Apuntes de Clases - Tema 1. Numeros Reales
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Carrera: Ingeniería en Alimentos
Curso: Análisis Matemático I
ConjuntosConjuntos
Extensión
• A = {0,1,2,3}
Comprensión
• A = { x / x es un numero entero ∧ 0 ≤ x ≤ 3}
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Igualdad
• A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
Unión
• A∪B = ( x / x ∈ A ∨ x ∈ B)
Relaciones
entre Conjuntos
Inclusión
• A ⊆ B ⇔∀ x : ( x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Intersección
• A∩B = ( x / x ∈ A ∧ x ∈ B)
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Curso: Análisis Matemático I
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Curso: Análisis Matemático I
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Números Reales
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INTERVALOS
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COTAS
COTA SUPERIOR
k es cota superior de C ⇔ ∀ x : ( x ∈ C ⇒ x ≤ k )
Un conjunto está acotado superiormente si y solo si tiene cota superior.
SUPREMO (Extremo superior o cota superior mínima)
Es la menor cota superior.
s es supremo de C si y solo sí:
1 – Si s es cota superior , ∀ x : ( x ∈ C ⇒ x ≤ s) ∧
2 – Si k es cualquier cota superior de C ⇒ s ≤ k) Si el supremo de un conjunto existe, entonces éste es único.
MÁXIMO Cuando el Supremo pertenece al conjunto
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Curso: Análisis Matemático I
COTA INFERIOR
h es cota inferior de A ⇔ ∀ x : ( x ∈ A ⇒ x ≥ h )
Un conjunto está acotado inferiormente si y solo si tiene cota superior.
INFIMO (Extremo inferior o cota inferior máxima)
Es la mayor cota inferior.
f es supremo de A si y solo sí:
1 – f es cota inferior de A, ∀ x : ( x ∈ A ⇒ x ≥ f ) ∧
2 – Si h es cota inferior de A ⇒ f ≥ h)
Si el INFIMO de un conjunto existe, entonces éste es único.
MÍNIMO Cuando el Ínfimo pertenece al conjunto
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Curso: Análisis Matemático I
COTA SUPERIOR (k) COTA INFERIOR (h)
∀ x : ( x ∈ C ⇒ x ≤ k ) ∀ x : ( x ∈ A ⇒ x ≥ h )
SUPREMO (S): Menor k INFIMO (I): Mayor h
MÁXIMO: Si S ∈ C MÍNIMO: Si I ∈ C
Conjunto Mayorante: Conjunto Minorante: Conjunto Mayorante: Conjunto de k (Cotas Sup.)
Conjunto Minorante: Conjunto de h (Cotas Inf.)
Un conjunto está acotado si y solo sí admite una cota superior y una cota inferior
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Curso: Análisis Matemático I
VALOR ABSOLUTO
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Curso: Análisis Matemático I
x ≤≤≤≤ k ⇔⇔⇔⇔ -k ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ k
-k k
x ≥≥≥≥ k ⇔⇔⇔⇔ x ≤≤≤≤ - k ∧∧∧∧ x ≥≥≥≥ k
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Curso: Análisis Matemático I
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Curso: Análisis Matemático I
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Curso: Análisis Matemático I
• Cualquier conjunto acotado puede incluirse en un intervalo cerrado
En efecto, si C está acotado, existe un número real positivo k tal que para cualquier elemento x del conjunto C se verifica:
x ≤≤≤≤ k Por lo tanto, el conjunto C ⊆ en el intervalo cerrado [-k ; k]
Por ejemplo: A = { x / -2 < x ≤ 6 } ⇒ A ⊆ [-6 ; 6]• Un conjunto acotado está siempre incluido en un entorno con centro en el origen.
Si C = { x / x ≤ k } y h > k, entonces C está incluido en el entorno E(0,h) de centro en el origen y radio h
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Curso: Análisis Matemático I
BIBLIOGRAFIA
1.- RABUFFETTI HEBE T. Introducción al Análisis Matemático (Cálculo I). 15ª E. Buenos Aires: El Ateneo,
1999.
2.- GARCIA VENTURINI, ALEJANDRO – Axel Kicillof “Análisis Matemático I”. Ediciones cooperativas. 2006
3.- SADOSKY-GUBER: Cálculo Diferencial e Integral tomo I-II Librería y Editorial Alsina. Buenos Aires l995.
4.- CESAR A. TREJO: Matemática General (Cálculo diferencial e integral)
Volumen 2.Editorial Kapeluz A.S Edición Actualizada.
5.- CELINA REPETTO: Manual de Análisis Matemático (Primera parte
Con 1200 ejercicios) Cálculo diferencial de funciones de una variable
y sus aplicaciones. Ediciones Macchi última reimpresión.
6.- CELINA REPETTO: Manual de Análisis matemático (segunda parte con 1000 ejercicios) Cálculo integral
y sus aplicaciones. Serie numéricas. Series de potencias. Ecuaciones diferenciales sencillas. Ediciones
Macchi. Edición actualizada.