Apuntes de ETN 902 gestión 2004

SISTEMAS DE CONTROL - CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA FACULTAD DE INGENIERÍA - UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS

ETN 902 – SISTEMAS DE CONTROL II

JULIO CASILLA GUTIÉRREZ. JORGE A. NAVA AMADOR

LA PAZ - 2004

PREFACIO El presente resumen de Apuntes e Investigación para la Materia ETN-902 Sistemas de Control Discreto se escribió como texto ayuda para los alumnos que cursan la materia y consiste en la recopilación de información básica de textos especializados por lo cual, se recomienda a todos los lectores que el empleo de este resumen sea acompañado por los textos originales relacionados con la materia a fin de preservar los derechos de autor de los textos que sirvieron como base para la elaboración del presente documento. Los requisitos previos para el uso efectivo del presente resumen son el estudio y la lectura de los siguientes libros:

• Sistemas de Control Digital Análisis y Diseño- Charles Phillips- Ed. Gustavo Gili-2ª. Ed. • Señales y Sistemas- Alan V. Oppenheim- Prentice Hall- 2ª. Ed. • Sistemas de Control en Tiempo Discreto-Katsuhiko Ogata-Prentice Hall-2ª. Ed. • Ingeniería de Control utilizando MatLab- Katsuhiko Ogata- Prentice Hall- 1ª. Ed. • Ingeniería de Control Moderna- Katsuhiko Ogata- Prentice Hall- 3ª. Edición • Solución de problemas de Ingeniería con MatLab- Delores M. Etter- Prentice Hall- 2ª. Ed.

En este documento se ha pretendido abarcar todos los siguientes temas relacionados con los sistemas de Control Discreto:

• Introducción • Sistemas en Tiempo Discreto y la Transformada Z • Muestreo • Sistemas en Tiempo Discreto en Bucle Abierto • Sistemas en Tiempo Discreto en Bucle Cerrado • Características de la Respuesta Temporal de Sistemas • Técnicas de Análisis de Estabilidad

Adicionalmente, se han incorporado una serie de anexos de Sistemas de Control Digital, los cuales permiten enriquecer esta primera versión del texto de la asignatura.

Universidad Mayor de San Andrés ETN-902 Sistemas de Control II Facultad de Ingeniería Ingeniería Electrónica La Paz – Bolivia Sistemas de Control

INDICE

1. INTRODUCCIÓN .........................................................................................................................................................4 1.1. CARACTERÍSTICAS DEL CONTROL DIGITAL.....................................................................................................6 1.2. SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO ......................................................................................................................6 1.3. DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE UN SISTEMA CONTROLADO POR COMPUTADOR .......................................7 1.4. MUESTREO.............................................................................................................................................................8 1.5. SISTEMA .................................................................................................................................................................9 1.6. MODELOS DE SISTEMA ......................................................................................................................................11 1.6.1. SISTEMA DE LAZO ABIERTO O SIN CONTROL.................................................................................................11 1.6.2. SISTEMA DE LAZO CERRADO CON REALIMENTACIÓN O CON CONTROL ..................................................11 1.6.3. SISTEMAS CON PERTURBACIONES .................................................................................................................12 1.7. SEÑALES Y TIPOS DE SEÑALES........................................................................................................................12 1.8. REQUERIMIENTOS EN SISTEMAS DISCRETOS...............................................................................................13 1.9. MUESTREO...........................................................................................................................................................14 1.10. CARACTERIZACION DEL MUESTREO IDEAL....................................................................................................14 1.11. RECONSTRUCCIÓN.............................................................................................................................................15 1.12. ECUACIONES EN DIFERENCIAS........................................................................................................................15 2. TRANSFORMADA Z..................................................................................................................................................17 2.1. TRANSFORMADA Z DE FUNCIONES ELEMENTALES ......................................................................................18 2.1.1. FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO ..........................................................................................................................18 2.1.2. FUNCIÓN RAMPA UNITARIA...............................................................................................................................19 2.1.3. FUNCIÓN POLINOMIAL........................................................................................................................................19 2.1.4. FUNCIÓN EXPONENCIAL....................................................................................................................................20 2.2. PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA Z...............................................................................20 2.2.1. MULTIPLICACIÓN POR UNA CONSTANTE ........................................................................................................20 2.2.2. SUMA Y RESTA ....................................................................................................................................................20 2.2.3. LINEALIDAD..........................................................................................................................................................20 2.2.4. MULTIPLICACIÓN POR AN...................................................................................................................................21 2.2.5. TEOREMA DE CORRIMIENTO.............................................................................................................................21 2.2.6. TEOREMA DE TRASLACIÓN COMPLEJA...........................................................................................................21 2.2.7. TEOREMA DEL VALOR INICIAL ..........................................................................................................................21 2.2.8. TEOREMA DEL VALOR FINAL.............................................................................................................................21 2.3. TABLA DE TRANSFORMADAS Z.........................................................................................................................22 3. SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO EN BUCLE ABIERTO.....................................................................................23 3.1. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSO............................................................................................................23 3.2. SISTEMA EN BUCLE ABIERTO CONTENIENDO FILTROS DIGITALES............................................................25 3.3. TRANSFORMADA Z MODIFICADA......................................................................................................................25 3.4. SISTEMAS CON RETARDOS DE TIEMPO..........................................................................................................27 3.5. MODELOS DE VARIABLES DE ESTADO ............................................................................................................27 4. SISTEMAS EN BUCLE CERRADO ...........................................................................................................................30 5. CARACTERÍSTICAS DE LA RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS DISCRETOS ...........................................33 5.1. RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO...................................................................33 5.2. RESPUESTA A LA ENTRADA DELTA DE KRONECKER....................................................................................35 5.3. RESPUESTA A LA ENTRADA ESCALÓN............................................................................................................37 5.4. RESPUESTA A LA ENTRADA RAMPA ................................................................................................................38 5.5. RESPUESTA TRANSITORIA EN EL ESPACIO DE ESTADOS ...........................................................................39 5.6. EJEMPLO COMPLETO.........................................................................................................................................40 5.7. TRANSFORMACIÓN DEL TIEMPO CONTINUO A TIEMPO DISCRETO............................................................42 6. TRANSFORMACIÓN DEL PLANO “ S ” EN EL PLANO “ Z “ ....................................................................................45 7. CORRESPONDENCIA DE POLOS EN EL PLANO “S” Y EN EL PLANO “Z” ...........................................................47 8. CARACTERÍSTICAS TRANSITORIAS SEGUN POSICIÓN POLOS EN EL PLANO Z ............................................48 9. PRECISIÓN ESTACIONARIA....................................................................................................................................51

Apuntes de ETN 902 – gestión 2004 3


9.1. CONSTANTE DE ERROR DE POSICIÓN ESTATICA..........................................................................................52 9.2. CONSTANTE DE ERROR DE VELOCIDAD ESTATICA ......................................................................................52 9.3. CONSTANTE DE ERROR DE ACELERACIÓN ESTATICA .................................................................................53 9.4. CONSTANTES TIPICAS DE ERROR ESTÁTICO DE SISTEMAS DISCRETOS EN LAZO CERRADO..............54 9.5. TIPOS DE SISTEMAS Y ERRORES EN ESTADO PERMANENTE....................................................................55 10. TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE ESTABILIDAD............................................................................................................56 10.1. ESTABILIDAD........................................................................................................................................................56 10.2. TRANSFORMACIÓN BILINEAL............................................................................................................................57 10.3. CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ ........................................................................................................................58 10.3.1. PROCEDIMIENTO PARA APLICAR EL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ....................................................58 10.4. PRUEBA DE ESTABILIDAD DE JURY .................................................................................................................59 10.4.1. DISTRIBUCIÓN PARA EVALUAR ESTABILIDAD MEDIANTE PRUEBA DE JURY ........................................59 10.5. LUGAR DE LAS RAICES ......................................................................................................................................61 10.5.1. ALGUNAS REGLAS PARA CONSTRUCCIÓN DEL LUGAR DE LAS RAÍCES...............................................61 10.5.2. EJEMPLO Y SIMULACIÓN DEL LUGAR DE LAS RAÍCES MEDIANTE MATLAB ..........................................62 10.6. DIAGRAMA DE BODE...........................................................................................................................................63 10.6.1. RESUMEN DE TÉRMINOS UTILIZADOS EN DIAGRAMAS DE BODE...........................................................64 10.6.2. EJEMPLO Y SIMULACIÓN DE DIAGRAMA DE BODE MEDIANTE MATLAB.................................................65 ANEXOS: ................................................................................................................................................................................68

1. INTRODUCCIÓN

Hoy en día, prácticamente todos los sistemas de control que se encuentran implementados están basados en un control por computador de aquí la importancia de entender y estudiar a los sistemas controlados por computador o sistemas de control en tiempo discreto.



La historia del control digital se puede resumir de acuerdo al siguiente cuadro:

Año

EVENTO

APLICACIONES

1950

Surge la idea de utilizar computadoras digitales en sistemas de control.

Control de vuelo y guiado de mísiles.

1956

La compañía aeroespacial Thomson Ramo Woodridge contacta a Texaco para el desarrollo de un sistema de control por computador para la unidad de polimerización.

El sistema de control regulaba 26 flujos, 72 temperaturas, 3 presiones y 3 composiciones. La función principal era minimizar la presión del reactor para así determinar una optima distribución alrededor del campo de 5 reactores, controlar el agua caliente introducida basándose en la medición de la actividad catalítica y determinar la optima recirculación.

1962

Industrias Químicas Imperial (Inglaterra) reemplaza todo su proceso de control con instrumentación analógica por una computadora. Iniciándose el DDC (Direct Digital Control).

La computadora Ferranti Aarhus podía efectuar mediciones de 224 variables y controlar 129 válvulas directamente. Surge una ventaja importante: La fácil reconfiguración del sistema.

1965

Comienza la era de las mini computadoras y aparecen los circuitos integrados reduciéndose notablemente los costos y tamaños de las computadoras.

Se comienza a aplicar el control digital a proyectos pequeños con lo que se observa un crecimiento de las aplicaciones de 5000 a 50000 en 5 años.

1972

Aparecen las microcomputadoras con un costo medio de 500 dólares y un consumo de energía casi despreciable.

Cambia el concepto de sistema y se habla de control dedicado es decir dar a cada variable o grupo de ellas un control específico y personalizado. Se observa un gran desarrollo de la teoría de control digital.

1975

Puesto que un computador puede realizar múltiples trabajos en paralelo y bajo el concepto de “no poner todos los huevos en una sola canasta” surge el Control Distribuido.

El sistema Honeywell’s TDC 2000 es el primer sistema orientado al control distribuido y su función principal era de orden regulatorio. Con el paso de los años los sistemas orientados al control distribuido adoptaron capacidades de ser completamente programables logrando operaciones de control y monitoreo de procesos complejos desde una simple consola de computador.

1980

Apogeo de los sistemas de control digital por medio del control supervisor y lógicas distribuidas en módulos dedicados a tareas específicas

Cada módulo es capaz de llevar a cabo la función de control asignada, independientemente del procesador central de la estación de supervisión.

Actualmente

Se está viviendo una etapa en que las tecnologías heredadas de la industria química y el área eléctrica convergen hacia un mismo punto, confundiéndose los aportes de una y otra, aprovechándose lo mejor de la experiencia de cada una. Con el inicio de la era espacial y la necesidad de describir, analizar y entender sistemas de entradas y salidas multivariables, el diseño de control en general, abandonó las técnicas del dominio de la frecuencia de la teoría clásica, retomando así el concepto de Variables de Estado de finales del siglo diecinueve. Con vistas al futuro se pueden prever avances en varios campos y con diversos ritmos. Uno de ellos es el propio conocimiento del proceso. Sus progresos son lentos pero constantes. Se ven potenciados actualmente por la facilidad en la recolección de datos y su posterior análisis. Asociado a esto están las técnicas de medición que se sofistican día a día al haber cada vez más sensores inteligentes incluso que incorporan computadores a bordo.

La teoría de control por computador tuvo un sustancial progreso desde 1950, para usar esta teoría es necesario entender completamente los conceptos básicos del control por computador. la teoría de control también prevé adelantos principalmente en las áreas de identificación de sistemas, algoritmos de control, optimización, control adaptativo, control inteligente y sistemas multivariables. Pero ya nunca más se podrá despegar el futuro de esta temática al del avance de los computadores digitales.

La automatización de los sistemas de control no se habría podido desarrollar si acaso no se hubieran integrado de la manera eficiente y practica como se hizo con los controladores y los computadores digitales, esta integración abrió un campo muy amplio de avance en el diseño, implementación y desarrollo del Control Digital, paralelamente la reducción constante de los precios y tamaño de los computadores digitales hace que hoy se pueda implementar inclusive



reguladores digitales individuales por lazo de control, consiguiéndose de esta manera un optimo y mejor control de los procesos. Debido a que la teoría del control digital ha avanzado tanto que ha creado técnicas imposibles de implementar en forma analógica, su análisis y síntesis se complementa con el uso apropiado de computadores digitales. 1.1. CARACTERÍSTICAS DEL CONTROL DIGITAL Las características básicas del control digital son las siguientes:

No existe límite en la complejidad del algoritmo de control. Mediante la edición de un nuevo programa las operaciones que se están ejecutando se pueden cambiar por completo permitiéndose de esta manera cambiar los esquemas de control mediante reprogramación.

Facilidad de ajuste y cambio. Generalmente un cambio en un control analógico implica, en el mejor de los casos, un cambio de componentes o un cambio del controlador completo, en tanto, que mediante controladores digitales se puede utilizar una variedad mucho mas amplia de leyes de control.

Exactitud y estabilidad en el cálculo debido a que no existen derivas u otras fuentes de error. Los controladores digitales son muy versátiles ya que pueden manejar ecuaciones de control no lineales que involucran cálculos complicados u operaciones lógicas.

Uso del computador con otros fines (alarmas, archivo de datos, administración, etc.).

Tendencia al control distribuido o jerárquico. Se ha pasado de la idea de usar un único controlador o computador para toda una planta a la de distribuir los dispositivos inteligentes por variable o grupos de estas e ir formando estructuras jerárquicas, de esta manera es posible tomar en cuenta todas las variables del proceso, conjuntamente con los factores económicos, los requerimientos de producción, el desempeño del equipo y todas las demás necesidades y de este modo alcanzar el control optimo de los procesos industriales.

1.2. SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO Los sistemas en tiempo continuo se modelan o describen mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales, en tanto que los sistemas en tiempo discreto se modelan o describen mediante un conjunto de ecuaciones diferencia. El método de transformación empleado en el análisis de sistemas en tiempo continuo invariantes en el tiempo y lineales es el de la transformada de Laplace; de manera similar, la transformada usada en el análisis de sistemas en tiempo discreto invariantes en el tiempo y lineales es la transformada Z. A manera de resumen a continuación se detallan algunas semejanzas y diferencias entre los sistemas continuos y discretos:

Sistemas en tiempo Sistemas en tiempo discreto



continuo

Tipo de sistema Sistemas Analógicos Sistemas Discretos Modelado de la dinámica del sistema

Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferencia

Método de Transformación Transformada de Laplace Transformada Zeta Presentación del modelado • Función de Transferencia • Función de Transferencia • Representación en el Espacio

de Estados • Representación en el Espacio

de Estados Periodo de muestreo No requiere Debe cumplir con el Teorema de

Nyquist Métodos de diseño • Lugar geométrico de las

raíces • Respuesta en frecuencia

• Lugar geométrico de las raíces

• Respuesta en frecuencia Ubicación de polos para estabilidad

Semiplano izquierdo en el plano complejo

Circulo unitario en el plano Z

Análisis de estabilidad Criterio de estabilidad de Routh Criterio de estabilidad de Jury Tipo del controlador o regulador Analógico Digital Componentes • Integradores • Sumadores • derivadores • Diferenciadores 1.3. DIAGRAMA ESQUEMÁTICO DE UN SISTEMA CONTROLADO POR COMPUTADOR

La figura muestra el diagrama de bloques de un sistema de control digital, la operación del controlador se maneja por medio del reloj del computador, en este sistema en algunos puntos se presentan señales de amplitud variable ya sea en tiempo continuo o en tiempo discreto, mientras que en otros puntos pasan señales codificadas en forma numérica. La salida de la planta es una señal en tiempo continuo. La señal de error se convierte a forma digital mediante el circuito de muestreo y retención y el conversor analógico digital. La



conversión se hace en el tiempo de muestreo. La computadora digital procesa las secuencias de números por medio de un algoritmo y produce nuevas secuencias de números. En cada instante de muestreo se debe convertir un número codificado (en general binario que consisten en ocho o más dígitos binarios) en una señal física de control, la cual normalmente es una señal en tiempo continuo o analógica. El conversor digital analógico y el circuito de retención convierten la secuencia de números en código numérico a una señal continua por secciones. El reloj en tiempo real de la computadora sincroniza los eventos. La salida del circuito de retención, una señal en tiempo continuo se alimenta a la planta, ya sea de manera directa o a través de un actuador, para controlar su dinámica. En cuanto a la arquitectura de un lazo de control en tiempo discreto es de la forma siguiente:

El proceso en la mayoría de los casos es continuo, es decir debe ser excitado con una señal continua y generar una salida continua. Esta señal, como en cualquier lazo de control es sensada por algún dispositivo que a su vez entrega una señal continua proporcional a la magnitud medida. Por otra parte está el computador que solo trabaja con valores discretos. Para compatibilizar ambos existen dos elementos: el Conversor Digital-Analógico y el Conversor Análogo-Digital que realizan la conversión de magnitudes. La mezcla de diferentes tipos de señal generalmente causa dificultades, sin embargo, en la mayoría de los casos es suficiente con describir el comportamiento del sistema en los instantes de muestreo, es decir, solo interesan las señales en los instantes de muestreo. De la anterior lectura, es necesario considerar los siguientes conceptos:

YK Es una señal yaconvertida en unasecuencia de números uK Es una secuencia denúmeros u(t) Es una señalanalógica o continua El computador operade forma secuencial enel tiempo y cadaoperación dura uncierto tiempo

1.4. MUESTREO Se entiende por muestreo a la “acción o proceso de tomar una pequeña parte o cantidad para su examen o estudio”. En el contexto del Control o Telecomunicaciones muestreo significa que



una señal continua en el tiempo se reemplaza por una secuencia de números, los cuales representan los valores de la señal en ciertos instantes de tiempo. Un sistema muestreado es entonces, aquel que, partiendo de una señal o magnitud analógica o continua es capaz de generar una secuencia de valores discretos, separados a intervalos de tiempo. El muestreo es la característica fundamental de los sistemas controlados por computadora dada la naturaleza discreta de estos dispositivos. Se pierde muy poca información muestreando una señal continua si los instantes de muestreo están muy próximos o son muy pequeños. En la practica el muestreo ideal no puede implementarse. Si el muestreo es suficientemente pequeño no se pierde casi información pero ésta pérdida puede ser importante si el período de muestreo es muy grande. Es, entonces, esencial saber cuando una señal continua es biunívocamente definida por su muestreo. Una señal continua con espectro en frecuencia nulo fuera del intervalo [ ]oo ωω ,− es reconstruible totalmente si se la muestrea con una frecuencia os ωω 2> (Teorema de Nyquist). Es importante saber bajo qué condiciones una señal muestreada puede ser totalmente reconstruida. Los primeros tratamientos fueron hechos por Nyquist quien demostró que para reconstruir una señal senoidal es necesario muestrearla al menos dos veces por período. La solución completa la dio Shannon en 1949. 1.5. SISTEMA Se llama Sistema a un conjunto de elementos de cualquier tipo, naturales o artificiales (construidos por el hombre) como mecanismos, máquinas, circuitos etc. Un sistema está sometido a la excitación de una Señal de Entrada o de Control (causa) a la cual le responde transformándola en una Señal de Salida (efecto). Las señales de Entrada y de Salida son funciones de una o más variables. El modelo de un Sistema para analizar y diseñar el comportamiento causa- efecto se puede representar por el siguiente esquema:

Dicho esquema o modelo es aplicable a todas las ramas de la ingeniería: eléctrica, mecánica, comunicaciones, astronáutica, aeronáutica, naval, control de procesos químicos, construcciones, etc. Algunos ejemplos simples de sistemas son los siguientes:

Entrada

Sistema

Salida



Presión en el acelerador Acciones del conductor: - Giro del volante - Presión en el acelerador - Freno - etc. Fuerza vibratoria excitatriz Movimiento de la Luna Programa de mecanizado Tensión eléctrica Corriente eléctrico Energía Hidráulica o Térmica etc Energía combustible Onda electromagnética Onda emitida Luz Ritmo cardíaco Ingreso de Materias Primas, temperatura, humedad etc Recursos minerales y orgánicos, Producción de alimentos y equipos, polución y Reproducción humana

Automóvil Automóvil Sistema vibratorio Mar Central de mecanizado Circuito eléctrico Circuito eléctrico Sistemas de generación y distribución de energía Cohete Radio Radar Cámara fotográfica Equipo para electrocardiograma Proceso químico Sociedad

Velocidad del automóvil Movimiento del automóvil Movimiento vibratorio del cuerpo Altura mareas Pieza mecanizada Corriente eléctrica Tensión eléctrica Energía Eléctrica Movimiento Emisión de la voz Información sobre la posición de objetos Fotografía Electrocardiograma Producto químico Crecimiento de población

Sistemas de tiempo continuo o analógicos: Son los Sistemas que procesan Señales de tiempo continuo o analógicas. Sistemas de tiempo discreto o digitales: Son los Sistemas que procesan Señales digitales o de tiempo discreto.



1.6. MODELOS DE SISTEMA Los modelos de sistemas usuales en control tienen diferentes formas de clasificarse:

1.- Sistema de Lazo Abierto o Sin Control

2.- Sistema de Lazo Cerrado con realimentación o Con Control

3.- Sistemas con Perturbaciones

1.6.1. SISTEMA DE LAZO ABIERTO O SIN CONTROL Los Sistemas de lazo abierto también llamados de sin control son los sistemas más sencillos caracterizados por una Señal de Entrada no afectada por una eventual modificación de la Señal de Salida , es decir no controlada por la salida.

ESQUEMA DE UN SISTEMA DE LAZO ABIERTO O SIN CONTROL 1.6.2. SISTEMA DE LAZO CERRADO CON REALIMENTACIÓN O CON CONTROL Los Sistemas de Lazo Cerrado con realimentación o con control son aquellos donde la Señal de Entrada es modificada o regulada también en función de la Señal de Salida



ESQUEMA DE UN SISTEMA DE LAZO CERRADO CON REALIMENTACIÓN O CON CONTROL 1.6.3. SISTEMAS CON PERTURBACIONES Los Sistemas con Perturbaciones son aquellos donde la Señal de salida es afectada por fenómenos externos al Sistema. En general estas perturbaciones son indeseables pues hacen al sistema no predecible. En los Sistemas con Control pueden presentarse también perturbaciones o desviaciones producidos por los elementos componentes del mismo control (Por ejemplo los sensores). Las Perturbaciones pueden estar presentes tanto en los Sistemas con o sin Control.

1.7. SEÑALES Y TIPOS DE SEÑALES Una señal es todo fenómeno físico, eléctrico, químico, electrónico, mecánico, acústico, etc. que lleva algún tipo de información y se representan matemáticamente como funciones con una o más variables independientes. Existen dos tipos básicos de señales: Las Señales Continuas y las Señales Discretas. Una Señal Continua es aquella señal en la cual la variable independiente es continua, razón por la cual, estas señales se definen para una sucesión continua de valores de la variable independiente. Estas señales son aquellas cuya variación en amplitud y en tiempo son continuas y puede tomar un valor real en cualquier instante de tiempo.



Una Señal Discreta es una señal definida solo en valores discretos de tiempo, en estas señales la variable independiente toma solamente un conjunto discreto de valores. A su vez, las señales discretas se dividen en Señales Discretas en el Tiempo y en Señales Discretas en Amplitud.

• Una Señal Discreta en el Tiempo es aquella señal que en instantes determinados de tiempo toma un valor y solo en ese instante.

• Una Señal Discreta en Amplitud es aquella que toma un valor en un determinado

tiempo como conocido como periodo de muestreo.

1.8. REQUERIMIENTOS EN SISTEMAS DISCRETOS



Los requerimientos en los sistemas discretos se concentran en el uso de convertidores digitales que sirven para transformar señales continuas en discretas y viceversa.

1.9. MUESTREO Dada una señal Se muestrea )(tf

entonces obtenemos la señal muestreada: Que representada en forma ideal será:

1.10. CARACTERIZACION DEL MUESTREO IDEAL



La obtención de los puntos de muestreo en forma matemática se obtiene de la siguiente manera:

∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=

−=

=

ns

ns

s

nTtnTftf

nTttftf

tshatftf

)()()(

)()()(

)().()(

δ

δ )

int(Remuestraymuestraentre

ervaloelpresentamuestreodePeriodoT =

En la práctica el muestreo ideal no puede implementarse. La caracterización consiste en modelar al sistema o realizar el modelado del proceso de muestreo y por ende el proceso de reconstrucción. 1.11. RECONSTRUCCIÓN La operación de muestreo produce una señal de pulsos modulados en amplitud. La reconstrucción es un proceso inverso a esta operación, es decir, mediante un circuito de retención se reconstruye la señal analógica que ha sido transmitida como un tren de pulsos muestreados rellenando los espacios entre los periodos de muestreo para de esta manera permitir en forma aproximada la reconstrucción de la señal analógica de entrada original. 1.12. ECUACIONES EN DIFERENCIAS Las ecuaciones en diferencias (1948 - Oldenburg-Sartorius) caracterizan a un sistema discreto y reemplazan a las ecuaciones diferenciales en un sistema continuo. Un sistema caracterizado por una ecuación lineal en diferencias responde a la siguiente relación entre la entrada y la salida:

[ ] [ ]∑∑==

−=−M

kk

N

kk knxbknya

00

Para calcular la función de transferencia de sistemas de esa forma basta con tomar la transformada Z en ambos lados de la igualdad y aplicar la propiedad del retardo, con lo que nos queda:

∑∑=

−−

==

M

k

kk

kN

kk zzXbzzYa

00)()(

obteniendo H(z) como el cociente entre Y (z) y X(z):



∑∑

=−

=−

= Nk

kk

Mk

kk

za

zbzH

0

0)(



2. TRANSFORMADA Z Con el estudio de los radares se vio la necesidad de una teoría de la transformación. En 1945 surgen estudio simultáneamente en la URSS, Gran Bretaña y EEUU.

Hurewicz (1947) plantea la transformación [ ] ∑∞

=

−=0

)()(k

kzkTfkTfZ

Tsypkin, URSS, (1950) la llama Transformada de Laplace Discreta

Ragazzini y Zadeh, en Columbia University (EE.UU), (1952) la rebautizan como Transformada Z

Barker (1952) en Gran Bretaña, llega a idénticos resultados.

Jury, EEUU, alumno de Ragazzini, presenta su tesis doctoral con este tema.

La transformada en Z lleva a resultados sencillos y como contrapartida tiene la limitación de dar información solo en los instantes de muestreo. Para esto existe una herramienta adecuada que es la transformada en Z modificada. La trasformada Z constituye una generalización de la transformada de Fourier. Resulta de más utilidad en algunos casos, dado que es más manejable analíticamente, y además, converge para un mayor conjunto de secuencias que la transformada de Fourier. La transformada Z juega en el estudio de los sistemas discretos el mismo papel que la transformada de Laplace en los sistemas analógicos. La transformada de Fourier, estudiada en temas relacionados con señales, consiste en la evaluación de la transformada Z sobre la circunferencia de radio unidad en el plano complejo. La motivación para el estudio de la transformada Z arranca de las autofunciones de un sistema

LIT, funciones de la forma nz . Si un sistema LIT con respuesta impulsional h[n] recibe a su

entrada una señal su salida será: [ ] noznx =

[ ] ∑∞

−∞=

−=k

ko

no zkhzny )(

es decir, la entrada multiplicada por un número complejo de la forma

∑∞

−∞=

−

k

kozkh )(

Ese valor complejo es el autovalor correspondiente a la autofunción y corresponde a la

función de transferencia del sistema evaluada en La función de transferencia de un sistema se define como la transformada Z de su respuesta impulsional, y tiene la forma:

noz

oz



[ ]∑∞

−∞=

−=n

nznhzH )(

La importancia de la Transformada Z radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o Ecuaciones Recursivas con coeficientes constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales.

Observar que para el caso en el que ωjez = la transformada Z se reduce a la transformada de Fourier, que caracterizaba la respuesta de un sistema para exponenciales complejas de amplitud constante presentes a la entrada. 2.1. TRANSFORMADA Z DE FUNCIONES ELEMENTALES Consideremos para todos los casos:

[ ] [ ]

muestreodePeriodoTpositivosenterosdeódevaloresAdoptan

nTt

zkTxnTxZtxZzXn

n

0

)()()()(0

=

=== ∑∞

=

−

2.1.1. FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO

⎩⎨⎧

<≥

0001

)(tt

tx

{ }

{ }1

1)(

11)(

........)()()(1)(

........1)(

1)(

1)(

1

4131211

43210

−==

−=

+++++=

+++++=

=

=

−

−−−−

−−−−

∞

=

−∑

zzZzX

zzX

zzzzzX

zzzzzX

znTxZ

tx

n

n



2.1.2. FUNCIÓN RAMPA UNITARIA

{ }

{ } 2

21

1

312111

3211

43210

0

)1()(

)1()(

........))(4)(321()(

........)4321()(

........)4320()(

)(

)(

)(

−==

−=

++++=

++++=

+++++=

=

=

=→=

−

−

−−−−

−−−−

−−−−

∞

=

−

∞

=

−

∑

∑

zzTtZzX

zzTzX

zzzzTzX

zzzzTzX

zzzzTzX

znTzX

znTnTxZ

nTtttx

n

n

n

n

⎩⎨⎧

<≥

000

)(ttt

tx

2.1.3. FUNCIÓN POLINOMIAL

{ }

{ }az

zaZzX

zazX

zazazazazX

zazazazazX

zaaZ

atx

n

n

nnn

n

−==

−=

+++++=

+++++=

=

=

−

−−−−

−−−−

∞

=

−∑

)(

11)(

........)()()(1)(

........1)(

)(

1

4131211

44332210

⎩⎨⎧

<=00

.......3,2,1,0)(nnatx

n



2.1.4. FUNCIÓN EXPONENCIAL

{ }

{ } aTaT

aT

aTaTaT

aTaTaTn

naT

n

nanTat

at

ezzeZzX

zezX

zezezezX

zezezezX

zezX

zeeZ

nTtetx

−−

−−

−−−−−−

−−−

∞

=

−

∞

=

−−−

−

−==

−=

++++=

++++=

=

=

==

∑

∑

)(

11)(

........)()()(1)(

........)()()(1)(

)()(

)(

1

31211

3210

0

⎩⎨⎧

<≥−

000)(

ttetx

at

2.2. PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA Z Algunas de las propiedades mas importantes son las siguientes, donde se asume que la función del tiempo x(t) o y(t) tiene(n) transformada z y que x(t) y y(t) es cero para t<0 2.2.1. MULTIPLICACIÓN POR UNA CONSTANTE

[ ] [ ] teConsazXatxZatxaZ tan)()()( ===

2.2.2. SUMA Y RESTA

[ ] [ ] [ ] )()()()()()( zYzXtyZtxZtytxZ ±=±=±

2.2.3. LINEALIDAD Si tienen transformada z y a y b son escalares, entonces x(n) formada por una secuencia lineal

)()( ngynf

)()()(

)()()(

zGbzFazXzdatransformalatiene

ngbnfanx

+=

+=

donde son las transformadas z de .respectivamente. )()( zGyzF )()( nGynf



2.2.4. MULTIPLICACIÓN POR AN

[ ] )()( 1 zaXnxaZ n −= 2.2.5. TEOREMA DE CORRIMIENTO

[ ]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=+

=−

∑−

=

−

−

1

0)()((

)()(n

k

kn

n

zkTxzXznTtxZ

zXznTtxZ

2.2.6. TEOREMA DE TRASLACIÓN COMPLEJA

[ ] ∑ ∑∞

=

∞

=

−−−− ===0 0

)())(()()(n n

aTnaTnanTat ezXeznTxzenTxtxeZ

2.2.7. TEOREMA DEL VALOR INICIAL

)(lim)0( zXxz ∞→

=

2.2.8. TEOREMA DEL VALOR FINAL

[ ])()1(lim)(lim 11

zXznxzn

−

→∞→−=



2.3. TABLA DE TRANSFORMADAS Z

Función en el

tiempo

Transformada de Laplace

E(s)

Transformada Z

Transformada Z Modificada

E(z,m)

1)( =tu s1

1−zz

11−z

t 2

1s

2)1( −zzT 2)1(1 −

−− z

TzmT

2

2t 31s

3

2

)1(2)1(

−+

zzzT

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+

+− 32

22

)1(2

)1(12

12 zzm

zmT

1−kt ks

k )!1( − ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−∂∂

− −−

−

→ aTk

kk

a ezz

a 1

1

0)1(lim ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−∂

∂−

−

−

−

−−

→ aT

amT

k

kk

a eze

a 1

11

0)1(lim

ate− as +

1 aTezz

−−

aT

amT

eze

−

−

−

atet − 2)(

1as +

2)( aT

aT

ezezT−

−

− [ ]

2)()(

aT

aTaTamT

ezezmeeT

−

−−−

−−+

atk et −−1 kas

k)()!1(

+− ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−∂∂

− −aTk

kk

ezz

a)1(

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−∂∂

− −

−

aT

amT

k

kk

eze

a)1(

ate−−1 )( ass

a+

))(1(

)1(aT

aT

ezzez

−

−

−−−

aT

amT

eze

z −

−

−−

−11

aet

at−−−

1 )(2 ass

a+

[ ])()1(

)1()1(2 aT

aTaTaT

ezzaeTaezeaTz

−

−−−

−−

−−++−

)()1(

1)1( 3 aT

amT

ezae

zaamT

zT

−

−

−+

−−

+−

ateta −+− )1(1 2

2

)( assa+

2)(1 aT

aT

aT ezzeTa

ezz

zz

−

−

− −−

−−

− amT

aT

aT

aT eez

aTeezamT

z−

−

−

− ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−+

−− 2)(

11

1

btat ee −− − ))(( bsas

ab++

− ))((

)(bTaT

bTaT

ezezzee

−−

−−

−−−

bT

bmT

aT

amT

eze

eze

−

−

−

−

−−

−

)(atsen 22 as

a+

1cos22 +− aTzz

aTsenz 1cos2)1(

2 +−−+

aTzzTamsenamTsenz

)(cos at 22 as

s+

1cos2

)cos(2 +−

−aTzzaTzz

1cos2)1(

2 +−−+

aTzzTamsenamTsenz

)(1 btseneb

at− 22)(1

bas ++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+− −−

−

aTaT

aT

ebTezzbTsenez

b 22 cos21

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−+

−−

−−

aTaT

aTamT

ebTzezbTmsenebmTsenze

b 22 cos2)1(1

)(cos bte at−

22)( basas++

+ aTaT

aT

ebTezzbTezz

22

2

cos2cos

−−

−

+−−

[ ]aTaT

aTamT

ebTzezbTmsenebmTze

22 cos2)1(cos

−−

−−

+−−+



3. SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO EN BUCLE ABIERTO Para el análisis en bucle abierto se debe previamente conocer la afinidad entre y . Analicemos las siguientes secuencias:

)(zE )(* sE

[ ] ( )1....)3()2()1()0()()( 321 ++++== −−− zezezeezEkeZ

[ ] ( )2.....)3()2()()0()(**)( 32 ++++== −−− TsTssT eTeeTeeTeesEke

Si suponemos que la secuencia numérica de se obtiene muestreando una función del tiempo y si entonces efectuando estos reemplazos convertimos cualquiera de las secuencias anteriores en la transformada z de la serie o en su correspondiente transformada estrella de la misma. Por lo cual podemos concluir que:

)(ke)(te ze sT =

zesTsEzE == )(*)( Como anteriormente citamos, en el análisis de sistemas en tiempo discreto emplearemos este cambio de variable y en general utilizaremos la transformada z . 3.1. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSO La función de transferencia pulso relaciona las transformadas Z de la salida en los instantes de muestreo con la correspondiente entrada muestreada. Un aspecto importante que resaltar es el hecho de que al analizar los sistemas de control en tiempo discreto es importante recordar que la respuesta del sistema a una señal muestreada mediante impulsos puede no describir el correcto comportamiento de la respuesta en el tiempo para el sistema real, a menos que la función de transferencia de la parte del sistema en tiempo continuo tenga por lo menos dos polos mas que ceros de modo que

)(sG0)(lim =

∞→ssG

s.

La función que es el cociente entre la salida y la entrada y se denomina Función de Transferencia Pulso del sistema en tiempo discreto. Esta es la transformada z de la secuencia de ponderación.

)(zG )(zY )(zX

La transformada Z de la señal de salida se puede obtener como el producto de la función de transferencia pulso del sistema y la transformada z de la señal de entrada.



Ejemplos: Determinar la función de transferencia pulso del siguiente sistema:

Debe notarse que si la entrada al muestreador/retenedor de orden cero es un escalón unidad, la salida también es un escalón unidad. Así pues, el mantenedor de orden cero reconstruye exactamente la función escalón muestreada.

Por lo tanto, es igual a la entrada con lo cual podemos demostrar que la entrada escalón unidad a un muestreador/retenedor de orden cero da como resultado a la salida la misma entrada.

)(zY )(zE

)(

1)(

sGdeentradalaarmuestreadounExiste

assG

+= [ ]

aTezzzG

asZsGZ

−−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+=

)(

1)(

[ ]

1)(

111

)(

1)(*)(

1)(*)(

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

−=

−

−

zzzY

sZ

zz

zzzY

seZsEsYZ

sesEsY

sT

sT

1)()(*

1)(

−==

=

zzzEsE

ssE



3.2. SISTEMA EN BUCLE ABIERTO CONTENIENDO FILTROS DIGITALES Considérese el siguiente sistema:

El convertidor A/D del filtro de entrada convierte la señal de datos continua en una secuencia de números ; el filtro digital procesa esta secuencia numérica y genera

la salida de secuencia de números , la cual a su vez se convierte en la señal

)(te)(kTe )(kTe

)(kTm )(tm de datos continuos mediante el convertidor D/A. El filtro y los convertidores asociados A/D y D/A pueden presentarse en forma de diagramas de bloques tal como se muestra en la siguiente figura:

El sistema mostrado presenta la combinación de un muestreador ideal, un filtro digital D(z) y un mantenedor de orden cero. El sistema mostrado modela con precisión la combinación de un conversor análogo-digital (A/D), un filtro digital y un conversor digital-análogo (D/A) que interactúan con un proceso. 3.3. TRANSFORMADA Z MODIFICADA La transformada Z modificada se define a partir de la transformada Z retardada, es decir, es una modificación del método de la transformada Z. Se basa en insertar un retraso ficticio puro a la salida del sistema, además insertar un muestreador ficticio en la salida y variar la cantidad de retraso ficticio para obtener la salida entre cualquiera de dos instantes de muestreo consecutivos. A parte de permitirnos obtener la respuesta entre dos instantes de muestreo consecutivos, también nos permite obtener la transformada Z de procesos con retrasos puros o retrasos de transporte o por último nos permite tratar con esquemas de muestreo con múltiples frecuencias de muestreo y se aplica a la mayoría de los esquemas de muestreo.



La transformada Z modificada puede desarrollarse considerando una función temporal que esta retardada en , esto es, considerando

)(te10, ≤∆<∆T )()( TtuTte ∆−∆− . La transformada Z

ordinaria de una función temporal retardada es:

[ ] [ ] ∑∞

=

−∆− ∆−==∆−∆−1

)()()()(n

nTs zTnTeesEZTtuTteZ

Se debe notar que el muestreo no se retrasa, es decir, los instantes de muestreo son

Entonces la transformada obtenida se llama Transformada Z retardada y se define de la siguiente manera:

,....2,,0 TTt =

[ ] [ ]TsesEZTtuTteZzE ∆−=∆−∆−=∆ )()()(),(

A partir de esta ultima ecuación también podemos definir la transformada estrella retardada sustituyendo . sTez = La transformada Z modificada se define a partir de la transformada Z retardada. Por definición esta transformada es igual a la transformada Z retardada, con ∆ sustituido por m−1 , de esta manera si es la transformada Z modificada de , entonces podemos concluir en lo siguiente:

),( mzE )(sE

[ ]m

Tsm esEZzEmzE

−=∆∆−

−=∆ =∆=11 )(),(),(

Desarrollando lo anterior, obtenemos:

( )[ ] ( )[ ] ...21)(),( 321 +++++= −−− zTmezTmezmTemzE Debe considerarse que:

)0()(),()1,( 1 ezEmzEzE m −== =

y

)(),()0,( 10 zEzmzEzE m

−= ==

Es muy importante recalcar que las tablas de transformada Z ordinarias no se aplican a la transformada Z modificada, razón por la cual, se tienen deducidas tablas especiales para este tipo ultimo tipo de transformadas.



3.4. SISTEMAS CON RETARDOS DE TIEMPO Otra de las aplicaciones o uso de la transformada Z esta orientado a determinar funciones de transferencia pulso de sistemas en tiempo discreto que contienen retardos de tiempo ideales como el siguiente sistema:

La salida del sistema es:

[ ] [ ]+

−

−

∈<∆<∆+=

=

=

ZkTkTt

hacemosSisGeZzEsCZ

zdaTransformasEesGsC

st

sto

10,

:)()()(

:)(*)()(

0

0 [ ]

[ ]∆−==

=

=

−

∆−−

∆+−

1),()()(

)()()(

)()()(

:)(

mmzGzEzzC

sGeZzzEzC

sGeZzEzC

obtenemos

k

Tsk

sTkT

Otro aspecto importante para destacar es que la transformada z modificada puede también utilizarse para determinar las funciones de transferencia impulso de sistemas de control digital en los cuales el tiempo de calculo del computador digital no puede omitirse. 3.5. MODELOS DE VARIABLES DE ESTADO Una manera de obtener la representación en el espacio de estados en tiempo discreto de un sistema cualquiera es a partir de las ecuaciones de estado continuas, de hecho, por medio del uso de la técnica de evaluación mediante computador, los estados del modelo continuo se convierten en los estados de modelo discreto, conservando los estados naturales del sistema. Consideremos el siguiente sistema mecánico: Diagrama de Cuerpo Libre

5.13.0

10:

===

bkmSea



De acuerdo al diagrama de cuerpo libre: Representación en el Espacio de Estados

)(

)(***

*

tfkxxbxm

amtfxbkx

amFuerzas

=++

=+−−

=∑

Efectuamos el siguiente cambio de variable:

( )

( )

( )3:

2)(1

)(11

2

21

*

2

*

2

***

1

*

2

*1

xysalidalaPara

tum

xmbx

mkx

tum

xmbx

mkxx

xxx

xx

=

+−−=

+−−==

==

=

Discretizamos con .1 sT =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

++++==

8471875.00277125.092375.098575.0

)(

...0009375.00000375.0

00125.000075.000375.000225.0075.0015.0

15.003.020

1001

)(

...6

115.003.0

102

115.003.0

101

15.003.010

1001

)(

....!3!2

)(

3322

33

22

tA

tA

tA

TATATAItA

cd

cd

cd

ccccd

φ

φ

φ

φ

La metodología de resolución para todos los sistemas será la siguiente: 1º .Modelado de los sistemas en tiempo continuo 2º. Representación en el espacio de estados en tiempo continuo 3º. Transformación de continuo a discreto por medio del uso de la técnica de evaluación mediante computador.

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

2

1

2

1*

2

*

1

10

1010

xx

y

uxx

mb

mk

x

x

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

2

1

2

1*

2

*

1

10

10

15.003.010

:

xx

y

uxx

x

x

Finalmente



( ) ( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

=−=−= ∫∫ ∫

923984375.04749875.0

10

923984375.0014240625.04746875.09951875.0

10

...000234375.0000009375.0

0003125.00001875.000125.000075.0

025.0005.0075.0015.05.00

1001

10

...241

2.002.010

61

2.002.010

21

15.003.010

11001

...!4!3!2

)(

43322

43

32

200

0

d

d

d

d

ccccd

T

c

T

Tccd

B

B

B

B

BTATATATIB

dQdQdTQB ττττσσ

Finalmente el modelo de estado discreto para este sistema con .1 sT = es el siguiente:

[ ] )(01)()(923984375.04749875.0

)(8471875.00277125.092375.098575.0

)1( kxkykukxkx =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=+

Es importante resaltar que el uso de la técnica de evaluación mediante computador efectúa únicamente la transformación de la matriz de estados y de la matriz de entrada dejando tal cual a la matriz de salida. La transformación de estas matrices se efectúa mediante el desarrollo de las siguiente series:

....!3!2

)(3

32

2 ++++==TATATAItA ccccd φ

ccccd BTATATATIB ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++= ...

!4!3!2

43

32

2

Donde: T = Periodo de muestreo Ad = Matriz de estados (Discreto) Ac = Matriz de estados (Continuo) Bd = Matriz de entrada (Discreto) Bc = Matriz de entrada (Continuo)



4. SISTEMAS EN BUCLE CERRADO Cuando se tiene sistemas en lazo cerrado donde se presentan muestreadores (Sistema Discreto) el comportamiento de este sistema es diferente a un sistema en lazo cerrado en tiempo continuo.

Obtenemos la salida C(z) del sistema:

( )1)(*)( sGEsC = ( )2)()()( sHsCsRE −= ( ) ( )

[ ]

[ ] ( )3*)(1

)(**

)(**)(1*

)(**)(**

*)(*)(**

:)()(*)(

21

sGHsRE

sRsGHE

sRsGHEE

sGHEsRE

estrelladaTransformasHsGEsRE

en

+=

=+

=+

−=

−=

( )

( )4*)(*)(*:

1

sGEsCestrelladaTransforma

En

=

( ) ( )

)(1)()()(

:*)(1)(*)(*)(*

:43

zGHzRzGzC

finalmentesGH

sGsRsC

en

+=

+=

Otra manera de obtener la salida de un sistema en lazo cerrado y en tiempo discreto es mediante el procedimiento deductivo, que consiste en la siguiente secuencia de solución:

1. Elaborar el grafo original del sistema planteado.

2. Deducir las ecuaciones que rigen al sistema

3. Aplicar transformada estrella a las ecuaciones obtenidas

4. Elaborar un nuevo grafo en base a estas últimas ecuaciones

5. Aplicar el Teorema de Mason para la obtención de la salida o la función de transferencia del sistema.



Ejemplo: Considere el mismo sistema planteado anteriormente: 1. Grafo original

2. Ecuaciones que rigen al sistema

( )1CHRE −= ( )2*GEC = ( ) ( )

( )3*12

GHEREen

−=

3. Aplicamos transformada estrella

( )( )4****

3

GHERE

en

−=

( )( )5***

2GEC

en=

4. Elaboramos un nuevo grafo con las ecuaciones (4) y (5)

5. Aplicamos el Teorema de Mason:

[ ]*1

1*

GH

GM

k

k

−−=∆

=∆=

)(1)()()(

*1***

:*1

***

:

zGHzRzGzC

GHRGC

serásalidalaFinalmenteGHGM

RC

seráciatransferendefunciónLa

kk

+=

+=

+=

∆

∆= ∑



En tiempo discreto las configuraciones típicas en lazo cerrado son:

CONFIGURACIÓN TÍPICA

FUNCION DE TRANSFERENCIA O SALIDA

)(1)(

)()(

zGHzG

zRzC

+=

)()(1)(

)()(

zHzGzG

zRzC

+=

)()()(1)()(

)()(

21

21zHzGzG

zGzGzRzC

+=

)(1)()(

)(21

21

zHGGzGzRG

zC+

=

)(1)()(zGH

zGRzC+

=



5. CARACTERÍSTICAS DE LA RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS DISCRETOS

5.1. RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO En todo sistema de control ya sea en tiempo continuo o discreto, la estabilidad absoluta es un requisito básico, paralelamente también se requiere de una buena estabilidad relativa y precisión en estado permanente. Igual que en los sistemas de control de tiempo continuo, la respuesta temporal o transitoria de un sistema de control digital puede caracterizarse no solo por el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural amortiguada, sino también por el tiempo de levantamiento, el sobrepaso máximo, el tiempo de asentamiento y así sucesivamente, en respuesta a una entrada escalón. De hecho en la especificación de distintas características de la respuesta temporal o transitoria, es común especificar las siguientes cantidades:

• Tiempo de retardo dt• Tiempo de levantamiento rt • Tiempo pico : pt• Sobrepaso máximo pM• Tiempo de asentamiento st



Tiempo de retardo : Es el tiempo requerido para que la respuesta llegue a la mitad del valor final la primera vez.

dt

Tiempo de levantamiento rt : Es el tiempo que requiere la respuesta para pasar del 10% hasta 90%, de 5% a 95% o de 0% a 100% de su valor final, según la situación. Para sistemas de segundo orden subamortiguado, por lo regular se utiliza el tiempo de levantamiento de 0% a 100%. Para sistemas sobreamortiguados y sistemas con atraso de transporte, comúnmente se utiliza el tiempo de levantamiento de 10% a 90%. Tiempo pico : Es el tiempo requerido para que la respuesta llegue a la primera cresta del sobrepaso.

pt

Sobrepaso máximo : Es el valor máximo de la curva de respuesta medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado permanente de la respuesta difiere de la unidad, entonces es común utilizar el sobrepaso porcentual máximo. Queda definido por la siguiente relación:

pM

%100)(

)()(x

cctc

PorcentualMaximoSobrepaso p

∞

∞−=

La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica en forma directa la estabilidad relativa del sistema. En la mayoría de los casos prácticos las características de desempeño deseadas se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo, esto debido a que los sistemas con almacenamiento de energía no pueden responder en forma instantánea y siempre que estén sujetos a entradas o perturbaciones mostrarán algunas respuestas transitorias.

Tiempo de asentamiento : Es el tiempo requerido para que una curva de respuesta llegue y se quede dentro de un rango alrededor del valor final de un tamaño especificado en función de un porcentaje absoluto de valor final, por lo general 2%. El tiempo de asentamiento esta relacionado con la constante de tiempo de mayor valor en el sistema de control.

st

Debido a que con MatLab es fácil obtener la respuesta transitoria de un sistema, los siguientes ejemplos nos mostrarán las respuestas a entradas Delta de Kronecker, a entrada Escalón y a entrada Rampa así como la respuesta transitoria de sistemas en tiempo discreto definidos en el espacio de estados.



5.2. RESPUESTA A LA ENTRADA DELTA DE KRONECKER El calculo de la respuesta de un sistema a una entrada Delta de Kronecker es la misma que se utiliza para calcular la transformada inversa Z de .

)(zG)(zG

Considere el siguiente sistema de control discreto:

6607.05327.13393.04673.0)(

2 +−

−=

zzzzG

Se requiere encontrar la respuesta de este sistema a una entrada Delta de Kronecker. )(ky Programa MatLab %Programa que nos muestra la respuesta de un sistema a una entrada Delta de Kronecker num=[0 0.4673 -0.3393]; den=[1 -1.5327 0.6607]; x=[1 zeros(1,40)]; v=[0 40 -1 1]; axis(v); k=0:40; y=filter(num,den,x) plot(k,y,'*') grid title('Respuesta a una entrada Delta de Kronecker') xlabel('k+1') ylabel('y(k)') Simulación y = Columns 1 through 11 0 0.4673 0.3769 0.2690 0.1632 0.0725 0.0032 -0.0429 -0.0679 -0.0758 -0.0712 Columns 12 through 22 -0.0591 -0.0436 -0.0277 -0.0137 -0.0027 0.0050 0.0094 0.0111 0.0108 0.0092 0.0070 Columns 23 through 33 0.0046 0.0025 0.0007 -0.0005 -0.0013 -0.0016 -0.0016 -0.0014 -0.0011 -0.0008 -0.0004 Columns 34 through 41 -0.0002 0.0000 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001



Estos valores son la transformada inversa z de . Es decir: )(zG

0001.0)41(

2690.0)3(3769.0)2(4373.0)1(

0)0(

=

====

y

yyyy

M

La grafica de la respuesta a la entrada Delta de Kronecker será:



5.3. RESPUESTA A LA ENTRADA ESCALÓN

Considere el siguiente sistema de control discreto: 6607.05327.1

3393.04673.0)(2 +−

−=

zzzzG

Se requiere encontrar la respuesta de este sistema a una entrada Escalón. )(ky Programa MatLab %Programa que nos muestra la respuesta de un sistema a una entrada Escalón num=[0 0.4673 -0.3393]; den=[1 -1.5327 0.6607]; u=ones(1,41); v=[0 40 0 1.6]; axis(v); k=0:40; y=filter(num,den,u); plot(k,y,'*') grid title('Respuesta al escalon ') xlabel('k') ylabel('y(k)') La grafica de la respuesta a la Entrada Escalón será:



5.4. RESPUESTA A LA ENTRADA RAMPA

Considere el siguiente sistema de control discreto: 6065.08195.0

7870.0)(2 +−

=zz

zzG

El periodo de muestreo T es de 0.5 seg. Se requiere encontrar la respuesta de este sistema a una entrada rampa. )(ky Programa MatLab %Programa que nos muestra la respuesta de un sistema a una entrada rampa num=[0 0.7870 0]; den=[1 -0.8195 0.6065]; k=0:20; u=[0.5*k]; y=filter(num,den,u); plot(k,y,'*',k,y,'-',k,0.5*k,'--') grid title('Respuesta a rampa ') xlabel('k') ylabel('y(k)') La grafica de la respuesta a la Entrada Rampa será:



5.5. RESPUESTA TRANSITORIA EN EL ESPACIO DE ESTADOS Como ejemplo considere el siguiente sistema definido en el espacio de estados y en tiempo discreto

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

)()(

116.1)()(10

)()(

116.010

)1()1(

2

1

2

1

2

1

kxkx

kykukxkx

kxkx

Suponga que el sistema esta inicialmente en reposo y que es la entrada. )(ku Programa MatLab %Programa que nos muestra la respuesta al escalón %de un sistema en el espacio de estados G=[0 1;-0.16 -1]; H=[0;1]; C=[1.16 1]; D=0; [num,den]=ss2tf(G,H,C,D); u=ones(1,51); axis([0 50 -0.5 2]); k=0:50; y=filter(num,den,u); plot(k,y,'o',k,y,'-') grid title('Respuesta al Escalon de y(k)') xlabel('k') ylabel('y(k)') La grafica de la respuesta a la Entrada Escalón será:



5.6. EJEMPLO COMPLETO Un ejemplo mas completo del análisis de la respuesta temporal o transitoria de un sistema discreto es el que a continuación desarrollamos: Sea el siguiente sistema mecánico y suponga que en t = 0 se aplica una fuerza F(t) a la masa con dirección hacia abajo. Obtenga el movimiento de la masa sujeta a la condición inicial (Suponga que no existe función forzante externa) :

Diagrama de Cuerpo Libre De acuerdo al diagrama de cuerpo libre: Representación en el Espacio de Estados

)(

)(***

*

tfkxxbxm

amtfxbkx

amFuerzas

=++

=+−−

=∑

Cambio de variable:

( )

( )

( )3:

2)(1

)(11

2

21

*

2

*

2

***

1

*

2

*1

xysalidalaPara

tum

xmbx

mkx

tum

xmbx

mkxx

xxx

xx

=

+−−=

+−−==

==

=

msNb

mNk

KgmSea

3

5.20

1:

=

=

=

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

1

2

1*2

*1

10

1010

xx

y

uxx

mb

mk

x

x

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

1

2

1*2

*1

10

10

35.2010

:

xx

y

uxx

x

x

Finalmente



Programa MatLab %Programa que nos muestra la respuesta al escalón de un sistema en el espacio %de estados en tiempo continuo. Se simula el movimiento de la masa Ac=[0 1;-20.5 -3]; Bc=[0;1]; Cc=[0 1]; Dc=0; [y,x,t]=step(Ac,Bc,Cc,Dc); plot(t,y) grid title('Respuesta al escalon') xlabel('Tiempo t') ylabel('Amplitud') La grafica de la respuesta a la Entrada Escalón será:

Por medio de la respuesta al escalón podemos ver que el movimiento de la masa se detiene a los 4 segundos.



5.7. TRANSFORMACIÓN DEL TIEMPO CONTINUO A TIEMPO DISCRETO Programa MatLab %Programa de transformación de un sistema en el espacio de estados en tiempo continuo a tiempo discreto con T=0.1 s. Ac=[0 1;-20.5 -3]; Bc=[0;1]; Cc=[0 1]; Dc=0; [num,den]=ss2tf(Ac,Bc,Cc,Dc); qc=tf(num,den) %FT en tiempo continuo qd=c2d(qc,0.1,'zoh') %FT en tiempo discreto Simulación Transfer function: (En tiempo continuo) s + 7.105e-015 ---------------- s^2 + 3 s + 20.5 Transfer function: (En tiempo discreto) 0.08348 z - 0.08348 ---------------------- z^2 - 1.567 z + 0.7408 Sampling time: 0.1 (Periodo de muestreo) >>

Respuesta en tiempo discreto Programa MatLab %Programa de transformacion de un sistema en el espacio %de estados en tiempo continuo a tiempo discreto con T = 0.1 s. Ac=[0 1;-20.5 -3]; Bc=[0;1]; Cc=[0 1]; Dc=0; [numc,denc]=ss2tf(Ac,Bc,Cc,Dc) qc=tf(numc,denc) qd=c2d(qc,0.1,'zoh') %Conversion de continuo a discreto step(qd) title('Respuesta al escalon tiempo discreto') Simulación Transfer function: (Función de Transferencia s + 7.105e-015 Tiempo Continuo) ---------------- s^2 + 3 s + 20.5



Transfer function: (Función de Transferencia 0.08348 z - 0.08348 Tiempo Discreto) ---------------------- z^2 - 1.567 z + 0.7408 Sampling time: 0.1 (Periodo de Muestreo)



A continuación se presentan las respuestas en tiempo continuo y en discreto mediante Simulink

Esquema de los sistemas para la simulación

Simulación de las salidas continua y discreta:



6. TRANSFORMACIÓN DEL PLANO “ S ” EN EL PLANO “ Z “ En el diseño de un sistema de control en tiempo continuo o discreto es muy importante la localización de los polos y los ceros en el plano s y el plano z respectivamente, ya que por medio de esta localización es posible predecir el comportamiento dinámico del sistema. Cuando en el proceso de discretización de un sistema continuo se incorpora un muestreo por impulsos, las variables complejas z y s quedan relacionadas mediante la siguiente ecuación:

sTez = Con esta ecuación la localización de los polos y de los ceros en el plano z esta relacionada con la localización de los polos y los ceros del plano s, de esta manera, la estabilidad del sistema en lazo cerrado en tiempo discreto lineal e invariante con el tiempo puede determinarse con base en las posiciones de los polos de la función de transferencia en pulso en lazo cerrado. Debe tenerse en cuenta que el comportamiento dinámico del sistema de control en tiempo discreto depende del periodo de muestreo T. En función de los polos y ceros en el plano z, sus localizaciones dependen del periodo de muestreo T. En resumen, un cambio en el periodo de muestre T modifica las localizaciones de los polos y de los ceros en el plano z y hace que el comportamiento de respuesta se modifique.

Transformación de la banda primaria al plano Z

Puesto que para πωω

ω == Ts2

,

entonces el eje ωj entre

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

22ss w

jyw

j se convierte en el

plano Z en el circulo unitario.

Transformación al plano Z del lugar

geométrico a frecuencia constante El lugar geométrico afrecuencia constanteen el plano s seconvierte en radios.



Los 3 gráficos anteriores nos indican lo siguiente:

Transformación al plano z del lugar

geométrico a amortiguamiento

El lugar geométrico a amortiguamiento constante en el plano s se convierten en círculos en el plano z

Grafico Transformación de la banda primaria al plano Z La porción del plano de la mitad derecha de la banda primaria se convierte en el exterior del circulo unitario y la porción del plano de la mitad izquierda de la banda primaria se convierte en el interior del circulo unitario. Por lo tanto, la región estable del plano “S” es la mitad izquierda del mismo, la región estable del plano “Z” es el interior del circulo unitario. Grafico Transformación al plano Z del lugar geométrico a frecuencia constante El lugar geométrico a frecuencia constante en el plano “S” se convierte en radios. Grafico Transformación al plano Z del lugar geométrico a amortiguamiento El lugar geométrico a amortiguamiento constante en el plano “S” (Líneas rectas con σ constante) se convierten en círculos en el plano Z. Esto puede verse utilizando la relación:

Teeez TTjT ωσωσ 11 ==

σ y ω se relación mediante:

βσω tan= en donde β es constante.

Entonces:

βσσ tanTeez TsT ==



Puesto que σ es negativo en el segundo y tercer cuadrante del plano “S” describe una espiral logarítmica cuya amplitud decrece a la vez que σ incrementa su magnitud.

Las características de una función temporal muestreada en los instantes de muestreo son las mismas que los de la función temporal antes del muestreo, es decir, una función exponencial muestreada es evidentemente exponencial en su naturaleza en los instantes de muestreo. 7. CORRESPONDENCIA DE POLOS EN EL PLANO “S” Y EN EL PLANO “Z”



8. CARACTERÍSTICAS TRANSITORIAS SEGUN POSICIÓN POLOS EN EL PLANO Z

Puesto que , entonces las características de respuesta son una función de y sTez = s T . Las características de ubicación de polos no se aplican únicamente a sistemas con funciones de transferencia en bucle cerrado, sino que también se aplican a sistemas cuya función de transferencia en bucle cerrado no existe, puesto que en ambos casos la respuesta se determina por las raices de la ecuación característica del sistema. Si consideramos el grafico de la correspondencia de polos en el plano “S” y en el plano “Z”, los polos en el plano s se presentan para ωσ js ±= . Estos polos resultan de los términos de la

forma de la respuesta transitoria del sistema. Cuando se presenta el muestreo, estos polos del plano s se convierten en polos en el plano z para:

)(1 φωσ +tCosek t

θωσωσωσ

±=±=== ±±=

rTeeeez TTjTjs

sT



Entonces, las raíces de la ecuación característica que aparecen para θ±r se convierten en término de la respuesta transitoria de la forma:

( ) ( )φθφωσ +=+ kCosrkTkCosek kTk11 )(

Ejemplo: Se desea calcular la frecuencia que aparece en la respuesta transitoria del siguiente sistema:

La función de transferencia en bucle cerrado es: Finalmente obtenemos:

9307.090.100756.000778.0

)(1)(

2 +−

+=

+ zzz

zGzG

78.102.0965.0ln

965.0ln02.0965.002.0

−=

=

==

σ

σ

σ

σe

La ecuación características es:

09307.090.12 =+− zz

.75.8

02.0175.0

175.002.0

segrad

±=

±=

±=

ω

ω

ω

las raíces que tiene son las siguientes:

rad

jz

175.0965.0

º03.10965.0168.095.0

±=

±=

±=



Para relacionar matemáticamente las posiciones de los polos en el plano “S” con la posición de los polos en el plano “Z”, procedemos de la siguiente manera:

22

2

2)(

nn

nss

sGωωζ

ω++

= (Expresión general de la función de transferencia de segundo orden)

cuyos polos son:

22,1 1 ζωωζ −±−= nn js donde ζ = Factor de Amortiguamiento

nω = Frecuencia natural Los polos equivalentes en el plano z se presentan para:

θζωωζ ±=−±== − rTeez nT

ssT n 21

2,1

Por lo tanto:

re Tn =− ωζ aplicando logaritmo natural ( )1ln rTn −=ωζ

que equivale a: ζ

ω rTnln−

=

por otro lado: ( )21 2 θζω =−Tn que equivale a 21 ζ

θω−

=Tn

por comparación obtenemos:

ζζ

θ rln

1 2

−=

− reordenando, finalmente se tiene:

θζ

ζ rln

1 2

−=

−

resolviendo para ζ se obtiene: ( )3ln

ln22 θ

ζ+

−=

r

r

reemplazando ( 3 ) en ( 1 ) obtenemos:

( )4ln1 22 θω +=Tn

La constante de tiempo τ de los polos viene dada por:

rT

n ln1 −

==ωζ

τ

Con la obtención del factor de amortiguamiento, la frecuencia natural y la constante de tiempo del polo a partir de las anteriores ecuaciones se consigue relacionar la situación de los polos en el plano “S” en el plano “Z”.



9. PRECISIÓN ESTACIONARIA La habilidad para rastrear o seguir ciertas entradas con un error mínimo es otra característica de un sistema de control. El diseño de un sistema de control debe intentar minimizar el error de un sistema a ciertas entradas previstas. Cualquier sistema físico de control sufre de error en estado permanente o estacionario en respuesta a ciertos tipos de entrada, es decir, un sistema pudiera no tener ningún error en estado permanente a entradas escalón, pero el mismo sistema pudiera mostrar error en estado permanente distinto de cero en respuesta a entradas rampa, razón por la cual se concluye que dependerá del tipo de la función de transferencia en lazo abierto del sistema si un sistema dado muestra o no error en estado permanente en respuesta a un tipo dado de entrada. Considere la siguiente función de transferencia:

)1)...(1)(1(

))1)...(1)(1()()(

21 +++

+++=

sTsTsTs

sTsTsTKsHsG

pN

mba

El término sN en el denominador represente un polo de multiplicidad N en el origen. Es costumbre clasificar un sistema de acuerdo con el numero de integradores en la función de transferencia en lazo abierto. Se dice que un sistema es de tipo 0, tipo 1, tipo2,..., si N=0,N=1,N=2,..., respectivamente. De acuerdo al cuadro anteriormente detallado conforme se incrementa el número de tipo la precisión aumenta, sin embargo, al aumentar el tipo, el problema de estabilidad se complica, por lo cual, será necesario un término medio entre la precisión en estado permanente y la estabilidad relativa (característica de la respuesta transitoria). Dado el siguiente sistema:

Analizando el sistema tenemos:

)()(1

1)( zRzGH

zE+

=

Obtenemos el error en estado estacionario: ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−= −

→)(

)(111lim 1

1zR

zGHze

zss



Como en el caso de sistemas continuos consideremos tres tipos de entradas: Escalón unitario, Rampa unitaria y Aceleración unitaria. 9.1. CONSTANTE DE ERROR DE POSICIÓN ESTATICA

Para una entrada escalón unitario 1)( =tr tenemos: 1

)(−

=z

zzR

El error de actuación en estado permanente se puede obtener como sigue:

( ))(1

1lim1)(1

11lim1

11 zGHz

zzGH

zezz

ss+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+−=

→

−

→

definimos la constante de error de posición estática k de la siguiente manera:

)(lim1

zGHKpz→

=

El error de actuación en estado permanente en respuesta a una entrada escalón unitario puede obtenerse a partir de la siguiente ecuación:

kpess +

=1

1

El error de actuación en estado permanente en respuesta a una entrada escalón unitario se convierte en cero si lo que requiere que ∞=Kp )(zGH tenga por lo menos un polo en z =1. 9.2. CONSTANTE DE ERROR DE VELOCIDAD ESTATICA

Para una rampa unitaria tenemos: ttr =)(( )21

1

1)(

−

−

−=

z

TzzR


( ))()1(

lim)1()(1

11lim1121

11

1 zGHzT

zTz

zGHze

zzss −→−

−−

→ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−=

definimos la constante de error de velocidad estática k de la siguiente manera:

TzGHzKv

z

)()1(lim1

1

−

→

−=



El error de actuación en estado permanente en respuesta a una entrada rampa unitaria puede ser dado por:

kvess

1=

Si entonces el error de actuación en estado permanente en respuesta a una entrada rampa unitaria es cero. Esto requiere que

∞=Kv)(zGH posea un polo doble en z =1.

9.3. CONSTANTE DE ERROR DE ACELERACIÓN ESTATICA

Para una entrada de aceleración unitaria 2

21)( ttr = tenemos:

( ) 31

112

12)1()(

−

−−

−

+=

zzzTzR


( ))()1(

lim)1(2)1(

)(111lim

21

2

1311

121

1 zGHzT

zzzT

zGHze

zzss −→−

−−

−

→ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

+

+−=

definimos la constante de error de aceleración estática ka de la siguiente manera:

2

21

1

)()1(limT

zGHzKaz

−

→

−=

El error de actuación en estado permanente en respuesta a una entrada de aceleración unitaria puede ser dado por:

kaess

1=

El error de actuación en estado permanente en respuesta a una entrada de aceleración unitaria se convierte en cero si . Esto requiere que ∞=Ka )(zGH posea un polo triple en z = 1. Es importante aclarar que el error de actuación es la diferencia entre la entrada de referencia y la señal de realimentación y no la diferencia entre la entrada de referencia y la salida.



9.4. CONSTANTES TIPICAS DE ERROR ESTÁTICO DE SISTEMAS DISCRETOS EN

LAZO CERRADO

CONFIGURACIÓN EN LAZO CERRADO

VALORES DE KayKvKp,

( )

( )2

21

1

1

1

1

)(1lim

)(1lim

)(lim

TzGHzKa

TzGHzKv

zGHKp

z

z

z

−

→

−

→

→

−=

−=

=

( )

( )2

21

1

1

1

1

)()(1lim

)()(1lim

)()(lim

TzHzGzKa

TzHzGzKv

zHzGKp

z

z

z

−

→

−

→

→

−=

−=

=

( )

( )2

2121

1

211

1

211

)()(1lim

)()(1lim

)()(lim

TzGHzGz

Ka

TzHGzGz

Kv

zHGzGKp

z

z

z

−

→

−

→

→

−=

−=

=

( )

( )2

2121

1

211

1

211

)()()(1lim

)()()(1lim

)()()(lim

TzHzGzGz

Ka

TzHzGzGz

Kv

zHzGzGKp

z

z

z

−

→

−

→

→

−=

−=

=



9.5. TIPOS DE SISTEMAS Y ERRORES EN ESTADO PERMANENTE

ERRORES EN ESTADO

PERMANENTE

Sistema

Entrada Escalón

1)( =tr

Entrada Rampa

ttr =)(

Entrada de aceleración

2

21)( ttr =

Sistema de tipo 0 Kp+1

1

∞

∞

Sistema de tipo 1

0 Kv

1

∞

Sistema de tipo 2

0

0

Ka1

Es importante señalar que los términos “Error de Posición”, “Error de Velocidad” y “Error de Aceleración” significan desviaciones en estado permanente de la posición de la salida. Un error de velocidad finito implica que después de que los transitorios hayan desaparecido, la entrada y la salida se mueven a la misma velocidad, pero tienen una diferencia finita de posición.



10. TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE ESTABILIDAD Todas las técnicas de análisis de estabilidad aplicables a sistemas en tiempo continuo pueden ser aplicadas a sistemas en tiempo discreto con ciertas modificaciones, estas técnicas incluyen los criterios de Routh Hurwitz, los métodos del lugar de las raíz y las técnicas de respuesta frecuencial, así como la prueba de estabilidad de Jury, que es una técnica desarrollada para sistemas discretos. En el diseño de un sistema de control ya sea continuo o discreto generalmente la especificación mínima es que este sea estable, las técnicas de respuesta frecuencial no solo determinan la estabilidad, sino que también sugieren los diseños necesarios para conseguir estabilidad si el sistema demuestra ser inestable, así también estas técnicas sugieren los diseños necesarios para obtener respuestas transitorias y permanentes aceptables, razones fundamentales que nos orientan a destacar las técnicas de respuesta frecuencial. 10.1. ESTABILIDAD La estabilidad es una importante propiedad de los sistemas, intuitivamente un sistema estable es aquel en el que entradas pequeñas conducen a respuestas que no divergen. Por ejemplo considere el péndulo de la siguiente figura:

La fuerza aplicada es y la salida es la desviación angular a partir de la vertical. En este caso la gravedad aplica una fuerza de restauración que tiende a regresar al péndulo a la posición vertical y las pérdidas de fricción debidas al arrastre tienden a disminuir su velocidad, por lo tanto, si se aplica una pequeña fuerza , la desviación resultante de la vertical también es pequeña.

)(tx )(ty

)(tx

Considere la siguiente función de transferencia pulso en bucle cerrado:

)(1)(

)()(

zGHzG

zRzC

+=



La estabilidad del sistema que define a esta función de transferencia así como la de otros sistemas de control en tiempo discreto puede determinarse por las localizaciones de los polos en lazo cerrado en el plano z, o por las raíces de la ecuación característica del sistema:

0)(1)( =+= zGHzP

de la siguiente manera:

• Para que el sistema sea estable, los polos en lazo cerrado o las raíces de la ecuación característica deben presentarse en el plano z dentro del circulo unitario. Cualquier polo en lazo cerrado exterior al circulo unitario hace inestable al sistema.

1=z• Si un polo simple se presenta en , entonces el sistema se convierte en críticamente estable. También el sistema se convierte en críticamente estable si un solo par de polos complejos conjugados se presentan sobre el circulo unitario en el plano z. Cualquier polo múltiple en lazo cerrado sobre el circulo unitario hace al sistema inestable.

• Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta y por lo tanto pueden quedar localizados en cualquier parte del plano z.

10.2. TRANSFORMACIÓN BILINEAL Muchas técnicas y procedimientos de diseño y análisis para sistemas en tiempo continuo tal como el criterio de Routh-Hurwitz y técnicas de Bode, estan basadas en la propiedad de que la frontera de estabilidad en el plano “S” es el eje imaginario. Estan técnicas no pueden aplicarse a sistemas en tiempo discreto en el plano z, debido a que su frontera de estabilidad es el circulo unitario. Con el uso de la transformación bilineal:

wT

wT

z

21

21

−

+=

resolviendo para w se tiene:

112

+−

=zz

Tw

el circulo unitario del plano z se transforma en el eje imaginario del plano w. En el siguiente desarrollo demostraremos la relación entre frecuencias en el plano “S” y el plano “W”:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+

−=

+

−=

+−

=−

−

= 2tan22

112

112

22

22 TT

j

ee

eeTe

eTz

zT

w TjTj

TjTj

Tj

Tj

ez Tj

ω

ωω

ωω

ω

ω

ω



utilizando identidades trigonométricas finalmente podemos expresar como:

TCosTsen

Tjw

ωω

+=

12

De esta manera se concluye que el circulo unitario del plano z se transforma en el eje imaginario del plano w. Se debe destacar que la región estable del plano w es la mitad izquierda del plano.

Distribución del plano “ s ” al plano “ z ” y al plano “ w ” 10.3. CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ El criterio de Routh-Hurwitz se utiliza en el análisis de sistemas de control en tiempo continuo y si este criterio se utiliza en la ecuación característica de un sistema de tiempo discreto cuando esta expresada como una función de z, no se obtiene mas información útil respecto a la estabilidad del sistema, sin embargo, si la ecuación característica se expresa como una función de la transformada variable bilineal w, entonces la estabilidad del sistema puede determinarse directamente aplicando el criterio de Routh-Hurwitz Debe notarse que la transformación bilineal junto con el criterio de Routh-Hurwitz indicará exactamente cuantas raíces de la ecuación característica están en el semiplano derecho del plano w y cuantas sobre el eje imaginario, por consiguiente nos permitirá conocer la estabilidad o no del sistema. 10.3.1. PROCEDIMIENTO PARA APLICAR EL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ Dada una ecuación característica con la siguiente forma:

0...)( 011

1 =++++= −− bwbwbwbwF n

nn

n



Se debe formar la distribución de Routh de la siguiente manera:

1

1

321

321

331

42

1

2

1

kj

dddccc

bbbbbb

ww

www

nnn

nnn

n

n

n

L

L

L

L

M

M

−−−

−−

−

−

Únicamente las dos primeras filas de la distribución se obtienen a partir de la ecuación característica. Las restantes filas se calculan de la siguiente manera:

1

3211

−

−−− −=

n

nnnnb

bbbbc 1

21311 c

cbbcd nn −− −=

1

5412

−

−−− −=

n

nnnnb

bbbbc 1

31512

−

−− −=

n

nnb

cbbcd

1

7613

−

−−− −=

n

nnnnb

bbbbc M

Una vez que se ha formado la distribución, el criterio de Routh-Hurwitz establece que el número de raíces de la ecuación característica con parte real positiva es igual al número de cambios de signo de los coeficientes en la primera columna de la distribución. 10.4. PRUEBA DE ESTABILIDAD DE JURY Esta técnica es un criterio de evaluación de la estabilidad de un sistema similar al de Routh-Hurwitz con la ventaja de que puede aplicarse a la ecuación característica de un sistema de control discreto en forma directa. 10.4.1. DISTRIBUCIÓN PARA EVALUAR ESTABILIDAD MEDIANTE PRUEBA DE JURY Dada una ecuación característica con la siguiente forma:

00)( 011

1 >=++++= −− n

nn

nn aazazazazF K

Se debe formar la distribución de Jury de la siguiente manera:



nnkn zzzzzz 1210 −− LL

210

0123

3210

2432

210

01321

1210

0121

1210

mmmllllllll

cccccccc

bbbbbbbbbb

aaaaaaaaaaaa

knnn

kn

knnn

nkn

knnn

nnkn

MMMMM

LL

LL

LL

LL

LL

LL

−−−−

−

−−−−

−−

−−

−−

Debe notarse que los elementos de cada una de las filas pares son los elementos de la fila anterior en orden inverso. Los elementos de las filas de número impar se definen como:

kn

knk aa

aab −= 0

kn

knk bb

bbb

1

10

−

−−=

Lkn

knk cc

ccd

2

20

−

−−=

Las condiciones necesarias y suficientes para que el polinomio no tenga raices fuera o sobre el circulo unitario con son como sigue:

)(zF,0>na

20

30

20

10

0

0)1()1(

0)1(

mm

dd

cc

bb

aaF

F

n

n

n

n

n

>

>

>

>

<

>−−

>

−

−

−

M



Debe notarse que para un sistema de segundo orden, la distribución contiene únicamente una fila. Para cada número de orden adicional, se añaden dos filas a la distribución. Para un sistema de orden n-ésimo hay un total de n+1 limitaciones 10.5. LUGAR DE LAS RAICES Sea la siguiente función de transferencia en tiempo discreto:

)(1)(

)()(

zGHKzKG

zRzC

+=

la ecuación característica del sistema es:

0)(1 =+ zGHK El lugar de las raíces para esta ecuación característica es un dibujo del lugar de las raíces en el plano z como una función de K. Es así que las reglas de construcción del lugar de las raíces para sistemas en tiempo discreto son idénticas a las de los sistemas en tiempo continuo, puesto que las raíces de cualquier ecuación 0)( =zF en el plano z con las mismas que para las de

en el plano s. 0)( =zF 10.5.1. ALGUNAS REGLAS PARA CONSTRUCCIÓN DEL LUGAR DE LAS RAÍCES

• Los lugares se originan en los polos de )(zGH y acaban en los ceros de )(zGH . • Los lugares de las raíces en el eje real siempre están situados en una sección del eje

real a la izquierda de un número impar de polos y ceros en el eje real. • El lugar de las raíces es simétrico con respecto al eje real. • El número de asíntotas es igual al numero de polos de )(zGH . • Las asíntotas cortan al eje real en cero, en donde

sp nnzGHdeceroszGHdepolos

−

−= ∑ ∑ )()(

σ

• Los puntos de ruptura se dan mediante las raíces de:

0)(

1=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

zGHdzd

Si bien las reglas para la construcción del lugar de las raíces en el plano s y en el plano z son las mismas, existen importantes diferencias en la interpretación del lugar de las raíces, por ejemplo, en el plano z la región estable está en el interior del circulo unitario. Además, las posiciones de las raíces en el plano z tienen diferentes significados de las del plano s según el punto de vista de la respuesta temporal del sistema.



10.5.2. EJEMPLO Y SIMULACIÓN DEL LUGAR DE LAS RAÍCES MEDIANTE MATLAB Sea :

( ) ( )368.01)717.0(368.0)(

−−+

=zzzKzKG

Por tanto los lugares originados para 1=z y 368.0=z y terminados para y 717.0−=z ∞=z

Existe una asíntota, a 180º. Los puntos de camino de rotura, obtenidos según: 0)(

1=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

zGHdzd

Se producen en para y en 65.0=z 196.0=K 08.2−=z para 01.15=K . Programa MatLab %Programa para simular el lugar geometrico de %las raices num=[0.368 0.717*0.368]; den=[1 -1.368 0.368]; q=tf(num,den,1) rlocus(q) Simulación



Con la simulación hemos determinado los puntos de intersección de los lugares de las raíces con el circulo unitario. 10.6. DIAGRAMA DE BODE El uso de diagrama de Bode o graficas de respuesta frecuencial para sistemas en tiempo continuo es muy apropiado, puesto que las aproximaciones en línea recta que se hacen son aproximaciones basadas en la variable independiente ωj completamente imaginaria, así también estas aproximaciones se pueden utilizar en sistemas en tiempo discreto utilizando también aproximaciones en líneas rectas, supuesto que se utiliza la forma del plano ω de la función de transferencia.



10.6.1. RESUMEN DE TÉRMINOS UTILIZADOS EN DIAGRAMAS DE BODE

• Un término constante K. Cuando este término está presente, la grafica de magnitudes logarítmicas se desplaza hacia arriba o hacia abajo en una cuantía igual a k10log20

• El término ωj o njω

1 . Si el termino njω está presente, la magnitud logarítmica

nω10log20 que es una línea recta con una pendiente de decada

dB20+ y la fase es

constante e igual a : Si el término º90+njω

1 esta presente, la magnitud logarítmica

nω10log20− que es una línea recta con una pendiente de decada

dB20− y la fase es

constante e igual a . º90−

• El termino )1( τωnj+ o ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ τωnj1

1 . El termino )1( τωnj+ tiene una magnitud logarítmica

de 2210 1log20 τωn+ que puede aproximarse como 01log20 10 = cuando 1<τnw y como

nω10log20 , .1>τωn La frecuencia de “corte” es τ

ω 1=n . La fase se da mediante la

expresión El término .tan 1 τωn−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ τωnj1

1 se maneja de una manera similar.

Las graficas de Bode se muestran a continuación:



10.6.2. EJEMPLO Y SIMULACIÓN DE DIAGRAMA DE BODE MEDIANTE MATLAB Sea la siguiente función de transferencia en el plano w:

Desarrollamos conforme el resumen anterior: Diagrama de Magnitud: Diagrama de Fase: Ceros: Ceros:

decdBmj

c 20212

+==+ ωω 4.010

ª90212

0 ==

+==+

ωω

θωω

f

cj

Polos: Polos:

ωωω ∀−==decdBmj c 201 ωθω ∀−= º90j

decdBmj

c 2010110

−==+ ωω 250

º9010110

0 ==

−==+

ωω

θωω

f

jc

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

+=

110

12

110

10

12

10

)10()2(5)(

ωω

ω

ωω

ω

ωωωω

jj

j

jj

j

jjjjG



Construimos el diagrama de Bode en base a aproximaciones de líneas rectas:

Simulación en MatLab: Programa MatLab %Programa para realizar el diagrama de Bode %de una funcion de transferencia num=[0 5 10]; den=[1 10 0]; bode(num,den)



Simulación



ANEXOS:

• Control Digital. • Sistemas Muestreados. • Modelos de Sistemas Discretos. • Modelos Orientados al Proceso. • Análisis de los Sistemas Discretos. • Aproximación de Controladores Continuos. • Regulador PID. • Diseño Basado en la Ubicación de Polos.


Apuntes de ETN 902 gestión 2004

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