular la mxima respuesta dinmica en cada modo y finalmente superponer las mximas respuestas a fin de contener la mximarespuesta de la estructura., la cual se logra combinando la raz cuadrada de la suma de los cuadrados (RCSC).

Anlisis Dinmico Espacial: En este mtodo la estructura es modelada con sus tres grados de libertad por nivel, por lo queincorporamos en el clculo tanto sus vibraciones laterales como las torsionales. En el caso de edificios asimtricos en planta dondees obligatoria la aplicacin de este mtodo es el instrumento mas poderoso disponible en la norma vigente de edificios.

Anlisis Dinmico Espacial con Diafragma Flexible: La inclusin de la flexibilidad del sistema de piso en su propio plano, puedemodificar sensiblemente la distribucin y la magnitud de las fuerzas laterales que son transferidas a los planos sismorresistentesverticales. Este puede ser el caso de edificios con aberturas o entrantes excesivos en su planta, o con plantas de gran esbeltez,apoyadas sobre muros de gran rigidez.

Anlisis Inelstco: Este procedimiento no es exigido por las normas, debido a la gran cantidad de clculos que es necesariorealizar, pero de esta manera nos permitira evaluar la capacidad de disipacin de energa de la estructura y determinar los efectosdebido a la alternancia o ciclos de carga.


34/97




35

Se considera Edificacin de Estructura Irregular, aquella no contemplada en cada uno de los siguientes enunciados:

SELECCIN DE LOS MTODOS DE ANLSIS

CONDICIN IRREGULARIDAD MTODO DE ANLISIS

Estructura Regulares Anlisis Esttico

Hasta 10 Pisos o 30 mts. Anlisis Dinmico Plano

Excede 10 Pisos o 30 mts.

Estructuras Irregulares

Irregularidad Vertical a3 a5 a6 Anlisis Dinmico Plano

a1 a2 a4 a6 a8 Anlisis Dinmico Espacial

Irregularidad en Planta b1 b2 b3 Anlisis Dinmico Espacialb4 Anlisis Dinmico Espacial con Diagrama Flexible

IRREGULARIDAD VERTICAL

a.1).- Entrepiso Blando: La rigidez lateral de algn entrepiso, es menor que el 70% del entrepiso superior o el 80% delpromedio de los tres entrepisos superiores.

a.2).- Entrepiso dbil: La resistencia lateral a la fuerza cortante de algn entrepiso, es menor que el 70% la resistenciacorrespondiente al entrepiso superior o 80% del promedio de las resistencias de los tres entrepisos superiores. En laevaluacin de la resistencia, se incluir la contribucin de la tabiquera. En el caso que la contribucin sea superior que

para los pisos superiores, esta se podr omitir.

a.3).- Distribucin Irregular de masas de uno de los pisos contiguos:Cuando la masa de algn piso exceda 1,3 veces la masa

de uno de los pisos contiguos. Se excepta la comparacin con el ltimo nivel de techo de la edificacin.

a.4).- Aumento de las masas con la elevacin:La distribucin de masas de la edificacin crece sistemticamente con la altura.

a.5).- Variacin en la geometra del sistema estructural:La dimensin horizontal del sistema estructural en algn piso excede1,30 veces la del piso adyacente. Se excluye el ltimo nivel.

a.6).- Esbeltez excesiva:El cociente entre la altura de la edificacin y la menor dimensin de la estructura a nivel de baseexceda a 4.

a.7).- Discontinuidad en el plano del sistema resistente a cargas laterales:

I ) El desalineamiento horizontal del eje de un miembro vertical, muro o columna, entre dos pisos consecutivos,supera 1/3 de la dimensin horizontal del miembro.

II) El ancho de la columna o muro en un entrepiso presenta una reduccin que excede el 20% del ancho de la columnao muro en el entrepiso inmediatamente superior.

III) Columnas o muros que no continan a u nivel inferior distinto al nivel de base.

a.8).- Falta de conexin entre elementos verticales: Alguno de los miembros verticales, columnas o muros, no estnconectados a diafragma de algn nivel.

a.9).- Columnas cortas:Marcada reduccin en la longitud libre de columnas, por efecto de restricciones laterales tales comoparedes u otros elementos no estructurales.


35/97




36


36/97




37

L1

L2

L1

L2 L1 / L2 > 5

INCORRECTOCORRECTO

IRREGULARIDAD EN PLANTA

b.1).- Gran Excentricidad: En algn nivel la excentricidad entre la lnea de accin de la cortante y el centro de rigidezsupera el 20% del radio de giro inercial de la planta.

b.2).- Riesgo torsional elevado:

I ) El radio de giro torsional ( r ) en alguna direccin es inferior al 50% del radio de giro inercial.

II) La excentricidad entre la lnea de accin de la cortante y el centro de rigidez de la planta supere el 30%del valor del radio de giro torsional ( r ) en alguna direccin.

b.3).- Sistema No ortogonal: Cuando una porcin importante de los planos del sistema sismorresistente no seanparalelos a los ejes principales del sistema.

b.4).- Diafragma Flexible

I ) Cuando la rigidez en su plano sea menor a la de una losa equivalente de concreto armado de 8 cm. Deespesor.

II) Cuando un nmero significativo de plantas tenga entrantes cuya menor longitud exceda al 40 % de la

dimensin del menor rectngulo que inscribe a la planta, medida paralelamente a la direccin delentrante, o cuando el rea de dicho entrante supere el 30% del rea del citado rectngulo circunscrito.

III) Cuando las plantas presenten un rea total de aberturas internas que rebasen el 20% del rea bruta deplanta.

IV) Cuando existan aberturas prominentes adyacentes a planos sismorresistentes importantes o, en general,cuando se carezca de conexiones adecuadas para ello.

V) Cuando en alguna planta el cociente Largo / Ancho del menor rectngulo que inscribe a dicha plantasea mayor que 5.

En Zonas de alta peligrosidad ssmica, deben evitarse los planteamientos estructurales, que pongan en duda suestabilidad ante cargas laterales. Es deber del proyectista estructural alertar sobre el aumento en costos que conlleva elplanteamiento de una estructura que se sale de los siguientes planteamientos bsicos, pero esto no necesariamenteimpide la funcionabilidad de este proyecto bajo un anlisis mas sofisticado.

Una estructura sencilla permite al calculista entender claramente en que forma esta resiste las cargas laterales ycomo la energa inducida por el sismo es disipada.

Es necesario que toda estructura tenga mecanismo de rigidez y resistencia en los dos sentidos ortogonales. De no existir simetra de los elementos portantes en planta, se generaran torsiones importantes en la respuesta

estructural, generando esfuerzos muy altos en los diferentes elementos estructurales.


37/97




38

Deben evitarse las formas L, T y H, porque presentan problemas torsionales por la generacin deexcentricidades en la distribucin de rigideces.

Verticalmente la estructura no debe sufrir fuertes reducciones, ya que producen amplificaciones locales que no

se encuentran contemplados en las normas. Deben evitarse las grandes concentraciones de masas o rigideces, de manera que difieran de los niveles

adyacentes como por Ejemplo Piscinas. Siempre es necesario recordar que el diseo estructural se realiza en el campo inelstico, por lo que las fuerzas

que actan sobre ella se reducen (Reduccin de Respuesta) Proporcionar a la estructura la mxima hiperestaticidad posible, para garantizar que el

mximo nmero de secciones que puedan llegar a la fluencia antes que la estructuracolapse.

Evitar elementos sobre diseados, ya que estos no participarn en la deformacininelstica.

Anlogamente deben evitarse los entrepisos que tengan una resistencia y rigidezinferiores al resto.

Igualmente deben evitarse las zonas dbiles, ya que la energa inducida por el sismotender a disiparse a travs de esta, produciendo fallas locales difciles de reparar.

El sistema de transmisin de los esfuerzo al suelo (Fundacin) deber transmitirlos de manera que acte comouna unidad monoltica y no se generen deformaciones importantes entre el suelo y la estructura.


38/97




39

MK

B ( Vo/W)

CA ( Xo )

CAPITULOSISTEMA DE UN (01) GRADO DE LIBERTAD

SISTEMA NO AMORTIGUADO LIBRE DE FUERZA

F(t) = F(i) + F(r)

Los sistemas No Amortiguados se encuentran representados en el siguienteesquema, en el cual (M) representa la masa y (K) representa la rigidez de loselementos verticales que unen a la masa con tierra. Si a la masa (M) se le aplica undesplazamiento (X) las fuerzas que actan sobre dicho sistema se encontrarnrepresentadas por:

Una estructura responde a una excitacin ssmica por una historia de aceleraciones, velocidades y/o desplazamientos que presentael suelo donde se encuentra asentada mediante una vibracin a travs de la cual disipa la energa generada por dicho movimiento.

Ftotal = FI + FR

Cuando el sistema se encuentra en reposo, la sumatoria de todas las fuerzas debe ser igual a 0.

Como en un sistema no amortiguado la solucin de la ecuacin:

La Solucin de la ecuacin homognea es la siguiente

Debido a que las ecuaciones (1) y (2) son soluciones particulares de le ecuacin mX + KX = 0 y cada una de estas representauna ecuacin lineal, la superposicin de estas es tambin una solucin.

o lo que es lo mismo esta ecuacin presenta las dos constantes de Integracin ( A ) y ( B ), y es de hecho la solucin general de la

ecuacin diferencial de segundo orden.

Para las condiciones Iniciales, las constantes de integracin A y B se determinan para valores conocidos del desplazamiento y de

la velocidad en el instante de tiempo t =o. De esta manera sustituyendo los valores t = O, X = Xo, las ecuaciones anteriores se

obtiene que

Xo = A

Vo = B .W

Vo = Velocidad de la masa (M) en to = Angulo de FaseSeno = A/C = Xo / CCos = B/C = (Vo/W) / CTan = / = Xo/(Vo/W)

K.X + M.X = 0

d2XM . + K . X = 0

dt2

M x X + K x X = 0

X = A cos (wt) + B sen (wt)


39/97




40

(t)

Aceleracin

Velocidad

Desplazamiento

Introduciendo el valor C de amplitud (Mxima desplazamiento del sistema)X = C (Xo/C cos (wt) + (Vo/W)/C sen (wt))

O seaX = C (sen

. cos (wt) + cos

. sen (wt))

De donde se deduce lo que se conoce como ecuacin del desplazamiento

Desplazamiento X = C . Sen (Wt + )

Velocidad (Primera Derivada) X = W . C . Cos (Wt +

)

Aceleracin (Segunda Derivada) X = - W2. C . Sen (Wt +

)

Si tenemos que

M x X + K x X = 0

- M W2. C . Sen (Wt + ) = - K . C . Sen (Wt + )

( K W2.M) = 0

W2= K/M(Ecuacin de Frecuencias)

Se denomina perodo () al tiempo que emplea una masa (M) en dar una vibracin (Oscilacin) completa y se denominafrecuencia natural del sistema a la inversa del perodo = /

W : Frecuencia Angular del Sistema = K / M (Rad / Seg)

T :Perodo fundamental del sistema = 2. / W (Segundo / Ciclo)

:Frecuencia Natural del Sistema = 1 / T = /2 . (Ciclos / segundo)

Ejemplo: En un Sistema de un (1) Grado de libertad No Amortiguado tendremos:

X = C . sen (wt + )

En otras palabras,

Si la matriz de masas M es positiva, la solucin de la ecuacin

de un sistema dengrados de libertad, existirn nvalores de W2

K = W2 . M

C= Xo2 + (Vo/W)2


40/97




41

MA MB

A B

A

BMAEI

MBEI

MA

A B

A

BMAEI

4.5

0m

7.50 m

20 x 30 20 x 30

3600 Kg/m(M)asa

Los coeficientes de Rigidez (K) o constante de Resorte, que existe entre dos masas consecutivas, es la fuerza requeridapara producir un desplazamiento relativo unitario entre dos niveles de pisos adyacentes K = P /

Aplicando Viga Conjugada

MA= P.LB = MA/EI . L/2 . 2/3 (L) = P . L

3/ (3 . EI)K = P / = P / (PL3/3EI) = 3EI / L3

MA = MB P = 2MA/LB = MA/EI . L/2 . 2/3 (L) MB/EI . L/2 . 1/3 (L)

B = (2/6) MA/EI . L2 (1/6)MA/EI . L

2

B = (1/6).MA.EI . L2

K = 12 EI/L3


41/97


42/97




43

W = 6.91 Rad/seg Vo = 0.75 m/seg

a = 0.26966731 Rad Xo = 0.03 m/seg

C = 0.11260805

X X X

m m/seg m/seg2

0 0.03 0.75 -2.46842884

0.1 0.09229064 0.44584285 -4.23641122

0.2 0.11224002 -0.0628589 -4.65120732

0.3 0.08069571 -0.54272212 -3.95782055

0.4 0.01212968 -0.77359431 -1.86128296

0.5 -0.06200123 -0.64955549 0.85004879

0.6 -0.1076871 -0.22751243 2.45639912

0.7 -0.10396809 0.2989092 2.33268847

0.8 -0.05255041 0.68819672 0.50176516

0.9 0.02297644 0.7617521 -2.23378568

1 0.08796212 0.48582947 -4.13549744

1.1 0.11259238 -0.01298289 -4.65776138

1.2 0.0855673 -0.50583893 -4.07806996

1.3 0.0192855 -0.76662527 -2.10833466

1.4 -0.05584413 -0.67569788 0.62346506

1.5 -0.1053535 -0.27477259 2.37895763

1.6 -0.10652859 0.25221337 2.41803216

1.7 - 0.0588303 0.66348842 0.73352381

1.8 0.01585826 0.77036705 -1.99061659

1.9 0.08327134 0.52381529 -4.02196426

2 0.11248104 0.03694659 -4.65569348


43/97


44/97




45

En esta ecuacin e es la base del logaritmo natural y p es una constante que se determina sustituyendo esta ecuacin en laecuacin (1)

X(t): = C . eptX(t): = C . p . eptX(t): = C . p2. ept

Determinando las races de la ecuacin anterior, la podemos expresar como:

AMORTIGUAMIENTO CRTICOEn la resolucin de la ecuacin de segundo grado obtenemos tres posibles soluciones o valores de (p): Pueden ser negativos,

positivos o iguales a (C/2M). En el caso de este ltimo, es necesario que el radical sea igual a cero, de manera tal que debecumplirse:

Ya habamos demostrado mediante la ecuacin de frecuencias que: W2= K/M C/(2.M) = W. En este caso el coeficiente deamortiguamiento ( C ) es el llamado crtico ( Ccr ).

(Xi) (Damping Ratio)(Relacin de Amortiguamiento)

Llamemos a: Wd(Frecuencia Angular del sistema Amortiguado)W (Frecuencia Angular del sistema No Amortiguado)

En sistemas No Amortiguados habamos demostrado que:

|

M . p2+ C .p . + K = 03

M . C . p2. ept+ C .C.p . ept+ K .C . ept= 02

2

C C KP = - -

2 M 2M M

4

C2 K = 0

2.M M

Ccr = 2. M . W

= C / Ccr

W 2 = K/M

2.M = Ccr / W

C = . Ccr

W = Ccr / 2M

K.Ccr 2

Wd= M 2M

K C 2Wd=

M 2M

Wd= W 1 2

2

Wd= W2

. W


45/97




46

Td :Perodo fundamental del sistema Amortiguado = 2 . / Wd Segundo / Ciclo

CWd= W2( 1 )

Ccr

Wd= W ( 1

2)

W . CWd= W2

Ccr


46/97




47

(X)

(t)

(X)

(t)

(X)

Por lo tanto se pueden generar tres (3) casosCASO 1C > Ccr (SISTEMA SOBRE AMORTIGUADO)

En este caso la ecuacin (4) presenta dos valores reales y distintos, pudindose determinar. No produce movimiento oscilatorio,ya que este decae exponencialmente con el tiempo a cero.

CASO 2C = Ccr (SISTEMA CRTICAMENTE AMORIGUADO)Se produce cuando P1= P2 = - Ccr / 2MLa solucin de la ecuacin de desplazamiento puede expresarseComo: X1(t) = Z1. e

(Ccr / 2M) tX2(t) = Z2. t . e

(Ccr / 2M) tSiendo la solucin general la superposicin de las dos anteriores X(t) = (Z1+ Z2. t ) . e

(Ccr / 2M) tBajo estas condiciones la masa regresa a su posicin inicial, siguiendo una curva exponencial

CASO 3C < Ccr (SISTEMA SUBAMORTIGUADO)En el caso de sistema sub amortiguados o sub crticos, es el que mas se asemeja al de las estructuras en el campo de la ingenieracivil, ya que los elementos verticales poseen una resistencia relativamente pequea, lo que mantiene el carcter oscilatorio delsistema, disminuyendo la amplitud a travs del tiempo.

Sustituyendo

Si definimos la segunda parte de la ecuacin como i . WdLa ecuacin

Quedar definida como:

Como es propiedad de los logaritmos tenemos que:e (-C/2M + iWd).t = e (-C/2M).t . e (iWd).t

e (-C/2M iWd).t = e (-C/2M).t/ e (iWd).t

Dado que los puntos del plano se pueden definir en funcin de sus coordenadas polaresry , todo nmero complejozse puedeescribir de la formaz= r (cos + isen )La solucin general del sistema se encontrar determinada por la superposicin de las dos

posibles soluciones:

X(t) = Z1. (e(-C/2M).t . e (iWd).t ) + Z2. (e

(-C/2M).t . e - (i Wd).t )

X(t) = Z1. (e(-C/2M).t . (Cos (Wd.t) + isen (Wd.t) ) + Z2. (e

(-C/2M).t . (Cos (Wd.t) - isen (Wd.t) )

X(t) = e (-C/2M).t . (Z1.(Cos (Wd.t) + isen (Wd.t) ) + Z2. (Cos (Wd.t) - isen (Wd.t))

X(t) = e (-C/2M).t . ( (Z1+ Z2).(Cos (Wd.t) + (Z1 Z2) . (- isen (Wd.t))Como Z1 y Z2 son dos constantes de integracin, puede sustituirse convenientemente a:

Z1+ Z2 = AZ1- Z2 = -i.B

X(t) n = Z1ep1t+ Z2ep2t

X(t) = Z1. ep1t+ Z2. ep2t

2C K C

P = i 2 M M 2M

Ccr = 2. M . W

2 M = Ccr / W

X(t) = Z1. ep1t+ Z2. ep2t

X(t) = Z1. e(-C/2M + iWd)t + Z2. e

(-C/2M iWd)t

Y de acuerdo a Euler la Solucin de e+(iWd) es de la forma = Cos (Wd) + isen (Wd)e-(iWd)es de la forma = Cos (Wd) - isen (Wd)


47/97


48/97




49

Ejercicio

El siguiente portico, se encuentra sometido a un movimiento libre Sub Amortiguado, con un desplazamiento inicial parat= 0 seg, de 15 cm y una velocidad de 5 cm/seg.

B H

Columna 1 30 40

Columna 2 40 30

Columna 3 30 50

X(0) 15 cm

V(0) 5 cm/seg

H = 800 cm

Peso = 3600 Kg/m

E concreto 250000 kg/cm2

= 5%

I1 = 90000 cm4 K1 527.34

I2 = 160000 cm4 K2 937.50 K = 2,124.02 Kg/cm

I3 = 112500 cm4 K3 659.18

Masa = 36.73 Kg. Seg/cm A 15.00

Crtico = 558.6603647 B 1.41

= 27.93301823 Amplitud C 15.07W = 7.603988297 rad/seg ALPHA = 1.477117167 RadWd = 7.594477364 rad/seg

C = 15.07 cm Este valor es igual a X(o)

t X Seno(Wd.t+) e-(C/2M).t0 15.00 1.00 1.00

0.50 -10.54 -0.85 0.83

1 3.56 0.35 0.68

1.50 2.54 0.30 0.57

2 -5.76 -0.82 0.47

2.50 5.82 1.00 0.39

3 -3.69 -0.77 0.32

3.50 0.86 0.21 0.264 1.40 0.43 0.22

4.50 -2.42 -0.89 0.18

5 2.21 0.98 0.15

5.50 -1.25 -0.67 0.12

6 0.12 0.08 0.10

6.50 0.69 0.54 0.08

7 -0.99 -0.94 0.07

7.50 0.83 0.95 0.06

8 -0.41 -0.56 0.05

8.50 -0.03 -0.06 0.04

9 0.32 0.65 0.03

H

Carga Ssmica = 3600 Kg.f/m

30 x 40 cm 40 x 30 cm 30 x 50 cm

4,70 5,30


49/97




50

X (t)

-15.00

-10.00-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

0 2 4 6 8 10

X (t)


50/97




51

(t)

(X)

Y1

Y2

Td 1 Td 1

C . e - W.tTd

- C . e - W.t

Decremento Logartmico

Conociendo,

Un mtodo prctico para determinar experimentalmente el coeficiente de Amortiguamiento de un sistema, es iniciar unavibracin libre, obteniendo registro de los movimientos oscilatorios.

El Decremento puede ser convenientemente expresado () como el logaritmo natural de la relacin entre las amplitudes de doscrestas consecutivas

Si en la ecuacin sen (Wd.t + ) corresponde a la tangente en las crestas del movimiento oscilatorio, por lo tanto puedeasumirse = 1

Por lo tanto Y1puede definirse como: X1 = C . e(-C/2m).t1

=C . e (-W . ).t1

X2 = C . e(-C/2m).(t1 + Td)

=C. e (-W . ).(t1+ Td)

C/2M = W . C/Ccr = W .

El signo Negativo Implica Inversas

Por lo tanto

La relacin entre las amplitudes de dos crestas consecutivas, puede definirse como:

La relacin entre las amplitudes de dos crestas no consecutivas puede decirse como:

Donde K representar el nmero de ciclos entre lascrestas no consecutivas

= ln (X1 / X2)X(t) = C . e - m .tSen (Wd. t+ )

Td = 2 . / WdWd= W ( 1 2)

= ln (X1 / X2) = W Td = W 2 / Wd

= W 2 / (W ( 1 2) )

= 2

/ ( 1

2)

= ln (Y1 / Y2)

K= ln (Y1 / YK)

X1 C . e(-W .

). 1

=

X2 C. e(-W .

).(t1 + Td)

X1 C . e(-W .

).t1

=X2 C. ( e

(-W .

).(t1) e (-W . ).(Td)

CcrW=

2.M

C

=Ccr

Ccr C CW. = =

2.M Ccr 2 . M

X1 1

= = e (W )(Td)X2 e (-W . ).(Td)


51/97




52

EJEMPLOUna plataforma cuyo peso es de 1815 Kg. est siendo soportada por cuatro (4) columnas las cuales son sujetadas a la fundacin.Experimentalmente se ha determinado que la fuerza esttica aplicada horizontalmente es de 454 Kg, produciendo un

desplazamiento de 0,254 cm. Se estima que el amortiguamiento de la estructura es del 5% del amortiguamiento Crtico.Determinar:a) Frecuencia angular No Amortiguada

b) Coeficiente absoluto de amortiguamientoc) Decremento logartmico.d) Nmero de ciclos y el tiempo requerido para que la amplitud del movimiento se reduzca del valor

inicial de 0,254 cm a 0.0254 cm.a)

W = K / M

K :Se define como la relacin existente entre la fuerza y el desplazamiento. F/ = 454 kg / 0.254 cm = 1787 kg/cmY la frecuencia angular del sistema

W = 1787 / (1815 kg/980 cm/seg2) = 31.06 rad / segundo

b) El amortiguamiento crtico es:

Ccr = 2 , 1787 kg/cm . 1815 kg / 980 cm/seg2 = 115,06 (kg . seg / cm)

Y el amortiguamiento absoluto es C = 5% . 115.06 kg . seg / cm = 5,75 (kg . seg /cm)

c) El Decremento Logartmico se expresa como:

= 2 . 5% ./ ( 1 (5%)2) = 0,3149

Y1/ Y2= e

Para determinar el nmero de ciclos existentes Y1 = 0,254 y YK= 0,0254

0,3149 K = ln(0,254 / 0.0254) ) K = 2,3026 / 0.3149 = 7,32 8 Ciclos

Si (Td) entre dos ciclos consecutivos = 0,2023, para 8 ciclos ser = 8 . 0,2023 = 1,62 seg.

Ccr= 2.M . W

= C / Ccr

= 2/ ( 1 )

Wd= W ( 1 2) = 31.06 rad/seg. (1 (5%)2) = 31.02 rad/seg

Td = 2 . / Wd Td = 2 . / 31.06 rad/seg = 0.2023 seg

K= ln (Y1 / YK)

Ccr= 2.M . K / M = 2 K . M


52/97




53

(M)asa

(K) Resorte

Po Sen (Wa.t)

SISTEMA SOMETIDO A FUERZAS ARMONICAS.

Amortiguacin Nula (NO AMORTIGUADO)

La solucin General es del tipo Xg(t) = A . Cos (Wt) + B . Sen(Wt)Siendo la solucin particular de la forma Xp(t) = C . Sen (Wa.t)

Xp(t) = C . Sen (Wat)Desplazamiento X = C . Sen (Wa.t)Velocidad (Primera Derivada) X = Wa . C . Cos (Wa.t)

Aceleracin (Segunda Derivada) X = - Wa2. C . Sen (Wa.t)

- M Wa2. C . Sen (Wa.t) + K . C . Sen (Wa.t) = Po . Sen (Wa.t )

Dividiendo el Numerador y el Denominador por (K), obtenemos:

De acuerdo a la ecuacin anterior, cuan Wa = W, el denominador tiende a cero, por loque la amplitud (C) tiende a infinito, indistintamente del valor de la fuerza Po y de laRigidez (K), entonces se considera que el sistema se encuentra en resonancia.

Donde denominamos a r = Wa / W , como la relacin de frecuencias entre (Wa) lafrecuencia de la fuerza aplicada y (W),la frecuencia natural del sistema en vibracin.

La solucin particular del sistema se transforma en:

La solucin del sistema se encontrar conformada por la solucin General ms lasolucin particular:

Si las condiciones iniciales para t = 0 son Xo=0, Vo=0, la constantes de Integracin para la ecuacin determinada son:

Como se puede observar, la superposicin de dos movimientos armnicos de diferentes frecuencias, el resultado del movimiento esNo Armnico.

MOVIMIENTO ARMNICOMovimiento armnico simple, movimiento rectilneocon aceleracin variable producido por las fuerzasque se originan cuando un cuerpo se separa de suposicin de equilibrio.Un cuerpo oscila cuando se mueve peridicamenterespecto a su posicin de equilibrio. El movimientoarmnico simple es el ms importante de losmovimientos oscilatorios, pues constituye una buenaaproximacin a muchas de las oscilaciones que sedan en la naturaleza y es muy sencillo de describir

matemticamente. Se llama armnico porque laecuacin que lo define es funcin del seno o delcoseno.En el movimiento armnico simple en unadimensin, el desplazamiento del cuerpo, desde suposicin de equilibrio, en funcin del tiempo vienedado por una ecuacin del tipo:

x=Asen(t+ )siendo A, y constantes. El desplazamientomximo,A,es la amplitud. La magnitud t+ es lafase del movimiento, y la constante es la constantede fase.En el movimiento armnico simple, la frecuencia y elperiodo son independientes de la amplitud, y laaceleracin es proporcional al desplazamiento, perode sentido contrario:

a= -2x

- M . Wa2. C + K . C = Po - M . Wa2. C + K . C = Po

PoC =

( K MWa2) Po / KC =

( K MWa2) / K

Po / KC =

( 1 Wa2/ W2)

Po / K

C =( 1 r2)

Po / K

Xp(t) = . Sen (Wa.t)1 r2

Po / KX(t) = A . Cos (W.t) + B . Sen(W.t) . Sen (Wa.t)

( 1 r2)

A = Xor. Po / K

B =

1 r2

Po / KX(t) = . Sen (Wat) r. Sen (W.t)

1 r2

M . X + K . X = P(t) = Po . Sen(Wa.t)

C . ( K MWa2) = Po

Ecuacin deun sistema

Libre NoAmorti uado

Ecuacin de laFuerza Aplicada

Como A es igual X (o) qu e parael instante inicial es 0, este

trmino se anula

r. Po / K Po / KX(t) = . Sen (Wt) + . Sen (Wa.t)

1 r2 1 r2


53/97




54

(M)asa

(K) Resorte

(C) Amortiguador

Po Sen (Wa.t)

Po .e - = Po Sen (Wat )

Amortiguacin Existente (AMORTIGUADO)

La solucin completa de esta ecuacin consiste en la suma de laSolucin Complementaria ms la solucin complementaria para el casoC < Ccr (subamortiguado), siendo:

Solucin Complementaria:

Solucin Particular:

Tomando le relacin de Euler como la solucin mas aproximada

L solucin de la ecuacin anterior se encuentra al tomar solamente la parte imaginaria de la ecuacin de Euler, igualando:Sen (Wat)a la solucin imaginaria de la ecuacin:Po . Sen (Wat) =Po ei Wat, por lo tanto la solucin particular de la solucin puede ser:

Xp(t) = C. ei Wat Por lo queXp(t) = C. ei Wat = i C Wa. ei Wat

Xp(t) = C. ei Wat= i2C Wa2.ei Wat

Como tenemos un nmero complejo en el denominador, podemos utilizar la transformacin a coordenadas polares del nmero

imaginario donde el nmero complejo Z = X + iY, puede escribirse de la forma Z =r(Cos + i Sen ), siendo (r) el mdulodel vector Z= X2+ Y2 y ei= Cos + i Sen Por lo tanto

Igual que como dijimos al comienzo, se basaba en la solucin de la parte imaginaria de la ecuacin deEuler:

M . X + C . X + K . X = P(t) = Po . Sen(Wa.t)

Xc(t) = e

Wt. A . Cos (Wdt) + B . Sen(Wdt)

Xp(t) = C1. Sen (Wat) + C2Cos (Wat)

Y de acuerdo a Euler la Solucin de e(i a.t) es de la forma = Cos Wa.t + i sen Wa.t

ei a.t

= Cos (Wat) + iSen (Wat)

M . i2 C Wa2.e at + C . i C Wa . e at+ K.C. e at= Po e at

-1

PoC =(K-M.Wa2+iCWa)

(Po . e )Xp = (K-M.Wa2 + iCWa)

Multiplicando yDividiendo por

K = W2. M

Ccr = 2. M . W

Po . eXp =

(K-M.Wa2)2 + (CWa)2 . ei

Po . ei (Wat - )Xp =

(K-M.Wa2)2 + (CWa)2

(Po/K) Sen (Wat )Xp =

(1-M.Wa2/M.W2)2 + (CWa/W2 . M)2


54/97




55

r= Wa / W

X = X(t) Sen(Wat -)

La respuesta total obtenida es la suma de la solucin complementaria y la solucin particular:

2 . .rTan =

1 r2


(1 - r2)2 + (2 r

)2 (Po/K)X(t) =(1 - r2)2 + (2 r )2


(1 - r2)2 + (2 . r . C/Ccr)2

Po / K (Sen (Wat )X(t) = eWt. A . Cos (Wdt) + B . Sen(Wdt) +

(1 - r2)2 + (2 r )2


55/97




56

(M)asa

(K) Resorte

(C) Amortiguador

F T

SISTEMA SOMETIDO A FUERZAS EN LA FUNDACION

Amortiguacin Existente (AMORTIGUADO)

Considerando el sistema amortiguado sometido a fuerzas armnicas en la base:Xs(t) = Xo . Sen(Wa.t)

(Po)Fuerza Equivalente a nivel de la masa

Despejando obtenemos:

De donde

por otro lado siendo (PT)Fuerza del terreno

Sustituyendo en esta (1) y (2), obteniendo:

PT= K . X . Sen(Wat - ) + C . X . Wa . Cos(Wat - )

Si llamamos a = ( ) (Angulo de fase)Para las condiciones iniciales (desplazamiento y velocidad inicial Nula)

Donde es la relacin entre las amplitudes de la fuerza transmitida a la fundacin y la fuerza aplicada (PT/Po), conocindoseentonces como Transmisibilidad. Y se define como:

Transmisibilidad Absoluta (Respecto a la posicin de origen)

Demostracin: a Sen + b Cos = a2+ b2 seno (+ )

Donde = Atan(b/a)Supongamos la Ecuacin

3 Cos 30 + 4 Seno 30 = 5 . seno(30 + 53.13)1.5 + 3.46 = 5 . 0.993

4.964 = 4.964

M . X + C . X + K . X = PT . Sen (Wa.t +

)

2 r

Tan =

1 - r2

C . X + K . X = PT

X = X Sen(Wat -)1

X = X.Wa. Cos (Wat - )2

Ccr= 2.M . W C.Wa C. Wa 2 . C . WaTan = = = = 2 .

. rK W2.M W Ccr

PTXp(t) = . Sen (Wat +

)K2+ C2 . Wa2 . Sen(Wat +

)

APUNTES DE CLASE.pdf

Documents

Transcript of APUNTES DE CLASE.pdf